Capitulo0 Calculo1 Light

Sum´ ario 1 Fun¸ c˜ oes, equa¸ c˜ oes e gr´ aficos 1.1 Exemplos simples de fun¸c˜ oes . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fun¸c˜oes e equa¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . No¸c˜ oes sobre conjuntos . . . . . . . . . Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸c˜ ao de fun¸c˜ ao . . . . . . . . . . . Argumento de uma fun¸c˜ ao . . . . . . . . Dom´ınio, imagem e contradom´ınio . . . Nota¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opera¸c˜ oes com fun¸c˜ oes . . . . . . . . . 1.3 Gr´aficos de fun¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . Um exemplo preliminar . . . . . . . . . Fun¸c˜ ao linear . . . . . . . . . . . . . . . Coeficiente angular . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜ ao afim . . . . . . . . . . . . . . . . Retas por dois pontos . . . . . . . . . . Equa¸c˜ ao da reta a partir de seu declive e um de seus pontos . . . . . 1.4 A circunferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 A par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reflex˜ oes e transla¸c˜ oes verticais . . . . . Par´ abolas mais abertas e mais fechadas Transla¸c˜ oes horizontais . . . . . . . . . Uma variedade de par´abolas . . . . . . . √ A par´abola y = x . . . . . . . . . . . .

1

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3 3 4 7 7 7 9 9 10 12 13 13 14 14 15 16 18

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20 20 24 25 25 27 28 29

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´ SUMARIO

Cap´ıtulo 1

Fun¸co ˜es, equa¸c˜ oes e gr´ aficos O C´alculo fundamenta-se em dois pilares b´asicos, que s˜ao a derivada e a integral. No entanto, subjacente a eles est´a o conceito de fun¸c˜ ao, com o qual o leitor com certeza j´a adquiriu alguma familiaridade em seus estudos no ensino m´edio. N˜ao obstante isso, ´e conveniente que dediquemos este cap´ıtulo inicial a um apanhado sobre fun¸c˜ oes e gr´aficos. E para bem entender as id´eias relacionadas a fun¸c˜ oes n˜ao ´e necess´ario todo aquele formalismo de conjuntos e muitas defini¸c˜ oes como ainda se costuma fazer no ensino m´edio. Os conceitos devem ser introduzidos aos poucos, somente quando s˜ao ´ essa a orienta¸c˜ao que adotamos realmente necess´arios `a apresenta¸c˜ao das id´eias. E aqui.

1.1

Exemplos simples de fun¸c˜ oes

O conceito de fun¸c˜ ao n˜ao surgiu na matem´atica de uma hora para outra; foi amadurecendo aos poucos, come¸cando no s´eculo XVII e s´o adquirindo plena ma´ mais f´acil entender esse conceito atrav´es de exemplos turidade no s´eculo XIX. E simples, como faremos a seguir. Isso vai preparando o caminho para as defini¸c˜ oes necess´arias, as quais v˜ao aparecendo aos poucos, `a medida que s˜ao realmente necess´arias. Nesse esp´ırito, come¸caremos com exemplos simples e de f´acil compreens˜ao. Exemplo 1.1 Um autom´ ovel que viaja a 60 km/h percorre uma distˆ ancia s (espa¸co) em t horas. Podemos, pois, escrever: s = 60t. Atribuindo a t valores arbitr´arios, calculamos o espa¸co percorrido s (Fig. 1.1). Assim,1 t = 2 ⇒ s = 60 × 2 = 120 t = 3 ⇒ s = 60 × 3 = 180 t = 1, 5 ⇒ s = 60 × 1, 5 = 90 t = 1, 25 ⇒ s = 60 × 1, 25 = 75 e assim por diante. Como se vˆe nesse exemplo, temos duas grandezas2 vari´ aveis, o espa¸co s e o tempo t. Ao tempo t atribu´ımos valores arbitr´arios e calculamos os valores correspon´ por isso que se diz que t ´e a vari´ dentes de s. E avel independente, enquanto 1

Veja o significado dos s´ımbolos “⇒”e “⇔”na p. ??. Chamamos de grandeza tudo aquilo que pode ser transformado em n´ umero. Por exemplo: sua massa ´e uma grandeza; para vˆe-la transformada em n´ umero basta subir em uma balan¸ca. S˜ ao exemplos de grandezas: distˆ ancias, ´ areas, volumes, press˜ ao, densidade etc. 2

3

4

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

GA

Figura 1.1 s ´e chamada vari´ avel dependente, pois os valores de s dependem dos valores atribu´ıdos a t. Essa dependˆencia de s sobre t tamb´em se exprime dizendo que s ´e fun¸c˜ ao de t. Exemplo 1.2 Um triˆ angulo eq¨ uil´ atero com lado de medida x possui ´ area A(x) = √ 2 ˜o ´ area ser´ a A(x) = x2 . Se o x 3/4. Se o pol´ıgono for um quadrado, essa fun¸ca pol´ıgono regular for um hex´ agono sua ´ area ser´ angulo de √ a seis vezes √ a de um triˆ 2 2 mesmo lado (Fig. 1.2), ou seja, A(x) = 6x 3/4 = 3x 3/2. Repare que em todos esses casos estamos exprimindo uma grandeza geom´etrica (´area) em fun¸c˜ao de outra (lado do pol´ıgono). S˜ao in´ umeras as situa¸c˜ oes geom´etricas em que isso acontece. Por exemplo, a ´area do c´ırculo ´e dada em fun¸c˜ao de seu raio mediante a f´ormula A(r) = πr2 ; o comprimento da circunferˆencia em fun¸c˜ao do raio, C(r) = 2πr; o volume e a ´area da esfera em fun¸c˜ ao do raio, respectivamente pelas ´ormulas V (r) = 4πr3 /3 e A(r) = 4πr2 . O exemplo seguinte exibe mais uma situa¸c˜ ao geom´etrica. Exemplo 1.3 Em uma fazenda h´ a um muro que um fazendeiro quer proveitar para fazer um cercado na forma de um retˆ angulo. Para isso ele adquiriu 100 metros de tela. Denotando com x o lado do retˆ angulo perpendicular ao muro, pede-se a ´ area da regi˜ ao cercada pela tela em fun¸c˜ ao de x?

Figura 1.2

Um antigo prov´erbio chinˆes revela bastante sabedoria quando diz: uma boa figura vale mais que mil palavras. A visualiza¸c˜ ao dos dados de um problema em uma figura (uma ilustra¸c˜ ao) ´e importante e sempre faremos uso deste recurso; e insistimos em que ´e muito proveitoso cultivar esse h´abito. Os dados do problema nos levam `a situa¸c˜ ao ilustrada na Fig. 1.3.

Figura 1.3 Naturalmente que para um retˆangulo cujas medidas dos lados sejam x e 100 − 2x a ´area ser´a A(x) = x(100 − 2x), ou seja, A(x) = 100x − 2x2 . Desta forma temos a ´area escrita em fun¸c˜ ao da medida de um dos lados do retˆangulo.

Exercícios 1. Os lados iguais de um triˆangulo is´osceles tˆem medida 2. Se x representa a medida da base, exprima a medida da ´area em fun¸c˜ao de x.

˜ 1.1. EXEMPLOS SIMPLES DE FUNC ¸ OES

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2. Se x representa a medida da aresta de um cubo, exprima o volume do cubo em fun¸c˜ao de x. 3. Se x representa a medida da aresta de um cubo, exprima a medida da diagonal do cubo em fun¸c˜ao de x. 4. Um fio de comprimento L ´e cortado em dois peda¸cos. Com um peda¸co formamos uma circunferˆencia e com outro um quadrado. Se x for a medida do lado do quadrado, expresse a ´area total englobada pelas duas figuras como fun¸c˜ao de x. 5. Suponha que tenha um papel na forma de um quadrado de lados 25 cm e que de cada quina retire-se um quadrado de lado de medida x (Veja ilustra¸c˜ao a seguir). Com o papel sem estas pontas faz-se uma caixa como mostrado na ilustra¸c˜ao. Qual ´e a fun¸c˜ao que retorna o volume dessa caixa?

Fun¸ c˜ ao como caixa de transforma¸c˜ ao Uma outra maneira sugestiva de encarar uma fun¸c˜ ao ´e visualiz´a-la como uma “caixa de transforma¸c˜ ao”, vale dizer, uma caixa na qual entram valores x, os quais s˜ao transformados, segundo determinada regra, produzindo valores finais y. Como primeiro exemplo, suponhamos que a regra seja “elevar ao quadrado”.

Assim, se o n´ umero de entrada x tiver o valor 3, o y da sa´ıda ter´a o valor 32 = 9; se a entrada for 3/4, a sa´ıda ser´a (3/4)2 = 9/16; se a entrada for −7/2, a sa´ıda ser´a (−7/2)2 = 49/4; e assim por diante. De um modo geral, um n´ umero gen´erico x na entrada produz o n´ umero de sa´ıda y = x2 . Outro exemplo de fun¸c˜ ao: a entrada √ x transforma-se em sua raiz quadrada. √ Assim, x = 16 produz a sa´ıda y = 16 = 4,3 x = 5/9 produz a sa´ıda 5/3, e assim por diante. De um modo geral, essa caixa transforma um valor gen´erico de √ entrada x no valor de sa´ıda y = x. Repare que no exemplo anterior pod´ıamos entrar com qualquer n´ umero x, positivo, negativo ou nulo, ao passo que agora n˜ao podemos entrar com valores negativos, os quais n˜ao tˆem raiz quadrada real. √ Por exemplo, x = −9 produziria y = −9, mas isto n˜ao ´e um n´ umero real. √ √ xxx Lembre-se de que n˜ ao podemos escrever 16 = ±4, pois o s´ımbolo 16 significa sempre a raiz quadrada positiva de 16. Veja a revis˜ ao na p. ?? 3

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

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Vejamos mais um exemplo: √ subtrair 3 e extrair a raiz quadrada, regra essa que se traduz pela f´ormula y = x − 3, ilustrada na figura seguinte.

