Capitulo 26.docx

Métodos de pronóstico En el cap. 26 mostraremos cómo se puede hacer la planificación de la demanda cuando se dan la estacionalidad y la tendencia. Para una introducción completa y ostensiva a la predicción en general, el lector se refiere a Hanke et al. (2001) o Waters (1992). 26.1. Predicción por estacionalidad y tendencia Esta sección introduce el método de Winters que es apropiado para modelos estacionales multiplicativos (ver el Capítulo 7). En la sec. 26.2 Se inicializan los parámetros del método de Winters. Esto incorpora la introducción de la regresión lineal, también. Un ejemplo de trabajo ilustra las explicaciones. 26.1.1. Ejemplo de trabajo La figura 26.1 muestra el volumen de ventas de un producto suplementario de un gran minorista de calzado alemán. Los datos se agregan en toda la región de ventas y comprenden un horizonte de tiempo de cuatro semanas. En nuestro ejemplo de trabajo, usamos las primeras tres semanas (días -20, ..., 0) como entrada y, a partir del día 1, intentamos estimar día a día las ventas de la cuarta semana. Dos observaciones son sorprendentes al analizar los datos: 

Parece que hay un patrón de ventas común con la repetición semanal. Los sábados usualmente muestran lo más alto, los domingos son el volumen de ventas más bajo de una semana. Por lo tanto, se puede asumir la estacionalidad semanal con una duración del ciclo de T = 7 días.



Las ventas por semana parecen estar aumentando continuamente. Esto es obvio cuando se consideran las cuatro semanas. Pero incluso dentro de las primeras tres semanas es visible una tendencia (más débil) de ventas crecientes.

Dado que la amplitud de la estacionalidad también está aumentando, parece justificado un modelo de pronóstico multiplicativo estacional. Todas las explicaciones posteriores se demostrarán mediante el uso de este ejemplo de trabajo. 26.1.2. Modelando la estacionalidad y la tendencia Como ya se muestra en la Sect. 7.2 un modelo estacional multiplicativo se caracteriza por los parámetros a y b que describen la tendencia y los coeficientes estacionales

Fig. 26.1. Volumen de ventas de un producto complementario de un minorista de calzado alemán. ct modelando la estacionalidad del periodo t. La figura 26.2 deja claro que la tendencia se expresa mediante la función lineal

con t que denota periodos de tiempo

(por ejemplo, días en nuestro ejemplo de trabajo). Un volumen de ventas

observado

en el período t está modelado por (26.1) con los coeficientes estacionales

en o disminuyendo la tendencia. Tenga en cuenta

que, si todos los coeficientes estacionales son iguales a 1, la estacionalidad desaparece y el modelo se reduce a un modelo de tendencia simple (consulte, por ejemplo, Silver y otros (1998, pp. 93)). El ruido errático hace las cosas difíciles. Debido a la aleatoriedad que se representa por medio de los otros parámetros, no se pueden medir con exactitud, sino que deben predecirse. En lo que sigue, el superíndice se utiliza para distinguir entre una observación (sin superíndice) que se ha medido y su pronóstico se estima sin este conocimiento. Dejemos

y

denota los pronósticos de a ·, b · y los

coeficientes estacionales c · que son válidos en el período t. Luego (26.1) se puede contratar para estimar el volumen de ventas

de todos los períodos subsiguientes

t + s (s = 1, 2, ...). Por ejemplo, el volumen de ventas del próximo ciclo estacional se predice en el período t por:

(26.2)

Fig. 26.2. Modelando la estacionalidad y la tendencia.

El método de Winters descrito en la siguiente subsección calcula de forma iterativa la estimación de ventas de solo el período posterior t + 1. Por esta razón, podemos usar la notación más simple ˆxt + 1

en lugar de ˆxtt+1.

