Capitulo 7.docx

FRECUENCIA DE RESONANCIA Y FACTOR DE CALIDAD El concepto de resonancia va ligado a una variación muy acusada de alguna magnitud respecto a la frecuencia y con cierta simetría alrededor de una frecuencia dada, en donde la magnitud alcanza un valor máximo o mínimo. El ejemplo más típico lo tenemos en los circuitos RLC de baja frecuencia. Estudiemos, por ejemplo, el circuito RLC de la serie de la Figura 7.1, suponiendo que el generador proporciona una tensión 𝑉 = 𝑉0 𝑒 𝑗𝜔𝑡+𝜃 , la impedancia de entrada es [1]. 1

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 − 𝜔𝑐)

(7.1)

y la intensidad que circulaba por el circuito 𝑉

𝐼=𝑍=

𝑉0 𝑒 𝑗𝜔𝑡+𝜃 𝑅+𝑗(𝜔𝐿−

(7.2)

1 ) 𝜔𝑐

Figura 7.1,-circuito RLC serie Cuya amplitud resulta |𝐼| =

𝑉0 |𝑍|

=

𝑉0 [𝑅 2 +(𝜔𝐿−

1 2 1/2 ) ] 𝜔𝐶

(7.3)

Entonces si 𝑉0 es constante, la intensidad tiende a cero a frecuencia muy bajas, aumenta con la frecuencia hasta llegar a un valor máximo para disminuir hasta llegar a cero para frecuencias muy altas (Fifura7.2a). Si analizamos el módulo de la impedancia, representado en la Figura 7.2b, observamos una variación inversa pasando por un valor mínimo para la misma frecuencia en que la intensidad es máxima y que resulta ser

𝜔𝑟 =

1

(7.4)

√𝐿𝐶

A esta frecuencia se la denomina frecuencia de resonancia, y la impedancia a esta frecuencia es real, 𝑍 = 𝑅. De aquí que sea usual definir la condición de resonancia como la frecuencia en la que la impedancia es real. Otro parámetro característico de un circuito resonante es el factor de calidad, o 𝑄, que se define como 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎

𝑄 ≜ 𝜔𝑟 {

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎

𝑊

} 𝜔=𝜔𝑟

= 𝜔𝑟 { 𝑃𝑎}

𝜔=𝜔𝑟

(7.5)

En general 𝑊𝑎 = 𝑊𝑚 = 𝑊𝑒 , donde 𝑊𝑚 y 𝑊𝑒 son respectivamente la energía magnética y eléctrica al almacenada en la inductancia y la eléctrica en el condensador y en resonancia valen 1

1

1 |𝐼|2

1

𝑊𝑚 = 4 |𝐼|2 𝐿, 𝑊𝑎 = 4 |𝑉𝐶 |2 𝐶 = 4 𝑊 2 𝐶 = 4 |𝐼|𝐿 = 𝑊𝑚

(7.6)

𝑟

La potencia compleja proporcionada al resonador viene dada por 1

1

1

𝑃𝑖𝑛 = 2 𝑉𝐼 ∗ = 2 |𝐼|2 (𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 − 𝜔𝐶))

(7.7)

Cuya parte real nos da la potencia media discapacidad media disipada en el circuito. Entonces resonancia resulta 1

1 𝑊𝑉02

𝑃𝑟 = 2 |𝐼|2 𝑅 = 2

𝑅

(7.8)

Figura 7,2--Intensidad de corriente (a) y módulo de la impedancia (b) de un circuito RLC serie en función de la frecuencia. Y sustituyendo en la definición (7.5) 𝑄 = 𝜔𝑟

2𝑤𝑟 𝑃𝑟

=

𝜔𝑟 𝐿 𝑅

=𝜔

1

(7.9)

𝑟 𝐶𝑅

Como podemos ver, el factor de calidad es una medida de las pérdidas en el circuito; cuanto menor sea R (menos pérdidas) mayor es 𝑄. Para un circuito ideal, 𝑅 = 0 y 𝑄 tendría un valor infinito. Vamos a considerar ahora la respuesta del circuito a frecuencias próximas a la de resonancia. Tomaremos 𝜔 = 𝜔𝑟 + 𝛿𝜔𝑟 , suponiendo que 𝛿𝜔𝑟 ≪ 𝛿𝜔𝑟 . Podemos escribir la impedancia del circuito en la forma 1

𝜔2

𝜔 2 −𝜔𝑟2

𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 (1 − 𝜔2𝐿𝐶) = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 (1 − 𝜔𝑟2 ) = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 ( Pero

𝜔2

)

(7.10)

𝜔2 − 𝜔𝑟2 = (𝜔 + 𝜔𝑟 )(𝜔 − 𝜔𝑟 ) ≈ 2𝜔𝛿𝜔

(7.11)

Por lo que 𝑍 = 𝑅 + 𝑗2𝐿𝛿𝜔 = 𝑅 (1 + 𝑗

2𝑄𝛿𝜔 𝜔𝑟

)

(7.10)

Y la intensidad que circula por el circuito a la frecuencia 𝜔 = 𝜔𝑟 + 𝛿𝜔𝑟 , es 𝑉0

|𝐼| = 𝑅[1+(

2𝑄𝛿𝜔 2 ) ] 𝜔𝑟

(7.13)

1/2

Y la potencia media disipada a esta misma frecuencia, 1

𝑃 = 2 |𝐼|2 𝑅 =

𝑉0 𝑅 1/2 2𝑄𝛿𝜔 2 2𝑅 2 [1+( ) ] 𝜔𝑟

=

𝑃𝑟

(7.14)

2𝑄𝛿𝜔 2 1+( ) 𝜔𝑟

La potencia (en adelante nos referimos siempre a potencia media salvo que se indique lo contrario) sigue una curva parecida a |𝐼|, alcanzando un máximo en resonancia igual a 𝑃, (Figura7.3). Se define el ancho de banda, ∆𝜔, como el intervalo en frecuencia entre los puntos en que la potencia disipada es ½ de la disipada en resonancia. Aplicando esta condición a la Ecuación (7.14) encontramos. 𝜔

1+(

2𝑄𝛿𝜔 2 𝜔𝑟

2𝑄𝛿𝜔

) =2→ (

𝜔𝑟

𝛿𝜔𝑟 = 2𝑄𝑟

) = ±1 → { 𝜔 } 𝛿𝜔𝑟 = − 2𝑄𝑟

(7.15)

Figura 7.3.-Potencia disipada de un circuito 𝑅𝐿𝐶 Los puntos de potencia mitad son respectivamente 𝜔𝑟 = 𝜔 + 𝛿𝜔− y 𝜔2 = 𝜔 + 𝛿𝜔+ y el ancho de banda es.