√ √ Por exemplo, se a entrada ´ e 19, a sa´ ıda deve ser 19 − 3 = 16 = 4; se a entrada √ √ ´e 10, a sa´ıda deve ser 10 − 3 = 7, e assim por diante. Aqui ´e necess´ario que x − 3 nunca seja negativo, ou n˜ao podemos extrair a raiz quadrada; mas x − 3 ≥ 0 significa x ≥ 3. E se a regra fosse “adicionar 3 e extrair oes √ a raiz quadrada”, que restri¸c˜ ter´ıamos de impor a x? A regra seria y = x + 3, mostrando que x + 3 n˜ao pode ser negativo, vale dizer, x + 3 ≥ 0, donde x ≥ −3. Em todos esses exemplos h´a um elemento comum, que ´e a regra de transforma¸c˜ao. Vamos denot´a-la com a letra f de “fun¸c˜ ao”. Assim, escrevemos y = f (x) para denotar a fun¸c˜ ao que transforma x em y segundo uma lei de transforma¸c˜ao f .

Em muitas das fun¸c˜ oes que surgir˜ao em nosso estudo a entrada x tem de ser restrita a conjuntos apropriados, como vimos em alguns dos nossos exemplos. Um tal conjunto ´e chamado o dom´ınio da fun¸c˜ ao Na pr´oxima se¸c˜ ao daremos uma breve formaliza¸c˜ ao desse conceito.

Exercícios Nos exerc´ıcios que segue vocˆe deve dizer qual ´e a rela¸c˜ ao entre o valor de entrada x e o valor de sa´ıda y para cada uma das regras de transforma¸c˜ ao: 11. [Resolvido:]Elevar ao quadrado e subtrair 1. Solu¸ c˜ ao: y = x2 − 1. 12. Subtrair 1 e elevar ao quadrado

13. Dobrar e adicionar 3

14. Triplicar, adicionar 3 e extrair a raiz quadrada 15. Dobrar, subtrair 5 e extrair a raiz quadrada 16. Inverter

17. Subtrair 1 e inverter

Agora, tente identificar o dom´ınio de cada transforma¸c˜ ao. 18. [Resolvido]y =

√

x

Solu¸ c˜ ao: O valor de entrada x n˜ao pode ser negativo, ou seja, o dom´ınio s˜ao os n´ umeros reais n˜ao negativos. Podemos escrever assim: D = {x ∈ R : x ≥ 0}

˜ ˜ 1.2. FUNC ¸ OES E EQUAC ¸ OES

7

19. y =

1 x

1.2

Fun¸co ˜es e equa¸c˜ oes

20. y =

1 x+1

21. y =

√

x+1

No¸ c˜ oes sobre conjuntos Embora o leitor decerto j´a tenha adquirido certa familiaridade com a no¸c˜ ao e nota¸c˜ao de conjunto em seus estudos no ensino b´asico, ´e conveniente fazer aqui uma breve recorda¸c˜ ao dessas no¸c˜ oes. Os conjuntos que vamos considerar ser˜ao todos conjuntos num´ericos, assim entendidos conjuntos de n´ umeros reais. Para indicar que um certo x ´e elemento de um conjunto A escreve-se “x ∈ A”, que se lˆe: “x pertence ao conjunto A”. Ao contr´ ario, a nota¸c˜ ao “y ∈ / A” significa que y n˜ao pertence ao conjunto A (Fig. 1.4). Freq¨ uˆentemente, um conjunto ´e caracterizado por alguma propriedade de seus elementos. Por exemplo, para denotar o conjunto C das ra´ızes (reais) de um polinˆomio P (x) escreve-se: C = {x ∈ R : P (x) = 0}, que se lˆe: “conjunto dos n´ umeros reais x tais que P (x) = 0” ou “conjunto das ra´ızes reais da equa¸c˜ ao P (x) = 0”. Exemplo 1.4 Considere P (x) = x2 − 5x + 6. Neste caso, C = {x ∈ R : x2 − 5x + 6 = 0} = {2, 3}, Se a equa¸c˜ao P (x) = 0 n˜ao tiver ra´ızes reais, teremos uma situa¸c˜ ao em que aparece o chamado conjunto vazio, ou conjunto sem nenhum elemento. Assim, ´e vazio o conjunto C = {x ∈ R : x2 + 1 = 0} = {x ∈ R : x2 = −1}, pois n˜ao existe n´ umero real x cujo quadrado seja −1. Diz-se que A ´e um subconjunto de B, ou que A est´ a contido em B, e escreve-se ´ claro que A ⊂ B A ⊂ B, quando todo elemento de A ´e tamb´em elemento de B. E e B ⊂ A equivale a dizer que A = B. Diz-se que A ´e um subconjunto pr´ oprio de B quando A ⊂ B, mas B 6⊂ A, isto ´e, existe pelo menos um elemento y de B que n˜ao esteja em A (Fig. 1.5).

Intervalos Em nosso estudo teremos necessidade de nos referir a fun¸c˜ oes definidas em conjuntos que s˜ao “intervalos” ou “semi-eixos”, da´ı a conveniˆencia de introduzir esses conceitos aqui. Dados dois n´ umeros a e b, chama-se intervalo aberto de extremos a e b ao conjunto de todos os n´ umeros compreendidos entre a e b. Costuma-se denotar

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˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Figura 1.4

Figura 1.5

esse intervalo como a < x < b ou (a, b). Tamb´em se escreve, em nota¸c˜ ao de conjunto, {x : a < x < b}, que se lˆe: “conjunto dos n´ umeros x tais que x ´e maior do que a e menor do que b”. Por exemplo, o intervalo aberto de extremos −3 e 2, ilustrado na Fig. 1.6(a) ´e denotado de qualquer uma das trˆes maneiras equivalentes seguintes: −3 < x < 2, (−3, 2),

{x : −3 < x < 2}.

O intervalo de extremos a e b se diz fechado quando inclui os extremos. Ele pode ser denotado [a, b], a ≤ x ≤ b ou {x : a ≤ x ≤ b}. Um exemplo concreto ´e o intervalo [3, 7], representado na Fig. 1.6(b).

Figura 1.6 Se apenas um dos extremos ´e inclu´ıdo no intervalo ele se diz semi-aberto ou semifechado. Eis dois exemplos representados na Figs. 1.7(a) e 1.7(b), respectivamente: [1, 3) = {x : 1 ≤ x < 3} e (4, 7] = {x : 4 < x ≤ 7}.

Figura 1.7 Introduzindo os s´ımbolos −∞ e +∞ (este u ´ltimo freq¨ uˆentemente escrito apenas ∞), podemos considerar todo o eixo real como um intervalo (aberto, evidentemente, pois esses s´ımbolos, n˜ao sendo n´ umeros, n˜ao podem ser inclu´ıdos no intervalo): (−∞, +∞) = {x : −∞ < x < +∞}. Um intervalo com uma das extremidades finita e a outra infinita (−∞ ou +∞) ´e chamado semi-eixo (fechado ou aberto, respectivamente, se a extremidade finita ´e ou n˜ao inclu´ıda no intervalo). As Figs. 1.8 (a) e (b) ilustram os semi-eixos (−∞, 7] e (−3, +∞), fechado e aberto, respectivamente.

˜ ˜ 1.2. FUNC ¸ OES E EQUAC ¸ OES

9

Figura 1.8

Defini¸ c˜ ao de fun¸c˜ ao Como vimos nos exemplos anteriores, o conceito de fun¸c˜ ao surge da considera¸c˜ ao de grandezas vari´ aveis que est˜ao relacionadas entre si. Em todo o nosso estudo s´o nos interessam fun¸c˜ oes num´ericas, isto ´e, aquelas em que as vari´ aveis envolvidas s˜ao n´ umeros reais, como nos exemplos anteriores. Por vari´ avel entendemos um s´ımbolo que serve para denotar qualquer dos elementos de um dado conjunto, chamado o dom´ınio da vari´ avel. Assim, no Exemplo 1.1 visto atr´as, o dom´ınio da vari´avel t ´e o conjunto de todos os n´ umeros reais t ≥ 0; no Exemplo 1.2, o dom´ınio de r ´e o conjunto dos n´ umeros reais r > 0; e no Exemplo 1.3, o dom´ınio de x ´e o intervalo 0 < x < 100. Defini¸ c˜ ao 1.1 Chama-se fun¸ca ˜o a toda correspondˆencia f que atribui a cada valor de uma vari´ avel x em seu dom´ınio – tamb´em chamado em dom´ınio da fun¸c˜ ao – um e um s´ o valor de uma vari´ avel y num certo conjunto Y – chamado contradom´ınio da fun¸c˜ ao. Como j´a dissemos anteriormente, x ´e a vari´ avel independente e y a vari´ avel dependente. Geralmente uma fun¸c˜ ao ´e denotada por uma letra, muito freq¨ uˆentemente a letra f . Por exemplo, com y = f (x) = x2 − 3x − 7, temos f (4) = 42 − 3 · 4 − 7 = 16 − 12 − 7 = −3; f (−4) = (−4)2 − 3(−4) − 7 = 16 + 12 − 7 = 21; f (3/2) = (3/2)2 − 3(3/2) − 7 = 9/4 − 9/2 − 7 = −9/4 − 7 = −37/4. Quando consideramos v´arias fun¸c˜ oes ao mesmo tempo, temos de denot´a-las com letras diferentes. Por exemplo, p f (x) = x3 , g(x) = x2 + 4, h(x) = 1 − x2 . Na defini¸c˜ao anterior falamos em “correspondˆencia”. Trata-se da lei segundo a qual cada valor x ´e levado num valor y. Essa lei pode ser inteiramente arbitr´aria; e, de fato, h´a situa¸c˜ oes em que temos de considerar fun¸c˜ oes dadas por leis bastante gerais. Mas, em nosso estudo, o que mais nos interessa s˜ao as fun¸c˜ oes dadas por “express˜oes anal´ıticas” ou “f´ormulas”, como nos exemplos j´a considerados.

