Calculo Ii
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- Words: 1,558
- Pages: 78
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI CIMATEC CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM MECATRÔNICA INDUSTRIAL Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
1
Tópicos do Curso (sem stress) •Seqüências e séries •Series de Taylor •Séries de Fourier •Conceito de equações diferenciais a variáveis separáveis •Equações diferenciais lineares a coeficientes constantes •Equação de Bernoulli •Funções multivariáveis •Derivadas parciais •Derivada direcional e gradiente •Integrais múltiplas •O que ocorrer Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
2
Sucessões (seqüências) infinitas
Uma sucessão infinita de números reais é uma função cujo domínio são os naturais. Representação:
an
a1 , a2 ,K , an , an1 ,K Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
3
an n1
Exemplos
1 an n
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
4
Exemplos
1 n
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
5
n1
Exemplos
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6
Definição
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
7
Exemplos
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
8
Exemplos
é divergente
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9
Exemplos
lim
n
n 1 n
5 4 3 2 1 0 1
3
5
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
7
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10
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Resultado
se
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11
Resultado
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12
Exemplo
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13
Demonstração
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14
Resultado
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15
Resultado
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16
Exemplo
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17
Exemplo
e ≥ 0 logo o limite é 0.
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18
Exemplo
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19
Resultado (sucessões limitadas)
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20
Demonstração
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
21
Exemplo
Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
22
Demonstração
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23
Seqüências de Cauchy
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24
Teorema
Uma seqüência converge se e só se ela é uma seqüência de Cauchy.
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25
Demonstração
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26
Demonstração (continuação)
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27
Exemplos
Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:
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28
Exemplos Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:
a) 3/5 b) +∞ c) 0 Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
29
Regra de L’Hospital
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30
Capa do Livro
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31
Teorema de Rolle
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32
Teorema do valor médio
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33
Teorema do valor médio de Cauchy
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34
Regra de L’Hospital simplificada
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35
Demonstração
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36
Equações diferenciais ordinárias
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37
Exemplos
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38
Mais exemplos
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39
Ordem e Grau de uma Equação Diferencial A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo:
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40
Exemplos
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41
Mais exemplos
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42
Sistema massa - mola A lei de Hooke descreve a forma como podemos relacionar a força produzida pela compressão ou distenção da mola,
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43
Pêndulo Consideremos
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44
Campos de direção y’ = x + y e y(0) = 1
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45
Outro exemplo y’ = x2 + y2 - 1 e y(0) = 0
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46
Outro exemplo: circuito RLC
dI L RI E (t ) dt L = 4H, R = 12Ω e E(t) = 60V
dI 15 3I dt Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
t = 0, I = 0 47
Circuito RLC
5A
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48
Método de Euler Usando a mesma ideia básica dos campos de direção, podemos obter aproximações numéricas para as soluções de equações diferenciais. Lembre que, como em integração, nem sempre é possível encontrar uma solução analítica.
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49
Método de Euler
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50
Método de Euler
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51
Método de Euler
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52
Método de Euler
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53
Método de Euler Quando a derivada segunda (curvatura) é grande,
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54
Exemplo: crescimento exponencial
Crescimento exponencial:
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55
Exemplo: crescimento exponencial
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56
Exemplo: crescimento exponencial
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57
Exemplo: crescimento exponencial
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58
Método de Euler
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59
Equações diferenciais separáveis Uma equação separável é aquela na qual a expressão dy/dx pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y. Em outras palavras, Ou, se f(y) ≠ 0,
dy g ( x) f ( y ) dx
dy g ( x) , onde h( y ) 1/ f ( y ) dx h( y )
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60
Equações diferenciais separáveis Temos assim, Exemplo:
h( y)dy g ( x)dx
dy x 2 2 dx y
com condição inicial y(0) = 2
eq:'diff(y,x)=(x^2)/(y^2);
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61
Exemplo (continuação) ode2(eq,y,x);
sol:ic1(%, x=0, y=2);
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62
Gráfico da solução plot2d((x^3+8)^(1/3),[x, -3,3],[y,-3,3]);
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63
Exemplo 2
dy 6x dx 2 y cos( y ) ode2('diff(y,x)=6*(x^2)/(2*y+cos(y)),y,x);
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64
Exemplo y’= x2y ode2('diff(y,x)=(x^2)*y,y,x);
plotdf((x^2)*y, [y,-6,6],[x,-2,2])$ Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
65
Circuito RLC
dI L RI E (t ) dt L = 4H, R = 12Ω e E(t) = 60V
dI 15 3I dt Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
t = 0, I = 0 66
Solução ode2('diff(I,t)=15-3*I,I,t);
sol:ic1(%, t=0, I=0);
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67
Gráfico
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68
Equações lineares de primeira ordem dy P( x) y Q( x) dx
onde P e Q são funções contínuas em um dado intervalo.
