Cap4
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Cap4 as PDF for free.
More details
- Words: 1,487
- Pages: 6
30
Matematici speciale. Probleme
Capitolul IV SERII FOURIER 1. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia f ( x) =
cos x ,x∈ R . 5 + 4 cos x
Soluţie: Observăm că funcţia f(x) este pară. Deci bn = 0. Seria Fourier este: f ( z) ≈
a0 ∞ + ∑ an cos nx 2 n =1
(1)
unde: a0 =
1
π
π
∫π
f ( x)dx şi an =
−
1
π
π
∫ f ( x) cos nxdx.
Pentru calculul lui an observăm că: an = Să considerăm şi integrala: bn = an + ibn =
1
π
∫
2π
0
1
π
1
π
2π
2π
∫ f ( z ) cos nxdx. 0
∫ f ( x) sin nxdx
şi să calculăm:
0
cos xeinx dx Să notăm eix = z ⇒ dz = izdx de unde 5 + 4 cos x
dz . Observăm că cos x = dx = iz
z+ 2
1 z.
Avem: 1⎛ 1⎞ n ⎜ z + ⎟z dz 2⎝ z⎠ an + ibn = ∫ 1⎛ 1 ⎞ iz π z =1 5+ 4 ⎜z + ⎟ 2⎝ z⎠ 1
sau
(2)
−π
31
Matematici speciale. Probleme an + ibn =
1 ( z 2 + 1) z n −1 dz. 2πi ∫ z =1 2 z 2 + 5 z + 2
(3)
1 ( z 2 + 1) z n −1 sunt polii simpli z1 = − şi 2 2z + 5z + 2 2 1 z2 = −2 . Observăm că doar z1 = − aparţine interiorului cercului z = 1 ( ∆) 2
Singularităţile funcţiei f ( z ) =
. Din (3) obţinem:
y
∆
z =1 1
an + ibn =
1 2
1 ⎛ 1⎞ 2πirezf ⎜ − ⎟ 2πi ⎝ 2⎠
O
x
⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤⎛ 1 ⎞ n −1 ⎢⎜ − ⎟ + 1⎥⎜ − ⎟ 5 ⎥⎦⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ n −1 Observăm că: rezf ⎜ − ⎟ = = (− 1) . ↑ 3 ⋅ 2n +1 ⎛ 1⎞ ⎝ 2 ⎠ P(a) 4⎜ − ⎟ + 5 Q ′( a ) ⎝ 2⎠
Formula (4) devine: an + ibn = (− 1)
n −1
de unde an = (− 1)n −1
5 3 ⋅ 2 n +1
(5)
5 5 , a0 = − . n +1 3⋅ 2 6
Seria Fourier (1) se scrie astfel: 5 5 ∞ (− 1) cos nx + ∑ 12 3 n =1 2 n +1 n −1
f ( x) = −
(6)
2. Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui Parseval pentru funcţia: ⎧⎪1 , pentru x < 1 . f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 , pentru 1 < x < π
Să se deducă apoi sumele seriilor:
∞
sin 2 n şi n2 n =1
∑
∞
cos 2 n . n2 n =1
∑
32
Matematici speciale. Probleme Soluţie: Seria Fourier este: f ( x) ≈
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
(1)
unde a0 =
1
π
f ( x)dx, a π ∫π
=
n
−
1
π
f ( x) cos nxdx, şi b π∫π
n
−
Graficul lui f (x) este:
=
1
π
f ( x) sin nxdx π ∫π −
(2)
y 1
-1
-π
Avem a0 =
1
1
−1
1
1
2
1
cos nxdx = sin nx π∫ πn an =
1
1
(3)
π
−1
şi: bn =
x
dx , de unde rezultă: π∫ a0 =
Apoi, an =
π
1
0
1
sin nxdx = − cos nx π∫ πn
1 −1
1 −1
=
2 sin n ,adică: πn
2 sin n πn
(4)
= 0 adică:
−1
bn = 0 (f(x) pară!)
