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Capítulo I

Mecánica del Medio Continuo

CAPÍTULO I INTRODUCCION A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

1.1.DEFINICION La mecánica del medio continuo es una rama de la mecánica que abarca problemas de la física aún más complejos, necesarios para la comprensión más apropiada de nuestro mundo, esencial para nosotros como ingenieros cuando hablamos de solidos deformables (plasticidad) y de fluidos como veremos a continuación. La comprensión del ser humano sobre lo que lo rodea se hizo cada vez más aproximada con los modelos matemáticos y físicos propuestos en nuestra historia, la mecánica clásica explico problemas básicos de nuestro mundo, como el movimiento y la interacción de la fuerza con ellos, las leyes newtonianas son las que los rigen, pero no explican los movimientos ni las deformaciones dentro de los objetos, solidos o fluidos, necesitaríamos centrarnos a nivel macroscópico para tener una aproximación racional del mundo real. La disciplina que nos da respuestas sobre las interacciones a nivel de partículas que son infinitas sea solido fluido o gas es la mecánica de medios continuos, a su vez esta disciplina se divide en mecánica del solido deformable (plasticidad) y mecánica de fluidos y gases.

1.2.MOVIMIENTO DE LAS PARTICULAS EN UN MEDIO CONTINUO 1.2.1. CINEMATICA DEL MEDIO CONTINUO

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Ahora que ya sabemos a lo que nos referimos con medio continuo, podemos empezar a estudiar sus características e iniciaremos con el movimiento de las partículas debido a la aplicacion de fuerzas externas, sin embargo antes debemos familiarizarnos con un nuevo concepto y es el llamado configuración este se refiere a la posición simultanea de todas las partículas dentro del cuerpo; la configuracion de referencia en cambio nos indica la posición de todas las partículas del solido en un instante del tiempo.

Como sabemos pòr Fisica I el movimiento es analizado por medio de magnitudes vectoriales, por funciones continuas y sus derivadas tambien continuas (es decir continuo entre dos configuraciones ya que puede existir configuraciones discontinuas); la mecánica de medios continuos puede ser utilizada para describir la respuesta de gases solidos y fluidos y usualmente se describen los solidos usando la descripción lagrangiana y para la descripción de fluidos se usa la descripcion euleriana. La descripcion lagrangiana también conocida como descripcion material consiste en colocar una etiqueta a cada particula, le pondríamos un nombre por ejemplo, de esta 2

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manera podremos saber cual es su posición en cualquier instante de cada una de las infinitas partículas componentes del solido, la notación con la que etiquetamos a cada particula que pertenece al conjunto del espacio continuo es X ϵ Ω (donde omega es el espacio continuo). 𝒙 = 𝜅(𝑿, 𝑡) (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.1) En la ecuación 1.1 X es la etiqueta de cada particula y κ es la función de la posición en función del tiempo para cierta particula X* Entonces ahora si consideramos un sistema cartesiano de ejes (X,Y,Z) y la inclusión de vectores ortonormales obtenemos las ecuaciones de la posición de las partículas. 𝑿 = 𝜅 −1 (𝒙, 𝑡) (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.2) Como podemos ver en la ecuación 1.2 es la función inversa de 1.1 y esta ultima nos dan las coordenadas materiales en función de las coordenadas espaciales las cuales son 1.1; por supuesto esto requiere que se tenga una función para cada particula y obviamente se asigna una etiqueta para cada particula, existen sin embargo ciertas restricciones matemáticas para garantizar la existencia de esta función 

En el instante inicial el valor de la función es el vector posición inicial, es decir:



𝝋(𝑿, 𝟎) = 𝒙 (condición de consistencia)



Como es sabido la función debe continua asi como sus derivadas, como ya dijimos continua entre dos instantes de referencia.



El jacobiano de transformación no debe ser cero.

*se debe tener en cuenta que la notación de un vector es en negritas minúscula x por lo que debe de tenerse en cuenta de no confundir con la etiqueta de una particula X 3

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Por la grafica 1.2 tenemos que el vector posición de la configuracion actual esta perfectamente definido por sus coordenadas, entonces tenemos que 𝒙 = 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝟏 + 𝑥1⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝟏 + 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝟏 = 𝑥1𝑖 ⃗⃗⃗ 𝒆𝒊 , como sabemos (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) son las coordenadas espaciales. 1.2.2. DESCRIPCIONES DEL MOVIMIENTO La descripción matemática de las propiedades de las partículas en un medio continuo se la realiza de dos maneras la descripción material usualmente empleada en mecánica de solidos y la descripción espacial que se usa en mecánica de fluidos como ya habíamos dicho, 1.2.3. DERIVADAS TEMPORALES: LOCAL, MATERIAL, CONVECTIVA Antes de pasar a estudiar la velocidad y aceleración en un medio continuo examinaremos las derivadas considerando las descripciones anteriormente mencionadas. Teniendo en cuenta las siguientes consideraciones, entonces tomemos en cuenta la descripcion material y espacial de una particula como sigue. 4

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𝜑(𝒙, 𝑡) = 𝜆(𝑿, 𝑡) (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.3) Donde podemos ver que la primera parte de esta igualdad corresponde a la descripcion espacial y la segunda a la descripcion material, ahora consideremos el siguiente concepto. 1.2.3.1.

