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C´alculo en Varias Variables MAT 08 Jos´e J. Cerda-Hern´andez Departamento de Matem´ atica

March 25, 2019

Jos´ e Cerda-Hern´ andez (Dep. Mat.)

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Funciones Vectoriales de Variable Real Una funci´on vectorial es una funci´ on que transforma un n´ umero real en un vector: f : I ⊂ R → R3 , definida como f (t) = (x(t), y (t), z(t)) donde x(t), y (t), z(t) son funciones llamadas funciones componentes o coordenadas de variable real del par´ametro t. Note que x, y , z : I → R, es decir, son funciones reales de variable real. DOMINIO El dominio de una funci´ on vectorial est´a dado por la intersecci´on de los dominios de cada una de las funciones componentes o coordenadas, es decir: D(f ) = D(x(t)) ∩ D(y (t)) ∩ D(z(t)) √ Ejemplo f (t) = (1 + t, 3 − t, 2 + 2t). Calcular el dominio de f . Jos´ e Cerda-Hern´ andez (Dep. Mat.)

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RANGO El rango es el conjunto de puntos que son imagen de alg´ un punto del dominio. Ejemplo Grafique el rango de la funci´ on f (t) = (t, t, 2t 2 ), t ∈ [−2, 2]. Ejemplo Si f (t) = (2 cos t, 4 sin t), donde a > 0, b > 0 y t ∈ [0, 2π]. Calcule el rango de f .

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L´ımite de una Funci´on Vectorial Sea f una funci´on vectorial, a ∈ I f : I ⊂ R → R3 , definida como f (t) = (x(t), y (t), z(t)) Definimos el l´ımite de f en a como   lim f (t) = lim x(t), lim y (t), lim z(t) t→a

t→a

t→a

t→a

La definici´on anterior significa que si limt→a f (t) = (x0 , y0 , z0 ), entonces lim x(t) = x0 , lim y (t) = y0 , lim z(t) = z0

t→a

t→a

t→a

√

2t Ejemplo Calcular limt→a f (t), si f (t) = (ln t, 1 + t 2 , 4−t 2 ), y a = 2.

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Theorem Si f y g son dos funciones vectoriales de una variable real tales que lim f (t) = v y

t→a

lim g (t) = w

t→a

y a punto de acumulaci´on de Df ∩ Dg , entonces limt→a [f (t) + g (t)] = limt→a f (t) + limt→a g (t) = v + w limt→a [f (t) − g (t)] = limt→a f (t) − limt→a g (t) = v − w limt→a hf (t), g (t)i = hlimt→a f (t), limt→a g (t)i = hv , w i limt→a f (t) × g (t) = limt→a f (t) × limt→a g (t) = v × w (s´olo para R3 )

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Continuidad de una Funci´on Vectorial Sea f una funci´on vectorial, a ∈ I f : I ⊂ R → R3 , definida como f (t) = (x(t), y (t), z(t)) Decimos que f es continua en a si lim f (t) = f (a)

t→a

La definici´on anterior significa que si limt→a f (t) = f (a), entonces lim x(t) = x(a) , lim y (t) = y (a) , lim z(t) = z(a),

t→a

t→a

t→a

es decir las funciones coordenadas x, y , z son continuas en a.

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Ejemplo Sea la funci´on f dada por  √ (  ln( 1+t 2 ) sin t tan t 3t , , , t= 6 0 t 1−e 3t t2 f (t) = (−1, 0, 1) , t=0 Analice la continuidad de f en t = 0.

