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Capítulo
5
ANÁLISIS DE CIRCUITOS AC EN ESTADO ESTACIONARIO SENOIDAL La mayoría de las personas en el mundo interactúan diariamente con instalaciones eléctricas y/o dispositivos eléctricos, cuya alimentación es del tipo AC senoidal con una frecuencia predeterminada. El diseño, análisis y simulación de este tipo de sistemas en una condición de operación estable, requiere el manejo y solución de ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior, debido a las relaciones de voltaje y corriente en los elementos pasivos R, L o C. Si se analizara la respuesta de estas instalaciones o dispositivos a partir de dichas ecuaciones, el tratamiento matemático sería extenso y poco práctico; es por esto que se ha llegado a una forma de análisis conocida como “análisis en el dominio de la frecuencia”, la cual implica un manejo de nuevos conceptos y variables que pueden expresarse como números complejos, y a la vez simplifica notablemente el procedimiento de cálculo. Se espera que este capítulo sirva como material de apoyo a los estudiantes que cursan la asignatura Circuitos eléctricos y a los que necesiten de esta temática en cursos posteriores, como circuitos electrónicos, máquinas eléctricas y electrónica industrial.
5.1 Forma de onda y propiedades De forma general el análisis AC (Alternate Current) en circuitos eléctricos, emplea todas las técnicas, leyes y propiedades vistas en el análisis de circuitos DC en estado estacionario. Sin embargo, si se quisiera analizar la respuesta en el tiempo de circuitos con fuentes AC, el trabajo sería dispendioso cuando se trabaje con elementos pasivos como inductancias y capacitancias, ya que sus relaciones de voltaje y corriente, pueden repercutir en ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior. Otra alternativa es analizar estos circuitos sin tener en cuenta la variable temporal, pero para esto debemos establecer unas nuevas relaciones entre el voltaje y la corriente para los elementos pasivos, que sean independientes del tiempo. Se hablará entonces del análisis de circuitos eléctricos en el dominio de la frecuencia. Para establecer estas relaciones, debemos partir del tipo de circuito que vamos a analizar. A continuación se enumeran ciertas características que deben tener los circuitos que se tratarán bajo esta nueva metodología. Si alguna configuración cumple con estas condiciones el estudiante debe estar en la capacidad de obtener la respuesta en el tiempo de cualquier variable eléctrica, a partir de la teoría y de las herramientas suministradas.
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Circuitos con una o varias fuentes independientes senoidales Fuentes con frecuencia constante. Circuitos con elementos pasivos (resistencias, condensadores e inductancias) lineales.
Forma de onda y desfase Cualquier forma de onda senoidal la podemos caracterizar completamente con la ayuda de tres parámetros: frecuencia, Amplitud y ángulo de fase. v(t) V
Vm π
0 θ
2π wt, t
v(t ) = Vm ⋅ sin( wt + θ ) Donde Vm es la amplitud de voltaje en [V] w es la frecuencia angular en [rad/s] θ es ángulo de fase [Grados] Pese a que las unidades del ángulo de fase se expresen comúnmente en grados, para obtener la magnitud de la señal para un tiempo definido es necesario convertirlo a radianes, por las unidades de la frecuencia angular. La frecuencia angular expresa el ángulo recorrido por la función por cada unidad de tiempo y se relaciona de la siguiente forma con la frecuencia.
w = 2πf Donde f es la frecuencia de la señal en [Hz] Nótese que cuando se suma un ángulo positivo de fase a la señal el efecto es un corrimiento a la izquierda, aquí decimos que la señal está adelantada θ grados con respecto a la onda seno. De la misma forma las funciones seno y coseno se pueden expresar una en función de la otra teniendo en cuenta su ángulo de fase. En la siguiente figura se tienen dos señales, la azul corresponde a la señal cos(wt ) y la roja es
sin(wt ) .
Cambiando su ángulo de fase se puede decir que
2
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
cos( wt ) = sin( wt + 90°)
y
sin( wt ) = cos( wt − 90)
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5 cos wt
sen wt
Tiempo (s)
De las gráficas y las relaciones entre las funciones se puede deducir que el coseno está adelantado 90° al seno y/o que el seno está atrasado 90° al coseno. Se puede entonces hallar el ángulo de fase existente entre dos señales con forma senoidal que tengan la misma frecuencia. Este ángulo es conocido también como el desfase entre las señales y adicionalmente se puede determinar si hay adelanto o atraso de una señal con respecto a la otra. A manera de ejemplo, se quisiera saber cual es el desfase entre las dos señales siguientes y adicionalmente si v1 se encuentra en adelanto o en atraso con respecto a v2.
v1 (t ) = 10 ⋅ sin( 20t + 10°) _ V
v 2 (t ) = −15 ⋅ cos(20t + 30°) _ V
El desfase entre las señales se puede obtener simplemente del valor absoluto de la resta de sus ángulos de fase, siempre y cuando las dos señales tengan una forma estándar, es decir sus amplitudes deben ser números positivos y la función que las define debe ser la misma. Como se puede ver no es el caso de las señales del ejemplo, así que haremos unas modificaciones en la manera como expresamos a v2. Una señal se encuentra desfasada 180° con respecto a su inversa aditiva y se puede decir que una con respecto a la otra está igualmente adelantada o atrasada 180°. Por lo tanto una forma equivalente de expresar a v2 es la siguiente.
v 2 (t ) = −15 ⋅ cos(20t − 30°) _ V = 15 ⋅ sin( 20t + 30° − 180° + 90°) _ V v 2 (t ) = 15 ⋅ sin( 20t − 60°) _ V Ahora si podemos decir que el desfase entre v1 y v2 es de 70° y adicionalmente se sabe que v1 está adelantada con respecto a v2, por tener un ángulo de fase mayor. v1 está adelantada 70° a v2, o v2 esta atrasada 70° a v1.
3
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.2 Números complejos, notación y operación Un número complejo es un número que pertenece al plano complejo y se conforma de una componente real o un número real y de una componente imaginaria o de un número imaginario. Sea A un número complejo
A = a + jb
Donde j =
− 1 . La representación de A en el plano complejo es: Eje Imaginario
A = a + jb
b
A α a
Eje Real
Existen diferentes formas de referirnos al mismo número, la diferencia radica en las coordenadas que utilizamos para ubicar dicho número en el plano complejo.
A = a + jb A = ( a, b)
Notación cartesiana
A = A ∠α
Notación polar
A = A ⋅ e jα
Notación exponencial
Notación rectangular
Se puede pasar de una notación a otra, a partir de las relaciones geométricas que se deducen de la figura anterior
⎛b⎞ ⎝a⎠ b = A sin (α )
α = tan −1 ⎜ ⎟
A = a2 + b2 a = A cos(α )
En la operación si se tienen dos números complejos A y B,
A = a + jb = A ∠α Entonces
A + B = (a + c) + j (b + d ) A * B = A * B ∠α + β
4
y
B = c + jd = B ∠β
A − B = (a − c) + j (b − d ) A A = ∠α − β B B
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.3 Circuito RL con fuente senoidal Partiremos del análisis de un circuito RL simple alimentado por una fuente de voltaje cuya función es descrita por una senoidal, tal como se muestra en la siguiente figura.
v S (t ) = Vm cos( wt )
i(t)
i (t ) = Im cos( wt + φ )
Los parámetros conocidos en este circuito son la resistencia, la inductancia y los que describen la función de voltaje en el tiempo (Amplitud, frecuencia angular y ángulo de fase). A partir de estos parámetros esperamos encontrar los parámetros desconocidos (Amplitud de corriente y ángulo de fase de la corriente). A continuación haremos un breve desarrollo matemático para determinar la respuesta del circuito para estado estacionario senoidal. La siguiente es la ecuación de malla que relaciona los voltajes en los elementos y la fuente del circuito:
v S (t ) = R ⋅ i (t ) + L
di (t ) (1) dt ± jα
= cos α ± j sin α , podemos expresar las funciones de voltaje de la De la identidad de Euler e fuente y corriente del circuito de la siguiente forma.
