Cap3-medtendencia2015-1 [modo De Compatibilidad].pdf

Medidas de Tendencia • Media Aritmética Simple • Mediana • Moda. • Cuantiles o Fractiles. • Media Aritmética Ponderada • Media Geométrica. • Media Armónica. UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

1

Media Aritmética Simple N

POBLACIÓN

∑ Xi

µX =

i =1

N n

MUESTRA

X =

∑ Xi

i =1

n

Xi : Observación i-ésima N : Tamaño de la población. n: Tamaño de la muestra. UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

2

Propiedades de la Media Aritmética 1. Es un valor representativo, debido a que es el centro de gravedad o valor de equilibrio de un conjunto de observaciones. 2. La suma de las desviaciones de las observaciones respecto a la media aritmética es igual a cero. N

POBLACIÓN

∑ (X − µ i =1

i

X

)= 0

n

MUESTRA

∑ (X − X ) = 0 i =1

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i

3

Propiedades de la Media Aritmética 3. Si se sustituye el valor de cada observación por el valor del promedio aritmético, la suma de todas las observaciones no cambia. 4. La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media aritmética es un valor mínimo. 2

N

∑ (X − µ i =1

i

X

)

2

n

∑ (X − X ) i =1

i

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es un valor

mínimo

es un valor mínimo 4

Propiedades de la Media Aritmética 5. Si un conjunto de datos se divide en “K” subconjuntos, la media aritmética del conjunto es igual a la media ponderada de las medias de los “K” subconjuntos, considerándose como ponderaciones pesos a las cantidades de datos de los “K” subconjuntos. K

POBLACIÓN

K

N µ + N µ + ... + N µ ∑ N µ ∑ N µ = = µ = N + N + ... + N N ∑N 1

1

2

2

K

K

i

i =1

i

2

K

i

i=1

K

K

n X + n X + ... + n X ∑ n X ∑ n X X= = = n + n + ... + n n ∑n 1

1

2

2

K

K

i

i =1

i

i =1

i

K

1

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i

K

X

1

MUESTRA

i

i =1

2

K

i =1

i

5

i

Propiedades de la Media Aritmética 6. Si a cada observación de un conjunto inicial de datos se le suma una constante, la media aritmética del nuevo conjunto de datos será igual a la media aritmética del conjunto inicial más la constante. POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

Xi +K = Yi

µX MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Xi +K = Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

µY = µX + K Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

Y=X+K 6

Propiedades de la Media Aritmética 7.

Si a cada observación de un conjunto inicial de datos se le multiplica una constante, la media aritmética del nuevo conjunto de datos será igual a la media aritmética del conjunto inicial por la constante. POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

Xi K= Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

µY = (µX ) (K)

µX MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Xi K= Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

Y =X K 7

Propiedades de la Media Aritmética 8. Si Yi = a + bXi ; entonces, POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

a +b Xi = Yi

µX

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

µY = a + b µX

MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

a +b Xi = Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

Y =a +b X 8

Propiedades de la Media Aritmética 9. El promedio aritmético de la suma o diferencia de dos o más variables es igual a la suma o diferencia de las medias aritméticas de dichas variables. POBLACIÓN

X1, X2, …, XN → µX Y1, Y2, …, YN → µY W1, W2, …, WN → µW

Z1, Z2, …, ZN → µZ Zi=Xi+Yi+W

µz = µx + µy + µw

MUESTRA

X1, X2, …, Xn → X Y1, Y2, …, Yn → Y W1, W2, …, Wn → W UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Z1, Z2, …, ZN → Z Zi=Xi+Yi+W

Z=X+Y+W 9

Desventaja de la media aritmética Está afectada por los llamados valores extremos Presencia de Valores Extremos Altos

ASIMETRÍA A LA DERECHA

Presencia de Valores Extremos Bajos

ASIMETRÍA A LA IZQUIERDA

Los Valores Extremos Bajos se equilibran con los Valores Extremos Altos

SIMÉTRICA

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10

Mediana Es el valor que ocupa la posición central, después que los datos del conjunto (población o muestra) han sido ordenados según su magnitud. POBLACIÓN

MeX

MUESTRA

meX

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11

Determinación del valor de la mediana para datos no organizados en cuadros de frecuencias 1. Ordenar los “W” datos “Xi” según su magnitud. (Y1, Y2, ..., YW) 2. Determinar la posición del valor de la mediana, con

p Me «w» es impar

«w» es par UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

w+1 = 2 MeX ó meX = Y[(w+1)/2]

