Cap 5 Mineral Science.docx

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LOS CONCEPTOS CRISTALOGRÁFICOS "Un conocimiento razonable de la geometría del cristal debe ser parte del fundamento técnico de cualquiera que se ocupe del estado cristalino, o que desee leer inteligentemente cualquiera de las publicaciones relacionadas con la materia cristalina. La característica de la geometría del cristal es que se trata de la repetición ordenada. De hecho, la geometría de los cristales es la geometría del orden ". Martin J. Buerger, 1971 La definición de mineral incluye la frase "un sólido con una disposición atómica altamente ordenada". Esta disposición interna ordenada puede expresarse en la forma externa bien desarrollada de los cristales. La forma cristalina externa (también conocida como morfología) se puede observar a simple vista en cristales macroscópicos. La simetría inherente de tales cristales puede evaluarse visualmente, si los cristales están bien formados y sin distorsión. Usando instrumentación óptica, como un goniómetro reflectante, se pueden realizar mediciones cuidadosas de las posiciones angulares de las caras de cristal. Esto conduce a una mejor definición de la simetría inherente. Las técnicas de difracción de rayos X y de difracción de electrones se utilizan para estudiar la disposición atómica ordenada interna de los cristales. Esto se conoce como análisis de estructura cristalina. La repetición ordenada de átomos, iones o moléculas (como en las estructuras cristalinas orgánicas) está estrechamente vinculada a la simetría. Este capítulo sirve como una visión general de algunos conceptos cristalográficos importantes. El Capítulo 6 abordará otros aspectos de la cristalografía morfológica y los grupos espaciales. En el presente capítulo, los conceptos basados en la morfología externa preceden a los de la estructura interna; inicialmente es más sencillo ubicar elementos de simetría en objetos físicos (por ejemplo, modelos de cristal de madera) que en patrones de motivos o en modelos que representan las estructuras internas de los minerales. DE LAS OPERACIONES DE SIMETRÍA A LOS GRUPOS ESPACIALES Después de definir varias operaciones de simetría, según lo expresado por la forma externa de los cristales, y después de haber evaluado sus varias combinaciones posibles, aprenderemos que solo hay 32 elementos de simetría no idénticos y combinaciones de los mismos. . Estos 32 son conocidos como los 32 grupos de puntos, o clases críticas (ver Tabla 5.4), que se pueden distribuir entre seis sistemas de cristal. Esta agrupación en seis sistemas cristalinos lleva al reconocimiento de las selecciones de ejes cristalográficos apropiados para cada uno de los seis sistemas cristalinos (ver Figs. 5.26 y 5.27). Todo lo anterior se trata en gráficos animados en el módulo Il del CD-ROM. Una vez completado este resumen de simetría expresado por la morfología de los cristales, evaluaremos el contenido de simetría y los componentes traslacionales de las estructuras cristalinas. Debido a que se puede considerar que una estructura cristalina consiste en motivos regularmente repetidos (átomos, iones o grupos de átomos o iones), primero evaluaremos la repetición regular de los motivos en dos dimensiones. Esto lleva a la conclusión de que solo hay cinco posibles arrays de puntos periódicos no idénticos (también conocidos como las cinco redes planas o redes; estas redes se construyen a través de animaciones en el módulo III del CD-ROM bajo el encabezado "Dos - Orden dimensional '; ver también Fig. 170 Teniendo en cuenta los diversos motivos bidimensionales del contenido de simetría (que contienen rotaciones o espejos), llegamos a la conclusión de que en los patrones bidimensionales ordenados solo hay 10 posibles contenidos de simetría no idénticos. Estos son los 10 grupos de puntos bidimensionales (ver Fig. 5.55) Cuando se considera la interacción de los elementos de simetría en los 10 grupos de puntos bidimensionales con las 5 redes planas (o redes), así como algunos posibles Reflexiones de deslizamiento (en lugar de espejos), se llega a la conclusión de que solo hay 17 grupos de planos bidimensionales (ver Fig. 5.59). Este número limitado es el resultado del hecho de que existen restricciones impuestas al combinar las 5 redes (tipos de celosía plana) con las 10 simetrías de motivos, ya que no todas las simetrías de motivos son compatibles con todos los tipos de redes. Siete de los 17 grupos de planos se ilustran en el módulo lll del CD-ROM bajo el encabezado Orden bidimensional Finalmente, cuando consideramos patrones regulares en tres dimensiones en lugar de dos, concluimos que en lugar de 5 redes planas podemos construir 14 Enrejados tridimensionales únicos pero diferentes (utilizando las 5 redes planas como base). Estos son conocidos como las 14 celosías de Bravais. En el módulo III del CD-ROM, bajo el encabezado Orden tridimensional ", se muestran animaciones que construyen 10 de estos 14 tipos de tiempos de lat 8; ver también las figuras 5.62 y 5.63). Estos 14 tipos de celosías tridimensionales se pueden combinar con el symmetriesli inherente en los 32 grupos de puntos. Combinando la simetría inherente en los 32 grupos de puntos con las 14 celosías de Bravais, así como dos operaciones de simetría adicionales que implican la traducción (operaciones de tornillo y deslizamiento), se llega a los 230 grupos espaciales. a Estos 230 grupos espaciales representan las diversas formas en que se pueden organizar los motivos en el espacio en una matriz homogénea (ver Tabla 5.10). Varios aspectos de los grupos espaciales se ilustran en el módulo III del CD-ROM bajo el encabezado Tridimensional Orden."

LOS MINERALES COMO SÓLIDOS CRISTALINOS Los minerales, con pocas excepciones, poseen la disposición interna ordenada que es característica de los sólidos cristalinos. Cuando las condiciones son favorables, pueden estar delimitadas por superficies planas lisas y suponer formas geométricas regulares conocidas como cristales el domingo, la mayoría de los científicos usan el término cristal para describir cualquier sólido con una estructura interna ordenada, sin importar si posee caras externas . Debido a que las caras delimitadas son principalmente un accidente de crecimiento y su ausencia de ninguna manera cambia las propiedades fundamentales de un cristal, este uso es la razón. Por lo tanto, podemos encuadrar una definición más amplia de un cristal como un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional de largo alcance. El estudio de los sólidos cristalinos y los principios que rigen su crecimiento, forma externa y estructura interna se llama cristalografía. Aunque la cristalografía se desarrolló originalmente como una rama de la mineralogía, hoy en día se ha convertido en una ciencia independiente que trata no solo de los minerales, sino de toda la materia cristalina. En este texto, el término general cristalino se utiliza para denotar la disposición ordenada de los átomos en la estructura cristalina. . El término cristal, sin un modificador, se usa generalmente en el sentido tradicional de un sólido geométrico regular limitado por superficies planas lisas. El cristal también se usa en su sentido más amplio con modificadores que indican la perfección del desarrollo. Así, un sólido cristalino con caras bien formadas es euhédrica; gi tiene caras desarrolladas imperfectamente, es subédrica; y sin caras, anhedral. Estos adjetivos se derivan del hedron griego, que significa cara, y las raíces griegas eu, que significa bueno, an, que significa sin, y la raíz latina sub, que significa algo, menos que. Las sustancias cristalinas pueden aparecer en tales agregados de grano fino que su naturaleza cristalina (o cristalinidad) solo puede determinarse con la ayuda de un microscopio. Estos se denominan microcristalinos. Si los agregados son tan finos que los cristalitos individuales no pueden resolverse con el microscopio, pero pueden detectarse mediante técnicas de difracción de