{
v S (t ) = Re Vm ⋅ e jwt
{
i (t ) = Im Im ⋅ e
} }
j ( wt +φ )
j ( wt +φ )
e Im⋅ e , son soluciones particulares de (1) por Las componentes reales e imaginarias de Vm ⋅ e lo tanto la suma de las soluciones es una solución también. De acuerdo con esto reemplazamos en (1) y desarrollamos. jwt
d ( Im ⋅ e j ( wt +φ ) ) dt j ( wt +φ ) = R ⋅ Im ⋅ e + jwLIm ⋅ e j (wt +φ ) = R ⋅ Im ⋅ e jwt ⋅ e jφ + jwLIm ⋅ e jwt ⋅ e jφ
Vm ⋅ e jwt = R ⋅ Im ⋅ e j ( wt +φ ) + L Vm ⋅ e jwt Vm ⋅ e jwt
Vm = R ⋅ Im ⋅ e jφ + jwLIm ⋅ e jφ
5
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Como se puede ver, en la ecuación anterior, todos los términos dependen de la variable tiempo, jwt
relacionada con el término e . Pero los parámetros desconocidos en el circuito, es decir la amplitud y el ángulo de fase de la corriente se relacionan con otras variables conocidas y no con el tiempo.
Im ⋅ e jφ =
Vm (2) R + jwL
Este resultado es muy importante ya que podemos determinar la magnitud y el ángulo de fase de la corriente en función de los parámetros conocidos del circuito. Esta respuesta es lo que origina el análisis de los circuitos en el dominio de la frecuencia. Ya que tanto magnitud como ángulo de la corriente podrían variar si varía w pero no si varía t Si analizamos un poco la ecuación anterior y hacemos la analogía con la ley de ohm el término del denominador sería una especie de resistencia, pues en la medida que este crezca el valor de la amplitud de la corriente será más pequeño. El término del denominador es lo que se conoce como impedancia y se denota con la letra Z. La parte imaginaria de la impedancia es lo que se conoce como reactancia y se denota con la letra X.
Z = R + jwL Impedancia de un circuito RL serie X L = wL Reactancia inductiva Como es de esperarse las unidades para R, X y Z son ohmios [Ω] Debido a que w y L son parámetros con valor positivo, tenemos que el ángulo de la impedancia, cuya notación es la letra griega θ, es positivo en circuitos RL.
⎛X⎞ ⎟ ⎝R⎠
θ = tan −1 ⎜
De la ecuación (2), se puede ver que los parámetros que describen la función de la corriente se expresan como un número complejo en notación exponencial o polar; a este término lo llamamos fasor. Un fasor se puede definir como un número complejo (vector) que gira en el tiempo con velocidad constante, haciendo que los valores instantáneos de sus componentes reales e imaginarias describan funciones senoidales. El fasor, que representa una función de voltaje o corriente en el tiempo, es un número complejo en notación polar cuya magnitud puede ser la amplitud o el valor efectivo de la función y su ángulo es el ángulo de fase de la misma función. Convirtiendo todos los números de la expresión 2 en notación polar se tiene:
Im∠φ =
Vm ⎛ wL ⎞ R 2 + w 2 L2 ∠ tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠
Por lo tanto, para este caso, las relaciones que determinan los valores de amplitud de corriente y ángulo de fase son:
6
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
⎛ wL ⎞ ∠ − tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ R +w L Vm
Im∠φ =
Im =
2
2 2
Vm R +w L 2
2
2
⎛ wL ⎞ ⎟ ⎝ R ⎠
φ = − tan −1 ⎜
Nótese que para este circuito, mientras que la fuente de voltaje tenga un ángulo de fase 0 (o de referencia), el ángulo de la corriente será exactamente el inverso aditivo del ángulo de la impedancia. Por lo tanto podemos decir que para circuitos equivalentes RL el ángulo de la impedancia equivalente es positivo y la corriente de la fuente que alimenta a la carga va a estar en atraso con respecto al voltaje de la carga.
5.4 Circuito RC con fuente senoidal Haciendo un análisis similar al del circuito RL serie. Se procede a hallar la relación de la magnitud y ángulo de fase de la corriente, con los parámetros conocidos del circuito RC.
i(t)
v S (t ) = Vm cos( wt ) i (t ) = Im cos( wt + φ )
v S (t ) = R ⋅ i (t ) +
{
1 i (t )dt C∫
v S (t ) = Re Vm ⋅ e jwt
i (t ) = Im{Im ⋅ e j ( wt +φ
} ) }
1 Im ⋅ e j ( wt +φ ) dt ∫ C Im = R ⋅ Im ⋅ e j ( wt +φ ) + ⋅ e j ( wt +φ ) jwC
Vm ⋅ e jwt = R ⋅ Im ⋅ e j (wt +φ ) + Vm ⋅ e jwt
7
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Vm ⋅ e jwt = R ⋅ Im ⋅ e jwt ⋅ e jφ +
Im ⋅ e jwt ⋅ e jφ jwC
Vm = R ⋅ Im ⋅ e jφ + Im ⋅ e jφ =
Z= R− j
Im ⋅ e jφ jwC
Vm (3) j R− wC
wC Impedancia de un circuito RC serie
XC = − 1
wC Reactancia capacitiva
Debido a que w y C son parámetros con valor positivo, tenemos ahora que el ángulo de la impedancia, es negativo en circuitos equivalentes RC.
⎛X⎞ ⎟ ⎝R⎠
θ = tan −1 ⎜
Convirtiendo todos los números de la expresión (3) en notación polar se tiene:
Vm
Im∠φ =
(
R2 + 1
) ∠ tan wC 2
−1
⎛ 1 ⎞ ⎜ − wC ⎟ ⎜ R ⎟ ⎝ ⎠
Por lo tanto, para este caso, las relaciones que determinan los valores de amplitud de corriente y ángulo de fase son:
Vm
Im∠φ =
(
R2 + 1
Im =
Vm
(
R2 + 1
) wC
2
) wC
2
⎛1 ⎞ ∠ tan −1 ⎜⎜ wC ⎟⎟ R ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ wC φ = tan ⎜ ⎜ R ⎟⎟ ⎝ ⎠ −1
A diferencia del caso anterior, mientras que la fuente de voltaje tenga un ángulo de fase de referencia 0, el ángulo de la corriente será positivo. Por lo tanto podemos decir que para circuitos equivalentes RC el ángulo de la impedancia equivalente es negativo y la corriente de la fuente que alimenta a la carga, va a estar en adelanto con respecto al voltaje de la carga.
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.5 Admitancia susceptancia y conductancia. De la definición de impedancia se obtiene un nuevo parámetro conocido como admitancia, cuya relación se define en la siguiente expresión. La parte real de la admitancia es conocida como conductancia y la parte imaginaria se denomina susceptancia. Las unidades de los nuevos parámetros definidos son los mhos o siemens. Cabe notar que para una carga cualquiera, no necesariamente la conductancia es el inverso de la resistencia, ni la susceptancia es el inverso de la reactancia. Para el uso de algunas técnicas de análisis resulta más práctico si los elementos pasivos están expresados como admitancias.
Y=
1 = G + jB = [siemens] Z
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
Impedancia
v R = iR R
VR = R ⋅ I R
ZR = R
VL = jwL ⋅ I L
Z L = jwL
vL = L
diL dt t
vC =
1 iC dt C ∫0
VC =
1 ⋅ IC jwC
ZC =
Admitancia
YR =
YL =
1 jwC
1 R
1 jwL
YC = jwC
Relaciones de voltaje y corriente en el dominio de tiempo y dominio de la frecuencia
Triángulo de impedancia. Para una carga equivalente RL o RC, se puede hacer una representación geométrica de las magnitudes de sus componentes en el plano complejo, tal como se muestra en las siguientes figuras. Esta representación corresponde a un triángulo rectángulo cuyos catetos se relacionan con la parte resistiva y reactiva de la carga, por lo tanto el triángulo toma diferentes formas de acuerdo con la carga. Es importante señalar que la componente resistiva siempre tendrá un valor positivo o cero, mientras que la componente reactiva puede tomar valores positivos o negativos si la reactancia equivalente es inductiva o capacitiva. R Z
θ
jwL
θ
Z
1/jwC
R Triángulo de impedancia para una carga resistivo inductiva
Triángulo de impedancia para una carga resistivo capacitiva
R
Z
jwL
Z Triángulo de impedancia para una carga resistiva.
