Cap4

30

Matematici speciale. Probleme

Capitolul IV SERII FOURIER 1. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia f ( x) =

cos x ,x∈ R . 5 + 4 cos x

Soluţie: Observăm că funcţia f(x) este pară. Deci bn = 0. Seria Fourier este: f ( z) ≈

a0 ∞ + ∑ an cos nx 2 n =1

(1)

unde: a0 =

1

π

π

∫π

f ( x)dx şi an =

−

1

π

π

∫ f ( x) cos nxdx.

Pentru calculul lui an observăm că: an = Să considerăm şi integrala: bn = an + ibn =

1

π

∫

2π

0

1

π

1

π

2π

2π

∫ f ( z ) cos nxdx. 0

∫ f ( x) sin nxdx

şi să calculăm:

0

cos xeinx dx Să notăm eix = z ⇒ dz = izdx de unde 5 + 4 cos x

dz . Observăm că cos x = dx = iz

z+ 2

1 z.

Avem: 1⎛ 1⎞ n ⎜ z + ⎟z dz 2⎝ z⎠ an + ibn = ∫ 1⎛ 1 ⎞ iz π z =1 5+ 4 ⎜z + ⎟ 2⎝ z⎠ 1

sau

(2)

−π

31

Matematici speciale. Probleme an + ibn =

1 ( z 2 + 1) z n −1 dz. 2πi ∫ z =1 2 z 2 + 5 z + 2

(3)

1 ( z 2 + 1) z n −1 sunt polii simpli z1 = − şi 2 2z + 5z + 2 2 1 z2 = −2 . Observăm că doar z1 = − aparţine interiorului cercului z = 1 ( ∆) 2

Singularităţile funcţiei f ( z ) =

. Din (3) obţinem:

y

∆

z =1 1

an + ibn =

1 2

1 ⎛ 1⎞ 2πirezf ⎜ − ⎟ 2πi ⎝ 2⎠

O

x

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤⎛ 1 ⎞ n −1 ⎢⎜ − ⎟ + 1⎥⎜ − ⎟ 5 ⎥⎦⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ n −1 Observăm că: rezf ⎜ − ⎟ = = (− 1) . ↑ 3 ⋅ 2n +1 ⎛ 1⎞ ⎝ 2 ⎠ P(a) 4⎜ − ⎟ + 5 Q ′( a ) ⎝ 2⎠

Formula (4) devine: an + ibn = (− 1)

n −1

de unde an = (− 1)n −1

5 3 ⋅ 2 n +1

(5)

5 5 , a0 = − . n +1 3⋅ 2 6

Seria Fourier (1) se scrie astfel: 5 5 ∞ (− 1) cos nx + ∑ 12 3 n =1 2 n +1 n −1

f ( x) = −

(6)

2. Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui Parseval pentru funcţia: ⎧⎪1 , pentru x < 1 . f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 , pentru 1 < x < π

Să se deducă apoi sumele seriilor:

∞

sin 2 n şi n2 n =1

∑

∞

cos 2 n . n2 n =1

∑

32

Matematici speciale. Probleme Soluţie: Seria Fourier este: f ( x) ≈

a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1

(1)

unde a0 =

1

π

f ( x)dx, a π ∫π

=

n

−

1

π

f ( x) cos nxdx, şi b π∫π

n

−

Graficul lui f (x) este:

=

1

π

f ( x) sin nxdx π ∫π −

(2)

y 1

-1

-π

Avem a0 =

1

1

−1

1

1

2

1

cos nxdx = sin nx π∫ πn an =

1

1

(3)

π

−1

şi: bn =

x

dx , de unde rezultă: π∫ a0 =

Apoi, an =

π

1

0

1

sin nxdx = − cos nx π∫ πn

1 −1

1 −1

=

2 sin n ,adică: πn

2 sin n πn

(4)

= 0 adică:

−1

bn = 0 (f(x) pară!)