Argumento de uma fun¸c˜ ao ` vezes a vari´ As avel independente tamb´em costuma ser designada argumento da fun¸c˜ao, principalmente quando ´e substitu´ıda por uma express˜ao. Por exemplo, se f (x) = x2 , ent˜ ao f (3 + h) = (3 + h)2 = 32 + 2 · 3 · h + h2 = 9 + 6h + h2 .

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

10

Neste u ´ltimo exemplo, 3 + h ´e o “argumento” da fun¸c˜ ao. Como se vˆe, quando lidamos com uma fun¸c˜ ao f , tanto podemos falar em f (x), como em f (t), f (x−7), f (t + a), f (2 − a), f (x2 − 3x + 7ax), f (y − 5x), f (7x/y), etc. Em todos esses casos estamos substituindo a vari´ avel x por uma certa express˜ao, da´ı o nome “argumento da fun¸c˜ ao” que se d´a a uma tal express˜ao.

Dom´ınio ´ importante observar que para caracterizar uma fun¸c˜ E ao n˜ao basta dar a lei que a cada x faz corresponder um y, mas ´e preciso deixar claro qual ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao. N˜ao obstante isso, ´e costume falar de uma fun¸c˜ ao sem mencionar explicitamente seu dom´ınio, em cujo caso deve-se entender que ele ser´a o maior conjunto √ poss´ıvel. Por exemplo, quando se fala “seja a fun¸c˜ ao y = x”, sem especificar o dom´ınio, este deve ser entendido como sendo o conjunto dos n´ umeros x ≥ 0.

Exemplo 1.5 Qual ´e o dom´ınio da fun¸c˜ ao f (x) =

√ x + 1?

√ Solu¸ c˜ ao. A express˜ao x + 1 s´o retornar´a um n´ umero real se x + 1 ≥ 0. Assim devemos ter x ≥ −1. Por esse motivo dizemos que Df = {x ∈ R : x ≥ −1} √ Exemplo 1.6 Qual o dom´ınio para f (x) = 3 x + 1? √ Solu¸ c˜ ao. Ora, a fun¸c˜ ao 3 ¤ est´ a definida para todos os n´ umeros reais; mesmo para os negativos. Observe, por exemplo, que se x = −9 ent˜ ao f (−9) = √ √ 3 3 −9 + 1 = −8. Procuramos por um n´ umero real que√elevado ao cubo dˆe 3 = −8 e deste modo 3 −8 = −2 ∈ R. Para como resultado −8. Ocorre que (−2) √ todo x ∈ R a fun¸c˜ ao f (x) = 3 x + 1 retornar´a um n´ umero real e por esse motivo dizemos que Df = R. ` vezes ´e conveniente representar o argumento de uma fun¸c˜ao por um As s´ımbolo, como ¤, com o objetivo de facilitar a an´alise do dom´ınio da fun¸c˜ ao. Por exemplo, para √ p f (x) = ¤, onde p ´e um n´ umero inteiro positivo e par, o dom´ınio de f ´e o conjunto dos n´ umeros reais x que fazem com que ¤ ≥ 0. Assim, se ¤ = x2 + 5, devemos ter ¤ = x − 5 ≥ 0, donde x ≥ 5. J´a no caso da fun¸c˜ ao √ i f (x) = ¤, onde i denota um n´ umero inteiro positivo e ´ımpar, o dom´ınio de f ´e o conjunto de todos os n´ umeros reais, pois agora n˜ao h´a restri¸c˜ ao de que o argumento ¤ seja negativo.

Exercícios Para cada uma das fun¸c˜ oes a seguir, diga qual ´e seu dom´ınio. 22. y = 23. y =

√ √

3x + 3 5−x

24. y = 2x + 1 √ 25. y = 4 − 3x

˜ ˜ 1.2. FUNC ¸ OES E EQUAC ¸ OES

11

H´a diversos outros tipos de fun¸c˜ oes como, por exemplo y = sen(¤), y = 1 log(¤), y = etc. Em todos os casos o leitor deve se perguntar: que tipo de (¤) valores podemos atribuir `a vari´ avel independente de de al forma que a sa´ıda y seja real?

Exemplo 1.7 Qual o dom´ınio da fun¸c˜ ao

1 ? x2 − 1

1 s´ o retornar´a um n´ umero real se x2 − 1 6= 0, ou −1 seja, x 6= 1 e x 6= −1. Experimente fazer x = 1 ou x = −1 para ver o que ocorre. Chegar´a a uma situa¸c˜ ao do tipo 10 e n˜ao teremos um n´ umero real (na matem´atica que usamos) que represente este quociente. Deste modo dizemos que o dom´ınio da fun¸c˜ ao s˜ao todos os x ∈ R tais que x2 − 1 6= 0, ou seja, Df = {x ∈ R : x 6= −1 e x 6= 1}. Solu¸ c˜ ao. A fun¸c˜ ao

x2

Exercícios Para cada uma das fun¸c˜ oes abaixo, diga qual ´e seu dom´ınio. 26. y =

1 x−2

27. y =

x−1 x+3

28. y =

x 2x−5

29. y =

x2 +1 3x+2

Contradom´ınio e Imagem Denotando com Df o dom´ınio de uma fun¸c˜ ao f , chama-se imagem de um subconjunto A ⊂ Df por f ao conjunto f (A) assim definido: f (A) = {f (x) : x ∈ A}, ilustrado na Fig. 1.9. Em particular, o conjunto If = f (Df ) = {f (x) : x ∈ Df } ´e chamado de imagem da fun¸ca˜o f , em vez de “imagem de Df pela fun¸c˜ ao f ”. Observe que If ´e precisamente o dom´ınio da vari´ avel dependente. A defini¸c˜ao de fun¸c˜ ao tamb´em faz referˆencia a “contradom´ınio”, que ´e o conjunto Y onde a vari´ avel dependente y assume seus valores. Mas, cuidado! o contradom´ınio n˜ao ´e necessariamente o dom´ınio da vari´ avel dependente ou im´ agem If . E verdade que ele sempre cont´em If , mas, em geral, cont´em mais elementos, como ilustra a Fig. 1.9. Em nosso estudo podemos entender que todas as fun¸c˜ oes consideradas tenham o conjunto dos n´ umeros reais como contradom´ınio. Assim, a fun¸c˜ ao y = 2x + 1,

12

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Figura 1.9 definida para todo x real, tem imagem coincidente com o contradom´ınio; j´a a fun¸c˜ao y = x2 , tamb´em definida para todo x real, tem por imagem o conjunto dos n´ umeros y ≥ 0, que n˜ao coincide com o contradom´ınio, mas ´e um seu subconjunto pr´oprio.

Nota¸ c˜ ao Como j´a dissemos, ´e costume escrever y = f (x) para indicar que y ´e fun¸c˜ ao de x, e que lemos “y ´e igual a f de x”. Quando lidamos com v´arias fun¸c˜ oes ao mesmo tempo, usamos diferentes letras para distingui-las: f (x), g(x), h(x), etc. A rigor, f (x) ´e o valor da fun¸c˜ ao no ponto x, ou imagem de x, sendo mais correto dizer “seja a fun¸c˜ ao f ” em vez de “seja a fun¸c˜ ao f (x)”, embora, frequentemente, prefira-se esta u ´ltima maneira de falar. Outro modo de indicar uma fun¸c˜ao consiste em escrever f : x 7→ f (x), que se lˆe: “f leva x em f (x)”. Assim, as fun¸c˜oes p y = x2 , y = 3x − 1 e y = 1 − x2 s˜ao tamb´em denotadas, respectivamente, por x 7→ x2 ,

x 7→ 3x − 1

e

x 7→

p

1 − x2 .

Mas, como j´a observamos, para caracterizar uma fun¸c˜ ao n˜ao basta dar a lei que a cada x faz corresponder um y; ´e preciso deixar claro qual ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao. Por isso mesmo, essa nota¸c˜ ao de fun¸c˜ ao que acabamos de introduzir se torna mais completa quando nela inclu´ımos o dom´ınio da fun¸c˜ ao. Assim, uma fun¸c˜ao gen´erica f com dom´ınio D ´e denotada por f : x ∈ D 7→ f (x), nota¸c˜ao esta que deixa claro que cada x no dom´ınio D ´e levado em f (x), que ´e a imagem de x pela f . Quaisquer letras podem ser usadas para denotar as vari´ aveis. Assim, tanto faz escrever y = x2 , s = t2 , x 7→ x2 , ou t 7→ t2 , estamos tratando da mesma fun¸c˜ ao. Os dois exerc´ıcios seguintes s˜ao propositalmente simples. Vocˆe deve apenas encontrar a imagem dos n´ umeros dados. 32. Dado a fun¸c˜ao f (x) =

√

x2 + 1 encontre f (−1) e f (2).

´ ˜ 1.3. GRAFICOS DE FUNC ¸ OES

13

Exercícios 33. Dado a fun¸c˜ao f (x) = 2x + 3 encontre f (−1), f (0) e f (1).

