Calculo Diferencial_portafolio.docx

INSTITUTO TECONOLOGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN.

INGENIERIA QUÍMICA

DOCENTE

MTI. RAZOMEL CRUZ IZQUIERDO

CALCULO DIFERENCIAL EQUIPOS 1 Y 2 PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS. 1ER SEMESTRE GRUPO 109A

OCTUBRE 2018 ACAYUCAN, VERACRUZ.

1. NÚMEROS REALES. Se llama real a un número que puede ser racional e irracional, por lo tanto, este conjunto de números es la unión del conjunto de los números racionales (fracciones) y el conjunto de los números irracionales (no pueden expresarse como fracción). Los números reales cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real, y se designan con el símbolo R. Características de los números reales:  El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta.  El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos o finitos periódicos o no periódicos. En la recta real se simbolizan los números reales, a cada punto de la recta le compete un número real y a cada número real le compete un punto en la recta, como consecuencia no se puede hablar del siguiente en un número real como en el caso de los números naturales. Los números racionales se sitúan en la recta numérica de tal manera de que, en cada tramo, por pequeño que sea hay infinitos. Sin embargo y aunque parezca extraño, hay infinitos huecos que son ocupados por los números irracionales. Por tanto, entre dos números reales cualesquiera, X e Y existen infinitos racionales e infinitos irracionales, entre todos llenan la recta. Operaciones con números reales: Las formas de hacer las operaciones con números reales dependen de como estén representados los números. Si todos los operados son números racionales, se realizan las operaciones utilizando fracciones. Si hay que operacional izar con irracionales la única forma de manejar valores exactos es dejándolos como está. Si hay que operacional izar numéricamente habrá que usar sus representaciones decimales y como son decimales infinitos el resultado solo podrá darse de forma cercana. Aproximación por defecto o por exceso: La aproximación de los números irracionales en su representación decimal puede ser: Por defecto: si el valor que se va aproximar es menor que el número.

Por exceso: si el valor que se va aproximar es mayor Por ejemplo, para el numero π las aproximaciones por defecto son 3 <3,1< 3,14< 3,141 y por exceso 3,1416<3,142< 3,15< 3,2. Aproximación por redondeo o por truncamiento:

Las cifras significativas son todas aquellas que se utilizan para expresar un número aproximado, hay dos formas de aproximar números: Por redondeo: si la primera cifra no significativa es 0,1,2,3,4 la anterior permanece igual, en cambio sí es 5,6,7,8,9 la cifra anterior se aumenta en una unidad, por ejemplo: 3,74281≈ 3,74 y 4,29612 ≈ 4,30. Aproximación por truncamiento: se eliminan las cifras no significativas, por ejemplo: 3,74281≈3,74 y 4,29612 ≈ 4,29. Notación científica: Cuando se quiere expresar números reales muy grandes o muy pequeños se usa la notación científica:   

La parte entera formada por una sola cifra, que no puede ser 0. El resto de las cifras significativas se escriben como parte decimal. Una potencia de base diez que da el orden de magnitud del número.

Es importante recalcar que en la notación científica si el exponente es positivo el número es grande y si es negativo el número es pequeño ejemplo: 6,25 x 1011= 625.000.000.000.

1.2

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES.

Axiomas de cuerpo Asumimos la existencia de dos operaciones, llamadas suma y producto, tales que a cada par de números reales x e y la suma x + y y el producto xy son números reales unívocamente

determinados por x e y y satisfacen los siguientes axiomas: Axiomas de la suma    

S1. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R. S2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R. S3. Existe un elemento de R, denotado por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R. S4. Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que x + y = 0. Axiomas del producto



 P1. (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ R.  P2. xy = yx para todo x, y ∈ R.  P3. Existe un elemento de R, distinto de 0, que denotaremos por 1 tal que 1x = x1 = x  para todo x ∈ R. P4. Para cada x ∈ R tal que no sea cero, existe un y ∈ R tal que xy = 1.

