Calculo Tarea 5

Cálculo Vectorial. Lista de Ejercicios ESIME-Z Profra. Blanca Lucía Moreno Ley 6 de junio de 2009

1.

Lea cuidadosamente cada ejercicio, y resuélvalos con detalle y claridad. Cualquier duda que tenga, aclárela a la brevedad posible. ¡Éxito! ,

Integrales de Línea

Problema 1 Calcule

R C

G (x, y) dx y

R C

G (x, y) dy

(a) 4

R 2 R √4−x2

(b) 2

R 2 R √4−x2

(c) 2

R 2 R √4−x2

para la función G (x, y) definida por (a) G (x, y) = 2xy; x = 5 cos t, y = 5 sen t, 0 ≤ t ≤ π/4. (b) G (x, y) = x3 + 2xy 2 + 2x; x = 2t, y = t2 , 0 ≤ t ≤ 1.

0

0

(4 − y) dydx;

−2 0

−2 0

(4 − y) dydx; (4 − y) dxdy.

R Problema 2 Calcule C (2x + y) dx + xy dy entre los puntos Problema 8 Calcule el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones indicadas: (−1, 2) y (2, 5) de la curva C dada por (a) y = x + 3, (b) y = x2 + 1, (c) La unión de los segmentos de recta que unen los puntos (−1, 2) con el (2, 5) y el (2, 2) con (2, 5).

(a) 2x + y + z = 0, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante; (b) z = x + y, x2 + y 2 = 9, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante.


R Problema 3 Calcule C 6x2 + 2y 2 dx + 4xy dy, donde C √ está dada por x = t, y = t y 4 ≤ t ≤ 9.
R Problema 9 Encuentre el área de la región acotada por las gráProblema 4 Calcule C x2 + y 2 dx − 2xy dy para la curva ficas de las ecuaciones polares: √ cerrada C formada por las curvas y = x2 y y = x. Problema 5 Calcule

R C

F · dr, para

(a) F (x, y) = y 3ˆi − x2 yˆj, con r (t) = e−2t ˆi + et ˆj y 0 ≤ t ≤ ln 2; ˆ, con (b) F (x, y, z) = ex ˆi + x exy ˆj + xy exyz z ˆ y 0 ≤ t ≤ 1. r (t) = tˆi + t2ˆj + t3 z Problema 6 Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (2x + e−y ) ˆi + (4y − x e−y ) ˆj a lo largo de la curva y = x4 , desde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1). Problema 7 Considere el sólido acotado por las gráficas x2 + y 2 = 4, z = 4 − y y z = 0. Escoja y calcule la integral correcta que representa al volumen V del sólido: 1

(a) r = 3 + 3 sen θ; (b) r = 8 sen 4θ, un pétalo.

Problema 10 Calcule la integral propuesta mediante un cambio a coordenadas polares:

(a)

R 1 R √1−y2

(b)

R √π R √π−x2

0

0

√ − π

0

dxdy;
sen x2 + y 2 dydx

2.

Teorema de Green

4.

Teorema de Stokes

R Problema 11 Verifique el teorema de Green calculando ambas Problema 17 Utilice el teorema de Stokes para calcular C F · dr. Considere que C tiene dirección positiva. integrales: R R ˆ y C el (a) F = (2z + x) ˆi + (y − z) ˆj + (x + y) k (a) C (x − y) dx+xy dy = R (y + 1) dA, dontriángulo cuyos vértices son (1, 0, 0), (0, 1, 0) de C es el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y y (0, 0, 1); (1, 3); R R (b) C −2y 2 dx + 4xy dy = R 8y dA, donde C (b) F = z 2 y cos xyˆi + z 2 y (1 + cos xy) ˆj + ˆ y C el paralelogramo cuyos vérties la circunferencia x = 3 cos t, y = 3 sen t y 2z sen xy k 0 ≤ t ≤ 2π. ces son (2, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1);. Problema 12 Utilice el teorema de Green para calcular las integrales:

R (a) C x + y 2 dx + 2x2 − y dy, donde C es la frontera de la región limitada por las gráficas de y = x2 y y = 4.

5.

Integrales de Volumen

Problema 18 Calcule las siguientes integrales: R4R2 R1 (a) 2 −2 −1 (x + y + z) dxdydz;   R π/2 R y2 R y x dzdxdy. (b) 0 cos y 0 0

Problema 13 Utilice el teorema de Green para encontrar el trabajo realizado por la fuerza F

Problema 19 Bosqueje la región D cuyo volumen V está dado R R R alrededor de la frontera de la región limitada por la circunferencia por la integral 04 03 02−2z/3 dxdzdy. x2 +y 2 = 1, la circunferencia x2 +y 2 = 4 y restringida al primer cuadrante. Problema 20 Encuentre el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas:

3.

(a) x2 + y 2 = 4, z = x + y, los planos coordenados, el primer octante;

Integrales de Superficie

Problema 14 Encuentre el área de la superficie de la porción de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 que se halla por encima de la región del primer cuadrante acotada por las gráficas x = 0, y = 0 y 4x2 + y 2 = 25. Sugerencia: integre primero con respecto de x.

(b) y = x2 + z 2 , y = 8 − x2 − z 2 ; 2

(c) x = 2, y = x, y = 0, z = x2+y , z = 0.

6.

Problema 15 Encuentre el flujo de F (x, y, z) = zˆ z sobre la superficie del paraboloide z = 5 − x2 − y 2 dentro del cilindro x2 + y 2 = 2x.

Teorema de Gauss

Problema R 21 Utilice el teorema de Gauss para encontrar el flujo ˆ ) dS del campo vectorial indicado: saliente S (F · n ˆ y S es la región acotada (a) F = x3ˆi + y 3ˆj + z 3 k, por la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 ; ˆ y S es la región acotada (b) F = y 3ˆi + x3ˆj p + z 3 k, dentro de z = 4 − x2 − y 2 , x2 + y 2 = 3 y z = 0.

Problema 16 Sea T (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 la función temperatura y sea F = −∇T el campo vectorial del calor. Encuentre el flujo de calor sobre una esfera de radio a centrada en el origen. Sugerencia: el área de la superficie de una esfera de radio a es 4πa2 .

2