Capitulo 8 - Escoamento Viscoso Interno E Incompressivel 8 E 9.pdf

ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO Fluido Incompressível

Capitulo 8

1

Boundary Layer Features

Conceitos - Camada Limite Fluidodinâmica

Velocidade da camada limite Fig. 8.1

– Consequência dos efeitos de viscosidade relacionados ao escoamento do fluido e a superfície de contato. – Região caracterizada caracterizado por gradientes de velocidade.

tensões de cisalhamento e

– Região entre a superfície e a corrente livre, cujo aumento de espessura da camada limite [ δ ] ocorre em direcção do fluxo.

Velocidade da camada limite

u( y) δ →δ → u ( y=) =0.0.99 99 u∞ u ∞

CAMADA LIMITE DE VELOCIDADE

4

5

Physical Features

• Para caracterizar o escoamento

ρu∞L u∞L ReL = = µ ν

Placa plana

Escoamento interno - Velocidade

ρum D Re = µ um − velocidade média na seçao transversal Este documento esta em fase de construçao. Possiveis erros serao corrigidos em sala

8

Reynolds Critico → Re C ≈ 2300 u m − velocidade média na seçao transvers al Para o escoamento laminar o comprimento da entrada fluidodinamica pode ser obtido por :  x cd, v    ≈ 0,059Re D (eq .8.1)  D  lam  x cd, v   ≤ 60 10 ≤   D  turb

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9

& = ρu m Atransversal Vazao Mássica : m Para fluido incompressivel Regime Estacionário

& 4m Re D = πDµ

O perfil de velocidade vale : 2  u(r)  r   = 2 1 −    um   ro   Este documento esta em fase de construçao. Possiveis erros serao corrigidos em sala

10

Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido
Escoamento entre placas estacionarias y=a u=0

a

y=0 u=0

Considerações : Escoamento laminar completamente desenvolvido Regime permanente Fluido Incompressível

Esses exemplos poderiam ser resolvidos mais facilmente por Navier Stokes

11

Recordando o conceito da equação da quantidade de movimento para volume de controle inercial ( item 4.4) apenas na direção x

r dP F= (eq4.2) dt Para um volume de controle r r Fsistema = FVc r r r Consideran do F = Fcampo + Fcontato E consideran do r r r dP ∂ r = ∫ u .ρ .dVc + ∫ u .ρUdS dt ∂t Vc Sc

Recordar paginas 101 e 102

r ∂ Se ∑ F = 0 ⇒ ∫ .ρ .dVc + ∫ u .ρ dS = 0 ∂t Vc Sc

12

Escoamento Laminar completamente desenvolvido

DESSA FORMA Dado=0

Fx ,campo + Fx ,contato

r r ∂ r = ∫ u .ρ .dVc + ∫ u .ρUdS ∂t Vc Sc

Considerando escoamento completamente desenvolvido , a o perfil de velocidade é o mesmo ao longo de todo o escoamento

Fx ,campo + Fx ,contato

r r ∂ r = ∫ u .ρ .dVc + ∫ u .ρUdS ∂t Vc Sc

Fx ,campo = 0 13

Escoamento Laminar completamente desenvolvido

Fcampo = ∫ − pdS A

Segundo a figura 8.3, podemos desmembrar a força de campo como :

a

a / 2

dy

dx 14

FORÇAS ATUANDO NO VOLUME DE CONTROLE A pressão no centro do volume de controle é “p” e a tensão de cisalhamento é

τ yx

 ∂τ yx  dy  τ yx +    dxdz  ∂y  2  →  ∂p  dx  ← p +   +  dydz  ∂x  2 

 ∂p  dx  p +   −  dydz →  ∂x  2  ←  ∂τ yx τ yx +   ∂y

 dy    −   dxdz  2  15

Força na face esquerda : Fesquerda

Força na face direita : Fdireita

 ∂p  dx   = p −     dydz  ∂x  2  

  ∂p  dx   = −  p +     dydz  ∂x  2    

Tensao de cisalhamen to na face inferior dFinferior

   ∂τ yx  dy  = − τ yx −    dxdz   ∂y  2   

Tensao de cisalhamen to na face superior dFinferior

  ∂τ yx = τ yx +   ∂y 

  dy      dxdz   2   16

Dessa forma, a equação

Fx ,campo = 0

fica

∂P dτ yx = = constante ∂x dy

Integrando essa equação e aplicando as condições de contorno, temos que o perfil de velocidade para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas planas é calculado por ( eq 8.5) 2  a  ∂p   y   y  Perfil de velocidade : u =    −   2µ  ∂x  a   a  2

Tensao de cisalhamento :τ yx

 ∂p  y  1  = a   −   ∂x  a  2 

Q 1 3  ∂p  Vazão Volumetrica : = − a  l 12µ  ∂x 

17

Vazão Volumétrica em Função da Queda de Pressão

∆p  ∂p  p2 − p1 =−  = L L  ∂x  Q 1 3  ∆p  Q a ∆p =− a −  ⇒ = l 12µ  l  l 12µL 3

Velocidade média U

Q 1 2  ∂p  1 3  ∂p  a   la ⇒ − a   U= =− 12µ  ∂x  A 12µ  ∂x  Velocidade máxima

du 1 2  ∂p  3 = umax = − a   = U dy 8µ  ∂x  2

18

Escoamento Laminar Completamente desenvolvido


Placa superior se movendo com velocidade constante Fluido deslizante

O escoamento é gerado pelo movimento de uma placa com relação a outra, independente de um gradiente de pressão. Sejam as condições de contorno y=0 → u=0 y=a → u=U

