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orientabilidad. si conectamos las cubiertas de dos balsas amarradas una al lado de la otra empujándolas juntas, podemos decir que las dos superficies se han unido en una sola superficie, ya que podríamos dibujar una línea continua en las cubiertas desde A hasta B (fig 6) de manera similar, el lado superior de la tira de papel cuando se enrosca y se pega se ha unido al lado inferior. pero en un contexto diferente podemos hacer un punto sobre él, darle la vuelta y hacer otro punto exactamente opuesto a él. estos puntos están "en lados opuestos" en este nuevo contexto, aunque están del mismo lado en el sentido de que podemos trazar una línea continua de uno a otro

supongamos que el papel fuera infinitamente delgado -como debería ser un plano matemáticoy no lo hemos torcido. tiene un lado superior, que consiste en un conjunto infinito de puntos. en el lado inferior hay un conjunto correspondiente de puntos, pero dado que el grosor es igual a cero, coinciden con el conjunto superior: son el conjunto superior. Sin embargo, hablamos de los 2 "lados". Si estos puntos individualmente no tienen tamaño, ¿cómo pueden tener lados? ¿Cómo pueden estar orientados, de derecha a izquierda o de adelante hacia atrás? individualmente no pueden: pero en un grupo pueden ser, ya que están en un orden particular, que se invierte cuando se cuentan, o se miran, desde el otro lado, o dirección. este es un ejemplo de la orientabilidad de una línea-un espacio-i-dimensional (fig7)

tomemos ahora una tira de papel y hagamos un agujero con un contorno en espiral. (Si usamos papel de calcar, el contorno se puede dibujar muy negro en lugar de hacer un agujero.) siempre que no volteamos el papel, la espiral se moverá en el sentido de las agujas del reloj sin importar cómo volteamos el papel. pero si lo ponemos boca abajo, dale la vuelta al papel, se invertirá en sentido o en sentido antihorario, como en el lado derecho de la figura siguiente (fig8)

podríamos hacer estos agujeros sobre una esfera de papel, y visto desde afuera, todos serían iguales: por el contrario, todos estarían reservados desde el interior. es más fácil mostrarlo con un cilindro de papel, pero en ambas superficies podemos cubrirlo con agujeros similares, todos en el sentido de las agujas del reloj (fig 9). Si lo intentamos con una cinta moebius (fig 10), todo va bien por un tiempo- entonces descubrimos que estamos al lado de un agujero que hicimos antes, y es en sentido antihorario, porque está hecho desde el lado opuesto, o dirección. esto significa que la tira de moebius es lo que se llama monorientable, que está menos abierta a interpretaciones erróneas que decir que está en I caras. De esto podemos ver que cualquier superficie de dos lados es orientable; cualquier superficie de 1 cara no es (FIG9)

DIMENSIÓN cuando decimos que un sólido tiene 3 dimensiones, pero un avión solo 2, nos referimos al hecho de que, matemáticamente hablando, un plano tiene una longitud y una anchura, pero no un grosor. un avión puede, sin embargo, no ser plano: por ejemplo, la superficie de una esfera. Hay dos maneras de describir esta no-flabilidad: una es traer la tercera dimensión de la altura y medir la posición de todos los puntos de la superficie, cada parte de ella. en la figura 11, la superficie está jorobada en el medio, y podemos representar gráficamente la posición de los diversos puntos al dar las coordenadas o distancias desde el punto O a lo largo de las tres direcciones x, y y z. otra versión de la forma tridimensional es decir que la superficie es la de una esfera, o un cono, etcétera. el otro método, más topológico, deja fuera a la tercera dimensión, aunque implica que se refiere sin referencia a ella. el método es dibujar un mapa de la superficie. si dibujamos un círculo en un plano plano y luego su diámetro, y los medimos, encontramos que la proporción de sus longitudes es 3.14159 ... (pi)