As vezes se faz necess´ario encontrar a imagem de um n´ umero gen´erico, por exemplo, x = 2 + h, x = a + 3, x = s + t etc. Neste caso, basta substituir a vari´avel independente x pela express˜ao dada. Por exemplo, se f (x) = x + 1 ent˜ao f (x + h) = x + h + 1. Nesta linha de racioc´ınio para cada uma das fun¸c˜ oes dadas encontre: a) f (2 + h) b) f (2 + h) − f (2) c)

f (2+h)−f (2) h

Observe se: o resultado final depende do parˆametro h. 34. f (x) = 3x − 1 35. f (x) = 5x − 3

Opera¸c˜ oes com fun¸co ˜es Podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir fun¸c˜ oes de maneira ´obvia, desde que seus dom´ınios sejam √ convenientemente restritos a um dom´ınio comum. Por √ exemplo, y = x e y = 1 − x tˆem dom´ınios x ≥ 0 e x ≤ 1, respectivamente; logo, o produto p √ √ y = x 1 − x = x(1 − x), tem por dom´ınio o intervalo 0 ≤ x ≤ 1, ou [0, 1]. De forma an´aloga podemos tamb´em compor uma fun¸c˜ ao com outra. Por 2 exemplo, se f (x) = x + 1 e g(t) = ln(t) ent˜ ao g(f (x)) = ln(x2 + 1) .

1.3

Gr´ aficos de fun¸co ˜es

O gr´ afico de uma fun¸c˜ ao f ´e o conjunto Gf dos pares ordenados (x, f (x)), onde x varia no dom´ınio de f . Em nota¸c˜ ao de conjunto, isto se exprime assim: Gf = {(x, f (x)) : x ∈ D}, onde D ´e o dom´ınio da fun¸c˜ ao f considerada. A representa¸c˜ ao de todos esses pares (x, f (x)) num plano cartesiano permite uma visualiza¸c˜ ao do gr´afico por meio de uma figura geom´etrica que ´e, em geral, uma curva como ilustra a (Fig. 1.11). Essa curva ´e o gr´ afico da fun¸c˜ ao dada pela equa¸c˜ ao y = f (x), a qual, por sua vez, ´e chamada equa¸c˜ ao da curva.

14

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Um exemplo preliminar Muitas vezes uma equa¸c˜ ao em duas vari´ aveis pode ser resolvida em uma dessas vari´aveis, a qual fica expressa como fun¸c˜ ao da outra. Por exemplo, deixando a vari´avel y no primeiro membro da equa¸c˜ ao y − x = 6, ela aparece claramente como fun¸c˜ao de x na forma y = 6 − x. De modo an´alogo podemos exprimir x como fun¸c˜ao de y: x = y − 6. O gr´afico de uma fun¸c˜ ao y = f (x) pode ser representado num sistema de coordenadas cartesianas, marcando os valores atribu´ıdos a x no eixo horizontal e os correspondentes valores de y = f (x) no eixo vertical. Vamos retomar o exemplo anterior y = 6 − x e escolher como dom´ınio de x os n´ umeros inteiros de −8 a 6, ou seja, D = {−8, −7, · · · , 4, 5, 6}. Em seguida escrevemos esses valores de x e os valores correspondentes de y, bem como os pares (x, f (x)), em trˆes colunas sucessivas, como vemos na tabela Figura 1.10:No eixo Ox os n´umeros seguinte. A Fig. 1.12 mostra o gr´afico correspondente no plano cartesiano.

v˜ao de −8 at´e 6 com um passo de 1 unidade, ou seja, inicia-se em −8 e salta de 1 em 1 unidade at´e chegar em 6.

x −8 −4 0 4

y =x+6 −8 + 6 −4 + 6 0+6 4+6

y −2 2 6 10

(x, y) (−8, −2) (−4, 2) (0, 6) (4, 10)

Se, em vez de considerarmos apenas os inteiros de −8 at´e 6, inclu´ırmos tamb´em os n´ umeros −7, 5, −6, 5, . . ., 4, 5, 5, 5, o dom´ınio da fun¸c˜ ao passa a ser o conjunto D = {−8, −7, 5, −7, −6, 5, · · · , 5, 5, 5, 6}. Agora os pontos do gr´afico aparecem mais juntos, como ilustra a Fig. 1.13. Veja, `a medida que diminu´ımos o distanciamento entre sucessivos valores de x, obtemos pontos cada vez mais pr´oximos no gr´afico; e por fim veremos apenas uma linha e n˜ao mais pontos separados. A linha ser´a obtida quando o conjunto D for um subconjunto dos n´ umeros reais; e nesse caso essa linha ser´a parte de uma reta, como veremos a seguir na considera¸c˜ ao da “fun¸c˜ ao afim”. Figura 1.11:No eixo Ox os n´umeros

Fun¸ c˜ ao linear

v˜ao de −8 at´e 6 com um passo de Chama-se fun¸ c˜ ao afim `a fun¸c˜ ao dada pela equa¸c˜ ao 0, 5 unidades, ou seja, inicia-se em −8 e salta de 0, 5 em 0, 5 unidades y = mx, at´e chegar em 6.

(1.1)

onde m ´e uma constante. O gr´afico dessa fun¸c˜ ao ´e uma reta, como podemos ver da seguinte maneira: escrevemos a equa¸c˜ ao y = mx na forma y m = . x 1 Suponhamos que m seja positivo. Com referˆencia `a Fig. 1.12, isso equivale a dizer que os triˆangulos OAP0 e OBP s˜ao semelhantes, ou seja, o ponto P est´ a na reta OP0 . Fica assim provado que o gr´afico da equa¸c˜ ao y = mx ´e a reta que passa pela origem e pelo ponto P0 . O racioc´ınio no caso em que m < 0 ´e o mesmo e est´a ilustrado na Fig. 1.13. Finalmente, se m = 0, a equa¸c˜ ao se reduz a y = 0, cujas solu¸c˜ oes s˜ao os pontos

´ ˜ 1.3. GRAFICOS DE FUNC ¸ OES

15

Figura 1.12

Figura 1.13

(x, 0), isto ´e, os pontos do eixo Ox; portanto, o gr´afico, neste caso, ´e o pr´oprio eixo Ox.

Coeficiente angular Novamente, observe a Fig. 1.14.. Temos uma reta que passa pelo ponto (a, b) e pela origem (0, 0). Se α for o ˆangulo que esta reta forma com o EixoX do triˆangulo OP0 A temos que b tg(α) = a Esse n´ umero obtido ´e chamado coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (a, b). Usaremos o s´ımbolo m para representar o coeficiente angular, ou seja b m = tg(α) = (1.2) a

Figura 1.14 Agora, pense em um ponto gen´erico (x, y) que pertence `a esta reta. Observando novamente a Fig. 1.14. e olhando agora ara o triˆangulo OP B temos

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

16 que

y x Comparando as equa¸c˜ oes (1.2) e (1.3) podemos concluir que m = tg(α) =

(1.3)

y a = x b de onde temos que

a x. b Por a´ı se vˆe que m ´e agora igual a b/a. Esse quociente b/a ´e, por defini¸c˜ ao, a tangente trigonom´etrica do ˆangulo α que a reta faz com o eixo Ox. Ele ´e conhecido na literatura como coeficiente angular, declividade e declive. Usa-se tamb´em a designa¸c˜ ao de inclina¸c˜ ao, embora esse voc´abulo devesse ser reservado para designar o ˆangulo que a reta faz com o eixo Ox; no entanto, como ele vem sendo usado na literatura, particularmente em programas de computador, vamos nos conformar com esse uso. Pelo exame da Fig. 1.12 vemos que quanto maior o m tanto mais inclinado ser´a o gr´afico de y = mx em rela¸c˜ ao ao eixo Ox. Analogamente, examinando a Fig. 1.14 vemos que tamb´em aqui o n´ umero m indica qu˜ao inclinado est´a o referido gr´afico, mas agora, sendo m negativo, o ˆangulo de inclina¸c˜ao ´e do 2¯o quadrante, mostrando que o gr´afico est´a situado neste e no 4¯o quadrantes. O gr´afico, por´em, ´e tanto mais inclinado quanto maior for o valor absoluto de m. Na p. ppp h´a uma atividade para ser feita com o computador com objetivo de fixar os conceitos aqui tratados. y=

Exercícios Nos exerc´ıcios 36 − 39, encontre a equa¸c˜ao da reta que passa pela origem e o ponto dado. Desenhe em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais cada uma das retas. 36. (0, 0) e (1, 3) 37. (0, 0) e (2, −3)

38. (0, 0) e (−2, 3) 39. (0, 0) e (−1, −3)

Fun¸ c˜ ao afim Consideremos, em seguida, a chamada fun¸c˜ ao afim, dada por y = mx + n,

(1.4)

onde m e n s˜ao constantes. Veja alguns exemplos particulares de uma tal fun¸c˜ ao: y = 3x + 1, y = −2x + 3, y = 5x − 2, y = −2x − 3, y = 2x3 − 5, etc. Para ver que o gr´afico da fun¸c˜ ao afim tamb´em ´e uma reta, como no caso da fun¸c˜ao linear, suponhamos n 6= 0 e denotemos com Y a ordenada de um ponto

´ ˜ 1.3. GRAFICOS DE FUNC ¸ OES

17

gen´erico da reta pela origem com coeficiente angular m e equa¸c˜ ao Y = mx. Em seguida, basta acrescentar n ` a ordenada de cada um dos pontos desta reta para obtermos o gr´afico da fun¸c˜ ao original (Fig. 1.13). Teremos, em particular, y = n quando x = 0, de forma que o gr´afico passa pelo ponto (0, n), isto ´e, corta o eixo Oy no ponto de ordenada n. Esse parˆametro n ´e conhecido como coeficiente linear da reta. O parˆametro m continua tendo a mesma designa¸c˜ ao e o mesmo significado j´a introduzidos no caso de retas pela origem. Como se vˆe, para tra¸car o gr´afico da fun¸c˜ ao (1.2) basta achar um ponto do gr´afico al´em do ponto (0, n). Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1.8 Como tra¸car o gr´ afico de y = 3x − 2? Solu¸ c˜ ao. Para x = 0, y = −2; e para x = 1, y = 1. O gr´afico passa pelos pontos (0, −2) e (1, 1), como ilustra Fig. 1.14. Exemplo 1.9 Como tra¸car o gr´ afico de y = −2x + 3? Solu¸ c˜ ao. Para x = 0, y = 3; e para x = 1, y = 1. O gr´afico passa pelos pontos (0, 3) e (1, 1) (Fig. 1.15). Exemplo 1.10 Como tra¸car o gr´ afico de y = 3x/2 − 1? Solu¸ c˜ ao. Al´em de (0, −1), outro ponto do gr´afico pode ser obtido fazendo x = 2, que resulta em y = 2 (Fig. 1.16). Exemplo 1.11 Como tra¸car o gr´ afico de y = −2x/3 + 3? Solu¸ c˜ ao. Agora ´e conveniente fazer x = 3, resultando no ponto (3, 1). O gr´afico passa por esse ponto e por (0, 3), como se vˆe na Fig. 1.17.