∆𝜔 = 𝛿𝜔+ − 𝛿𝜔− =

𝜔𝑟

(7.16)

𝑄

O lo que es lo mismo 𝜔

𝑓

𝑄 = ∆𝜔𝑟 = ∆𝑓𝑟

(7.17)

Por lo tanto el 𝑄 del resonador también es una medida de la selectividad, concepto relacionado con la respuesta en frecuencia. Un resonador es más selectivo cuando más estrecha sea la banda de respuesta en frecuencia, es decir, cuanto mayor sea 𝑄. En el caso de resonadores de microondas no se puede identificar elementos localizados 𝑅, 𝐿, 𝐶, pero se encuentra dispositivos capaces de almacenar energía presentando comportamiento similar a los circuitos 𝑅𝐿𝐶 de baja frecuencia y magnitudes como frecuencia de resonancia y factor calidad sigue siendo significativas. Una diferencia fundamental de los resonadores de microondas respecto a los circuitos resonantes de baja frecuencia es que éstos presentan una única frecuencia de resonancia, definida por la Ecuación (7.4) mientras que aquellos presentan un número infinito, aunque discreto, de frecuencia de resonancia. A cada una de ellas el diagrama de campos es distinto y se denomina modo de resonancia; en cada uno de ellos el comportamiento del resonador es similar a un circuito 𝑅𝐿𝐶 de baja frecuencia. De hecho, se puede definir circuitos equivalentes 𝑅𝐿𝐶 para cada modo de resonancia. Los resonadores de microondas se suelen agrupar en dos grandes familias, cerrado o cavidades resonantes y abiertos entre los que encontramos los resonadores dieléctricos, microstrip, etc. En los primeros, la energía electromagnética queda perfectamente confinada con la región del espacio, mientras que en los segundos existe la posibilidad de <> de energía por radiación. Vamos a estudiar a continuación alguna de ellos.

RESONADORES COMO GUIAS CORTOCIRCUITADAS

Consideremos una guía de transmisión monoconductora tal como la representada en la Figura 7.4. Para centrar ideas, supongamos que se propaga un modo TEmn. Si en un punto A del eje 𝑧 se coloca un cortocircuito metálico, se generará una onda estacionaria como la representación en términos del campo eléctrico transversal en la Figura 7.4b.

Figura 7.4. a)Guía cortocircuitada y b) diagrama de onda estacionaria en términos del campo eléctrico transversal. Esta onda estacionaria presenta ceros de campo eléctrico transversal en el cortocircuito y en puntos que distan 𝑛(𝜆𝑔 /2 ), donde 𝑛 es un número entero y 𝜆𝑔 la longitud de onda en la guía; si colocamos otro cortocircuito en alguno de estos puntos, como B o C en la figura, las condiciones de contorno no varían y la solución del problema inicial sigue siendo válida. En otras palabras, es posible disponer de energía electromagnética en un dispositivo completamente cerrado por paredes metálicas, que llamaremos cavidad resonante.

En la realidad, necesitaremos algún sistema que permita un intercambio de energía con el exterior, que denominaremos sistema de excitación o acoplamiento. Este tema lo estudiaremos más adelante. De momento analizaremos las cavidades totalmente cerradas bajo la hipótesis de bajas pérdidas, es decir, para el cálculo de los campos y las condiciones en que se produce la resonancia supondremos que el dispositivo no tiene pérdidas; posteriormente

estudiaremos

las

pérdidas

mediante

un

método

de

perturbaciones, como hacíamos sin pérdidas. La longitud del dispositivo está relacionada con la frecuencia de operación y las pérdidas de energía están caracterizadas por el factor de calidad. Conociendo la solución del campo electromagnético en la guía base es fácil obtener la expresión del campo electromagnético en el resonador. Así, si el campo eléctrico transversal en la guía es: Ē𝑡 = 𝐴𝑒(𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 û𝑡

(7.18)

el campo de la onda estacionaria generada por la colocación del cortocircuito en A, que tomaremos como 𝑧 = 0, tiene la expresión, Ē𝑡 = 𝐴𝑒(𝑥, 𝑦)(𝑒 −𝑗𝛽𝑧 − 𝑒 +𝑗𝛽𝑧 )û𝑡 = −2𝑗𝐴𝑒(𝑥, 𝑦) 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑧)û𝑡

(7.19)

donde, recordemos, 𝛽 es la constante de propagación que viene dada por la relación de dispersión en la guía

𝛽=

2𝜋 2 2 = √𝑘 2 − 𝑘𝑐𝑚𝑛 = √𝑤 2 𝜇𝜀 − 𝑘𝑐𝑚𝑛 𝜆𝑅

(7.20)

Como el campo transversal se anula en aquellas posiciones donde sin(𝛽𝑧) = 0, obtendremos resonancia siempre que coloquemos el otro cortocircuito a una distancia 𝑙, tal que sea múltiplo entero de 𝜆𝑅 /2, es decir,

𝑙=𝑝

𝜆𝑅 , 2

𝑝 = 1,2 ….

(7.21)

Al modo de resonancia obtenido, proveniente del modo TE mn de la guía base, se le denomina TEmnp y la condición de resonancia se puede expresar, combinando (7.21) y (7.20), como 𝜋 2 2 2 𝜔𝑚𝑛𝑝 𝜇𝜀 = 𝑘𝑐𝑚𝑛 + (𝑝 ) 2

(7.22)

Por otra parte, el campo eléctrico en el resonador tendrá la expresión 𝑝𝜋 Ē𝑡 = −2𝑗𝐴𝑒(𝑥, 𝑦) 𝑠𝑒𝑛 ( ) û𝑡 2

(7.23)

Podemos observar que para modo TEmn de la guía base se obtiene infinito modos de resonancia del resonador. Se puede hacer un estudio análogo para los modos TMmn, o cualquier otro tipo de modo posible en la guía base. Los resonadores más utilizados son los ≪derivamos≫ de las guías de sección rectangular y cilíndricas, las cuales dan lugar a resonadores cerrados que se denominan cavidades resonantes rectangulares o cilíndricas, respectivamente. Vamos a estudiar más detalladamente alguno de estos componentes.