Figura 8.5

Valida tanto para placas quanto mancais

2  Uy a  ∂p   y   y  + Perfil de velocidade : u =    −  ..8.8 a 2µ  ∂x  a   a  19 2

Tensão de Cisalhamento Eq 8.9a

Vazão Volumétrica Eq 8.9b

Velocidade média Eq 8.9c

Velocidade máxima

τ yx

U a  ∂p  y = µ +   a 2  ∂x  a

 1 −   2

Q Ua 1 3  ∂p  = − a  l 2 12µ  ∂x  Q U 1 2  ∂p  a   U= = − A 2 12µ  ∂x 

du U a  ∂p  2 y  = umax = −   − 1 dy a 2µ  ∂x  a  20

Estudar exemplos 8.2 8.3 - Bidimensional

Escoamento Laminar completamente desenvolvido


Tubo dr

Escoamento axissimétrico Procedimento similar a placas paralelas Coordenadas cilíndricas Volume de controle : espaço anelar

r R Fig 8.7

τ yx 2πrdrdx →

p.2πrdr →

dy

 ∂p  ←  p + dx2πrdr ∂x  

←  ∂τ yx  τ yx +  dr2π (r + dr)dx  ∂r 

dx 21

Escoamento Laminar completamente desenvolvido

2  R  ∂p  r  u=−  1 −    4µ  ∂x   R   2

Perfil de velocidade 8.12

Tensão de Cisalhamento Eq 8.13a

τ yx

r  ∂p  =   2  ∂x 

πR  ∂p  Q=−   8µ  ∂x  4

Vazão Volumétrica Eq 8.13c

Vazão volumétrica em função da queda de pressão

πD ∆p Q= 128µL 4

22

Escoamento Laminar completamente desenvolvido

Velocidade média 8.13d

Velocidade máxima

1 2  ∂p  U= R   8µ  ∂x  du R 2  ∂p  = umax = −   = 2U dy 4µ  ∂x 

Perfil de velocidade em termos de velocidade máxima

u r = 1−   U R

2

Exemplo 8.4 23

Escoamento em Dutos e Tubos Na prática o escoamento em dutos ou tubos ocorre na presença de forte atrito e com características turbulentas. Se ignorarmos o atrito , considerarmos escoamento permanente pode-se usar a equação de Bernoulli

u 22 − u12 ∆P + + ∆z = constante 2g ρg Bernoulli permite determinar a queda de pressão, ou a perda de energia mecânica no sistema como já calculado em dutos para escoamento laminar

128µLQ ∆p = 4 πD

24

Escoamento Turbulento + Escoamento Laminar


Distribuição de tensão de cisalhamento no escoamento completamente desenvolvido em tubos

τ yx

r  ∂p  =   2  ∂x 

τ parede r = R

8.10

R  ∂p  =−   2  ∂x  8.15

Essa equação foi deduzida para o escoamento laminar completamente desenvolvido. O mesmo não pode ser feito com o escoamento turbulento . As correlações são empíricas.

Tensão Aparente de Osborn Reynolds

τ = - ρ u ' v'

→ usada em escoamento turbulento 25

Escoamento Turbulento + Escoamento Laminar

τ = τ la min ar + τ turbulento du τ =µ - ρ u ' v' dy Atenção ao sinal da parcela turbulenta. Ele representa que as velocidade u’ e v’são negativamente relacionadas , ou seja, o termo - ρ u ' v ' é positivo .

26

Escoamento Turbulento


Perfil de velocidade em escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos Fluidos muito viscosos Tubos de diâmetros pequenos

Geralmente, escoamento turbulento

Escoamento interno

τ du =ν - u ' v' ρ dy

A partir de dados experimentais

1/ 2

 τ parede   Velocidadede atrito : u* =   ρ  u * é um valor constante

pagina 307

27

Escoamento Turbulento

O perfil de velocidade em um escoamento completamente turbulento depende do atrito da parede do duto. Na região muito próxima da parede: cisalhamento viscoso predomina. O perfil de velocidade media segue uma relação viscosa

u u = = u* +

yu *

ν

= y + ......eq.8.19

y : distância medida da parede u : velocidade média + Só é valida se 0 ≤ y ≤ 5 − 7 : região da subcamada 28

Escoamento Turbulento + Escoamento Laminar

LEI DA POTENCIA Perfil de velocidade para escoamento turbulento em tubo liso n

1/n

u y   r  =   = 1 −  U R   R

eq 8.22

n = -1,7 + 1,8logReU → ReU > 2 ×10

4

29

Considerações de energia no escoamento em tubos • Seja a linha de energia:

p u2 LE = + +z ρg 2 g

LE é uma medida de energia mecânica total A LE diminuirá continuamente na direção do escoamento pois o atrito consome a energia . 2 g

Considere escoamento permanente no sistema ao lado: 1

Figura 8.1230

Se Bernoulli for interpretada sob a forma de energia & -W & -W & Q& - W s cis. outros

∂ U2 U2 = ∫ (u x + ) ρdVc + ∫ (u x + + u y p) ρU .dA ∂t Vc 2 2 S 4.56

Consideran do : & = 0; W s

& W outros = 0 ;

& W cisalhamen to = 0

Escoamento permanente Escoamento incompress ível Energia interna e pressão uniformes entre 1 e 2

Dessa forma a equação de energia se reduz a : 2 2 p p V V & (u 2 - u1 ) + m & ( 2 - 1)+m & g (z 2 - z1 ) + ∫ 2 ρd A2 − ∫ 1 ρd A1 Q& = m 2 2 ρ ρ A A 2

1

8.25

31

Coeficiente de energia cinética α

∫ A

V2 2

ρ .d A2 = α . ∫ A

∫ α=

A

V2 2 V3 2

ρd A1 = α .m&

V2 2

ρ .d A

m& V

2

8.26b

Para escoamento laminar em tubo α = 0,20 Para escoamento turbulento em tubo usar equação 8.26b O coeficiente pode ser calculado usando a Lei da Potência

U α = V 

3

2  2n   (3 + n)(3 + 2n) 

8,27 32

Perda de Carga Seja a equação de energia apresentada na equação 8.25 2 2 p p V V & (u 2 - u1 ) + m & ( 2 - 1)+m & g (z 2 - z1 ) + ∫ 2 ρd A2 − ∫ 1 ρd A1 Q& = m 2 2 ρ ρ A A 2

1

Usando α 2 2   α V α V p p 2 1 2 2 1 1 & & (u 2 - u1 ) + m & ( - )+m & g (z 2 - z1 ) + m &   Q=m − ρ ρ 2   2

Dividindo pela vazão mássica  α 2V22 α1V12  Q& p 2 p1  = (u 2 - u1 ) + ( - ) + g (z 2 - z1 ) +  − & ρ ρ m 2   2

8.28

Perda de Carga  α 2V22 α1V12  Q& p 2 p1  = (u 2 - u1 ) + ( - ) + g (z 2 - z1 ) +  − & m 2  8.28 ρ ρ  2

Rearranjando  p1 α1V12   p 2 α 2V22  ∂Q&  + + gz1  −  + + gz 2  = (u 2 - u1 ) & 2 2 dm ρ  ρ  Energia mecânica por unidade de massa em uma seção transversal

