Calculo Y Algebra Lineal.docx

CALCULO Y ALGEBRA LINEAL EVALUCION A DISTANCIA 2-2018

ESTUDIANTE: JOSE ALBERTO QUINTERO RAMIREZ

CÓDIGO: 2204794

DOCENTE: EISSON FABIAN LESMES

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS VICERRECTORÍA DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA PROGRAMA ADMINISTRACIÓN AMBIENTAL Y DE LOS RECURSOS NATURALES CENTRO DE ATENCIÓN UNIVERSITARIO VILLAVICENCIO 20 DE OCTUBRE DEL 2018.

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS VICERRECTORIA GENERAL DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAS

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN............................................................................................................................ 3 OBJETIVO GENERAL................................................................................................................... 4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.......................................................................................................... 4 ACTIVIDADES A DESARROLLAR: ......................................................................................... 5 1. Utilice la asignación para convertir su nombre completo a números y divídalo en matrices renglón sin codificar, Cada una con 4 elementos. .................................................................. 5 2. Utilice una matriz cuadrada invertible A de cuarto orden para codificar el mensaje. (Proceso: matrices renglón sin codificar * matriz invertible (A) = matrices renglón codificadas). Al eliminar los corchetes o paréntesis de cada matriz renglón codificada, se genera el criptograma. ............................................................................................................ 6 3. Utilizando la matriz invertible del numeral 2), decodifique el mensaje. (proceso: multiplique las matrices renglón codificadas por la inversa de la matriz A). ...................... 18 SOLUCIONE LAS SIGUIENTES SITUACIONES ................................................................. 25 4. Un fabricante de muebles fabrica sillas, mesas y puertas. Se necesitan 12 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 10 para barnizarla. Se requieren 15, 12 y 14 minutos para lijar, pintar y barnizar una mesa respectivamente, finalmente se requieren 6, 2,16 minutos para lijar, pintar y barnizar una puerta. Existen semanalmente 15 horas de lijado, 10 horas de pintado y 19 horas de barnizado. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse si se deben emplear toda la capacidad de lijado, pintado y barnizado?........................................ 26 5. El crecimiento de una población animal está dado por la siguiente expresión ................ 29 6. Una cepa de Staphylococcus tiene un radio de 4 μm y forma esférica; la bacteria crece en el cuerpo a razón de 0.05 μm al día, ¿cuál es la intensidad del crecimiento del volumen de la célula en ese momento? ........................................................................................................ 31 CONCLUSIONES.......................................................................................................................... 33 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 34

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INTRODUCCIÓN

El Álgebra lineal y el cálculo son herramientas matemáticas que busca resolver situaciones de la manera más general posible, los registros algebraicos más antiguos datan de la época de los egipcios y babilónicos quienes ya resolvían ecuaciones lineales, cuadráticas, y encontraban soluciones de ecuaciones indeterminadas. Más adelante los islámicos recogieron este conocimiento sobre resolución de ecuaciones, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. En el siglo XVI el álgebra tuvo un gran avance con la introducción de símbolos para las operaciones, las incógnitas entre otras.

En la actualidad el Álgebra Lineal y el cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la naturaleza: la administración, la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Analizar teorías y conceptos del cálculo y algebra lineal en las operaciones que podemos poner en práctica y con las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las herramientas apropiadas

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordán para encontrar todas las soluciones  Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en el área de cálculo y algebra lineal  Organizar información a través de matrices para obtener resultados útiles dé la toma de decisiones  Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la resolución de los problemas propuestos

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ACTIVIDADES A DESARROLLAR:

Lea detenidamente cada una de las situaciones, ejercicios y/o preguntas, responda en forma ordenada, clara, coherente y objetiva.

Por favor no hacer copia literal o parafrasear textos, páginas de la Internet y otros. Las citas y consultas deben ser referenciadas en el trabajo. Recuerde que si las respuestas contienen copias literales o parafraseadas de textos impresos o publicados en la red el punto se anula.

