Capitulo Iii

Potencial eléctrico

3.1 POTENCIAL ELÉCTRICO El potencial eléctrico, en un punto, se define como el trabajo por unidad de carga, requerido para mover una carga de prueba, desde ese punto hasta el infinito. En otras palabras es una medida de la cantidad de energía, por unidad de carga asociada, con una carga de prueba qo, ubicada en una región, de campo eléctrico.

V=

U qo

La energía potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una cantidad escalar. La unidad SI de potencial, llamada un volt (1V) en honor del científico italiano y experimentador eléctrico, Alessandro Volta (1745 - 1827), 1 volt es igual a 1 joule por coulomb.

1V = 1

J C

La diferencia de potencial, entre un punto a y un punto b, se define como, el trabajo por unidad de carga, que debe realizar una fuerza eléctrica, para desplazar un cuerpo, con carga desde a hasta b. A la diferencia se le llama potencial de a respecto a b; muchas

Va − Vb

69

Capítulo III

veces se abrevia como

(se debe tener cuidado en el

Vab = Va − Vb orden de los subíndices). En circuitos eléctricos la diferencia de potencial entre dos puntos se le llama voltaje.

Wab = −∆V = −(Vb − Va ) = Va − Vb q Según este punto de vista,

es la cantidad de trabajo que

Ua −Ub debe realizar una fuerza externa para desplazar a velocidad constante una partícula de carga q, es decir, esta fuerza externa se opone a la fuerza eléctrica. El trabajo que la fuerza externa debe realizar por unidad de carga es entonces:

(U a − U b ) / q o

= V a − Vb

Una definición más formal de la diferencia de potencial seria, la siguiente: “El potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo que es preciso realizar, para desplazar lentamente una unidad de carga desde b hasta a, en contra de la fuerza eléctrica”. El potencial V debido a una sola carga puntual q se debe a esta expresión:

V= Donde:

70

U 1 ( ± q) =  qo 4π oε rp − rq

Potencial Eléctrico

 rp

: Vector posición que localiza el punto P donde se desea

medir el potencial eléctrico. : Vector posición que localiza a la carga q.

 rq

De modo análogo, el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales se determina como:

U 1 n ( ± qi ) V= = ∑ qo 4π εo i =1 rp − ri Donde: : Carga i-ésima

qi  rqi

: Vector posición que localiza a la carga i-ésima

.

qi

Cuando se tiene una distribución continua de carga, se divide, la carga, en infinitos, elementos diferenciales de carga (dq) y el potencial se determina, sumando cada uno de los potenciales, generados.

V=

1 4π oε ∫

(± dq)   rp − rdq

Donde: : Vector posición que localiza el punto P, donde se desea

 rp

medir el potencial eléctrico.

70

Capítulo III

 rdq

: Vector posición que localiza el elemento de carga dq.

Otra manera de determinar la diferencia de potencial, parte de la idea del conocimiento que se tenga, del campo en la región, donde se desplaza la carga q (entre los puntos a y b)

  F ∫ E • dl b

W Va − Vb = ab = ( ± q)

a

( ± q)

  b   FE =∫ • dl = ∫ E • dl ( ± q) a a b

La unidad de diferencia de potencial es el Volt (1 V), es igual a la unidad de campo eléctrico (1 N/C) multiplicada por la unidad de distancia (1 m). Por tanto, la unidad de campo eléctrico se puede expresar como 1 Volt por metro (1 V/m) o como 1 N/C:

1

V N =1 m C

Si la carga q, es igual a la magnitud e, de la carga del electrón 1.602x10-19C y la diferencia de potencial es Vab = 1 V, el cambio de energía es:

(

)

∆U = qVab = 1.602x10−19 C (1V ) = 1.602x10−19 J Esta cantidad de energía recibe el nombre de electrón-volt (1 eV): 1eV = 1.602x10−19 J

Ejemplo 3.1

70

Potencial Eléctrico

Se tiene una carga positiva q, en una esfera conductora de radio R. Calcule el potencial eléctrico en cualquier punto adentro o afuera de la esfera. Se conoce que el