MeX ó meX =

Y

  

w 2 

+Y

  

w +1 2 

2 12

Mediana: Ejemplo X: Utilidad neta anual (en millones de soles) Muestra de 15 empresas -2, 3, 4, 4.5, 6, 6.3, 0, -1, 3.3, 5, 7, 2, 2.8, 5.3, 1 Determine e interprete el valor de la mediana Respuesta:

-2, - 1, 0, 1, 2, 2.8, 3, 3.3, 4, 4.5, 5, 5.3, 6, 6.3, 7 pme=8 meX=3.3 UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

13

Mediana: Ejemplo X: Tiempo de servicios en la empresa Muestra de 36 trabajadores 3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 6 6

3 4 6 8

3 4 6 8

4 4 6 8

4 4 6 8

4 5 6 8

Determine e interprete el valor de la mediana Respuesta:

MeX = 5 UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

14

Propiedades de la mediana 1. Divide a un conjunto de datos en dos partes iguales en cantidad de observaciones. Cada parte tiene el 50% de observaciones. 2. La mediana está influenciada, esencialmente, por el número de observaciones y no por los valores de las observaciones. 3. La suma de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones con respecto a la mediana es menor que la suma los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones respecto a cualquier otro valor diferente de la mediana. N

∑ Xi − MeX es un valor mínimo

i=1 n

∑ X i − me X es un valor mínimo

i =1

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15

Propiedades de la mediana 4. No es afectada por los valores extremos. 5. Si a cada observación de un conjunto inicial de datos se le suma una constante, la mediana del nuevo conjunto de datos será igual a la mediana del conjunto inicial más la constante. POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

Xi +K = Yi

MeY = MeX + K

MeX MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

meX UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

Xi +K = Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

meY= meX +K 16

Propiedades de la mediana 6. Si a cada observación de un conjunto inicial de datos se le multiplica por una constante, la mediana del nuevo conjunto de datos será igual a la mediana del conjunto inicial por la constante. POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

(Xi )(K )= Yi

MeY = ( MeX) (K)

MeX MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

meX UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

(Xi )(K )= Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

meY= (meX)(K) 17

Moda Valor numérico, clase o categoría que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

POBLACIÓN

MoX

MUESTRA

moX

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18

Moda: Ejemplo X: Categoría de la empresa Muestra de 25 empresas A, B, A, A, C, B, B, D, B, B, C, B, D, B, A, D, C , B, B, B, B, A, C, D, B Determine la categoría modal. Interprete Respuesta:

A, A, A, A, A, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, D

moX= B UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

La distribución es UNIMODAL

19

Moda: Ejemplo X: Número de defectuosos Muestra de 20 cajas de conservas de pescado 2, 3, 2, 4, 5, 1, 3, 4, 5, 1, 2, 1, 5, 4, 4, 3, 2, 1, 5, 3 Determine el valor de la moda. Interprete Respuesta:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3,3, 4, 4, 4,4, 5, 5, 5, 5,

No existe moda UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

La distribución es CERO MODAL 20

Moda: Ejemplo X: Tiempo de servicios en la empresa Muestra de 36 trabajadores 3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 6 6

3 4 6 8

3 4 6 8

4 4 6 8

4 5 6 8

4 5 6 8

Determine el valor de la moda. Interprete. Respuesta:

mo1,X=4 mo2,X=6 UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

La distribución es BIMODAL

21

Propiedades de la moda 1. Un conjunto de datos puede no tener moda o tener una o más modas. 2. No está afectada por los llamados valores extremos. 3. Se aplica a conjuntos de datos cualitativos o cuantitativos. 4. La moda muestral es muy inestable.

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22

Propiedades de la moda 5. Si a cada observación de un conjunto inicial de datos se le suma una constante, la moda del nuevo conjunto de datos será igual a la moda del conjunto inicial más la constante. POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

Xi +K = Yi

MoY = MoX + K

MoX MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

moX UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

Xi +K = Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

moY= moX +K 23

Propiedades de la moda 6. Si a cada observación de un conjunto inicial de datos se le multiplica por una constante, la moda del nuevo conjunto de datos será igual a la moda del conjunto inicial por la constante. POBLACIÓN Conjunto inicial X1, X2, ..., XN

(Xi )(K )= Yi

MoY = ( MoX) (K)

MoX MUESTRA Conjunto inicial X1, X2, ..., Xn

moX UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., YN

(Xi )(K )= Yi

Conjunto nuevo Y1, Y2, ..., Yn

moY= (moX)(K) 24

Cuantiles o Fractiles Son medidas estadísticas que permiten dividir a una distribución en h partes, cada una de ellas con el mismo porcentaje de datos u observaciones. CUARTILES PRINCIPALES CUANTILES

