Calculo Ejercicios 11.5.docx

ASIGNATURA: CALCULO DIFERENCIAL

TALLER EJERCICIOS 11.5

PRESENTA: EDINSON JUNIOR BAZA ROJAS ID 636386

DOCENTE: Dickson Londoño

BARRANQUILLA – COLOMBIA

Solución al taller Punto 1. Costo Marginal 𝐶(𝑥) = 100 + 2𝑥 -> 𝐶´(𝑥) = 2 El cual sería costo marginal

Punto 2. 𝐶(𝑥) = 40 + (𝐿𝑛 2)𝑥² -> 𝐶´(𝑥) = 0 + 𝑙𝑛2(2𝑥) = 2𝑥 · 𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛2²𝑥 𝐶´(𝑥) = 𝑙𝑛2²𝑥 El cual sería costo marginal

Punto 3. 𝐶(𝑥) = 0.0001𝑥 3 − 0.09𝑥 2 + 20𝑥 + 1200 → 𝐶´(𝑥) = 3(0.0001)𝑥 2 − 2(0.09)𝑥 + 20 + 0 → 𝐶´(𝑥) = 0.0003𝑥 2 − 0.18𝑥 + 20 El cual sería costo marginal

Punto 4. 𝐶(𝑥) = 10−6 𝑥 3 − (3 ∗ 10−3 )𝑥 2 + 36𝑥 + 2000 → 𝐶´(𝑥) = 3(10−6 )𝑥 2 − 2(3 ∗ 10−3 )𝑥 + 36 + 0 → 𝐶´(𝑥) = 0.000003𝑥 2 − 0.006𝑥 + 36 sería costo marginal

o

→ 𝐶´(𝑥) = 3 ∗ 10−6 𝑥 2 − 6 ∗ 10−3 𝑥 + 36

Punto 5. Ingreso Marginal 𝑅(𝑥) = 𝑥 − 0.01𝑥 2 → 𝑅´(𝑥) = 1 − 2(0.01)𝑥 = 1 − 0.02𝑥 → 𝑅´(𝑥) = 1 − 0.02𝑥 El cuál sería el ingreso marginal

Punto 6. 𝑅(𝑥) = 5𝑥 − 0.01𝑥 5/2 5

3

→ 𝑅´(𝑥) = 5 − 3(0.01)𝑥 2−1 = 5 − 0.05𝑥 2 3

→ 𝑅´(𝑥) = 5 − 0.05𝑥 2 El cuál sería el ingreso marginal

Punto 7. 𝑅(𝑥) = 0.1𝑥 − 10−3 𝑥 2 − 10−5 𝑥 5/2 5

→ 𝑅(𝑥) = 0.1 − 2(10−3 )𝑥 − 5/2(10−5 )𝑥 2−1 → 𝑅(𝑥) = 0.1 − 0.002𝑥 − 0.000025𝑥 3/2

El cual

Punto 8. 𝑅(𝑥) = 100𝑥 − (𝑙𝑛5)𝑥 3 (√𝑥) → 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[(𝑥 3 )´(1 + (√𝑥) + (𝑥 3 ) (1 + (√𝑥)) ´ ] 1

→ 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[3𝑥²(1 + (√𝑥) + (𝑥 3 ) (1/2 (𝑥 2−1 ) ] x³ → 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[3𝑥²(1 + (√𝑥) + 2 √𝑥 (2√𝑥)(3𝑥 2 )(1 + √𝑥) + 𝑥³ → 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[ 2√𝑥 6𝑥²√𝑥(1 + √𝑥) + 𝑥³ → 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[ 2√𝑥 6𝑥 2+1/2 (1 + √𝑥) + 𝑥³ → 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[ 2√𝑥 6𝑥 5/2 (1 + √𝑥) + 𝑥³ → 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[ 2√𝑥 6𝑥 5/2 (1+√𝑥)+𝑥³

→ 𝑅´(𝑥) = 100 − 𝑙𝑛5[

]

2√𝑥

Punto 9. 𝑥 + 4𝑝 = 100 → 4𝑝 = 100 − 𝑥 → 𝑝 =

100 4

−

100 4

𝑥

𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 = 𝑥(25 − 4) → 𝑅(𝑥) = 25𝑥 − → 𝑅´(𝑥) = 25 −