V ( r → ∞) = 0

E (r > R) =

ρa q = 3r 2 ε o 4π εo r 2 3

E (r = R) =

q 4π εo R 2

E (r < R ) = 0 b   Va − Vb = ∫ E • dl a

b

q dr; 2 4 π ε r o a

Va − Vb = ∫

V ( r > R) =

V ( r = R) =

Va − Vb =

q 1 1  −  4π εo  ra rb 

q 1   4π εo  r 

q 1   = V (r < R ) 4π εo  R 

Fig. 3.1 Graficas de Campo y potencial eléctrico del ejemplo 3.1

69

Capítulo III

Ejemplo 3.2 Se tiene una carga eléctrica distribuida de manera uniforme, sobre un alambre delgado infinitamente largo. La carga por unidad de longitud es λ (se supone positiva). Determine el potencial eléctrico. Fig. 3.2 Ejemplo 3.2

70

Potencial Eléctrico

E (r ) = b

Va − Vb = ∫ a

Va − Vb =

λ 2π εo r

λ dr 2π εo r

r λ Ln  b 2π εo  ra

  

Sí r = rb es referencial de potencial, donde

V ( r) =

V ( r = rb ) = 0

.

λ r  Ln b  2π oε  r 

Ejemplo 3.3 Un anillo de radio a, presenta una carga Q, distribuida uniformemente, este se ubica tal como lo indica la figura. Encuentre el potencial eléctrico un punto P situado sobre el eje del anillo a una distancia x de su centro.

V (r) =

1 dq ∫ 4π εo r

V (r) =

1 4π εo

1 x2 + a2

∫ dq

69

Capítulo III

Fig. 3.3 Ejemplo 3.3

V (r) =

1 4π εo

Q x2 + a2

3.2 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES (S. E) Las superficies equipotenciales (S.E) se definen como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a un mismo potencial eléctrico.

3.3 PROPIEDADES

DE

LAS

SUPERFICIES

EQUIPOTENCIALES a. Son superficies imaginarias que permiten describir las variaciones del potencial eléctrico en el espacio que rodea a una partícula o cuerpo cargado. b. Cada SE posee un valor único de potencial eléctrico.

c. Las SE se dibujan de tal manera que la diferencia de potencial eléctrico entre, SE adyacentes permanezca constante.

d. El campo eléctrico E es perpendicular a todos y cada uno de los puntos que pertenecen a una S.E. e. Las líneas de campo E apuntan hacia equipotenciales de menor potencial eléctrico.

superficies

f. El módulo de E permanece constante en una S.E. Sin embargo el vector campo eléctrico, puede cambiar de dirección y sentido.

g. Las SE se seleccionan dependiendo de las distribuciones de carga, tal como sucede con las superficies Gaussianas.

69

Potencial Eléctrico

h. En zonas donde el módulo de E es intenso, las superficies equipotenciales se deben dibujar de tal manera que queden lo más cerca una de la otra. i. De la misma forma en zonas donde el módulo de E es débil, las superficies equipotenciales se deben dibujar de tal manera que se observan separadas una de la otra. j. Igualmente de haber una zona donde el módulo de E es uniforme (constante), las superficies equipotenciales se dibujan como planos uniformemente espaciados uno respecto al otro. k. El trabajo necesario para poder desplazar una carga entre dos puntos (A y B) que pertenecen a una misma SE es nulo.

Wab = Va − Vb ; Wab = q(Va − Vb ) = 0; debido Va = Vb q l. Las SE no se cortan, ni se cruzan. m. Un conductor en equilibrio electrostático constituye un volumen equipotencial, debido a que todos los puntos del conductor tienen el mismo potencial eléctrico.

69

Capítulo III

Fig. 3.4 Superficies Equipotenciales 3.1 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Una carga eléctrica q, a expensas de su ubicación, en una región de campo eléctrico, almacena energía. Esta situación se ilustra en la figura 3.5, si se desea mover lentamente entre dos puntos a y b a una carga, en una región donde se presume, existe un campo eléctrico.

