Cap24_novo.pdf

24

O VETOR DE POYNTING

24.1 – Transmissão de energia em uma onda plana Considere uma onda eletromagnética plana se propagando na direção perpendicular a esta página (figura 24.1). Podemos considerar que esta onda é um arranjo de “células-de-campo”. Cada célula tendo largura e comprimento unitários, podemos escrever para a tensão V: V  E  1  E (V )

(24.1)

I  H  1  H (A )

(24.2)

Analogamente para a corrente I:

Pela teoria de circuitos, a potência transmitida em uma célula é dada por: P  VI  EH ( W )

(24.3)

Essa é a energia transmitida por unidade de área, indicada de forma vetorial por:    P  E H

(24.4)

A equação (24.4) representa o vetor de Poynting (John Henry Poynting, 1852-1914), cuja dedução matemática mais detalhada será feita na seção a seguir.

E

V = E1

I = H1

Figura 24.1 – Onda eletromagnética plana se propagando perpendicularmente ao papel.

24.2 – O Vetor de Poynting Sejam as equações de Maxwell em rotacional:   B  E   t

(24.5)

   D H J  t

(24.6)

  Multiplicando escalarmente (24.5) por H e (24.6) por E , vem respectivamente:     B H  E   H  t

(24.7)

       D  E    H  E  J   t  

(24.8)

Subtraindo (24.8) de (24.7):        B    D   H E  E  H  H  E  J   t t  

(24.9)

A partir de uma propriedade do cálculo vetorial, podemos escrever que:

      H  E  E   H    E H





(24.10)

Portanto:

     B    D   E H   H  E  J E  t t





(24.11)

A equação (24.11) pode ser reescrita como:

     H  E   E  H   E2  H   E  t t





(24.12)

Onde foram utilizadas as relações:   J  E

  B  H

  D  E

Considerando que:    H  H     2 HH  H  H  H t t t t

 

 

(24.13)

e:    E  E     2 E E  E   E  E t t t t

 

 

(24.14)

A equação (24.12) fica:

   1   1    E  H   E 2   H2    E 2  t  2  t  2 





(24.15)

Integrando (24.15) em um volume v:

     E  H dv   E 2dv  v v t

 





1

1



2

2

 2 H dv  t  2 E dv v

(24.16)

v

Aplicando ao primeiro membro da equação (24.16) o teorema da divergência, e invertendo os sinais:









1

1

 E  H  ds   E dv  t  2 H dv  t  2 E dv s



2

v



2

v

2

(24.17)

v

  A equação (24.17) recebe o nome de Teorema de Poynting. O produto vetorial E  H é o vetor de Poynting. O primeiro membro da equação (24.17) é o fluxo total de energia que entra em uma superfície fechada S. No segundo membro, o primeiro termo representa a potencia dissipada por efeito Joule (perdas), o segundo termo representa a variação de energia armazenada no campo magnético e o terceiro termo representa a variação da energia armazenada no campo elétrico.

Exemplo 24.1 Um condutor cilíndrico de raio a metros é percorrido por uma corrente contínua i ampères num meio de condutividade  S/m. Conferir o teorema de Poynting para um volume correspondente a  metros de fio. Solução E H i EH

a 

Figura 24.2 – fluxo de energia em um condutor com corrente i No caso, os campos elétrico e magnético são estáticos e a equação (24.17) se reduz a:









 E  H  ds   E dv s

E

2

v







J i   a2 



 2

 E  H  ds    EHds    s

s

0 0

i i ad d a 2  2a

Magnitude do campo magnético: H

i 2a

Magnitude do campo elétrico:

      E  H  ds 

  s



i2   a2

  Ri2

que é a energia dissipada por efeito Joule num resistor de geometria cilíndrica.

24.3 – Valor médio do vetor de Poynting O fluxo do vetor de Poynting sobre uma área representa a potência instantânea atravessando essa área. O valor médio do vetor de Poynting é obtido integrando-se o vetor de Poynting em um período, e dividindo por um período (definição clássica do valor médio de uma função periódica ). Ele também pode ser obtido numa notação complexa como:

Pm 

1 E H cos  W / m2 2

(24.18)

  Onde  é o ângulo de defasagem entre E e H .

Exemplo 24.2 No espaço livre E( z, t )  50 cos(t   z) V/m. Calcule a potência média que atravessa uma área circular de 2,5 m de raio, pertencente a um plano z = cte. Solução H

E 50  cost  z   120

H  0,133 cost   z 

  Não existe defasagem entre E e H . Portanto:

Pm 

1  50  0,133  3,325 W / m 2 2

Ptotal  3,325    2,5 2  65,1 W