26.1.3. Método de Winters.

El método de Winters (1960) se basa básicamente en (26.2) y el principio de suavizado exponencial que se ha introducido en el capítulo. 7. Dado que las ventas se pronostican indirectamente a través de ˆa ·, ˆb · y ˆc · en (26.2), estos tres tipos de parámetros se deben estimar por medio de un suavizado exponencial en lugar del volumen de ventas en sí (como se ha hecho en (7.5) Para modelos sin tendencia y estacionalidad. Recuerda el principio genérico de alisamiento exponencial:

nuevo pronóstico = sc

· última observación + (1 - sc) · último pronóstico. (26.3)

El nuevo pronóstico del período actual que estima el (los) período (s) subsiguiente (s) se puede calcular suavizando la última observación, es decir, la observación en el período actual y la última previsión que se realizó para predecir la observación del período actual. La constante de suavizado sc ∈ (0; 1) determina el peso que tiene la nueva observación. Cuanto mayor sea la constante de suavizado, mayor será la importancia para la última observación. La Tabla 26.1 resume cómo Winters aplica el suavizado exponencial en el período t + 1 para estimar los parámetros ˆat + 1, ˆbt + 1 y ˆct + 1 que determinan el pronóstico de ventas ˆxt + 2 del período subsiguiente (26.2).

Tabla 26.1. Suavizado exponencial aplicado en el método de Winters.

Estos tres tipos de ecuaciones se vuelven claros cuando observamos nuestro ejemplo de trabajo. Comenzamos nuestro cálculo al final del día t = 0. La Tabla 26.2 ilustra con más detalle este procedimiento:

1. Inicialización: Para que las cosas funcionen, los valores iniciales ˆa0, ˆb0 y ˆc − 6,. . . , (coeficientes estacionales para cada día de la semana). Como ejemplos, las Subsecciones 26.2.2 (para ˆc ·) y 26.2.3 (para ˆa0, ˆb0) muestran cómo estos valores pueden calcularse a partir de las observaciones de ventas de las primeras tres semanas (día - 20, ..., 0). Por el momento aceptaremos en blanco los valores ˆa0 = 5849.0, ˆb 0 = 123.3 y ˆc − 6 = 1.245693 que se usan en la Tabla 26.2

2. Estimación del volumen de ventas del período t + 1: aplicando (26.2) podemos estimar el volumen de ventas ˆx1 del período 1

La tendencia lineal (ˆa0 + ˆb0 · 1) no considera ninguna influencia estacional y, por lo tanto, se llamará "desestacionalizada". Dado que las ventas de los lunes son (aproximadamente un 25% más altas que las ventas semanales promedio (c − 6 = 1.245693), la tendencia debe incrementarse en consecuencia. Tenga en cuenta que al final del día 0, las ventas del día 2 (martes) podrían estimarse aproximadamente en (ˆa0 + ˆb0 · 2) · ˆc − 5 = 6798. Sin embargo, se puede dar un pronóstico más preciso de ˆx2 en el final del día 1 porque la observación de ventas x1 del día 1 ofrece más información.

3. Observación en el periodo t + 1: En el día 1 se observan ventas x1 de 8152 unidades de mantenimiento de stock (SKU). 4. Usando la última observación para actualizar la tendencia y los coeficientes estacionales:

La última observación x1 mejora el pronóstico de la tendencia y el coeficiente estacional del lunes. Por lo tanto, las constantes de suavizado α = 0.8, β = 0.8 y γ = 0.3 se aplican a las tres ecuaciones de suavizado exponencial definidas en la Tabla 26.1:

Tabla 26.2. Predicción de la cuarta semana usando el método de Winters.

(A) El valor subyacente ˆa · de la tendencia se actualiza de la siguiente manera:

De este modo, el volumen de ventas "desestacionalizado" x1ˆc − 6 del día 1 sirve como una nueva observación para el valor subyacente, mientras que (ˆa0 + ˆb0 · 1) fue el pronóstico de las ventas desestacionalizadas del día 1 que se ha obtenido en el período 0 (26.1). (B) Usando ˆa1, el nuevo gradiente ˆb1 se puede calcular:

Entre el día 0 y el día 1, el valor subyacente a · ha aumentado de ˆa0 a ˆa1. Dado que ˆa1 se basa en la última observación de ventas x1, esto se interpreta como la "nueva observación" del gradiente b· que, de nuevo, debe ser suavizado de manera exponencial. (C) El mismo procedimiento se aplica al coeficiente estacional ˆc1:

ˆC − 6 fue el último pronóstico del coeficiente estacional del lunes. La nueva observación de la influencia estacional de un lunes, sin embargo, se logra dividiendo el volumen de ventas observado x1 (incluidas las influencias estacionales) por ˆa1 (desestacionalizado).