si repetimos esto en la superficie en la figura 11, el diámetro sería demasiado largo (vea líneas punteadas). un mapa completo, medido con precisión, de los EE. UU. que daba cada distancia y dirección no se podía dibujar a una escala exacta en un plano: se alzaba en el medio, es una

sección considerable del globo. no es necesario hacer puntos en cada pie, o incluso en una milla: uno para un condado mostraría que lo que se estaba mapeando no era plano. no se podía poner un marcador en lowa y seguir colocando nuevos a su alrededor para que hubiera exactamente 100 millas entre vecinos: la figura 12 es una disposición hexagonal, y puede extenderse indefinidamente en un plano, pero en los EE. UU. a medida que uno se aleja del primer marcador comienzan a agolparse: ya no les quedarán más. pruébalo en una papa cruda con lápiz y una cinta métrica (fig 12)

en topología apuntamos a descripciones que dejan fuera la distancia por completo, por lo que cualquier superficie puede mapearse planamente, siempre que esté simplemente conectada, si ignoramos la escala de distancias. esto se hace en atlas, usualmente utilizando la proyección de Mercator, pero este método al menos trata de mantener las distancias relativas lo más cerca posible de lo correcto. si no tuviéramos forma de deducir que el mundo fuera una bola por observación directa, aún podríamos inferirlo midiendo puntos y distancias; y si ni siquiera pudiéramos medir la distancia, al menos podríamos decir que el mundo estaba simplemente conectado dibujando una red por todos lados y luego contando los recintos (caras), los segmentos de línea (bordes) y sus extremos (vértices). si el mundo fuera un gran toro, pronto descubriríamos que había un agujero, porque el conteo nos daría F-E-V = 0 Por lo tanto, en topología nos preocupa cómo se conecta una superficie y, finalmente, renunciamos por completo a la idea de la distancia, pero si hacemos esto gradualmente podemos comprender más claramente lo que implica.

Dos superficies más Hasta ahora tenemos los siguientes tipos de superficies hechos de papel, cilindro, toro y cinta de Moebius. Entre paréntesis, el cilindro puede distorsionarse topológicamente en un plano con un agujero. La última forma en la figura I3 se llama anillo, y es homeomorfo a cualquier plano con un agujero,

Dos bordes en total. Cuando hablamos de la tira de papel con 2 pares de aristas, la tratamos como un polígono por conveniencia, pero si queremos olvidar los 4 vértices o esquinas, podemos en un contexto diferente distorsionarlo a cualquier cierre curva. Así que déjenos enumerar las cuatro superficies mencionadas anteriormente, de acuerdo a cómo están, o no están unidas, y cuántos lados y bordes. Son: Plano (rectangular): sin unión 2 lados, 4 bordes.

Juzgando simplemente por las posibles combinaciones de las operaciones anteriores, podría haber dos más: ambos pares de bordes unidos con un par trenzado, y lo mismo con ambos pares trenzados. A primera vista, estos parecen imposibles, pero eso nunca disuade a un verdadero topólogo. Es la consideración de todas las combinaciones posibles de tales operaciones, de hecho de casi cualquier cosa, esa es la esencia de la topología. Es el hecho de que las combinaciones pueden ser pensadas lógicamente lo que importa, no si podemos realizarlas en realidad. Da la casualidad de que es posible hacer modelos incompletos e imperfectos del primero y uno aún más imperfecto del segundo. El primero se conoce como la botella de Klein, en honor al matemático alemán Felix Klein (1849-1925), y el segundo se llama avión proyectivo, por razones demasiado embriagadoras para que se incluya este libro. Déjanos tomar el primero primero.