Figura 1.16

Figura 1.17

Observa¸ c˜ ao. Embora haja uma diferen¸ca entre “fun¸c˜ ao afim” e “fun¸c˜ ao linear”, os matem´aticos profissionais costumam usar a mesma designa¸c˜ ao de “fun¸cao linear” em ambos os casos; ´e, por assim dizer, um abuso de linguagem, justificado pelo fato de que, tanto num caso como no outro, o gr´afico dessas fun¸c˜ oes ´e sempre uma reta; e ´e freq¨ uente e cˆomodo falar em “aproxima¸c˜ ao linear” `aquela que ´e dada pela reta tangente a uma curva num de seus pontos, reta essa que

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

18

Figura 1.18

Figura 1.19

Exercícios ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ ao afim. Seguiremos sempre o costume dos matem´aticos profissionais. Nos exerc´ıcios 40 − 43, fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de cada uma das fun¸c˜ oes. Para tal, leve em conta o que foi discutido, ou seja, fa¸ca o gr´afico inicial de y = mx e depois desloque o gr´afico verticalmente em n unidades. 40. y = 4x + 1

42. y = x − 7

41. y = − 41 x − 5

43. y = −4x − 3

Reta por dois pontos Vimos como encontrar o gr´afico de uma fun¸c˜ ao afim, que ´e sempre uma reta. Reciprocamente, dada uma reta no plano cartesiano, que n˜ao seja paralela ao eixo Oy, ela ´e sempre o gr´afico de uma fun¸c˜ ao afim. Para obter a equa¸c˜ ao que define essa fun¸c˜ao — equa¸c˜ ao essa que ´e chamada equa¸ca ˜o da reta — basta conhecer dois pontos quaisquer da reta. Com efeito, sejam P0 = (x0 , y0 ) e P1 = (x1 , y1 ) esses pontos; e seja P = (x, y) um ponto gen´erico da reta. Ent˜ ao, a semelhan¸ca dos triˆangulos P0 AP1 e P0 BP na Fig. (1.18) permite escrever AP1 BP = , P0 B P0 A donde segue-se que

y1 − y0 y − y0 = . x − x0 x1 − x0 Observe que este segundo membro j´a ´e o coeficiente angular m. A equa¸c˜ ao na forma y = mx + n resulta dessa u ´ltima equa¸c˜ ao. Vamos ilustrar isso por meio de exemplos.

´ ˜ 1.3. GRAFICOS DE FUNC ¸ OES

19

Figura 1.20 Exemplo 1.12 Encontrar a equa¸c˜ ao da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, 5). Solu¸ c˜ ao. O leitor deve fazer um gr´afico desses pontos e da reta que passa por eles. Temos: y−2 5−2 3 = = = m, x−1 3−1 2 donde 3 3x 1 y − 2 = (x − 1), donde y = + . 2 2 2

Exemplo 1.13 Encontrar a equa¸c˜ ao da reta que passa pelos pontos (−1, 5) e (3, −4). Solu¸ c˜ ao. Novamente deixamos ao leitor a tarefa de fazer um gr´afico desses pontos e da reta que passa por eles. Temos: −4 − 5 −9 y−5 = = = m, x − (−1) 3 − (−1) 4 donde y−5= ou seja, y =

−9 (x + 1), 4

donde y =

−9x 9 +5− , 4 4

−9x 11 + . 4 4

Exercícios Nos exerc´ıcios 44−50, encontre a equa¸c˜ao da reta que passa pelos pontos indicados. 44. (0, 7) e (1, 3).

47. (1, −3) e (1/2, 2/3).

50. (2/3, −3) e (−3/2, 2/3).

45. (−1, 4) e (2, 3).

48. (2/3, −3) e (−3/2, 2/3).

46. (−1, −3) e (1, 3).

49. (1, −3) e (1/2, 2/3).

20

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Equa¸ c˜ ao da reta a partir de seu declive e um de seus pontos A equa¸c˜ao que define a fun¸c˜ ao afim, ou seja, y = mx + n ´e muito usada para obter a equa¸c˜ ao da reta dada por um de seus pontos e declive m. Para isso observe que se a reta deve passar por um dado ponto P0 = (x0 , y0 ), ent˜ao, a equa¸c˜ao anterior deve ficar satisfeita quando nela substitu´ımos x e y por x0 e y0 respectivamente, isto ´e, y0 = mx0 + n. Subtraindo esta equa¸c˜ ao da anterior obtemos y − y0 = m(x − x0 ).

(1.5)

Exemplo 1.14 Vamos encontrar a equa¸c˜ ao da reta de declive m = −2/3, passando pelo ponto (3/2, −3/2). Solu¸ c˜ ao. Para isso basta substituir esses dados na equa¸c˜ ao anterior, donde vem µ ¶ −3 −2 3 y− = x− . 2 3 2 Simplificando chegamos `a equa¸c˜ ao desejada, y=−

2x 1 − , 3 2

cujo gr´afico est´a ilustrado na Fig. 1.23.

1.4

A circunferˆ encia

A equa¸c˜ao da circunferˆencia de centro P0 = (x0 , y0 ) e raio R (Fig. 1.21) ´e prontamente obtida por simples aplica¸c˜ ao do teorema de Pit´agoras ao triˆangulo P0 P A: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .

(1.6)

Figura 1.21 Vamos considerar v´arios exemplos simples de fun¸c˜ oes cujos dom´ınios s˜ao intervalos fechados e cujos gr´aficos s˜ao semi-circunferˆencias.

ˆ 1.4. A CIRCUNFERENCIA

21

Exemplo 1.15 Verifique que a equa¸c˜ ao x2 + y 2 − 9 = 0 representa uma circunferˆencia. Identifique o centro e o raio dessa circunferˆencia, e fa¸ca um desenho ilustrativo dela. Resolva a equa¸c˜ ao para obter y como fun¸c˜ ao de x. Solu¸ c˜ ao. Observamos que esta u ´ltima equa¸c˜ ao ´e do mesmo tipo da Eq. (1.6), bastando identificar (x0 , y0 ) com (0, 0) e tomar R = 1. Sendo assim, a equa¸c˜ ao dada representa a circunferˆencia de raio 1 e centro na origem dos eixos de coordenadas (Fig. 1.22). Para resolver a equa¸c˜ ao em y, primeiro obtemos y 2 = 9 − x2 ; e extraindo a

Figura 1.22 raiz quadrada de ambos os membros chegamos a duas solu¸c˜ oes: p p y = 9 − x2 e y = − 9 − x2 .

(1.7)

Cada uma destas solu¸c˜ oes representa uma fun¸c˜ ao, ambas com o mesmo dom´ınio, o qual ´e determinado notando que que a express˜ao 9 − x2 n˜ ao pode ser negativa, pois temos de extrair sua raiz quadrada. Isto significa que o referido dom´ınio ´e o conjunto que resulta da resolu¸c˜ ao da inequa¸c˜ ao 9 − x2 ≥ 0,

ou seja, x2 ≤ 9.

Aqui n˜ao podemos simplesmente extrair a raiz quadrada e escrever x ≤ 3. O procedimento correto est´a explicado na p. ?? Veja: x2 ≤ 9 ⇔ |x|2 ≤ 9 ⇔ |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3. Assim, nossas fun¸c˜ oes tˆem por dom´ınio o intervalo −3 ≤ x ≤ 3, facilmente identific´avel na Fig. 1.20. Repare que a primeira das fun¸c˜ oes em (1.7) tem por gr´afico a semi-circunferˆencia superior y ≥ 0, enquanto o gr´afico da segunda fun¸c˜ ao ´e a semi-circunferˆencia inferior y ≤ 0. Observa¸ c˜ ao. A equa¸c˜ ao x2 + y 2 − 9 = 0 do Exemplo anterior ´e do tipo f (x, y) = 0. Tivemos de resolver essa equa¸c˜ ao para “explicitar” y com fun¸c˜ ao de x. Por causa disso dizemos que equa¸c˜ oes do tipo f (x, y) = 0 definem y implicitamente como fun¸c˜ ao de x; ou que y ´e fun¸c˜ ao impl´ıcita de x. Damos a seguir mais alguns exemplos de fun¸co˜es definidas impl´ıcitamente por equa¸c˜ oes de circunferˆencias.