CAVIDAD RECTANGULAR

La cavidad rectangular es el resonador más simple y sencillo de construir, por lo que es uno de los más utilizados en experiencias básicas. Típicamente se utiliza resonando en alguno de los modos TE10p, derivados del fundamental de la guía base, TE10. Suponiendo que la cavidad está constituida por un conductor perfecto que encierra totalmente un dieléctrico sin pérdidas, a partir del campo eléctrico transversal de la guía base (ver Tabla 3.1, Capítulo 3), y de (7.23), la

expresión del campo en la cavidad con los parámetros definidos en la Figura 7.5a se puede escribir:

𝐸𝑦 = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋𝑥 𝑝𝜋 ) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑧) 𝑎 𝑙

(7.24)

Siguiendo un proceso similar es fácil calcular las componentes del campo magnético, resultando:

𝐻𝑥 =

−𝑗𝛽𝐸0 𝜋𝑥 𝑝𝜋 𝑠𝑒𝑛 ( ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑧) 𝑘Ƞ 𝑎 𝑙

(7.25)

𝑗𝜋𝐸0 𝜋𝑥 𝑝𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑧) 𝑘Ƞ𝑎 𝑎 𝑙

(7.26)

𝐻𝑧 =

y de (7.22), la condición de resonancia es:

𝑓10𝑝 =

𝑐0 𝜋𝑥 2 𝑝𝜋 2 = √( ) + ( ) 𝑎 𝑙 √𝜀𝑟 𝜇𝑟

(7.27)

En la Figura 7.5b se muestra el diagrama de campos del modo TE101. Como hemos dicho, el efecto de las posibles pérdidas en el conductor o en el dieléctrico interior se caracteriza por medio del factor de calidad. La hipótesis de bajas pérdidas permite calcular la energía almacenadas y la potencia disipada suponiendo que los campos en la cavidad son los dados por las Ecuaciones (7.24) y (7.26). Así la energía almacenada viene dada por:

𝑊𝑎 = 𝑊𝑐 + 𝑊𝑚 = 2𝑊𝑙 ∫ ĒĒ∗ 𝑑𝑣

(7.28)

𝑣

donde V es el volumen de la cavidad y Ē el campo eléctrico del modo considerado. Para el cálculo se ha hecho uso del hecho de que, en resonancia, la energía eléctrica y magnética coinciden [1,2]. Para un modo TE10p resulta:

𝑊𝑎 =

𝜀𝑎𝑏𝑙 2 𝐸0 8

(7.29)

Figura 7.5. b)Guía rectangular y diagrama de campos para el modo TE101 y ̅. b) La línea continua representa Ē, y la discontinua, 𝑯 La potencia disipada en toda la superficie de S del conductor de conductividad 𝜎 muy grande pero finita la podemos calcular de la misma forma indicada en el Capítulo 2: 𝑃𝑐 =

𝑅𝑠 2 ∫ |𝐻𝑡𝑔 | 𝑑𝑠 2 𝑠

(7.30)

donde 𝑅𝑠 , es la resistividad superficial del conductor y 𝐻𝑡𝑔 el campo tangencial a la superficie. Para una cavidad rectangular en modo TE10p resulta: 𝑃𝑐 = ℎ

ℎ 𝑎 𝑅𝑠 [2 ∫ ∫ |𝐻𝑥 (𝑧 = 0)|2 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝑦=0 𝑥=0 𝑎

∫ |𝐻𝑧 (𝑥 = 0)|2 𝑑𝑦𝑑𝑧

+ 2∫

𝑦=0 𝑥=0 𝑙

+ 2∫

𝑎

∫

[|𝐻𝑥 (𝑦 = 0)|2

𝑧=0 𝑥=0

+ |𝐻𝑧 (𝑦 = 0)|2 ]𝑑𝑥𝑑𝑧]

(7.31)

Recordemos que 𝜆 = 2𝜋/𝑘, es la longitud de onda en el medio libre y Ƞ = (𝜇/𝜀)1/2 es la impedancia del medio. Llevando (7.29) y (7.31) a (7.5), resulta: 𝑄𝐶 =

𝑘 3 𝑎𝑏𝑙Ƞ 1 2 2 𝑏𝑙 𝑝2 𝑎 𝑙 4𝜋 𝑅𝑠 𝑝 𝑎𝑏 ( 2 + 2+ + 2𝑎 ) 2𝑙 𝑙 𝑎

(7.32)

y si el conductor es no magnético: 𝑅𝑠 = √𝜔𝜇0 /2𝜎 = 𝜔𝜇0 𝛿𝑠 /2

(7.33)

donde 𝛿𝑠 es la profundidad de penetración en el conductor y haciendo uso de la condición de resonancia (7.27), se obtiene: 𝑄𝑐 =

𝜇 𝑎𝑏𝑙(𝑝2 𝑎2 + 𝑙 2 ) 𝜇0 𝛿𝑠 [2𝑏(𝑝2 𝑎3 + 𝑙 3 ) + 𝑎𝑙(𝑝2 𝑎2 + 𝑙 2 )]

(7.34)

Vamos a calcular las pérdidas dieléctricas en el medio interior. Recordemos que para caracterizar un dieléctrico real la permitividad debe sustituirse por la permitividad compleja 𝜀 = 𝜀 ′ 𝑗𝜀 ′′ . Bajo la hipótesis de pérdidas pequeñas, los cálculos realizados siguen siendo válidos identificando 𝜀 con la parte real de la permitividad compleja, pero deberemos añadir en el cálculo del factor de calidad las pérdidas en el dieléctrico, que vienen dadas por [2]: 𝑃𝑑 =

1 ∫ 𝐽 ̅ Ē∗ 𝑑𝑣 2 𝑣

(7.35)

donde 𝐽 ̅ es la densidad de corriente en el dieléctrico debido a la conductividad dieléctrica 𝜎𝑑 = 𝜔𝜀 ′′ , suponiendo que incluye todos los efectos de pérdidas en el dieléctrico. Entonces: 𝐽 ̅ = 𝜎𝑑 Ē

(7.36)

1 𝑎𝑏𝑙𝜔𝜀 ′′ 2 𝑃𝑑 = ∫ 𝜎𝑑 |𝐸| 𝑑𝑣 = 2 𝑣 8

(7.37)

y

y calculando de nuevo el factor de calidad, resulta:

𝑄𝑑 =

𝑊𝑎 𝜀 ′ 1 = ′′ = 𝑃𝑑 𝜀 tan 𝛿

(7.38)

Si el medio interior presenta también pérdidas magnéticas podríamos calcularlas, de forma similar a las dieléctricas, utilizando la expresión:

𝑃𝑚 =

1 ∫ 𝜇 ′′ |𝐻|2 𝑑𝑣 2 𝑣

(7.39)

donde 𝜇 ′′ es la parte imaginaria de la correspondiente permeabilidad compleja. Usualmente en el interior de la cavidad no presentan comportamiento magnético, por lo tanto, este cálculo carece de interés. Además, para medios no magnéticos 𝜇 = 𝜇0 y el primer cociente de la Ecuación (7.34) es la unidad. El factor de calidad de una cavidad real con pérdidas dieléctricas y en el conductor, resulta: 1 1 −1 𝑄=( + ) 𝑄𝑐 𝑄𝑑

(7.40)

De forma similar se puede estudiar modos TE o TEM [2], pero presentan menor interés práctico.

CAVIDADES CILÍNDRICAS.