Fator integrante, I(x)
I(x)(y’ + P(x)y) = (I(x)y)’ Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
69
Equações lineares de primeira ordem Se I(x) existe, então a equação diferencial fica:
(I(x)y)’=I(x)Q(x) Portanto, I ( x) y I ( x)Q( x)dx C e temos,
1 y ( x) I ( x)
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I ( x ) Q ( x ) dx C
70
Equações lineares de primeira ordem Agora, I(x)(y’ + P(x)y) = (I(x)y)’ implica I(x)y’ + I(x)P(x)y =I’(x)y + I(x)y’ isto é:
dI P( x)dx I(x)P(x) = I’(x) e assim I Portanto,
P ( x ) dx I ( x) Ce
Obs.: o C é irrelevante, vai multiplicar dos dois lados. Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
71
Receita Para resolver a equação diferencial linear y’ + P(x)y = Q(x), multiplique ambos os lados pelo fator integrante
P ( x ) dx I ( x) e
e em seguida integre os dois lados da equação.
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72
Exemplo dy 2 2 3x y 6 x dx
I ( x) e
3 x 2 dx
e
x3
e y 6 x e dx 2e C y 2 Ce x3
2 x3
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x3
73
x3
Exemplo y’ + 2xy=1 2 xdx x2 e e
Resp: y e
x2
e
x2
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dx Ce 74
x2
Equação diferencial de Bernoulli É da forma:
dy n P( x) y Q( x) y dx
Observe que se n = 0 ou 1 a equação de Bernoulli é uma equação linear. 1 n u y a equação se torna Fazendo a substituição
du (1 n) P ( x)u (1 n)Q( x) dx Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
75
Equação diferencial de Bernoulli Daí,
u ( x)
(1 n ) P ( x ) dx e (1 n)Q( x)dx C
com
(1 n ) P ( x ) dx e
yu
1 (1 n )
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76
Exemplo 2 y3 y ' y 2 x x
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77
Continuação
e y ( x) u ( x)
1 (13)
2 1 4 x Cx 5
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78
1 2
FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI CIMATEC CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM MECATRÔNICA INDUSTRIAL Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
1
Tópicos do Curso (sem stress) •Seqüências e séries •Series de Taylor •Séries de Fourier •Conceito de equações diferenciais a variáveis separáveis •Equações diferenciais lineares a coeficientes constantes •Equação de Bernoulli •Funções multivariáveis •Derivadas parciais •Derivada direcional e gradiente •Integrais múltiplas •O que ocorrer Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
2
Sucessões (seqüências) infinitas
Uma sucessão infinita de números reais é uma função cujo domínio são os naturais. Representação:
an
a1 , a2 ,K , an , an1 ,K Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
3
an n1
Exemplos
1 an n
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4
Exemplos
1 n
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5
n1
Exemplos
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6
Definição
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7
Exemplos
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8
Exemplos
é divergente
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9
Exemplos
lim
n
n 1 n
5 4 3 2 1 0 1
3
5
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7
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11
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15
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19
Resultado
se
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11
Resultado
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12
Exemplo
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13
Demonstração
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14
Resultado
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15
Resultado
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16
Exemplo
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17
Exemplo
e ≥ 0 logo o limite é 0.
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18
Exemplo
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19
Resultado (sucessões limitadas)
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20
Demonstração
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21
Exemplo
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22
Demonstração
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23
Seqüências de Cauchy
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24
Teorema
Uma seqüência converge se e só se ela é uma seqüência de Cauchy.
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25
Demonstração
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26
Demonstração (continuação)
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27
Exemplos
Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:
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28
Exemplos Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:
a) 3/5 b) +∞ c) 0 Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
29
Regra de L’Hospital
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30
Capa do Livro
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31
Teorema de Rolle
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32
Teorema do valor médio
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33
Teorema do valor médio de Cauchy
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34
Regra de L’Hospital simplificada
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35
Demonstração
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Equações diferenciais ordinárias
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37
Exemplos
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38
Mais exemplos
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39
Ordem e Grau de uma Equação Diferencial A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo:
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40
Exemplos
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41
Mais exemplos
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42
Sistema massa - mola A lei de Hooke descreve a forma como podemos relacionar a força produzida pela compressão ou distenção da mola,
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43
Pêndulo Consideremos
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44
Campos de direção y’ = x + y e y(0) = 1
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45
Outro exemplo y’ = x2 + y2 - 1 e y(0) = 0
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46
Outro exemplo: circuito RLC
dI L RI E (t ) dt L = 4H, R = 12Ω e E(t) = 60V
dI 15 3I dt Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
t = 0, I = 0 47
Circuito RLC
5A
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48
Método de Euler Usando a mesma ideia básica dos campos de direção, podemos obter aproximações numéricas para as soluções de equações diferenciais. Lembre que, como em integração, nem sempre é possível encontrar uma solução analítica.