22

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Exemplo 1.16 Vamos identificar a circunferˆencia de equa¸ca ˜o (x−1)2 +y 2 −4 = 0 e discutir as fun¸c˜ oes y de x definidas por essa equa¸c˜ ao. Solu¸ c˜ ao. Novamente comparamos a equa¸c˜ ao dada com a Eq. (1.6); percebemos ent˜ao que (x0 , y0 ) = (1, 0) e R = 2. Dessa maneira, como no exemplo anterior, essa equa¸c˜ao representa uma circunferˆencia, agora com raio 2 e centro no ponto C = (1, 0) (Fig. 1.23). Para resolver a equa¸c˜ ao em y, primeiro obtemos y 2 = 4 − (x − 1)2 , Figura 1.23

equa¸c˜ao esta que admite as duas solu¸c˜ oes seguintes: p p y = 4 − (x − 1)2 e y = − 4 − (x − 1)2 . Essas fun¸c˜oes tˆem o mesmo dom´ınio, que ´e o conjunto dos pontos x tais que 4 − (x − 1)2 ≥ 0,

donde

(x − 1)2 ≤ 4.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros dessa inequa¸c˜ ao encontramos |x − 1| ≤ 2,

donde segue-se que

−2≤x−1≤2

e, finalmente, adicionando uma unidade aos trˆes membros desta u ´ltima inequa¸c˜ ao (na verdade, duas inequa¸c˜ oes), vem o resultado desejado: −1 ≤ x ≤ 3. Podemos dizer ent˜ ao que o dom´ınio das fun¸c˜ oes ´e o intervalo fechado [−1, 3], o qual pode ser facilmente identificado na Fig. 1.21. Como no exemplo anterior, as duas fun¸c˜ oes aqui definidas tˆem por gr´aficos semi-circunferˆencias: o gr´afico da primeira fun¸c˜ ao ´e a semi-circunferˆencia que jaz no semi-plano superior y ≥ 0, e o da segunda ´e a semi-circunferˆencia do plano inferior y ≤ 0. Exemplo 1.17 Vamos identificar a circunferˆencia de equa¸ca ˜o x2 +(y −1)2 −4 = 0 e proceder a uma discuss˜ ao das fun¸c˜ oes que ela define como nos exemplos anteriores. Solu¸ c˜ ao. Novamente uma simples compara¸c˜ ao com a Eq. (1.6) revela tratar-se da circunferˆencia de centro (x0 , y0 ) = (0, 1) e raio R = 2 (Fig. 1.24). Para resolver a equa¸c˜ ao em y, primeiro obtemos (y − 1)2 = 4 − x2 ; e desta equa¸c˜ao obtemos as duas solu¸c˜ oes seguintes: p p y = 1 + 4 − x2 e y = 1 − 4 − x2 . Essas fun¸c˜oes tˆem o mesmo dom´ınio, que ´e o intervalo fechado |x| ≤ 2, [−2, 2],vis´ıvel na Fig. (1.22). Os gr´aficos dessas duas fun¸c˜ oes s˜ao as semicircunferˆencias do semi-plano superior y ≥ 1 e inferior y ≤ 1, respectivamente.

Figura 1.24

Vamos finalmente considerar uma situa¸c˜ ao mais geral, em que o centro da circunferˆencia ´e um ponto fora dos eixos.

ˆ 1.4. A CIRCUNFERENCIA

23

Exemplo 1.18 Identificar a circunferˆencia de equa¸c˜ ao (x+3)2 +(y−2)2 −25 = 0 e estudar as fun¸co ˜es que ela define. Solu¸ c˜ ao. Observe que x + 3 = x − (−3), o que nos leva a considerar a circunferˆencia de centro C = (−3, 2) e raio 5 (Fig. 1.25). Resolvida em rela¸c˜ ao a y, a equa¸c˜ ao assim se transforma:

Figura 1.25 (y − 2)2 = 25 − (x + 3)2 ,

p donde y − 2 = ± 25 − (x + 3)2 .

Daqui obtemos duas solu¸c˜ oes: p y = 2 + 25 − (x + 3)2

e

y =2+

p

25 − (x + 3)2 .

Com a experiˆencia j´a adquirida nos exemplos anteriores o leitor n˜ao deve ter dificuldades em terminar a discuss˜ao. Notamos apenas como obter o dom´ınio das duas fun¸c˜oes obtidas: 25 − (x + 3)2 ≥ 0 ⇔ (x + 3)2 ≤ 25 ⇔ |x + 3| ≤ 25 ⇔ −5 ≤ x + 3 ≤ 5. Finalmente, −8 ≤ x ≤ 2, ou seja, o dom´ınio ´e o intervalo [−8, 2].

Exercícios Nos exerc´ıcios 48−52, identifique o centro e o raio da circunferˆencia dada comparando a equa¸c˜ao com a vista em (1.6) p.20. Fa¸ca um desenho da circunferˆencia e escreva y como fun¸c˜ao de x. 48. x2 + y 2 = 16

50. x2 + (y + 3)2 = 1

52. (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25

49. (x − 1)2 + y 2 = 9

51. (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4

53. (x + 1/3)2 + (y − 1/4)2 = 5

24

1.5

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

A par´ abola

Chama-se fun¸c˜ ao quadr´ atica aquela que ´e dada por um trinˆomio do 2¯o grau, isto 2 ´e, y = ax + bx + c, onde a, b e c s˜ao constantes e a 6= 0. Vamos come¸car com a fun¸c˜ao quadr´atica mais simples, dada pela equa¸c˜ ao y = f (x) = x2 , que est´a definida para todo n´ umero real x. Vamos calcular os valores dessa fun¸c˜ ao para diferentes valores de x: f (1) f (0) f (1/2) f (3/2) f (2) f (5/2)

= 12 = 02 = (1/2)2 = (3/2)2 = 22 = (5/2)2

= = = = = =

1, 0, 1/4 9/4, 4 25/4.

Notemos tamb´em que f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x). Isto facilita o c´alculo de valores da fun¸c˜ao para valores negativos de x. Observe: f (−1) = (−1)2 = 1 = 12 = f (1), f (−2) = (−2)2 = 4 = 22 = f (2), etc. Vemos, pois, que est˜ao no gr´afico da fun¸c˜ ao os pontos (0, 0), (±1/2, 1/4), (±1, 1), (±3/2, 9/4), (±2, 4), (±5/2, 25/4).

Figura 1.26 Esses pontos, marcados no plano, d˜ao uma boa id´eia do gr´afico da fun¸c˜ ao (Fig. 1.26). Trata-se de uma curva sim´etrica em rela¸c˜ ao ao eixo Oy; vale dizer, se o ponto (a, b) jaz sobre a curva, o mesmo ocorre com o ponto (−a, b). Isso traduz o fato de que f (x) = x2 ´e fun¸ca ˜o par, assim chamada toda fun¸c˜ ao que goza da propriedade f (−x) = f (x).

´ 1.5. A PARABOLA

25

Enquanto o dom´ınio da fun¸c˜ ao ´e todo o eixo real, sua imagem ´e o semi-eixo positivo. Assim, quando x varia de zero a −∞, f (x) varia de zero a +∞; e f (x) cobre novamente os valores de zero a +∞ quando x varia de zero a +∞. A curva que acabamos de construir chama-se par´ abola. Ela ´e objeto de estudo mais detalhado em cursos de geometria anal´ıtica. Aqui faremos apenas um estudo parcial, suficiente para os prop´ositos de nosso curso de C´alculo.

Reflex˜ oes e transla¸co ˜es verticais Vamos considerar exemplos de fun¸c˜ oes cujos gr´aficos podem ser obtidos a partir 2 do gr´afico de y = x , todos esses gr´aficos sendo par´abolas. Repare que a fun¸c˜ ao y = −x2 difere da anterior apenas no sinal, que agora ´e negativo. Em vista disso, seu gr´afico ´e obtido por uma simples reflex˜ao do gr´afico de y = x2 com rela¸c˜ ao ao eixo Ox; vale dizer, cada ponto (a, b) do gr´afico de y = x2 ´e levado no ponto (a, −b) do gr´afico de y = −x2 (Fig. 1.27). Figura 1.27

De modo an´alogo, ´e f´acil ver que os gr´aficos de fun¸c˜ oes como y = x2 + 2 e 2 y = x − 3 est˜ao relacionados com o gr´afico da fun¸c˜ ao original y = x2 . Eles s˜ao obtidos por transla¸c˜ oes do gr´afico desta u ´ltima fun¸c˜ ao ao longo do eixo Oy: o primeiro por transla¸c˜ ao de 2 unidades (portanto, na dire¸c˜ ao positiva de Oy), e o segundo por transla¸c˜ ao de −3 unidades (portanto, na dire¸c˜ ao negativa de Oy), ilustrados nas Figs. 1.28 e 1.29, respectivamente.

Figura 1.28

Figura 1.29

Par´ abolas mais abertas e mais fechadas Consideremos agora a fun¸c˜ ao y = 2x2 . Como se pode perceber, a ordenada de cada abscissa x de seu gr´afico ´e o dobro da ordenada da abscissa x do gr´afico de y = x2 . Em outras palavras, para se obter o gr´afico da fun¸c˜ ao aqui considerada basta multiplicar por 2 as ordenadas do gr´afico da fun¸c˜ ao original y = x2 2 (Fig. 1.30). Analogamente, o gr´afico de y = x /2 ´e obtido dividindo por 2 as

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˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

ordenadas do gr´afico de y = x2 (Fig. 1.31).

Figura 1.30

Figura 1.31

De um modo geral, o gr´afico de qualquer fun¸c˜ ao do tipo y = kx2 ´e obtido pela multiplica¸c˜ao das ordenadas do gr´afico da fun¸c˜ ao original y = x2 pela constante k. (Veja as Figs. 1.32) O gr´afico ´e tanto mais “fechado” quanto maior o valor absoluto de k; e tanto mais “aberto” quanto menor o valor absoluto dessa constante k; ter´a a concavidade voltada para cima se k > 0, e voltada para baixo se k < 0.

Figura 1.32

´ 1.5. A PARABOLA

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Exercícios Para os exerc´ıcios 53 − 56, fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao dada sem atribuir diversos valores para x como feito na p.23. Vocˆe deve levar em conta que o gr´afico ser´a uma transla¸c˜ao vertical do gr´afico de y = x2 ou y = −x2 .