Axioma de distributividad D. Para todo x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz. Axiomas de orden Asumimos la existencia de una relación ≤ que establece un orden entre los números reales y satisface los siguientes axiomas:      

O1. Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y. O2. Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z. O3. Para todo x, y ∈ R, x ≤ y ´o y ≤ x. SO. Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z para todo z ∈ R. PO. Si 0 ≤ x y 0 ≤ y, entonces 0 ≤ xy. Definición: x < y si x 6= y y x ≤ y.

Axioma de completitud 

C. Si A ⊂ R, A 6= ∅, es acotado superiormente, entonces tiene supremo en R.

Teorema: (Arquimedianidad) Para todo x > 0 e y ∈ R existe n ∈ N tal que nx > y

1.3

INTERVALOS Y REPRESENTACIÓN GRAFICA.

Un intervalo de números reales es el conjunto de números que se encuentran entre dos de dados; estos dos números pueden estar o no en dicho conjunto. Debe tenerse en cuenta que se trata de números reales y, por lo tanto, por ejemplo, el intervalo cerrado [-5,5] contiene todos los números reales entre el -5 y el 5, ambos incluidos. Así, estos números pertenecen a dicho intervalo: −2√,−1,0,12,2√,1.8643,3,4.223⌢,5 Los intervalos pueden ser cerrados o abiertos, según si incluyen (cerrados) o no (abiertos) sus extremos. Así, un intervalo abierto no incluye sus extremos; por ejemplo, (−2,3) es un intervalo abierto, ya que -2 y 3 no pertenecen a este intervalo. un intervalo cerrado incluye sus extremos; por ejemplo, [−2,3] es un intervalo cerrado, y -2 y 3 pertenecen a este intervalo. un intervalo abierto por un extremo no lo incluye, mientras que un intervalo cerrado por un extremo lo incluye. Por ejemplo, [−2,3) es un intervalo abierto por la derecha, y cerrado por la izquierda, ya que 3 no pertenece al intervalo, mientras que -2 sí que pertenece. Gráficamente, se pueden representar así estos intervalos (básicamente, poniendo un punto en el/los extremo/s en los que el intervalo sea cerrado):

Algunos intervalos no están limitados por un extremo; en este caso, en el extremo correspondiente se pone −∞ o +∞ (menos infinito o más infinito), indicando que por ese extremo el intervalo no tiene límite. Para el infinito, además, siempre se usa un paréntesis (ya que evidentemente, el infinito no pertenece al intervalo). Por ejemplo,

(−∞,4] es el intervalo de todos los números menores que 4, éste incluido.

(3,∞) es el intervalo que contiene todos los números a partir del 3, sin incluirlo.

1.4

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES.

En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

En otras palabras, quiere decir... simplemente qué distancia hay de un número a cero:

"6" está a 6 de cero, y "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6

Más ejemplos:   

El valor absoluto de -9 es 9 El valor absoluto de 3 es 3 El valor absoluto de -156 es 156

Sus propiedades son. No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo. Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

|x|=0x=0 Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado. | xy| = | x | | y | Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números. | x + y| = | x | + | y | En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son: Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo. |-x|=x

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Nos dice que “El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero” Identidad de Indiscernibles. Nos dice que “Cuando el valor absoluto de una adición de dos números es 0 entonces o bien y son el mismo número o son opuestos uno del otro”. Propiedad aditiva Nos dice que “El valor absoluto de una suma de dos números es menor o igual a la suma de los valores absolutos”. Equivalente a la propiedad aditiva Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos números es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de los valores absolutos”. Desigualdad triangular Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos números es menor o igual a el valor absoluto de la resta del primer número menos el tercero más el valor absoluto de la resta del tercero menos el segundo”

1.5 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

a) Transitividad Para números reales arbitrarios a, b y c: Si a > b y b > c entonces a > c. Si a < b y b < c entonces a < c. Si a > b y b = c entonces a > c. Si a < b y b = c entonces a < c. b) Adición y sustracción Para números reales arbitrarios a, b y c: Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c. Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c. c) Multiplicación y división Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero: Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c. Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c. d) Opuesto Para números reales arbitrarios a y b: Si a < b entonces −a > −b. Si a > b entonces −a < −b. e) Recíproco Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

Si a < b entonces 1/a > 1/b. Si a > b entonces 1/a < 1/b. Si a y b son de distinto signo: Si a < b entonces 1/a < 1/b. Si a > b entonces 1/a > 1/b.