69

Potencial Eléctrico

Fig. 3.5 Energía potencial eléctrica

69

Capítulo III

b   b   b qo q Wab = −∆U ab = ∫ FE • dl = ∫ q o E • dl = ∫ cosφdl 2 or a a a 4π ε

b

− ∆U ab = ∫ a

b qo q qo q q q cos φ dl = dr = o 2 ∫ 2 4π εo 4π εo r or a 4π ε

b

1

∫r

2

dr

a

b

− ∆U ab =

qo q  1  qo q  1 1  qo q  1  −  ; Ub −Ua =  − ; U =   4π εo  r  a 4π εo  b a  4π εo  r 

Para ser más formal con la definición de la energía que almacena qo, debido al campo que crea q:

U (r) =

  1  ( ± qo )( ± q )  4π oε  rq − rq  o  

Dada una distribución discreta de cargas, la energía el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales se determina como:

U=

1 n ( ± qi )( ± q ) ∑ 4π εo i =1 rq − rqi

Donde: : Carga que almacena energía debido a la interacción con las

q demás.

70

Potencial Eléctrico

: Carga i-ésima b

qi  rqi

: Vector posición que localiza a la carga i-ésima

.

qi

Para una distribución continua de carga, la energía se expresa como:

U=

1 ( ± q ) (± dq) ∫ 4π oε rq − rdq

Donde: : Vector posición que localiza a la carga almacenadora de

 rq

energía. : Vector posición que localiza el elemento de carga dq que

 rdq

produce campo y potencial en el punto donde se ubica q. Existe una energía potencial asociada, a la creación de un sistema de cargas puntuales, que se denota como la suma de las energías potenciales de interacción de cada par de cargas. Esto se puede escribir como

U=

(

( ± qi ) ± q j 1 ∑ 4π oε i < j r − r qj

)

qi

Ejemplo 3.4 Dos cargas puntuales están sobre el eje x: q1 = -e en x = 0 y q2 = e en x = a. 70

Capítulo III

a. Halle el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una tercera carga q3 = +e desde el infinito hasta x = 2a. xq == 2a 0+ a - ee -+321Fig. + 3.6

Ejemplo 3.4

W =U =

U=

q3 4π εo

 q1 q 2  +e −e +e e2  +  = +  = a  8π εo a  r13 r23  4π εo  2a

( ± qi ) ( ± q j ) 1  q1q2 q1q3 q 2 q3  1   = + + ∑ 4π εo i < j rq − rq 4π εo  r12 r13 r23  j

U=

i

1  ( − e )( + e ) ( − e )( + e ) ( + e )( + e )  − e 2 + +  = 4π εo  a 2a a  8π εo a

3.1 RELACIÓN ENTRE EL CAMPO Y EL ELÉCTRICO

POTENCIAL

Partiendo de la definición de la diferencia de potencial, se puede obtener una manera de determinar el campo eléctrico. b   V A − VB = ∫ E • d l a

69

Potencial Eléctrico b

V A − VB = − ∫ dV a

b

b

a

a

  − ∫ dV = ∫ E • dl ;

  E = ( Ex; Ey; Ez ) dl = ( dx; dy; dz )

Sí se desarrolla el producto escalar, se obtiene la siguiente expresión:

− dV = Exdx + Eydy + Ezdz Sí ahora se supone que el desplazamiento es paralelo al eje x, lo que implica que dy = dz = 0, se tiene:

− dV = Exdx; Ex = −

dV dx

Se puede obtener la expresión del campo a partir de la función de potencial eléctrico, de manera análoga se hace con las otras coordenadas del campo, permitiendo obtener todas.

Ex = −

dV ; dx

Ey = −

dV ; dy

Ez = −

dV dz

Se define el operador matemático, vector gradiente

 ∇

de la

función potencial, para la obtención general de la expresión del campo eléctrico en función de más de una variable.

69

Capítulo III

  ∂V ∂V ∂V ˆj + E = − iˆ + ∂y ∂z  ∂x

 kˆ  

 ∂ ∂ ∂  ˆj + kˆ  ∇ = − iˆ + ∂y ∂z   ∂x

  E = − ∇ V ( x, y , z ) De no existir una función potencial, sino más bien una gráfica de la variación del potencial eléctrico, en función de la posición, a través de la definición de la expresión del campo eléctrico, se deriva la grafica y se obtiene la gráfica del campo en función de la misma variable. Ejemplo 3.5 En la figura 3.7 se muestra el gráfico del potencial eléctrico como una función de la distancia radial r, que genera una determinada fuente eléctrica. En el gráfico se indica además la expresión del potencial eléctrico para las distintas regiones. La expresión del campo eléctrico en función de r es:

 dV E ( r ) = − ( r ) ( rˆ ) dr  3k E ( r < a ) = 41 r 2 ( rˆ ) a

69

 k E ( a < r < b ) = − 12 ( rˆ ) r  E( b < r < c) = 0  2k E ( r > c ) = − 21 ( rˆ ) r