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Diferenciabilidad de una Funci´on Vectorial Sea f una funci´on vectorial, a ∈ I f : I ⊂ R → Rn , definida como f (t) = (f1 (t), f2 (t), ..., fn (t)) Decimos que f es derivable en el punto a si el l´ımite lim

t→a

f (t) − f (a) t −a

existe. Si a es un n´ umero en el dominio de f 0 , entonces decimos que f es diferenciable en a. Notaci´ on: f 0 (a) = lim

t→a

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f (t) − f (a) t −a

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De la definici´on podemos observar que   f (t) − f (a) f1 (t) − f1 (a) fn (t) − fn (a) lim = lim , . . . , lim t→a t→a t→a t −a t −a t −a es decir, f 0 (a) = (f10 (a), . . . , fn0 (a)) La derivada de una funci´on vectorial f en el punto a es igual a la derivada de sus funciones coordenadas en el mismo punto. Ejemplo: Encuentre f 0 cuando 1

f (t) = (− sin t, cos t)

2

f (t) = (t, 2 − t 3 , 4 ln(1 − t)), t < 1

3

f (t) = e −t (1, cos wt, sin wt)

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Propiedades de la derivada La derivada tiene las siguientes propiedades ar´ıtmeticas:

Teorema Sean c ∈ R, I un intervalo de R y a ∈ I . Supongamos que las funciones f , g : I → R y φ : I → R son diferenciables en a. Se cumple: 1

Si h(t) = cf (t), entonces g 0 (a) = cf 0 (a)

2

(f + g )0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)

3

(f · g )0 (a) = f 0 (a) · g (a) + f (a) · g 0 (a) (producto escalar)

4

(f × g )0 (a) = f 0 (a) × g (a) + f (a) × g 0 (a) (producto vectorial, n = 3)

5

6

(φf )0 (a) = φ0 (a)f (a) + φ(a)f 0 (a)  0 φ(a)f 0 (a) − φ0 (a)f (a) f (a) = φ φ2 (a)

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Ejemplo: Analice la diferenciabilidad de la funci´ on
 1 1 − cos t, t 2 , t , t = 6 0 t f (t) = (0, 0, 1) , t=0 en cada punto de la recta.

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Ejemplo: Sean f (t) =  g (t) =



√ 1 , ln(2 t+1

t−1 ln t ,

− t), t

y

√


t, t 2 − 1 , t > 0, y t 6= 1 (1, 1, 0) , t=1

1

Encuentre el dominio de la funci´ on f

2

Si h(t) = ||f (t)||, calcule h0 (0)

3

Si r (t) = f (t) × g (t), calcule r 0 (1)

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Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior se calculan en t´erminos de las funciones coordenadas de la siguiente manera: (n)

(n)

f (n) (a) = (f1 (a), . . . , fn (a))

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Vector posici´on, vector velocidad y aceleraci´on Las derivadas de una funci´ on se puede interpretar como un vector velocidad. Veamos la gr´afica de la funci´ on R(t) = (a cos t, b sin t, t). Podemos reescribir la funcio de la forma: R(t) = (a cos t)i + (b sin t)j + tk, donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1)

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Las derivadas de una funci´ on R se puede dar la interpretaci´on de vector velocidad. OP representa la posici´ on R(t), OQ representa la posici´on R(t + ∆t), y PQ representa el vetor R(t + ∆t) − R(t). Cuando ∆t tiende a cero

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vector velocidad : R 0 (t) rapidez : ||R 0 (t)|| aceleraci´ on : ||R 00 (t)|| vector tangente unitario :

R 0 (t) ||R 0 (t)||

Ejemplo: Encontre el vector velocidad, rapidez y vector aceleraci´on de R(t) = (a cos t, b sin t, t)

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Curvas Una forma de definir una curva es como el rango de una funci´on vectorial continua que tiene como dominio un intervalo. Ejemplo: Proporcione una descripci´ on geom´etrica de la curva C descrita por f (t) = (a cos t, b sin t, t), t ∈ [0, 2π]

A medida que t va de 0 a 2π, el punto f (t) va recorriendo C, desde f (0) = (a, 0, 0) hasta f (2π) = (a, 0, 2π) A f (t), t ∈ I se denomina parametrizaci´ on de la curva.