rayos X, se los denomina criptocristalinos. Aunque la mayoría de las sustancias, tanto naturales como sintéticas, son cristalinas, algunas carecen de una disposición atómica interna ordenada y se llaman amorfas o no cristalinas. Las sustancias amorfas que se producen de forma natural se designan como mineroides (consulte el Capítulo 4). Orden interno El orden interno o la estructura cristalina de un mineral se puede considerar como un motivo (o grupo de átomos) repetido en una red (que es una matriz periódica de puntos en el espacio). La red expresa el componente de traducción del orden interno, que se tratará más adelante en este capítulo. El motivo, o grupo de átomos, tiene una cierta simetría (o falta de ella que puede reflejarse en la forma externa del cristal. El primer científico en demostrar que la forma cristalina externa de un mineral (su morfología) es una expresión de su el orden interno fue René-just Haüy (1743-1822; ver Fig. 1.6). La Figura 5.1 es una ilustración del concepto de Haüy de "moléculas integrales" que se apilan regularmente para lograr varias Formas comúnmente desarrolladas. Haüy acuñó la palabra molécula, por la cual se refería al concepto moderno de células unitarias. Una celda unitaria es la unidad más pequeña de una estructura (o patrón) que puede repetirse infinitamente para generar toda la estructura (o para generar la impresión completa de un patrón). El orden interno tridimensional de un cristal se puede considerar como la repetición periódica del motivo (una unidad de patrón) de tal manera que el ambiente de y alrededor de cada motivo repetido es idéntico. Una disposición simple y ordenada de un motivo en dos dimensiones se muestra en la Fig. 5.2 con una coma como motivo. (Se eligió una coma como motivo porque en un dibujo bidimensional laico -todas simetría. Por lo tanto, en tal representación, la coma no contribuye con elementos de simetría al patrón ordenado general; solo se presenta la traducción). En cristales los motivos pueden ser moléculas tales como H2O, grupos aniónicos tales como (CO, (SiO), o (PO, cationes tales como Ca, Mg, Fe, átomos tales como Cu, o combinaciones de grupos aniónicos, iones, y / o átomos. La Figura 5.3 ilustra la disposición regular (ordenada) de triangular (CO, grupos e iones Ca en el esquema estructural romboédrico de una célula unitaria de calcita (CaCO). Simetría En discusiones anteriores sobre poliedros de coordinación y estructura criática (ver Capítulo 3) , se hizo obvio que los arreglos geométricos ordenados contienen varios tipos de simetría. La Figura 5.4 ilustra cómo la Figura 5.3. La estructura atómica de la calcita, CaCO. El contorno de la celda unitaria es de forma romboédrica. Las ubicaciones del carbono , calcio y oxígeno. El grupo carbonato (co3) 2- tiene la forma de un triángulo equilátero con el carbono en su centro y el oxígeno en las tres esquinas. Los iones de calcio y son las unidades motrices de la estructura. ELEMENTOS DE SIMETRÍA DE CRISTALES La forma externa de un cristal bien formado puede reflejar la presencia o ausencia de ciertos elementos de simetría. Estos son ejes de rotación, planos de espejo (reflexión), centro de simetría y ejes de rotacióninversión. La presencia de estos elementos de simetría se puede detectar, en un cristal bien formado, por la disposición angular de las caras delimitadas y, a veces, por su tamaño y forma. (En la Fig. 5.5 se muestran ejemplos de cada

uno de estos elementos de simetría como parte de un cristal bien formado). En cristales poco desarrollados o distorsionados, el simetría generalmente no es obvio, pero se puede derivar de una cuidadosa medición de las relaciones angulares de las caras delimitadas. El reconocimiento de elementos de simetría en cristales, o modelos de madera que muestran el morfol. La ogía de cristales perfectos, es generalmente parte de las sesiones de laboratorio asociadas con el curso de mineralogía. Muchos de estos aspectos de la simetría morfológica se tratan, con animaciones, en el módulo ll del CD-ROM. En la siguiente discusión de las operaciones de simetría observamos que estas operaciones se realizan sin traducción. En nuestro estudio visual de la morfología de los cristales podemos ver la presencia de ejes de rotación, espejos y centros de simetría, pero no vemos traducciones atómicas. Solo dentro de la estructura atómica de los minerales se pueden evaluar las traducciones en un nivel de angstrom. Por lo tanto, los elementos de simetría que implican traducciones se introducirán solo más tarde como parte de una discusión de patrones regulares. Elementos de simetría (sin traducción) El motivo utilizado en la Fig. 5.2, la coma, no contiene simetría. Sin embargo, muchos motivos, como los utilizado para crear patrones impresos bidimensionales, contienen simetría. Los ejes de rotación, los planos de espejo y los centros de simetría son ejemplos de tales elementos de simetría. El acto de rotación alrededor de un eje, el acto de reflexión por un espejo y el acto de inversión alrededor de un punto central se denominan colectivamente operaciones de simulación de intento. Rotación sola, a través de un ángulo (a), alrededor de un eje imaginario, genera otro motivo, o varios otros motivos. En la figura 5.6a, el ángulo a de 180 genera un patrón con dos manos. Un eje de rotación es una línea alrededor de la cual se puede girar una unidad de motivo y repetirse en apariencia una o varias veces durante una rotación completa (ver Fig. 5.6a). Por lo tanto, un eje de rotación es una línea imaginaria a través de un cristal alrededor del cual el cristal puede rotarse y repetirse en apariencia 1, 2, 3, 4 o 6 veces durante una rotación completa (ver Fig. 5.10). La figura 5.5a representa un eje de rotación de 6 veces. Cuando se gira alrededor de este eje, el cristal se repite cada 60 o seis veces en una rotación de 360 La simetría rotacional generalmente se expresa mediante el número entero (n) de xeany desde 1 hasta el infinito. El número n expresa el número de veces que una unidad de motivo se repite durante una rotación completa (360%). Una simetría rotacional de n 1 significa que después de una rotación completa de 360 sobre un eje, todos los aspectos de un objeto (o figura) coinciden con ellos mismos una sola vez. El otro caso límite de simetría rotacional es con un eje de rotación de orden infinito en w). Un objeto que posee este tipo de eje puede hacerse coincidir consigo mismo por cualquier ángulo de rotación, porque la cantidad de rotación necesaria es infinitamente pequeña. La figura 5.7 muestra cómo un el cilindro hueco es compatible con un eje de rotación, paralelo a la longitud del cilindro, de n También muestra que este mismo cilindro hueco con una sola muesca tiene simetría de rotación de n1 Podemos fabricar objetos o dibujar formas, con simetrías de rotación que se encuentran entre los dos extremos de n co y n 1 (donde n es un número entero y una parte alícuota de 360). Podríamos, por ejemplo, decidir construir un bote de 36 lados en el que cada lado esté desplazado de sus lados contiguos en 10 °. Un objeto de este tipo tendría una simetría de rotación de n 36. Las simetrías de rotación de algunas formas y objetos se ilustran en la figura 5.8. Cabe señalar, sin embargo, que hasta ahora nos hemos preocupado por la simetría rotacional de los objetos independientes. No hemos considerado el hecho de que deseamos organizar tales objetos en un patrón ordenado. Cuando la simetría del motivo está limitada por el símbolo de traslación, En la red, solo son posibles ciertas rotaciones (consulte la página 221). Los tipos de rotación encontrados en los cristales ordenados internamente, y también expresados en su forma externa (morfología) son de una sola vez (a 360), pliegue (a 180, tres veces (a120, cuatro veces (o 909, y seis veces (a 60). Un eje de cinco pliegues y siete y más) no son posibles. Esto se demostrará geométricamente en p 221, después de que se haya discutido la traducción de celosía. Intuitivamente, esto