Calculo Diferencial

REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICA 1.- La derivada de una constante es cero.

dc =0 dx 2.- La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

dx =1 dx 3.- La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto de exponente por la función elevada a un exponente desminuido en una unidad y por la derivada de la función.

( )

d n 1 dv v = nv n − dx dx 4.- La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

d (cv ) =c dv dx dx 5.- La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.

d du dv dw ( u+ v− w)=+ − dx dx dx dx 6.- La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.

d dv du (uv )= u + v dx dx dx 7.- La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante.

du d u  dx  = dx  c  c 8.- La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

du dv v − u d u  dx dx  = dx v  v2 DERIVACION DE FUNCIONES TRASCEDENTES I

II

d (ln v ) 1 dv =• dx v dx d (log v ) log e dv = • dx v dx

III

d (a v ) v dv = a ln a • dx dx

VI

d (e v ) v dv =e • dx dx

V

d( uv ) dv 1 du = vu v − + ln u • uv dx dx dx ➢ Ejemplo: Derivar

(

y= ln (x 2 + a)

)

( )

d 1 d 2 2x ln x 2 + a = • x + a = 2 2 dx x + a dx x + a ➢ Ejemplo: Derivar

y= log 2 x 3 d log e d log e6 x 2 3 ( log 2 x 3 ) = • ( 2 x ) = dx 2 x 3 dx 2x 3 ➢ Ejemplo: Derivar y =a 3x

()

2

()

2 d 2 d 3x2 a = ln a • a 3x 3x 2 = 6 x ln a • a 3x dx dx

➢ Ejemplo: y= be c

2

+ x2

( ) ()

( )

2 2 2 2 d d c2 + x2 x2 d x2 be c + = b e x = be c + c2 + x2 = 2bxe c + dx dx dx

➢ Ejemplo: y =x e

()

x

()

x x x x d ex d x 1 d 1 ( x = e x xe − x) + x e ln x e = ex xe − + x e ln x • ex dx dx dx

LA REGLA DE LA CADENA (FUNCIONES COMPUESTAS)

Para dos funciones

y

g

f Si

y

f

, la función dada por la formula

f (g (x ))

se llama la función compuesta de

y

.

g

f

son diferenciables, también lo es la función compuesta, y su derivada se puede obtener por dos

g

procedimiento.

➢ Ejemplo: Si

y

, entonces

g () x = 2x + 1

f (x )= x2 + 3

) ( y= f( g( x) = 2x + 1) + 3= 4x 2 + 4x + 12 + 3= 4x 2 + 4x + 4 2

dy d ( 4x 2 + 4x + 4) = = 8x + 4 dx dx Comprobar La Regla de la Cadena:

) ) ) Dx ( f( g( x) = f '( g( x) g'( x) .

Si llamamos a f la función externa y a g la función interna, entonces

es el producto de la derivada de

D x (f (g (x )))

la función externa [ calculada en g(x) ] y la derivada de la función interna.

➢ Del ejemplo anterior: Si

y

f (x )= x + 3 2

y

f ' (x )= 2x

f ' (x ) • g' (x )

, entonces

g () x = 2x + 1

g ' (x )= 2 =

(2 x )• () 2 = 4x

) ) Dx ( f( g( x) = 4( 2x + 1) = 8x + 4

Escribamos

FORMULACION ALTERNATIVA DE LA REGLA DE LA CADENA y . Entonces la función compuesta es

y =f (u ) u = g (x )

y entonces:

y= f () u = f( g () x)

La regla de la cadena:

dy dy du = • dx du dx ➢ Ejemplo: Sean

y

y =u derivada

3

Entonces la función compuesta

u= 4x − 2x + 5. 2

tiene

(

) 3

y= 4x 2 − 2x + 5

dy d (u 3 ) = = 3u 2 du du

du d ( 4x 2 − 2x + 5) = = 8x − 2 dx dx

dy dy du = • dx du dx

(

)

2 dy = 3u 2 ( 8x − 2) = 3 4x 2 − 2x + 5 ( 8x − 2) dx

Comprobar la Regla de la cadena Alternativa: Del ejemplo anterior

(

y =u n y ' =nu n −1 du dx

)

2 du y' = 3u 2 = 3 4x 2 − 2x + 5 ( 8x − 2) dx

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS esta expresada en forma explicita; la misma expresión en forma implícita queda

La función

y =5 − x2

y2 + x2 = 5 Derivamos términos a términos y tomamos a

como función de

x

y En la expresión resultante despejamos

.

como lo hacemos en una ecuación.

dy dx ➢ Ejemplo:

Despejamos y

⇒

x + y = 5 2

2

x2 + y2 = 5

y =− x2 + 5 Derivamos términos a términos con respecto a x:

d (x 2 ) d (y 2 ) d (5) + = dx dx dx 2x + 2y

dy = 0 dx

2x dy 2 x ⇒ dy = − =− dx dx 2y 2 − x2 + 5

➢ Comprobar del Ejemplo Anterior:

x2 + y2 = 5 ⇒ y =− x2 + 5

es igual a

(− y= x + 5)

y =− x2 + 5

1 2

2

Aplicando la Formula

y =u n

y ' =nu n −1

du dx

(− y= x2 + 5)2 1

( ) ( )( )( ) 1 2

1 1 − 1 d − − dy d − x + 5 1 x2 + 5 1 − 2x 2x = = − x2 + 52 = − x2 + 5 2( − 2x) =1 = − dx dx 2 dx 2 2 − x2 + 5 2− x2 + 52 2