𝑥 4

2𝑥 4 𝑥

→ 𝑅´(𝑥) = 25 − 2 → 𝑅´(𝑥) =

50−𝑥 2

Simplificamos →

25 1

𝑥

∗2=

𝑥

→ 𝑝 = 25 − 4

50−𝑥 2

El cuál sería el ingreso marginal

Punto 10. √𝑥 + 𝑝 = 10

→ 𝑝 = 10 − √𝑥

→ 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 = 𝑥(10 − √𝑥) → 𝑅´(𝑥) = (𝑥)´(10 − √𝑥) + (𝑥)(10 − √𝑥)´ 1 1 → 𝑅´(𝑥) = (1)(10 − √𝑥) + (𝑥) [0 − (𝑥)2−1 (1)] 2

−1 → 𝑅´(𝑥) = (10 − √𝑥) + (𝑥)( ) 2√𝑥 → 𝑅´(𝑥) = (10 − √𝑥) − → 𝑅´(𝑥) =

𝑥 2√𝑥

(2√𝑥)(10 − √𝑥) − 𝑥 2√𝑥 1 1

→ 𝑅´(𝑥) = → 𝑅´(𝑥) =

20√𝑥 − 2𝑥 2+2 − 𝑥 2√𝑥 20√𝑥−3𝑥 2√𝑥

queda así: 𝑅´(𝑥) =

=

→ 𝑅´(𝑥) = 20−3√𝑥 2

=

20√𝑥 − (2√𝑥)(√𝑥) − 𝑥 2√𝑥

20√𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 2√𝑥 √𝑥(20−3√𝑥) cancelamos raíces de x y la función de ingreso marginal 2√𝑥

Punto 11. 3

𝑥 2 + 50𝑝 = 1000 Cuando p=16

𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 = 𝑥 · 16 = 16𝑥 → 𝑅´(𝑥) = 16

𝑥 3/2 + 50𝑝 = 100 → 50𝑝 = 1000 − 𝑥 3/2 3

𝑥2

→ 𝑃(𝑥) = 1000 − 50 = 20 −

3

𝑥 3/2 50

3

𝑥2 𝑥 2+1 𝑥 5/2 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝(𝑥) = 𝑥 (20 − ) = 20𝑥 − = 20𝑥 − 50 50 50 𝑥 5/2 𝑅(𝑥) = 20𝑥 − 50 → 𝑅(𝑥) = 20 −

1 50 1

5 5−1 ( ·𝑥 2 ) 2 5

5

→ 𝑅´(𝑥) = 20 − 50 · 2 · 𝑥 3/2 → 𝑅´(𝑥) = 20 − 100 𝑥 3/2 3

→ 𝑅´(𝑥) = 20 − 0.05𝑥 2

Luego, 𝑥 3 + 50𝑝 = 100 Pero p vale 16 → 𝑥 3 = 1000 + 50𝑝 3

3

→ 𝑥 = √(1000 − 50𝑝)² 3

→ 𝑥 = √[1000 − 50(16)²] 3

3 𝑥 = √(1000 − 800)² → √(200)² → √40000

𝑥 = 34.19

Entonces, 𝑅´(𝑥) = 20 − 0.05𝑥 3/2 𝑅´(𝑥) = 20 − 0.05 √𝑥 3 𝑅´(𝑥) = 20 − 0.05 √(34.19)³ 𝑅´(𝑥) = 20 − 0.05 √39966,60 𝑅´(𝑥) = 20 − (0.05)(199.9)² 𝑅´(𝑥) = 20 − 9,995 𝑅´(𝑥) = 10,005

Punto 12. 10𝑝 + 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700

Cuando p = 10

→ 10(10) + 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700 → 100 + 𝑥 + 0.01𝑥 2 − 700 = 0 → 0.01𝑥 2 + 𝑥 − 700 + 100 = 0 → 0.01𝑥 2 + 𝑥 − 600 = 0 Formula General Cuadrática: 𝑥=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

a= 0.01

b=1

c= -600

→𝑥=

−1 ± √(1)2 − 4(0.01)(−600) 2(0.01)

→𝑥=

−1 ± √1 + 24 −1 ± √25 −1 ± 5 = = 0.02 0.02 0.02

𝑥1 =

−1 + 5 4 = = 200 0.02 0.02

𝑥2 =

−1 − 5 −6 = = −300 0.02 0.02

Tomando 𝑥1 = 200 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝(𝑥) 𝑃(𝑥) =

−0.01𝑥 2 − 𝑥 + 700 10

→ 𝑃(𝑥) =

−0.01𝑥² 𝑥 700 − + 10 10 10

→ 𝑃(𝑥) = −0.001𝑥 2 − 0.1𝑥 + 70 => 𝑃(𝑥) = 𝑥 · 𝑝(𝑥) = 𝑥(−0.001𝑥 2 − 0.1𝑥 + 70) → 𝑅(𝑥) = 0.001𝑥 3 − 0.1𝑥 2 + 70𝑥 → 𝑅´(𝑥) = −0.003𝑥 2 + 0.2𝑥 + 70 Función de ingreso

Evaluando 𝑥 = 200 → 𝑅(𝑥) = −0.003(200)3 − 0.2(200) + 70 → 𝑅(𝑥) = −0.003(8000000) − 40 + 70 → 𝑅(𝑥) = −24000 − 40 + 70 → 𝑅(𝑥) = −23970

Punto 13.

