Calculo Del Factor De Efectividad Interno

Solución numérica para la difusión y reacción química de orden n en pellets catalíticos isotérmicos Procesos Reactivos Heterogéneos Diego Alejandro Montoya Ramírez Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Resumen: En este trabajo se presenta la ecuación de segundo orden que modela los procesos de difusión y reacción en catalizadores porosos. Se obtiene la deducción analítica de la ecuación que rige el cambio de concentración en los poros del catalizador, según la geometría de este, y se soluciona el modelo calculándose el factor de efectividad interno mediante el método del disparo para módulos de Thiele pequeños y para módulos de Thiele más altos, cuando la ecuación no tiene convergencia, se usa una extrapolación lineal. 1. Deduccion de la ecuación diferencial que describe la difusión y reacción 

Derivando la ecuación del gradiente de concentración mediante la regla de la cadena se obtiene 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝜆 = ( ) 𝑑𝑧 𝑑𝜆 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝑧

Ecuación para una placa plana: 𝑁𝑖 𝐴|𝑧 − 𝑁𝑖 𝐴|𝑧+∆𝑧 + 𝛾𝑖 𝐴∆𝑧 = 0 𝑑𝑁𝑖 = 𝑟𝑖 𝑑𝑧

Reemplazando las derivadas de las variables adimensionales 𝑑𝑐𝑖,𝑠 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 = 𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑧 𝐿 𝑑𝜆

De la definición de flux se tiene que: 𝑁𝑖 = −𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑧

𝑑 𝑑𝑐𝑖,𝑠 (−𝐷𝑒𝑓,𝑖 ) = 𝑟𝑖,𝑠 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 −𝐷𝑒𝑓,𝑖 = 𝑟𝑖,𝑠 𝑑𝑧 2 Se definen las variables adimensionales φ y λ que nos permitirán desarrollar el nuevo parámetro del módulo de Thiele y se halla la derivada 𝑧 𝜆= 𝐿 Ψ𝑖,𝑠 =

𝑐𝑖,𝑠 𝑠 𝑐𝑖,𝑠

𝑑𝜆 1 = 𝑑𝑧 𝐿 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑠 = 𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠

Para 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝜆 = ( )= ( 𝑐 ) 2 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝐿 𝑖,𝑠 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 1 = ( 𝑐 ) 2 𝑑𝑧 𝑑𝜆 𝐿 𝑖,𝑠 𝑑𝜆 𝐿 𝑠 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑐𝑖,𝑠 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 = 𝑑𝑧 2 𝐿2 𝑑𝜆2

Reemplazando en el balance de materia 𝑠 𝑐𝑖,𝑠 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 −𝐷𝑒𝑓,𝑖 2 = 𝑟𝑖,𝑠 𝐿 𝑑𝜆2

Reordenando se tiene, 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 𝐿2 − 𝑠 𝑟𝑖 = 0 𝑑𝜆2 𝐷𝑒𝑓,𝑖 𝑐𝑖,𝑠

El módulo de Thiele ahora lo definimos de la siguiente forma ϕ2𝑖

𝑛

𝐿2 𝑘𝑛 = 𝐷𝑒𝑓,𝑖 2

𝑓(Ψ𝑖,𝑠 ) = 2

𝑑 Ψ𝑖,𝑠 𝐿 + 𝑑𝜆2

𝑠 𝑛−1 𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

𝜆=

𝑛

𝑠 𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

Ψ𝑖,𝑠 =

𝑛

(Ψ𝑖,𝑠 ) = 0

𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 + ϕ2𝑖 f(Ψ𝑖,𝑠 ) = 0 𝑑𝜆2



En función de las variables adimensionales, se tiene 𝑟 𝑅

𝑐𝑖,𝑠 𝑠 𝑐𝑖,𝑠

𝑑𝜆 1 = 𝑑𝑟 𝑅 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑠 = 𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠

Entonces; 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝜆 = ( ) 𝑑𝑟 𝑑𝜆 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝑟

Ecuación para el pellet cilíndrico:

𝑁𝑖 𝐴|𝑟 − 𝑁𝑖 𝐴|𝑟+∆𝑟 + 𝛾𝑖 ∆𝑉 = 0 ∆𝑉 = 2𝜋𝑟𝐿Δ𝑟 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿

𝑑𝑐𝑖,𝑠 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 = 𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑟 𝑅 𝑑𝜆 Para 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝜆 = ( )= ( 𝑐 ) 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝐿 𝑖,𝑠 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 1 = ( 𝑐 ) 2 𝑑𝑟 𝑑𝜆 𝑅 𝑖,𝑠 𝑑𝜆 𝑅

