Capitolul 2.pdf

CAPITOLUL 2 ELEMENTE DE TEORIE ZONALĂ ÎN STRUCTURA MATERIALELOR ELECTROTEHNICE 2.1.

Teoria benzilor de energie.

Studiul proprietăților fundamentale ale materialelor electrotehnice are la bază studiul fenomenologic al comportării corpurilor cristalizate respectiv al cristalului unidimensional perfect, format din atomi (ioni, molecule), așezați la distanțe egale de-a lungul unei drepte. Electronii dintr-un cristal unidimensional formează un sistem fizic căruia i se aplică principiul de excluziune, deoarece distanța a dintre doi atomi vecini are ordinul de mărime egal cu al dimensiunii atomului, 𝑎 ≈ 10−8 𝑐𝑚 = 1 [Å]. În această împrejurare comportarea sistemului fizic de electroni al unui cristal este descrisă de o funcțiune de undă globală Ψ𝑠 în care intervine energia potențială U𝑠 a sistemului, dependentă, simultan, de coordonatele tuturor microparticulelor din cristal. Mărimea U𝑠 fiind neaditivă în ecuația lui Schrödinger nu este posibilă separarea variabilelor și, din această cauză, integrarea ecuației este dificilă. Se poate găsi o soluție aproximativă considerând că fiecare electron are o energie potențială U corespunzătoare câmpului electric, sau U, potențialului electric, stabilită V V(x) de nucleu și de toți ceilalți electroni. În Figura 2.1, sunt reprezentate variațiile energiei potențiale U(𝑥) și ale 0 X potențialului electric V(𝑥) de-a a 2a 3a 4a lungul axei OX în punctele 0, a, U0 2a, 3a, 4a (a - este constanta rețelei cristaline). U(x) Variația funcției U(𝑥) fiind periodică, se poate face Figura 2.1 dezvoltarea ei în serie Fourier obținându-se: 

U  x   U 0   U i  cos i 1

2 ix a

(2.1)

Mișcarea electronului în rețeaua cristalină se poate face în două moduri distincte: a. Dacă este satisfăcută expresia 2𝑎 = 𝑛𝜆 (forma particulară a relației lui Bragg) cu 𝑛 = ±1, ±2, … …, , cu 𝜆 = 2𝜋 și 𝑘 = 𝑛𝜋/𝑎 sau 𝑝 = 𝑛ℎ/2𝑎, atunci ecuația lui Schrödinger capătă forma:



2  2 ix  d    U 0 U i cos a    w   2 2 8 m0 dx 0  

h

2



(2.2)

În acest caz, migrarea electronului este perturbată iar energia lui este:

W

2 1 h  K 2 U 0  U n 2 8 m 0

(2.3)

unde m0 este masa de repaus a electronului. b. Dacă nu este satisfăcută expresia 2𝑎 ≠ 𝑛𝜆 respectiv 𝑘 ≠ 𝑛𝜋/𝑎, atunci ecuația lui Schrödinger devine:

d   2  2  U 0  w   8 m 0 dx h

2

2

(2.4)

Introducând relația: 2 K 

8 m 0  w U 0 2 h 2

(2.5)

ecuația lui Schrödinger 2.4 devine:

d   K 2   2 dx 2

(2.6)

cu soluția generală

  Ae  jkx  Be  jkx

(2.7)

deci funcțiunea de undă Ψ este rezultatul suprapunerii a două unde: −𝑗𝑘𝑥

 o undă incidentă Ψ1 = 𝐴𝑒 ; +𝑗𝑘𝑥  o undă reflutată Ψ2 = 𝐵𝑒 . Recapitulând cele două cazuri (a și b) de mai sus, pentru energia electronului, s-au obținut următoarele expresii, funcțiuni de factorul k: 𝜋

 pentru 𝑘 ≠ 𝑛 𝑎 (mișcare neperturbată a electronului)

h

w

2

8 m0 2

 K 2 U 0 ;

(2.8)

𝜋

 pentru 𝑘 = 𝑛 𝑎 (mișcare perturbată a electronului)

w

2 1 h  K 2 U 0  U n . 2 8 m0

W

W

w6 w5

M'3

-3 π a

π -2 a

LEGENDĂ

-π a

M4 M2 U1 M1 π a

B.P.

w4 U2 M3

w0 0 a.

