Calculo Vectorial.docx

1. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto (1, −2,4) y es paralelo a 𝑣 = (2,4, −4)  Graficamos el punto y a 𝑣

 Encontramos las coordenadas y los números directores 𝑥1 = 1 𝑦1 = −2

𝑧1 = 4

𝑎=2 𝑏=4 𝑐 = −4 𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑦 = −2 + 4𝑡 𝑧 = 4 − 4𝑡 → 𝐸𝑐. 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥−1 𝑦+2 𝑧−4 = = → 𝐸𝑐. 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 2 4 −4 2. Hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos 𝑃(−2,1,0) 𝑄(1,3,5) ⃗⃗⃗⃗⃗  Encontramos el vector 𝑃𝑄 = 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (1 + 2,3 − 1,5 − 0) = (3,2,5) → 𝑛𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠  Obtener la ecuación paramétrica 𝑥 = −2 + 3𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 5𝑡 → 𝐸𝑐. 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 3. Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos (2,1,1), (0,4,1) 𝑦 (−2,1,4)  Graficamos los puntos

 Encontramos 𝑢 y 𝑣 𝑢 = (0 − 2,4 − 1, ,1 − 1) = (−2,3,0) 𝑣 = (−2 − 2,1 − 1,4 − 1) = (−4,0,3)  Realizamos el producto vectorial 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = |−2 3 0| = (9 − 0)𝑖 − (−6 − 0)𝑗 + (0 + 12)𝑘 −4 0 3 𝑛 = 9𝑖 + 6𝑗 + 12𝑘  Determinar la ecuación del plano 𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 ) = 0 9(𝑥 − 2) + 6(𝑦 − 1) + 12(𝑧 − 1) = 0 9𝑥 − 18 + 6𝑦 − 6 + 12𝑧 − 12 = 0 9𝑥 + 6𝑦 + 12𝑧 − 36 = 0 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 12 = 0 → 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙  Sustituimos el punto (2,1,1)en la ecuación 3(2) + 2(1) + 4(1) − 12 = 0 0=0 4. Hallar el ángulo entre los 2 planos dados por 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 Ecuación plano 1 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0 Ecuación plano 2 Y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta.  Hallar el ángulo entre ambos lados. 𝑛1 = 〈1 − 2 + 1〉 𝑛2 = 〈2 + 3 − 2〉 |𝑛 ∙𝑛 |

cos 𝜃 = |𝑛 1||𝑛2 | = 1

𝜃 = cos

−1

2

|−6| √17∙√6

=

6 102 √

=

6 10.1

6 (10.1)

𝜃 = 53.55°

 Hallamos la recta de intersección. (−2)(𝑥 − 2𝑦 + 𝑧) = (−2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧)

(−2𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧) + (2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧) = −7𝑦 − 4𝑧 → 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛  producto vectorial 𝑛1 × 𝑛2 𝑖 𝑛1 × 𝑛2 = |1 2

𝑗 𝑘 −2 1 | = (4 − 3)𝑖 − (−2 − 2)𝑗 + (3 + 4)𝑗 3 −2 𝑛1 × 𝑛2 = 𝑖 + 4𝑗 + 7𝑘 → 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠.

𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡 = 0 + 𝑡 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡 = 0 + 4𝑡 𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡 = 0 + 7𝑡 〈𝑡, 4𝑡, 7𝑡〉 → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 5. Hallar la distancia del punto 𝑄(3, −1,4) ala recta dada por 𝑥 = 2 + 3𝑡,𝑦 = −2𝑡, 𝑧 = 1 + 4𝑡 .  Usando los números directores obtenemos un vector de dirección dela recta dada. 𝑈 = 〈3, −2,4〉  Para obtener un punto sobre la recta igualamos a t con el valor cero de la ecuación paramétrica por lo tanto 𝑡 = 0 ecuación paramétrica 𝑃 = 〈−2,0,1〉  Buscar distancia 𝐷=

