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Diferenciación numérica

APLICACIÓN DE METODOS NUMERICOS CAPITULO V DIFERENCIACION NUMERICA 1. INTRODUCCION El uso de la serie de Taylor se puede usar en la solución de problemas de métodos numéricos. La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto, en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto Una forma para obtener mayor conocimiento de la serie de Taylor es a través de la construcción de término a término a)

Primer término de la serie: es una aproximación de orden cero

f ( xi 1 )  f ( xi ) El valor de f en el nuevo puto es el mismo que el valor en el punto anterior. Si la función se aproxima a una constante, entonces es una estimación perfecta. b)

Aproximación de Primer orden

f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )( xi 1  xi ) c) Aproximación de Segundo Orden

f ( x i 1 )  f ( x i )  f ' ( x i )( x i 1  x i ) 

f ' ' ( xi ) ( x i 1  x i ) 2 2!

d)Se pueden adicionar más términos para el desarrollar la expansión de la serie de Taylor (3) f ' ' ( xi ) f ( n) ( xi ) 2 f ( xi ) 3 f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )( xi 1  xi )  ( xi 1  xi )  ( xi 1  xi )  ...  ( xi 1  xi ) n

2!

3!

n!

e)La serie de Taylor se puede expresar en términos de tamaño de paso: h= xi+1-xi :

f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )h 

f ' ' ( xi ) 2 f (3) ( xi ) 3 f ( n) ( xi ) n h  h  ...  h  Rn 2! 3! n!

f) El término residual (Rn) queda establecido por f ( n 1) ( ) Rn  ( xi 1  xi ) n 1 (n  1)! Donde ζ : un valor cualquiera entre xi y xi+1 Rn : Término residual

Este procedimiento ya se usó en la solución del ejemplo de la caída del paracaidista. Simplificando, se tiene:

dv c g v dt m

(1)

Para resolver esta ecuación diferencial se necesitan tener condiciones iniciales y estas pueden ser: v = 0 en t = 0; es decir que inicialmente está en reposo.

Ing. Héctor G. Bolaños Sosa

Pag .1

 Rn

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Párametros Función de la fuerza

v(t) : variable dependiente g : Función de la fuerza c y m : parámetros t : variable independiente

Variable Independiente

  t  gm  v(t )  1  e  m   c   c

Variable Dependiente

Ejercicio Nº 1 Un paracaidista con una masa de 68.1 Kg salta de un globo aerostático fijo. Calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas (Usar un método analítico). El coeficiente de resistencia es de 12.5 Kg/s. Solución: Datos: m: 68.5 kg c: 12.5 Kg/s g: 9.8 m/s2 Solución Analítica Reemplazando los datos en la ecuación, se tiene:  c       t  12.5       t   m gm  9.8(68.1)      68.1  v(t )  1 e  1  e  c  12.5        v(t )  53.39 1  e 0.18355t

T (s) 0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000 12.0000 14.0000 16.0000 18.0000 20.0000 Infinito

v(m/s) 0.0000 16.4050 27.7693 35.6418 41.0953 44.8731 47.4902 49.3031 50.5590 51.4290 52.0317 53.390



VELOCIDAD TERMINAL 60

50

40

Velocidad (m/s)



30

20

10

0

0

2

4

6

8

10 12 Tiempo (s)

14

16

18

20

En la velocidad terminal, la velocidad es constante, cesa la aceleración. La fuerza total es cero, además Fd = Fu; es decir la fuerza debido a la gravedad es igual a la fuerza de resistencia del aire. En consecuencia la velocidad terminal es 53.39 m/s, el cuerpo estaría con esta velocidad constante. Solución numérica La razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo se puede ilustrar.