El álgebra lineal ofrece una oportunidad para proteger la confidencialidad e integridad de la información en internet, esta es la encriptación de datos. 1. Utilice la asignación para convertir su nombre completo a números y divídalo en matrices renglón sin codificar, Cada una con 4 elementos.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

__

A

B

C

D

E

F

G

H

16

17

18

19

20

21

22

23

24

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

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J

O

1 0

S

1

E

1

5

9

_

A

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1 2

2

L

B

E

1

1

R

2 2 1

T

1 8

O

2 0

1 5

Q

U

I

N

T

E

R

O

17

21

9

14

20

5

18

15

2. Utilice una matriz cuadrada invertible A de cuarto orden para codificar el mensaje. (Proceso: matrices renglón sin codificar * matriz invertible (A) = matrices renglón codificadas). Al eliminar los corchetes o paréntesis de cada matriz renglón codificada, se genera el criptograma.

MATRIZ

MATRIZ

A

B

1

2

2

2

1

3

-5

-1

3

2

2

4

2

3

-6

-1

2

1

2

2

3,5

0,5

0,5

2

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1

-

-

3 2

4

1,5

2,5

5

1

MATRIZ RENGLON 1 SIN CODIFICAR 12

21

26

A 0

1

2

2

2

3

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2

4

2

1

2

2

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1

4

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3 2

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2

1

1

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3 2

14

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2

3

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2

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2

3 2

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2

3

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2

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2

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-

-

19

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3 2

4

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1

2

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2

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1

2

2

1

3 2

para calcular MATRIZ INVERTIBLE apuntemos la matriz A y también escribamos a su derecha una matriz de identidad:

1 3 ( 2 ­1

2 2 1 3

2 2 1 2 4 0 | 2 2 0 ­2 4 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0) 1 1

4

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS VICERRECTORIA GENERAL DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAS De 2; 3; 4 filas sustraigamos la 1 linea, multiplicada respectivamente por 3; 2; -1

1 0 ( 0 0

2 2 2 1 0 ­4 ­4 ­2 ­3 1 | ­3 ­2 ­2 ­2 0 5 0 6 0 0

0 0 1 0

0 0) 0 1

Dividamos 2 en si mismo por -4

1 2 2 2 1 0 0 1 1 0.5 0,75 ­0,25 ( | 0 ­3 ­2 ­2 ­2 0 0 0 5 0 6 1

0 0 1 0

0 0) 0 1

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De 1; 3; 4 filas sustraigamos la 2 linea, multiplicada respectivamente por 2; -3; 5

1 0 0 1 ­0.5 0 1 1 0.5 0,75 ( | 0 0 1 ­0,5 0,25 0 0 ­5 3,5 ­2,75

0,5 ­0,25 ­0,75 1,25

0 0 1 0

0 0 ) 0 1

De 2; 4 filas sustraigamos la 3 linea, multiplicada respecivamente por 1; -5

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1 0 ( 0 0

0 1 0 0

0 1 ­0.5 0 1 0,5 | 1 ­0,5 0,25 0 1 ­1,5

0,5 0 0,5 ­1 ­0,75 1 ­25 5

0 0 ) 0 1

De 1; 2; 3 filas sustraigamos la 4 linea, multiplicada respectivamente por 1; 1; -0,5

1 0 ( 0 0

Resultado:

0 1 0 0

0 0 1 0

3 0 1 3 0 2 | 0 ­0,5 ­2 1 ­1,5 ­25

­5 ­6 3,5 5

­1 ­1 ) 0,5 1

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1 3 ­5 ­1 A⁻¹ ( 2 3 ­6 ­1 ) ­0,5 ­2 3,5 ,5

Solucion:

1 3 C= A ‫﮲‬B= (12 21 26 0) ‫( ﮲‬ 2 ­1

2 2 2 2 1 2 3 ­2

2 4 )2 4

= (127 92 118 160)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

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𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 12 ∙ 1 + 21 ∙ 3 + 26 ∙ 2 + 0 ∙ (−1)