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Ejemplo:(EE 2017-2) Sea Γ la curva obtenida por la intersecci´on de las superficies x + y 2 + 2z = x 2 , x 2 + y 2 = z + 1 Encuentre la recta tangente a Γ en el punto (1, 0, 0) Soluci´ on:

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Ejemplo:(EE 2017-2) Sea Γ la curva obtenida por la intersecci´on de las superficies x + y 2 + 2z = x 2 , x 2 + y 2 = z + 1 Encuentre la recta tangente a Γ en el punto (1, 0, 0) Soluci´ on:

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Recta tangente a una curva

Si C es una curva descrita por la parametrizaci´ on f (t), y si f 0 (t) existe y 0 es distinta de cero, entonces f (t) es llamado vector tangente a la curva C en el punto f (t) y la recta L:

{f (t) + rf 0 (r ) : r ∈ R}

se llama recta tangente a la curva C en el punto f (t).

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Ejemplo:(PC 2017-1) Sea Γ la curva obtenida por la intersecci´on de las superficies y2 − z2 = x − 2 , y2 + y2 = 9 Encuentre una parametrizaci´ on de Γ El punto (−7, 0, 3) pertenece a la curva Γ? Si la respuesta es afirmativa, calcule la recta tangente a Γ en dicho punto. Soluci´ on: 1 2

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Ejemplo:(PC 2017-1) Sea Γ la curva obtenida por la intersecci´on de las superficies y2 − z2 = x − 2 , y2 + y2 = 9 Encuentre una parametrizaci´ on de Γ El punto (−7, 0, 3) pertenece a la curva Γ? Si la respuesta es afirmativa, calcule la recta tangente a Γ en dicho punto. Soluci´ on: 1 2

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Parametrizaci´on regular

Una parametrizaci´on f : I ⊂ R → Rn de una curva C se llama parametrizaci´ on regular si f 0 es continua y f 0 (t) = 6 0 para todo punto interior de I . Una curva C se llama curva regular si posee una parametrizaci´on regular.

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Ejemplo: Analice si la curva Γ parametrizada por la funci´on r (t) = (4 cos t + cos(4t), 4 sin t + sin(4t)), t ∈ [0, 2π] es regular. Soluci´ on:

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Ejemplo: Dadas las constantes positivas a y k, considere la parametrizaci´on r de una curva Γ definida por r (t) = (a sin(kt) cos t, a sin(kt) sin t, a cos(kt)), t ∈ [0, 2π] Demuestre que r regular. Soluci´ on:

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Longitud de Arco Sea Γ una curva descrita por la parametrizaci´ on f (t) = (x(t), y (t), z(t)), t ∈ [a, b]. Si f tiene derivada continua sobre [a, b], entonces la longitud de la curva Γ descrita por f es s      Z b  dy (t) 2 dz(t) 2 dx(t) 2 + + dt LΓ = dt dt dt a

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Parametrizaci´on por Longitud de Arco Note que la longitud de arco usando la parametrizaci´ on f (t) = (x(t), y (t), z(t)), t ∈ [a, b] es Lba (f )

Z =

b

||f 0 (t)||dt

a

Se ve f´acilmente que si ||f 0 (t)|| = 1 para todo t ∈ [a, b], entonces Lta (f ) = t − a

Definition Sea f : I → R es una curva parametrizada diferenciable, diremos que dicha curva est´a parametrizada por la longitud del arco si ||f 0 (t)|| = 1.

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Ejemplo: Dada la curva Γ definida por √ r (t) = (e t cos t, e t sin t, 2e t ), t ≥ 0 Halle 1

Una funci´on de longitud de arco.

2

La longitud de arco de la curva desde t = 0 hasta t = 4.

