Calculo_de_areas_de_un_poligono_por_5_me.pdf

TRABAJO DE ÁREAS

PRESENTADO POR: ANYI PATRICIA ORDÓÑEZ CAICEDO CÓDIGO: 2162921 GRUPO: 2B

A: ING. JESÚS BURBANO

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS ÁREA: TOPOGRAFÍA BOGOTÁ D.C AÑO 2014

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ÍNDICE pág 1.INTRODUCCIÓN 2.JUSTIFICACIÓN 3.OBJETIVOS 3.1.GENERAL 3.2.ESPECÍFICOS 4.DEFINICIONES GENERALES 4.1.MÉTODO GEOMÉTRICO 4.2.MÉTODO POR INTEGRACIÓN. 4.3.MÉTODO TOPOGRÁFICO 4.4.MÉTODO POR HERÓN 4.5.MÉTODO AUTOCAD 5.DESARROLLO EJERCICIO 5.1.MÉTODO GEOMÉTRICO 5.2.MÉTODO TOPOGRÁFICO 5.3.MÉTODO POR HERÓN 5.4.MÉTODO POR INTEGRACIÓN. 5.5.MÉTODO AUTOCAD 6.CUADRO RESUMEN 7.CONCLUSIONES 8.BIBLIOGRAFÍA

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1.INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se busca llevar a cabo la aplicación de distintos métodos para hallar el área de cierta figura; con lo cual partiremos primero con un breve análisis de lo que trata cada uno y posterior a ello, tomaremos un ejemplo para aplicar las fórmulas y llegar a un mismo resultado. Cabe resaltar que en algunos métodos no lograremos un resultado muy exacto a los demás, pues es bastante tedioso llevar a cabo una cantidad exagerada de decimales; pero no obstante nos basaremos en el área aproximada de autoCAD (último método). El ejemplo a desarrollar durante el trabajo, permitirá dar una visión clara de cómo podemos usar nuestra recursividad, a la hora de estar en un levantamiento de campo, pues con ello lograremos ver el camino que nos ahorra tiempo, y por otra parte da eficiencia al trabajo final que vayamos a presentar.

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2.JUSTIFICACIÓN

Debido a la gran confusión que presentamos a la hora de realizar un levantamiento topográfico, se tiene la necesidad de presentar el siguiente trabajo de áreas, a partir de la investigación global de los métodos a utilizar y su correcta aplicación. Todo esto para conllevar una buena optimización del tiempo a la hora de analizar ciertos tipos de terreno y hacer hincapié en nuestro tema fundamental a desarrollar “el área”.

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3.OBJETIVOS 3.1.GENERAL Aplicar 5 métodos para hallar el área de x figura, a partir de un ejemplo particular con el fin de reconocer las facilidades de cada uno, y de esta manera lograr una correcta aplicación de los algoritmos presentados y sus respectivas fórmulas. 3.2.ESPECÍFICOS ● Determinar conocimientos previos al momento de empezar el desarrollo del trabajo, como lo son la pendiente, ecuación de la recta, distancia entre puntos, etc. Por medio de la utilización de las mismas al momento de llevar a cabo el área. ● Analizar cada método a utilizar, principalmente el geométrico; el cual determina en su generalidad el origen de los demás, todo esto con fin de efectuar en su inicio bien las operaciones para que después no se tenga problema alguno con los demás. ● Aplicar método Geométrico, por Integrales, trapecios (Topográfico), mediante la fórmula de Herón y finalmente por AutoCAD.

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4.DEFINICIONES GENERALES 4.1. MÉTODO GEOMÉTRICO Para lograr efectuar este método es necesario llevar a cabo: ❖ Fórmula de pendiente, dados dos puntos.

❖ Despejar en la ecuación de la recta ya teniendo la pendiente y los dos puntos.

❖ Igualamos las dos ecuaciones resultantes de los puntos. Llevando a cabo puntos de intersección. ❖ Dibujamos la figura, con ayuda de cualquier programa graficador. ❖ Dividimos la figura en triángulos. ❖ Aplicamos la fórmula de recta perpendicular con la ecuación: sabiendo que:

❖ Ya encontradas las perpendiculares y los puntos de corte necesarios, aplicamos la fórmula de distancia.

❖ Finalmente resolvemos los triángulos con la siguiente fórmula, y sumamos todas las áreas, obteniendo al final el área de toda la figura.