= 12 + 63 + 52 + 0 = 127

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 12 ∙ 2 + 21 ∙ 2 + 26 ∙ 1 + 0 ∙ 3 = 24 + 42 + 26 + 0 = 92

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 12 ∙ 2 + 21 ∙ 2 + 26 ∙ 2 + 0 ∙ (−2) = 24 + 42 + 52 + 0 = 118

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4

= 12 ∙ 2 + 21 ∙ 4 + 26 ∙ 2 + 0 ∙ 4

= 24 + 84 + 52 + 0 = 160

Solución:

𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (1 4 18 9) ∙

1 3 2 (−1

2 2 1 3

2 2 2 −2

= (40 55 28 90)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 1 ∙ 1 + 4 ∙ 3 + 18 ∙ 2 + 9 ∙ (−1) = 1 + 12 + 36 + (−9) = 40

2 4 = 2 4)

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𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2

= 1 ∙ 2 + 4 ∙ 2 + 18 ∙ 1 + 9 ∙ 3

= 2 + 8 + 18 + 27 = 55

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 1 ∙ 2 + 4 ∙ 2 + 18 ∙ 2 + 9 ∙ (−2) = 2 + 8 + 36 + (−18) = 28

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4

= 1 ∙ 2 + 4 ∙ 4 + 18 ∙ 2 + 9 ∙ 4

= 2 + 16 + 36 + 36 = 90

Solución:

𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (1 14 1 0) ∙

1 3 2 (−1

= (45 31 32 60)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 1 ∙ 1 + 14 ∙ 3 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ (−1) = 1 + 42 + 2 + 0 = 45

2 2 1 3

2 2 2 −2

2 4 = 2 4)

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𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 1 ∙ 2 + 14 ∙ 2 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 3 = 2 + 28 + 0 = 31

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3

= 1 ∙ 2 + 14 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ (−2)

= 2 + 28 + 2 + 0 = 32

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4

= 1 ∙ 2 + 14 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 4

= 2 + 56 + 2 + 0 = 60

Solución:

𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (19 1 1 4 3) ∙

1 3 2 −1 (

2 2 1 3

2 2 2 −2

2 4 = 2 4)

= (47 63 62 82)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 19 ∙ 1 + 1 ∙ 3 + 14 ∙ 2 + 3 ∙ (−1) = 19 + 3 + 28 + (−3) = 47

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 38 + 2 + 14 + 9 = 63

= 19 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 14 ∙ 1 + 3 ∙ 3

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𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 19 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 14 ∙ 2 + 3 ∙ (−2) = 38 + 2 + 28 + (−6) = 62

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4

= 19 ∙ 2 + 1 ∙ 4 + 14 ∙ 2 + 3 ∙ 4

= 38 + 4 + 28 + 12 = 82

Solución:

1 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (8 5 26 0) ∙ 3 2 −1 (

2 2 1 3

2 2 2 −2

2 4 = 2 4)

= (75 52 78 88)

Los componentes de la matriz de C se calculan del modo siguiente:

𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 8 ∙ 1 + 5 ∙ 3 + 26 ∙ 2 + 0 ∙ (−1) = 8 + 15 + 52 + 0 = 75

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 16 + 10 + 26 + 0 = 52

= 8 ∙ 2 + 5 ∙ 2 + 26 ∙ 1 + 0 ∙ 3

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𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3

= 8 ∙ 2 + 5 ∙ 2 + 26 ∙ 2 + 0(−2)

= 16 + 10 + 52 + 0 = 78

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4 = 8 ∙ 2 + 5 ∙ 4 + 26 ∙ 2 + 0 ∙ 4 = 16 + 20 + 52 + 0 = 88

3. Utilizando la matriz invertible del numeral 2), decodifique el mensaje. (proceso: multiplique las matrices renglón codificadas por la inversa de la matriz A).