Soluci´ on:

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Como obtener una parametrizaci´on por longitud de arco Sea r : I → R3 una parametrizaci´ on diferenciable de una curva Γ. Dado t0 ∈ I definimos la funci´ on longitud de arco Z t t L(t) = Lt0 (r ) = ||r 0 (t)||dt t0

Como r es una curva regular , tenemos que L es derivable y creciente, si definimos J = L(I ), entonces L : I → J es una biyecci´ on y su inversa g : J → I existe y es diferenciable. Note que la longitud de arco usando la parametrizaci´ on f (t) = (x(t), y (t), z(t)), t ∈ [a, b] es Lba (f )

Z =

b

||f 0 (t)||dt

a

Entonces β = r ◦ g : J → R3 es tambi´en una parametrizaci´on de la curva Gamma. Tenemos que β es una parametrizaci´ on por longitud de arco, es decir, ||β 0 (t)|| = 1. Jos´ e Cerda-Hern´ andez (Dep. Mat.)

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Ejemplo: Dada la curva Γ definida por √ r (t) = (e t cos t, e t sin t, 2e t ), t ≥ 0 Halle 1

La funci´on r est´a parametrizada por longitud de arco?

2

Encontrar una parametrizaci´ on por longitud de arco de la curva Γ.

Soluci´ on:

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Ejemplo: Encuentre una parametrizaci´ on por longitud de arco de la h´elice Γ : r (t) = (cos(4t), sin(4t), t), t ∈ R Soluci´ on:

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Vectores Unitarios de una Parametrizaci´on Sea r : I → R3 una parametrizaci´ on diferenciable de una curva Γ. A todo punto de la curva asociaremos 3 vectores unitarios: el vector tangente unitario T (t), el vector normal unitario N(t) y la vector binormal B(t).

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Vector tangente unitario : T (t) =

r 0 (t) ||r 0 (t)|| 00

Vector binormal : B(t) =

r 0 (t) × r (t) o B(t) = T (t) × N(t) ´ ||r 0 (t) × r 00 (t)||

Vector normal unitario : N(t) = B(t) × T (t) ´ o N(t) =

T 0 (t) ||T 0 (t)||

Ejemplo: Sea r (t) = (3t 2 + 2, 4t 3 + 2, 2t 3 ) el vector de posici´on de un punto P sobre una curva C , encuentre el vector Binormal cuando t = 1.

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Ejemplo: Encontre el vector tangente, normal y binormal de R(t) = (a cos t, b sin t, t) para todo t ∈ R. Soluci´ on:

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Plano osculador Sea r : I → R3 una parametrizaci´ on diferenciable de una curva Γ. El plano osculador es el plano formado por el vetor tangente y el vector normal.

Plano Osculador = {(x, y , z) ∈ R3 : h(x, y , z) − r (t), B(t)i = 0} Jos´ e Cerda-Hern´ andez (Dep. Mat.)

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Curvatura y Torsi´on

Sea r : I → R3 una parametrizaci´ on dos veces diferenciable de una curva Γ. La curvatura de Γ en el punto r (t) es dado por 00

κ(t) =

||r 0 (t) × r (t)|| ||r 0 (t)||3

Si adem´as, r es de clase C 3 entonces la torsi´ on de Γ en el punto r (t) es dada por 00 000 [r 0 (t) × r (t)] · r (t) τ (t) = ||r 0 (t) × r 00 (t)||2

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Ejemplo: Sea R(t) = (t 2 − t 3 , t, t 2 ) para todo t ∈ R, una parametrizaci´on de una curva Γ. Halle Los vectores unitarios en el punto A(0, 1, 1) ∈ Γ correspondientes a la parametrizaci´on r (t). El plano osculador de Γ en A. Soluci´ on:

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Ejemplo: Considere la curva Γ : x = y3 , z = y2 En cu´al (es) punto(s) de la curva Γ la torsi´ on es m´axima? Soluci´ on:

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Ejemplo: Considere la curva Γ parametrizada por r (t) = 34 t 2 , t, 14 t 3 , t ∈ R. Pruebe que la curvatura κ(t) de Γ es diferente de cero en todo punto r (t). Soluci´ on:

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