𝐶(𝑥) = 100 + 5𝑥 𝑥 + 4𝑝 = 100 → 𝑝 =

100−𝑥 4

𝑥 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 = 𝑥 (25 − ) 4 → 𝑅(𝑥) = 25𝑥 −

𝑥2 4

→𝑝=

100 𝑥 −4 4

→ 𝑝 = 25 −

4

El cuál sería la función de ingreso

Luego, 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) Para hallar la utilidad generada → 𝑃(𝑥) = (25𝑥 −

→ 𝑃(𝑥) = −

𝑥2 ) − 100 + 5𝑥 4

𝑥2 + 25𝑥 + 5𝑥 − 100 4

𝑥2 → 𝑃(𝑥) = − + 30𝑥 − 100 4

𝑥² 4

→ 𝑃´(𝑥) = −

2𝑥 4

+ 30 − 0 Simplificamos

𝑥

→ 𝑃´(𝑥) = − 4 + 30 − 0 Esto sería la utilidad marginal

Punto 14. √𝑥 + 𝑝 = 10 → 𝑝 = 10 − √𝑥 𝐶(𝑥) = 60 + 𝑥 → 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 = 𝑥(10 − √𝑥) → 𝑅(𝑥) = 𝑥(10 − √𝑥) El cuál sería la función ingreso Luego, 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥)

→ 𝑃(𝑥) = 𝑥(10 − √𝑥) − (60 + 𝑥) → 𝑃(𝑥) = 10𝑥 + (𝑥)(√𝑥) − 60 + 𝑥 → 𝑃(𝑥) = 10𝑥 + 𝑥 − 𝑥 1+1/2 − 60 → 𝑃(𝑥) = 9𝑥 − 𝑥 3/2 − 60 3

→ 𝑃(𝑥) = −𝑥 2 + 9𝑥 − 60 𝑃´(𝑥) =

−3 3−1 𝑥2 + 9 − 0 2

→ 𝑃´(𝑥) =

−3 3 −3 3 √𝑥 + 9 𝑥2 + 9 = 2 2

→ 𝑃´(𝑥) =

−3 √𝑥 3 2

+ 9 la cuál sería la utilidad marginal

Punto 15. 𝑥 3/2 + 50𝑝 = 1000 A) P=16

𝐶(𝑥) = 50 + 𝑥 3/2

b) x=25

𝑥 3/2 + 50𝑝 = 1000

→𝑃=

100−𝑥 3/2 50

→𝑃=

100 𝑥 3/2 − 50 50

𝑥 3/2 𝑃 = 20 − 50 3

3

𝑥2 𝑥 2+1 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 = 𝑥 (20 − ) = 20𝑥 − 50 50 𝑥 5/2 50

→ 𝑅(𝑥) = 20𝑥 − Luego,

𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 5

𝑥2 𝑃(𝑥) = 20𝑥 − − 50 + 𝑥 3/2 50 5

3 𝑥2 𝑃(𝑥) = − + 𝑥 2 + 20𝑥 − 50 50 5

3

𝑃(𝑥) = −0.02𝑥 2 + 𝑥 2 + 20𝑥 − 50 Por tanto, 3 5 5 𝑃´(𝑥) = (−0.02)( )𝑥 2−1 + 3𝑥 2−1 + 20𝑥 − 0 2 3

→ 𝑃´(𝑥) = 0.05𝑥 2 + 1.5𝑥 1/2 + 20 a) Cuando p vale 16 𝑥 3/2 + 50𝑝 = 1000 3

3

→ 𝑥 = 3√(1000 − 50𝑝)² = √(1000 − (50)(16)]² = √(1000 − 800)² 3

3

→ 𝑥 = √(200)2 = √40000 → 𝑥 = 34.19 Luego en 𝑃´(𝑥) reemplazamos 𝑥 = 34.19 𝑃´(𝑥) = −0.05√𝑥 3 + 1.5√𝑥 + 20

