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MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTO DE SILLA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES APLICANDO EL PROGRAMA MATLAB 1.-FUNDAMENTACIÓN: Con el paso del tiempo la tecnología ha ido evolucionando y como consecuencia la vida también, los universitarios ya no usan libros, cuadernos, como se solía ver antes, ahora los universitarios y todas las personas deben adaptarse a los cambios continuos de la tecnología, actualizarse e ir a la par con todas las nuevas novedades que esta nos ofrece, para nuestro beneficio y el de los demás. Existen programas que hacen la vida del universitario más fácil, el universitario de hoy tiene la posibilidad de ampliar sus conocimientos y reforzarlos, de una manera más dinámica y sencilla como el de aprender programas que le serán útiles durante el paso por la universidad y también durante su vida profesional. Uno de estos programas es el Matlab. Se utiliza el programa de Matlab para poder graficar funciones, de dos o más variables ya que resulta tedioso y complicado hacerlo a mano alzada, como en las funciones de tres variables (x, y, z) el cual graficarlo, e intentar identificar la ubicación en el gráfico de los puntos críticos, genera confusión visual y da paso a malas interpretaciones del ejercicio propuesto, como también hallar los puntos críticos, suele convertirse en un problema si la función es compleja, y la cantidad de variables que esta posea sobre pasen dos variables, el programa Matlab determina los puntos críticos, máximos, mínimos o punto de silla y lo realiza en un tiempo record, además de su exactitud y su fácil manejo, lo cual lo convierte en un programa muy útil en cualquier ámbito en el que sea requerido. 2.-OBJETIVOS: 2.1. OBJETIVO GENERAL: Determinar y estudiar los máximos, mínimos y punto de silla de funciones, empleando el programa Matlab.

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2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Instalar el programa Matlab en la computadora, para su posterior uso.  Aprender el lenguaje de programación que usa este programa, para poder aplicarlo en determinación de máximos, mínimos o punto de silla de funciones de dos o más variables.  Determinar los puntos críticos de la función y evaluar su naturaleza.  Establecer si los puntos críticos son un mínimo, un máximo o punto de silla  Graficar la función con Matlab para comprobar los máximos, mínimos o punto de silla de esta. 3.-MARCO TEÓRICO: Es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos gráficos y de visualización grafica de los mismos. Matlab integra análisis numérico, calculo matricial, proceso de señal, visualización grafica en un entorno completo donde los programas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente sin hacer uso de programación adicional. MATLAB (abreviatura de MATRIX LABORATORY, "laboratorio de matrices") es una herramienta

de

software

matemático

que

ofrece

un entorno

de

desarrollo

integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux . Fue creado por The MathWorks en 1984, surgiendo la primera versión con la idea de emplear paquetes de subrutinas escritas en Fortran en los cursos de álgebra lineal y análisis numérico, sin necesidad de escribir programas en dicho lenguaje. El lenguaje de programación M fue creado en 1970 para proporcionar un sencillo acceso al software de matrices LINPACK y EISPACK sin tener que usar Fortran. En 2004, se estimaba que MATLAB era empleado por más de un millón de personas en ámbitos académicos y empresariales. Matlab ha evolucionado y crecido con las aportaciones de muchos usuarios. En entornos universitarios así también como departamentos de investigación y desarrollo de muchas compañías en el ámbito nacional e internacional. En entornos universitarios este programa se ha convertido junto con matemática y maple, en una herramienta instructora básica para cursos de matemática aplicada, así como para cursos avanzados en otras áreas. 2

Matlab dispone en la actualidad un amplio de un abanico de programas especializados denominados toolboxes, que extienden significativamente el número de funciones incorporadas en el programa principal, estos toolboxes cubren en la actualidad prácticamente todas las áreas principales en la ingeniería y la simulación, destacando entre ellos el ¨toolboxe¨ de proceso de imágenes, señal, control robusto, estadística, análisis.

Teorema de máximos, mínimos o punto de silla: a) Para funciones de dos variables.