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dv c g v dt m

dv v v(ti 1)  v(ti)   dt t t(i 1)  t(i )

Δv: Diferencia de velocidades Δt: Diferencia del tiempo

(3)

dv c g v dt m

La ecuación (1) se tiene:

Entonces reemplazamos (3) en (1), quedando la ecuación según:

v( ti1)  v(ti) t (i 1)  t (i )

g

c v m

Reordenando, se tiene la ecuación (4):

c   v(ti 1)  v( ti )   g  v t( i 1)  t (i )  m   Intervalo Pendiente Nuevo valor

Valor anterior

v(ti) : Velocidad en el tiempo inicial. v(ti+1) : velocidad en algún tiempo después (intervalo) t(i) : Tiempo inicial t(i+1) : incremento del tiempo Generalizando:

Nuevo Valor  Valor Anterior  pendiente * Tamaño Paso

V(ti+1)

t ien nd e P

e

V a ad t m i x ro ap

V(ti)

Pe

nd

ien

te v er d

d v d t

ad

er a

f(x)

ti Ing. Héctor G. Bolaños Sosa

ti+1 Pag .3

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Ejercicio Nº 2 Un paracaidista con una masa de 68.1 Kg salta de un globo aerostático fijo. Calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas (Usar un método numérico). El coeficiente de resistencia es de 12.5 Kg/s. Solución numérica Datos: m: 68.5 kg c: 12.5 Kg/s g: 9.8 m/s2 Tamaño del paso o incremento: 2 segundos Tiempo inicial: ti = 0 seg Velocidad inicial: v(ti) = 2 m/seg

c   v(ti1)  v(ti)   g  v  t (i 1)  t (i )  m   Para t i1  1 s 12.5   v( ti1)  0  9.8  (0) 1  0  9.80m / s 68 . 1   Para t i1  2 s 12.5   v(ti1)  9.80  9.8  (9.80) 2  1  17.80m / s 68.1   Para t i1  3 s

T(s) 0 1 2 3 4 5 ∞

V(m/s) 0 9.80 17.80 24.33 29.66 34.02 53.39

12.5   v( ti1)  17.80  9.8  (17.80) 3.  2  24.33m / s 68.1   Nota.- la diferencia entre el valor analítico y numérico se puede disminuir, usando incrementos más pequeño, esta posibilidad es muy sencilla manejarla en las computadoras

Ejercicio Nº 3 Programa para el cálculo de la caída del paracaidista usando el método analítico %caida_para_anali 1 8.95 %programa calcula la caida de 2 16.40 %un paraidista (analítico) 3 22.61 clc 4 27.77 clear all … g=9.8;m=68.1; 46 53.38 c=12.5;vi=0; 47 53.38 for x=1:50 48 53.38 v=(g*m/c)*(1-exp(-c/m.*x));%exacta 49 53.38 fprintf('%i%10.2f\n',x,v) 50 53.38 ta(x)=x;%guarda datos en vector va(x)=v; end

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plot(ta,va),grid

VELOCIDAD TERMINAL (MÉTODO ANALÍTICO) 55 50 45

Velocidad (m/s)

40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Ejercicio Nº4 Programa para el cálculo de la caída del paracaidista usando el método numérico y analítico %caida_para1 %programa calcula la caida de %un paraidista clc clear all g=9.8;m=68.1; c=12.5;vi=0; for x=1:50 v=(g*m/c)*(1-exp(-c/m.*x));%exacta vi=vi+(g-(c/m)*vi)*1;%numerico fprintf('%i%10.2f%10.2f\n',x,v,vi) ta(x)=x;%guarda datos en vector va(x)=v; vn(x)=vi; end plot(ta,va,ta,vn),grid

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1 2 3 4 5 ….. 47 48 49 50

8.95 16.40 22.61 27.77 32.07 53.38 53.38 53.38 53.38

9.80 17.80 24.33 29.67 34.02 53.39 53.39 53.39 53.39

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Diferenciación numérica

55 50

Analitico Numerico

45

Velocidad (m/seg)

40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

20

25 Tiempo (seg)

30

35

40

45

50

Resumiendo el método numérico: La ecuación diferencial para la caída de un paracaidista es:

dv c g v dt m

dv v v(ti 1)  v(ti)   dt t t(i 1)  t(i )

Luego:

𝑣 ′ (𝑡) =

𝑣(𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖) 𝑡(𝑖+1) − 𝑡(𝑖)