Triángulo de impedancia para una carga reactiva inductiva
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.6 Valores efectivos de voltaje y corriente Si se realizara una encuesta a la población general, sobre ¿Cuál es el nivel de voltaje que se maneja en el tomacorriente de las casas?, asombrosamente un gran porcentaje de los encuestados estarían de acuerdo en que el voltaje está entre 110V y 120 V. Ahora haciendo una muestra seleccionada de la población de primeros semestres de carreras de ingeniería eléctrica y electrónica1, el resultado sería el mismo y además varios de ellos sabrían que la forma de onda del voltaje en el tiempo del tomacorriente, varía de una forma similar a una onda senoidal; sin embargo, pocos individuos de esta última muestra tendrían una conciencia clara sobre el significado de este valor. Si se llevara a este grupo de estudiantes al laboratorio y con ayuda de un osciloscopio se descubriera que la amplitud de la señal de voltaje del tomacorriente está entre 155.6 V y 169.7 V, probablemente algunos de ellos considerarían un posible error en la medición y otros tantos no sabrían explicar lo descubierto.
16,67 ms
169.7 V t Voltaje del tomacorriente
Entonces ¿Dónde están los 120 V? ¿Qué significan? Este valor de voltaje es un valor efectivo, el cual corresponde aproximadamente a un 70% del valor de la amplitud de la onda, para el caso de ondas senoidales con valor medio 0, y ahora la pregunta es ¿Qué es un valor efectivo? Para explicarlo considérese el siguiente circuito.
i(t)
Vm cos(wt )
La potencia en el tiempo que se disipa en esta resistencia se puede hallar del producto de su voltaje y corriente en el tiempo.
1
Dentro de esta muestra podrían incluirse a varios estudiantes de últimos semestres sin que haya un cambio notable en los resultados
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
v 2 (t ) p (t ) = v(t )i (t ) = i (t ) R = R 2
p(t ) =
(Vm)2 cos 2 ( wt )
y como
R
cos 2 (α ) =
1 + cos(2α ) , entonces. 2
2 2 ( ( Vm ) Vm ) p(t ) = + cos(2wt )
2R
2R
Vemos que la función que describe la potencia también varía de forma senoidal, pero a diferencia del voltaje, su frecuencia es el doble y además tiene un término constante. Mientras que la media de la función del voltaje era 0, la media para la función de potencia en este circuito simple, es una constante denominada potencia promedio y denotada por la letra P (en mayúscula). 2 ( Vm ) p(t ) = P =
2R
El valor efectivo de una fuente AC, es el valor de voltaje que debería tener una fuente DC, para hacer que se disipe la misma potencia promedio que se disiparía sobre una resistencia de valor R, alimentada por una fuente AC.
Ieff Veff
2
La potencia en este circuito se calcularía a partir de
P=
VEFF . Para hallar cuál es la relación del valor R
efectivo de la fuente con la amplitud de la onda, igualamos: 2
T T V EFF 1 1 v 2 (t ) P= = ∫ p (t )dt = ∫ dt R T 0 T 0 R
2
T V EFF 1 v 2 (t ) = ∫ dt R T 0 R
11
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
T
1 2 v (t )dt T ∫0
V EFF =
Según esta ecuación vemos que el valor efectivo de una función es la raíz del promedio de la función al cuadrado; es por esto que el valor efectivo es también conocido como valor r.m.s de la sigla root mean square (Raíz de la media del cuadrado) T
1 Vm2 cos 2 ( wt )dt T ∫0
V EFF = Vr .m.s. =
0 T
Vr .m.s. = Vm
T
1 1 dt + cos(2 wt )dt ∫ 2T 0 2T ∫0
Vr .m.s. = Vm
Vr . m. s . =
1 T 2T
Vm 2
Finalmente se obtiene que el valor efectivo o valor r.m.s. de una función seniodal se obtiene dividiendo el valor de su amplitud sobre raíz de 2 o equivale aproximadamente a un 70 % del valor de la amplitud de la onda.
5.7 Potencia Considérese una carga equivalente que esta siendo alimentada por una fuente AC senoidal. Por su característica lineal la corriente que circula a través de ella tiene la misma forma y la potencia instantánea la podemos obtener como el producto entre las dos variables.
+ v(t) -
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i(t)
Z
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
v(t ) = Vm cos(wt + α ) _ V i (t ) = Im cos(wt + β ) _ A
p(t ) = v(t ) * i (t ) La impedancia de la carga la podemos obtener entonces como la relación fasorial entre el voltaje y la corriente.
Z=
Vm Vm ∠α − β = ∠θ Im Im
θ =α −β
Ángulo de la impedancia.
Si tomamos el ángulo de fase de voltaje como
β = −θ
α =0
entonces el ángulo de fase de la corriente será
.
v(t ) = Vm cos( wt ) _ V i (t ) = Im cos( wt − θ ) _ A
p(t ) = VmIm cos( wt ) cos( wt − θ ) Y mediante la identidad trigonométrica del producto de coseno de ángulos transformamos la expresión
cos α cos β = p(t ) =
cos(α + β ) + cos(α − β ) 2
VmIm VmIm cosθ + cos(2wt − θ ) 2 2
Y reemplazando las amplitudes de voltaje y corriente por sus valores efectivos se obtiene
p (t ) = Vrms I rms cos θ + Vrms I rms cos(2wt − θ ) (4) Como era de esperarse la expresión para la potencia instantánea tiene unas características en particular. La primera es que tiene un término constante dependiente del coseno del ángulo de desfase entre el
voltaje y la corriente. Nótese que para desfases máximos de 90° y -90° el término cos θ , se hace 0 con lo cual el valor medio de la potencia o la potencia promedio (P), se hace 0 también. La segunda característica es que la función de la potencia instantánea es en forma una senoidal, pero que varía con el doble de la frecuencia en el tiempo.
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Voltaje (V) Corriente (A) Potencia
tt(s)
Gráficas de voltaje, corriente y potencia. La línea media representa la potencia promedio Descomponiendo un poco más el término de potencia instantánea, se obtiene:
p(t ) = Vrms I rms cosθ + Vrms I rms cosθ cos 2wt + Vrms I rms sin θ sin 2wt p(t ) = Vrms I rms cosθ (1 + cos 2 wt ) + Vrms I rms sin θ sin 2 wt (5) Se podría separar el término para la potencia instantánea en término proporcional a la potencia instantánea disipada por causa de los elementos resistivos y otro proporcional a la potencia instantánea que se disipa en elementos reactivos (L y C).
Potencia activa reactiva y compleja De (4) se sabe que la expresión para la potencia promedio es
P = Vrms I rms cos(α − β ) Y por medio de la identidad de Euler la podemos expresar como:
P = Re{Vrms e jα I rms e − jβ } = Re{V ⋅ I * } El término V ⋅ I , es lo que se conoce como potencia compleja y se denota por la letra S. Se puede ver que la potencia compleja se compone de una parte real que es la potencia promedio y una parte imaginaria que es la potencia reactiva, la cual se denota con la letra Q. *
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
S = V ⋅ I* S = Vrms I rms cos(α − β ) + jVrms I rms sin(α − β )
S = P + jQ P = Vrms I rms cos(α − β ) = Vrms I rms cosθ Q = Vrms I rms sin(α − β ) = Vrms I rms sin θ La potencia compleja también puede expresarse en una notación polar como S = S∠θ , donde S se conoce como la potencia aparente y se calcula de
S = Vrms I rms
Resulta curioso ver de (5), que mientras la potencia promedio es el término correspondiente a la media de la potencia instantánea, la potencia reactiva es la amplitud de la potencia instantánea que se disipa en elementos reactivos. Dimensionalmente, en el sistema internacional de unidades, todos los tipos de potencia tienen las mismas unidades (W); sin embargo, se acostumbra a asociar diferentes unidades para los diferentes tipos de potencia, con el ánimo de diferenciarlas. P = potencia promedio Q = potencia reactiva S = potencia aparente S = potencia compleja
[W], vatios. [VAR], voltio amperio reactivo. [VA], voltio amperio. [VA], voltio amperio.