(2𝜋𝑟𝐿)𝑁𝑖 |𝑟 − (2𝜋𝑟𝐿)𝑁𝑖 |𝑟+∆𝑟 + (2𝜋𝑟𝐿Δ𝑟)𝛾𝑖 =0

𝑠 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑐𝑖,𝑠 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 = 𝑑𝑟 2 𝑅 2 𝑑𝜆2

𝑟𝑁𝑖 |𝑟 − 𝑟𝑁𝑖 |𝑟+∆𝑟 + 𝑟Δ𝑟𝛾𝑖 = 0 𝑑𝑟𝑁𝑖 = 𝑟𝛾𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟𝑁𝑖 𝑑𝑁𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑁𝑖 =𝑟 + 𝑁𝑖 =𝑟 + 𝑁𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 De la definición de flux a través de un pellet catalítico de forma cilíndrica, se tiene que:

Reemplazando en el balance de materia 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 𝑅 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑅 2 𝛾𝑖 + − 𝑠 =0 𝑑𝜆2 𝑟 𝑑𝜆 𝑐𝑖,𝑠 𝐷𝑒𝑓,𝑖 Por último,

𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑁𝑖 = −𝐷𝑒𝑓,𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟𝑁𝑖 𝑑 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑐𝑖,𝑠 = 𝑟 (−𝐷𝑒𝑓,𝑖 ) + −𝐷𝑒𝑓,𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟𝑁𝑖 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑐𝑖,𝑠 = −𝑟𝐷𝑒𝑓,𝑖 − 𝐷𝑒𝑓,𝑖 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Reemplazando y dividendo por −𝑟𝐷𝑒𝑓,𝑖 se tiene del balance, 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 1 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝛾𝑖 + − =0 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 1 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑅2 + − 𝛾 =0 𝑠 𝑑𝜆2 𝜆 𝑑𝜆 𝑐𝑖,𝑠 𝐷𝑒𝑓,𝑖 𝑖 Definiendo el módulo de Thiele para el cilindro 𝑛−1

ϕ2𝑖

𝑠 𝑅 2 𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 ) = 𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑛

𝑓(Ψ𝑖,𝑠) =

𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

𝑛

𝑠 𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 1 𝑑Ψ𝑖,𝑠 + − ϕ2𝑖 𝑓(Ψ𝑖,𝑠) = 0 𝑑𝜆2 𝜆 𝑑𝜆



Reemplazando

Ecuación para el pellet esférico

𝑑𝑐𝑖,𝑠 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 = 𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑟 𝑅 𝑑𝜆

𝑁𝑖 𝐴|𝑟 − 𝑁𝑖 𝐴|𝑟+∆𝑟 + 𝛾𝑖 ∆𝑉 = 0 ∆𝑉 = 4𝜋𝑟 2 Δ𝑟

Obteniendo la segunda derivada

𝐴 = 4𝜋𝑟 2 (4𝜋𝑟 2 )𝑁𝑖 |𝑟

−

(4𝜋𝑟 2 )𝑁𝑖 |𝑟+∆𝑟

+

(4𝜋𝑟 2

Δ𝑟)𝛾𝑖

=0

𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝜆 = ( )= ( 𝑐 ) 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝐿 𝑖,𝑠 𝑑𝜆 𝑑𝜆

𝑟 𝑁𝑖 |𝑟 − 𝑟 𝑁𝑖 |𝑟+∆𝑟 + 𝑟 Δ𝑟𝛾𝑖,𝑠 = 0

𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑 1 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 1 = ( 𝑐 ) 2 𝑑𝑟 𝑑𝜆 𝑅 𝑖,𝑠 𝑑𝜆 𝑅

𝑑 2 (𝑟 𝑁𝑖 ) + 𝑟 2 𝛾𝑖,𝑠 = 0 𝑑𝑟

𝑠 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 𝑐𝑖,𝑠 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 = 𝑑𝑟 2 𝑅 2 𝑑𝜆2

2

2

2

𝑑 2 𝑑 (𝑟 𝑁𝑖 ) = 𝑟 2 (𝑁𝑖 ) + 2𝑟𝑁𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Reemplazando

Reemplazando en el balance de materia 𝑠 𝑠 𝑐𝑖,𝑠 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 2 𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝛾𝑖,𝑠 + − =0 2 2 𝑅 𝑑𝜆 𝑟 𝑅 𝑑𝜆 𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑑 𝑟 2 (𝑁𝑖 ) + 2𝑟𝑁𝑖 + 𝑟 2 𝛾𝑖 = 0 𝑑𝑟 De la definición de flux a través de un pellet catalítico de forma esférica, se tiene que: 𝑁𝑖 = −𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑟

Entonces; −𝑟 2 𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑑 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝑐𝑖,𝑠 ( ) − 2𝑟𝐷𝑒𝑓,𝑖 + 𝑟 2 𝛾𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 =0

Por último, 𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 2 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑅2 + − 𝛾 =0 𝑠 𝑑𝜆2 𝜆 𝑑𝜆 𝑐𝑖,𝑠 𝐷𝑒𝑓,𝑖 𝑖,𝑠 De esta forma se define el módulo de Thiele para pellets esféricos 𝑛−1

ϕ2𝑖

𝑠 𝑅 2 𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 ) = 𝐷𝑒𝑓,𝑖

𝑛

𝑓(Ψ𝑖,𝑠) =

𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

𝑛

𝑠 𝑘𝑛 (𝑐𝑖,𝑠 )

Se divide por −𝑟 2 𝐷𝑒𝑓,𝑖 𝑑2 𝑐𝑖,𝑠 2 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝛾𝑖 + − =0 𝑑𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 𝐷𝑒𝑓,𝑖 Definiendo las variables adimensionales y derivándolas se tiene: 𝜆= Ψ𝑖,𝑠 =

𝑟 𝑅

𝑐𝑖,𝑠 𝑠 𝑐𝑖,𝑠

𝑑𝜆 1 = 𝑑𝑟 𝑅 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑠 = 𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠

𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 2 𝑑Ψ𝑖,𝑠 + − ϕ2𝑖 f(Ψ𝑖,𝑠 ) = 0 𝑑𝜆2 𝜆 𝑑𝜆

2. Solución a la ecuación diferencial de segundo orden La ecuación generalizada para difusión y reacción en catalizadores poroso se puede escribir de la siguiente forma

De la ecuación de gradiente de concentración

𝑑2 Ψ𝑖,𝑠 𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 + − 𝜙𝑖2 Ψ𝑖,𝑠 𝑛 = 0 𝑑𝜆2 𝜆 𝑑𝜆

𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝑐𝑖,𝑠 𝑑𝜆 = ( ) 𝑑𝑟 𝑑𝜆 𝑑Ψ𝑖,𝑠 𝑑𝑟

Donde S toma el valor de 0 para placa plana, 1 para cilindro y 2 para esfera.

Para solucionar esta ecuación diferencial se aplicó el método de reducción de orden en el que se definió una nueva variable Omega (Ω) de la siguiente forma 𝑑Ψ𝑖,𝑠 =Ω 𝑑𝜆 𝑑Ω 𝑠Ω =− + ϕ2𝑖 Ψ𝑖,𝑠 𝑛 𝑑𝜆 𝜆 Por las condiciones de simetría se obtienen las siguientes condiciones en la frontera para nuestro sistema de ecuaciones diferenciales 𝜆=0 𝜆=1

como función objetivo con el fin de obtener la condición inicial apropiada que cumpla con esas condiciones en la frontera y poder solucionar de nuevo mi sistema de ecuaciones con la condición inicial hallada. Este método se denomina el método del disparo. Se le dio solución al sistema con el método mencionado para todas las geometrías y para reacciones de orden 1 y 2 hasta valores de módulo de Thiele de 10 y se calculó el factor de efectividad interno con la siguiente ecuación.

Ω=0

𝜂=

Ψ𝑖,𝑠 = 1

Para darle solución al modelo se debe volver el problema con valores en la frontera un problema de valor inicial. Para esto se suponen valores iniciales de concentración y Omega, se resuelve el sistema mediante un método de solución de ecuaciones diferenciales que nos brinda el paquete de software Matlab como ode 45 poniendo las condiciones en la frontera

(𝑠 + 1) 𝑑Ψ𝑖,𝑠 ( ) ∅2 𝑑𝜆 𝜆=1

Para esto se definió una nueva variable adimensional, el número de Damkholer (Λ) como el cuadrado del número de Thiele. Los resultados de la solución, así como el factor de efectividad para una reacción de orden 1 se muestran en la tabla 1 y para una reacción de orden 2 en la tabla 2

Tabla 1. Solución numérica de la ecuación de transferencia de masa para difusión en una dimensión y cinética química irreversible de primer orden en catalizador poroso.