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4.2. MÉTODO POR INTEGRACIÓN. En ocasiones, el cálculo de una integral definida en un intervalo resulta tan complicado que se hace casi irresoluble. En estos casos, se puede aplicar un método de integración numérica aproximada, consistente en dividir el intervalo de definición en un conjunto de sub-intervalos iguales, de manera que se trazan sus imágenes sobre la curva y se unen todos puntos imagen mediante segmentos rectilíneos. Siendo f (x) la función de origen, y [a, b] el intervalo de integración, que se puede dividir en n sub-intervalos iguales de amplitud h tales que a = x0 < x1 < x2 < xn = b, la región limitada por la curva de f (x) puede obtenerse aproximadamente a partir de la siguiente expresión:

Esta ley se llama regla de los trapecios. Evidentemente, cuanto mayor es el número de intervalos escogido, más cerca estará el valor obtenido del área real situada bajo la curva.

❖ De esta forma teniendo los puntos de intersecciones y las ecuaciones de las rectas, dividimos los triángulos por las perpendiculares. ❖ Se hacen las dos integrales y se efectúa una suma entre ellas.

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4.3. MÉTODO TOPOGRÁFICO ❖ Se basa en solo aplicar la fórmula de los trapecios, ya teniendo en cuenta las coordenadas, es decir en nuestro ejemplo se utilizaran los puntos de corte resultantes de igualar las dos ecuaciones.

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4.4. MÉTODO POR HERÓN ❖ Este método solo se basa en conocer las distancias de todos los lados del triángulo y aplicar la fórmula, ya demostrada.

❖ Finalmente se suman todas las áreas de los triángulos, y queda como resultado el área de toda la figura. 4.5.MÉTODO AUTOCAD ❖ Como primer paso es importante crear las capas. ➢ Rectas ➢ Recta entre punto y punto. ➢ Prolongación ➢ Figura ➢ Áreas ➢ Cotas

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5.DESARROLLO EJERCICIO Traslación Cuadrante 1

1.Se suma en X 0 y en Y 600

Punto 1 x 1243 1492 1507 1448 1462 1268 1209 1277

Punto 1 nuevo

y 87 46 -91 -247 -377 -363 -214 -5

x 1243 1492 1507 1448 1462 1268 1209 1277

y 687 646 509 353 223 237 386 595

Punto 2 x 1508 1520 1413 1515 1244 1161 1314 1149

Punto 2 nuevo

y 88 -8 -251 -418 -435 -235 -8 102

x 1508 1520 1413 1515 1244 1161 1314 1149

y 688 592 349 182 165 365 592 702

2.De ahora en adelante tomaremos en cuenta sólo los siguientes puntos:

Punto 1 x 1243 1492 1507 1448 1462 1268 1209 1277

y 687 646 509 353 223 237 386 595

Punto 2 x 1508 1520 1413 1515 1244 1161 1314 1149

y 688 592 349 182 165 365 592 702

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5.1 Método Geométrico 1.Hallaremos pendientes y rectas a partir de los puntos. ● (1243, 687) (1508,688) X1 Y1 X2 Y2 = Primera ecuación (a)

● (1492, 646) X1 Y1

(1520, 592) X2 Y2

Segunda ecuación (b)

●

(1507, 509) (1413, 349) X1 Y1 X2 Y2

Tercera ecuación (c)

●

(1448, 353) (1515, 182) X1 Y1 X2 Y2

Cuarta ecuación (d)

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●

(1462, 223) (1244, 165) X1 Y1 X2 Y2 Quinta ecuación (e)

●

(1268, 237) (1161, 365) X1 Y1 X2 Y2 Sexta ecuación (f)

●

(1209, 386) (1314, 592) X1 Y1 X2 Y2 Séptima ecuación (g)

●

(1277, 595) (1149, 702) X1 Y1 X2 Y2 Octava ecuación (h)

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2. Ahora si bien, hallaremos las intersecciones de los respectivos puntos

1y2

Punto 1. A (1470.260 , 687.8577)

2y3

Punto 2. B (1536.7660 , 559.6656)

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3y4

Punto 3. C (1434.9371 , 386.3397) 4y5

Punto 4. D (1495.4488 , 231.8992) 14

5y6

Punto 5. E (1312.8704 , 183.3233)

6y7

Punto 6 F (1184.1690 , 337.2839)

15

7y8

Punto 7. G (1304.0174 , 572.4151) 8y1

Punto 8. H (1167.2857 , 686.7143) 16

● Como resumen importante podremos ver el siguiente gráfico. (Programa utilizado, Geogebra. 2013). En donde ubicamos los puntos resultantes de la intersección de las dos rectas.