se hace evidente cuando uno trata de cubrir completamente una superficie plana con un motivo de cinco lados, como un pentágono, sin desajustes ni huecos (vea la Fig. 5.9a). Por otro lado, la Fig. 5.9b muestra cómo los hexágonos pueden cubrir completamente una superficie. La imagen geométrica de la Fig. 5.9a muestra desajustes y brechas, que tienden a no ocurrir en las estructuras cristalinas de los minerales. En una escala atómica, tales brechas podrían representan enlaces químicos insatisfechos o enlaces sobrecargados entre iones Centro de simetría Un centro de simetría, también conocido como inversión (, produce un objeto invertido a través de un centro de inversión. Una inversión implica dibujar líneas imaginarias desde cada punto del objeto a través del centro de inversión y una distancia igual en el otro lado de (el centro de inversión. El objeto invertido se "recrea" luego conectando los puntos (Fig. 5.6c). La inversión, como la reflexión, produce un par enantiomórfico. Un centro de simetría está presente en un cristal si una línea imaginaria se puede pasar desde cualquier punto de su superficie a través de su centro y se encuentra un punto similar en la línea a una distancia igual más allá del centro. Esto es equivalente a 1, o inversión. La Figura 5.5c

ilustra un centro de simetría en un cristal. Rotación con inversión Además del orden simétrico generado por las operaciones de los ejes de rotación, hay rotaciones de una, dos, tres, cuatro y seis veces que se pueden combinar con la inversión y se conocen como operaciones de inversióninversión. (s ee Fig. 5.6d). Los ejes de rotación se han ilustrado con motivos que se encuentran en el mismo plano, como en la Fig. 5.10. Al combinar la rotación con la inversión, es mejor observar el orden de un patrón en tres dimensiones. La Figura 5.11 ilustra la combinación de operaciones de simetría en una única inversión en el funcionamiento. Esto es conocido como un eje de roturainversión único, y se simboliza como 1 (lea: barra uno). El motivo original está rotado 360, de modo que vuelve a su posición original y luego se invierte a través de un centro. Esta combinación de operaciones produce el mismo resultado que la presencia de un centro de simetría. Por lo tanto, la operación 1 también se conoce como centro de simetría, o i (para inversión). La parte derecha de la Fig. 5.11 ilustra cómo aparece el diseño tridimensional de las comas del motivo cuando se proyecta en el plano ecuatorial del globo en la Fig. 5.11a. Las operaciones de rotoinversión para 2, 3, 4 y 6 (lea: compás dos, compás tres, etc.) se muestran en la Fig. 5.12. La operación 2 es equivalente a la operación de un plano espejo que coincide con el plano ecuatorial del globo (Fig. 5.12a). La operación 3 es el equivalente a un eje de rotación e inversión (), que es lo mismo que una rotación triple y un centro de simetría. La operación 4 no se puede resolver en otras operaciones y, como tal, es única. La operación 6 es equivalente a un eje de rotación triple con un plano de espejo perpendicular al eje de rotación. Debe observarse que la unidad de motivo original (indicada como A en todas las ilustraciones de las figuras 5.11 y 5.12) tiene una relación enantiomórfica con el segundo motivo. unidad (denotada B), debido a la inversión. La tercera unidad de motivo (denotada como C, sin embargo, es congruente (similar) con la unidad de motivo original (A). Todas estas operaciones de simetría (rotación, reflexión y versión de roto) generan solo un número finito de motivos. Combinaciones de rotaciones Hasta ahora hemos considerado patrones generados por un solo eje de rotación o roturainversión. Sin embargo, podemos combinar varios ejes de rotación y generar patrones tridimensionales regulares. Los ejes de simetría solo se pueden unir de manera simétricamente consistente, de modo que no se genere un conjunto infinito de ejes. Por ejemplo, si un eje cuádruple, A, se coloca en un ángulo agudo con respecto a otro eje cuádruple, B, cada uno operará en el otro, generando un conjunto infinito de ejes. Para evitar esto, los ejes se deben juntar en 90 o en 54 44 ', como en el caso especial de simulación cúbica. Además, todos los operadores de simetría deben intersecar en un solo punto. Por ejemplo, podríamos combinar cuatro ejes de rotación (4) perpendiculares al plano de la página con un doble eje de rotación (2) en el plano de la página. Otro ejemplo sería una combinación de un eje de rotación de seis veces (6) perpendicular al plano de la página con un eje de doble (2) en el plano de la página. Ambos ejemplos se ilustran en la figura 5.13: los ejes de cuatro y seis veces en ambas combinaciones de simetría están en el punto A, el centro del círculo, perpendicular a la página. El doble eje está a la derecha de A, a lo largo de la dirección este-oeste. La presencia de los ejes de cuatro y seis veces generará tres y cinco ejes más dobles, respectivamente, que se muestran como líneas discontinuas (ignorar, por el momento, los ejes punteados). A pesar de que hemos generado tres y cinco extensiones de doble eje, constituyen solo dos direcciones de doble eje en 90 entre sí en la figura 5.13b y tres direcciones de doble eje en 120 entre sí en la figura, 5.13c. Ahora ingresemos una coma (marcada por B en los dibujos) sobre la página en una posición ligeramente al norte del doble eje original. Esta coma está marcada (+), lo que indica que se encuentra sobre la página, en la dirección positiva del eje z (consulte la Fig. 5.13a) El doble eje original (en la dirección este-oeste) generará otra coma desde la dada B, es decir, en el lado sur del doble eje, y debajo de la pagina Esta coma generada se acompaña de un signo menos (), que indica su posición debajo de la página. Los ejes de cuatro a seis erarán tres y cinco pares de motivos adicionales, respectivamente, como se muestra con comas discontinuas en las Figs. 5.13b y c. Si ahora observamos cuidadosamente la disposición de todas las comas, queda claro que hemos generado otro conjunto de ejes dobles. Estos ejes están punteados y en 45 a los ejes dobles originales en la Fig. 5.13b y en 30 a los ejes dobles originales en la Fig. 5.13c. La simetría total en las Figs. 5.13a yb, por lo tanto, consiste en un eje de rotación cuádruple a la página y dos conjuntos de ejes dobles, el original establecido en las direcciones E-W, N-S y el segundo a 45 °. La simetría total en la figura 5.13c consiste en un eje de rotación de seis veces perpendicular a la página y dos conjuntos de tres ejes dobles en el plano de la página. Los dos conjuntos de ejes dobles están en 30 entre sí.

En cada caso, cada conjunto de ejes dobles es simétricamente equivalente al otro conjunto. Es decir, si se da un doble eje, los otros elementos de simetría generan los otros dos; en el ejemplo dado, como dos conjuntos independientes de dos. Estos tipos de combinaciones de ejes se pueden representar mediante una secuencia de dígitos para los tipos de ejes de rotación involucrados. En tales símbolos, se enumera cada conjunto simétricamente equivalente de elementos de simetría. Para los ejemplos de la Fig. 5.13, esto daría como resultado 422 y 622, respectivamente, las representaciones tridimensionales de las ubicaciones de los ejes de rotación en las 422 y 622 se dan en las Figs. 5.13d y e Otras posibles combinaciones de elementos de simetría rotacional son 222, 32, 23 y 432. Tenga en cuenta que en 32 solo hay dos simetrías rotacionales indicadas en lugar de tres como en las otras combinaciones. La Figura 5.14 muestra que la combinación de un eje triple con un eje doble en un plano perpendicular a él no genera ejes de simetría además de tres dtwofolds. La combinación del eje de simetría 432 es una de alta simetría con las ubicaciones de los ejes en posiciones especializadas. La Figura 5.15 muestra la ubicación de dichos ejes con referencia a una línea de salida en forma de cubos. Los ejes cuádruples son perpendiculares a las caras del cubo, los ejes triples están en las