-

Si F (x, y) tiene sus primeras y segundas derivadas parciales continuas entonces:

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b) Para funciones de dos o más variables.

-

Si los signos de todos los determinantes son positivos, o negativos la función consta de extremos.

-

Si los signos de todos los determinantes salen alternados, es un caso dudoso.

4.-APLICACIÓN PRÁCTICA: En el entorno profesional, el programa de Matlab se utiliza para investigar y resolver problemas prácticos y cálculos de ingeniería. Son aplicaciones típicas el cálculo numérico, la resolución de problemas con formulación matricial, la estadística, la optimización y la representación de datos y funciones. En este caso particular se usó este programa para la determinación de máximos y mínimos, donde se programó el siguiente código:

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Ejemplo 1: Mínimo 

Determinar los puntos máximos y mínimos de la función f (x, y) = x^2+y^24x+6y+25

*El programa y la grafica muestra que existe un minimo en el punto (2,-3) en 1

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Ejemplo 2: Punto de silla 

Hallar los máximos y mínimos de la función f (x, y) = x^3+y^3-3*x*y

La función no tiene un máximo ni un mínimo relativo tiene un punto de silla en el punto (0, 0) en 0. La función tiene un mínimo en el punto (1, 1) en -1. Ejemplo 3: Máximo 

Hallar los puntos máximos y mínimos de la función x^2+2*x*y+3*y^2

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La función tiene un máximo en el punto (0, 0) en 0.

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Ejemplo 4.- Hallar los máximos y mínimos de la función f (x, y) = x^2+y^2-10

e

El programa y la grafica muestra que existe un minimo en el punto (0,0) en -10 Ejemplo 5.-Hallar los máximos y mínimos de la función f (x, y) = x^3-2*x*y+10+y^2

la funcion no tiene un maximo o un minimo relativo tiene un punto de silla en el punto (0,0) en 10 7

la función tiene un mínimo en el punto( 6.666667e-01 ,6.666667e-01) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: CONCLUSIONES:  Se pudo determinar los máximos y mínimos de diferentes funciones usando Matlab.  Se instaló correctamente Matlab y se aprendió correctamente su lenguaje de programación.  Se determinó correctamente paso a paso los puntos críticos y su naturaleza.  Las funciones se pudieron graficar hasta máximo una función de 3 variables (x, y, z) ya que en adelante se complica la visualización de estas.

RECOMENDACIONES A TENER EN CUENTA CON RESPECTO AL TRABAJO DE MATLAB: 

Todo archivo que vaya a crear, "documéntenlo". El símbolo para hacer comentarios en una línea es el porcentaje (%). Documente entre otras cosas lo que hace el código, los parámetros y variables de retorno, y las variables

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intermedias más importantes. Tengan en cuenta estas consideraciones cuando vayan a dar nombres a las

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variables y a las funciones Las variables son de máximo 7 letras. El usuario deberá tener un conocimiento claro del lenguaje de programación

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utilizado por Matlab Se deber escribir los comandos de una manera clara y concisa los comandos utilizados para derivar por lo contrario el programa no podrá ejecutarse

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correctamente Declarar claramente las variables que se utilizara Se deberá tener mucho cuidado al ingresar la función para tener un resultado correcto

6.-BIBLIOGRAFÍA:

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 Chapra, Steven C; Raymond Canale P (2007) “Métodos numéricos para ingenieros”, Quinta edición, McGraw Hill, México D.F, pp 124-139, 142-167.  geordanohamlet.blogspot.com/2008/07/historia-de-matlab.html

 https://www.ecured.cu/MATLAB  matlabguia.blogspot.com/2014/09/historia-de-matlab.html

 Mathews, John H; Fink, Kurtis D (2000) “Métodos numéricos con MATLAB”, Tercera edición, Prentice Hall, Santafé de Bogotá, pp 661-673. 7-ANEXOS: A continuación se mostrará el programa MATLAB con la aplicación de máximos y mínimos adjunto con los integrantes del grupo.

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