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TRABAJO # 2 DE CÁLCULO (DERIVADAS)

PRESENTADO POR: CARMEN MERCADO MEYER NATALY ROJAS

TUTOR: GONZALO MOLINARES

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS BARRANQUILLA/ATLANTICO 04/11/2018

EJERCICIOS 11-3. 1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones con respecto a las variables independientes según el caso.

a)

b)

1 x+ 1 Para resolver esta derivada utilizaremos la fórmula del cociente de una derivada. x ´ . z −x . z ´ (f´(x) ¿ ) 2 z ( 0 ) ( x+1 )−1(1) f ´ ( x )= ( x +1)2 −1 ¿ ( x+ 1)2 −1 Así, f ´ ( x )= ( x +1)2 f ( x )=

h ( x )=7−3 x 2 h ´ ( x )=0−3[2 ( x 2−1 ) ( 1 ) ] ¿−3 ( 2 x 1 ) ¿−6 x Así, h ´ ( x )=−6 x .

c) f(x) = 2x – 5 f ( x )=1.2 x 1−1 f ( x )=2

d) h(x) = 7 - 3 x 2 h ( x )=7−3 x 2−1 h ( x )=−6 x 1 e) f(t) = 2 t+ 3 f(t) = (1) (2 t+3)−1 3 2 t+¿ ¿ ¿(2) f ( t )=−1 ¿ −2 f ( t )= (2t +3)2

2 – Problemas. #33 (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas de un disco fonográfico particular esta dado como una función de tiempo (t) por la formula. S(t) = 10.000 + 2000t - 200 t 2 Donde (t) se mide por semanas y S es el número de discos vendidos por semana. Determine la tasa en que S cambia cuando.

a) t = 0 S`(t) = 2000 - 400(0) S`(t) = 2000

b) t = 4 S`(t) = 2000 - 400(4) S`(t) = 2000 – 1600 S`(t) = 400

c) t = 8 S`(t) = 2000 – 400(8) S`(t) = 2000 – 3200 S`(t) = -1200 #34 (Crecimiento de la población). Cierta población créese acuerdo a la formula. P(t) = 30,000 + - 60 t 2 Donde t se mide en años. Calcule la tasa de crecimiento cuando.

a) t = 2 P`(t) = 1200(2) P`(t) = 2400 b) t = 0 P`(t) = 1200(0) P`(t) = 0

c) t = 5 P`(t) = 1200(5) P`(t) = 6000

#35 (Relación Química). Durante una relación química en la cual una sustancia A se descompone, la masa (en gramos) de A restante en un tiempo de t está dada por 1 2 m (t) = 9 – 3t + 4 t

Encuentre m’ (t) e interprete esta cantidad. Evalué m (0), m’ (0), m (6) y m’ (6) 1 2 m ( t )=9−3 t+ t 4 2 m´ ( t )=−3+ t 4 0 ¿2=9 1 m ( 0 )=9−3 ( 0 ) + ¿ 4 4 0¿ =−3 2 m´ ( 0 )=−3+ ¿ 4 36 =0 4 1 m ( 6 )=9−3 ( 6 ) + ¿ 4 2 72 m´ ( 6 )=−3+ ( 6 ) =−3+ =69 4 4 6 ¿2=9−18+

EJERCICIOS 11-4. Derive las siguientes expresiones. a)

f ( x )=( x−7 )( 2 x−9 )

f ´ ( x )=( 1 ) ( 2 x −9 ) + ( x−7 )( 2 ) ¿ 2 x−9+2 x−14 ¿ 4 x −23

b)

f ( x )=3 x 4 +(2 x −1)2 1 3 f ´ ( x )=3 [ 4 ( x ) (1 ) ]+ 2[ (2 x +1 ) ( 2 ) ] ¿ 3 ( 4 x 3 ) + 4 ( 2 x+1 ) ¿ 12 x 3 +8 x+ 1

c) 2 + 4 x 5/ 4

6 f ´ ( x )= x 1 /2 2

20 1/ 4 x 4

+

x 2−3 x +1 √x

d)

dy 2 [ x −3 x+1 ] √ x −(x 2−3 x +1) dy [ √ x ] dx dx 2 √x ¿ ¿ ¿ d x 2−3 x +1 =¿ ¿ ¿ dx √x

[

]

d 2 [ x ]−3 d [ x ] + d [ 1 ] dx dx dx e) ( x−7 ) ( 2 x−9 ) d d [ (x−7)(2 x−9)] dx dx ¿

d d [ x−7 ] ( 2 x−9 )+( x−7) [ 2 x−9 ] dx dx

=(

d d d d [ x−7 ] + [−7 ] ¿ ( 2 x−9 ) +(2 x+ [−9 ] )(x−7) dx dx dx dx

= (1+0) (2x-9) + (2+0) (x-7) = 2x + 2(x-7) -9 EJERCICIOS 11 – 5 9. (Ingreso Marginal), Si la ecuación de demanda es x+4p=100, calcule el ingreso marginal R´(x). Datos:  

E( demanda)= x+ 4 p=100 R ( x ) =x . p

Se debe escribir la ecuación de demanda de tal forma que expresemos p como una función de x, es decir,

4 p=100−x 100−x p= 4 Ahora, reemplazamos p en R(x), entonces 100−x R ( x ) =x . p=x ( ) 4 100 x−x 2 = 4 2 x ¿ 25 x− 4 Por lo anterior, la derivada de R(x) seria: x R ´ ( x ) =25− 2

10. (Ingreso marginal) Si la ecuación de la demanda es marginal.

√ x+ p =10, calcule el ingreso

√ x+ p =10 10 √ x 1 d d x ( 10 )− √ dx R(x) = dx 1 1/ 2 0−x R(x) = 1 1/ 2 R(x) = 0-1 x

R(x) = P =

19. (Ingreso marginal), Cuando una peluquería fija una cuota de $4 por corte de cabello, advierte que el número de clientes que atiende en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la tarifa a $5, el número de cliente por semana baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y número de clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero. Datos:   

1=¿ 100 ; x 2=$ 5 y y 2=80 1=¿ $ 4 y y ¿ x¿ y− y 1=m(x −x1 ) y 2− y 1 m= x 2−x 1

Teniendo en cuenta que: m=

y 2− y 1 x 2−x 1

80−100 5−4 m=−20.

=

=

−20 1

Ahora, y− y 1=m(x −x1 ) y−100=−20 ( x−4 ) y−100=−20 x +80 y=−20 x+ 80 +100 y=180−20 x p=180−20 x o Ahora que sabemos la función ingreso está dada por: R ( x ) =x . p = x ( 180−20 x ) = 180 x−20 x 2

Por lo tanto,

R ( x ) =180 x −20 x 2

Hallamos la derivada, entonces: R ´ ( x ) =180−40 x

Cuando R´(x) = 0, se tiene que: R ´ ( x ) =0 ¿ 180−40 x = 0 180 ¿ 40 x 180 =x 40 9 =x o x = 4.5 2 Por lo tanto, cuando el ingreso marginal es igual a cero se tiene que representa un ingreso de $4,5 (dólares).

x=4.5 , lo que