Cap Iv - Functii Derivabile

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-1

 Important introducere in notiunea de derivata : Are sens sa punem problema derivatei sau derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca acel punct face parte din domeniul de definitie al functiei studiate .

Inainte de a incepe studiul derivatei vom fixa urmatoarele entitati : a).

O functie reala f : E → R , E ⊂ R ;

b).

Domeniul de definitie E fiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;

c).

Un punct x0 care apartine lui E .

 Definitia derivatei unei functii intr-un punct : - Se spune ca functia f are derivata in x0 ∈ E daca limita : lim → x

x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

−

exista in R .

' - In acest caz aceasta limita se noteaza cu f ( x0 ) si se numeste derivata functiei f in x0 .

- Deci :

f ( x ) − f ( x0 ) x x x − x0

f ( x0 ) = lim → '

.

0

 Definitia derivabilitatii unei functii intr-un punct : - Se spune ca functia f este derivabila in x0 ∈ E daca limita : Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-2

f ( x ) − f ( x0 ) exista in R si este finita x − x0

lim → x

x0

' - In acest caz aceasta limita se noteaza cu f ( x0 ) si se numeste derivata functiei f in x0 .

- Deci :

f ( x0 ) = lim x →x '

0

f ( x ) − f ( x0 ) . x − x0

 Observatii : - Observam ca daca f are derivata intr-un punct x0 aceasta poate fi un numar real finit , caz in care f este derivabila in x0 , dar poate fi + ∞ sau − ∞ cand spunem ca f are derivata infinita in x0 ( cand f un este derivabila in x0 ! ) .

 Intoducere in studiul derivatelor , derivabilitatii , laterale : - Fie o functie f : E → R si un punct x0 ∈ E

;

- Daca ( − ∞ ; x0 ) ∩ E ≠ Φ sau E ∩ ( x0 ; + ∞ ) ≠ Φ atunci are sens sa studiem existenta derivatei, respectiv a derivabilitatii , laterale a functiei f in x0 .

 Definitia derivatei , derivabilitatii , la stanga : - Se spune ca functia f are derivata la stanga in x0 daca limita :

lim → x x0 x < x0

f ( x ) − f ( x0 ) − exista in R . x − x0

- In acest caz se noteaza limita prin : f s ( x0 ) sau f '

'

(x ) − 0

.

- Se spune ca functia f este derivabila la stanga in x0 daca limita :

f s ( x0 ) = lim x →x '

x < x0

0

f ( x ) − f ( x0 ) exista in R , x − x0

cu alte cuvinte limita exista si este finita . Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-3

 Definitia derivatei , derivabilitatii , la dreapta : - Se spune ca functia f are derivata la dreapta in x0 daca limita :

lim

x x0 x > x0 →

f (x ) − f (x ) − exista in R . − x x 0

0

- In acest caz se noteaza limita prin : f d ( x0 ) sau f '

'

(x ) + 0

.

- Se spune ca functia f este derivabila la dreapta in x0 daca limita :

f d ( x0 ) = xlim →x '

x >x

0

f ( x ) − f ( x0 ) exista in R , x − x0

0

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Fie functia f : E → R si x0 ∈ E , E un interval sau reuniune de intervale , unde x0 nu este extremitate de interval . Se poate da o caracterizare a faptului ca f are derivata ( este derivabila ) in x0 cu ajutorul derivatelor laterale in x0 , mai precis are loc urmatoarea teorema :

 Teorema : 1). Functia f are derivata in x0 ⇔ f are derivate laterale in x0 si :

f s ( x0 ) = f d ( x0 ) = f ( x0 ) . '

'

'

2). Functia f este derivabila in x0 ⇔ f este derivabila bilateral in x0 si :

f (x ) = f (x ) = f (x )∈R . '

s

'

0

d

'

0

0

Exercitiul nr. 1 : Sa se studieze derivabilitatea functiilor f : R → R in punctele indicate : a).

f ( x) = 2x + 3 , x = 2 ; 0

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-4

1 , x = −1 ; x +2

b).

f ( x) =

c).

f ( x ) = sin 5 x , x =

d).

f ( x ) = x3 + x 2 , x0 = 1 ;

e).

f ( x ) = 3 x 2 + 8 , x0 = 1 ;

f).

f ( x ) = x − 3 x , x0 = 1 ;

g).

f ( x ) = x 2 , x0 = − 3 ;

h).

f ( x ) = x3 , x 0 = 3 ;

i).

f ( x) =

j).

f ( x ) = x , x0 = 2 ;

k).

f ( x ) = 3 x − 1 , x0 = 1 ;

l).

f ( x) =

0

2

0

π ; 2

1 , x0 = 1 ; x

1 , x0 = 1 ; x

m).

f ( x ) = 3 x , x0 = 5 ;

n).

f ( x ) = x − 1 , x0 = 1 ;

o).

f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 , x0 = 2 .