Siguiendo un planteamiento análogo al realizado para cavidad rectangular encontramos a partir de (7.22) que la frecuencia de resonancia de los modos TEmnp para una cavidad cilíndrica como la representada en la Figura 7.6ª resulta:

𝑓𝑚𝑛𝑝

2 ′ 𝑐0 𝑝𝑛𝑚 𝑝𝜋 2 √ = = ( ) + ( ) 𝑎 𝑙 2𝜋√𝜀𝑟 𝜇𝑟

(7.41)

Figura 7.6. c) Cavidad cilíndrica, b) Diagrama de campos para el modo ̅. TE011, C) El TM010. La línea continua representa Ē, y la discontinua, 𝑯 y para los modos TMnmp:

𝑓𝑛𝑚𝑝 =

𝑐0 𝑝𝑛𝑚 2 𝑝𝜋 2 = √( ) + ( ) 𝑎 𝑙 2𝜋√𝜀𝑟 𝜇𝑟

(7.42)

′ donde, recordemos, 𝑝𝑛𝑚 y 𝑝𝑛𝑚 son respectivamente los ceros de 𝐽𝑛 (𝑥) y 𝐽𝑛′ (𝑥),

funciones de Bessel de 1a especie y orden n y sus derivadas (Apartado 3.1). el modo fundamental, es decir, el de frecuencia más baja, es el TE 111, pero los más utilizados son lo modos TE01p y los TM0m0. Para los modos TE01p: 2

𝑓01𝑝

′ 𝑐0 𝑝01 𝑝𝜋 2 √ = = ( ) + ( ) 𝑎 𝑙 2𝜋√𝜀𝑟 𝜇𝑟

′ donde 𝑝01 = 3.83171.

Los campos resultan:

(7.43)

𝑝𝜋 𝐻𝑧 = 𝐻0 𝐽0 (𝑘𝑐 𝑝) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑧) 𝑙

𝐻𝑐 = 𝐻0

𝐸𝑄 = −𝑗𝐻0

𝑝𝜋 𝑝𝜋 𝐽1 (𝑘𝑐 𝑝)𝑐𝑜𝑠 ( 𝑧) 𝑘𝑐 𝑙 𝑙

𝜔𝜇 𝑝𝜋 𝐽1 (𝑘𝑐 𝑝) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑧) 𝑘𝑐 𝑙

(7.44)

(7.45)

(7.46)

donde

𝑘𝑐 =

′ 𝑝01 𝑎

Como consecuencia de esta distribución de campos, las líneas de corriente generadas en las paredes sólo tienen componentes 𝜑, tanto en la superficie lateral como en la base; entonces, es posible construir resonadores sin contacto directo entre bases y superficie lateral si afectas excesivamente a las características de resonancia ya que prácticamente no se corta líneas de corriente. De esta forma, estos modos son los que permiten la construcción más fácil de cavidades de geometría (longitud) variable. En la Figura 7.6b se muestran las líneas de campo del modo TE011. El factor de calidad se calcula de la misma forma indicada para cavidades rectangulares y considerando únicamente pérdidas en las paredes, se obtiene: 2

𝑄𝑐 =

𝜇 𝜇0

𝑝′ 𝑝𝜋 2 𝑎 [( 𝑎01 ) + ( ) ] 𝑙 2

𝑝′ 2𝑎 𝑝𝜋 2 𝛿𝑠 [( 01 ) + ( ) ] 𝑎 𝑙 𝑙

=

′2 2 𝜇 𝑎𝑙(𝑝01 𝑙 + 𝑝2 𝜋 2 𝑎2 ) ′2 3 𝜇0 𝛿𝑠 (𝑝01 𝑙 + 2𝑎3 𝑝2 𝜋 2 )

(7.47)

El factor de calidad para un modo TE01p resulta ser significativamente más alto que de los otros modos [3]. Se puede comprobar, además, que presenta un máximo cuando 𝑙 = 2𝑎. Todo ello hace al modo TE01P especialmente atractivo para múltiples aplicaciones. Presenta, sin embargo, un inconveniente: resulta ser degenerado con el modo TM11p y para evitar problemas de acoplamiento entre

modos es necesario diseñar adecuadamente el sistema de excitación (como estudiaremos más adelante). Para modos TM0m0, la frecuencia de resonancia resulta: 𝑓𝑛𝑚𝑝 =

𝑐0 𝑃0𝑚 = 𝑎 2𝜋√𝜀𝑟 𝜇𝑟

(7.48)

y, como vemos, no depende de la longitud.

Figura 7.7 Variación del Q a la longitud para un modo TM0n0.

Los campos son: 𝐸𝑧 = 𝐸0 𝐽0 (𝑘𝑐 𝑝)

𝜀 𝐻𝜃 = 𝑗√ 𝐸0 𝐽1 (𝑘𝑐 𝑝) 𝜇

(7.49)

(7.50)

donde:

𝑘𝑐 =

𝑃𝑂𝑚 . 𝑎

En la Figura 7.6 se representan las líneas de campo del modo TM101. El factor para los TM0m0 considera únicamente perdidas en los conductores, resulta:

𝑄𝑐 =

𝜇 𝑎𝑙 𝜇0 𝛿𝑠 [𝑙 + 𝑎]

(7.51)

Como se puede ver, 𝑄𝑐 aumenta con 𝑙 hasta un valor máximo asintótico 𝑄𝑐𝑚 = (𝜇/𝜇0 )(𝑎/𝛿𝑠 ) (Figura 7.7) y como las frecuencia de resonancia no depende de la longitud, ésta puede ajustarse para obtener los valores de Q mayores. Tanto para modos TE01p como para los TM0m0 si el dieléctrico interior presenta pérdida afectará al valor total de Q en la misma forma que hemos visto para la cavidad rectangular. Se obtiene la misma expresión (7.38) para Q asociada a las pérdidas dieléctricas y el factor de calidad total viene dado por (7.40). Para el diseño de cavidades cilíndricas es muy útil la denominada carta modal (figura 7.8). Es una representación, en términos de magnitudes indicadas, de la condición de resonancia para modos TE (Ecuación (7.41)) y TM (Ecuación (7.42)), normalmente los de menos orden, que permite analizar visualmente la separación en frecuencia de un modo respecto a otros próximos para unas dimensiones dadas de la cavidad. El estudio de otros modos puede encontrarse en [2].

RESONADORES EN LINEA DE TRANSMISION El mismo método seguido para el análisis de cavidades resonantes obtenidas a partir de guías cortocircuitadas podría ser utilizado para el estudio de resonadores de línea de transmisión biconductora, como coaxial o mocristrip. Operan en modo TEM, por lo que se podría utilizar los conceptos de circuitos a parámetros distribuidos, como inductancia, capacidad o resistencia, por unidad de longitud.

7.1 Linea de tranbsmision cortocircuitada. Segamento de lian de transmision en corto cortocircuito.

7.2 Distribución de voltaje para los modos TEM 1 y TEM2. 𝑍 = 0, stup en corto circuito de línea de transmisión cortocircuitada. Una línea cortocircuitada presenta una distancia ℓ del cortocircuito (𝑍𝐿 = 0) una impedancia de entrada que viene dada por: 𝑍(𝑧 = ℓ) = 𝑍𝑐 tanh 𝛾ℓ = 𝑍𝑐 tanh(𝛼 + 𝑗𝛽)ℓ 𝑍𝐶 → 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎. 𝛾, 𝛼 𝑦 𝛽 → 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒.