(5)
Deci seria Fourier ataşată funcţiei f(z) este: f ( x) ≈
1
π
+
2
∞
sin n cos nx n n =1
∑ π
(6)
Egalitatea lui Parseval este: π
a02 ∞ 2 1 + ∑ (ak + bn2 ) = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π
sau
(7)
33
Matematici speciale. Probleme 1
sin 2 n 1 + = ∫ dx ∑ π 2 π 2 n =1 n 2 π −1 2
∞
4
(8)
de unde: 1
π
+
2
sin 2 n =1 n2 n =1 ∞
∑ π
(9)
Rezultă suma cerută: sin 2 n π − 1 = ∑ n2 2 n =1 ∞
(10)
cos 2 n scriem: n2 n =1 ∞
∑
Pentru calcul
∞ ∞ ∞ cos 2 n 1 − sin 2 n 1 sin 2 n = = − ∑ ∑ ∑ 2 n2 n2 n2 n =1 n =1 n =1 n n =1 ∞
∑
Ştim că:
∞
1
∑n n =1
=
2
π2 6
;deci
cos 2 n π 2 π − 1 = − . n2 6 2 n =1 ∞
∑
3. Să se determine seria Fourier trigonometrică a funcţiei periodice f ( x) =
π
e x , x ∈ (−π ,π ), de perioadă 2π . Din dezvoltarea
2 shπ
obţinută şi din relaţia de închidere a lui Parseval să se calculeze sumele:
(−1) n şi ∑ 2 n =1 n + 1 ∞
∞
∑n n =1
2
1 . +1
Soluţie: Seria Fourier ataşată funcţiei este: f ( x) ≈
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
(1)
unde: a0 =
1
π
π
∫π
−
f ( x)dx, an =
π
1
π
1
∫π
f ( x) cos nxdx şi bn =
−
π
π
1 e dx = ex Avem: a0 = ∫ π −π 2shπ 2 shπ
deci:
1
π
π
=
x
−π
∞
∫ f ( x) sin nxdx
(2)
−∞
1 eπ − e −π 1 = shπ = 1 shπ 2 shπ
34
Matematici speciale. Probleme (3)
a0 = 1
Pentru calculul lui an integrăm de două ori prin părţi şi obţinem: π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ π π ⎜1 x 1 an = e sin nπ − ∫ e x sin nxdx ⎟ sau ⎟ 2 shπ ⎜ n n −π
⎜ ⎟ 0 −π ⎝ ⎠
an = −
1 de unde: an = − 2nshπ an =
π
π 2nshπ
∫π e
x
sin nxdx
(4)
−
π ⎛ x1 ⎞ π ⎜ − e cos nx + 1 e x cos nxdx ⎟ sau ⎜ ⎟ n n ∫−π −π ⎝ ⎠
1 (−1) n π 1 1 π π (e − e − π ) − 2 ∫ e x cos nxdx 2 π − n 2 shπ n π 2 sh π
an
şi deci: an =
(−1) n 1 − 2 an de unde n2 n an =
(−1) n n2 + 1
(5)
Observăm că relaţia (4) mai poate fi scrisă astfel: an = −
11 π π e x sin nxdx n π ∫−π 2 shπ
(4/)
1 an = − bn n
(6)
bn = − nan
(7)
sau
de unde
sau bn =
(−1) n +1 n n2 + 1
(8)
Seria Fourier ataşată funcţiei f(x) va fi:
f ( x) =
⎞ 1 ∞ ⎛ (−1) n (−1) n n + ∑ ⎜⎜ 2 cos nx + 2 sin nx ⎟⎟ n +1 2 n =1 ⎝ n + 1 ⎠
(9)
35
Matematici speciale. Probleme
Relaţia de închidere a lui Parseval este:
(
)
a02 ∞ 2 1 π + ∑ an + bn2 = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π
(10)
Înlocuind a0 , an şi bn , relaţia (10) devine: n2 ⎞ 1 π π 2 2 x 1 ∞ ⎛ 1 ⎟= + ∑ ⎜⎜ 2 + e dx 2 n =1 ⎝ (n + 1) 2 (n 2 + 1) 2 ⎟⎠ π ∫−π 4 sh 2π
(11)
sau 1 ∞ 1 π 1 2x +∑ 2 = e 2 n =1 n + 1 4 sh 2π 2
π
(12) −π
de unde ∞
∑n n =1
2
1 1 = ( πchπ − 1) +1 2
Pentru calculul sumei
(13)
(−1) n folosim teorema lui Dirichlet 2 +1 n =1 ∞
∑n
pentru relaţia (9); astfel, considerând x = 2π sau x = 0 în (9) (2π este punct de continuitate al funcţiei f(x)), obţinem: f (2π ) =
⎞ 1 ∞ ⎛ (−1) n (−1) n +1 n + ∑ ⎜⎜ 2 + cos 2 n π sin 2 n
π ⎟⎟
2 2 n =1 ⎝ n + 1 n +1 1 0 ⎠
(14)
de unde: ⎞ (−1) n 1 ⎛ πe 2π = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ∑ 2 2 ⎝ shπ n =1 n + 1 ⎠ ∞
(15)
Matematici speciale. Probleme
Capitolul IV SERII FOURIER 1. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia f ( x) =
cos x ,x∈ R . 5 + 4 cos x
Soluţie: Observăm că funcţia f(x) este pară. Deci bn = 0. Seria Fourier este: f ( z) ≈
a0 ∞ + ∑ an cos nx 2 n =1
(1)
unde: a0 =
1
π
π
∫π
f ( x)dx şi an =
−
1
π
π
∫ f ( x) cos nxdx.