Diferença da Energia mecânica por unidade de massa 34

Seja hLT a perda de energia total por unidade de massa

h LT

∂Q& = (u 2 - u1 ) & dm

Dividindo a equação 8.28 por g  p1 α1V12   p 2 α 2V22  h LT  + + z1  −  + + z 2  = 2g 2g  ρg   ρg  g Eq.8,30

 p1 α1V12   p 2 α 2V22   + + z1  −  + + z 2  = H LT 2g 2g  ρg   ρg 

H LT , h LT : perda de carga

35

Cálculo da Perda de Carga Perda de carga h : soma de todas as perdas causadas por efeito de atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção constante, com perdas localizadas h (entradas, acessórios, variações de área, curvas, atrito) . LT

Lm

 p1 α1V12   p 2 α 2V22   + + z1  −  + + z 2  = H LT 2g 2g  ρg   ρg  Para altos números de Reynoldsα = 1  p1 V12   p 2 V22   + + z1 g  −  + + z 2 g  = h LT 2 2 ρ  ρ  36

POR FIM,

 p1 V12   p 2 V22   + + z1 g  − h LT =  + + z 2 g  2 2 ρ  ρ  A PERDA DE CARGA INDEPENDE DA ORIENTAÇÃO DO TUBO

ESCOAMENTO LAMINAR No escoamento laminar a queda de pressão pode ser calculada para o escoamento completamente desenvolvido.

128.µ.L.Q L µ.U ∆p = = 32 . 4 πD D D

ρDu L µ.U hL = = 32 . se Re = D ρD ρ µ L 2 µ LU2 1 64 LU 2 = 64 → hL = hL = 32 U D ρDU D 2 Re Re 2.D ∆p

Eq. 8.33 37

ESCOAMENTO TURBULENTO - Não é possível avaliar a queda de pressão analíticamente. - O cálculo da queda de pressão acontece a partir da função definida como fator de atrito f .

e  f = φ  Re,  D 

L U2 hL = f D 2

ou

L U2 HL = f D 2g

.e : rugosidade Tabela 8.1 ( pagina 314) Eq. 8.34

38

DIAGRAMA DE MOODY

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39

Experiência de Nikuradse – Calculo do fator de atrito

DH   f = φ  Re,  e  

f = 64 / Re D − escoamento laminar −1 / 4

4

−1 / 5

4

f = 0,316 Re D − Re D < 2 × 10 f = 0,184 Re D − Re D > 2 × 10

Rugosidade constante

Independe da rugosidade

Genericamente −2

f = (0,790 ln(Re D ) − 1,64) − 3000 < Re D < 5 × 10 Este documento esta em fase de construçao. Possiveis erros serao corrigidos em sala

40

6

No caso de dutos não circulares usamos as correlações para dutos circulares mas considerando o conceito de Diâmetro Hidráulico.

4 Ac DH = P Ac : Área da secção transversal de escoamento P : perimetro molhado

41

Escoamento Laminar 2 LU 2  64  LU hL =   → hL = f 2.D  Re  2.D

 64  → Logo f =    Re 

Escoamento laminar: fator de atrito independe da rugosidade

Escoamento Turbulento Soluções Empíricas : Fórmula usual : Equação de Colebrook Equação de Haaland

e/ D 1 2,51  = −2,0 log +  f  3,7 Re f

   

1, 311  1 6,9  e/ D  = −1,8   +   3,7   Re f  

Para Re>3.000 acontece uma diferença de 2% com relação aos resultados de Colebrook 42

Equação de Blasius - escoamento turbulento e tubos lisos

0,316 ( Re < 10 ) → f = 0, 25 Re 5

Permite o calculo da tensão de cisalhamento na parede do tubo

 ν  τ parede = 0,0332ρU    RU 

0 , 25

2

43

PERDAS DE CARGA LOCAIS São perdas que acontecem devido a presença de acessórios nas tubulações

U2 hlm = K f 2

→ K f : coeficient e de perda de carga

Le U 2 hlm = f → Le : Comprimento equivalente ao uso de um D 2 tubo reto

Uma entrada de tubulação mal projetada provoca considerável perda de carga. Tabela 8.2( pagina 317) 44

Expansões A1 → A 2

e

Contrações

A1 Ra = <1 A2

A1 → A 2

Ra =

A1 >1 A2

As perdas causadas por variação de área podem ser reduzidas por bocais e difusores entre duas seções de tubo reto. Os dados para difusores são apresentados em termos de coeficiente de recuperação de pressão Cp ( Tabela 8.3)

Cpreal

p2 − p1 = 1 2 ρ U 2

Cpideal

2

U hlm = (Cpi − Cp) 2

1 = 1− 2 Ra

45

Contrações e expansões Parte da energia potencial se dissipa nos turbilhões formados na expansão ou na contração. Deve-se levar em consideração os diâmetros envolvidos e a velocidade média do tubo de menor diâmetro. O valor de kf calcula-se com expressões semi-empíricas. b1) Contração súbita:

v0

 D22  k f = 0,5 1 − 2   Do 

v2

(2.2)

D0= diâmetro do tubo de entrada D2= diâmetro do tubo de saída

Fig. 2.3. Comportamento das linhas de corrente em uma contração súbita

Zona de separação

Zona de estagnação Figura 2.4. Fenômeno de separação do fluido em uma contração

Esse fenômeno é mais intenso nas conexões com bordas retas ou cantos vivos e é menos acentuado quanto mais suavizada for a saída, havendo diminuição dos redemoinhos (zona de separação).