53. y = x2 + 5

55. y = x2 − 2

54. y = −x2 + 1

56. y = −x2 − 2

Para os exerc´ıcios 57 − 60, fa¸ca um desenho inicial, pontilhado do gr´afico de y = x2 e y = −x2 e se orientando por esta curva fa¸ca um esbo¸co (sem usar nenhuma tabela de valores) para as seguintes fun¸c˜ oes: 57. y = 3x2

58. y = −x2 /2

59. y = − 32 x2 − 2

60. y = 23 x2 + 3

Transla¸ c˜ oes horizontais Vamos analisar agora o efeito sobre o gr´afico da fun¸c˜ ao y = x2 quando trocarmos x por x − k, isto ´e, desejamos obter o gr´afico de y = (x − k)2 a partir do gr´afico de y = x2 . O efeito ´e uma transla¸c˜ ao horizontal de k unidades. Por exemplo, y = (x−2)2 resulta do gr´afico de y = x2 por uma transladado de magnitude 2 para a direita (Fig. 1.33). A l´ogica ´e a seguinte: x = 2 produz em y = (x − 2)2 o mesmo efeito que x = 0 produz em y = x2 ; x = 3 produz em y = (x − 2)2 o mesmo efeito que x = 1 produz em y = x2 ; e assim por diante.

Figura 1.33 Considere agora a fun¸c˜ ao y = (x + 3)2 . Nela o valor x = −3 produz o mesmo efeito que x = 0 em y = x2 , de sorte que se trata aqui de uma transla¸c˜ ao de 3 unidades para a esquerda, ou seja, de magnitude −3. Assim, o gr´afico de y = (x + 3)2 ´e o gr´afico de y = x2 transladado 3 unidades para a esquerda (Fig. 1.34).

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

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Figura 1.34

Uma variedade de par´ abolas Podemos combinar transla¸c˜ oes horizontal e vertical, juntamente com multi2 plica¸c˜ao de x por um n´ umero k. Deixaremos tudo isso para os exerc´ıcios.

Figura 1.35

Exercícios Para os exerc´ıcios 61 − 64, fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao dada sem atribuir diversos valores para x como feito na p.23. Vocˆe deve levar em conta que o gr´afico ser´a uma transla¸c˜ao horizontal (e/ou vertical) do gr´afico de y = x2 . 61. y = (x − 1)2 62. y = (x + 4)2

63. y = (x − 2)2 − 2 64. y = (x + 3)2 + 1

´ 1.5. A PARABOLA

A par´ abola y =

√

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x

Encontramos um outro exemplo de par´abola no gr´afico da fun¸c˜ ao √ y = x. cujo dom´ınio de defini¸c˜ ao ´e o conjunto dos pontos x ≥ 0. N˜ao podemos admitir x < 0, visto que os n´ umeros negativos n˜ao tˆem raiz quadrada real. A imagem dessa fun¸c˜ao ´e tamb´em o conjunto dos n´ umeros y ≥ 0, como vemos pela pr´opria f´ormula que define a fun¸c˜ ao. √ Elevando y = x ao quadrado, obtemos x = y 2 . Portanto, se considerarmos x como fun¸c˜ao de y mediante x = y 2 , com y ≥ 0, obteremos o gr´afico da Fig. 1.36. (Repare que aqui o eixo horizontal ´e Oy e o vertical ´e Ox).

Figura 1.36

√ Observe que b = a ⇔ a = b2 , de sorte que o ponto (a, b) estar´a no gr´afico √ da fun¸c˜ao x 7→ x se e somente se o ponto (b, a) estiver no gr´afico da fun¸c˜ ao x 7→ x2 . Mas os pontos (a, b) e (b, a) s˜ao sim´etricos relativamente `a reta y = x, como revela um argumento geom´etrico elementar. Isso mostra que os gr´aficos das duas fun¸c˜oes consideradas s˜ao obtidos um do outro por reflex˜ao na reta y = x (Fig. 1.37).

Figura 1.37 As fun¸c˜oes consideradas, x 7→ da outra.

√ x e x 7→ x2 , x ≥ 0, s˜ao cada uma a inversa

A mesma id´eia usada para construir gr´aficos de fun¸c˜ oes quadr´aticas usando transla¸c˜ao horizontal e vertical pode ser usada, como na conclus˜ao da p.28 pode ser aplicada na constru¸c˜ ao de gr´aficos de uma variedade de gr´aficos de fun¸c˜ oes √ √ √ que envolve .. Por exemplo: y = x + 2 ´e ´e o gr´afico de y = x deslocado √ √ verticalmente 2 unidades. J´a o gr´afico de y = x + 3 ´e o gr´afico de y = x deslocado horizontalmente para esquerda em 3 unidades. √ Ainda ´e poss´ıvel fazer combina¸c˜ oes como: y = x − 2 − 3 que ´e o gr´afico de √ √ y = x deslocado 2 unidades para a direita e 3 unidades para baixo; y = x ´e o √ √ √ gr´afico de y = x refletido em torno do EixoY; y = − x ´e o gr´afico de y = x refletido em torno do EixoX e assim por diante. Nesta linha de racioc´ınio podemos construir gr´aficos diversos sem precisar usar pontos diversos. Apenas levando em conta uma curva inicial e opera¸c˜ oes feitas como reflex˜ao e transla¸c˜ ao.

˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

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√ Exemplo 1.19 Como seria o gr´ afico de y = − x + 1 − 4? √ √ Solu¸ c˜ ao. Ora, partindo inicialmente de y = x, temos que √ y = x + 1 ´e a transla¸c˜ao do gr´afico 1 unidade para a esquerda. Da´ı, √y = − x + 1 reflete o u ´ltimo gr´afico em torno do eixo Oy e por fim y = − x + 1 − 4 translada o u ´ltimo 4 unidades para baixo. Ao final ficar´a com um gr´afico como mostrado na Fig. 1.38.

Figura 1.38

Exercícios Para os exerc´ıcios 65 − 76, fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao dada sem atribuir diversos valores para x, apenas levando em conta reflex˜ao e transla¸c˜ao da fun¸c˜ao √ y = x, como mostrado na se¸c˜ao anteiror. √ 65. y = − x. √ 66. y = 2 − x. √ 67. y = x − 2 √ 68. y = x − 2. √ 69. y = x + 1. √ 70. y = 2 + x

√ 71. y = −1 + x. √ 72. y = 3 + x − 2. √ 73. y = −x √ 74. y = − −x. √ 75. y = − 2 − x √ 76. y = − −x − 3.

Atividades com uso de recursos tecnol´ ogicos Primeiro contato com o GeoGebra Caro leitor, para que possamos estabelecer um di´alogo ´e necess´ario que saiba os nomes de cada parte do software que usaremos. O nome do software ´e GeoGebra (www.geogebra.at), e ele ´e livre (ou seja, vocˆe pode us´a-lo sem precisar pagar nada). Este software foi ganhador de diversos prˆemios internacionais4 e ´e o produto de uma tese de doutorado do professor Markus Hohenwarter. Ao abrir o software ir´a se deparar com uma janela como a que aparece na Fig. 1.39.

Figura 1.39: Janela do GeoGebra O conjunto de bot˜oes que chamaremos de BARRA DE FERRAMENTAS ´e o que aparece na figura a seguir e cada um deles d´a acesso a v´arias ferramentas. Esta barra oferece uma forma de comandar o software. Para tal, basta clicar no rodap´e do bot˜ao ou perto de um pequeno triˆangulo na forma ∇. Uma outra forma de comandar o software ´e via CAMPO ENTRADA. (Fig. 1.41). A maioria das fun¸c˜ oes existentes na BARRA DE FERRAMENTAS pode ser acessada via comando escrito atrav´es do CAMPO ENTRADA. Quando 4

Acesse www.geogebra.at e clique em Sobre.

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˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Figura 1.40: Barra de Feramentas do GeoGebra se inicia a escrita de um comando ele automaticamente tenta prever o que se quer digitar e prop˜oe um comando. Se for o que quer escrever, basta apertar a tecla ENTER e o cursor vai automaticamente para entre os [] onde dever´ a digitar o argumento do comando. Como exemplo comece a escrever Inclina¸ c~ ao[] no CAMPO ENTRADA observe o resultado.

Figura 1.41: Campo Entrada H´a duas janelas importantes: a Janela de Visualiza¸c˜ ao, onde os objetos ´ gr´aficos s˜ao exibidos e a Janela de Algebra onde as informa¸c˜ oes alg´ebricas dos objetos que est˜ao na Janela de visualiza¸c˜ ao s˜ao exibidos (figura 1.42)

Janela de Álgebra Janela de Visualização

´ Figura 1.42: Janelas de Visualiza¸c˜ ao e Algebra Nas atividades que seguem ser˜ao apresentadas instru¸c˜ oes que dever˜ ao ser feitas com o GeoGebra. Na medida que o conhecimento de mais recursos for requerido, estes ser˜ao apresentados.

Uma atividade simples usando a BARRA DE FERRAMENTAS Uma ferramenta ´e ativada simplesmente clicando sobre o ´ıcone que a representa na BARRA DE FERRAMENTAS. Por exemplo: 1. Ative a ferramenta NOVO PONTO e clique em qualquer local da ˜ JANELA DE VISUALIZAC ¸ AO. Os pontos A e B ser˜ ao criados. ggbbotao0101.eps 2. Ative a ferramanta RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS e clique sobre os pontos A e B seguidamente. Se tudo correr bem, estar´a com algo semelhante ao que se encontra na Fig.1.43.