B.P. B.I.

w6 w5

M'4 w4 w3 w2 w1

(2.9)

2π a

3π a

B.I. B.P. B.P. B.P.

w3 w2 w1 U0 X 0

b.

X

B.P. (benzi permise) B.P. (benzi interzise)

Figura 2.2

Curba 𝑤 = 𝑤(𝑘) din expresia 2.8, reprezintă o parabolă (Figura 𝜋 2.2.a). În punctele "critice" 𝑘 ± 𝑛 𝑎, valorile energiei w, variază discontinuu conform relației 2.9, cu salturi egale cu 𝑈𝑛 (de la 𝑀1 la 𝑀2 , de la 𝑀3 la 𝑀4 , ș.a.; în Figura 2.2.a). Din motive de continuitate în 𝜋 vecinătatea punctelor 𝑘 = 𝑛 𝑎 , curba 𝑤 = 𝑤(𝑘) se abate de la parabola care ar reprezenta valorile energiei între punctele "critice" conform ecuației 2.8, iar variația energiei în funcție de numărul de unde este reprezentată de curba trasată cu linie plină în Figura 2.1.a. Se observă că se obțin valori permise ale energiei electronului, ca cele cuprinse între 𝑈0 și 𝑤1 , între 𝑤1 și 𝑤3 , ș.a., cum și valori interzise ale energiei cum sunt cele cuprinse între 𝑤1 și 𝑤2 , între 𝑤3 și 𝑤4 , ș.a. Valorile permise, rspectiv interzise de energie sunt grupate în benzi sau zone permise (B.P.) respectiv interzise de energie (B.I.). În Figura 2.2.b, sunt reprezentate asemenea benzi permise (B.P.) și interzise (B.I) extinse de-a lungul cristalului.

𝜋

Se observă că lățimea benzilor interzise scade pe măsură ce 𝑘 = 𝑛 𝑎 crește, deoarece seria Fourier din relația 2.1, fiind convergentă, 𝑈𝑛 scade când n crește. Lățimea benzilor permise crește cu n, adică pe măsură ce w crește. În realitate și benzile permise au o structură discretă, adică energia variază discontinuu și în intervalele de valori cuprinse între valorile "critice". 2.2. Clasificarea materialelor electrotehnice din punctul de vedere al teoriei structurale zonale a benzilor de energie. Din punctul de vedere al teoriei zonale a benzilor de energie materialele electrotehnice se clasifică în: dielectrici (materiale izolante), semiconductori și conductori. Un dielectric (Figura 2.3.a) are la temperatura T=0°K, benzile permise fie complet ocupate de electroni, fie complet libere, iar nivelul limită Formi (𝑊𝐹 ), trece prin interiorul unei benzi interzise de lățime Δ𝑊𝑖 , mare, pe care o numim bandă interzisă Fermi (obișnuit o mai numim bandă interzisă). Lățimea Δ𝑊𝑖 ≈ 6𝑒𝑉, la temperatura T=300°K (temperatura camerii). Banda energetică situată sub nivelul energetic 𝑊𝐹 , se numește bandă de valență (B.V) iar cea situată deasupra nivelului energetic 𝑊𝐹 se numește bandă de conducție. Semiconductorii pot fi intrinseci și extrinseci. Semiconductorii intrinseci au banda de conducție Δ𝑊𝑖 = 10−2 𝑒𝑉 iar cei extrinseci posedă Δ𝑊𝑖 = 1,1𝑒𝑉 (Figura 2.3.b și Figura 2.3.c).

W

W

W B.C.

B.C.

WF

WF

B.C. ΔWi

B.V. B.I.

B.V. B.I. 0

X

a.

0 b.

W

WF B.V.

B.I.

X

0

X

c.

W

WF

B.C.

B.P.

WF

B.V.

B.C.

B.I. 0

d.

X

0

e.

X

Figura 2.3

Legendă: a - dielectric; b - semiconductor intrinsec; c - semiconductor extrinsec; d,e - conductori; B.C - bandă de conducție; B.V - bandă de valență; B.I - bandă interzisă; B.P - bandă permisă; WF - nivel energetic limită Fermi.