Tipo de saída Reentrante

Bordas retas

kf 0,78

0,5

Bordas arredondadas

0,23

Perfil fluidodinâmico

0,05

b3) Expansão súbita ou saída Nesse caso, o cálculo de kf é:

 D  k f = 1 −   D  2 0 2 2

2

(2.3)

v0

Onde: D0= diâmetro do tubo de entrada D2= diâmetro do tubo de saída

v2

COEFICIENTE DE PERDA DE CARGA Válvulas e acessórios

Valores de kf de válvulas e acessórios Tipo de união ou válvula

kf

Joelho de 45º, padrão

0,35

Joelho de 45º, raio longo

0,20

Joelho de 90º, padrão Raio longo Canto Vivo

0,75 0,45 1,30

Curva de 180º

1,50

Tê (padrão), Usada ao longo do tubo principal, com derivação fechada. Usada como joelho, entrada no tubo principal. Usada como joelho, entrada na derivação Escoamento em derivação

0,40 1,00 1,00 1,00 a

Luva

0,04

União

0,04

Válvula gaveta, aberta ¾ aberta b ½ aberta b ¼ aberta b

0,17 0,90 4,50 24,0

Válvula de diafragma, aberta ¾ aberta b ½ aberta b ¼ aberta b

2,30 2,60 4,30 21,0

Curva de 180º

1,50

Tê (padrão), Usada ao longo do tubo principal, com derivação fechada. Usada como joelho, entrada no tubo principal. Usada como joelho, entrada na derivação Escoamento em derivação

0,40 1,00 1,00 1,00 a

Luva

0,04

União

0,04

Válvula gaveta, aberta ¾ aberta b ½ aberta b ¼ aberta b

0,17 0,90 4,50 24,0

Válvula de diafragma, aberta ¾ aberta b ½ aberta b ¼ aberta b

2,30 2,60 4,30 21,0

Válvula globo, de sede chanfrada, aberta ½ aberta b

6,00 9,50

Válvula globo, sede de material sintético, aberta ½ aberta b

6,00 8,50

Válvula globo, disco tampão, aberta ¾ aberta b ½ aberta b ¼ aberta b

9,00 13,0 36,0 112,0

Válvula angular, aberta b

2,0

“Válvula macho“

θ = 0 º (aberta) θ=5º θ = 10 º θ = 20 º θ = 40 º θ = 60 º

0 0,05 0,29

1,56 17,3 206,0

Válvula borboleta θ= 0 º(aberta) θ=5º θ= 10 º θ= 20 º θ= 40 º θ= 60 º

0,0 0,24 0,52 1,54 10,8 118,0

Válvula de retenção, portinhola Disco Esfera

2,0 c 10,0 c 70,0 c

VALVULA GAVETA VALVULA DE RETENÇÃO

55

VALVULA DE MACHO

56

VALVULA GLOBO

57

VALVULA DIAFRAGMA

58

VALVULA BORBOLETA

59

VALVULA GUILHOTINA

60

. Tubulações Os tubos são dutos fechados destinados ao transporte de fluidos, e geralmente são de seção circular. O termo usado para denominar um conjunto de tubos e seus acessórios é tubulação ou sistema de escoamento. O valor da tubulação está entre 30 e 70% do valor total dos equipamentos de uma indústria, dependendo do tipo de processo. Os tubos podem ser fabricados de vários materiais, mas as tubulações sanitárias são, normalmente, fabricadas em aço inoxidável austenístico AISI 304 ou AISI 316.

O aço inoxidável austenístico tem em sua composição maior quantidade de cromo que os ferríticos, além de possuir níquel na liga. A vantagem é a extraordinária resistência à oxidação e a temperatura, o que justifica o pagamento do seu alto preço em instalações de processamento de alimentos. Se for necessário, os tubos podem ter acabamento mais liso (sanitário) que os de fabricação padrão. Os tubos geralmente são definidos pelo diâmetro externo e a espessura da parede é de 1,5 mm para todos os diâmetros disponíveis no mercado, com exceção do tubo de 4" (tabela 6.1).

Tabela 6.1. Diâmetro externo ou Bitola (em polegadas) e espessura (mm) dos tubos disponíveis no mercado.

Bitola (polegada) Espessura da parede do tubo (mm)

1

1,5

1,5

1,5

2

2,5

3

4

1,5

1,5

1,5

2,0

Existem 4 tipos de união em tubulações sanitárias: a) Tri-clamp: é uma união do tipo abraçadeira, sanitária, com acabamento liso que dificulta a contaminação do produto. É a mais indicada onde existe sistema de limpeza CIP (Cleaning in Place; Limpeza no Local). É de fácil desmontagem e é composta de dois encaixes iguais côncavos.

b) Flange: união não sanitária composta por duas flanges de face plana e anel.

c) Rosca: de tipo sanitária de fácil desmontagem para limpeza e inspeção. É composta de macho, fêmea, porca e anel de vedação.

d) Solda: é um sistema sanitário e resistente à corrosão. Minimiza a perda de carga e a contaminação. Muito usado em instalações com sistema de limpeza CIP.

6.2. Válvulas São os acessórios mais importantes nas tubulações, sem os quais estas seriam praticamente inúteis. Destinam-se a estabelecer, controlar e interromper o escoamento. Em qualquer instalação deve-se usar o menor número de válvulas possível, porque são peças caras, sujeitas a vazamentos e que introduzem perdas de carga (que podem ser elevadas).

Os principais tipos de válvula são: - Válvulas de bloqueio - Válvulas de regulagem - Válvulas que permitem o escoamento em um só sentido - Válvulas de controle de pressão Há uma grande variedade de sistemas usados para a operação das válvulas e os principais são: 1) Operação manual: por meio de volante, alavanca, engrenagens, parafusos sem-fim,etc. 2) Operação motorizada: pneumática, hidráulica e elétrica. 3) Operação automática: pelo próprio fluido (por diferença de pressões gerada pelo escoamento), por meio de molas e contrapesos.

6.2.1. Válvulas de bloqueio São as válvulas que destinam-se a estabelecer ou interromper o fluxo e devem funcionar completamente abertas ou completamente fechadas.

6.2.1.1. Válvulas gaveta É a válvula de uso mais generalizado, mas que com a aparição de válvulas mais leves e mais baratas (esfera e borboleta, principalmente), seu uso é cada vez menor. Não aparecem entre as válvulas sanitárias. O fechamento nessas válvulas é feito pelo movimento de uma peça denominada gaveta, que se desloca paralelamente ao orifício da válvula (Figura 6.1).

Quando estão totalmente abertas, a trajetória de circulação do fluido fica reta e desimpedida, havendo pouca perda de carga. Quando estão parcialmente abertas causam perdas de carga muito elevadas, cavitação e violenta corrosão e erosão.

a)

b)

Figura 6.1. Válvulas gaveta. a) Pequena com castelo rosqueado. b) Grande com castelo parafusado.

6.2.1.2. Válvulas macho Não é sanitária. São aplicadas nos serviços de bloqueio de gases (em qualquer diâmetro, temperatura ou pressão) e, também, no bloqueio rápido de água, vapor e líquidos em geral, inclusive com sólidos em suspensão (pequenos diâmetros e baixas pressões).

Figura 6.2. Válvula macho.