5. Avanzando en el tiempo: Ahora podemos avanzar un día (aumentando t en 1) y repetir los pasos (2) a (5). Al final del día 1, el volumen de ventas ˆx2 del día 2 se estima por

y así….

La Tabla 26.2 muestra los resultados del método de Winters cuando se aplica a los días 2 a 7.

La figura 26.3 ilustra las consecuencias de una variación de las constantes de suavizado α y β de la tendencia. En general, alisar las constantes de los intervalos α ∈ [0.02; 0,51], β ∈ [0,005; 0.176] y γ ∈ [0.05; 0.5] se recomiendan (ver Silver et al. (1998, p. 108)). En nuestro ejemplo de trabajo, sin embargo, α = β = 0.8 funciona mejor, i. mi. Las pocas observaciones más recientes tienen un peso muy alto y el alisado es débil. Por lo tanto, el pronóstico es capaz de reaccionar rápidamente al aumento progresivo de las ventas de la cuarta semana.

Fig. 26.3. Variación de las constantes de suavizado α y β

26.2 Inicialización de tendencia y coeficientes estacionales. Hasta ahora no hemos mostrado cómo se pueden inicializar la tendencia y los coeficientes estacionales utilizando la información proporcionada por el volumen de ventas de las primeras tres semanas. La siguiente subsección muestra cómo se puede mejorar la base de datos si se considera información adicional. Las secciones 26.2.2 y 26.2.3 finalmente presentan la inicialización de los coeficientes estacionales ˆc · y los parámetros de tendencia ˆa · y ˆb ·

26.2.1 Consideración de información adicional

Al observar los datos de las primeras tres semanas (ver Fig. 26.1), dos fenómenos parecen ser contradictorios con el supuesto de una tendencia lineal con estacionalidad:

1. Las ventas del lunes -13 son inesperadamente bajas. En las semanas 1 y 3, las ventas los lunes son claramente más altas que las ventas los martes.

2. Si bien la tendencia de aumentar las ventas semanalmente es obvia, las ventas del domingo 0 son mucho más bajas que las ventas de los domingos respectivos de las dos primeras semanas (días -14 y -7).

Queremos saber si estas inconsistencias son puramente aleatorias o se deben a un actuador identificable y obtener la siguiente información:

1. En algunas partes de Alemania el lunes -13 fue feriado. Por lo tanto, el 58% de las tiendas del minorista de calzado cerraron este día.

2. Por lo general, las tiendas de zapatos tienen que estar cerradas los domingos en Alemania. Algunas pocas ciudades, sin embargo, concedieron una autorización especial para la venta. A partir de la tercera semana, el 931% de estas ciudades ya no otorga dicha autorización.

Ahora podemos mejorar nuestra base de datos explotando esta información sobre influencias especiales en nuestras investigaciones posteriores. Por lo tanto, el volumen de ventas del día -13 se incrementó en 138.1% (x − 13 = 2600 · 100 100−58 = 6190.4761) y las ventas los domingos -14 (410 SKU) y -7 (457 SKU) se redujeron en 931 3 % de modo que x − 14 = 27.¯3 y x − 7 = 30.4¯6. En las siguientes dos subsecciones, las ventas originales se reemplazan por estas ventas corregidas.

26.2.2 Determinación de los coeficientes estacionales por la Descomposición de los promedios de relación a movimiento

La descomposición de promedios de relación a movimiento (véase, por ejemplo, Makridakis et al. (1998, pp. 109)) se utiliza como ejemplo para determinar los coeficientes estacionales iniciales del método de Winters. En la sec. 26.1.3 ya aplicamos la ecuación:

Ventas observadas en t = (ventas desestacionalizadas en t) · (coeficiente estacional de t).

En otras palabras, si queremos aislar los coeficientes estacionales, tenemos que calcular el coeficiente estacional del período

(26.4)

Donde la venta desestacionalizada en el período t es un volumen de ventas que no contiene ninguna influencia estacional. ¿Pero cómo determinar tal valor? Teniendo en cuenta nuestro ejemplo de trabajo, el volumen de ventas de una semana aparentemente no está influenciado por los picos de ventas diarios.