Si la línea no tiene perdidas, 𝜶 = 𝟎 y resulta: 𝑍 = 𝑗𝑧𝑐 tan 𝛽ℓ

A la frecuencia tal que ℓ = 𝜆/2, resulta 𝑍 = 0 → colocar otro cortocircuito en esta posición. En tramo de la línea ℓ presenta resonancia a esta frecuencia. En la práctica 𝛼 ≠ 0, pero es muy pequeña, por lo que 𝛼ℓ < < 1 𝑦 tanh 𝛼ℓ ≈ 𝛼ℓ. 𝑍 = 𝑍𝐶 TEM 𝛽 = 𝑘, podemos escribir:

𝛼ℓ + 𝑗𝑡𝑎𝑛 𝛽ℓ 1 + 𝑗𝛼ℓ tan 𝛽ℓ

Se utiliza cuando se habla de pequeñas perdidas. 𝛽ℓ = (𝜔√𝜀𝜇ℓ = (𝜔𝑟 √𝜀𝜇)ℓ + (𝛿𝜔√𝜀𝜇)ℓ = 𝜋 +

𝜋 𝛿𝜔 𝛿𝜔 = 𝜋 (1 + ) 𝜔𝑟 𝜔𝑟

Angulo de fase Ya que a la frecuencia 𝜔𝑟 se cumple que: ℓ=

𝜆 𝜋 𝜋 = = 2 𝛽𝑟 𝜔𝑟 √𝜀𝜇

por lo que: tan 𝛽ℓ = tan 𝜋 (1 +

𝛿𝜔 𝛿𝜔 𝛿𝜔 ) = tan 𝜋 ≈𝜋 𝜔𝑟 𝜔𝑟 𝜔𝑟

Se puede escribir:

𝑍 = 𝑍𝐶

𝛿𝜔 𝛼ℓ + 𝑗𝜋( 𝜔 ) 𝑟

𝛿𝜔 1 + 𝑗𝛼ℓ( 𝜔 )

≈ 𝑍𝐶 𝛼ℓ + 𝑗𝑍𝑐 𝜋(

𝛿𝜔 ) 𝜔𝑟

𝑟

𝜔𝑟 → 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜

La línea de longitud ℓ cortocircuitada en ambos extremos se comporta como un circuito resonante serie RLC cuya resistencia e inductancia equivalentes vienen dadas por: 𝑍𝐶 𝛼ℓ = 𝑅 𝑍𝐶

𝜋 = 2𝐿 𝜔𝑟

Cuya capacidad equivalente puede calcularse de la expresión de la frecuencia de resonancia: 𝐶= En modo TEM1: 

Frecuencia de resonancia:

1 2 = 2 𝜔𝑟 𝐿 𝜔𝑟 𝑍𝐶 𝜋

𝜔𝑟 =

1 √𝐿𝐶

=

𝜋 ℓ√𝜀𝜇

Factor de calidad:



𝑄=

𝜔𝑟 𝐿 𝛽𝑟 = 2𝛼ℓ 2𝛼

Siempre y cuando:

ℓ=𝑛

𝜆 2

𝑛 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Entonces la línea cortocircuitada de longitud ℓ se comporta como un circuito resonante RLC pero los elementos equivalentes son: 𝑅 = 𝑍𝐶 𝛼ℓ

𝐿=

𝑐=

𝑍𝑐 𝑛𝜋 2𝜔𝑟

1 2 = 2 𝜔𝑟 𝐿 𝜔𝑟 𝑍𝑐 𝑛𝜋

En general, la línea presenta resonancia en modo TEM0 . 

Frecuencia de resonancia: 𝜔𝑟 =



1 √𝐿𝐶

=

𝜋 ℓ√𝜀𝜇

Factor de calidad: 𝑄=

𝜔𝑟 𝐿 𝛽𝑟 = 2𝛼ℓ 2𝛼

En la figura 7.1 se muestra la figura en la línea para n=1 y n=2. El

estudio

realizado

es

válido

para

cualquier

línea

de

transmisión

multiconductora cuya longitud sea múltiplo entero de la semilongitud de onda, tanto para líneas cerradas como la coaxial, como para líneas abiertas como la

microstrip. En las primeras, se obtiene un resonador cerrado (cavidad coaxial) mientras que las segundas resultan un resonador abierto. En ambos casos, suele referirse a este tipo de resonadores como línea 𝜆/2 cortocircuitada. En general, es posible encontrar otros modos superiores no TEM, pero prácticamente no son utilizaos. Otro tipo de circuitos resonantes son la línea 𝜆/4 cortocircuitada y la línea 𝜆/2 abierta. La primera es la misma situación que la línea 𝜆/2 estudiada pero la longitud ℓ = 𝜆/4 a la frecuencia en que se desea la resonancia y que resultan ser [1]. 𝜔𝑟 =

𝜋 ℓ√𝜀𝜇

Un estudio similar al realizado indica que este dispositivo se comporta como un circuito RLC paralelo con: 𝑅=

𝐿=

𝑐= 

𝑍𝑐 𝛼ℓ 4𝑍𝐶 𝜋𝜔𝑟

𝜋 4𝜔𝑟 𝑍𝑐

Factor de calidad: 𝑄 = 𝜔𝑟 𝑅𝐶 =

𝜋 𝛽𝑟 = 4𝛼ℓ 2𝛼

En el caso de linea 𝜆/2 abierta la longitud es tambien una semilongitud de onda pero la linea esta terminda en circuito abierto. Repitiendo el analisis realizado, se comprueba que esta linea se comporta como un circuito RLC paralelo a la frecuencia. 𝜔𝑟 = Cuyos parametros equivalentes son :

𝜋 ℓ√𝜀𝜇

𝑅=

𝐿=

𝑐=

𝑍𝑐 𝛼ℓ 2𝑍𝐶 𝜋𝜔𝑟

𝜋 2𝜔𝑟 𝑍𝑐

Factor de calidad: 𝑄 = 𝜔𝑟 𝑅𝐶 =

𝜋 𝛽𝑟 = 2𝛼ℓ 2𝛼

Otro tipo de resonadores que admiten tratamiento en términos de circuitos, aunque sea de forma aproximada, son las cavidades resonantes.