esquinas del cubo y los ejes dobles están ubicados en los centros de los bordes del cubo. 23 también es simetría cúbica, pero ahora los dos pliegues son perpendiculares a las caras del cubo. Todas las combinaciones de simetría cúbica o isométrica tienen un conjunto de cuatro ejes triples (a lo largo de las diagonales del cuerpo del cubo). Estos tres pliegues cumplen con los ejes normales de la cara (4 o 2) en 54 44 '. (Para la rigurosa derivación de los límites de combinaciones de Combinaciones de ejes de rotación y espejos En la sección anterior, analizamos la posibilidad de combinar simetrías de rotación como en las secuencias 622, 422, 32, etc., etc. Consideremos ahora algunos ejemplos de combinaciones de ejes de rotación y planos de espejo. Como regla general, los planos de espejo dentro de los cristales son perpendiculares a paralelos a cualquier eje de rotación que esté presente. En la Fig. 5.16a, un eje de rotación cuádruple se combina con el plano del espejo perpendicular al eje y en la Fig. 8 5.16b un eje de seis pliegues se combina con un espejo perpendicular al mismo. En la figura 5.16a, la disposición del motivo es compatible con el cuatro ejes de rotación y se muestra con comas sobre el plano del espejo. Estos son reflejados por el plano del espejo dando lugar a otro conjunto de cuatro comas a continuación, como se muestra por las comas discontinuas. Normalmente, los elementos de simetría y las unidades de motivo se muestran en una proyección bidimensional como se muestra en el lado derecho de la figura 5.16a. Las unidades de motivos sobre el espejo, así como las que están debajo del espejo, se proyectan sobre el espejo mismo. Esto hace que las comas de arriba y abajo coincidan. Para distinguir las unidades de motivo que se encuentran sobre el plano de proyección (el plano del espejo, en este caso) de las que están debajo del plano, las unidades de motivo sobre el plano generalmente se muestran como puntos sólidos y las de debajo del plano como pequeños círculos abiertos. Cuando esta convención se utiliza en la proyección de Fig. 5.16a, da como resultado un eje de rotación cuádruple rodeado por cuatro unidades de motivo (puntos) arriba, y cuatro unidades de motivo idénticas (círculos) debajo del plano del espejo. Tenga en cuenta que el plano de espejo se muestra convencionalmente mediante un círculo sólido. Este tipo de combinación de elementos de simetría está representado por 4 / m (lectura: cuatro sobre m). La combinación de simetría en la figura 5.16b está representada por 6 / m. Otras combinaciones similares son 2 / my 3 / m. En una sección anterior derivamos varias combinaciones de ejes de rotación como 622, 422, 222 Si agregamos planos de espejo perpendiculares a cada uno de los ejes de rotación, se obtienen las siguientes combinaciones de simetría: 6 / m2 / m2 / m, 4 / m2 / m2 / m, y 2 / m2 / m2 / m. En las Figs. 5.17a, b, e ilustraciones se dan para las combinaciones 422, 4 / m2 / m2 / m, y 4 mm (compárese con la Fig. 5.13). Las unidades de motivo se muestran como puntos sólidos y círculos abiertos equivalentes que indican su posición por encima y por debajo del plano de proyección, respectivamente. En 422, tenemos cuatro unidades de motivo sobre el plano y cuatro debajo, haciendo un total de ocho motivos relacionados simétricamente. En 4 / m2 / m2 / m tenemos un plano de espejo perpendicular al eje cuádruple (mostrado en la Fig. 5.17b como un círculo sólido), y tenemos planos de espejo perpendiculares a cada uno de los cuatro ejes de rotación dobles que se encuentran en el ecuador avión. La traza del plano de espejo perpendicular al eje E-W coincide con el eje N-S, y así sucesivamente. La combinación de simetría 4 / m2 / m2 / m, por lo tanto, contiene cuatro planos verticales de espejo además de un espejo horizontal perpendicular al eje cuádruple. En las Figs. 5.17b yc las trazas de los espejos se muestran, por convención, como líneas continuas. Unidades por encima del espejo ecuatorial y ocho por debajo, lo que hace un total de 16 unidades relacionadas simétricamente. p Otra combinación posible de cuatro rota-5 y planos reflejados se expresa en 4 mm. Este simbolismo denota un eje de rotación cuádruple y cuatro planos de espejo que son paralelos a (y se intersecan con) el eje de cuatro pliegues y cuyas trazas en el plano ecuatorial se encuentran NS, EW y 45 ° a estas direcciones. Estos planos de espejo se

llaman verticales Los espejos son perpendiculares al plano ecuatorial. En 4 / m, por ejemplo, el espejo es un espejo horizontal en el plano ecuatorial y perpendicular al eje cuádruple. El número total de unidades de motivo relacionadas por los elementos de simetría combinados en: , 4 mm es ocho, todos los cuales se encuentran en un lado de la proyección (arriba de la página, como se muestra en la Fig. 5.17). Otras combinaciones similares son 6mm, 3m y 2mm. En esta etapa, es instructivo evaluar la interdependencia de los espejos que se intersecan entre sí y la simetría rotacional (a lo largo de la línea de intersección) que resulta de ello. Varios ejemplos de tales intersecciones se dan en la figura 5.18. Cuando dos espejos verticales se intersecan entre sí en 909, la línea vertical de intersección es equivalente a un doble eje de rotación (Fig. 5.18a). Cuando tres espejos verticales se intersecan entre sí en 60, la línea vertical de intersección es una de triple rotación. HIGO. 5.18. Ilustraciones de espejos que se cruzan y las líneas de intersección resultantes, equivalentes a los ejes de rotación. (a) y (b) Vistas en perspectiva y en planta de 2 mm y 4 mm. En (a) los espejos verticales están en 90 entre sí; en (b) los espejos verticales están en 45 entre sí. En (c) y (d) se agregan espejos horizontales a los dibujos en (a) y (b) respectivamente. Las líneas de intersección horizontal se convierten en rotaciones de 2 veces en ambas ilustraciones. Compare la Fig. 5.18d con la vista en planta de la Fig. 5.17b Resumen de operaciones de simetría sin traducción En la discusión anterior, presentamos varios elementos de simetría: ejes de rotación (1, 2, 3, 4 y 6), ejes de rotoinversión (1, 2, 3, 4 y 6), un centro de simetría (y planos de espejo (m). También hemos analizado algunas de las combinaciones de ejes de rotación como 622, 422, 222, y de ejes de rotación y planos de espejo tales como 6 / m2 / m2 / m, 4lm2 / m2 / m, y 4 mm. El número de posibles combinaciones de simetría no es ilimitado. De hecho, el número total de elementos de simetría no idénticos y las combinaciones de elementos de simetría es solo 32. En la Tabla 5.1 están ordenados en una secuencia desde la tasa más baja de Simetría cional (1) al simposio rotatorio más alto intente (6). En esta tabla, como en la discusión anterior, hemos utilizado símbolos para los elementos de simetría y las combinaciones de elementos de simetría que se describen como el Hermann- Notación de Mauguin después de sus inventores. Debido a su aceptación universal, también son llamados Ed los símbolos internacionales. ofa Los 32 elementos y combinaciones posibles de elementos son idénticos a las 32 clases de cristales posibles al que se pueden asignar los cristales en función de su morfología (consulte la Tabla 5.4) o su disposición atómica interna. Hemos ilustrado varias combinaciones de elementos de simetría, pero no hemos encontrado con rigor los 32 elementos de simetría no idénticos posibles o combinaciones de elementos de simetría, que también se conocen como los 32 grupos de puntos. La palabra punto indica que las operaciones de simetría dejan un punto particular, al menos, del patrón unTA movido. La palabra grupo se relaciona con la teoría matemática de los grupos que permite una derivación sistemática de todas las combinaciones de simetría posibles y no idénticas, por ejemplo, D. E. Sands 1975, o Boisen y Gibbs 1990; para referencias completas, vea el final de este capítulo) Un cristal, bajo circunstancias favorables de crecimiento, desarrollará planos suaves o "caras" que pueden asumir