Uma das vantagens dessa válvula sobre a válvula gaveta é o menor espaço ocupado. O fechamento dessas válvulas se faz pela rotação de uma peça (macho), na qual há um orifício, no interior do corpo da válvula (Figura 6.2). Quando o macho gira, o furo se alinha à tubulação, dando passagem ao fluido. Quando estão totalmente abertas, a perda de carga é bastante pequena, porque a trajetória do fluido é reta e livre. As variantes das válvulas macho são: A) Válvulas esfera Figura 6.3. Válvula esfera. a) esquema com as partes principais. b) válvula esfera sanitária comercial. a)

b)

O macho dessas válvulas é uma esfera, que também é furada de lado a lado. O material de vedação é bastante flexível, que no caso de válvulas sanitárias devem ser elastômeros sanitários, de grau alimentício (buna-N, viton), para garantir que não haja vazamentos. B) Válvulas de 3 vias: O macho dessas válvulas é furado em "T" ou "L", ou ainda, em forma de cruz, dispondo a válvula de 3 locais para que seja feita a ligação a tubulações.

Figura 6.4. Válvula de três vias

6.2.2. Válvulas de regulagem São destinadas a controlar o escoamento, podendo trabalhar em qualquer posição de fechamento parcial.

6.2.2.1. Válvulas globo Nessas válvulas o fechamento é feito por meio de um tampão que se ajusta contra uma única sede, cujo orifício está geralmente em posição paralela ao sentido do escoamento. Causam, em qualquer posição de fechamento, fortes perdas de carga, devido às mudanças de direção e turbilhonamento do fluido dentro da válvula.

Figura 6.5. Válvula globo. Não é sanitária! Destina-se a serviços de regulagem e de fechamento estanque em linhas de água, óleos industriais, que não sejam muito corrosivos, e para o bloqueio e regulagem em linhas de vapor e de gases. As variantes da válvula globo são:

Válvulas em "Y": Nessas válvulas, a haste fica em um ângulo de 45 com o corpo, o de modo que a trajetória da corrente de líquido fica quase retilínea, com um mínimo de perda de carga.

São usadas para bloqueio e regulagem de vapor e são preferidas para uso com produtos corrosivos. a)

Figura 6.6. Válvula em "Y"

b)

B) Válvulas agulha: O tampão é substituído por uma peça cônica, a agulha, que permite um controle preciso do escoamento. São válvulas para regulagem fina de líquidos e gases, em diâmetros de até 2".

Figura 6.7. Esquema de uma válvula agulha.

6.2.2.2. Válvulas borboleta São basicamente válvulas de regulagem, mas também podem trabalhar como válvulas de bloqueio. O emprego dessas válvulas tem aumentado por serem leves, baratas e facilmente adaptáveis a comando remoto. O fechamento da válvula é feito por meio de uma peça circular que gira em torno de um eixo perpendicular ao sentido de escoamento do fluido. Podem ser manuais ou com controle pneumático. A válvula borboleta, além de ser barata, provoca pequena perda de carga e pode ser usada com líquidos de alta e baixa viscosidade.

Figura 6.8. Válvula borboleta. a) Esquema de funcionamento de uma válvula manual. b) Válvula comercial de acionamento automático.

6.2.2.3. Válvulas de diafragma São válvulas muito usadas para regulagem ou bloqueio de fluidos corrosivos (alimentos ácidos). A válvula se fecha por meio de um diafragma flexível que é apertado contra a sede. O mecanismo que controla o diafragma não tem contato com o fluido e, por isso, são recomendadas para processamentos estéreis. Não possuem fendas e asseguram que não há retenção de partículas.

6.2.3. Válvulas que permitem o escoamento em um só sentido 6.2.3.1. Válvulas de retenção Essas válvulas permitem a passagem do fluido em apenas um sentido, fechando-se automaticamente por diferença de pressões, exercidas pelo fluido em conseqüência do escoamento, no caso de haver a tendência à inversão no sentido do fluxo. São, portanto, válvulas de operação automática. Costumam provocar elevada perda de carga, como todas as válvulas, e só devem ser usadas quando for imprescindível.

Existem três tipos principais de válvulas de retenção:

A) Válvula de retenção de levantamento: o fechamento é feito por um tampão semelhante aos das válvulas globo. Esse tampão é mantido suspenso, afastado da sede, por efeito da pressão do fluido sobre a face inferior. Caso haja tendência à inversão do sentido do fluxo, a pressão do fluido sobre a face superior do tampão, aperta-o contra a sede, interrompendo o escoamento

Figura 6.9. Válvula de retenção de levantamento.

B) Válvula de retenção de portinhola: é o tipo mais usual. O fechamento é feito por uma portinhola que se assenta no orifício da válvula. Embora, a perda de carga seja elevada, costuma ser menor que a introduzida por válvulas de retenção de levantamento, porque a trajetória do fluido é retilínea.

a)

b)

Figura 6.10. Válvula de retenção de portinhola. a) Esquema com partes principais. b)Escoamento vertical.

C) Válvula de retenção de esfera: são semelhantes às válvulas de retenção de levantamento, porém, neste caso, o tampão é substituído por uma esfera. É a válvula de retenção de fechamento mais rápido.

a) Figura 6.11. a) Válvula de retenção de esfera.

b)

6.2.3.2. Válvulas de pé São instaladas na extremidade livre da linha, ficando mergulhadas dentro do líquido no reservatório de sucção. Elas impedem o esvaziamento do tubo de sucção da bomba, colocada acima do reservatório, eliminando a necessidade do escorvamento cada vez que a bomba é posta em funcionamento.

6.2.4. Válvulas controladoras de pressão 6.2.4.1. Válvulas de segurança e alívio Essas válvulas abrem-se automaticamente, quando essa pressão ultrapassa um determinado valor para o qual a válvula foi ajustada. A válvula fecha-se em seguida,automaticamente, quando a pressão cair abaixo do valor de abertura. Essas válvulas são denominadas de "segurança", quando destinadas a trabalhar com fluidos compressíveis (vapor,ar, gases) e "de alívio" quando trabalham com líquidos, que são fluidos incompressíveis.

Figura 6.12. Válvula de segurança.