127

92

118

160

1

3

-5

-1

2

3

-6

-1

-

3,5

0,5

5

1

0,5

2 -

1,5

2,5

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1

4

18

9

1

2

2

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1

2

2

1

1

14

1

0

3 2

1

2

2

2

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2

2

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2

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4

3 2

4

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2

1

2

2

-

-

1

8

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26

0

3 2

1

2

2

2

3

2

2

4

2

1

2

2

1

4

3 2

4

Solución:

1 3 −5 −1 2 3 −6 −1 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (127 92 118 160) ∙ ( )= −0.5 −2 3.5 0.5 −1.5 −2.5 5 1

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= (12 21 26 0)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 127 ∙ 1 + 92 ∙ 2 + 118 ∙ (−0.5) + 160 ∙ (−1.5) = 127 + 184 + (−59) + (−240) = 12

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 127 ∙ 3 + 92 ∙ 3 + 118 ∙ (−2) + 160 ∙ (−2.5) = 381 + 276 + (−236) + (−400) = 21

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 127 ∙ (−5) + 92 ∙ (−6) + 118 ∙ (3.5) + 160 ∙ 5 = (−635) + (−552) + 413 + 800 = 26

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4 = 127 ∙ (−1) + 92 ∙ (−1) + 118 ∙ (0.5) + 160 ∙ 1 = (−127) + (−92) + 59 + 160 = 0

Solución:

1 3 −5 −1 2 3 −6 −1 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (40 55 28 90) ∙ ( )= −0.5 −2 3.5 0.5 −1.5 −2.5 5 1

= (1 4 18 9)

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS VICERRECTORIA GENERAL DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAS Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 40 ∙ 1 + 55 ∙ 2 + 28 ∙ (−0.5) + 90 ∙ (−1.5) = 40 + 110 + (−14) + (−135) = 1

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 40 ∙ 3 + 55 ∙ 3 + 28 ∙ (−2) + 90 ∙ (−2.5) = 120 + 165 + (−56) + (−225) = 4

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 40 ∙ (−5) + 55 ∙ (−6) + 28 ∙ (3.5) + 90 ∙ 5 = (−200) + (−330) + 98 + 450 = 18

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4 = 40 ∙ (−1) + 55 ∙ (−1) + 28 ∙ (0.5) + 90 ∙ 1 = (−40) + (−55) + 14 + 90 = 9

Solución:

1 3 −5 −1 2 3 −6 −1 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (45 31 32 60) ∙ ( )= −0.5 −2 3.5 0.5 −1.5 −2.5 5 1

= (1 14 1 0)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

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𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 45 ∙ 1 + 31 ∙ 2 + 32 ∙ (−0.5) + 60 ∙ (−1.5) = 45 + 62 + (−16) + (−90) =1

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 45 ∙ 3 + 31 ∙ 3 + 32 ∙ (−2) + 60 ∙ (−2.5) = 135 + 93 + (−64) + (−150) = 14

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 45 ∙ (−5) + 31 ∙ (−6) + 32 ∙ (3.5) + 60 ∙ 5 = (−225) + (−186) + 112 + 300 = 1

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4 = 45 ∙ (−1) + 31 ∙ (−1) + 32 ∙ (0.5) + 60 ∙ 1 = (−45) + (−31) + 16 + 60 = 0

Solución:

1 3 −5 −1 2 3 −6 −1 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (47 63 62 82) ∙ ( )= −0.5 −2 3.5 0.5 −1.5 −2.5 5 1

= (19 1 14 3)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

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𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 47 ∙ 1 + 63 ∙ 2 + 62 ∙ (−0.5) + 82 ∙ (−1.5) = 47 + 126 + (−31) + (−123) = 19

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 47 ∙ 3 + 63 ∙ 3 + 62 ∙ (−2) + 82 ∙ (−2.5) = 141 + 189 + (−124) + (−205) = 1

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 47 ∙ (−5) + 63 ∙ (−6) + 62 ∙ (3.5) + 82 ∙ 5 = (−235) + (−378) + 217 + 410 = 14