(5)

Deci seria Fourier ataşată funcţiei f(z) este: f ( x) ≈

1

π

+

2

∞

sin n cos nx n n =1

∑ π

(6)

Egalitatea lui Parseval este: π

a02 ∞ 2 1 + ∑ (ak + bn2 ) = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π

sau

(7)

33

Matematici speciale. Probleme 1

sin 2 n 1 + = ∫ dx ∑ π 2 π 2 n =1 n 2 π −1 2

∞

4

(8)

de unde: 1

π

+

2

sin 2 n =1 n2 n =1 ∞

∑ π

(9)

Rezultă suma cerută: sin 2 n π − 1 = ∑ n2 2 n =1 ∞

(10)

cos 2 n scriem: n2 n =1 ∞

∑

Pentru calcul

∞ ∞ ∞ cos 2 n 1 − sin 2 n 1 sin 2 n = = − ∑ ∑ ∑ 2 n2 n2 n2 n =1 n =1 n =1 n n =1 ∞

∑

Ştim că:

∞

1

∑n n =1

=

2

π2 6

;deci

cos 2 n π 2 π − 1 = − . n2 6 2 n =1 ∞

∑

3. Să se determine seria Fourier trigonometrică a funcţiei periodice f ( x) =

π

e x , x ∈ (−π ,π ), de perioadă 2π . Din dezvoltarea

2 shπ

obţinută şi din relaţia de închidere a lui Parseval să se calculeze sumele:

(−1) n şi ∑ 2 n =1 n + 1 ∞

∞

∑n n =1

2

1 . +1

Soluţie: Seria Fourier ataşată funcţiei este: f ( x) ≈

a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1

(1)

unde: a0 =

1

π

π

∫π

−

f ( x)dx, an =

π

1

π

1

∫π

f ( x) cos nxdx şi bn =

−

π

π

1 e dx = ex Avem: a0 = ∫ π −π 2shπ 2 shπ

deci:

1

π

π

=

x

−π

∞

∫ f ( x) sin nxdx

(2)

−∞

1 eπ − e −π 1 = shπ = 1 shπ 2 shπ

34

Matematici speciale. Probleme (3)

a0 = 1

Pentru calculul lui an integrăm de două ori prin părţi şi obţinem: π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ π π ⎜1 x 1 an = e sin nπ − ∫ e x sin nxdx ⎟ sau ⎟ 2 shπ ⎜  n n −π 

⎜  ⎟ 0 −π ⎝ ⎠

an = −

1 de unde: an = − 2nshπ an =

π

π 2nshπ

∫π e

x

sin nxdx

(4)

−

π ⎛ x1 ⎞ π ⎜ − e cos nx + 1 e x cos nxdx ⎟ sau ⎜ ⎟ n n ∫−π −π ⎝ ⎠

1 (−1) n π 1 1 π π (e − e − π ) − 2 ∫ e x cos nxdx 2 π − n 2 shπ n π 2 sh  π 

an

şi deci: an =

(−1) n 1 − 2 an de unde n2 n an =

(−1) n n2 + 1

(5)

Observăm că relaţia (4) mai poate fi scrisă astfel: an = −

11 π π e x sin nxdx n π ∫−π 2 shπ

(4/)

1 an = − bn n

(6)

bn = − nan

(7)

sau

de unde

sau bn =

(−1) n +1 n n2 + 1

(8)

Seria Fourier ataşată funcţiei f(x) va fi:

f ( x) =

⎞ 1 ∞ ⎛ (−1) n (−1) n n + ∑ ⎜⎜ 2 cos nx + 2 sin nx ⎟⎟ n +1 2 n =1 ⎝ n + 1 ⎠

(9)

35

Matematici speciale. Probleme

Relaţia de închidere a lui Parseval este:

(

)

a02 ∞ 2 1 π + ∑ an + bn2 = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π

(10)

Înlocuind a0 , an şi bn , relaţia (10) devine: n2 ⎞ 1 π π 2 2 x 1 ∞ ⎛ 1 ⎟= + ∑ ⎜⎜ 2 + e dx 2 n =1 ⎝ (n + 1) 2 (n 2 + 1) 2 ⎟⎠ π ∫−π 4 sh 2π

(11)

sau 1 ∞ 1 π 1 2x +∑ 2 = e 2 n =1 n + 1 4 sh 2π 2

π

(12) −π

de unde ∞

∑n n =1

2

1 1 = ( πchπ − 1) +1 2

Pentru calculul sumei

(13)

(−1) n folosim teorema lui Dirichlet 2 +1 n =1 ∞

∑n

pentru relaţia (9); astfel, considerând x = 2π sau x = 0 în (9) (2π este punct de continuitate al funcţiei f(x)), obţinem: f (2π ) =

⎞ 1 ∞ ⎛ (−1) n (−1) n +1 n + ∑ ⎜⎜ 2 + cos 2 n π sin 2 n

π ⎟⎟   

  2 2 n =1 ⎝ n + 1 n +1 1 0 ⎠

(14)

de unde: ⎞ (−1) n 1 ⎛ πe 2π = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ∑ 2 2 ⎝ shπ n =1 n + 1 ⎠ ∞

(15)