6.2.4.2. Válvulas redutoras de pressão Regulam a pressão dentro de limites préestabelecidos. São automáticas e fechamse por meio de molas de tensão regulável, de acordo com a pressão desejada. Esse tipo de válvula mantém controle preciso de baixas pressões, independente das variações de vazão ou da pressão de entrada. São muito utilizadas nas instalações de vapor e ar comprimido, nas redes de abastecimento de água nas cidades e nas instalações de água em prédios altos. Figura 6.13. Funcionamento de uma válvula reguladora de pressão. 1) Válvula em equilíbrio. 2) Abaixa a pressão e a válvula fecha. 3) Aumenta a pressão e a válvula abre.

6.4. Válvulas sanitárias de duplo assento

Figura 6.14. Válvulas sanitárias de duplo assento.

Pode servir como válvula de mistura ou de duplo processo. Com essa válvula é possível circular o produto por uma linha, enquanto se faz a limpeza CIP pela outra, sem haver risco de contaminação do produto. Esse tipo de válvula tem se tornado norma em muitas indústrias, substituindo duas ou três válvulas de simples assento, economizando espaço e custos de instalação.

6.5. Acessórios Os acessórios se classificam de acordo com a sua finalidade: 1) Fazer mudança da direção do fluxo (45º , 90º e 180º ):  Curvas de raio longo  Curvas de raio curto  Cotovelos

2) Fazer derivações em tubos:  Tês normais (90º )  Tês de 45º  Tês de redução  Derivações em "Y"  Cruzetas

3) Fazer mudanças de diâmetro em tubos:

4) Fazer ligações de tubos entre si ou de equipamentos a tubos:  Niples e luvas  Abraçadeira: facilita a limpeza da instalação  Flanges  Uniões: facilita a troca de peças

5) Fazer o fechamento da extremidade de tubos  Tampão  Porca-tampão

COMPRIMENTO EQUIVALENTE Comprimento equivalente (Leq) é o comprimento de tubo que apresentaria perda de carga igual a do acessório em questão. Leq independe do regime de escoamento, os dados podem ser usados tanto no escoamento laminar quanto no turbulento.

Perda de carga em acessórios de tubulações - Comprimento equivalente (metros) Diâmetro nominal do tubo

Válvula Válvula gaveta globo aberta aberta

Válvula globo de sede em bisel aberta

Válvula angular aberta

Válvula de retenção basculante

Válvula de retenção de levantamento

½"

0,061

3,4

4,39

1,31

0,732

5,00

¾”

0,085

4,91

6,28

1,86

1,04

7,16

1”

0,119

6,77

8,69

2,56

1,43

9,91

1 ¼”

0,167

9,60

12,25

3,63

2,04

14,02

1 ½”

0,204

11,70

14,94

4,42

2,47

17,07

2”

0,280

15,94

20,36

6,04

3,38

23,26

2 ½”

0,335

19,81

25,33

7,50

4,21

28,90

Diâmetro Válvula Válvula nominal gaveta globo do tubo aberta aberta

Válvula globo de sede em bisel aberta

Válvula angular aberta

Válvula de retenção basculante

Válvula de retenção de levantamento

3"

0,457

25,91

33,22

9,81

5,49

37,80

4”

0,640

36,27

46,33

13,72

7,68

52,73

5”

0,820

47,55

-

18,11

10,12

69,09

6”

1,040

59,13

-

22,43

12,53

86,26

8”

1,460

82,91

-

31,39

17,53

120,70

10”

1,800

102,7

-

39,01

21,73

149,9

12”

2,590

147,2

-

55,78

31,09

197,2

14”

2,590

147,2

-

55,78

31,09

215,1

16”

3,080

176,1

-

66,75

37,49

256,9

Diâmetro nominal do tubo

Válvula de Joelho retenção 90º de esfera rosqueado

Curva longa 90º rosqueada

Tê Tê derivação direção do ramal para ramal

Tê ramal para derivação

½"

33,83

,365

0,201

0,201

0,762

0,548

¾”

48,46

,548

,286

,286

1,09

0,762

1”

66,75

,732

,396

,396

1,52

1,07

1 ¼”

94,48

1,06

0,548

0,548

2,16

1,52

1 ½”

115,2

1,28

0,671

0,671

2,62

1,83

2”

156,0

1,74

0,945

0,945

3,57

2,50

2 ½”

195,0

2,16

1,16

1,16

4,45

3,11

Diâmetro Válvula Joelho nominal de 90º do tubo retenç rosque ão de ado esfera

Curva longa 90º rosqueada

Tê Tê direção derivação do ramal para ramal

Tê ramal para derivação

3"

-

2,83

1,52

1,52

5,82

4,08

4”

-

3,96

2,10

2,10

8,11

5,70

5”

-

5,21

2,77

2,77

10,70

7,50

6”

-

6,46

3,44

3,44

13,26

9,33

8”

-

9,05

4,85

4,85

18,56

13,01

10”

-

11,25

6,00

6,00

23,01

16,12

12”

-

14,78

7,89

7,89

30,33

21,24

14”

-

16,15

8,60

8,60

32,92

23,20

16”

-

19,29

10,27

10,27

39,62

27,74

Diâmetro nominal do tubo

Joelho 45º rosqueado

Joelho duplo fechado

Orifício normal de aresta viva

Orifício saliente interno

Válvula de pé

½"

0,179

0,731

0,259

0,396

7,53

¾”

0,259

1,07

0,365

0,579

10,76

1”

0,365

1,46

0,518

0,792

14,84

1 ¼”

0,518

2,07

0,732

1,13

21,00

1 ½”

0,609

2,53

0,884

1,37

25,57

2”

0,853

3,44

1,18

1,89

34,74

2 ½”

1,040

4,27

1,49

2,35

43,28

Diâmetro Joelho nominal 45º do tubo rosque ado

Joelho Orifício duplo normal de fechado aresta viva

Orifício saliente interno

Válvula de pé

3"

1,370

5,58

1,95

3,05

56,69

4”

1,890

7,80

2,71

4,30

79,25

5”

2,500

10,27

3,60

5,64

104,5

6”

3,110

12,74

4,45

7,01

129,5

8”

4,360

17,83

6,22

9,78

181,0

10”

5,390

22,13

7,71

12,13

224,9

12”

7,100

29,11

10,15

16,00

295,6

14”

7,740

31,70

11,09

17,43

322,7

16”

9,260

38,10

13,25

20,85

385,5

PERDA DE CARGA EM EQUIPAMENTOS BOMBAS TURBINAS VENTILADORES SOPRADORES  p u 2    p u2   &  + + gz  W& = m −  + + gz   ρ 2   ρ 2    sucção  desc arg a 