Pentru calculul lui an observăm că: an = Să considerăm şi integrala: bn = an + ibn =
1
π
∫
2π
0
1
π
1
π
2π
2π
∫ f ( z ) cos nxdx. 0
∫ f ( x) sin nxdx
şi să calculăm:
0
cos xeinx dx Să notăm eix = z ⇒ dz = izdx de unde 5 + 4 cos x
dz . Observăm că cos x = dx = iz
z+ 2
1 z.
Avem: 1⎛ 1⎞ n ⎜ z + ⎟z dz 2⎝ z⎠ an + ibn = ∫ 1⎛ 1 ⎞ iz π z =1 5+ 4 ⎜z + ⎟ 2⎝ z⎠ 1
sau
(2)
−π
31
Matematici speciale. Probleme an + ibn =
1 ( z 2 + 1) z n −1 dz. 2πi ∫ z =1 2 z 2 + 5 z + 2
(3)
1 ( z 2 + 1) z n −1 sunt polii simpli z1 = − şi 2 2z + 5z + 2 2 1 z2 = −2 . Observăm că doar z1 = − aparţine interiorului cercului z = 1 ( ∆) 2
Singularităţile funcţiei f ( z ) =
. Din (3) obţinem:
y
∆
z =1 1
an + ibn =
1 2
1 ⎛ 1⎞ 2πirezf ⎜ − ⎟ 2πi ⎝ 2⎠
O
x
⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤⎛ 1 ⎞ n −1 ⎢⎜ − ⎟ + 1⎥⎜ − ⎟ 5 ⎥⎦⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ n −1 Observăm că: rezf ⎜ − ⎟ = = (− 1) . ↑ 3 ⋅ 2n +1 ⎛ 1⎞ ⎝ 2 ⎠ P(a) 4⎜ − ⎟ + 5 Q ′( a ) ⎝ 2⎠
Formula (4) devine: an + ibn = (− 1)
n −1
de unde an = (− 1)n −1
5 3 ⋅ 2 n +1
(5)
5 5 , a0 = − . n +1 3⋅ 2 6
Seria Fourier (1) se scrie astfel: 5 5 ∞ (− 1) cos nx + ∑ 12 3 n =1 2 n +1 n −1
f ( x) = −
(6)
2. Să se scrie seria Fourier trigonometrică şi apoi egalitatea lui Parseval pentru funcţia: ⎧⎪1 , pentru x < 1 . f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 , pentru 1 < x < π
Să se deducă apoi sumele seriilor:
∞
sin 2 n şi n2 n =1
∑
∞
cos 2 n . n2 n =1
∑
32
Matematici speciale. Probleme Soluţie: Seria Fourier este: f ( x) ≈
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
(1)
unde a0 =
1
π
f ( x)dx, a π ∫π
=
n
−
1
π
f ( x) cos nxdx, şi b π∫π
n
−
Graficul lui f (x) este:
=
1
π
f ( x) sin nxdx π ∫π −
(2)
y 1
-1
-π
Avem a0 =
1
1
−1
1
1
2
1
cos nxdx = sin nx π∫ πn an =
1
1
(3)
π
−1
şi: bn =
x
dx , de unde rezultă: π∫ a0 =
Apoi, an =
π
1
0
1
sin nxdx = − cos nx π∫ πn
1 −1
1 −1
=
2 sin n ,adică: πn
2 sin n πn
(4)
= 0 adică:
−1
bn = 0 (f(x) pară!)