Potencial Eléctrico

Constante r2 0 1 1 3

r-v 2 -v V c0 b a K (V) . K. 1 r

ar4 r

Fig. 3.7 Gráfica del Voltaje en función a la distancia radial r 3.2 PROBLEMAS PROPUESTOS q1

1. Se tiene un arreglo de cargas puntuales ubicadas como se indica en la figura de la derecha. Si se conocen q1 =q, q2 = 2q, q3 = -q, q4 = 2q, determine: a. El potencial eléctrico en el origen de referencia. b. La energía que acumula la carga q2.

a q2

q4

a

q3

70

Potencial Eléctrico

1. Se tiene un disco de radio R, con densidad superficial de carga

uniforme, positiva y de valor σ , dispuesto de tal manera que su eje de simetría coincide con el semi - eje positivo de las x. Determine la expresión y la gráfica del potencial eléctrico con respecto a x.

2. Cada centímetro cuadrado de la superficie de una hoja plana, de papel, tiene 2.5x I06 electrones en exceso. Halle el potencial eléctrico en un punto situado a 5 cm de la superficie de la hoja, si la hoja es lo suficientemente grande para considerarla como un plano infinito.

3. Se colocan cuatro cargas idénticas de valor q, en los vértices de un cuadrado de lado L. a. Halle el potencial eléctrico sobre una carga. b. Calcule la energía que almacena una de las cargas. c. Determine la energía del sistema.

1. Una carga positiva, de valor Q, está distribuida uniformemente a lo largo de una barra, ubicada sobre el semieje positivo de las y, tal como se indica en la figura. Adicionalmente existe una carga puntual negativa -q sobre el eje positivo de las x, a una distancia x del origen. Calcule: a. El potencial eléctrico producido por ambas distribuciones de carga en un punto x > a. b. La energía que almacena -q.

1. Una barra larga pero de longitud finita, está cargada con densidad

de carga lineal variable λ =Ax y una carga puntual Q se encuentran ubicadas como lo indica la figura. Determine: a. El potencial eléctrico que la carga produce en el punto P. b. El potencial eléctrico producido por la barra en el punto P. c. El potencial eléctrico resultante en P.

71

Potencial Eléctrico

1. Una carga positiva Q, está distribuida uniformemente a lo largo de una barra ubicada a lo largo del eje de las x, desde x=0 a x=a. Adicionalmente, existe una carga puntual q, situada sobre el eje de las x, en x = a + r, a una distancia r, a la derecha de un extremo de Q, tal como se indica en la figura.. a. Determine el potencial eléctrico producido por ambas distribuciones de carga en un punto x > a + r. b. Calcule la energía que almacena q.

1. Una barra larga, pero de tamaño finito, está cargada con una

densidad de carga lineal, variable de valor λ =AX y una carga puntual Q, se encuentran ubicadas en el origen, tal como lo indica la figura. Determine en el punto P: a. El potencial eléctrico que la carga. b. El potencial eléctrico producido por la barra. c. El potencial eléctrico resultante.

71

Potencial Eléctrico

1. En la figura se muestra un anillo que tiene: radio interno a, radio externo b = 2a, y densidad superficial de carga uniforme σ . a. Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en cualquier punto sobre el eje y. b. Si se coloca un electrón en reposo en el punto A(0,a,0) y se desea mover hasta un punto B(0,3a,0). Determine el trabajo que debe realizarse para mover el electrón.

1.

a

Determine el potencial eléctrico que produce un disco de radio R, con una densidad superficial de carga positiva σ , en un punto ubicado sobre el eje del disco a una distancia x respecto su centro. Suponga que x es positiva.

71

Potencial Eléctrico a

2. Se tiene una esfera no conductora de radio a, con densidad de carga volumétrica ρ = A/r2, donde A es una constante entera positiva y r es la distancia radial medida, desde el centro de la esfera, determine: a. El potencial eléctrico en el interior de la esfera (r < a). b. El potencial eléctrico sobre la esfera (r = a). c. El potencial eléctrico en el exterior de la esfera (r > a).