formas geométricas regulares que expresan su disposición interna, regular y atómica. En cristales con caras bien desarrolladas, se puede reconocer el elementos MORFOLOGÍA DEL CRISTAL Debido a que los cristales se forman por la repetición en tres dimensiones de una unidad de estructura, las superficies limitantes, que se conocen como las caras de un cristal, dependen en parte de la forma de la unidad. También dependen de las condiciones en las que crece el cristal. Estas condiciones incluyen todas las influencias externas, como la temperatura, la presión, la naturaleza de la solución, la dirección del flujo de la solución y la disponibilidad de espacio abierto para el crecimiento libre. Las relaciones angulares, el tamaño y la forma de las caras en un cristal son aspectos de la morfología de los cristales. Si una celda de unidad cúbica se repite en tres dimensiones para formar un cristal con n unidades a lo largo de cada borde, se obtendrá un cubo más grande que contiene n unidades. Con un mecanismo de repetición ordenado similar, pueden aparecer diferentes formas, como se muestra en la Fig. 5.1 para cubos distorsionados, octaedro y dodecaedro. Las formas de octaedro y dodecaédrica son comunes en muchos cristales, pero como las dimensiones de las celdas unitarias están en el nivel de angstrom, los pasos son invisibles para el ojo y las caras resultantes aparecen como variedades de planos suaves Con una estructura interna dada, un número limitado - Una serie de planos se unen a un cristal, y solo unos pocos son comunes. Al determinar los tipos de caras de cristal que pueden desarrollarse en un cristal, también debemos considerar la red interna. Es más probable que las caras se formen en cristales paralelos a los planos de celosía que tienen una alta densidad de puntos de celosía (o nodos). La frecuencia con la que se observa una cara dada es aproximadamente

proporcional al número de nodos que intersecta en la red: cuanto mayor sea el número de nodos, más común será la cara, como se ilustra en la Fig. 5.21. Esta regla, conocida como la ley de Bravais, generalmente es confirmada por observaciones. Aunque hay excepciones a la ley, como lo señalaron Donnay y Harker en 1937, generalmente es posible elegir la celosía de tal manera que la regla sea cierta. Como las caras de cristal tienen una relación directa con la estructura interna, se deduce que las caras tienen una relación definida entre sí. Este hecho fue observado en 1669 por Nicolaus Steno, quien señaló que los ángulos entre las caras correspondientes en los cristales de cuarzo son siempre los mismos. Esta observación se generaliza hoy como la ley de Steno de la constancia de los ángulos interfaciales, que establece: Los ángulos entre caras equivalentes de cristales de la misma sustancia, medidas a la misma temperatura, son constantes (ver Fig. 1.5). Por esta razón, la morfología del cristal es con frecuencia una herramienta valiosa en la identificación de minerales. Un mineral se puede encontrar en cristales de formas y tamaños muy variables, pero los ángulos entre pares de caras correspondientes son siempre los mismos. En la Fig. 52: 2 se da una ilustración de tal constancia de los ángulos interfaciales, en secciones horizontales de dos cristales de cuarzo de aspecto muy diferente, aunque los cristales poseen una estructura interna regular y ordenada, diferentes planos y direcciones dentro de ellos. Tienen diferencias en los ambientes atómicos. Considere la Fig. 5.23, que ilustra el empaque de iones en cloruro de sodio (NaCl), el mineral halita. Cualquier plano paralelo a la cara frontal del cubo está compuesto por la mitad de los iones Nat y la mitad de los iones. Por otro lado, cortar la esquina del cubo muestra planos que contienen solo iones Na alternando con planos que contienen solo iones Cl. Estas diferentes disposiciones atómicas a lo largo de diferentes planos o direcciones de cristal dan lugar a propiedades vecinales. Debido a la magnitud de la propiedad depende de la dirección, difiere según las diferentes direcciones cristalográficas. Algunas de las propiedades vectoriales de los cristales son la dureza, la conductividad del calor y la electricidad, la expansión térmica, la velocidad de la luz, la velocidad de crecimiento, la velocidad de solución y la difracción de Rayos X De estas propiedades, algunas varían continuamente con la dirección dentro del cristal. Dureza, electricidad y la conductividad del calor, la expansión térmica y la velocidad de la luz en los cristales son ejemplos de tales propiedades vectoriales continuas. La dureza de algunos cristales varía tanto con la dirección cristalográfica que la diferencia puede detectarse mediante simples pruebas de rayado. Por lo tanto, kyanite, un mineral que forma característicamente ctystals de hoja alargada, puede rascarse con un cuchillo de bolsillo ordinario en una dirección paralela al alargamiento, pero no puede rascarse con el cuchillo perpendicular al alargamiento: Algunas direcciones en un diamante Los cristales son mucho más duros que los demás. Cuando se utiliza polvo de diamante para cortar o moler, un cierto porcentaje de los granos siempre presenta la superficie más dura y, por lo tanto, el polvo es capaz de cortar a lo largo de los planos en el cristal de menor dureza. Si se coloca una esfera perfecta cortada de un cristal en un cilindro con abrasivo y se gira durante un largo tiempo, las partes más suaves del cristal se desgastan más rápidamente. El sólido resultante no esférico sirve como modelo de dureza para la sustancia que se está probando. El carácter direccional de la conductividad eléctrica es de gran importancia en la fabricación de diodos de silicio y germanio, pequeños pedacitos de silicio y cristales de germanio utilizados para rectificar la corriente alterna. Para obtener el efecto de rectificación óptimo, la pequeña porción de semimetal debe orientarse cristalográficamente, como la conducción de la electricidad a través de dichos cristales varía mucho con la orientación, los rodamientos de bolas de rubí sintético suenan muy atractivos, ya que la gran dureza del rubí reduciría el desgaste y daría una larga vida al rodamiento. Sin embargo, cuando se calienta, el rubí se expande de manera diferente a lo largo de diferentes direcciones cristalográficas, y los rodamientos de bolas de rubí se volverían rápidamente no esféricos con el aumento de la temperatura debido a la fricción durante la operación. Sin embargo, debido a que la figura de expansión térmica del rubí es un elipsoide de revolución con una sección transversal circular, los rodamientos de rodillos cilíndricos (paralelos cortados al triple eje del cristal) son prácticos. La mayoría de los minerales tienen coeficientes de expansión térmica desiguales en diferentes direcciones, lo que lleva a una resistencia pobre al choque térmico y al agrietamiento fácil con calentamiento o enfriamiento. El vidrio de SiO2, que tiene una estructura interna irregular en comparación con el cristal de cuarzo, es más resistente al choque térmico que el mineral. La velocidad de la luz en todos los cristales transparentes, excepto aquellos que son isotrópicos (ver Capítulo 7), varía continuamente con la dirección cristalográfica. De todas las propiedades vectoriales de los cristales, los parámetros ópticos se determinan cuantitativamente más fácilmente y se expresan como el índice de refracción, el recíproco de la velocidad de la luz en el cristal en relación con la velocidad de la luz en el aire o el vacío. SIMETRÍA DE CRISTAL En nuestra discusión anterior sobre los elementos de simetría (y sus combinaciones), observamos la existencia de 32 grupos de puntos (o clases de cristal; consulte las Tablas 5.1 y 5.2). Estos grupos de puntos, definidos de manera única por su contenido de simetría, se ilustran gráficamente en la Fig. 5.25 y se enumeran en la Tabla 5.4. A cada uno de estos grupos de puntos se les ha dado un nombre, de acuerdo con el nombre de la forma general en cada clase.