DECILES PERCENTILES

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25

Cuartiles Dividen a una distribución en 4 partes. Cada parte contiene el 25% de las observaciones. CUARTILES DE UNA DISTRIBUCIÓN

(

ˆ ,Q ˆ ,Q ˆ (Q1, Q2 , Q3 ) ó Q 1 2 3

CUARTIL 1: Q1 ( Qˆ

1

)

El 25% de las observaciones son menores o iguales a Q1 ( Qˆ 1 ,) , y el 75% de las observaciones son mayores que Q1( Qˆ 1 ) UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

CUARTIL 2: Q2 ( Qˆ

2

)

El 50% de las observaciones son menores o iguales a Q2 ( Q,ˆ 2 ) , y el 75% de las observaciones son mayores que Q2 ( Qˆ 2 )

) CUARTIL 3: Q3

( Qˆ ) 3

El 75% de las observaciones son menores o iguales a Q3 ( Qˆ 3 ), y el 25% de las observaciones son mayores que Q3 ( Qˆ 3 )

26

Deciles Dividen a una distribución en 10 partes. Cada parte contiene el 10% de las observaciones. DECILES DE UNA DISTRIBUCIÓN ˆ,D ˆ , ..., D ˆ ) (D1 , D2 , … , D9) ó (D 1 2 9

DECIL 1: D1

(Dˆ )

DECIL 9: D9

1

El 10% de las observaciones son menores o iguales a D1 (Dˆ 1 ), y el 90% de las observaciones son mayores que D1 (Dˆ 1 ) UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

……

El 90% de las observaciones son menores o iguales a D9 ( Dˆ 9 ), y el 10% de las observaciones son mayores que D9 (Dˆ 9 ) 27

Percentiles Dividen a una distribución en 100 partes. Cada parte contiene el 1% de las observaciones.

PERCENTILES DE UNA DISTRIBUCIÓN [(P1 , P2 , … , P99 )] ó

 Pˆ 1 , Pˆ 2 , . . . , Pˆ 9 9   

[(P0.01 , P0.02 , … , P0.99 ) ] ó  Pˆ 0 .0 1 , Pˆ 0 .0 2 ,..., Pˆ 0 .9 9 

PERCENTIL 1: P1 ( Pˆ 1 )

PERCENTIL 99: P99 ó P0.99

El 1% de las observaciones son menores o iguales a P1 ( Pˆ 1 ) , y el 99% de las observaciones son mayores que P1 ( Pˆ 1 )

El 99% de las observaciones son menores o iguales a P99 Pˆ 9 9 , y el 99% de las observaciones son mayores que P99 ( Pˆ 9 9 )

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

……

(

)

28

Equivalencia entre Cuartiles, Deciles y Percentiles Cuartil 1 = Percentil 25 ó Percentil 0.25

Decil 1 = Percentil 10 ó Percentil 0.1

Decil 2 = Percentil 20 ó Percentil 0.2

Decil 3 = Percentil 30 ó Percentil 0.3

Decil 4 = Percentil 40 ó Percentil 0.4

Cuartil 2 = Decil 5 = Percentil 50 ó Percentil 0.5 = Mediana

Decil 6 = Percentil 60 ó Percentil 0.6

Decil 7 = Percentil 70 ó Percentil 0.7

Cuartil 3 = Percentil 75 ó Percentil 0.75

Decil 8 = Percentil 80 ó Percentil 0.8

Decil 9 = Percentil 90 ó Percentil 0.9 UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

29

Determinación de los valores de los Percentiles para datos no organizados en cuadros de frecuencias 1. Ordenar los datos según magnitud, de menor valor a mayor valor. 2. Determinar la posición del percentil, mediante la expresión siguiente: Ui = i(w+1)/100 donde: i , es el íésimo percentil (i=1,2, 3, …,99) w, es el número de datos 3. Determinar el valor del percentil Ui es, exactamente, un valor entero

Pi

(Pˆ )=Valor que ocupa la posición Ui i

Pi (Pˆ ) = Valor resultante de la interpolación con los valores que ocupan las posiciones Ui,1 y Ui,2 Ui,1 : entero inferior de Ui Ui,2 : entero superior de Ui i

Ui no es un valor entero UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

30

Determinación del valor de un Percentil cuando los datos no están organizados en un cuadro de frecuencias: Ejemplo

X: Utilidad neta anual (en millones de soles) Muestra de 15 empresas -2, 3, 4, 4.5, 6, 6.3, 0, -1, 3.3, 5, 7, 2, 2.8, 5.3, 1 Determine e interprete los valores del percentil 50 y del Percentil 60 Respuesta:

-2, - 1, 0, 1, 2, 2.8, 3, 3.3, 4, 4.5, 5, 5.3, 6, 6.3, 7 Ui = 8 Pˆ50,X = Pˆ0.5,X = me X = 3.3 UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

31

Determinación del valor de un Percentil cuando los datos no están organizados en un cuadro de frecuencias: Ejemplo (continuación)

-2, - 1, 0, 1, 2, 2.8, 3, 3.3, 4, 4.5, 5, 5.3, 6, 6.3, 7 Ui = 9.6 Ui,1 =9

Ui,2 =10

Y9 = 4

Y10 = 4.5 Interpolando

ˆ =P ˆ ˆ = 4.3 P =D 60,X 0.6,X 6,X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

32

Medidas de Tendencia: Ejemplo X: N° de personas con las que labora, n=120 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

Determine e interprete los valores de las medidas de tendencia central y los valores del Primer cuantil y último cuantil de cada grupo de cuantiles Respuestas:

ˆ =1.25 ; Q ˆ =3 ; D ˆ =1; D ˆ = 4; Pˆ =1; Pˆ =6 X=2.4917 ; meX =2 ; moX =2 ; Q 1,X 3,X 1;X 9,X 1,X 99,X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

33

Determinación del valores de las medidas de tendencia para datos discretos organizados en cuadros de frecuencias

MEDIA ARITMÉTICA K

POBLACIÓN

µX =

'

∑ X i fi

i =1

N

K

MUESTRA

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

X=

K

= ∑ X i' fri i =1

'

∑ X i fi

i =1

n

K

= ∑ X i' fri i =1

34

Determinación del valores de las medidas de tendencia para datos discretos organizados en cuadros de frecuencias

MEDIANA Para datos poblacionales o muestrales, se aplica el mismo procedimiento que se usa para datos no organizados en cuadros de frecuencias MODA Es el valor Xi’ con la más alta frecuencia CUANTILES Se usa el mismo procedimiento que se utiliza para datos no organizados en cuadros de frecuencias UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

35

Cálculo de medidas de tendencia para datos discretos organizados en cuadros de frecuencias: Ejemplo Cuadro N° 3 Distribución de Número de personas con las que labora Hospital «AAA» Número de personas con las que labora

Número de trabajadores

Proporción de trabajadores

Porcentaje de trabajadores

1 2 3 4 5 6

30 40 25 15 6 4

30/120=0.2500 40/120=0.3333 25/120=0.2083 15/120=0.1250 6/120=0.0500 4/120=0.0333

25.00 33.33 20.83 12.50 5.00 3.33

120

1

100

Total

Calcule e interprete los valores de las medidas de tendencia central y los valores del primer cuantil y último cuantil de cada grupo de cuantiles. Respuestas:

ˆ =1.25 ; Q ˆ =3 ; D ˆ =1; D ˆ = 4; Pˆ =1; Pˆ =6 X=2.4917 ; meX =2 ; moX =2 ; Q 1,X 3,X 1;X 9,X 1,X 99,X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

36

Determinación del valores de las medidas de tendencia central para datos continuos organizados en cuadros de frecuencias

MEDIA ARITMÉTICA

POBLACIÓN

KM f  ∑  i=1 i i K  µX ≅  = ∑ Mi fri  i=1  N   

MUESTRA

KM f  ∑  i=1 i i K  X≅  = ∑ Mi fri  i=1  n   

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

37

Cálculo de los valores de las medidas de tendencia central para datos continuos organizados en cuadros de frecuencias

MEDIANA   w  − F    2 (m-1)  0.5 − Fr(m-1) Me X (me X ) ≅  LIm +   ( TICm ) = LIm +   ( TICm )   fm frm          

LIm : Límite Inferior del intervalo que contiene a la mediana F(m-1): Frecuencia acumulativa absoluta del intervalo anterior a aquel que contiene a la mediana Fm: frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana TICm: tamaño del intervalo de clase que contiene a la mediana UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

38

Cálculo de los valores de las medidas de tendencia central para datos continuos organizados en cuadros de frecuencias

MODA

   d1   dr1  Mo X (mo X ) ≅  LIm +   ( TICm ) = LIm +   ( TICm )  d +d dr +dr  1 2  1 2  

Lim = Límite inferior del intervalo de clase modal d1 = fm- f(m-1)

d2 = f(m) - f(m+1)

dr1 = frm- fr(m-1)

dr2 = fr(m) - fr(m+1)