7.3 Cavidades resonantes formada a partir de línea coaxial vistas en sección diametral con el gap en un extremo (a), con el gap en zona intermedia (b), y circuitos equivalentes respectivo (c) y (d) En ejemplo más simple es la cavidad formada por una línea coaxial cortocircuitad en los extremos y con una discontinuidad en el conductor interior, bien situada en un extremo (Figura 7.3a) o bien situada en una zona intermedia (Figura 7.3b). En general, este tipo de estructuras no admite solución analítica, pero si el gap es pequeño respecto a la longitud de onda, puede ser representado por una capacidad equivalente, Cg. Entonces la cavidad puede ser representada, en el primer caso, por una línea terminada en la capacidad C g (Figura 7.3c) y, en el segundo caso, por dos líneas conectadas en serie a través de la capacidad Cg (Figura 7.3d). Estas cavidades son muy utilizadas como sintonía de osciladores, porque pueden emplearse el gap como zona activa de transferencia de energía

entre electrones y campo la cual conviene que sea pequeña para minimizar el tiempo de transito de los electrones. Por otra parte, el tamaño de la cavidad puede ajustarse para obtener la frecuencia de resonancia deseada. 7.4 RESONADORES DIELECTRICOS Un resonador dieléctrico está formado por una pequeña región dieléctrica de alta permitividad, usualmente ξ>10, que presenta concentración de campos a ciertas frecuencias y, por tanto, almacenamiento de energía de formar similar a las cavidades resonantes. La ausencia

de conductores supone que la

concentración de campos no es total lo que lleva, por un lado, a pérdidas de energía por radiación y, por otro, a que las condiciones de resonancia se pueden ver afectadas por el entorno próximo al resonador. La forma más utilizada es la cilíndrica, aunque puede encontrarse en otras formas como esferas o paralelepípedos. El estudio teórico es complicado ya que no es posible una solución analítica fácil yes necesario recurrir

modelos

aproximados o soluciones numéricas. Para un resonador cilíndrico de longitud ℓ y de radio 𝑎 (Figura 7.11a), el modo más utilizado es el denominado TE0113 que presenta u diagrama de campos similar al modo TE 011 de las cavidades cilíndricas en cuanto a las componentes del campo y su dependencia transversal. La condición de resonancia resulta [1] [6].

𝑡𝑎𝑛

𝛽ℓ 𝛼 = 2 𝛽

Donde 𝛼 𝑦 𝛽 vienen dados por: 𝑃01 𝛼 = √( ) ^2 − 𝜔 2 𝜇0 𝜀0 𝑎

𝑃01 𝛽 = √(𝜔 2 𝜀0 𝜀𝑟− ( ) ^2 𝑎 Donde 𝑃01 es el primer cero de la función de Bessel 𝐽0(𝑋), 𝜀𝑟 es la permitividad del resonador y hemos supuesto que el resonador esta rodeado por el aire (≈ vacío). El calculo de factor de calidad es una tarea complicada ya que implica el cálculo de las perdidas por radiación, además de las de dieléctrico; sin embargo, en muchas situaciones prácticas, la radiación es pequeña y, en una primera aproximación, pueden ser despreciadas . En tal caso, el factor de calidad viene determinado únicamente por las pérdidas del dieléctrico y resulta

𝑄𝑑=

1 𝑡𝑎𝑛𝛿

Utilizando los materiales mas usuales, que suelen ser compuestos de titanio como el tetratitanato de bario [6], que presentan valores de la permitividad relativa entre 10 y 100, se consigue frecuencias de resonancia entre 1 y varios GHz con pequeños cilindros de dimensiones del orden de 1 cm o menores, siendo muy fácil su integración en circuitos microstrip. La condición de resonancia (7.80) se ha obtenido suponiendo que el resonador dieléctrico está rodeado por medio libre; sin embargo, en la realidad el resonador está integrado en un circuito, usualmente apoyado sobre el substrato dieléctrico de una línea microstrip y encerrado en una caja metálica. Como se ha indicado previamente, estas condiciones ≪ 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 ≫ afectan a la resonancia del dispositivo, por lo tanto, el análisis del dispositivo debe incluir las condiciones del entorno además de las características del propio resonador lo que complica aún más, si cabe, su estudio. Sin embargo, este aspecto presenta también sus ventajas, pues permite cambios en la sintonía del resonador modificando alguna condición externa. Por ejemplo, en el montaje de la Figura 7.11b, el resonador esta apoyado por una de sus bases sobre el substrato de la línea de microstrip cuya permitividad relativa suele ser bastante menor que la del resonador; por encima y paralelamente a la otra base se sitúa un plano metálico (z=cte) a una distancia d, modificando esta distancia se cambia la frecuencia del resonador consiguiendo así un mecanismo de sintonía mecánica, aunque de rango pequeño. 7.5 RESONADORES FABRY- PEROT A frecuencias altas, milimétricas y superiores, loa s resonadores estudiados dejan de ser útiles. Por un lado, las dimensiones necesarias para resonancias en modos de orden bajo son del orden de la longitud de onda haciendo difícil, si no invariable, su construcción; la utilización de modos de mayor orden, que podría solventar este problema, es imposible ya que el intervalo de frecuencia entre modos disminuye al aumentar el orden, siendo prácticamente imposible la

operación del resonador en un modo aislado. Por otro, las perdidas en los conductores crecen con la frecuencia (ver Ecuación (7.33)) y, por tanto, el factor de calidad disminuye. En contrapartida, a medida que aumenta la frecuencia es más fácil colimar los campos en zonas determinadas del espacio y resultan más útiles los resonadores abiertos como el representado en la Figura 7.12. Consta de dos placas conductoras separadas a una distancia ℓ. A los resonadores de este tipo se les conoce con el nombre de resonadores Fabry – Perot, por la similitud con el interferómetro del mismo nombre utilizado a frecuencias ópticas. Podemos hacer un análisis sencillo, aunque aproximado, suponiendo que las placas conductoras son indefinidas [3]. Entonces es posible la existencia de ondas planas entre ambas placas formando una onda estacionaria cuyos campos pueden escribirse, suponiendo el vacío entre placas. 𝐸𝑋=𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑘0 𝑧 𝐻𝑦

=

𝑗𝑒0 𝑐𝑜𝑠 𝑘0 𝑧 𝜂0

Con esta expresión se cumple la condición de contorno,𝐸𝑋 = 0, en la placa conductora situada en 𝑧 = 0. Se cumple también en la otra placa colocada en 𝑧 = ℓ si,

𝑘0 ℓ = pπ

𝜆

o

ℓ = p 2 , p = 1,2,3 …

y, por tanto, el dispositivo presentara resonancia a la frecuencia

𝑓

𝑘 𝑐 𝑝𝑐 𝑟= 0 0 = 0 ,𝑝=1,2,3… 2𝜋 2ℓ

Decimos que el resonador presenta resonancia en el modo 𝑇𝐸𝑀𝑃 . Para calcular el factor de calidad seguiremos el camino habitual, pero, en lugar de tomar todo el resonador, lo que nos llevaría a un cociente de infinitos, supongamos una porción formada por un paralelepípedo y longitud ℓ y cuyas bases de área A están sobre a las respetivas placas metálicas. Las energías eléctrica y magnética almacenadas en este paralelepípedo son, 𝑊𝑒 =