Estos nombres no se dan en la Tabla 5.4, pero se dan en la discusión posterior de los grupos de puntos en el Capítulo 6. La razón para omitir los nombres generalmente aceptados de los grupos de puntos en la Tabla 5.4 es que cada grupo de puntos está definido de manera única por su notación de Herman-Mauguin , pero no por su nombre. Como puede verse en las Tablas 5.2 y 5.4, ciertos grupos de clases de cristal tienen características de simetría comunes. Estos grupos de clases de cristal son conocidos como sistemas de cristal. Hay seis sistemas de este tipo con el sistema hexagonal que tiene dos subdivisiones (hexagonal y romboédrica) sobre la base de que la simetría de la red es hexagonal o romboédrica (consulte la nota al pie de la tabla 5.4). Ejes cristalográficos En la descripción de los cristales es conveniente referir las formas externas o la simetría interna a un conjunto de tres (o cuatro) ejes de referencia. Estas líneas de referencia imaginarias se conocen como los ejes cristalográficos y generalmente se toman paralelas a los bordes de intersección de las caras de los cristales principales. Tales ejes están en la mayoría de los casos fijados por la simetría y coinciden con los ejes de simetría o con los normales a los planos de simetría. Para algunos cristales puede haber más de una elección de ejes cristalográficos cuando la selección se realiza solo por morfología. Idealmente, los ejes deberían ser paralelos y sus longitudes proporcionales a los bordes de la celda unitaria. En la Fig. 5.26 se muestra una ilustración gráfica de la relación entre la elección de los ejes cristalográficos y la morfología. Todos los cristales, con excepción de los que pertenecen al sistema hexagonal, se refieren a tres ejes cristalográficos designados como a, b y c : ver fig. 5.27. En el caso general (sistema triclínico) todos los ejes son de diferentes longitudes y en ángulos oblicuos entre sí. Los extremos de cada eje se designan más o menos; el extremo delantero de a, el extremo derecho de b y el extremo superior de c son positivos; Los extremos opuestos son negativos. Los ángulos entre la posición Triclínico. Tres ejes desiguales todos se intersecan en ángulos oblicuos. Monoclínico. Tres ejes desiguales, dos de los cuales están inclinados entre sí en un ángulo oblicuo y la tercera perpendicular al plano de los otros dos. Ortorrombica. Tres ejes mutuamente perpendiculares de diferentes longitudes tetragonales. Tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de los cuales (los ejes horizontales) son de igual longitud (a, y a2), pero el eje vertical es más corto o más largo que los otros dos. Hexagonal. Con referencia a cuatro ejes cristalográficos, tres ejes horizontales iguales (aa y a) se intersecan en ángulos de 120, el cuarto (vertical) es De diferente longitud y perpendicular al plano de los otros tres. Isometrico Tres ejes mutuamente perpendiculares de longitudes iguales (a, a, y a,). La Tabla 5.5 proporciona una sinopsis de las interrelaciones del contenido de simetría, la elección de ejes cristalográficos y la notación de Hermann-Mauguin. Notación Cristalográfica para Planos En esta sección explicamos el sistema de notación que se utiliza en la cristalografía para referirse a los planos y ejes (o zonas) como se observa en las formas externas de los cristales Cara Intercepta cepts en los ejes cristalográficos. Por lo tanto, al describir: las caras de cristal se pueden definir al indicar que forman una cara de cristal, es necesario determinar si es paralela a dos ejes e intersecta con el tercero, es paralela a un eje e intersecta con los otros dos o intersecta los tres. Además, se debe determinar a qué distancia relativa la cara se interseca con los diferentes ejes. A una familia de posibles planos de celosía. En la Fig. 5.28a tenemos un plano a-b en una red ortorrómbica basada en las dimensiones de las celdas unitarias del azufre mineral. El plano de celosía AA es paralelo a los ejes b y c e intersecta el eje a en una longitud (tomada como unidad de longitud) a lo largo del eje a. Las interceptaciones por plano serían: 1a, mazorca, De manera similar, el plano A'A ', que es paralelo a AA pero intersecta el eje a en longitudes de dos unidades, tendría interceptos: 2a, mazorca, cc. El plano BB, que es paralelo a los ejes a y c e intersecta el eje b a una distancia unitaria, tiene intersecciones: coa, 1b, cc. El plano AB intersecta ambos ejes horizontales (ayb) a una distancia unitaria pero es paralelo a c, lo que conduce a los interceptos: 1a, 1b, oc. Un plano que intersecte los tres ejes en distancias unitarias tendría intercepciones 1a, 1b y 1c. La Figura 5.28b muestra el desarrollo de caras de cristal, algunas de las cuales son paralelas a los planos de latencia que se muestran en la Figura 5.28a. Debe recordarse que las intercepciones de caras mostradas en las caras son valores estrictamente relativos y no indican ninguna de estas longitudes de corte reales. Cuando las intercepciones se asignan a las caras de un cristal, sin ningún conocimiento de las dimensiones de sus celdas unitarias, una A la cara que corta los tres ejes se le asignan arbitrariamente las unidades 1a, 1b y 1c. Esta cara, que es conocida como la cara de la unidad, generalmente es la más grande en caso de que haya varias caras que recorten los tres ejes. La figura 5.29 muestra un cristal ortorrómbico que consta de caras, todas las cuales cortan los tres ejes cristalográficos. La cara más grande (sombreada) que intersecta los tres ejes cristalográficos en sus extremos positivos se toma como la cara de la unidad. Sus interceptaciones son 1a, 1b y 1c como se muestra. Las intercepciones de la cara más pequeña sobre ella ahora se pueden estimar extendiendo los bordes de esta cara en las direcciones de los ejes y b. Las intersecciones para la cara

superior se convierten en 2a, 2b, 3c, con respecto a la cara de la unidad. Estas intercepciones se puede dividir por el factor común 2, resultando en 1a, 1b jc. Este ejemplo ilustra que las unidades 1a y 1b no representan distancias de corte reales, sino que expresan solo valores relativos. Las intercepciones de una cara no tienen relación con su tamaño, ya que una cara puede moverse paralelamente a sí misma a cualquier distancia sin cambiar los valores relativos de sus intersecciones con los ejes crónicos tallográficos Índices de Miller Se han ideado varios métodos de notación para expresar las intersecciones De caras de cristal sobre los ejes crisales. El más empleado universalmente es el sistema de índices propuesto por W. H. Miller, que tiene muchas ventajas sobre el sistema de intercepciones discutido anteriormente. Los índices de Miller de una cara consisten en una serie de números enteros que se han derivado de los interceptos por sus inversiones necesarias, la posterior eliminación de fracciones. Los índices de una cara siempre se dan de modo que los tres números (cuatro en el sistema hexagonal) se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente, y por lo tanto, se omiten las letras que indican los diferentes ejes. Al igual que las interceptaciones, los índices de Miller expresan una proporción, pero por razones de brevedad, el signo de la proporción también se omite. Para las dos caras superiores en la Fig. 5.29, que cortan los segmentos positivos de los ejes cristalográficos, las intersecciones son 1a, 1h 1c y 2a, 2b, jc, respectivamente. Invertir estas intercepciones lleva a 1 1 y 1, respectivamente. Para la unidad de cara, esto da un índice de Miller de 1) y al borrar las fracciones multiplicando todas por 2, se obtiene un índice de Miller de (113) para la otra cara. El índice de Miller (111) se lee como "one-one-one". Más ejemplos de conversiones de intercepciones. Zonas Una de las características notables de muchos cristales es la disposición de un grupo de caras con bordes de intersección paralelos. Consideradas colectivamente, estas caras forman una zona. Una línea a través del centro del cristal que es paralela a las líneas de las intersecciones de la cara se denomina eje de zona. En la figura 5.33, las caras m, a, m y b están en una zona y b, r, c y r están en otra. Las líneas, designadas [001] y [100], son los ejes de zona. Una zona se indica con un símbolo similar al de los índices de caras de Miller, cuya expresión generalizada es [uvw). Cualquiera de las dos caras no paralelas determinan una zona. Supongamos que uno desea determinar el eje de la zona de dos de esas caras, (hkl) y (pqr). Hábito de los cristales El término hábito se utiliza para denotar las formas generales de los cristales como cúbico, octaédrico, prismático. Debido a que el hábito está controlado por el ambiente en el que crecen los crí talos, puede variar según la localidad. En un lugar puede ser equitativo y en otros tabular o fibroso. Sólo raramente los cristales presentan una forma geométrica ideal. Pero incluso en cristales asimétricos, la evidencia de la simetría está presente en la apariencia física de las