´ 1.5. A PARABOLA

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3. Ative a ferramanta MOVER (ou aperte a tecla ESC do teclado), clique sobre um dos ponto (A ou B) e arraste-os. Veja o que ocorre com ´ a equa¸c˜ao da reta na JANELA DE ALGEBRA.

Figura 1.43

Uma atividade simples usando o CAMPO ENTRADA Fa¸camos exatamente a mesma atividade que a anterior, mas usando o CAMPO ENTRADA. Uma das vantagens dos comandos escritos ´e a precis˜ao. Se tentar usar a ferramenta NOVO PONTO para colocar um ponto em uma coordenada espec´ıfica ter´a dificuldades em ajustar a posi¸c˜ ao do ponto. Para perceber um pouco o potencial do CAMPO ENTRADA, siga as instru¸c˜ oes. 1. Abra uma nova janela. Para isto clique em ARQUIVO e depois em NOVA JANELA. 2. Digite no CAMPO ENTRADA: (1,1). Um ponto A aparecer´a. 3. Digite no CAMPO ENTRADA: (3,2). Um ponto B aparecer´a. 4. Digite no CAMPO ENTRADA: Reta[A,B]. Uma reta a aparecer´a. 5. Compare com o desenho anterior e verifique se o resultado ´e o mesmo. 6. Clique com o bot˜ao direito do mouse sobre a equa¸c˜ ao da reta e modifique sua forma (veja Fig. 1.44). Aperte ESC e volte a movimentar um dos pontos e observe o que ocorre.

Inclina¸ c˜ ao da reta A atividade que segue tem por objetivo fixar a id´eia de inclina¸c˜ ao de uma reta e dever´a ser feita com o GeoGebra. Os comandos dever˜ ao ser escritos no CAMPO ENTRADA e apertado ENTER logo em seguida. Ressaltamos que a l´ogica da sintaxe ´e: nome=Comando[argumento]. Fa¸ca o seguinte: 1. Abra uma Nova Janela. 2. Digite: A=(1,1). posi¸c˜ao (1, 1). 3. Digite: B=(3,2).

Depois de apertar ENTER aparecer´a o ponto A na

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˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS

Figura 1.44 4. Agora queremos uma reta que passa pelos pontos A e B. Queremos ainda que o nome desta reta seja r. Para tal, digite no CAMPO ENTRADA: r=Reta[A,B]. 5. Queremos que m seja a inclina¸c˜ ao da reta r e para tal escrevemos no CAMPO ENTRADA: m=inclina¸ c~ ao[r] Se tudo correr bem o leitor obter´a um gr´afico como ilustra a Fig. 1.45. Observe o que ´e a inclina¸c˜ ao m. Agora, aperte a tecla ESC e arraste o ponto B de forma a fazer a reta ficar mais inclinada (uma subida mais ´ıngrime se andar da esquerda para a direita). Feito isto, fa¸ca com que o ponto B fique abaixo do ponto A. A inclina¸c˜ao agora ´e positiva ou negativa? Certifique-se que entendeu o conceito antes de prosseguir. Figura 1.45: atividade

Tela ao final da Observa¸ ´ c˜ ao 1.1 Note que na JANELA DE ALGEBRA ´e poss´ıvel acompanhar a equa¸c˜ ao da reta, as coordenadas dos pontos A e B e a inclina¸c˜ ao.

Gr´ afico de y = mx + n Nesta atividade que ser´a feita com o GeoGebra o objetivo ser´a a fixa¸c˜ ao do que foi discutido. Vocˆe dever´ a perceber que uma reta com a forma y = mx ´e uma reta que passa pela origem onde a inclina¸c˜ ao ´e m e que y = mx + n ´e uma reta paralela `a y = mx que cruza com o EixoY no ponto (0, n). Siga as instru¸c˜oes abaixo: 1. Ative a ferramenta SELETOR (Bot˜ao 9) e clique onde quer que apare¸ca o seletor. Na janela que aparecer´a estar˜ao as propriedades deste seletor. Nesta atividade usaremos o que ´e oferecido como padr˜ao, exeto o nome. No campo nome digite: m. Clique em APLICAR. (veja Fig. 1.46) 2. Crie um outro seletor com nome n. Figura 1.46: Janela de op¸c˜oes para SELETOR.

3. No CAMPO ENTRADA digite: r:y=m*x+n. Com isto criamos uma reta de nome r cuja lei de forma¸c˜ ao ´e y = mx + n.

´ 1.5. A PARABOLA

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4. Aperte a tecla ESC em seu teclado para ativar a ferramenta MOVER (Bot˜ao 1). Arraste o seletor que est´a com o valor do parˆametro n. Veja o que ocorre com a reta. Esse parˆametro m ´e ent˜ ao respons´avel por uma transla¸c˜ ao vertical da reta. Certifique-se que entendeu o conceito. Acompanhe a equa¸c˜ ao ´ da reta na Janela de Algebra. 5. Agora queremos que seja exibido a inclina¸c˜ ao da reta r. Para isto escreva no CAMPO ENTRADA: a=Inclina¸ c~ ao[r]. Ser´a mostrado adicionalmente a inclina¸c˜ao na vari´ avel a. Modifique o valor do parˆametro n usando o seletor e veja a rela¸c˜ ao que existe entre a inclina¸c˜ ao a e o coeficiente da vari´ avel independente x. O que vocˆe conclui? 6. N˜ao importa o valor de n, a reta y = mx + n passa pelo EixoY no ponto (0, n). Para se convencer disto no campo entrada digite: P=(0,n). Veja onde o ponto apareceu. Modifique o valor de n e se conven¸ca desta propriedade. Note que para construir o gr´afico de uma reta na forma y = mx + n s˜ ao necess´arios dois pontos e um deles ´e simples de se conhecer: o ponto de interse¸c˜ ao com o EixoY.

Figura 1.47: Vis˜ao final.

Gr´ aficos de fun¸co ˜es 1. Veja como ´e o gr´afico da fun¸c˜ ao y = x + 6. Para isto no campo entrada digite: f(x)=x+6. Este exemplo foi discutido na se¸c˜ ao anterior. O que nota ´ com respeito ao gr´afico? E formado por pontos separados ou ´e uma linha cont´ınua? Agora fa¸ca o seguinte: (a) No CAMPO ENTRADA digite: Ponto[EixoX]. Um ponto ser´a criado sobre o EixoX e pode ser movimentado sobre este eixo. (b) Agora marcaremos um ponto na forma (x, f (x)). A abscissa do ponto A ´e x(A). Escreva no CAMPO ENTRADA: (x(A),f(x(A))). Um ponto apareceu sobre a curva. Movimente o ponto A sobre o EixoX. Para alguma posi¸c˜ ao do ponto A o ponto B desaparece? Por quˆe?

Figura 1.48: Clique sobre o ponto A, mova-o sobre o EixoX e observe o ponto B

√ 2. Agora, vejamos a outra fun¸c˜ ao discutida no texto: y = 30 − x. Aproveitaremos a constru¸c˜ ao feita anteriormente. A fun¸c˜ ao raiz quadrada √ ( a) ´e chamada no software assim: sqrt(a). Desta forma, digite: f(x)=sqrt(30-x). Use a rodinha do mouse para ajustar o gr´afico `a janela. Com a ferramenta MOVER EIXOS ativada tamb´em ´e poss´ıvel transladar o gr´afico. Nesta atividade deve notar que se o ponto B est´a na tela, a imagem do ponto A existe e assim a fun¸c˜ ao est´a definida. Onde o ponto B desaparece ´e porque n˜ao est´a no dom´ınio da fun¸c˜ ao. √ 3. Mude a fun¸c˜ ao para y = x. Para isto digite no Campo ENTRADA y=sqrt(x). Para quais valores fun¸c˜ ao n˜ ao est´ √a definida? Fa¸ca o √ de x esta √ mesmo para as fun¸c˜ oes y = x + 4, y = x + 4 e y = x2 + 4. Obs: para esta u ´ltima escreva y=\sqrt(x^2+4). Tente mostrar algebricamente o que observou, como feito nos exemplos acima. 4. O exemplo 5 da√u ´ltima se¸c˜ ao n˜ao possui ilustra¸c˜ ao. Veja como ´e o gr´afico de y = 9 − x2 . Escreva no Campo ENTRADA

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˜ ˜ ´ CAP´ITULO 1. FUNC ¸ OES, EQUAC ¸ OES E GRAFICOS y=sqrt(9-x^2). Tente entender usando a visualiza¸c˜ ao geom´etrica, o que ocorre se x > 3 ou x < −3.

Transla¸c˜ ao Vertical Considere a par´abola y = x2 + c. O objetivo desta atividade ´e perceber o papel do parˆametro c. Siga as instru¸c˜ oes abaixo. 1. Crie um SELETOR com o nome c como feito na p.1. Figura 1.50: Bot˜ao da ferramenta TEXTO

2. No CAMPO ENTRADA digite: p:y=x^2+c. Com isto criamos uma par´abola com nome p. A escrita do ’’p:’’ para dar um nome ´e opcional. O software nomeia automaticamente todos os objetos 3. Volte a modificar o valor do parˆametro c com o seletor e tente enteder o que ocorre. 4. Ative a ferramenta TEXTO (Bot˜ao 8) e clique onde quer que o texto apare¸ca. Uma pequena janela aparecer´a. Queremos exibir o conte´ udo da vari´avel p. Na janela digite apenas p e depois em APLICAR. Um texto dinˆamico aparecer´a na janela de visualiza¸c˜ ao. 5. No CAMPO ENTRADA digite: (0,c). 6. Aperte a tecla ESC e mude o valor do parˆametro c. Observe o texto dinˆamico. O que ocorre quando modifica o valor do parˆametro c.

Figura 1.51: Para inserir apenas o conte´ udo de uma vari´avel, basta escrever o nome da vari´avel.

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