𝑊𝑚 =

𝜀0 4

∫𝑣 |𝐸𝑦 | ^2

𝜇0 4

𝑑𝑣 =

2

∫𝑣 |𝐸𝑦 |

𝑑𝑣 =

𝜇0 4

𝜀0 4

2

ℓ

∫𝑡=0|𝐸𝑦 | 𝐴𝑑𝑧 =

ℓ

2

∫𝑡=0|𝐸𝑦 | 𝐴𝑑𝑧 =

𝜀0 |𝐸0 |2 𝐴ℓ

(7.88)

8

𝜇0 |𝐸0 |2 𝐴ℓ 8𝜂0

=

𝜀0 |𝐸0 |2 𝐴ℓ

= 𝑊𝑒

8𝜂 2 0

(7.89)

Donde hemos tomado el elemento de volumen 𝑑𝑣 = 𝐴𝑑𝑧, ya que 𝐸𝑥 y 𝐻𝑦 no dependen de las coordenadas transversales (x,y). Vemos, como era de esperar, que ambas coinciden con la disipada en sus bases, y suponiendo que ambas placas están formadas por el mismo conductor vale 𝑃𝑒 = 2

𝑅3 2

2

∫𝐴 |𝐸𝑦 | 𝑑𝑠 =

𝑅3 |𝐸0 |2 𝐴 𝜂2 0

El factor de calidad asociado a la porción de resonador considerada resulta 𝑄𝑒 =

(𝑤𝑟 + 𝑤𝑚) 𝑤𝑟 𝜀0ℓ 𝜂2 0 𝑃𝜋𝜂0 = = 𝑃𝑟 4𝑅𝑒 4𝑅3

Donde hemos hecho uno de la relación de resonancia (7.87). Como se puede ver, el resultado no depende de las dimensiones del paralelepípedo considerado,

por o que las posibles resonancias se verán afectadas por problemas de difracción en los bordes de as placas que supondrá perdidas adicionales y que se puede, incluso, eliminar la resonancia. Para solventar este efecto, se sustituye las placas planas por placas curvas (esféricas, elípticas, etc..)para producir un efecto de focalización disminuyendo drásticamente las perdidas por difracción en bordes. Un estudio de diversos resonadores de estas características puede encontrarse en [7].

EXITACIÓN DE RESONADORES Hasta ahora hemos analizado los diversos resonadores de forma independiente, es decir, sin tener en cuenta su inclusión en un circuito. Sin embargo, un resonador real formará parte en circuito completo y será preciso establecer algún sistema de interconexión con los elementos adyacentes. Vamos a analizar a continuación las técnicas más usuales de realizar esta conexión y la forma de caracterizarlas. TÉCNICAS DE EXITACIÓN La forma adecuada de excitar un resonador viene determinada por el tipo de resonador, por el sistema de transmisión utilizado para su conexión y por el modo que se desee excitar. En la figura 7.13 se muestran las principales formas de excitación. La más utilizada para resonadores microstrip es la de tipo “gap” (Figura 7.13a). Excita fundamentalmente modos del mismo tipo que el TEM de la línea, es decir los TEMn, que son los más usuales. Para cavidades resonantes hay tres alternativas: si el sistema de alimentación es una línea coaxial se conecta el conductor exterior a la pared de la cavidad y el central penetra en el interior de la cavidad en forma recta (sonda) o curvándose formando un lazo como se muestra en la Figura 7.13b: si el sistema de alimentación es una guía monoconductora, la forma usual es una abertura o iris (Figura7.13c), cuya forma y disposición puede ser muy variada. Este tipo puede ser utilizado también para alimentación de una cavidad desde línea coaxial. El uso de un tipo u otro y su disposición determina el modo preferentemente excitado. Así, la sonda excitará modos cuyo campo eléctrico sea paralelo a la

sonda (excitación eléctrica), mientras que le lazo excitará modos cuyo campo magnético sea perpendicular al plano del lazo (excitación

Figura 7.14.- Excitación de resonadores: a) resonador microstrip excitado por «𝒈𝒂𝒑» desde línea microstrip,b) cavidad rectangular excitada desde coaxial por sonda eléctrica y lazo magnético, c) cavidad cilíndrica excitada desde guía por iris y d) resonador dieléctrico excitado desde línea microstrip.

magnética). La justificación intuitiva está en la relación Ĵ = 𝝈Ȇ para la sonda eléctrica y en el comportamiento de una espira para el lazo magnético. El iris circular mostrado en la Figura 7.13c excita por igual cualquier modo resonante en la cavidad, lo cual puede resultar un grave inconveniente si existen modos degenerados, como ocurre cuando se utiliza el modo TE01P en una cavidad cilíndrica. Como indicábamos al realizar su estudio, este modo es degenerado con el TM11P, por lo tanto, una excitación por iris circular induce igualmente ambos modos: si se desea excitar sólo el TE01P conviene utilizar un iris rectangular estrecho cuyo lado más largo sea perpendicular al campo eléctrico en la guía y en la cavidad. Una forma de saber qué tipo de iris conviene y su disposición está basada en las líneas de corriente que el campo induce en las paredes conductoras: un iris excitará los modos con cuyas corrientes más interfiera. La excitación de resonadores dieléctricos se realiza usualmente desde línea microstrip por medio de gap, aunque se puede llegar al contacto del resonador con la microstrip si se desea una mayor excitación (Figura 7.13d). Para analizar este tipo de excitación debe recurrirse a las líneas de campo: al ser la línea microstrip un sistema abierto, sus líneas de campo fluyen hacia el exterior llegando a la zona del resonador excitando preferentemente los modos cuyas líneas de campo sean paralelas a las de la línea de excitación. TIPOS DE MONTAJE Y CIRCUITOS EQUIVALENTES: REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y REACCIÓN. Un resonador puede conectarse dentro de un circuito de tres formas: reflexión, transmisión y reacción. En nuestro estudio supondremos que no hay pérdidas en el sistema de excitación ni en las líneas de alimentación.

En la conexión por reflexión, mostrada esquemáticamente en la Figura 7.14a, el resonador está colocado como una carga al final del sistema de alimentación(LT): el sistema de excitación “acopla” potencia al resonador desde la línea de alimentación y recíprocamente copla potencia desde el resonador a la línea, afectando a la potencia reflejada que sigue una variación con la frecuencia como la indicada en la Figura 7.14b: lejos de resonancia al resonador refleja prácticamente toda la potencia que llega, comportándose como cortocircuito o circuito abierto(según plano de referencia), mientras que a frecuencias próximas a resonancia el resonador absorbe potencia disminuyendo la reflejada. Como la potencia disipada es máxima en resonancia, la absorción presenta también un máximo y la potencia refleja un mínimo. Este tipo de respuesta puede ser representada por un circuito RLC serie como el de la Figura 7.14c, donde el transformador representa el acoplamiento línearesonador. Esta representación sólo es válida referida a un determinado plano de referencia, en el cual el resonador se comporta como un cortocircuito a frecuencias lejos de resonancia [8], [9]. A este punto se le denomina, posición de cortocircuito fuera de sinfonía. I desplazamos el plano de referencia una distancia 𝜆 4

sobre la línea de alimentación, el resonador lejos de resonancia se comporta

como un circuito abierto y puede ser representado por un circuito RLC paralelo; este punto se denomina posición del circuito abierto furo de sinfonía.