caras y en la constancia de los ángulos interfaciales. En la figura 5.35 se presentan varias formas de cristales, primero desarrolladas idealmente y luego distorsionadas. Formulario Como se mencionó anteriormente en el texto, el término formulario se usa a menudo para indicar una apariencia general hacia afuera. En cristalografía, la forma externa se denota con la palabra hábito, mientras que la forma se usa en un sentido especial y restringido. Por lo tanto, una forma consiste en un grupo de caras de cristal, todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y muestran las mismas propiedades físicas y químicas porque todos están unidos por átomos similares en la misma disposición geométrica. La relación entre la forma y los elementos de simetría de un cristal es importante para comprender. Por ejemplo, como en la figura 5.36, donde tenemos elementos de simetría que pertenecen a dos clases de cristal, 1 (en el sistema triclínico) y A / m 3 2 / m (en el sistema isométrico) podemos desear desarrollar la forma completa para la cara de la unidad (111). En el caso de la simetría 1 (que es equivalente a un centro de simetría) desarrollamos una cara adicional invirtiendo a través del origen de los tres ejes gráficos de cristallo-t. Esta cara adicional tendrá índices (111. La forma en el caso de 1 consiste, por lo tanto, en dos caras paralelas solamente, y se conoce como pines coid. En el caso de 4 / m 3 2 / m, la simetría de los elementos generarán siete caras adicionales para (111) con los índices (T11), (111), (111), (111), (111), (1 T y (111). Esta forma se conoce como un octaedro. sea claro, por lo tanto, que el número de caras que pertenece a una forma está determinado por la simetría de la clase de cristal (o grupo de puntos). Nombres de las formas En esto, como en las ediciones anteriores de este libro de texto, seguiremos un esquema de nomenclatura de formas originalmente propuesto por Groth en 1895 y modificado por A. F Rogers en 1935. Este esquema reconoce 48 tipos de formas de cristal que se distinguen por Relaciones angulares de las caras de cristal. De estas 48 formas, 32 son las formas generales que se encuentran en las 32 clases de cristal (o grupos de puntos); 10 son formas especiales y cerradas del sistema isométrico; y 6 son formas abiertas especiales (prismas) de los sistemas hexagonal y tetragonal. En este esquema de nomenclatura, el nombre de cada una de las 32 formas generales, Ihkl1 (o hkil en el sistema hexagonal), se convierte en el nombre descriptivo de cada una de las 32 clases de cristales. Por ejemplo, en 1 la forma general hkl es una forma de dos caras conocida como pinacoide, y el nombre descriptivo para 1 es clase pinacoidal. De

manera similar, el nombre de la forma general (hkl) en 4 / m2 / m2 / m (del sistema tetragonal) es ditetrago nal-dipyramid; en consecuencia, la clase 4 / m2 / m2 / m se conoce comúnmente como la clase ditetragonal-dipyrami dal. Esta nomenclatura para las formas generales y las clases de cristal ha sido ampliamente utilizada en el mundo de habla inglesa. Otro sistema similar de nomenclatura de formas ha sido desarrollado por los cristalógrafos del Instituto Fe Dorov en Moscú, Rusia. Este sistema ha sido recomendado para su uso internacional. Sin embargo, por razones de simplicidad solo adoptaremos el esquema de Groth-Rogers. Cabe señalar que, aunque los nombres de los formularios a menudo son útiles, tales nombres no son absolutamente necesarios porque una forma se define únicamente por una combinación de sus índices de Miller y la notación de Hermann-Mauguin de la simetría de su grupo de puntos. Ilustración y descripción de los formularios Los formularios enumerados en las Tablas 5.6 y 5.7 se ilustran en la Fig. 5.38. En el caso de prismas, pirámides y dipirámides (n. 5 a 25 en la figura 5.38), las representaciones tridimensionales no pueden transmitir correctamente las formas de las secciones transversales. Por esta razón, los diversos prismas numerados del 5 al 11 están acompañados por una sección transversal perpendicular al eje largo del prisma; las formas de estas secciones transversales representan secciones perpendiculares a los ejes largos de las pirámides (núms. 12 a 18) y también a las dipirámides (núms. 19 a 25). El contenido de simetría total de cada una de estas formas se describe en detalle en el Capítulo 6 bajo el encabezado "Diecinueve de los Treinta y Dos Grupos de Puntos". Pedion Una sola cara que comprende una forma (1). Pinacoide. Una forma abierta formada por dos caras paralelas (2). Hazme. Una forma abierta que consiste en dos caras no paralelas simétricas con respecto a un plano de espejo (m) (3). Esfenoides Dos caras no paralelas simétricas con respecto a un doble eje de rotación (4) Prisma. Una forma abierta compuesta de 3, 4, 6, 8 o 12 caras, todas ellas paralelas al mismo eje. Excepto por ciertos prismas en el sistema monoclínico, el eje es uno de los principales ejes cristalográficos (5-11) Pirámide. Una forma abierta compuesta por 3, 4, 6, 8 o 12 caras no paralelas que se encuentran en un punto (12-18) Dipyramid. Una forma cerrada que tiene 6, 8, 12, 16 o 24 caras (19-25). Una bipirámide se puede considerar como formada a partir de dos pirámides mediante el reflejo de una de ellas en la otra a través de un plano de espejo horizontal. Trapecio Una forma cerrada que tiene 6, 8 o 12 caras en total, con 3, 4 o 6 caras superiores desplazadas de 3, 4 o 6 caras inferiores (26-28). Estas formas son el resultado de un eje de tres, cuatro o seis veces combinado con dos ejes perpendiculares. Además, hay un trapezoedro isométrico (n. 38) en forma de 24 caras. En un trapezoedro individual bien desarrollado, cada cara es un trapecio Scalenohedron. Una forma cerrada con 8 o 12 ases (29 y 30), agrupados en pares simétricos. En el escalenoedro tetragonal, los pares de caras superiores se relacionan mediante un eje de cuatroificación rotatoria con los pares de caras inferiores. Las 12 caras del escalenoedro hexagonal muestran tres pares de caras superiores y tres pares de caras inferiores en posiciones alternas. Los pares están relacionados por el centro de simetría, que coexiste con un eje triple en el eje de rotacióninversión 3. En un escalenoedro desarrollado idealmente, cada cara es un triángulo escaleno. Romboedro Una forma cerrada compuesta por seis caras, de las cuales tres caras en la parte superior se alternan con tres caras en la parte inferior, los dos conjuntos de caras se desplazan en 60 (no. 31). Los remanentes se encuentran solo en los grupos de puntos 32 / m, 32 y 3. Disfenoides. Una forma cerrada que consiste en dos caras superiores que se alternan con dos caras inferiores, desplazadas en 90 (32 y 33). Las formas especializadas en el sistema isométrico numeradas del 34 al 48. ALGUNOS GEMELOS COMUNES El concepto de hermanamiento se introdujo brevemente en el Capítulo 2 y el origen del hermanamiento se discutió en el Capítulo 4. A continuación se presenta una breve descripción de la expresión morfológica del hermanamiento y de algunos de los tipos más comunes de gemelos. Un gemelo es un crecimiento simétrico de dos (o más) cristales de la misma sustancia. Dichos crecimientos controlados cristalográficamente se denominan cristales hermanados. Los dos o más individuos del agregado unido están relacionados por un elemento de simetría que está ausente en un solo cristal (no ganado). El nuevo elemento de simetría (elemento gemelo) trae a un individuo (cristal) en coincidencia con otro individuo (cristal) en una posición hermanada. En general, es necesario realizar mediciones morfológicas cuidadosas (reflejando el goniómetro), así como estudios de difracción de rayos X (principalmente mediante métodos de precesión de rayos X) para distinguir un gemelo de un crecimiento simultáneo de cristales Las operaciones (elementos gemelos) que pueden relacionar un cristal con su contraparte gemela (1) la reflexión por un plano espejo (plano doble); (2) la rotación en torno a una dirección transversal común a ambos (eje doble) con la rotación angular normalmente 180; y (3) inversión sobre un punto (centro gemelo). El hermanamiento se define por una ley de gemelos, que establece si existe un centro, un eje o un plano de hermanamiento y da la orientación cristalográfica para el eje o plano. Un plano