Para continuar con el siguiente paso es necesario dividir la figura en triángulos. De esta forma obtenemos lo siguiente.:

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3.Consecutivamente hallaremos las Perpendiculares y distancias de cada uno de los lados. ● Perpendicular 1. La denotaremos con la recta j, llevándose a cabo un punto J.

Tomaremos recta a y una perpendicular que pase por G

● Recta j (G y a) G (1304.0174 , 572.4151)

a=

● Distancia recta a H (1167.2857,686.7143) A (1470.260 , 687.8577)

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● Distancia recta z H (1167.2857,686.7143) G (1304.0174 , 572.4151)

● Distancia recta m G (1304.0174 , 572.4151) A (1470.260 , 687.8577)

● Igualación recta j y a, para punto J.

Punto J

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● Distancia recta j

G (1304.0174 , 572.4151) J

Resumen Datos T1. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Recta j= Distancia Recta j= Distancia Recta m= Distancia Recta z= Distancia Recta a= Punto J=

● Perpendicular 2. La denotaremos con la recta i, llevándose a cabo un punto T.

Tomaremos recta t y una perpendicular que pase por A

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● Recta t (G Y B) ○ (1304.0174,572.4151) X1 Y1

(1536.7660 , 559.6656) X2 Y2

=

Ecuación (t)= ● Recta i(A y t ) A (1470.260 , 687.8577) t= 18.25550806

● Distancia recta b A (1470.260 , 687.8577) B (1536.7660 , 559.6656)

● Distancia recta t B (1536.7660 , 559.6656) G (1304.0174 , 572.4151)

21

● Distancia recta m G (1304.0174 , 572.4151) A (1470.260 , 687.8577)

● Igualación recta i y t, para punto T.

Punto T ● Distancia recta i T A (1470.260 , 687.8577)

Resumen Datos T2. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Recta i= Distancia recta i= Distancia Recta b= Distancia Recta t= Distancia Recta m= Punto T= 22

●

Perpendicular 3. La denotaremos con la recta v, llevándose a cabo un punto N.

Tomaremos recta t y una perpendicular que pase por C ● Distancia recta t B (1536.7660 , 559.6656) G (1304.0174 , 572.4151)

● Distancia recta c B (1536.7660 , 559.6656) C(1434.9371,386.3397)

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● Distancia recta w C(1434.9371,386.3397) G (1304.0174 , 572.4151)

●

Recta v (C y t) C(1434.9371,386.3397) t=

Ecuación (v)=

● Igualación recta v y t, para punto N.

Punto N

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● Distancia recta v N C(1434.9371,386.3397)

Resumen Datos T3. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Recta v= Distancia Recta v= Distancia Recta c= Distancia Recta t=233.0975344 Distancia Recta w= Punto N=

●

Perpendicular 4. La denotaremos con la recta k, llevándose a cabo un punto Y

Tomaremos recta e y una perpendicular que pase por C

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● Distancia recta d D C(1434.9371,386.3397)

● Distancia recta e D E(1312.8704,183.3233)

● Distancia recta o C(1434.9371,386.3397) E(1312.8704,183.3233)

● Recta k (C y e). C(1434.9371,386.3397)

e=

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Ecuación (k)=

● Igualación recta e y k, para punto Y.

Punto Y

● Distancia recta k C(1434.9371,386.3397) Y

Resumen Datos T4. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Recta k= Distancia Recta k= Distancia Recta d= Distancia Recta e= Distancia Recta o= Punto Y=

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● Perpendicular 5.La denotaremos con la recta p, llevándose a cabo un punto Q

Tomaremos recta ñ y una perpendicular que pase por E ● Recta ñ (F Y C) ○ (1184.1690,337.2839) X1 Y1

(1434.9371,386.3397) X2 Y2

=

Ecuación (ñ)= ● Recta p (ñ y E) E(1312.8704,183.3233) e=

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Ecuación (p)= ● Distancia recta o C(1434.9371,386.3397) E(1312.8704,183.3233)

● Distancia recta f F(1184.1690,337.2839) E(1312.8704,183.3233)

● Distancia recta ñ F(1184.1690,337.2839) C(1434.9371,386.3397)

29

● Igualación recta ñ y p, para punto Q.

Punto Q ● Distancia recta p Q E(1312.8704,183.3233)

Resumen Datos T5. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Recta p= Distancia Recta p= Distancia Recta o= Distancia Recta ñ= Distancia Recta f= Punto Q=

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● Perpendicular 6.La denotaremos con la recta f, llevándose a cabo un punto R

Tomaremos recta ñ y una perpendicular que pase por G

● Recta f (ñ y G) G(1304.0174,572.4151) ñ=

Ecuación (f)= ● Igualación recta f y ñ, para punto R.