1. Una línea cargada con forma de semianillo, cuyo radio tiene un valor R, presenta la siguiente distribución de cargas, la parte superior del anillo tiene una densidad de carga por unidad de longitud igual a λ , y - λ en la mitad inferior. También se tiene una línea de carga, positiva, con longitud igual a L, ubicada a lo largo del eje x, presentando una densidad de carga, lineal y uniforme igual a λ . a. Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en el origen. b. Si se coloca un electrón en el origen, determine la energía que almacena.

69

Potencial Eléctrico

1. En la figura adjunta, se muestra un sistema conformado por, una esfera maciza no conductora de radio R1, la cual se encuentra dentro de una esfera hueca (de material conductor) de radio interno R2 y radio externo R3, a su vez estas se encuentran dentro de una tercera, esfera hueca, también conductora, de radio interno R4 y radio externo R5. La primera esfera (maciza) posee una distribución de carga volumétrica uniforme de valor ρ . La segunda esfera, posee inicialmente una carga positiva Q y la tercera esfera (esfera externa) no posee carga y está sólidamente puesta a tierra. a. Determine el campo eléctrico en cada región de interés. b. Halle el potencial eléctrico, en las siguientes regiones: i. 0 ≤ r < R1 ii. R1 ≤ r < R2 iii. R2 ≤ r < R3 iv. R3 ≤ r < R4 v. r ≥ R4 vi. Muestre sus resultados en una gráfica de la componente radial del campo en función de r.

1. Se

tiene un sistema conformado por una barra muy larga que está cargada con densidad lineal de carga λ constante y una carga puntual Q, tal como lo indica la figura. Determine:

y (a, a)

a

Q a

x λ

71

Capítulo III

a. El potencial eléctrico que la carga produce en el punto de coordenadas (a, a). b. El potencial eléctrico que es producido por la barra, en el punto de coordenadas (a, a). c. El potencial eléctrico resultante en (a, a).

1. Un cable coaxial, muy largo, está compuesto por un conductor cilíndrico interior de radio a y un cilindro coaxial, exterior de radio interior b y radio exterior c. La carga del cilindro interno es igual a q y el cilindro hueco tiene una carga total de - 2q. a. Calcule el campo y el potencial eléctrico en las regiones: i. r < a ii.a < r < b iii.b < r < c iv.c < r < d v.r > d. a. Grafique tanto el campo como el potencial eléctrico en función de r.

1. En la figura adjunta, se muestran dos

distribuciones de carga lineales λ 1 y λ 2, ambas positivas, las cuales se ubican en los puntos (2, 0, 0) y (-2, 0, 0) respectivamente, y cuya extensión es ilimitada a lo largo del eje z. Determine: a. El potencial eléctrico en los punto (-4, 6, 0) y (4,-6,0). b. El trabajo que debe realizarse, para mover un electrón desde el punto (-4, 6, 0) hasta el punto (4, -6, 0).

69

b

a

Potencial Eléctrico

1. Considere el sistema conformado por una línea cargada positivamente, muy larga, cuya carga por unidad de longitud λX, es uniforme; y una esfera aislante sólida de radio a = 2 y centro en el punto (10, 0), la cual tiene una densidad de carga, no uniforme, para 0 < r < 2, donde ρ o es una constante conocida y positiva y r es la distancia radial. a. Determine el potencial eléctrico total en el punto Po = (6; 3). b. Determine el valor de la densidad lineal de carga λX para que el potencial total en el punto Po, sea nulo.

1. Se tiene una anillo de radio R, cargado con una densidad lineal de

carga uniforme λ . a. Encuentre el potencial eléctrico creado por el anillo a una distancia z de su centro. b. Encuentre el punto M de coordenadas (0,0,h) en el cual el potencial eléctrico tiene un valor máximo.

1. Una carga puntual q1= 6e, está fija en el origen, de un sistema de coordenadas rectangulares, una segunda carga puntual q2 = -10e 69

Capítulo III

está fija en la posición (9.60x10-9;0)m. Considere que el circulo de radio R y centro xc, es un lugar geométrico donde todos los puntos se encuentran a un potencial cero (V=0, para todo (x,y) que pertenece al círculo), como se muestra en la figura. Determine: a. La ubicación del centro del círculo xc. b. El radio del círculo.

70