Triangulo de potencia De la misma forma como las componentes resistiva y reactiva de la impedancia se pueden representar en el plano complejo, las componentes de la potencia compleja conforman un triángulo de potencia, el cual resulta proporcional al triángulo de impedancia; es por esto que a θ, se le conoce como el ángulo de impedancia o de potencia. Nótese que en el caso de una carga resistivo capacitiva, la potencia reactiva consumida es negativa; esto físicamente sucede cuando el elemento en mención está entregando potencia, por lo tanto los elementos capacitivos son generadores de potencia reactiva. P S
θ
jQ
θ
S
-jQ
P Triángulo de potencia para una carga resistivo inductiva
Triángulo de potencia para una carga resistivo capacitiva
P
S
jQ
S Triángulo de potencia para una carga resistiva.
Triángulo de potencia para una carga reactiva inductiva
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.8 Factor de potencia La energía necesaria para el funcionamiento de un equipo eléctrico se divide en una energía activa, la cual se disipa en elementos resistivos, transformándose en energía calórica, y una energía reactiva, la cual no produce un trabajo físico directo en los equipos y es necesaria para producir el flujo electromagnético que pone en funcionamiento elementos tales como: motores, transformadores, lámparas fluorescentes, equipos de refrigeración y otros similares. La energía activa debe ser generada necesariamente en las plantas de generación, mientras que la energía reactiva puede generarse localmente con la ayuda de elementos capacitivos. Al esquematizar estas componentes en un triángulo de potencia se genera una equivalente asociada a la potencia aparente. El factor de potencia de una carga se define como la relación entre la potencia activa y la potencia aparente, por lo tanto el factor de potencia es un número positivo, adimensional, que varía entre 0 y 1. Se puede interpretar como un porcentaje de la potencia promedio, de un total relacionado con la potencia aparente. De una forma alternativa el factor de potencia es el coseno del ángulo de potencia.
F .P. =
P Vrms I rms cos θ = = cos θ S Vrms I rms
El ángulo de la impedancia varía entre -90° y 0 para una carga resistivo capacitiva y entre 0 y 90° para una carga resistivo inductiva, por esto el coseno en este rango de valores de ángulo es siempre positivo; sin embargo, dos cargas diferentes pueden tener el mismo factor de potencia. Para diferenciarlos se recurre a lo que le pasa a la corriente con respecto al voltaje en una carga RL o RC; en una carga RL se sabe que la corriente se atrasa al voltaje, por lo tanto se dice que el factor de potencia en estas cargas es en atraso, denotándolo con FP (-), FP (↓) o FP (atraso). En una carga RC, la corriente se adelantará al voltaje por lo tanto en factor de potencia en este tipo de carga es en adelanto, denotándose como FP (+), FP (↑) o FP (adelanto). En una carga resistiva el ángulo de la impedancia es 0 y su factor de potencia es 1, lo que quiere decir que la corriente se encuentra en fase con el voltaje y no tiene sentido decir que el factor de potencia es en atraso o adelanto. Por lo general las empresas electrificadotas cobran por la energía activa, por ser la que se puede generar únicamente en los centros de generación. Uno de los problemas de tener cargas con bajos factores de potencia es el bajo recaudo que realizan las electrificadotas por el servicio prestado y como posible solución se emplean contadores de potencia reactiva; sin embargo, las cargas con bajos factores de potencia ocasionan otros serios problemas en los sistemas, en los usuarios y en las electrificadotas, por lo cual se deben emplear métodos de corrección de factor de potencia. Algunos de los problemas generados se describen a continuación Problemas en los usuarios y en el sistema
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Aumento de la corriente en los conductores Mayores pérdidas y fuertes caídas de tensión Incrementos de potencia de las plantas, transformadores, reducción de su vida útil y reducción de la capacidad de conducción de los conductores. La temperatura de los conductores aumenta y esto disminuye la vida de su aislamiento. Aumentos en sus facturas por consumo de electricidad.
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Problemas para la empresa distribuidora de energía
Mayor inversión en los equipos de generación, ya que su capacidad en KVA debe ser mayor, para poder entregar energía reactiva adicional. Mayores capacidades en líneas de transmisión y distribución así como en transformadores para el transporte y transformación de esta energía reactiva. Elevadas caídas de tensión y baja regulación de voltaje, lo cual puede afectar la estabilidad de la red eléctrica.
Corrección del factor de potencia La corrección del factor de potencia es el ejercicio de elevar el factor de potencia para una carga o un conjunto de cargas de acuerdo con normas que regulan los valores permitidos de factor de potencia. Dada la fórmula del factor de potencia, para aumentar su valor es necesario aumentar la potencia activa o disminuir la potencia aparente, obviamente ligada a una disminución de la potencia reactiva. El aumento de la potencia activa, no es una solución económicamente viable, pues está asociada a un mayor consumo en el servicio. La disminución de la potencia reactiva se logra incorporando elementos capacitivos en las redes, ya que en la mayorías de los casos las cargas son resistivo inductivas y se sabe que los condensadores son fuentes de energía reactiva. La forma de conexión de los condensadores es en paralelo con la carga, ya que de otra forma ocasionaría división de voltaje en la carga. Ahora solo falta saber el valor del condensador, necesario para corregir de forma adecuada el factor de potencia. Suponga que se tiene una carga equivalente con la siguiente información: voltaje nominal de la carga, potencia (promedio o aparente), factor de potencia inicial, factor de potencia final, frecuencia de trabajo; El valor del condensador que corrige el factor de potencia de acuerdo con lo requerido, se obtiene de la siguiente fórmula:
C=
P(tan θ1 − tan θ 2 )
ω (Vrms )2
Donde θ1 y θ2, corresponden a los ángulos de potencia inicial y final, P es la potencia promedio, ω es la frecuencia angular y Vrms es el voltaje nominal de la carga.
5.9 BIBLIOGRAFÍA
Dorf, Richard. Svoboda, James. Circuitos Eléctricos, 5ª Edición. Alfaomega. Hayt, William. Kemmerly, Jack. Durban, Steven. Análisis de Circuitos en Ingeniería, 6ª Edición. Mc Graw Hill. Nilsson, James. Riedel, Susan. Circuitos Eléctricos, 7ª Edición. Prentice Hall.
5.10 AUTORES MSc. Ing. Alexander Narváez C. y MSc. Ing. Camilo A. Zuluaga M. Profesores de Tiempo Completo de la Carrera de Ingeniería Electrónica, Universidad Central.
17
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Problemas: Una pequeña planta industrial tiene un banco de motores de 150kVA, que se alimentan a 2400 Vrms 50Hz. El factor de potencia de la carga es F.P.=0.6 (-). Determine: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
La potencia reactiva del banco de motores La corriente que alimenta el banco de motores La potencia promedio (activa) que disipa el banco El valor del condensador para corregir el factor de potencia de la fuente a 0,95 en atraso. El voltaje que debería soportar el condensador. La potencia reactiva que suministra el condensador Las siguientes gráficas representan las curvas de voltaje y corriente en una carga determinada 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
Voltaje
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
Corriente
Indique si la corriente esta en atraso o en adelanto al voltaje y si se puede asociar esto con una carga RL, RC o R pura. Determine: Potencia promedio, Potencia aparente, Factor de potencia, impedancia de la carga, frecuencia angular, modelo equivalente serie RC, RL o R.