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4 = 47 ∙ (−1) + 63 ∙ (−1) + 62 ∙ (0.5) + 82 ∙ 1 = (−47) + (−63) + 31 + 82 = 3

Solución:

1 3 −5 −1 2 3 −6 −1 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 = (75 52 78 88) ∙ ( )= −0.5 −2 3.5 0.5 −1.5 −2.5 5 1

= (8 5 26 0)

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

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𝐶1,1 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,1 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,1 = 75 ∙ 1 + 52 ∙ +78 ∙ (−0.5) + 88 ∙ (−1.5) = 75 + 104 + (−39) + (−132) = 8

𝐶1,2 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,2 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,2 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,2 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,2 = 75 ∙ 3 + 52 ∙ 3 + 78 ∙ (−2) + 88 ∙ (−2.5) = 225 + 156 + (−156) + (−220) = 5

𝐶1,3 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,3 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,3 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,3 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,3 = 75 ∙ (−5) + 52 ∙ (−6) + 78 ∙ (3.5) + 88 ∙ 5 = (−375) + (−312) + 273 + 440 = 26

𝐶1,4 = 𝐴1,1 ∙ 𝐵1,4 + 𝐴1,2 ∙ 𝐵2,4 + 𝐴1,3 ∙ 𝐵3,4 + 𝐴1,4 ∙ 𝐵4,4 = 75 ∙ (−1) + 52 ∙ (−1) + 78 ∙ (0.5) + 88 ∙ 1 = (−75) + (−1) + 52 ∙ (−1) + 78 ∙ (0.5) + 88 ∙ 1 = (−75) + (−52) + 39 + 88 = 0

SOLUCIONE LAS SIGUIENTES SITUACIONES

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS VICERRECTORIA GENERAL DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAS 4. Un fabricante de muebles fabrica sillas, mesas y puertas. Se necesitan 12 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 10 para barnizarla. Se requieren 15, 12 y 14 minutos para lijar, pintar y barnizar una mesa respectivamente, finalmente se requieren 6, 2,16 minutos para lijar, pintar y barnizar una puerta. Existen semanalmente 15 horas de lijado, 10 horas de pintado y 19 horas de barnizado. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse si se deben emplear toda la capacidad de lijado, pintado y barnizado?

𝑋1 = Al número de sillas

𝑋2= Al número de mesas

𝑋3= Al número de puertas

Por lo tanto,

15hr = 900 m

10 hr = 600 m

19 hr = 1140 m

Se plantea el sistema de ecuaciones dela siguiente forma,

12𝑥1 + 15𝑥2 + 6𝑥3 = 900

6𝑥1 + 12𝑥2 + 2𝑥3 = 600

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10𝑥1 + 14𝑥2 + 16𝑥3 = 1140

A matriz A asociada al sistema es la siguiente:

(

900 12 15 6 | 600 ) 6 12 2 10 14 16 1140 1

Cancelar el primer coeficiente en la fila 𝑅2 Realizando 𝑅2 ← 𝑅2 - 2 . 𝑅1 12 15 6 900 9 ( 0 2 − 1 | 150 ) 10 14 16 1140 Cancelar el primer coeficiente en la fila 𝑅3 Realizando 𝑅3 ← 𝑅3 -

(

5 6

. 𝑅1

12 15 6 900 9 0 2 − 1 150 | 3 0 2 11 390 ) 1

Cancelar el primer coeficiente en la fila 𝑅3 Realizando 𝑅3 ← 𝑅3 - 3 . 𝑅2

(

12 15 6 900 9 0 2 − 1 150 | 34 340 0 0 ) 3

Multiplicar la fila de la matriz por la constante: 𝑅3 ←

3 34

. 𝑅3

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(

12 15 6 900 9 0 2 − 1 | 150 ) 30 0 0 1

Cancelar el primer coeficiente en la fila 𝑅2 Realizando 𝑅2 ← 𝑅2 + 1. 𝑅3 12 15 9 ( 0 2 0 0