Exercitiul nr. 2 : Sa se stabileasca daca functiile urmatoare au derivate la stanga si la dreapta in punctele indicate :

 x , x≥0 f : R → R , f ( x) =  , x0 = 0 ; − x , x < 0  1 , x>0  b). f : R → R , f ( x ) = sgn x =  0 , x = 0 , x0 = 0 ;  -1 , x < 0  c). f : R → R , f ( x ) = min ( 2 x + 1,3 x + 5) , x0 = − 4 ; a).

d).

f : R → R , f ( x ) = [ x − 1] , x0 = 3 ;

e).

f : R → R , f ( x ) = 3 x − 1 , x0 = 1 ;

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

f).

-5

 sin x , x ≤ 0 f : R → R , f ( x) =  , x0 = 0 x , x > 0 

;

, x<0  ex − 1 , x0 = 0 g). f : R → R , f ( x ) =  ( ) ln 1 + x , x ≥ 0 

.

Exercitiul nr. 3 : Sa se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ( f : R → R ) , in punctele indicate : a).

f ( x ) = x − 1 , x0 = 1 ;

b).

f ( x ) = x ⋅ x + 1 , x 0 = −1 ;

c).

f ( x ) = max( x , x2 ) , x0 = 0 ;

d).

 x x , x0 ≥ 0 f ( x) =  , x0 = 0 ; x , < 0 x 0 

 3 x + 1 , x ≥ −1  , x 0 = −1 ; e). f ( x ) =  x + 1 , x < − 1   x −1 f).

 cos( x-2) , x > 2 f ( x) =  , x0 = 2 ; x1 , x ≤ 2 

 2x -1 , x0 ≥ 0 , x0 = 0 ; g). f ( x ) =   sinx , x0 < 0  x2 + x , x ≤ 0 , x0 = 0 . h). f ( x ) =  2 + , x > 0 2 x x  Exercitiul nr. 4 : Fie f : R → R functia definita prin f ( x ) =

2 x + 5 oricare ar fi x ∈ R .

a). Sa se arate ca functia f are derivata in punctul x0 = 2 . b). Sa se calculeze f ( 2 ) . '

c). Este functia derivabila in punctul x0 = 2 ?

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-6

Exercitiul nr. 5 : Fie f : R → R functia definita prin f ( x ) = 5 x oricare ar fi x ∈ R . a). Sa se arate ca functia f are derivata in punctul x0 = 0 . b). Sa se calculeze f ( 0 ) . '

c). Este functia derivabila in punctul x0 = 0 ?

Exercitiul nr. 6 : Utilizand definitia , sa se arate ca urmatoarele functii sunt derivabile in punctele x0 specificate . Sa se calculeze derivata f

'

(x ) 0

in fiecare caz in parte :

a).

f : R → R , f ( x ) = x3 − 5 x + 2 oricare ar fi x ∈ R , x0 = 2 ;

b).

f : [ 0;1] → R , f ( x ) = arccos( 2 x − 1) oricare ar fi x ∈ [ 0;1] , x0 =

c).

f : R → R , f ( x ) = ex ⋅ sin x oricare ar fi x ∈ R , x0 = π ;

d).

f : ( − 1;+∞ ) → R , f ( x ) = ln ( x2 + 3x + 2 ) oricare ar fi x ∈ ( − 1;+∞ ) , x0 = −

e).

f : R → R , f ( x ) = sin x sin x oricare ar fi x ∈ R , x0 = 0 ;

1 ; 2 1 3

, x >1  ex −1 f). f : R → R , f ( x ) =  3 , x0 = 1 2  x − x +1 , x ≤1  ln( x2 + 1 ) , x ≥ 0 g). f : R → R , f ( x ) =  , x0 = 0 . 7 4 + , x < 0  x 5x

Exercitiul nr. 7 : Fie f : R → R functia definita prin f ( x ) = x + 1 + x − 1 oricare ar fi x ∈ R . a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 1 ; b). Sa se calculeze f s (1) si f d (1) ; '

'

c). Este functia derivabila la stanga , la dreapta , in punctul x0 = 1 ? ; d). Are functia derivata in punctul x0 = 1 ? ; e). Este functia derivabila in punctul x0 = 1 ? .