18
5
ANÁLISIS DE CIRCUITOS AC EN ESTADO ESTACIONARIO SENOIDAL La mayoría de las personas en el mundo interactúan diariamente con instalaciones eléctricas y/o dispositivos eléctricos, cuya alimentación es del tipo AC senoidal con una frecuencia predeterminada. El diseño, análisis y simulación de este tipo de sistemas en una condición de operación estable, requiere el manejo y solución de ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior, debido a las relaciones de voltaje y corriente en los elementos pasivos R, L o C. Si se analizara la respuesta de estas instalaciones o dispositivos a partir de dichas ecuaciones, el tratamiento matemático sería extenso y poco práctico; es por esto que se ha llegado a una forma de análisis conocida como “análisis en el dominio de la frecuencia”, la cual implica un manejo de nuevos conceptos y variables que pueden expresarse como números complejos, y a la vez simplifica notablemente el procedimiento de cálculo. Se espera que este capítulo sirva como material de apoyo a los estudiantes que cursan la asignatura Circuitos eléctricos y a los que necesiten de esta temática en cursos posteriores, como circuitos electrónicos, máquinas eléctricas y electrónica industrial.
5.1 Forma de onda y propiedades De forma general el análisis AC (Alternate Current) en circuitos eléctricos, emplea todas las técnicas, leyes y propiedades vistas en el análisis de circuitos DC en estado estacionario. Sin embargo, si se quisiera analizar la respuesta en el tiempo de circuitos con fuentes AC, el trabajo sería dispendioso cuando se trabaje con elementos pasivos como inductancias y capacitancias, ya que sus relaciones de voltaje y corriente, pueden repercutir en ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior. Otra alternativa es analizar estos circuitos sin tener en cuenta la variable temporal, pero para esto debemos establecer unas nuevas relaciones entre el voltaje y la corriente para los elementos pasivos, que sean independientes del tiempo. Se hablará entonces del análisis de circuitos eléctricos en el dominio de la frecuencia. Para establecer estas relaciones, debemos partir del tipo de circuito que vamos a analizar. A continuación se enumeran ciertas características que deben tener los circuitos que se tratarán bajo esta nueva metodología. Si alguna configuración cumple con estas condiciones el estudiante debe estar en la capacidad de obtener la respuesta en el tiempo de cualquier variable eléctrica, a partir de la teoría y de las herramientas suministradas.
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Circuitos con una o varias fuentes independientes senoidales Fuentes con frecuencia constante. Circuitos con elementos pasivos (resistencias, condensadores e inductancias) lineales.
Forma de onda y desfase Cualquier forma de onda senoidal la podemos caracterizar completamente con la ayuda de tres parámetros: frecuencia, Amplitud y ángulo de fase. v(t) V
Vm π
0 θ
2π wt, t
v(t ) = Vm ⋅ sin( wt + θ ) Donde Vm es la amplitud de voltaje en [V] w es la frecuencia angular en [rad/s] θ es ángulo de fase [Grados] Pese a que las unidades del ángulo de fase se expresen comúnmente en grados, para obtener la magnitud de la señal para un tiempo definido es necesario convertirlo a radianes, por las unidades de la frecuencia angular. La frecuencia angular expresa el ángulo recorrido por la función por cada unidad de tiempo y se relaciona de la siguiente forma con la frecuencia.
w = 2πf Donde f es la frecuencia de la señal en [Hz] Nótese que cuando se suma un ángulo positivo de fase a la señal el efecto es un corrimiento a la izquierda, aquí decimos que la señal está adelantada θ grados con respecto a la onda seno. De la misma forma las funciones seno y coseno se pueden expresar una en función de la otra teniendo en cuenta su ángulo de fase. En la siguiente figura se tienen dos señales, la azul corresponde a la señal cos(wt ) y la roja es
sin(wt ) .
Cambiando su ángulo de fase se puede decir que
2
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
cos( wt ) = sin( wt + 90°)
y
sin( wt ) = cos( wt − 90)
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5 cos wt
sen wt
Tiempo (s)
De las gráficas y las relaciones entre las funciones se puede deducir que el coseno está adelantado 90° al seno y/o que el seno está atrasado 90° al coseno. Se puede entonces hallar el ángulo de fase existente entre dos señales con forma senoidal que tengan la misma frecuencia. Este ángulo es conocido también como el desfase entre las señales y adicionalmente se puede determinar si hay adelanto o atraso de una señal con respecto a la otra. A manera de ejemplo, se quisiera saber cual es el desfase entre las dos señales siguientes y adicionalmente si v1 se encuentra en adelanto o en atraso con respecto a v2.
v1 (t ) = 10 ⋅ sin( 20t + 10°) _ V
v 2 (t ) = −15 ⋅ cos(20t + 30°) _ V
El desfase entre las señales se puede obtener simplemente del valor absoluto de la resta de sus ángulos de fase, siempre y cuando las dos señales tengan una forma estándar, es decir sus amplitudes deben ser números positivos y la función que las define debe ser la misma. Como se puede ver no es el caso de las señales del ejemplo, así que haremos unas modificaciones en la manera como expresamos a v2. Una señal se encuentra desfasada 180° con respecto a su inversa aditiva y se puede decir que una con respecto a la otra está igualmente adelantada o atrasada 180°. Por lo tanto una forma equivalente de expresar a v2 es la siguiente.
v 2 (t ) = −15 ⋅ cos(20t − 30°) _ V = 15 ⋅ sin( 20t + 30° − 180° + 90°) _ V v 2 (t ) = 15 ⋅ sin( 20t − 60°) _ V Ahora si podemos decir que el desfase entre v1 y v2 es de 70° y adicionalmente se sabe que v1 está adelantada con respecto a v2, por tener un ángulo de fase mayor. v1 está adelantada 70° a v2, o v2 esta atrasada 70° a v1.
3
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.2 Números complejos, notación y operación Un número complejo es un número que pertenece al plano complejo y se conforma de una componente real o un número real y de una componente imaginaria o de un número imaginario. Sea A un número complejo
A = a + jb
Donde j =
− 1 . La representación de A en el plano complejo es: Eje Imaginario
A = a + jb
b
A α a
Eje Real
Existen diferentes formas de referirnos al mismo número, la diferencia radica en las coordenadas que utilizamos para ubicar dicho número en el plano complejo.
A = a + jb A = ( a, b)
Notación cartesiana
A = A ∠α
Notación polar
A = A ⋅ e jα
Notación exponencial
Notación rectangular
Se puede pasar de una notación a otra, a partir de las relaciones geométricas que se deducen de la figura anterior
⎛b⎞ ⎝a⎠ b = A sin (α )
α = tan −1 ⎜ ⎟
A = a2 + b2 a = A cos(α )
En la operación si se tienen dos números complejos A y B,
A = a + jb = A ∠α Entonces
A + B = (a + c) + j (b + d ) A * B = A * B ∠α + β
4
y
B = c + jd = B ∠β
A − B = (a − c) + j (b − d ) A A = ∠α − β B B
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.3 Circuito RL con fuente senoidal Partiremos del análisis de un circuito RL simple alimentado por una fuente de voltaje cuya función es descrita por una senoidal, tal como se muestra en la siguiente figura.
v S (t ) = Vm cos( wt )
i(t)
i (t ) = Im cos( wt + φ )
Los parámetros conocidos en este circuito son la resistencia, la inductancia y los que describen la función de voltaje en el tiempo (Amplitud, frecuencia angular y ángulo de fase). A partir de estos parámetros esperamos encontrar los parámetros desconocidos (Amplitud de corriente y ángulo de fase de la corriente). A continuación haremos un breve desarrollo matemático para determinar la respuesta del circuito para estado estacionario senoidal. La siguiente es la ecuación de malla que relaciona los voltajes en los elementos y la fuente del circuito:
v S (t ) = R ⋅ i (t ) + L
di (t ) (1) dt ± jα
= cos α ± j sin α , podemos expresar las funciones de voltaje de la De la identidad de Euler e fuente y corriente del circuito de la siguiente forma.
