Calculo2

Trabajo Final Calculo Integral Diego Nicolas Rubiano [email protected] Problema : Calcule el volumen de un toro con radios R y r, usando el m´etodo de cortezas. Desarrollo: Definiendo El Problema: Primero partimos de que un toro (Geometria) es formado por la revoluci´on de un circuferencia con R radio entre el punto (0,0) de la misma y el punto de rotacion, la circuferencia tiene por radio r.

Entonces: Partimos de la ecuacion de la circuferencia que es (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . Lo hacemos para poder encontrar la circunferencia que nos generara la figura geometrica en revoluci´on. Definimos un punto de rotacion que en este caso para poder utilizar cortezas debe ser paralelo, entonces definimos el punto de rotacion como x = −R. Entonces obtemos de la funcion general de la circunferencia, la funcion que nos genera la circunferencia que al girarla genera el toro. y=

√

r 2 − x2

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Planteamos: La Integral partiendo de los limites de integracion -r y r y aplicando el metodo de cortezas donde R es el eje de rotacion que se le suma al eje.

2π

Z r

√ (x − R)( r2 − x2 )dx

−r

Entonces multiplicamos.

2π

√ √ (x r2 − x2 − R r2 − x2 )dx

Z r −r

Por el teorema fundamental del calculo decimos.

2π

Z r

(x

√

r2

−

x2 )

−

Z r

−r

√ (R r2 − x2 )dx

−r

Y podemos resolver cada integral independientemente. Comenzamos con: Rr

−r (x

√

r2 − x2 )dx

Hacemos un cambio de variable.

u = r 2 − x2

Z r

du =x 2

√ ( u)du

−r

1Z r 1 (u 2 )du 2 −r

2

Obtenemos Como Resultado 2

u3 3 Entonces ya tenemos la integral de la primera parte del problema procedemos a evaluarla. 2 (r2 − x2 ) 3 r −r 3

Tenemos: 2

2

(r2 − r2 ) 3 (r2 − (−r)2 ) 3 − 3 3 Resolviendo algebraicamente obtenemos que la integral tiene como resultado 0 Continuemos con la segunda parte de la integral que es: Z r

√ (R r2 − x2 )dx

−r

Usamos el metodo de sustitucion Trigonometrica: Decimos que:

x = r sen θ dx = r cos θ Entonces reemplazamos en la Integral: Z r

√ (R r2 − r2 sen2 θ)r cos θdθ

−r

3

Resolvemos : Z r

q

(R r2 (1 − sen2 θ)r cos θdθ

−r

Z r

q

(Rr (cos2 θ)r cos θdθ

−r

Z r

(R(r2 cos2 θ)dθ

−r

Rr

2

Z r

cos2 θdθ

−r

Aplicamos una identidad del Coseno:

Rr2

Z r −r

1 + cos2 θ dθ 2

Rr2 Z r +cos2 θdθ 2 −r Obtenemos: Rr2 θ + sen 2θ ( ) 2 2 Nos Devolvemos a terminos De X: x x √ Rr2 ((arcsin ) + ( ( r2 − x2 ))) r−r 2 r r

Resolvemos: Rr2 π r √ 2 r q ( + ( r − r2 ) − (0 − ( r2 − (−r)2 ) 2 2 r r

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Rr2 π r π r ( + (0) + ( − (0) 2 2 r 2 r Obtenemos: π Rr2 π ( +( ) 2 2 2 Rr2 π 2 Entonces Retomamos: Como solo estamos hallando la mitad del volumen del toro entonces multimplicamos por 2 y que tenemos:

(2)(2π)

Rr2 π 2

Rr2 π 2 Y Finalmente Obtenemos el volumen para un toro (4π)

(2Rr2 π 2 )

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Bibliografia Toro,(Wikipedia). http://es.wikipedia.org/wiki/Toro2 8geometrC3ADa29 Volumenes Por Casquetes Cilindricos,(Aquiles Paramo Fonseca) Junio Del 2004. http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetesc ilindricos/P ags/T exto.htm

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