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-7

Exercitiul nr. 8 :  sin x , x<0  Fie f : R → R functia definita prin f ( x ) =  x .  1− x , x ≥ 0  a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 0 ; b). Sa se calculeze f s ( 0 ) si f d ( 0 ) ; '

'

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul x0 = 0 ? ; d). Are functia f derivata in punctul x0 = 0 ? ; e). Este functia f derivabila in punctul x0 = 0 ? .

Exercitiul nr. 9 :  x  Fie f : R \ {1} → R functia definita prin f ( x ) =  ln x 2   x3

, x ∈ ( 0;+∞ ) \ {1}

.

, x≤0

a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 0 ; b). Sa se calculeze f s ( 0 ) si f d ( 0 ) ; '

'

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul x0 = 0 ? ; d). Are functia f derivata in punctul x0 = 0 ? ; e). Este functia f derivabila in punctul x0 = 0 ? .

Exercitiul nr. 10 : 1   x ⋅ sin , x ≠ 0 Fie f : R → R functia definita prin f ( x ) =  . x  0 , x=0 a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul x0 = 0 ; b). Are functia f derivata in punctul x0 = 0 ? ; c). Este functia f derivabila in punctul x0 = 0 ? .

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-8

Fie f : ( a, b ) → R o functie derivabila intr-un punct x0 ∈ ( a0 , b0 ) .

 Definitia ecuatiei tangentei la grafic : - Graficul functiei f are tangenta in x0 , sau mai corect in punctul ( x0 , f ( x0 ) ) , anume dreapta de ecuatie :

y − f ( x0 ) = m ( x − x 0 )

sau

unde m = f

'

(x ) 0

y − f ( x0 ) = f ( x 0 ) ⋅ ( x − x0 ) . '

 Definitie coeficient unghiular al tangentei : - Derivata f

( x , f ( x )) 0

0

.

- Daca f

'

'

( x ) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui 0

( x ) = +∞ 0

f , in punctul

sau − ∞ atunci tangenta in ( x0 , f ( x0 ) ) este paralela cu axa Oy .

 Definitie punct de intoarcere : - Daca , intr-un punct x0 , f este continua si avem : ' ' f d ( x0 ) = +∞ si f s ( x0 ) = −∞ sau invers

atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui f .

 Definitie punct unghiular : - Fie functia f : E → R continua intr-un punct x0 ∈ E ; - Daca exista ambele derivate laterale , cel putin una dintre ele fiind finita , dar functia un este derivabila in x0 , atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui f . - Intr-un punct unghiular cele doua semitangente , la stanga si la dreapta , formeaza un unghi α ∈ ( 0, π ) .

 Problema

1 :

- Fie f : E → R si x0 ∈ D f ;

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

-9

- Graficul functiei f admite tangenta in punctul T ( x0 , f ( x0 ) ) ∈ G f ( neparalela cu axa Oy ) a carei ecuatie este :

y − f ( x0 ) = f ( x 0 ) ⋅ ( x − x0 ) , x ∈ R '

- Daca f

'

.

, atunci tangenta este paralela cu axa Ox . In acest caz y = f ( x0 ) .

(x ) =0 0

- Dreapta y − f ( x0 ) = f

'

(x ) ⋅(x 0

− x0 ) poate fi tangenta la G f si in cel putin un punct

T1∈G f , T1 ≠ T !

 Problema

2 :

- Pentru a determina ecuatiile tangentelor la graficul unei functii f : E → R paralela cu o directie data m ∈ R , se procedeaza astfel : ' •se rezolva ecuatia f x = m , unde x ∈ D f ;

( )

'

•daca x'k , k ∈1, n sunt radacinile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor la G f , paralele cu directia data , sunt :

y − f ( x'k ) = m ( x − x'k ) ,

 Problema

k ∈1, n .