Punto R

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● Distancia recta f R G(1304.0174,572.4151)

● Distancia recta g F(1187.1690,337.2839) G(1304.0174,572.4151)

● Distancia recta ñ F(1184.1690,337.2839) C(1434.9371,386.3397)

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● Distancia recta w C(1434.9371,386.3397) G (1304.0174 , 572.4151)

Resumen Datos T6. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Recta f= Distancia Recta f= Distancia Recta g= Distancia Recta w=227.5170814 Distancia Recta ñ= Punto R=

4.Ya teniendo la mayoría de los datos, nos inclinamos por las alturas de los respectivos triángulos y sus bases, para hallar finalmente el área de cada uno.

De esta forma. ● Triángulo 1.

● Triángulo 2.

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● Triángulo 3.

● Triángulo 4.

● Triángulo 5.

● Triángulo 6.

● Total áreas triángulos.

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5.2 Método TOPOGRÁFICO 1.Proseguimos a trabajar con nuestros puntos de corte anteriormente hallados. Y aplicamos nuestra fórmula de los trapecios. Coordenada X

Coordenada Y

1470.260

687.8577

1536.7660

559.6656

1434.9371

386.3397

1495.4488

231.8992

1312.8704

183.3233

1184.1690

337.2839

1304.0174

572.4151

1167.2857

686.7143

1470.260

687.8577

Siguiendo la secuencia, entonces multiplicamos los de color rojo y azul, por separado, para luego hacer una diferencia entre los rojos y azules, y dividirlos entre 2

● ●

35

5.3 Método HERÓN ● Triángulo 1.

● Triángulo 2.

● Triángulo 3.

● Triángulo 4.

36

● Triángulo 5.

● Triángulo 6.

● Total áreas triángulos.

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5.4 Método INTEGRACIÓN

● Triángulo 1

1.

2.

● Triángulo 2

1.

38

2.

● Triángulo 3

1.

2.

39

● Triángulo 4

1.

2.

● Triángulo 5

1.

2.

40

● Triángulo 6

1.

2.

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5.5 Método AUTOCAD ● Para el último método es recomendable la creación de distintas capas, las cuales nos ayudarán a tener una visión clara de lo que será de nuestra figura. De esta forma a continuación se presenta la creación de las distintas capas y el cálculo del área total de la figura. Sin embargo se enviará el archivo de Autocad via e-m@il.

Rectas

Prolongación

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áreas

Cálculos.

43

6.CUADRO RESUMEN

Métodos

Cálculo de áreas

Geométrico

117280.726

Topográfico

117280.9433

Heron

117280.2607

Integración

117280.0237

Autocad

117280.9510

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7.CONCLUSIONES. ● Cualquiera de los tres métodos funciona, pero es importante resaltar que para poder gastar el menor tiempo posible se utilice el método por trapecios o en otro caso acudir a la ayuda de Autocad; este último con el fin de llevar a cabo una mejor precisión y el menor tiempo posible. ● Es bastante tedioso hacer el método geométrico, ya que por cualquier error de milésimas, los datos no pueden cuadrar al final. Por esto es importante asegurarse de los resultados. ● El método de integración afianzó los conocimientos de funciones cuadráticas y lineales; que a su vez se evaluaron en un intervalo desde A hasta B, permitiendo el cálculo de áreas. ● Fue importante manejar los distintos métodos, permitiendo ampliar nuestra recursividad para cuando necesitemos aplicar cualquiera de ellos.

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8. BIBLIOGRAFÍA. ● http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/Recta_Ecuacio n_de_image006.jpg ● http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/equation.gif ● http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2f/Formulas_ para_%C3%A1rea_de_un_tri%C3%A1ngulo.svg ● http://www.elosiodelosantos.com/img_formulas/for_dist_2_ptos. gif ● http://www.hiru.com/matematicas/metodos-de-integracion ● https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRQFrOLXDp59Aq9bg KCw7w6ExCGSt88E36h5_GHdV1HMTMbPKHB ● http://www.fagro.edu.uy/~topografia/docs/Calculo%20de%20Ar eas.pdf ● http://3.bp.blogspot.com/fpwXUjO3wu8/Tnu_IKs0jKI/AAAAAAAAAAk/iyc2rkTH1iY/s1600 /area_trapecio_1%255B1%255D.jpg ● http://www.mathwarehouse.com/geometry/triangles/area/image s/herons-formula/picture-of-herons-formula-and-triangle.png

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