1.6 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Desigualdades de primer grado con una incógnita Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales. Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad. Como veremos en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa.

Desigualdades de segundo grado con una incógnita Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales. De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando. Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por

números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raíz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos. El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación sobre la recta numérica.

DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ejemplos 1) 3x – 5 ≥ 5x + 15  Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad 3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5 3x ≥ 5x + 20  Restamos 5x en ambos lados 3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x -2x ≥ 20  Multiplicamos ambos lados por -1/2 * -1/2(-2x) ≤ -1/2(20) x ≤ -10 * La dirección de la desigualdad cambia al multiplicar por un número negativo. El resultado es el intervalo (-∞ , -10]2) (1/3)x + 1/2 < -2x + 1  Restamos 1/2 a los dos lados (1/3)x + 1/2 – 1/2 < -2x + 1 – 1/2 (1/3)x < -2x + 1/2  Sumamos 2x en ambos lados (1/3)x + 2x < -2x + 1/2 + 2x (7/3)x < 1/2  Multiplicamos a los dos lados por 3/7 3/7(7/3)x < 3/7(1/2) x < 3/14

Nótese que en este caso no hubo cambio de dirección de la desigualdad por que la multiplicación fue por un número positivo. El resultado es el intervalo (-∞, 3/14)

DESIGUALDADES DE CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA. 3) x2 > 3x + 4  Primero expresamos la desigualdad como una ecuación y resolvemos. x2 = 3x + 4  Restamos (3x + 4) a los dos lados para que uno de los lados quede con valor cero. x2 – (3x + 4) = 3x + 4 – (3x + 4) x2 – 3x – 4 = 0 Como obtuvimos un trinomio cuadrado, lo podemos resolver por fórmula general o por factorización. En este caso utilizaremos la factorización. (x + 1)(x – 4) = 0  Separamos cada uno de los factores y los solucionamos Primer factor x+1=0 x1 = -1 Segundo factor x–4=0 x2 = 4 Ubicamos los dos factores sobre la reta numérica para identificar los tres intervalos que se forman Evaluamos un elemento de cada intervalo para identificar cuales hacen verdadera a la desigualdad  Del intervalo (-∞ , -1) evaluaremos el -2 (-2)2 > 3(-2) + 4 4 > -2 VERDADERO  Del intervalo (-1 , 4) evaluaremos el 0 02 > 3(0) + 4 0 > 4 FALSO

 Del intervalo (4 , ∞) evaluaremos el 5 52 > 3(5) + 4 25 > 19 VERDADERO La solución de la desigualdad es entonces: (-&infin , -1) U (4 , ∞)4) -4x2 + x + 5 ≥ 0 Cambiamos el signo de desigualdad por el signo de igual y revolvemos. En este caso utilizaremos la fórmula general (No la desarrollaremos aquí, solo utilizaremos los resultados que nos da) x1 = -1 y x2 = 5/4 Obtenemos los 3 intervalos Evaluamos un elemento de cada intervalo para identificar cuales hacen verdadera a la desigualdad  Del intervalo (-∞ , -1] evaluaremos el -3 -4(-3)2 + (-3) + 5 ≥ 0 -34 ≥ 0 FALSO

 Del intervalo [-1 , 5/4] evaluaremos el 1 -4(1)2 + 1 + 5 ≥ 0 2 ≥ 0 VERDADERO

 Del intervalo [5/4 , ∞) evaluaremos el 2 -4(2)2 + 2 + 5 ≥ 0 -9 ≥ 0 FALSO

 La solución de la desigualdad es entonces: [-1 , 5/4]

1.7 RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {X|-4<X<4}. Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.  Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.  Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a > - b. Ejemplo. Resuelva y grafique | x – 7| < 3. Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10

I.

Actividades de aprendizaje.

Números reales. Los números reales, denotados como (R), incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales.