3 :

- Pentru a determina ecuatiile tangentelor duse dintr-un punct P( α , β ) ∉ G f la graficul

functiei f : E → R , se procedeaza astfel : •se rezolva ecuatia

' β − f ( x ) = f ( x ) (α − x ) , x ∈ D f ; '

•daca x'k , k ∈1, n sunt zerourile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor la G f , duse din punctul P( α , β ) ∉ G f , sunt :

y − f ( xk) = f

 Problema

'

( x )( x k

− xk) ,

k ∈1, n .

4 :

- Graficele a doua functii f , g : E → R sunt tangente daca exista x0 ∈ D f  D g astfel '

'

incat f ( x0 ) = g ( x0 ) si f ( x0 ) = g ( x0 ) , ceea ce inseamna ca functia : '

'

h : E → R , h( x ) = f ( x ) − g ( x ) are proprietatea ca :

{ x ∈E h (x ) = 0 } ∩{ x ∈D h (x ) = 0 } ≠ Φ '

h

'

functia h are cel putin un zero multiplu .

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

- 10

- Daca exista x0 ∈ E pentru care f ( x0 ) = g ( x0 ) si functiile f si g au derivata in punctul

x0 si acestea sunt infinite si egale ( x0 ∉ D f ∪ D g ) , atunci si in acest caz G f si G g sunt tangente '

in punctul

( x , f ( x )) 0

0

'

, insa tangenta comuna este paralela cu axa Oy : x = x0 .

Exercitiul nr. 1 : x0

Sa se scrie ecuatiile tangentei la graficele functiilor f : R → R indicate in punctele respective :

a).

f ( x ) = x 2 , x0 = 2

c).

f ( x ) = ( 2 x +1 ) , x0 = 4 2

; ;

b).

f ( x ) = x3 − x , x 0 = 1 ;

d).

f ( x ) = x 2 + 5 , x0 = 2

;

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

e).

- 11

f ( x ) = sin x , x0 = 0

;

f).

f ( x ) = x + sin x , x0 = π

.

Exercitiul nr. 2 : Sa se determine punctele unghiulare sau punctele de intoarcere pt. functiile f : R → R : a).

f ( x) = x x − 2 ;

c).

 f ( x) =  

, daca x < 1

0 3

( x −1)

2

, daca x ≥ 1

;

b).

f ( x ) = 3 ( x −1)

d).

f ( x) =

2

;

x −1 . x +1

Exercitiul nr. 3 :  x2 − 3x + 2 , daca x > 0 f : R → R Fie , f ( x) =  . Sa se studieze derivabilitatea lui 0 , daca x ≤ 0 

f si sa se determine punctele unde tangenta la grafic trece prin origine . Exercitiul nr. 4 : Sa se determine tangentele la graficul de ecuatie y = ( x +1)

2

care trec prin origine . Idem

pentru y = x3 + 1 .

Exercitiul nr. 5 : Sa se determine a ∈ R a.i. tangenta la graficul functiei f ( x ) =

a in punctul (1, f (1) ) x +1 2

sa formeze cu directia pozitiva a axei Ox un unghi de 450 .

Exercitiul nr. 6 : Sa se determine tangentele la graficul functiei f : R − { 0} → R , f ( x ) = trece prin punctul A( 2,2 ) .

2 x +1 care x

Exercitiul nr. 7 : mx . Sa se determine parametrul real m astfel incat 2 + x 1 tangenta la grafic in punctul de abscisa 2 sa fie paralela cu a doua bisectoare ( dreapta y = − x Fie f : R → R , f ( x ) =

este cunoscuta sub numele de a doua bisectoare ).

Exercitiul nr. 8 :

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

- 12

x +1 . Sa se determine a si b astfel incat x graficele celor doua functii sa admita tangenta comuna in punctul de abscisa 1 . 2 Fie functiile f ( x ) = 2ax + bx − 1 , g ( x ) =

Exercitiul nr. 9 : 2 2 Fie f , g : R → R , f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = − x − 4 x + m astfel incat graficele functiilor f si g sa admita o tangenta comuna intr-un punct comun . Exercitiul nr. 10 : Scrieti ecuatiile tangentelor la graficul functiilor urmatoare in x0 :

1− x , x0 = 0 1+ x

a).

f ( x) =

c).

f ( x ) = x2 + 2 x −1 , x0 = 1 ;

;

b).

f ( x) =

d).

f ( x) =

1 2

x −1

, x0 = 1 ;

1 , x0 = 2 x

.