{
v S (t ) = Re Vm ⋅ e jwt
{
i (t ) = Im Im ⋅ e
} }
j ( wt +φ )
j ( wt +φ )
e Im⋅ e , son soluciones particulares de (1) por Las componentes reales e imaginarias de Vm ⋅ e lo tanto la suma de las soluciones es una solución también. De acuerdo con esto reemplazamos en (1) y desarrollamos. jwt
d ( Im ⋅ e j ( wt +φ ) ) dt j ( wt +φ ) = R ⋅ Im ⋅ e + jwLIm ⋅ e j (wt +φ ) = R ⋅ Im ⋅ e jwt ⋅ e jφ + jwLIm ⋅ e jwt ⋅ e jφ
Vm ⋅ e jwt = R ⋅ Im ⋅ e j ( wt +φ ) + L Vm ⋅ e jwt Vm ⋅ e jwt
Vm = R ⋅ Im ⋅ e jφ + jwLIm ⋅ e jφ
5
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Como se puede ver, en la ecuación anterior, todos los términos dependen de la variable tiempo, jwt
relacionada con el término e . Pero los parámetros desconocidos en el circuito, es decir la amplitud y el ángulo de fase de la corriente se relacionan con otras variables conocidas y no con el tiempo.
Im ⋅ e jφ =
Vm (2) R + jwL
Este resultado es muy importante ya que podemos determinar la magnitud y el ángulo de fase de la corriente en función de los parámetros conocidos del circuito. Esta respuesta es lo que origina el análisis de los circuitos en el dominio de la frecuencia. Ya que tanto magnitud como ángulo de la corriente podrían variar si varía w pero no si varía t Si analizamos un poco la ecuación anterior y hacemos la analogía con la ley de ohm el término del denominador sería una especie de resistencia, pues en la medida que este crezca el valor de la amplitud de la corriente será más pequeño. El término del denominador es lo que se conoce como impedancia y se denota con la letra Z. La parte imaginaria de la impedancia es lo que se conoce como reactancia y se denota con la letra X.
Z = R + jwL Impedancia de un circuito RL serie X L = wL Reactancia inductiva Como es de esperarse las unidades para R, X y Z son ohmios [Ω] Debido a que w y L son parámetros con valor positivo, tenemos que el ángulo de la impedancia, cuya notación es la letra griega θ, es positivo en circuitos RL.
⎛X⎞ ⎟ ⎝R⎠
θ = tan −1 ⎜
De la ecuación (2), se puede ver que los parámetros que describen la función de la corriente se expresan como un número complejo en notación exponencial o polar; a este término lo llamamos fasor. Un fasor se puede definir como un número complejo (vector) que gira en el tiempo con velocidad constante, haciendo que los valores instantáneos de sus componentes reales e imaginarias describan funciones senoidales. El fasor, que representa una función de voltaje o corriente en el tiempo, es un número complejo en notación polar cuya magnitud puede ser la amplitud o el valor efectivo de la función y su ángulo es el ángulo de fase de la misma función. Convirtiendo todos los números de la expresión 2 en notación polar se tiene:
Im∠φ =
Vm ⎛ wL ⎞ R 2 + w 2 L2 ∠ tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠
Por lo tanto, para este caso, las relaciones que determinan los valores de amplitud de corriente y ángulo de fase son:
6
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
⎛ wL ⎞ ∠ − tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ R +w L Vm
Im∠φ =
Im =
2
2 2
Vm R +w L 2
2
2
⎛ wL ⎞ ⎟ ⎝ R ⎠
φ = − tan −1 ⎜
Nótese que para este circuito, mientras que la fuente de voltaje tenga un ángulo de fase 0 (o de referencia), el ángulo de la corriente será exactamente el inverso aditivo del ángulo de la impedancia. Por lo tanto podemos decir que para circuitos equivalentes RL el ángulo de la impedancia equivalente es positivo y la corriente de la fuente que alimenta a la carga va a estar en atraso con respecto al voltaje de la carga.
5.4 Circuito RC con fuente senoidal Haciendo un análisis similar al del circuito RL serie. Se procede a hallar la relación de la magnitud y ángulo de fase de la corriente, con los parámetros conocidos del circuito RC.
i(t)
v S (t ) = Vm cos( wt ) i (t ) = Im cos( wt + φ )
v S (t ) = R ⋅ i (t ) +
{
1 i (t )dt C∫
v S (t ) = Re Vm ⋅ e jwt
i (t ) = Im{Im ⋅ e j ( wt +φ
} ) }
1 Im ⋅ e j ( wt +φ ) dt ∫ C Im = R ⋅ Im ⋅ e j ( wt +φ ) + ⋅ e j ( wt +φ ) jwC
Vm ⋅ e jwt = R ⋅ Im ⋅ e j (wt +φ ) + Vm ⋅ e jwt
7
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Vm ⋅ e jwt = R ⋅ Im ⋅ e jwt ⋅ e jφ +
Im ⋅ e jwt ⋅ e jφ jwC
Vm = R ⋅ Im ⋅ e jφ + Im ⋅ e jφ =
Z= R− j
Im ⋅ e jφ jwC
Vm (3) j R− wC
wC Impedancia de un circuito RC serie
XC = − 1
wC Reactancia capacitiva
Debido a que w y C son parámetros con valor positivo, tenemos ahora que el ángulo de la impedancia, es negativo en circuitos equivalentes RC.
⎛X⎞ ⎟ ⎝R⎠
θ = tan −1 ⎜
Convirtiendo todos los números de la expresión (3) en notación polar se tiene:
Vm
Im∠φ =
(
R2 + 1
) ∠ tan wC 2
−1
⎛ 1 ⎞ ⎜ − wC ⎟ ⎜ R ⎟ ⎝ ⎠
Por lo tanto, para este caso, las relaciones que determinan los valores de amplitud de corriente y ángulo de fase son:
Vm
Im∠φ =
(
R2 + 1
Im =
Vm
(
R2 + 1
) wC
2
) wC
2
⎛1 ⎞ ∠ tan −1 ⎜⎜ wC ⎟⎟ R ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ wC φ = tan ⎜ ⎜ R ⎟⎟ ⎝ ⎠ −1
A diferencia del caso anterior, mientras que la fuente de voltaje tenga un ángulo de fase de referencia 0, el ángulo de la corriente será positivo. Por lo tanto podemos decir que para circuitos equivalentes RC el ángulo de la impedancia equivalente es negativo y la corriente de la fuente que alimenta a la carga, va a estar en adelanto con respecto al voltaje de la carga.
8
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.5 Admitancia susceptancia y conductancia. De la definición de impedancia se obtiene un nuevo parámetro conocido como admitancia, cuya relación se define en la siguiente expresión. La parte real de la admitancia es conocida como conductancia y la parte imaginaria se denomina susceptancia. Las unidades de los nuevos parámetros definidos son los mhos o siemens. Cabe notar que para una carga cualquiera, no necesariamente la conductancia es el inverso de la resistencia, ni la susceptancia es el inverso de la reactancia. Para el uso de algunas técnicas de análisis resulta más práctico si los elementos pasivos están expresados como admitancias.
Y=
1 = G + jB = [siemens] Z
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
Impedancia
v R = iR R
VR = R ⋅ I R
ZR = R
VL = jwL ⋅ I L
Z L = jwL
vL = L
diL dt t
vC =
1 iC dt C ∫0
VC =
1 ⋅ IC jwC
ZC =
Admitancia
YR =
YL =
1 jwC
1 R
1 jwL
YC = jwC
Relaciones de voltaje y corriente en el dominio de tiempo y dominio de la frecuencia
Triángulo de impedancia. Para una carga equivalente RL o RC, se puede hacer una representación geométrica de las magnitudes de sus componentes en el plano complejo, tal como se muestra en las siguientes figuras. Esta representación corresponde a un triángulo rectángulo cuyos catetos se relacionan con la parte resistiva y reactiva de la carga, por lo tanto el triángulo toma diferentes formas de acuerdo con la carga. Es importante señalar que la componente resistiva siempre tendrá un valor positivo o cero, mientras que la componente reactiva puede tomar valores positivos o negativos si la reactancia equivalente es inductiva o capacitiva. R Z
θ
jwL
θ
Z
1/jwC
R Triángulo de impedancia para una carga resistivo inductiva
Triángulo de impedancia para una carga resistivo capacitiva
R
Z
jwL
Z Triángulo de impedancia para una carga resistiva.