→ 𝑃´(16) = −0.05√(34.19)3 + 1.5√34.19 + 20 → 𝑃´(16) = −0.05√39966.60 + (1.5)(5.84) + 20 → 𝑃´(16) = (−0.05)(199.91) + 8.76 + 20 → 𝑃´(16) = −9.9955 + 28.76 → 𝑃´(16) = 18.76

b) Cuando 𝑥 = 25 c) d) e) f)

→ 𝑃´(25) = −0.05√(25)3 + 1.5√25 + 20 → 𝑃´(25) = (−0.05)(√15625) + (1.5)(5) + 20 → 𝑃´(25) = −6.25 + 27.5 → 𝑃´(25) = 21.25

Punto 16. 10𝑝 + 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700

𝐶(𝑥) = 1000 + 0.01𝑥²

Cuando P vale 10 Teniendo en cuenta el ejercicio 12 la función de ingreso está dada de la siguiente forma: 𝑅(𝑥) = 25𝑥 −

𝑥² Entonces 4

𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) → 𝑃(𝑥) = 25𝑥 −

𝑥2 − (1000 + 0.01𝑥 2 ) 4

𝑥2 → 𝑃(𝑥) = 25𝑥 − − 1000 + 0.01𝑥 2 4 → 𝑃(𝑥) = 25𝑥 − 0.25𝑥² − 1000 + 0.01𝑥 2 → 𝑃(𝑥) = −0.26𝑥 2 + 25𝑥 − 1000 → 𝑃´(𝑥) = −0.52𝑥 + 25 Utilidad marginal

A) Cuando 𝑥 = 100 → 𝑃´(𝑥) = (−0.52)(100) + 25 → 𝑃´(100) = −52 + 25 → 𝑃´(100) = −27 B) P=10 10𝑝 + 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700

10(10) + 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700 100 + 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700 → 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 700 − 100 → 𝑥 + 0.01𝑥 2 = 600 → 0.01𝑥 2 + 𝑥 − 600 = 0

𝑥=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

a= 0.01

b=1

c= -600

→𝑥=

−1 ± √(1)2 − 4(0.01)(−600) 2(0.01)

→𝑥=

−1 ± √1 + 24 −1 ± √25 −1 ± 5 = = 0.02 0.02 0.02

𝑥1 =

−1 + 5 4 = = 200 0.02 0.02

𝑥2 =

−1 − 5 −6 = = −300 0.02 0.02

Reemplazando 𝑥1 = 200 en 𝑃´(𝑥) = 0.52𝑥 + 25 → 𝑃´(𝑥) = (−0.52)(200) + 25 => 𝑃(200) = −104 + 25 → 𝑃(200) = −79

Punto 17-18 A) Punto 17 𝑥 =?

𝑃´(𝑥) = 0

𝑃´(𝑥) =

−𝑥 2

−𝑥 2

= −30

+ 30

→0=

−𝑥 2

+ 30

→ −𝑥 = 2(−30) = −60 cancelamos signos negativos de x y del resultado y

quedaría: 𝑥 = 60 𝑃(𝑥) =

−𝑥² + 30𝑥 − 100 4

𝑃(60) =

(−60)2 + 30(60) − 100 4

𝑃(60) = −900 + 1800 − 100 𝑃(60) = 800

b) Punto 18 𝑥 =?

𝑃´(𝑥) = 0 3

𝑃´(𝑥) = 𝑥 3/2 + 9𝑥 − 60 3

→ 0 = −𝑥 2 + 9𝑥 − 60

3

−𝑥 2 = 60 − 9𝑥

→ 𝑥 2 = −60 + 9𝑥

→ 𝑥 = √9𝑥 − 60

Punto 19. 𝑝1 = 4

𝑝2 = 5

𝑥1 = 100

𝑥2 = 80

𝑚=

𝑝2 − 𝑝1 5−4 −1 = = 𝑥2 − 𝑥1 80 − 100 20

Luego: 𝑃 − 𝑝2 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) →𝑃−4=

−1 (𝑥 − 100) 20

→𝑃−4=

−𝑥 20

→𝑃=

−𝑥 20

+

100 20

→𝑃−4=

+ 5+4 → 𝑃 =

−𝑥 20

−𝑥 20

+9

Entonces: −𝑥 𝑅(𝑥) = 𝑥 · 𝑝 → 𝑅(𝑥) = 𝑥 ( + 9𝑥) 20 𝑅´(𝑥) =

−2 𝑥 20

+ 9 Ingreso Marginal

𝑅´(𝑥) = 0 0=

−2 (−9)(20) 𝑥+9 →𝑥 = 20 −2

𝑥=

−180 Se −2

𝑥 = 90

cancelan signos

+5