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común la que cumple las siguientes propiedades: 1. Cerradura en la suma. Si x, y∈R, entonces x+y∈R. 2. Conmutatividad bajo la suma. Si x, y∈R, entonces x+y=y+x. 3. Asociatividad en la suma. Si x, y, z∈R, entonces (x+y)+z=x+(y+z). 4. Neutro aditivo. Existe un real r∈R de manera que x+r=x. 5. Inverso aditivo. Para cada x∈R, existe y∈R tal que x+y=0. 6. Cerradura en la multiplicación. Si x, y∈R, entonces xy∈R. 7. Conmutatividad en la multiplicación. Si x, y∈R, entonces xy=yx. 8. Asociatividad en la multiplicación. Si x, y, z∈R, entonces (xy)z=x(yz). 9. Neutro multiplicativo. Existe un real r∈R de manera que (x)(r)=x. 10. Inverso multiplicativo. Para cada x≠0∈R, existe x-1∈R tal que x(x-1)=1. 11. Distributividad de la multiplicación en la suma. Si x, y, z∈R, entonces x(y+z)=xy+xz. 12. Tricotomía. Si x, y∈R, entonces sólo se cumple una de estas tres relaciones: xy 13. Transitividad. Si x, y, z∈R, x0. 17. Axioma del supremo. Si E es un conjunto no vacío acotado superiormente en R, entonces tiene supremo en R.

La recta numérica.

La recta numérica real o recta de coordenadas, es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los números positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se construye eligiendo de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia

adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

Se considera que un número real es mayor que otro, si su posición en la recta numérica se encuentra a la derecha del segundo número. Representación de intervalos.

Los intervalos dentro de la recta numérica se clasifican de la siguiente manera: 1. (a,b) intervalo abierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, excepto a y b, su representación gráfica es;

2. [a,b) intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, incluye al número a, pero no a b.

3. (a,b] intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, sin incluir al número a, pero si a b.

4. [a,b] intervalo cerrado, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, incluyendo a y b.

5. [a,∞) intervalo cerrado al infinito, incluye todos los números reales mayores o iguales a a.

Solución de desigualdades por método gráfico

Una manera de resolver desigualdades es a través de un análisis gráfico. Para esto, es necesario recordar que dada una función y=f(x) los puntos de intersección entre su gráfica y el eje X se determinan al resolver la ecuación f(x)=0. En el siguiente gráfico se muestra parte de la desigualdad 2x+3x<5+xx−1 ¿Cuál de los siguientes conjuntos satisface la desigualdad?

solución

de

la

Solución de desigualdades de primer grado.

Se resuelve de igual forma que una igualdad despejando la variable, solo hay que tener cuidado de invertir la desigualdad cuando se multiplique o divida por un número negativo, a continuación, se muestra algunos pasos sugeridos para resolver este tipo de desigualdades. Pasos para resolver una desigualdad polinomial de primer grado. 

P.1) Se desarrollan completamente tanto la expresión de la izquierda como la de la derecha de la desigualdad.



P.2) Se pasan del lado izquierdo, todos los términos que contengan a la variable, y de lado derecho aquellos que no la contengan.



P.3) Se factoriza tomando como factor común la variable.



P.4) Si es necesario se pasa multiplicando o dividiendo el coeficiente de la variable, sin olvidar que si son negativos la desigualdad se debe invertir.

Solución de desigualdades con valor absoluto.

Debido a las propiedades P.3 y P.4 de valor absoluto vistos en la sección 1.4, es posible resolver una desigualdad de este tipo partiendo la recta real en intervalos más pequeños que dependen del valor absoluto que se tenga, como lo muestra el siguiente método. Pasos para resolver una desigualdad con valor absoluto. 

P.1) Descomponer la recta real, en intervalos pequeños, esto se hace igualando a cero la expresión dentro de cada valor absoluto y despejando la variable para obtener los puntos de división.



P.2) En cada intervalo, quitar los valores absolutos de la ecuación de acuerdo a la definición y resolver la expresión que queda considerando únicamente los valores dentro del propio intervalo.



P.3) La solución general, es la unión de las soluciones de cada intervalo.