TICm : tamaño de intervalo de clase modal UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

39

Cálculo de Percentiles para datos continuos organizados en cuadros de frecuencias

   Wp-F(m-1)  p-Fr(m-1) ˆ Pp (Pp )≅ LIm +   ( TICm ) = LIm +   ( TICm )  fm    frm    m : intervalo que contiene a percentil “p” p: 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05,...,0.1,...,0.2, ..., 0.3, ..., 0.4, ...,0.5, ..., 0.99 Lim: Límite Inferior del intervalo que contiene al percentil “p`” F(m-1): Frec. Acum. Absoluta del intervalo que contiene al percentil “p” fm : frecuencia absoluta del intervalo que contiene al percentil “p” TICm: tamaño del intervalo de clase que contiene al percentil “p” UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

40

Cálculo de las medidas de tendencia central para datos continuos organizados en cuadros de frecuencias Tiempo de servicios (en años)

Puntos medios

Número de trabajadores

Proporción De trabaj.

Porcentaje De trabajad.

De 1 a menos de 2 De 2 a menos de 3 De 3 a menos de 4 De 4 a menos de 5 De 5 a menos de 6 De 6 a menos de 7 De 7 a menos de 8 De 8 a menos de 9

1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5

39 20 20 20 7 9 2 3

0.3250 0.1667 0.1667 0.1667 0.0582 0.0750 0.0167 0.0250

32.50 16.67 16.67 16.67 5.82 7.50 1.67 2.50

Total

--------

120

1

100.00

Calcule e interprete los valores de las medidas de tendencia central y los valores del primer cuantil y último cuantil de cada grupo de cuantiles. Respuestas:

ˆ ≅ 1.7692 ; Q ˆ ≅ 4.55 ; X ≅ 3.3833 ; meX ≅ 3.05 ; moX ≅ 1.6724 ; Q 1,X 3,X ˆ ≅ 1.3077; D ˆ ≅ 6.2227; Pˆ ≅ 1.0308; Pˆ ≅ 8.6 D 1;X 9,X 1,X 99,X UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

41

Media Aritmética Ponderada N

POBLACIÓN

∑ Wi X i

µ p = i =1N

∑ Wi

i =1

MUESTRA Xi : Observación i-ésima

n

∑ Wi X i

X p = i =1n ∑ Wi i =1

Wi : Ponderación de la observación i-ésima UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

42

Media Aritmética Ponderada: Ejemplo Una empresa importadora coloca en las tiendas minoristas todas las unidades importadas de cierto producto. El precio de venta por unidad, depende del volumen de compra de la tienda. Con la siguiente información, determine el precio promedio por unidad vendida. Tienda

Precio

N° Unidades Vendidas

A (1) B (2) C (3) D (4) E (5)

30 28 26 29 32

300 500 1000 200 100

Respuesta:

µp = 27.62 soles UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

43

Media Geométrica

N

POBLACIÓN

µg = N X1 X2 ...XN = N ∏Xi i =1

n

MUESTRA

Xg = n X1 X2 ...Xn = n ∏Xi i =1

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

44

Media Geométrica: Ejemplo Se proporcionan las ventas anuales (en millones de soles), para el Periodo 2004-2011 Año

2004 2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

Periodo

0

1

2

3

4

5

6

7

Venta

110

120

150

180

200

230

190

150

Índices

----

1.09

1.25

1.20

1.11

1.15

0.83

.79

a) Determine el valor de la razón de crecimiento geométrico promedio anual. Interprete. b) Halle el valor de la tasa de crecimiento geométrico promedio mensual, considerando lo obtenido en la pregunta anterior. Respuestas:

a)

µg,A = 1.045836

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b)

Tg,M = 0.003742 → 0.3742% 45

Media Armónica

POBLACIÓN

µA =

XA =

MUESTRA

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO ESTADÍSTICA APLICADA I

N N

1 ∑X i =1 i

n n

1 ∑X i =1 i

=

1 1 N 1 ∑ N i =1 X i

=

1 1 n 1 ∑ n i =1 X i

46

Media Armónica: Ejemplo Un comerciante compra cuatro lotes del mismo producto. En los cuatro lotes invierte la misma cantidad de dinero; pero, las cantidades de unidades compradas son diferentes. El precio por unidad para el lote 1, es 4 soles; para el lote 2, 3.92 soles; para el lote 3, 3.85 soles; y para el lote 4, 3.77 soles. ¿Cuál es el precio promedio por unidad para el conjunto de los cuatro lotes?

Respuesta:

µA = 3.88 soles

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47