Triángulo de impedancia para una carga reactiva inductiva
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.6 Valores efectivos de voltaje y corriente Si se realizara una encuesta a la población general, sobre ¿Cuál es el nivel de voltaje que se maneja en el tomacorriente de las casas?, asombrosamente un gran porcentaje de los encuestados estarían de acuerdo en que el voltaje está entre 110V y 120 V. Ahora haciendo una muestra seleccionada de la población de primeros semestres de carreras de ingeniería eléctrica y electrónica1, el resultado sería el mismo y además varios de ellos sabrían que la forma de onda del voltaje en el tiempo del tomacorriente, varía de una forma similar a una onda senoidal; sin embargo, pocos individuos de esta última muestra tendrían una conciencia clara sobre el significado de este valor. Si se llevara a este grupo de estudiantes al laboratorio y con ayuda de un osciloscopio se descubriera que la amplitud de la señal de voltaje del tomacorriente está entre 155.6 V y 169.7 V, probablemente algunos de ellos considerarían un posible error en la medición y otros tantos no sabrían explicar lo descubierto.
16,67 ms
169.7 V t Voltaje del tomacorriente
Entonces ¿Dónde están los 120 V? ¿Qué significan? Este valor de voltaje es un valor efectivo, el cual corresponde aproximadamente a un 70% del valor de la amplitud de la onda, para el caso de ondas senoidales con valor medio 0, y ahora la pregunta es ¿Qué es un valor efectivo? Para explicarlo considérese el siguiente circuito.
i(t)
Vm cos(wt )
La potencia en el tiempo que se disipa en esta resistencia se puede hallar del producto de su voltaje y corriente en el tiempo.
1
Dentro de esta muestra podrían incluirse a varios estudiantes de últimos semestres sin que haya un cambio notable en los resultados
10
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
v 2 (t ) p (t ) = v(t )i (t ) = i (t ) R = R 2
p(t ) =
(Vm)2 cos 2 ( wt )
y como
R
cos 2 (α ) =
1 + cos(2α ) , entonces. 2
2 2 ( ( Vm ) Vm ) p(t ) = + cos(2wt )
2R
2R
Vemos que la función que describe la potencia también varía de forma senoidal, pero a diferencia del voltaje, su frecuencia es el doble y además tiene un término constante. Mientras que la media de la función del voltaje era 0, la media para la función de potencia en este circuito simple, es una constante denominada potencia promedio y denotada por la letra P (en mayúscula). 2 ( Vm ) p(t ) = P =
2R
El valor efectivo de una fuente AC, es el valor de voltaje que debería tener una fuente DC, para hacer que se disipe la misma potencia promedio que se disiparía sobre una resistencia de valor R, alimentada por una fuente AC.
Ieff Veff
2
La potencia en este circuito se calcularía a partir de
P=
VEFF . Para hallar cuál es la relación del valor R
efectivo de la fuente con la amplitud de la onda, igualamos: 2
T T V EFF 1 1 v 2 (t ) P= = ∫ p (t )dt = ∫ dt R T 0 T 0 R
2
T V EFF 1 v 2 (t ) = ∫ dt R T 0 R
11
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
T
1 2 v (t )dt T ∫0
V EFF =
Según esta ecuación vemos que el valor efectivo de una función es la raíz del promedio de la función al cuadrado; es por esto que el valor efectivo es también conocido como valor r.m.s de la sigla root mean square (Raíz de la media del cuadrado) T
1 Vm2 cos 2 ( wt )dt T ∫0
V EFF = Vr .m.s. =
0 T
Vr .m.s. = Vm
T
1 1 dt + cos(2 wt )dt ∫ 2T 0 2T ∫0
Vr .m.s. = Vm
Vr . m. s . =
1 T 2T
Vm 2
Finalmente se obtiene que el valor efectivo o valor r.m.s. de una función seniodal se obtiene dividiendo el valor de su amplitud sobre raíz de 2 o equivale aproximadamente a un 70 % del valor de la amplitud de la onda.
5.7 Potencia Considérese una carga equivalente que esta siendo alimentada por una fuente AC senoidal. Por su característica lineal la corriente que circula a través de ella tiene la misma forma y la potencia instantánea la podemos obtener como el producto entre las dos variables.
+ v(t) -
12
i(t)
Z
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
v(t ) = Vm cos(wt + α ) _ V i (t ) = Im cos(wt + β ) _ A
p(t ) = v(t ) * i (t ) La impedancia de la carga la podemos obtener entonces como la relación fasorial entre el voltaje y la corriente.
Z=
Vm Vm ∠α − β = ∠θ Im Im
θ =α −β
Ángulo de la impedancia.
Si tomamos el ángulo de fase de voltaje como
β = −θ
α =0
entonces el ángulo de fase de la corriente será
.
v(t ) = Vm cos( wt ) _ V i (t ) = Im cos( wt − θ ) _ A
p(t ) = VmIm cos( wt ) cos( wt − θ ) Y mediante la identidad trigonométrica del producto de coseno de ángulos transformamos la expresión
cos α cos β = p(t ) =
cos(α + β ) + cos(α − β ) 2
VmIm VmIm cosθ + cos(2wt − θ ) 2 2
Y reemplazando las amplitudes de voltaje y corriente por sus valores efectivos se obtiene
p (t ) = Vrms I rms cos θ + Vrms I rms cos(2wt − θ ) (4) Como era de esperarse la expresión para la potencia instantánea tiene unas características en particular. La primera es que tiene un término constante dependiente del coseno del ángulo de desfase entre el
voltaje y la corriente. Nótese que para desfases máximos de 90° y -90° el término cos θ , se hace 0 con lo cual el valor medio de la potencia o la potencia promedio (P), se hace 0 también. La segunda característica es que la función de la potencia instantánea es en forma una senoidal, pero que varía con el doble de la frecuencia en el tiempo.
13
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Voltaje (V) Corriente (A) Potencia
tt(s)
Gráficas de voltaje, corriente y potencia. La línea media representa la potencia promedio Descomponiendo un poco más el término de potencia instantánea, se obtiene:
p(t ) = Vrms I rms cosθ + Vrms I rms cosθ cos 2wt + Vrms I rms sin θ sin 2wt p(t ) = Vrms I rms cosθ (1 + cos 2 wt ) + Vrms I rms sin θ sin 2 wt (5) Se podría separar el término para la potencia instantánea en término proporcional a la potencia instantánea disipada por causa de los elementos resistivos y otro proporcional a la potencia instantánea que se disipa en elementos reactivos (L y C).
Potencia activa reactiva y compleja De (4) se sabe que la expresión para la potencia promedio es
P = Vrms I rms cos(α − β ) Y por medio de la identidad de Euler la podemos expresar como:
P = Re{Vrms e jα I rms e − jβ } = Re{V ⋅ I * } El término V ⋅ I , es lo que se conoce como potencia compleja y se denota por la letra S. Se puede ver que la potencia compleja se compone de una parte real que es la potencia promedio y una parte imaginaria que es la potencia reactiva, la cual se denota con la letra Q. *
14
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
S = V ⋅ I* S = Vrms I rms cos(α − β ) + jVrms I rms sin(α − β )
S = P + jQ P = Vrms I rms cos(α − β ) = Vrms I rms cosθ Q = Vrms I rms sin(α − β ) = Vrms I rms sin θ La potencia compleja también puede expresarse en una notación polar como S = S∠θ , donde S se conoce como la potencia aparente y se calcula de
S = Vrms I rms
Resulta curioso ver de (5), que mientras la potencia promedio es el término correspondiente a la media de la potencia instantánea, la potencia reactiva es la amplitud de la potencia instantánea que se disipa en elementos reactivos. Dimensionalmente, en el sistema internacional de unidades, todos los tipos de potencia tienen las mismas unidades (W); sin embargo, se acostumbra a asociar diferentes unidades para los diferentes tipos de potencia, con el ánimo de diferenciarlas. P = potencia promedio Q = potencia reactiva S = potencia aparente S = potencia compleja
[W], vatios. [VAR], voltio amperio reactivo. [VA], voltio amperio. [VA], voltio amperio.