Por lo tanto, la forma más intuitiva de obtener datos de ventas sin influencias estacionales es calcular las ventas diarias promediadas durante una semana completa. Esto lleva a un promedio de ventas diarias

y

5122.4 SKU para las semanas 1 a 3 (consulte la Tabla 26.3). De este modo, el jueves se resuelve a mediados de cada semana.

Pero podemos emplear el mismo procedimiento para cada otro período de tiempo de siete días, e. g. dia -19,…, -13, y asignar el promedio de ventas diarias 3797.7 al medio viernes -16. Al hacerlo, calculamos los promedios móviles a lo largo de un ciclo estacional completo de 7 días por cada día -17,…, -3 que representan volúmenes de ventas diarios desestacionalizados. La tabla 26.3 ilustra todo el procedimiento.

En un siguiente paso aplicamos (26.4), estableciendo así las ventas observadas xt en relación a los promedios móviles desestacionalizados (recuerde el nombre del algoritmo). El resultado son múltiples observaciones de coeficientes estacionales (t) para cada día de la semana (tres para un jueves y dos para cada día laborable) que aún contienen el ruido aleatorio ut.

Para reducir esta aleatoriedad, ahora calculamos los coeficientes estacionales promedio a lo largo del día laborable de cada día laborable (Tabla 26.4). Por ejemplo, para el jueves tenemos

Si se da una tendencia pura sin ninguna influencia estacional, uno esperaría que todos los coeficientes estacionales sean iguales a 1 (ver Sección 26.1.2), sumando así hasta 7 para un ciclo estacional semanal. Como podemos ver en la Tabla 26.4, la suma de nuestros coeficientes estacionales no llega a 7. Para reflejar correctamente la tendencia, tenemos que normalizar nuestra afirmación, para multiplicarlos con la constante 7 / total. Los coeficientes estacionales finales resultantes para el lunes. . . Los domingos ya son conocidos como Ë † câ'’6,. . . , Ë † c0 del Cuadro 26.2.

26.2.3 Determinación de la tendencia por regresión lineal

Finalmente, se mostrará cómo se pueden determinar los parámetros de tendencia a y b. Al "desestacionalizar" las ventas observadas al dividir a través de ct, se puede ver en (26.5) que la tendencia a + b · t, distorsionada por algún ruido aleatorio

resulta:

Tabla 26.3. Relación entre promedios móviles y descomposición

Tabla 26.4. Reducción de la aleatoriedad de los coeficientes estacionales.

Los parámetros a y b pueden estimarse por medio de regresión lineal (ver Wood y Field (1976, pp. 76)). Como muestra la Fig. 26.4, los estimadores apropiados ˆa y ˆb se calculan minimizando las distancias verticales (cuadradas) entre las ventas desestacionalizadas dt = xt ˆct y la línea de tendencia ˆa + ˆb · t. Esta manera útil de eliminar el ruido aleatorio también se aplica en los pronósticos causales y ya se ha introducido en la Secta. 7.2.2.

Fig. 26.4. Visualización de regresión lineal. La Tabla 26.5 y las Ecuaciones (26.6) y (26.7) ilustran cómo los parámetros de tendencia ˆa0 y ˆb0 se han calculado mediante regresión lineal para inicializar el método de Winters en la Sección. 26.1.3:

Aquí representan los valores promedio de t y dt durante las primeras semanas de nuestro ejemplo de trabajo.

Tenga en cuenta que se han obtenido ventas desestacionalizadas similares mediante el cálculo de promedios móviles en la última subsección. Estos también podrían usarse para estimar ˆa y ˆb por regresión lineal. En este caso, sin embargo, sólo 15

Tabla 26.5. Cálculo de regresión lineal.

En lugar de 21 observaciones de ventas desestacionalizadas, hubieran estado disponibles, preparando así una muestra considerablemente más pequeña para superar la aleatoriedad.

Referencias Hanke, J. E .; Wichern, D. E .; Reitsch, A. G. (2001) Business Forecasting, 7th ed., New Jersey

Makridakis, S .; Wheelwright, S. C .; Hyndman, R. J. (1998) Predicción: Métodos y aplicaciones, 3ª ed., New York et al.

Plata, E. A .; Pyke, D. F .; Peterson, R. (1998) Gestión de inventario y planificación y programación de la producción, 3ª ed., New York et al.