Resolviendo para 𝑣(𝑡𝑖+1) Valor nuevo:

𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣(𝑡𝑖) + 𝑣 ′ (𝑡)[𝑡(𝑖+1) − 𝑡(𝑖) ] Esta ecuación podemos expandir mediante la serie de Taylor

𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣(𝑡𝑖) + 𝑣 ′ (𝑡)[𝑡(𝑖+1) − 𝑡(𝑖) ] + 𝑣(𝑡𝑖) + En general se puede escribir: ′ (𝒙𝒊)𝒉

𝒇(𝒙𝒊+𝟏) ≅ 𝒇(𝒙𝒊) + 𝒇

𝑣 ′′ (𝑡) 2 [𝑡(𝑖+1) − 𝑡(𝑖) ] + ⋯ + 𝑅𝑛 2!

𝒇′′ (𝒙𝒊) 𝟐 𝒇′′′ (𝒙𝒊) 𝟑 𝒇(𝒏) (𝒙𝒊) 𝒏 + 𝒉 + 𝒉 + ⋯+ 𝒉 + 𝑹𝒏 𝟐! 𝟑! 𝒏!

2. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA La representación gráfica de la predicción de la serie de Taylor de orden “cero” y el residuo.

𝑓(𝑥𝑖+1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)ℎ Luego:

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅=

𝑓(𝑥𝑖+1) + 𝑓(𝑥𝑖) ℎ

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A partir de la serie de Taylor se pueden obtener las siguientes definiciones: 2.1.

Derivada hacia adelante La serie de Taylor es :

𝑓(𝑥𝑖+1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)ℎ +

𝑓 2 (𝑥𝑖)ℎ2 +⋯ 2!

La serie de Taylor truncando hasta la primera derivada, se tiene:

𝑓(𝑥𝑖+1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)ℎ 𝑓(𝑥𝑖+1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) 𝒇′ (𝒙𝒊) ≅

𝒇(𝒙𝒊+𝟏) − 𝒇(𝒙𝒊) ∆𝒇𝒊 = 𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 𝒉

Considerando el tercer término de la serie, se tiene:

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅ 2.2.

−𝑓(𝑥𝑖+2) + 4𝑓(𝑥𝑖+1) − 3𝑓(𝑥𝑖) 2ℎ

Derivada hacia atrás La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás:

𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓

′ (𝑥𝑖)ℎ

𝑓 2 (𝑥𝑖)ℎ2 + −⋯ 2!

Truncando hasta la primera derivada, se tiene:

𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)ℎ 𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )

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𝒇′ (𝒙𝒊) ≅

𝒇(𝒙𝒊) − 𝒇(𝒙𝒊−𝟏) 𝛁𝒇𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 𝒉

Considerando el tercer término de la serie, se tiene:

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅ 2.3.

3𝑓(𝑥𝑖) − 4𝑓(𝑥𝑖+1) + 𝑓(𝑥𝑖+2) 2ℎ

Derivada central La expansión de la serie de Taylor hacia adelante es:

𝑓(𝑥𝑖+1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) La expansión de la serie de Taylor hacia atrás es:

𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) Efectuando la resta entre las dos expansiones (adelante – atrás) 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ [𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)] − [𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )] 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖−1 ) 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓 ′ (𝑥𝑖)(𝑥𝑖−1 ) 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) ≅ 𝑓 ′ (𝑥𝑖)[(𝑥𝑖+1 ) − (𝑥𝑖−1 )] 𝒇(𝒙𝒊+𝟏) − 𝒇(𝒙𝒊−𝟏) 𝒇(𝒙𝒊+𝟏) − 𝒇(𝒙𝒊−𝟏) 𝒇′ (𝒙𝒊) ≅ = (𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊−𝟏 ) 𝟐𝒉

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Considerando el tercer término de la serie, se tiene:

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

−𝑓(𝑥𝑖+2) + 8𝑓(𝑥𝑖+1) − 8𝑓(𝑥𝑖−1) + 𝑓(𝑥𝑖−2) 12ℎ

Ejercicio Nº5 Usar las diferencias finitas divididas para obtener la primera derivada (hasta el segundo y tercer términos de la serie de Taylor) de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = −0.1𝑥 4 − 0.15𝑥 3 − 0.5𝑥 2 − 0.25𝑥 + 1.2 Para x=0.5, con tamaño de paso h = 0.25 Solución a) Solución analítica 𝑓′(𝑥) = −0.4𝑥 3 − 0.45𝑥 2 − 𝑥 − 0.25 >> def=inline('-0.4*x.^3-0.45*x.^2-x-0.25') def = Inline function: def(x) = -0.4*x.^3-0.45*x.^2-x-0.25

>> x=0.5 x= 0.5000 >> dfex=feval(def,x) dfex = -0.9125

b) Derivada hacia adelante

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖) ∆𝑓𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ℎ

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Donde: 𝑥𝑖+1 = 0.75 𝑥𝑖 = 0.50 ℎ = 0.25 >> fx=inline('-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2') >> xi=0.5; >> xmas=0.75 xmas = 0.7500

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

>> fxi=feval(fx,xi) fxi = 0.9250 >> fxmas=feval(fx,xmas) fxmas = 0.6363 >> df=(fxmas-fxi)/(xmas-xi) df = -1.1547 >> e=(-0.9125-df)/-0.9125*100 e= -26.5411%

−𝑓(𝑥𝑖+2) + 4𝑓(𝑥𝑖+1) − 3𝑓(𝑥𝑖) 2ℎ

Donde: 𝑥𝑖+2 = 1.00 𝑥𝑖+1 = 0.75 𝑥𝑖 = 0.50 ℎ = 0.25 >> fx=inline('-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2') >> x=0.5; x1=x+h x1 = 0.7500 >> x2=x1+h x2 = 1

>> vfx=feval(fx,x) vfx = 0.9250 >> vfx1=feval(fx,x1) vfx1 = 0.6363 >> vfx2=feval(fx,x2) vfx2 = 0.2000 df=(-vfx2+4*vfx1-3*vfx)/(2*h) df = -0.8594 e=(-0.9125-df)/-0.9125*100 e= 5.8219%

c) Derivada hacia atrás

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𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖+1) ∇𝑓𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 ℎ

Donde: 𝑥𝑖−1 = 0.25 𝑥𝑖 = 0.50 ℎ = 0.25 >> fx=inline('-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2') >> xi=0.5; >> xmenos=0.25; >> fxi=feval(fx,xi) fxi = 0.9250 >> fxmenos=feval(fx,xmenos) fxmenos = 1.1035

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

Determinado el valor de la derivada: >> df=(fxi-fxmenos)/(xi-xmenos) df = -0.7141 >> e=(-0.9125-df)/-0.9125*100 e= 21.7466%

3𝑓(𝑥𝑖) − 4𝑓(𝑥𝑖+1) + 𝑓(𝑥𝑖+2) 2ℎ

>> fx=inline('-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2') fx = Inline function: fx(x) = -0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2 >> x=0.5 x= 0.5000 >> h=0.25 h= 0.2500 >> xm1=x-h xm1 = 0.2500 >> xm2=xm1-h xm2 = 0

>> vfx=feval(fx,x) vfx = 0.9250 >> vfmx1=feval(fx,xm1) vfmx1 = 1.1035 >> vfmx2=feval(fx,xm2) vfmx2 = 1.2000 >> dmf=(3*vfx-4*vfmx1+vfmx2)/(2*h) dmf = -0.8781 >> e=(-0.9125-dmf)/-0.9125*100 e= 3.7671%

d) Derivada central

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𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1) = (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 ) 2ℎ

Donde: 𝑥𝑖−1 = 0.25 𝑥𝑖+1 = 0.75 ℎ = 0.25

>> fxmenos=feval(fx,xmenos) fxmenos = 1.1035 >> fxmas=feval(fx,xmas) fxmas = 0.6363

>> fx=inline('-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2') >> xmenos=0.25; >> xmas=0.75;