(5)
Deci seria Fourier ataşată funcţiei f(z) este: f ( x) ≈
1
π
+
2
∞
sin n cos nx n n =1
∑ π
(6)
Egalitatea lui Parseval este: π
a02 ∞ 2 1 + ∑ (ak + bn2 ) = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π
sau
(7)
33
Matematici speciale. Probleme 1
sin 2 n 1 + = ∫ dx ∑ π 2 π 2 n =1 n 2 π −1 2
∞
4
(8)
de unde: 1
π
+
2
sin 2 n =1 n2 n =1 ∞
∑ π
(9)
Rezultă suma cerută: sin 2 n π − 1 = ∑ n2 2 n =1 ∞
(10)
cos 2 n scriem: n2 n =1 ∞
∑
Pentru calcul
∞ ∞ ∞ cos 2 n 1 − sin 2 n 1 sin 2 n = = − ∑ ∑ ∑ 2 n2 n2 n2 n =1 n =1 n =1 n n =1 ∞
∑
Ştim că:
∞
1
∑n n =1
=
2
π2 6
;deci
cos 2 n π 2 π − 1 = − . n2 6 2 n =1 ∞
∑
3. Să se determine seria Fourier trigonometrică a funcţiei periodice f ( x) =
π
e x , x ∈ (−π ,π ), de perioadă 2π . Din dezvoltarea
2 shπ
obţinută şi din relaţia de închidere a lui Parseval să se calculeze sumele:
(−1) n şi ∑ 2 n =1 n + 1 ∞
∞
∑n n =1
2
1 . +1
Soluţie: Seria Fourier ataşată funcţiei este: f ( x) ≈
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
(1)
unde: a0 =
1
π
π
∫π
−
f ( x)dx, an =
π
1
π
1
∫π
f ( x) cos nxdx şi bn =
−
π
π
1 e dx = ex Avem: a0 = ∫ π −π 2shπ 2 shπ
deci:
1
π
π
=
x
−π
∞
∫ f ( x) sin nxdx
(2)
−∞
1 eπ − e −π 1 = shπ = 1 shπ 2 shπ
34
Matematici speciale. Probleme (3)
a0 = 1
Pentru calculul lui an integrăm de două ori prin părţi şi obţinem: π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ π π ⎜1 x 1 an = e sin nπ − ∫ e x sin nxdx ⎟ sau ⎟ 2 shπ ⎜ n n −π
⎜ ⎟ 0 −π ⎝ ⎠
an = −
1 de unde: an = − 2nshπ an =
π
π 2nshπ
∫π e
x
sin nxdx
(4)
−
π ⎛ x1 ⎞ π ⎜ − e cos nx + 1 e x cos nxdx ⎟ sau ⎜ ⎟ n n ∫−π −π ⎝ ⎠
1 (−1) n π 1 1 π π (e − e − π ) − 2 ∫ e x cos nxdx 2 π − n 2 shπ n π 2 sh π
an
şi deci: an =
(−1) n 1 − 2 an de unde n2 n an =
(−1) n n2 + 1
(5)
Observăm că relaţia (4) mai poate fi scrisă astfel: an = −
11 π π e x sin nxdx n π ∫−π 2 shπ
(4/)
1 an = − bn n
(6)
bn = − nan
(7)
sau
de unde
sau bn =
(−1) n +1 n n2 + 1
(8)
Seria Fourier ataşată funcţiei f(x) va fi:
f ( x) =
⎞ 1 ∞ ⎛ (−1) n (−1) n n + ∑ ⎜⎜ 2 cos nx + 2 sin nx ⎟⎟ n +1 2 n =1 ⎝ n + 1 ⎠
(9)
35
Matematici speciale. Probleme
Relaţia de închidere a lui Parseval este:
(
)
a02 ∞ 2 1 π + ∑ an + bn2 = ∫ f 2 ( x)dx 2 n =1 π −π
(10)
Înlocuind a0 , an şi bn , relaţia (10) devine: n2 ⎞ 1 π π 2 2 x 1 ∞ ⎛ 1 ⎟= + ∑ ⎜⎜ 2 + e dx 2 n =1 ⎝ (n + 1) 2 (n 2 + 1) 2 ⎟⎠ π ∫−π 4 sh 2π
(11)
sau 1 ∞ 1 π 1 2x +∑ 2 = e 2 n =1 n + 1 4 sh 2π 2
π
(12) −π
de unde ∞
∑n n =1
2
1 1 = ( πchπ − 1) +1 2
Pentru calculul sumei
(13)
(−1) n folosim teorema lui Dirichlet 2 +1 n =1 ∞
∑n
pentru relaţia (9); astfel, considerând x = 2π sau x = 0 în (9) (2π este punct de continuitate al funcţiei f(x)), obţinem: f (2π ) =
⎞ 1 ∞ ⎛ (−1) n (−1) n +1 n + ∑ ⎜⎜ 2 + cos 2 n π sin 2 n
π ⎟⎟
2 2 n =1 ⎝ n + 1 n +1 1 0 ⎠
(14)
de unde: ⎞ (−1) n 1 ⎛ πe 2π = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ∑ 2 2 ⎝ shπ n =1 n + 1 ⎠ ∞
(15)