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝑈| |𝑃𝑄 |𝑈|

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (5, −1,3) 𝐷= 𝐷=

|(5, −1,3)(3, −2 + 4)| √(3)2 + (2)2 + (4)2

13.19 5.39

𝐷 = 2.45

 Hacemos el producto vectorial de 𝑖 𝑗 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 × 𝑈 = |5 −1 3| = (−4 + 6)𝑖 − (20 − 9)𝑗 + (−10 + 3)𝑘 3 −2 4 ⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑈 = 2𝑖 − 11𝑗 − 7𝑘 𝑃𝑄

6. Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por un punto paralelo al vector o recta dada. Puntos

paralela a:

1-(0,0,0)

𝑉 = 〈3,1,5〉

2-(0,0,0)

𝑉 = 〈−2, 2 , 1〉

5

 Grafica

 Solución # 1 𝑥1 = 0

𝑎=3

𝑦1 = 0

𝑏=1

𝑧1 = 0

𝑐=5  Ecuación paramétrica:

𝑥 = 0 + 3𝑡

𝑥 = 3𝑡

𝑦 =0+𝑡

𝑦=𝑡

𝑧 = 0 + 5𝑡

𝑧 = 5𝑡  Ecuación simétrica 𝑥−0 3

=

𝑦−0 1

=

𝑧−0 5

=

𝑥 3

𝑦

𝑧

=1=5

 Solución # 2 𝑥1 = 0

𝑎 = −2

𝑦1 = 0

𝑏=2

𝑧1 = 0

𝑐=1

5

 Ecuación paramétrica 𝑥 = 0 − 2𝑡 5

𝑥 = −2𝑡 5

𝑦 = 0 + 2𝑡

𝑦 = 2𝑡

𝑧 =0+𝑡

𝑧=𝑡  Ecuación simétrica 𝑥−0 −2

=

𝑦−0 5 2

=

𝑧−0 1

=

𝑥 2

7. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos 1- (3. −1,2), (2,1,5), (1, −2, −2) 2- (0,0,0), (2,0,3), (−3, −1,5) Solución # 1

Tomamos como referencia(3, −1,2) 𝑈 = (2 − 3,1 + 1,5 − 2) = (−1,2,3) 𝑉 = (1 − 3, −2 + 1, −2 − 2) = (−2, −1, −4)

=

𝑦 5 2

=

𝑧 1

Producto vectorial de U x V 𝑖 𝑗 𝑘 𝑈 𝑥 𝑉 = |−1 2 3 | = (−8 + 3)𝑖 − (4 + 6)𝑗 + (1 + 4)𝑘 −2 −1 −4 𝑈 𝑥 𝑉 = −5𝑖 − 10𝑗 + 5𝑘 𝑎 = −5, 𝑏 = −10, 𝑐 = 5 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) = (3, −1,2) 𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 ) = 0 −5(𝑥 − 3) − 10(𝑦 + 1) + 5(𝑧 − 2) = 0 −5𝑥 + 15 − 10𝑦 − 10 + 5𝑧 − 10 = 0 Forma general −5𝑥 − 10𝑦 + 5𝑧 − 5 = 0 Forma simplificada Comprobación −5(3) − 10(−1) + 5(2) − 5 = 0 −15 + 10 + 10 − 5 = 0 Solución # 2

Tomamos como referencia(0,0,0) 𝑈 = (2 − 0,0 + 0,5 − 0) = (2,0,3) 𝑉 = (−3 − 0, −1 − 0,5 − 0) = (−3, −1,5)

Producto vectorial de U x V 𝑖 𝑗 𝑘 𝑈𝑥𝑉 =| 2 0 3| = (0 + 5)𝑖 − (10 + 9)𝑗 + (−2 + 0)𝑘 −3 −1 5 𝑈 𝑥 𝑉 = 5𝑖 − 19𝑗 − 2𝑘 𝑎 = 5, 𝑏 = −19, 𝑐 = −2 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) = (0,0,0) 𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 ) = 0 5(𝑥 − 0) − 19(𝑦 + 0) − 2(𝑧 − 0) = 0 5𝑥 − 19𝑦 − 2𝑧 = 0 Forma general Comprobación 5(0) − 19(0) − 2(0) = 0 0+0+0=0