En un montaje por transmisión, esquematizado en la Figura 7.15a, el resonador, además del acoplamiento desde la línea de alimentación (LT1) al resonador, tiene otra conexión a otra línea

Figura 7.14.- Resonador montado en reflexión: a) esquema del montaje) variación de la potencia reflejada con la frecuencia y c) circuito equivalente en posición de cortocircuito. (LT2), que supondremos terminada en carga adaptada, a donde acopla potencia solamente cuando está en resonancia. La potencia reflejada sigue una variación igual que el caso anterior (Figura 7.14b) y la transmitida es nula fuera de resonancia presentando un máximo en resonancia (Figura 7.15b). De forma similar al montaje en reflexión, es posible representar el montaje por transmisión mediante circuitos equivalentes, como el que se indica en la Figura 7.15c, que depende del punto tomado como referencia [8]. Al contrario de los anteriores, un resonador montado en reacción, cuyo esquema se muestra en la Figura 7.16a, no interrumpe el camino desde el generador a la carga, sino que está situado “lateralmente” conectado por alguno de los sistemas de excitación descritos en el apartado anterior. Fuera de sintonía, el resonador no afecta a la transmisión de la línea principal (LT), mientras que en las proximidades de la resonancia, el resonador absorbe energía, produciéndose una disminución en la potencia transmitida. Esta potencia es mínima en resonancia (Figura 7.16b) coincidiendo con un máximo de la potencia absorbida por el resonador. La potencia reflejada depende fundamentalmente de la

terminación de la línea. En la Figura 7.16c se muestra el circuito equivalente referido al punto de conexión del resonador con la línea. COEFICIENTES DE ACOPLAMIENTO Y FACTOR DE CALIDAD Como ha quedado establecido en el apartado anterior, un resonador, además de ser excitado, acopla potencia “hacia el exterior” a través del sistema de excitación (o de los sistemas, en caso de que haya varios) que, es adelante, denominaremos definitivamente sistemas de acoplo o acoplamiento y que vamos a caracterizar mediante los coeficientes de acoplamiento, los cuales nos darán una “medida” del grado de acoplamiento. La presencia de esta “salida” de potencia afecta a las condiciones de resonancia. El efecto sobre la frecuencia de resonancia es muy pequeño y usualmente puede despreciarse [8], pero el efecto sobre el factor de calidad puede llegar a ser importante si lo es el grado de acoplamiento. Esto es lógico si se piensa que, desde el punto de vista del resonador. La potencia acoplada al exterior es una potencia que “desaparece” y tiene igual consideración que potencia pérdida o disipada. Para centrar ideas, supongamos un resonador montado en reflexión, como el de la Figura 7.14a. Si representamos por Pac la potencia que desde el resonador se acopla a la línea LT, pode os definir el factor de calidad global como 𝑄𝐿

∆ =

𝑤𝑟

𝑤𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠 + 𝑃𝑎𝑐

Donde hemos representado por 𝑃𝑟𝑒𝑠 las pérdidas intrínsecas del resonador (incluyendo pérdidas en conductores y dieléctricos). A 𝑄𝐿 se le denomina factor de calidad con carga, para distinguir del factor de calidad intrínseco o sin carga𝑄0 𝑄0

∆ =

𝑤𝑟

𝑤𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠

𝑄0 Corresponden al factor de calidad que calculábamos en los apartados anteriores. Se define también el factor de calidad externo como 𝑄𝐸

∆ =

𝑤𝑟

𝑤𝑎 𝑃𝑎𝑐

Y comparando las tres definiciones, es fácil deducir que

1 1 1 = + 𝑄𝐿 𝑄0 𝑄𝐸

Cuanto mayor sea 𝑃𝑎𝑐 mayor será la diferencia entre 𝑄0 𝑦 𝑄𝐿. Una medida del acoplo nos la da el coeficiente de acoplamiento que se define como el cociente entre la potencia acoplada al exterior y la potencia disipada en el resonador, es decir, 𝑔

∆ =

𝑤𝑟

𝑃𝑎𝑐 𝑃𝑟𝑒𝑠

Teniendo en cuenta esta definición, resulta 𝑄𝐿 =

𝑄0 1+𝑔

Si g = 1(𝑃𝑎𝑐 = 𝑃𝑟𝑒𝑠 ), se dice que hay acoplamiento crítico, si g > 1 (𝑃𝑎𝑐 > 𝑃𝑟𝑒𝑠 ) el resonador está sobreacoplado y si g < 1(𝑃𝑎𝑐 < 𝑃𝑟𝑒𝑠 ) está subacoplado. Si hacemos consideraciones análogas para un resonador montado en transmisión como el de la Figura 7.15a, el factor de calidad con carga será 𝑄𝐿

∆ =

𝑤𝑟

𝑤𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠 + 𝑃𝑎𝑐1 + 𝑃𝑎𝑐2

Donde 𝑃𝑎𝑐1 𝑦 𝑃𝑎𝑐2 representan las potencias acopladas en los respectivos acoplos. Definiendo de forma similar los respectivos factores de acoplamiento tenemos

𝑔1

∆ =

𝑃𝑎𝑐1 𝑃𝑟𝑒𝑠

𝑦

𝑔2

∆ =

Y podemos escribir 𝑄𝐿 =

𝑄0 1 + 𝑔1 + 𝑔2

1 1 1 = + 𝑄𝐿 𝑄0 𝑄𝐸

𝑃𝑎𝑐2 𝑃𝑟𝑒𝑠

Donde 𝑄𝐸 es ahora

1 𝑃𝑎𝑐1 + 𝑃𝑎𝑐2 𝑃𝑎𝑐1 𝑃𝑎𝑐2 1 1 = = + = + 𝑄𝐸 𝑤𝑟 𝑊𝑎 𝑤𝑟 𝑊𝑎 𝑤𝑟 𝑊𝑎 𝑄𝐸1 𝑄𝐸2

Para el caso de un resonador montado en reacción, se encuentra ecuaciones iguales que para el caso de reflexión, aunque la interpretación de algunas magnitudes difiere: en reflexión, la potencia,𝑃𝑎𝑐 , acoplada a la línea aparece como potencia reflejada, mientras que en reacción aparece parcialmente como potencia reflejada y parcialmente como potencia transmitida en proporción que depende del tipo de acoplamiento: lo usual es un acoplamiento simétrico hacia el generador y hacia la carga y resulta que la mitad de 𝑃𝑎𝑐 es reflejada y la otra mitad transmitida.