DERIVADA LOCAL

Como ya sabemos por nuestros conocimiento de calculo la derivada no es mas que la variación, en este caso respecto al tiempo, si tenemos la descripcion espacial entonces obtendríamos: 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = 1.2.3.2.

𝜕𝜑(𝒙, 𝑡) 𝜕𝑡

DERIVADA MATERIAL

Es la variación de la propiedad respecto al tiempo siguiendo una particula (punto material) especifica del medio continuo, entonces tomando en cuenta la descripcion material la derivada material puede escribirse como: 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 =

𝜕𝜆(𝑿, 𝑡) 𝜕𝑡

Como veremos puede partirse de la descripcion espacial y llegarse a una descripcion material

1.3.CONCEPTO DE SOLIDO En la Mecanica teórica el concepto de solido es comunmente interpretado como cuerpo indeformable, sin embargo es una concepción para llegar a tener una aproximación de lo 5

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que realmente sucede, interpretación que es muy buena y ha ayudado mucho en la simplificación de problemas; debemos entender que la realidad es otra y los cuerpos que nos rodean sufren deformaciones, que cada uno de estos posee ciertas características en respuesta a las fuerzas aplicadas sobre ellos, es decir que cada cuerpo se deformará mas o menos respecto a otro. La mecánica entonces admite algunas definiciones de solido: 

Solido rigido, concepto clásico que postula que los cuerpos son indeformables ante la aplicación de fuerzas sobre ellos.



Solido elástico, esta es la imagen de los cuerpos que sometidos a cargas o fuerzas se deforman pero luego de retirada la fuerza estos vuelven a su estado original.



Solido verdadero, esta nocion considera que el cuerpo se deforma ante la aplicación de fuerzas.

1.4.CONCEPTOS DE HOMOGENEIDAD ISOTROPIA Y CONTINUIDAD A los cuerpos tomados como solidos elásticos les atribuimos una serie de características o cualidades: 

Isotropía, es un concepto que indica que las propiedades físicas de un elemento no varian con la dirección con la que se haya determinado o medido el cuerpo, es decir igual elasticidad en todas direcciones.



Homogeneidad, concepto que nos indica que un material en cualquier parte contiene la misma composición cualidad muy útil en la simplificación del estudio de los solidos elásticos.

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El ultimo concepto o idea que aplicamos a los cuerpos elásticos es la continuidad, propiedad que señalaremos es la continuidad que existe en los materiales suponiendo que no existen huecos a nivel de partículas.

1.5.EL CONCEPTO DE PRISMA MECANICO El concepto de prisma mecanico no es mas que la idealización o modelo de un solido deformable y geométricamente no es mas que una figura que se genera al mover una sección transversal plana a lo largo de una línea curva llamada línea media, de tal manera que el centro de gravedad de la sección plana este en todo momento sobre la curva. 1.6.EQUILIBRIO DE UN SOLIDO ELASTICO El equilibrio de los solidos rigidos en resistencia de materiales estaba definido por seis ecuaciones muy conocidas:

Σ𝐹𝑥 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0

Σ𝐹𝑧 = 0

Σ𝑀𝑥 = 0

Σ𝑀𝑦 = 0

Σ𝑀𝑧 = 0

No bastaba mas para definir el equilibrio en estos, en cambio en solidos elasticos hace falta considerar el equilibrio interno de los cuerpos el llamado equilibrio elástico que nos indica que si un solido es cortado en dos secciones es necesario que las fuerzas interiores del lado A seas iguales a las fuerzas aplicadas en el lado B es decir que las fuerzas exteriores deben ser contrarestadas por las fuerzas interiores o fuerzas de cohesion.

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1.7.CONCEPTO DE TENSION Al hablar de tensión primero debemos preguntarnos porque trabajamos con tensión y no con fuerza ya que las fuerzas son las que actúan sobre los edificios o cualquier otra estructura como ya deberíamos saber la tensión esta relacionada con una fuerza sobre una unidad de superficie y las cargas puntuales o fuerzas no lo estan. Los sólidos elásticos como habíamos visto gozan de ciertas características como habíamos visto, es asi que empecemos imaginando un solido elástico cualquiera sometido a fuerzas exteriores y a todo el sistema en equilibrio. Aplicando el método de las secciones al cuerpo, es decir hacemos pasar un plano E por el medio del cuerpo este queda dividido en dos partes A y B como sabemos por la definición de solido elástico existen fuerzas internas en el cuerpo que equilibran las fuerzas exteriores, si suprimimos una de las partes supongamos la parte B las reacciones a tal acción de separación de los lados se ven reflejadas en el lado A en el plano E estas son de distribución continua lo cual nos deriva a la siguiente ecuación para averiguar la tensión :

Δ𝑃 𝐸→0 Δ𝐴

𝜎 = lim

Podemos entonces definir el vector tensión como un vector colineal al de la fuerza y su modulo significa la magnitud de la fuerza ejercida en el plano E por unidad de superficie.

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