>> dfc=(fxmas-fxmenos)/(xmasxmenos) dfc = -0.9344 >> e=(-0.9125-dfc)/(-0.9125)*100 e = -2.3973%

𝑓 ′ (𝑥𝑖) ≅

−𝑓(𝑥𝑖+2) + 8𝑓(𝑥𝑖+1) − 8𝑓(𝑥𝑖−1) + 𝑓(𝑥𝑖−2) 12ℎ

Donde: 𝑥𝑖−2 = 0.00 𝑥𝑖−1 = 0.25 𝑥𝑖+1 = 0.75 𝑥𝑖+2 = 1.00 ℎ = 0.25 >> fx=inline('-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2') fx = Inline function: fx(x) = -0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2 >> h=0.25 h= 0.2500 >> x=0.5; >> x1=x+h x1 = 0.7500 >> x2=x1+h x2 = 1 >> x1m=x-h x1m = 0.2500 >> x2m=x1m-h x2m = 0

>> vfx1=feval(fx,x1) vfx1 = 0.6363 >> vfx2=feval(fx,x2) vfx2 = 0.2000 >> vfx1m=feval(fx,x1m) vfx1m = 1.1035 >> vfx2m=feval(fx,x2m) vfx2m = 1.2000 >> df=(-vfx2+8*vfx18*vfx1m+vfx2m)/(12*h) df = -0.9125 >> e=(-0.9125-df)/(-0.9125)*100 e= -2.4334e-14%

Usando un código de matlab, con paso de 0.25

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%pro-prin %Programa Principal clc clear all fun=input('ingrese la función que tiene la ecuación (entre comillas)...'); valor=input('ingrese valor donde se quiere evaluar la derivada..: '); paso=input('ingrese el tamaño del paso...') %deri=derivada1(fun,valor,paso) deri=derivada1(fun,valor,paso)

function fun=ecuacion1(x) fun=-0.1*x.^4-0.15*x.^30.5*x.^2-0.25*x+1.2; end

function y=derivada1(fun,x,paso) h=paso; y=(feval(fun,x+h)-feval(fun,xh))/(2*h);

ingrese la función que tiene la ecuación (entre comillas)...'ecuacion1' ingrese valor donde se quiere evaluar la derivada..: 0.5 ingrese el tamaño del paso...0.25 paso = 0.2500 deri = -0.9344

Ejercicio Nº6 Usar las diferencias finitas divididas para obtener la primera derivada de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = −0.1𝑥 4 − 0.15𝑥 3 − 0.5𝑥 2 − 0.25𝑥 + 1.2 Para x=0.5, con tamaño de paso h = 0.10

3. DIFERENCIACIÓN CON MATLAB MatLab utiliza la función diff, para diferenciar funciones Sintaxis: diff(S) : diferencia la expresión simbólica S, respeto a la variable independiente determinada por syms diff(S,'v') : diferencia la expresión simbólica S con respecto a v diff(S,n) : diferenciación de S, n veces diff(S,'v',n): diferenciación de S, respecto a v, n veces

>> syms x >> h=x.^3 h= x^3

>> syms x >> h=x.^3 h= x^3

>> syms x >> h=x.^3 h= x^3

>> diff(h) ans = 3*x^2

>> diff(h,2) ans = 6*x

>> diff(h,3) ans = 6

>> syms x

>> syms x y

>> diff(f,x,2)

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>> f=exp(-x)x >> diff(f) ans = -exp(-x)-1

>> f=3*x.^2*y >> diff(f,x) ans = 6*x*y

ans = 6*y

>> diff(f,y) ans = 3*x^2 >> syms x >> f=-0.1*x.^4-0.15*x.^3-0.5*x.^2-0.25*x+1.2 f= - x^4/10 - (3*x^3)/20 - x^2/2 - x/4 + 6/5 >> df=diff(f) df = - x - (9*x^2)/20 - (2*x^3)/5 - 1/4 >> pretty(df) 3 2 2x 9x - ---- - ---- - x - 1/4 5 20

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