( )

ECUACIONES DE LA TANGENTE Y NORMAL Pendiente de la curva en uno de sus puntos. Al establecer antes el concepto de la derivada, señalamos que: el valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva, en ese punto. Además, obtuvimos la expresión: = =

m= tan αtan θ

∆y ∆x

∆x →0

Esto nos permite resolver, entre otros, problemas como el siguiente: ➢

Ejemplo:

Obtener el valor de la pendiente

de la parábola

m

en los puntos de coordenadas

y =x 2

Resolución: Derivamos

y =x 2 y '=2 x La cual es la pendiente de cualquier punto. Como nos interesa obtener el valor de la pendiente

en el punto

m

x =3 =

m= 2x

, sustituimos:

2( 3)

= 6

Si queremos determinar el valor del ángulo de la pendiente. Así tenemos:

tan α = 6

α = 80 0 32' Ecuación de la Tangente a una curva plana

(3,9).

En geometría analítica demostramos que una recta que pasa por un punto

, y dada su pendiente

(x1 , y1 )

, se

m

representa por la relación punto-pendiente:

y− y1 = m( x− x1 ) Como la derivada de un función es la pendiente

de la curva que representa, si aplicamos la relación punto-

m pendiente podemos obtener la ecuación de la recta tangente en un punto dado. ➢ Ejemplo: Obtener la ecuación de la tangente a la curva

en el punto de abscisa

.

x =2

y= 2x3 − x2 + 2x − 12 Calculamos la derivada:

y' = 6x 2 − 2x + 2 Calculamos el valor de la pendiente

en el punto

m

:

x =2

f ' () x = 6x 2 − 2x + 2 f '( 2)( = 6 2) − 2( 2) + 2= 24 − 4+ 2= 22 2

m= 22 Para aplicar la relación punto-pendiente necesitamos el valor de la ordenada

, que obtenemos en la función

y original cuando la variable independiente

.

x =2

y= 2x3 − x2 + 2x − 12 f( 2) = 2( 2) − 22 + 2( 2) − 12 = 16 − 4+ 4− 12 = 4 3

y =4 Las coordenadas del punto de contacto

(x1 , y1 )

son

(2,4)

; sustituimos en la relacion punto-pendiente:

y− y1 = m( x− x1 ) Con

;

;

m= 22 x1 =2 y1 =4 y− 4= 22( x− 2)

y− 4= 22 x − 44

Ecuación de la recta tangente.

22 x − y− 40 = 0 Ecuación de la Normal La recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto se llama normal a la curva en dicho punto: La pendiente de la tangente es m. Se señalo en analítica que la pendiente de una recta perpendicular a ella es:

−

1 m

De donde, mediante sustitución en al relación punto-pendiente:

y− y1 = m( x− x1 ) queda:

1 y− y1 = −(x − x1 ) m que es la relación para obtener la normal. Sigamos con el ejemplo anterior: Debemos obtener la ecuación de la tangente y la normal a la curva: en el punto de abscisa , ya derivamos y calculamos la pendiente

x =2

y= 2x3 − x2 + 2x − 12 obtuvimos el valor de

cuando

y =4

.

x =2

Ahora calculamos la ecuación de la normal si sustituimos en:

1 y− y1 = −(x − x1 ) m Con

=

−

;

;

1 1 x1 =2 y1 =4 − m 22

1 y− 4= − (x − 2) 22

22 y − 88 = − x+ 2 Ecuación de la normal.

x+ 22 y − 90 = 0 EJERCICIOS: Derivar

Aplicando las reglas para derivar funciones algebraica Formulas

Derivar

Derivar

y= 10a

dc =0 dx

y =x

dx =1 dx

,y

m= 22

Derivar

(

)

( )

d n 1 dv v = nv n − dx dx

5

y= 5x 2 + 2x Derivar

d (cv ) =c dv dx dx

y= 10x 5 Derivar

y= (3x 3 )(2 x 5 )

d dv du (uv )= u + v dx dx dx

Derivar

y=

2x 6 2c

du d u  dx  = dx  c  c

5x 4 2x6

du dv v − u d u  dx dx  = 2 dx v  v

Derivar

y=

Derivación de funciones Trascendentes Derivar

y =x ln( 4 + 3)

Derivar

y= log 5 x 4 + 8 Derivar

y =a 5 x y =e x

2

5

+ 5

Si

y =3 x e y

g (x )= x+ 1

f () x = x3 + 10 Si

x

y

f () x = 2x3 + 10 Si

Regla de la Cadena Con su comprobación

Con su comprobación

g () x = 2x + 1

Con su Comprobación (Regla de la cadena Alternativa)

(

)

(

)

3

y= 4x 5 − 2x 3 + 5 Si

Con su Comprobación (Regla de la cadena Alternativa) 5

y= x 10 − 2x5 + 5

Si

(

)

2x 2 − 2x + 5 y= 2

Con su Comprobación (Regla de la cadena Alternativa)

3

Derivada de funciones Implícitas Si

3x 2 + 2y2 = 5 Si

3x 3 + 2y5 + 10 = 5 Si

5x 5 + y5 − 6= 0