gemelo se identifica por su índice de Miller (por ejemplo, (010) y la dirección de un eje gemelo se identifica por un símbolo de zona (por ejemplo, 1001]). Tipos de macla Los cristales gemelos se designan generalmente como gemelos de contacto o gemelos de penetración. Los gemelos de contacto tienen una superficie de composición definida que separa a los dos individuos, y el gemelo se define por un plano gemelo como (111) en la Fig. 5.39a. Este plano (111) es uno de los recorridos posibles y cristalográficamente equivalentes en el octaedro (111) del sistema isométrico. Por lo tanto, si uno desea describir todos los planos gemelos octaédricos posibles, se usa el símbolo de forma (111) Sistema monoclínico En el sistema monoclínico, el hermanamiento en 1100) y (001) es el más común. La figura 5.42 ilustra el gypmum con (100) el plano gemelo (gemelo de cola de golondrina). Esta misma figura también muestra tres leyes gemelas que ocurren en la ortoclasa mineral. Dos de estos son gemelos de contacto: un gemelo Manebach con (001) como plano gemelo, y un gemelo Baveno con (0211 como plano gemelo. El gemelo más común en ortoclasa es el gemelo Carlsbad, un gemelo interpenetrado en el que el eje, 10011, es el elemento gemelo. En este caso, los dos individuos se unen en una superficie irregular aproximadamente paralela al sistema ortorrómbico (010). En el sistema ortorrómbico, el plano gemelo es más comúnmente paralelo a la cara de un prisma. El gemelo de contacto de aragonita y los gemelos cíclicos de aragonita y cerussita están hermanados (110 l (ver Fig. 5.43a yb). La apariencia pseudohexagonal de la aragonita cíclicamente gemela se debe al hecho de que (110) A (110) es casi 60 ° La estaurolita mineral, que es monoclínico con un ángulo B de 90, es pseudoortorhombic y morfológicamente aparece orborhombic. Se encuentra comúnmente en dos tipos de gemelos de penetración. En uno, con Sistema isométrico En la clase holoédrica del sistema isométrico (4 / m32 / m) el eje gemelo, con algunas raras excepciones, es un eje de simetría de 3 veces, y el plano gemelo es, por lo tanto, paralelo a una cara del octaedro. Las figuras 5.39a y b muestran un octaedro con un plano bb un posible plano gemelo, así como un octaedro hermanado según esta ley, formando un gemelo de contacto. Este tipo de gemelo es especialmente común en la espinela gema y por lo tanto se llama gemelo de espinela. La Figura 5.39d muestra dos cubos que forman una doble penetración con el eje de rotoinversión 3 veces [111] el eje doble. En la clase 2 / m3, dos piritoedros pueden formar un gemelo de penetración (Fig. 5.39e) con una rotación de 90 alrededor del eje gemelo [001]. Esta gemela es conocida como la cruz de hierro. EL ORDEN INTERNO Y LA SIMETRÍA DE LOS MINERALES En la parte anterior de este capítulo, analizamos la forma externa y las simetrías inherentes de los minerales. Esto nos llevó a la formulación de las 32 clases de cn de cristal, o grupos de puntos. Antes del descubrimiento en la p. 1912 de la difracción de rayos X por los minerales, durante mucho tiempo se había sospechado que la forma externa regular (y simétrica) de cristales euhédricos era un reflejo de algún tipo de orden interno, de hecho, René J. Hauy había sugerido como A principios de 1784, los cristales se construyeron apilando pequeños bloques de construcción idénticos, a los que se refirió como "moléculas integrales (ver Fig. 1.6). El concepto de moléculas integrales es esencialmente el de células unitarias en la moderna cristalografía de rayos X. Ahora que están a punto de abordar la periodicidad tridimensional de las estructuras minerales (atómicas), debemos observar una vez más la afirmación de que la estructura interna de los minerales se basa en una disposición atómica ordenada. Esta afirmación implica que un cierto átomo (o ión) está presente exactamente en el mismo sitio estructural (atómico) a lo largo de una matriz atómica esencialmente infinita. Un átomo en el mismo sitio atómico significa que está rodeado por una disposición idéntica de vecinos. g átomos, en toda la estructura que consta de millones de células celulares con dimensiones del orden de 5 a 20 angstroms A, equivalentes a 0,5 a 2 nanómetros, nm). Direcciones y distancias de traducción Como se indicó anteriormente, un cristal es un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional de largo alcance. Dicho orden es el resultado de la repetición de unidades de motivo (estas son unidades químicas, por ejemplo, átomos de cobre) mediante traducciones regulares en tres dimensiones. Se dice que el patrón tridimensional es homogéneo si los ángulos y las distancias de un motivo a los motivos circundantes en una ubicación del patrón son iguales en todas las partes del patrón (consulte la Fig. 5.47. La Figura 5.47a ilustra una figura bidimensional matriz de motivos (comas). El orden en dicha matriz se puede expresar en términos de dos traducciones, de 90 entre sí. En la Fig. 5.47b se muestra un patrón de motivos algo menos simétrico, donde La corrección es la misma que en la figura 5.47a, pero la traducción t está en un ángulo <90 a la traducción t. Estas dos ilustraciones se pueden considerar como cadenas infinitas de unidades a lo largo de la dirección ti que se han repetido en paralelo e idéntico cadenas infinitas a lo largo de una dirección de traducción (2. Las traducciones, tal como están marcadas por ti y t2, son vectores) Se puede

obtener un patrón ordenado tridimensional agregando otra componente de traducción (t) que no se encuentra en el plano de ti y t, (ver Fig. 5.47c. Esto da como resultado un patrón Eso es infinito en tres dimensiones. En los cristales, tal patrón no es exactamente infinito, aunque generalmente se considera así. los Orden de una dimensión (Filas) Una secuencia de puntos equivalentes (o motivos) equidistantes a lo largo de una línea representa el orden en una dimensión o una fila (ver Fig. 5.48). En tal fila, la magnitud de la unidad de traducción (en este caso b) determina el espaciado. El motivo, la unidad de patrón o el átomo impreso en cada punto de la red, determina el patrón final. La figura 5.48 ilustra varias filas de objetos con diferentes espaciamientos, b, a lo largo de una dirección definida como y, y con diferentes motivos. Dichas filas se pueden encontrar como bordes a lo largo de ilustraciones en papel tapiz, a lo largo de frisos y en las estructuras de materiales cristalinos. Las animaciones interactivas de orden unidimensional se dan en el módulo Ill del CD-ROM. Orden de dos dimensiones (enrejados planos) El orden de dos dimensiones es el resultado de traducciones regulares en dos direcciones diferentes, designadas x e y. La Figura 5.49a muestra un conjunto ordenado de motivos bidimensionales (comas, en este caso) en el que varias opciones de los ejes de coordenadas x e y Restricciones de ángulo de rotación Ahora que hemos introducido los conceptos de matrices bidimensionales ordenadas y celosías planas, podemos evaluar geométricamente por qué ciertos ejes de rotación son posibles y otros (por ejemplo, la rotación de cinco veces) no lo son. La figura 5.54 ilustra las restricciones geométricas en los ejes de rotación en arreglos ordenados que también contienen traslación. Si las unidades de motivo, representadas por nodos grandes en la figura 5.54, son parte de una disposición ordenada, entonces las distancias AB y BC deben ser iguales. Si el motivo en B contiene un eje de rotación con el eje 1 al plano de la figura, entonces las traslaciones requieren ejes similares en A y C. Además, si los puntos D, E, F y G están relacionados con B por rotación , entonces BC BD BEBF BG t. Esto también significa que la distancia ED, que se encuentra en una línea paralela a AC, debe ser igual a AB o un múltiplo de la misma. En otras palabras, ED umt where min- teger. Si la rotación por la cual A, F, G, C, D y E Contenido de simetría de los motivos planares Los motivos bidimensionales, como se ven a menudo en los diseños de papel de Wall-Mile, en telas impresas, en baldosas de cerámica y en otros lugares, pueden mostrar contenidos de simetría variables. Sin embargo, debido a que dichos motivos se imprimen en un lado de un papel (con el otro lado generalmente en blanco), no hay elementos de simetría que se encuentren en el plano del papel. Es decir, no hay un plano espejofo paralelo al papel, ni hay ejes de simetría de rotación paralelos al papel. Sin embargo, puede haber varios elementos de simetría perpendiculares al plano del dibujo. Estas son líneas de espejo (m) (en patrones tridimensionales, los m se denominan planos de espejo; en patrones bidimensionales, los Bey se conocen como líneas de espejo; sus operaciones de reflexión son equivalentes) Contenido de simetría de celosías planas Contenido de simetría de carriles Latices Los arreglos de nodos (o puntos de celosía) en las cinco celosías planas reflejan varios elementos de simetría inherentes como se muestra en la Fig. 5.50. En la figura 5.56 se muestran ilustraciones de la simetría completa de algunos de los tipos de celosía. Esta ilustración muestra las distribuciones de motivos y elementos de simetría compatibles. Grupos de planos bidimensionales Los grupos de planos bidimensionales representan la repetición infinita de motivos en un plano. En la evaluación de dichos grupos bidimensionales debemos ocuparnos de las formas (oblicua, rectangular, hexagonal o cuadrada) y la posible multiplicidad (p para primitiva y c para centrada) de los tipos de celosía plana. También debemos tener en cuenta los grupos de puntos libres de traducción (1, 2, 3, 4, 6, m, 2mm, 3m 4mm y 6mm) y su compatibilidad con la latencia.