BOMBA hBomba hBomba

2 2   &     p u p u W  −  + + gz  = =  + + gz    ρ 2 &  ρ 2 m     desc a sucção arg   = H 2 − H1

H 1 + hBomba = H 2 V12 p 2 V22 + + gz1 + hB = + + gz2 ρ 2 ρ 2

p1

A bomba fornece energia ao sistema

102

BOMBA SEJA:

PERDA DE CARGA DA BOMBA

POTÊNCIA DA BOMBA

EFICIENCIA DA BOMBA

128.µ.L.Q ∆P = πD 4

hBomba

ou

πD 4 .∆P Q= 128.µ.L

128.µ.L.Q = = ρ ρπD 4 ∆P

γQhBomba & WBomba = Q∆pBomba → N B = η Bomba

N Bomba η= N Entrada 103

TURBINA

V12 p 2 V22 + + gz1 − hTurbina = + + gz2 ρ 2 ρ 2

p1

PERDA DE CARGA DA Turbina

POTÊNCIA DA TURBINA

EFICIENCIA DA BOMBA

htrubina

128.µ.L.Q = = ρ ρπD 4 ∆P

W&turbina = Q∆pT → NT = γQhTηT

η=

NT N Entrada

104

Sistemas Mistos V12 p 2 V22 + + gz1 + hBomba − hTurbina − ∑ hl = + + gz2 ρ 2 ρ 2

p1

105

Instalações de Recalque Define-se instalação de recalque toda a instalação hidráulica que transporta o fluido de uma cota inferior para uma cota superior. Uma instalação de recalque é dividida em: Tubulação de sucção = tubulação antes da bomba; Tubulação de recalque = tubulação após a bomba

106

MEDIDORES DE VAZÃO – cálculo da vazão Medidores de restrição para escoamento interno

p1

2 1

2 1

u p1 u + + gz1 = + + gz1 ρ 2 ρ 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento ao longo de uma linha de corrente Não há atrito Velocidade uniforme entre as seções 1 e 2 Não há atrito Não há curvatura na linha de corrente z1 = z2

107

u12 p 2 u22 + = + ρ 2 ρ 2

u22 u12 − = − ρ ρ 2 2

p1

p1

p2

 u22 u12  p1 − p 2 = ρ  −   2 2

Da equação da conservação de massa :∑ u.A =0 Sc

&1 =m & 2 → ρu1 A1 = ρu2 A2 m 2

2

2 2  u1   u2  u1 u2 u1 u2 = ⇒   =   ⇒ 2 = 2 A2 A1  A2   A1  A2 A1

 u22 u22 A2 2   p1 − p 2 = ρ  − 2   2 2 A1 

2

u1 = 2

u2 A2 2 A1

2

 u22 u22 A2 2   p1 − p 2 = ρ  − 2   2 2 A1  108

2 u22   A2   p1 − p 2 = ρ 1 −  2  2   A1  

u2 =

2(p1 − p 2 ) ρ 1 − A2 2 A12

( (

))

A vazão mássica teórica vale :

m& = ρ u 2 A2 = ρ A2

m& = A2

2(p 1 − p 2 ) ρ 1 − A2 2 A1 2

2 ρ (p 1 − p 2 ) 2 1 − ( A2 A1 )

( (

))

8.52

109

CONSIDERANDO MEDIDORES DE VAZÃO COM RESTRIÇÃO Coeficiente de descarga teórico : C

m& REAL = CAt

2 ρ (p1 − p 2 ) 2 2 ρ 1 − ( A2 A1 )

(

)

At: área do orifício de restriçao

Dt diametro do orifício β= = D1 diâmetro da tubulacão anterior a placa m& REAL =

CAt 1− β

4

2 ρ (p1 − p 2 )

1 − β 4 : fator de velocidade de aproximação 110

K=

C 1− β 4

K : coeficiente de vazão Dessa forma a vazão mássica em medidores m& REAL = KAt 2 ρ (p1 − p 2 ) PARA REGIME TURBULENTO

b C = C∞ + n Re D1

e

1

b K = K∞ + 4 Re n 1− β D1

n e b são coeficientes para Re > 4000 111

PLACA DE ORIFICIO PLACA FINA PERDA DE CARGA : ALTA CUSTO : BAIXO Orifício de diâmetro: D Medição de pressão: p1 − p2 pode ser feita com um manômetro . Usar a figura 8.21

2,5 91 , 71 β C = 0,5069 + 0,0312β 2,1 − 0,184β 8 + Re 0D,175 112

a), Tubo de Venturi, (b) Bocal. Pode ser considerado uma placa de orifício com entrada suavizada. (c) Cone é o elemento redutor de seção (d) Joelho a diferença de pressão se deve à diferença de velocidade entre as veias interna e externa. Há menor perda de carga no fluxo, 113 mas o diferencial de pressão é também menor.

BOCAL MEDIDOR

PERDA DE CARGA : INTERMEDIARIO CUSTO : INTERMEDIARIO

6,53β 0,5 C = 0,0975 − Re 0D,15

0,25 < β < 0,75 104 < Re D1 < 107

114

TUBO VENTURI

figura 8.23

PERDA DE CARGA : intermediaria CUSTO : baixo 115

LEMBRE-SE V12 p1 V12 + + gz1 = + + gz1 ρ 2 ρ 2

p1

116

117

118

119

120

121

122

123

RECALQUE

124

125

126

127

ESTUDAR EXEMPLOS DO CAPITULO 8 RESOLVER EXERCICIOS CAPITULO 8 FOX

128

ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSIVEL , EXTERNO

CAPITULO 9

129

Prandtl mostrou que existe uma região muito delgada adjacente a fronteira solida (camada limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada limite o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como não-viscoso. 130

Borda da camada limite: tem espessura indicada por δ(x), sendo definida arbitrariamente como o conjunto de pontos no quais a velocidade é igual a 99% da velocidade da corrente livre.

Fraco efeito viscoso

Forte efeito viscoso

131

Boundary Layer Features

Conceitos - Camada Limite Fluidodinâmica

Velocidade da camada limite Fig. 8.1

– Consequência dos efeitos de viscosidade relacionados ao escoamento do fluido e a superfície de contato. – Região caracterizada caracterizado por gradientes de velocidade.

tensões de cisalhamento e

– Região entre a superfície e a corrente livre, cujo aumento de espessura da camada limite [ δ ] ocorre em direcção do fluxo.