La botella de Klein, lo que se nos pide que hagamos con esto es unir los bordes AB y A'B, ahora etiquetamos las esquinas según las cuales está unida a lo que, esto es lo que hicimos con la cinta de Moebius, pero estamos ahora se supone que unir los dos bordes restantes, AB 'a A'B (Fig. 18). Se ignora la proporción, y las

flechas muestran el hecho de que la primera articulación se hizo con un giro, y la segunda no). Se verá, si el lector hace un modelo en papel de esto, que parece completamente imposible. Incluso si tuviéramos que agregar más papel para hacer esta articulación, ¿qué forma debería tener? Todo lo que llenaría la factura tendría que tener la forma de un hombre que podría quitarse el abrigo, poner una de las mangas al revés, ponérsela nuevamente y abrocharla a su alrededor. La mejor forma de enfocar esto es tomar las uniones en el orden inverso: unimos primero y abajo, obteniendo un cilindro. (Imaginamos uno largo.) Las flechas ahora son direcciones alrededor de los dos extremos circulares, y cuando doblamos el cilindro y juntamos estos extremos, obtener a las flechas fue en la misma dirección de rotación, o tenía el mismo sentido. Por lo tanto, no hemos perdido de vista la falta de torsión en la articulación: las flechas en la figura 19 lo muestran, aunque el hecho de que las cuatro esquinas se hayan encontrado en un punto lo oculta.

Hacer un medio giro en el cilindro ahora no haría lo que hubiera hecho la media torsión original: porque el sentido, digamos en el sentido de las agujas del reloj, permanecería ahora en el sentido de las agujas del reloj, aunque se eliminaría de A '. Por lo tanto, la dirección de las flechas, el sentido, es más fundamental, al igual que la orientación de los agujeros en espiral (página 27). Pero tenemos que juntar estos dos círculos extremos con sus flechas corriendo en sentidos opuestos, y desde la torsión ganada No lo hagas ahora, debemos hacer algo más: es decir, ponerlos de nuevo al frente, lo que significa que un extremo se habrá llevado al otro como en las Figs. 20-21 (en realidad desde el interior, y la otra dirección).

Como se puede ver, un extremo se ha estrechado y va por el costado. La Fig. 21 es la forma en que usualmente se muestra la botella de Klein. La Fig. 22 es otra versión más simétrica. Éste muestra la coyuntura de los dos extremos circulares como algo agudo, y debemos tener en cuenta que, en el caso ideal, no deberíamos tener que recurrir a tal articulación. Aún así, en el caso de un modelo de papel, cuando dos aviones se encuentran de esa manera, se puede imaginar que están enderezados (figura 23), incluso cuando no pueden hacerlo, debido a los

archivos adjuntos anteriores. Esta segunda versión tiene la ventaja de ser fácilmente construible con papel, y volveremos sobre esto mas adelante.

Un punto a tener en cuenta: cuando los dos planos se unen como en la Fig. 23, los lados enfrentados se unen, al igual que los dos lados opuestos el uno al otro. La otra superficie nueva, el plano proyectivo, podemos omitir por el momento, ya que la imperfección casi fatal del cuasi modelo que podemos hacer solo puede entenderse a la luz de un estudio posterior. Por ahora, podemos decir que la construcción implica no solo unir la parte restante de una banda de Moebius. pero también lo tuerce, es decir, es decir, ambos pares de bordes opuestos están retorcidos y unidos. Cuando hayamos hecho algunos modelos más de la tira de Moebius, con un objetivo perfectamente arbitrario a la vista, tendremos una mejor disposición mental, tal vez para comprender ciertas limitaciones de los modelos y ver más allá de ellos. Donde en las imágenes de la botella de Klein (figuras 21-22) la superficie pasa por sí misma, tenemos que imaginar los extremos de algún modo reunidos sin esta intersección, una clara imposibilidad en la vida real. La intersección se considera de otro tipo: la cosa sucede sin hacer o necesitar, un agujero. Es decir, al cruzarse, ninguno de los planos interrumpe la continaidad del otro. En un modelo esto es imposible, en matemáticas es lógico, siempre que usemos el marco de referencia correcto. Si pensamos en la superficie punto por punto, no encontraremos puntos que estén en dos lugares a la vez, ya que parecerían estar en la intersección: tanto en la parte del plano que se cruza como en la parte del plano que se está intersecando, por así decirlo. Esta aparente anomalía se volverá más clara cuando lleguemos a la pregunta de grupo o conjuntos, más adelante.