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49
Método de Euler
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50
Método de Euler
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51
Método de Euler
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52
Método de Euler
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53
Método de Euler Quando a derivada segunda (curvatura) é grande,
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54
Exemplo: crescimento exponencial
Crescimento exponencial:
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55
Exemplo: crescimento exponencial
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56
Exemplo: crescimento exponencial
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57
Exemplo: crescimento exponencial
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58
Método de Euler
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59
Equações diferenciais separáveis Uma equação separável é aquela na qual a expressão dy/dx pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y. Em outras palavras, Ou, se f(y) ≠ 0,
dy g ( x) f ( y ) dx
dy g ( x) , onde h( y ) 1/ f ( y ) dx h( y )
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60
Equações diferenciais separáveis Temos assim, Exemplo:
h( y)dy g ( x)dx
dy x 2 2 dx y
com condição inicial y(0) = 2
eq:'diff(y,x)=(x^2)/(y^2);
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61
Exemplo (continuação) ode2(eq,y,x);
sol:ic1(%, x=0, y=2);
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62
Gráfico da solução plot2d((x^3+8)^(1/3),[x, -3,3],[y,-3,3]);
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63
Exemplo 2
dy 6x dx 2 y cos( y ) ode2('diff(y,x)=6*(x^2)/(2*y+cos(y)),y,x);
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64
Exemplo y’= x2y ode2('diff(y,x)=(x^2)*y,y,x);
plotdf((x^2)*y, [y,-6,6],[x,-2,2])$ Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
65
Circuito RLC
dI L RI E (t ) dt L = 4H, R = 12Ω e E(t) = 60V
dI 15 3I dt Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
t = 0, I = 0 66
Solução ode2('diff(I,t)=15-3*I,I,t);
sol:ic1(%, t=0, I=0);
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67
Gráfico
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68
Equações lineares de primeira ordem dy P( x) y Q( x) dx
onde P e Q são funções contínuas em um dado intervalo.
Fator integrante, I(x)
I(x)(y’ + P(x)y) = (I(x)y)’ Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
69
Equações lineares de primeira ordem Se I(x) existe, então a equação diferencial fica:
(I(x)y)’=I(x)Q(x) Portanto, I ( x) y I ( x)Q( x)dx C e temos,
1 y ( x) I ( x)
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I ( x ) Q ( x ) dx C
70
Equações lineares de primeira ordem Agora, I(x)(y’ + P(x)y) = (I(x)y)’ implica I(x)y’ + I(x)P(x)y =I’(x)y + I(x)y’ isto é:
dI P( x)dx I(x)P(x) = I’(x) e assim I Portanto,
P ( x ) dx I ( x) Ce
Obs.: o C é irrelevante, vai multiplicar dos dois lados. Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
71
Receita Para resolver a equação diferencial linear y’ + P(x)y = Q(x), multiplique ambos os lados pelo fator integrante
P ( x ) dx I ( x) e
e em seguida integre os dois lados da equação.
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72
Exemplo dy 2 2 3x y 6 x dx
I ( x) e
3 x 2 dx
e
x3
e y 6 x e dx 2e C y 2 Ce x3
2 x3
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x3
73
x3
Exemplo y’ + 2xy=1 2 xdx x2 e e
Resp: y e
x2
e
x2
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dx Ce 74
x2
Equação diferencial de Bernoulli É da forma:
dy n P( x) y Q( x) y dx
Observe que se n = 0 ou 1 a equação de Bernoulli é uma equação linear. 1 n u y a equação se torna Fazendo a substituição
du (1 n) P ( x)u (1 n)Q( x) dx Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
75
Equação diferencial de Bernoulli Daí,
u ( x)
(1 n ) P ( x ) dx e (1 n)Q( x)dx C
com
(1 n ) P ( x ) dx e
yu
1 (1 n )
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76
Exemplo 2 y3 y ' y 2 x x
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77
Continuação
e y ( x) u ( x)
1 (13)
2 1 4 x Cx 5
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