Velocidade da camada limite

u( y) δ→ = 0.99 u∞ PARA O ESCOAMENTO INCOMPRESSIVEL ρ= CONSTANTE

ESPESSURA DA CAMADA LIMITE Na camada limite a velocidade muda de zero na superfície da placa até o valor da velocidade de corrente livre na fronteira da camada limite. Desta forma o perfil de velocidades u=u(x,y) que satisfaz as condições de contorno:

u = 0 → y = 0 e u = u∞ → y = δ A espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre.

u = 0,99u∞

onde

y =δ 134

ESPESSURA DE DESLOCAMENTO

135

Perfil de velocidade para definir a espessura de deslocamento

136

Definição : ∞

δ*bU = ∫ (U − u )bdy 0

onde b é a largura da placa ∞ δ u u δ* = ∫ 1 − bdy ≈ ∫ 1 − 0 0  U  U

 bdy 

eq.9.1

A espessura de deslocamento representa: o aumento da espessura do corpo necessário para que a vazão do escoamento uniforme fictício seja igual a do escoamento viscoso real. o deslocamento das linhas de corrente provocado pelos efeitos viscosos

137

A espessura da quantidade de movimento Ѳ, é a distância que a planca seria movida de modo que a perda de fluxo de quantidade de movimento fosse equivalente a perda real causada pela camada limita

Definição : ∞

ρU θ = ∫ ρu (U − u )bdy 2

0

logo

θ =∫

∞

0

u U

 u 1 −  U

δ u  dy ≈ ∫0 U 

 u 1 − dy  U

eq.9.2 138

ESCOAMENTO TURBULENTO Espessura da camada limite 1/ 5

 ν  ∂u  ρu∞2 τ =µ = 0,0296 ∂y  u∞ x  1 - Para a camada limite plenamente turbulenta começando por x = 0

δ ( x) x

= 0,381 Re −x1/ 5

2 – No caso em que a espessura da camada limite é laminar até Reynolds critíco, então, se torna turbulenta. δ ( x) = 0,381 Re −x1/ 5 − 10256 Re −x1 ⇒ 5 × 105 < Re x < 107 x 139

A REGIAO DE FLUXO PROXIMA A PLACA, ONDE A VELOCIDADE DO FLUIDO DIMINUI EM RAZAO DAS FORCAS VISCOSAS É CHAMADA DE CAMADA LIMITE

NA CAMADA LIMITE A VELOCIDADE MUDA DO ZERO NA SUPERFICIE DA PLACA ATE O VALOR DA VELOCIDADE NA FRONTEIRA DA CAMADA LIMITE

140

141

Re representa a relação entre forças inerciais e forças viscosas

ρUd Re = µ

142

Re~0,1 Predomínio de forças viscosas

143

Re~10 Predomínio de forças viscosas

144

Re ≈ 10

7

Predominam forças inerciais

145

- Predominam os efeitos das forças de inércia. -Efeitos das forças viscosas são praticamente desprezíveis exceto naqueles muito próximos da placa plana e na região de esteira localizada a jusante da placa. - Como a viscosidade do fluido não é nula o fluido adere à superfície sólida (condição de não escorregamento). - A velocidade varia desde zero na superfície da placa até um valor U oo , na fronteira de uma região muito fina denominada camada limite. 146

Após uma distância x c o escoamento laminar passa por um processo de transição que resulta em escoamento turbulento.

147

CAMADA LIMITE ESCOAMENTO LAMINAR

ESCOAMENTO TURBULENTO

10 < Re crítico < 3 × 10 − placa plana 5

Re crítico

6

ρu∞ xc = = 5 × 105 µ

148

Define-se : Coeficiente de Atrito Local

Cf =

τs ρ × u∞2 2

∂u τs = µ ∂y

Tensão Cisalhante

y =0 149

FORÇA DE ARRASTO ( FD)

Item 9.7

O arrasto é o componente da força que atua paralelamente à direçao do movimento relativo
 = (  ,   . ,   â ,   í)

150

Coeficiente de arrasto

Item 9.7 A – área frontal

 ≡

"


 1  ! 2


 =   A

 = (# )


 = (# )

151

FaD : [ adimension al ] Ca = 2 1 / 2 ρAu D

D

152

153

154

ESCOAMENTO LAMINAR

24 Re << 1 ⇒ C D = ⇒ FD = 3πηu Re

155

ESCOAMENTO TURBULENTO

156

PLACA PLANA EQUAÇAO DE BLASIUS REGIME LAMINAR ESCOAMENTO PERMANENTE ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL ESCOAMENTO INCOMPRESSIVEL

157

Espessura da Camada Limite 5x δ= Re x Espessura de deslocamento de Camada Limite

νx

1,73 δ * = 1,73 = u∞ Re x 158

Coeficiente de arrasto local Ou coeficiente de atrito

0,664 C fx = Re x

Eq 9.15

Coeficiente de arrasto médio L

1 0,664 1,33 = C f = ∫ C f dx = 2 L x =0 Re L Re L uL onde Re L =

ν

Eq 9.33

159

CAMADA LIMITE TURBULENTA EM PLACA PLANA

Coeficiente de Arrasto :PLACA PLANA LISA LOCAL

C fx = 0,0594Re

-0,2 x

⇒ 5 ×10 < Re x < 10 5

7 EQ 9,27

MÉDIO

C f = 0,0742(Re l )

−0 , 20

C f = 0,455(log Re L )

⇒ 5 ×10 < Re L < 10

−2 , 58

5

⇒ 10 < Re L < 10 7

7

9 160

Coeficiente de Atrito Médio

161

162

0,074 Re − 1,328 Re C D = 0,074Re − Re L 7 ⇒ Re c < Re L < 10 −0, 2 L

0 ,8 c

163

0,5 c

Forma Geral Coeficiente de Atrito Médio

Ca = 0,074Re

−0, 2 L

B 7 − ⇒ Re c < Re L < 10 Re L

B = Re c (CDturbulento − C DLa min ar )

164

B = 0 ⇒ escoamento turbulento Equação de Karman - Prandlt −0, 2 7 C D = 0,047 Re L ⇒ Re c < Re c < 10 Para Reynolds altos 0,455 1610 7 9 CD = − ⇒ 10 < Re c < 10 2 , 58 Re L (log Re L ) 165

TEM O GRAFICO NO FINAL DO LIVRO DO FOX

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169

ATENÇÃO

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EXEMPLO

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