Exercitiul nr. 11 : Sa se determine un punct apartinand graficului functiei f : ( 0, ∞ ) → R , f ( x ) = ln x − 2 in care tangenta la graficul acesteia este paralela cu prima bisectoare a axelor de coordonate .

Exercitiul nr. 12 : Sa se scrie ecuatia tangentei dusa din originea axelor de coordonate , la curba de ecuatie y = x2 − x +1 .

Exercitiul nr. 13 : Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curbele de ecuatii y = x4 − 4 x3 + 9 x2 − 7 x + 2 si y = x3 in punctele comune acestora .

Legat de functiile derivabile are loc urmatorul rezultat important dat de :

 Teorema : Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct . Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

- 13

 Observatii ( important ) : 1). Functie derivabila intr-un punct ⇒ functie continua in acel punct . 2). Functie continua ⇒ nu neaparat derivabila in acel punct . 3). Functie discontinua ⇒ functie nederivabila .

 Concluzie privind derivabilitatea : Se poate pune problema derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca : 1). Functia este definita in acel punct . 2). Functia este continua in acel punct . 3). Functia este derivabila daca :

lim → x

x0

f ( x ) − f ( x0 ) exista in R si este finita . x − x0

Exercitiul nr. 1 : Sa se determine parametrii reali m , n astfel incat functiile urmatoare sa fie derivabile in punctele indicate :

 x2 + mx + n , x ≤ 2 , x0 = 2 1). f : R → R , f ( x ) =  + , > x 2  nx m

;

1  , x<0  mx + n , x0 = 0 2). f : R → R , f ( x ) =  1  , x≥0  x2 − 9 x + 21

;

3).

 mx + n , x > 1 f : R → R , f ( x) =  2 , x0 = 1 ;  x +1 , x ≤1 Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

- 14

 x2 + mx + n , x > 0 , x0 = 0 4). f : R → R , f ( x ) =  sin x , x ≤ 0 

;

2x , x≤0  me , x0 = 0 5). f : R → R , f ( x ) =   sin 2 x + n cos 3x , x > 0

;

 x4 + mx + 2 , x < 0 , x0 = 0 . 6). f : R → R , f ( x ) =  4 + ( + ) , x≥0  n ln 1 x Exercitiul nr. 2 : 1   x cos , x ≠ 0 Sa se arate ca functia f : R → R , f ( x ) =  este continua in x = 0 x  0 , x=0 dar un este derivabila in x = 0 .

Exercitiul nr. 3 : Sa se determine punctele de derivabilitate ale functiei f : R → R ,

 x4 , x ∈ Q f ( x) =  . 2 , x ∈ R \ Q 2 x 

Fie f : E → R si I un interval din E .  Definitie : Se spune ca functia f este derivabila pe intervalul I daca este derivabila in fiecare punct al intevalului I .

 Observatii : 1). Daca f este derivabila pe tot domeniul sau de definitie , vom spune mai simplu , ca f este derivabila , fara alta explicatie legata de multime . 2). Daca notam cu D f submultimea lui E formata din toate punctele x ∈ E cu proprietatea '

Derivabilitate

Clasa a XI-a ANALIZA Cap. IV : Functii Derivabile

- 15

{

ca f este derivabila in punctul x , daca D f = x ∈ E ∃ f ( x ) si f ( x ) ∈ R '

'

'

}

atunci se poate

' defini pe D f cu valori reale , care asociaza fiecarui punct x ∈ D f numarul real f ( x ) , '

'

' x ∈ D f , x → f ( x) ∈ R '

' Aceasta functie se noteaza cu f si se numeste functia derivata a lui f sau simplu derivata

lui f . Procedeul prin care se obtine f

'

din f se numeste derivare .

3). Este clar ca D f ⊆ E . Nu are sens sa se vorbeasca de derivabilitatea unei functii in puncte care nu se afla in domeniul de definitie al functiei . '

Derivabilitate