6 900 0 | 180 ) 1 30

Cancelar el primer coeficiente en la fila 𝑅1 Realizando 𝑅1 ← 𝑅1 - 6. 𝑅3 12 15 9 ( 0 2 0 0

0 720 0 | 180 ) 1 340

Multiplicar la fila de la matriz por la constante: 𝑅2 ←

(

12 15 0 1 0 0

2 9

. 𝑅2

0 720 0 | 40 ) 1 30

Cancelar el primer coeficiente en la fila 𝑅1 Realizando 𝑅1 ← 𝑅1 - 15. 𝑅2

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(

12 0 0 120 | 0 1 0 40 ) 0 0 1 30

Multiplicar la fila de la matriz por la constante: 𝑅1 ←

(

1 0 0 1 0 0

1 12

. 𝑅1

0 10 0 | 40 ) 1 30

𝑋1 = 10 sillas

𝑋2= 40 mesas

𝑋3= 30 puertas

5. El crecimiento de una población animal está dado por la siguiente expresión

𝑓(𝑡)=

20 4+6𝑒 −1.5𝑡

¿Cuál es la población inicial, en miles, de los animales?

Como primer procedimiento damos a conocer el valor del Número de Euler (e) = 2,7182, por consiguiente remplazamos los valores, Dando como resultado:

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𝑓(𝑡)=

𝑓(𝑡)=

𝑓(𝑡)=

𝑓(𝑡)=

𝑓(𝑡)=

𝑓(𝑡)=

𝑓(𝑡)=

20 4+6.2,7182 −1.5(0)

20 4+6.2,7182 0

20 4+6.1

20 4+6

20 10

10 5

2 1

𝑓(𝑡)= 2

¿Se estabilizará la población animal con el paso del tiempo? ¿Por qué si o por qué no?

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(t)

2

3,74

4,62

4,91

4,98

4,99

4,99

4,99

4,99

4,99

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Poblacion Animal Poblacion de Animales

6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Tiempo (Años)

La población se estabiliza al llegar t = 5 dando como resultado 4,99 sin alcanzar el 5 como se muestra en la grafica

6. Una cepa de Staphylococcus tiene un radio de 0.8 μm y forma esférica; la bacteria crece en el cuerpo a razón de 0.002 μm al día, ¿cuál es la intensidad del crecimiento del volumen de la célula en ese momento?

Se utiliza la fórmula de volumen de una esfera donde el radio y volumen se derivan respecto a tiempo, utilizamos los datos que nos brinda el ejercicio y reemplazamos para encontrar el valor de la derivada, como se muestra a continuación.

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r = 0.8 μm 𝑑𝑟 𝑑𝑡

= 0.002 μm/día

Ecuación volumen de una esfera, ecuación estática del problema

4

v=

3

𝜋𝑟 3

Ecuación estática del problema, derivada y simplificada

𝑑𝑣 𝑑𝑡

4

𝑑𝑟

3

𝑑𝑡

= 𝜋 (3𝑟 2 ).

→

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 4 𝜋 𝑟2.

𝑑𝑟 𝑑𝑡

Sustituimos valores dados

𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 4 𝜋 (0,8μm)2 . 0,002 μm/día = 0,0161 μm3 /día

= 0,0161 μm3 /día

La intensidad de crecimiento del volumen de la cepa de Staphylococcus es de 0.0161 µm3 al día.

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CONCLUSIONES

La teoría del algebra lineal enriquece la solución y análisis de un sistema de ecuaciones lineales. El uso de matrices y sus aplicaciones en diferentes áreas es algo valiosos, permite una información simple y a la vez exacta para dar solución a problemas, aunado a eso e tiene fácil acceso a diferentes instrumentos de manipulación de matrices como programas o calculadoras

Se dio a conocer los diferentes conceptos y ejercicios que nos ayudan a resolver los diferentes enfoques empresariales en los que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar decisiones respecto al rumbo que se deberá tomar en diferentes situaciones

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BIBLIOGRAFÍA

Ernest F. Haeussler, Richard S. Paul y R.J. Wood