Calculo Xd.docx

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

FILIAL TACNA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

PARABOLA CURSO: CALCULO VECTORIAL DOCENTE: GERMAN MAMANI

PRESENTADO POR: YAKELIN RAMOS VERONICA CORONEL

CICLO I

TACNA – PERU 2017

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INDICE

INTRODUCCION…………………………………………………………………………………………………..1 DEFINICION…………………………………………………………………………………………………………2 ELEMENTOS………………………………………………………………………………………………………2.1 ECUACIONES DE LA PARABOLA………………………………………………………………………..2.2 MARCO TEORICO………………………………………………………………………………………………….3 MARCO METODOLOGICO………………………………………………………………………………………4 Aplicación de ingeniería civil en la parábola……………………………………………………4.1 05 ejercicios…………………………………………………………………………………………………...4.2 CONCLUSION………………………………………………………………………………………………………….5 BIBLIOTECA…………………………………………………………………………………………………………….6 ANEXOS…………………………………………………………………………………………………………………..7

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INTRODUCCION La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.

El siguiente gráfico muestra una “parábola acostada”:

Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación Obtendríamos la siguiente gráfica:

Para reconocer que esa gráfica efectivamente responde a la definición, características y expresión analítica de una parábola, debemos usar auto valores y auto vectores. (Esto lo veremos más adelante en la Unidad 8: Aplicaciones de la diagonalización)

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL MARCO TEORICO La parábola es la curva de intersección que se genera al cortar con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz, el foco de la parábola se origina con la esfera tangente al cono y al plano, punto de tangencia de la esfera con el plano es el foco.

Definición de parábola Es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. En la figura el punto F es el foco y la recta D es la directriz, el punto V ,a la mitad del foco y la directriz (pertenece a la parábola) se llama vértice La recta L paralela a la directriz intercepta a la parábola de un punto P y P´ los que son simétricos , y asi ocurre con todos los puntos de ella por esta razón la recta VI que pasa por el vértice y el foco es el bisector perpendicular de PP´ y de todas las cuerdas dibujadas de modo similar .A la recta que pasa por los puntos V y F se le llama eje de la parábola y se dice que la parábola es simétrica respecto a su eje. La ecuación mas simple de la parábola la conseguimos haciendo coincidir el vértice con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el eje de las Abcisas ,de tal manera que la directriz D,tiene ecuación x=-a;por tanto el punto R de ella tiene por coordenadas (-a,y) Simbólicamente: P = { P (x,y)| d (P,r) = d(P,f)} Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora). El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son V(0,0), las del foco F(c,0)y la recta directriz está dada por r:x=–c Las coordenadas de un punto genérico Q que pertenece a la directriz son (–c,y) Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición:

d (P,r) = d (P,F) Distancia entre un punto P y la directriz:

Distancia entre un punto P y el foco:

Las igualamos según lo establece la definición:

Donde los vectores y sus módulos son: PQ = (-c-x,0) PF = (c-x,-y)

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Elementos de una parábola Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz. Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco. Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente. Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola. Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz. Es importante el signo del parámetro. En las parábolas verticales, cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda. Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola. Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2. Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J). Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola. Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F. Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).

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Excentricidad de la parábola Es la sección cónica de excentricidad igual a resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza

ECUACIONES DE LA PARABOLA

MARCO METODOLOGICO Aplicaciones de la Parábola en la ingeniera Otras definiciones

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intercepta a la parábola se llama vértice. Secciones cónicas Circunferencia.  Elipse. Parábola.  Hipérbola.

Ecuación reducida de la parábola Semejanza de todas las parábolas Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes. Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala. Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad esque todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes. Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz. Tangentes a la parábola La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección. Uso de las propiedades de las tangentes para construir una parábola mediante dobleces en papel. Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece: La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección. Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto.Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU
Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas,satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar. Un ejemplo un poco más cercano a nuestras vidas es la aplicación de la teoría de parábolas,en la construcción de puentes de alta resistencia. En la figura adjunta,el cable toma una forma parabólica por dos razones: soporta su propio peso,y el del puente en sí. Esta curvatura se vuelve más notoria conforme avanza más al centro. Otro claro ejemplo es la trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de parábolas. EJERCICIOS Problema 1 Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas: Solución:

Puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX): Ocurre cuando y=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

Como la ecuación de segundo grado está factorizada no es necesario aplicar la fórmula cuadrática. Las soluciones son x=0 y x=1. Luego tenemos dos puntos de corte:

Puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY): Ocurre cuando x=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos CONCLUSIONES

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Una parabola es una línea curva, la cual es muy interesante ya que siempre la distancia entre el foco y la directriz es la misma y el lado recto, es el doble del parámetro (la distancia entre el foco y la directriz). En la Ingeniería es frecuente el uso de las parábolas, ya sea en una construcción de un puente o ya sea en la fabricación de una antena parabólica y otras cosas, la cual requiere la creación de nuevas estructuras matemáticas. La realización de simulaciones acertadas desemboca a veces en una más profunda comprensión de fenómenos físicos y biológicos fundamentales. Esa comprensión luego se contrasta con datos reales, lo cual crea una interacción dinámica entre la matemática y las otras ciencias. BIBLIOGRAFIA - “DESCARTES”, Autor: Pedro José Herrero Piñeyro, . - “El osio de los santos”, . https://aga.frba.utn.edu.ar/parabola/