Triangulo de potencia De la misma forma como las componentes resistiva y reactiva de la impedancia se pueden representar en el plano complejo, las componentes de la potencia compleja conforman un triángulo de potencia, el cual resulta proporcional al triángulo de impedancia; es por esto que a θ, se le conoce como el ángulo de impedancia o de potencia. Nótese que en el caso de una carga resistivo capacitiva, la potencia reactiva consumida es negativa; esto físicamente sucede cuando el elemento en mención está entregando potencia, por lo tanto los elementos capacitivos son generadores de potencia reactiva. P S
θ
jQ
θ
S
-jQ
P Triángulo de potencia para una carga resistivo inductiva
Triángulo de potencia para una carga resistivo capacitiva
P
S
jQ
S Triángulo de potencia para una carga resistiva.
Triángulo de potencia para una carga reactiva inductiva
15
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
5.8 Factor de potencia La energía necesaria para el funcionamiento de un equipo eléctrico se divide en una energía activa, la cual se disipa en elementos resistivos, transformándose en energía calórica, y una energía reactiva, la cual no produce un trabajo físico directo en los equipos y es necesaria para producir el flujo electromagnético que pone en funcionamiento elementos tales como: motores, transformadores, lámparas fluorescentes, equipos de refrigeración y otros similares. La energía activa debe ser generada necesariamente en las plantas de generación, mientras que la energía reactiva puede generarse localmente con la ayuda de elementos capacitivos. Al esquematizar estas componentes en un triángulo de potencia se genera una equivalente asociada a la potencia aparente. El factor de potencia de una carga se define como la relación entre la potencia activa y la potencia aparente, por lo tanto el factor de potencia es un número positivo, adimensional, que varía entre 0 y 1. Se puede interpretar como un porcentaje de la potencia promedio, de un total relacionado con la potencia aparente. De una forma alternativa el factor de potencia es el coseno del ángulo de potencia.
F .P. =
P Vrms I rms cos θ = = cos θ S Vrms I rms
El ángulo de la impedancia varía entre -90° y 0 para una carga resistivo capacitiva y entre 0 y 90° para una carga resistivo inductiva, por esto el coseno en este rango de valores de ángulo es siempre positivo; sin embargo, dos cargas diferentes pueden tener el mismo factor de potencia. Para diferenciarlos se recurre a lo que le pasa a la corriente con respecto al voltaje en una carga RL o RC; en una carga RL se sabe que la corriente se atrasa al voltaje, por lo tanto se dice que el factor de potencia en estas cargas es en atraso, denotándolo con FP (-), FP (↓) o FP (atraso). En una carga RC, la corriente se adelantará al voltaje por lo tanto en factor de potencia en este tipo de carga es en adelanto, denotándose como FP (+), FP (↑) o FP (adelanto). En una carga resistiva el ángulo de la impedancia es 0 y su factor de potencia es 1, lo que quiere decir que la corriente se encuentra en fase con el voltaje y no tiene sentido decir que el factor de potencia es en atraso o adelanto. Por lo general las empresas electrificadotas cobran por la energía activa, por ser la que se puede generar únicamente en los centros de generación. Uno de los problemas de tener cargas con bajos factores de potencia es el bajo recaudo que realizan las electrificadotas por el servicio prestado y como posible solución se emplean contadores de potencia reactiva; sin embargo, las cargas con bajos factores de potencia ocasionan otros serios problemas en los sistemas, en los usuarios y en las electrificadotas, por lo cual se deben emplear métodos de corrección de factor de potencia. Algunos de los problemas generados se describen a continuación Problemas en los usuarios y en el sistema
16
Aumento de la corriente en los conductores Mayores pérdidas y fuertes caídas de tensión Incrementos de potencia de las plantas, transformadores, reducción de su vida útil y reducción de la capacidad de conducción de los conductores. La temperatura de los conductores aumenta y esto disminuye la vida de su aislamiento. Aumentos en sus facturas por consumo de electricidad.
CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Problemas para la empresa distribuidora de energía
Mayor inversión en los equipos de generación, ya que su capacidad en KVA debe ser mayor, para poder entregar energía reactiva adicional. Mayores capacidades en líneas de transmisión y distribución así como en transformadores para el transporte y transformación de esta energía reactiva. Elevadas caídas de tensión y baja regulación de voltaje, lo cual puede afectar la estabilidad de la red eléctrica.
Corrección del factor de potencia La corrección del factor de potencia es el ejercicio de elevar el factor de potencia para una carga o un conjunto de cargas de acuerdo con normas que regulan los valores permitidos de factor de potencia. Dada la fórmula del factor de potencia, para aumentar su valor es necesario aumentar la potencia activa o disminuir la potencia aparente, obviamente ligada a una disminución de la potencia reactiva. El aumento de la potencia activa, no es una solución económicamente viable, pues está asociada a un mayor consumo en el servicio. La disminución de la potencia reactiva se logra incorporando elementos capacitivos en las redes, ya que en la mayorías de los casos las cargas son resistivo inductivas y se sabe que los condensadores son fuentes de energía reactiva. La forma de conexión de los condensadores es en paralelo con la carga, ya que de otra forma ocasionaría división de voltaje en la carga. Ahora solo falta saber el valor del condensador, necesario para corregir de forma adecuada el factor de potencia. Suponga que se tiene una carga equivalente con la siguiente información: voltaje nominal de la carga, potencia (promedio o aparente), factor de potencia inicial, factor de potencia final, frecuencia de trabajo; El valor del condensador que corrige el factor de potencia de acuerdo con lo requerido, se obtiene de la siguiente fórmula:
C=
P(tan θ1 − tan θ 2 )
ω (Vrms )2
Donde θ1 y θ2, corresponden a los ángulos de potencia inicial y final, P es la potencia promedio, ω es la frecuencia angular y Vrms es el voltaje nominal de la carga.
5.9 BIBLIOGRAFÍA
Dorf, Richard. Svoboda, James. Circuitos Eléctricos, 5ª Edición. Alfaomega. Hayt, William. Kemmerly, Jack. Durban, Steven. Análisis de Circuitos en Ingeniería, 6ª Edición. Mc Graw Hill. Nilsson, James. Riedel, Susan. Circuitos Eléctricos, 7ª Edición. Prentice Hall.
5.10 AUTORES MSc. Ing. Alexander Narváez C. y MSc. Ing. Camilo A. Zuluaga M. Profesores de Tiempo Completo de la Carrera de Ingeniería Electrónica, Universidad Central.
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CAPÍTULO 5.Análisis de circuitos AC en estado estacionario senoidal
Problemas: Una pequeña planta industrial tiene un banco de motores de 150kVA, que se alimentan a 2400 Vrms 50Hz. El factor de potencia de la carga es F.P.=0.6 (-). Determine: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
La potencia reactiva del banco de motores La corriente que alimenta el banco de motores La potencia promedio (activa) que disipa el banco El valor del condensador para corregir el factor de potencia de la fuente a 0,95 en atraso. El voltaje que debería soportar el condensador. La potencia reactiva que suministra el condensador Las siguientes gráficas representan las curvas de voltaje y corriente en una carga determinada 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
Voltaje
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
Corriente
Indique si la corriente esta en atraso o en adelanto al voltaje y si se puede asociar esto con una carga RL, RC o R pura. Determine: Potencia promedio, Potencia aparente, Factor de potencia, impedancia de la carga, frecuencia angular, modelo equivalente serie RC, RL o R.
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