Λ2𝐴

Ψ𝐴 (𝜆 = 0)

0.25 0.50 1 2 4 8 16

0.8868 0.7933 0.6481 0.4591 0.2658 0.2126 0.0366

0.10 0.25 0.50 1 2 4 8 10

0.9755 0.9403 0.8858 0.7898 0.6385 0.4387 0.2352 0.1795

Ψ𝐴 (𝜆 = 1) Simetría rectangular 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Simetría cilíndrica 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Ω(𝜆 = 1)

𝜂

0.2311 0.4305 0.7616 1.2564 1.9281 2.8087 3.9973

0.9242 0.8611 0.7616 0.6282 0.4820 0.3511 0.2031

0.0494 0.1212 0.2356 0.4464 0.8120 1.3955 2.2527 2.5972

0.9877 0.9700 0.9423 0.8928 0.8120 0.6978 0.5632 0.5194

16 20 50 100

0.0885 0.0586 0.0056 0.0004

3.4541 3.9333 6.5501 9.4860

0.4318 0.3933 0.2620 0.1897

0.9835 0.9595 0.9213 0.8509 0.7308 0.5514 0.3355 0.2682 0.1466 0.1022 0.0120

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Simetría esférica 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.10 0.25 0.50 1 2 4 8 10 16 20 50

0.0331 0.0820 0.1614 0.3130 0.5919 1.0746 1.8483 2.1736 3.0027 3.4733 6.0711

0.9934 0.9837 0.9682 0.9391 0.8878 0.8060 0.6931 0.6521 0.5630 0.5210 0.3643

100

0.0009

1.0000

9.0000

0.2700

Tabla 2. Solución numérica de la ecuación de transferencia de masa para difusión en una dimensión y cinética química irreversible de segundo orden en catalizador poroso. Λ2𝐴

Ψ𝐴 (𝜆 = 0)

0.25 0.50 1 2 4 8 16

0.8958 0.8197 0.7123 0.5813 0.4437 0.3169 0.2126

0.10 0.25 0.50 1 2 4 8 10 16 20 50 100

0.9759 0.9428 0.8942 0.8152 0.7023 0.5637 0.4191 0.3749 0.2892 0.2528 0.1363 0.0803

0.10 0.25 0.50

0.9837 0.9606 0.9252

Ψ𝐴 (𝜆 = 1) Simetría rectangular 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Simetría cilíndrica 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Simetría esférica 1.0000 1.0000 1.0000

Ω(𝜆 = 1)

𝜂

0.2165 0.3870 0.6525 1.0351 1.5600 2.2723 3.2503

0.8659 0.7739 0.6525 0.5175 0.3900 0.2840 0.2031

0.0488 0.1179 0.2240 0.4104 0.7161 1.1844 1.8662 2.1420 2.8336 3.2226 5.3563 5.7535

0.9760 0.9433 0.8960 0.8207 0.7161 0.5922 0.4665 0.4284 0.3542 0.3223 0.2143 0.1551

0.0329 0.0807 0.1567

0.9870 0.9685 0.9403

1 2 4 8 10 16 20 50 100

0.8640 0.7683 0.6389 0.4906 0.4427 0.3471 0.3054 0.1676 0.0995

3. Extrapolación a valores de ϕ mayores a 10 El sistema de ecuaciones al que se le dio solución mediante el método del disparo presenta problemas de convergencia a valores de numero de Thiele mayores a 10 por lo que se debe hacer uso de una extrapolación lineal para obtener el comportamiento del factor de efectividad a Thiele elevados (Gómez García, Fontalvo Alzate, & García Cárdenas, 2008)

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.2972 0.5436 0.9492 1.5769 1.8384 2.5049 2.8843 4.9907 7.3766

0.8915 0.8154 0.7119 0.5913 0.5515 0.4697 0.4326 0.2994 0.2213

𝜂1 = 𝜼 𝜼𝟐 = 𝜼∗ 𝜙1 = 𝜙 𝜙2 = 𝜙 + 𝛥𝜙 Mediante este procedimiento se encontró la siguiente grafica para una cinética del orden uno del factor de efectividad a las diferentes geometrías. La grafica se trazó resolviendo las ecuaciones numéricamente hasta un valor de módulo de Thiele de 24.4 pues así lo permitió la simulación. Para Thiele mayores se usó la extrapolación descrita

Para lograr la interpolación se deben seleccionar las ultimas de parejas de módulo de Thiele (ϕ) y factor de efectividad (𝛈) y se calcula: ln(𝜂1 /𝜂2) 𝑑𝑙𝑛 𝜂 = 𝑑𝑙𝑛 𝜙 ln(𝜙1 /𝜙2 ) 𝜂 = √𝜂1 𝜂2 𝜙 = √𝜙1 𝜙2 Se calcula

𝑑𝑦′(1) con 𝑑𝜙

la siguiente ecuación

𝑑𝑙𝑛 𝜂 (𝑠 + 1) 𝑑𝑦′(1) = −2 + 𝑑𝑙𝑛 𝜙 𝜂𝜙 𝑑𝜙 El nuevo valor del factor de efectividad se halla con la siguiente expresión (𝑠 + 1) 𝑑𝑦 ′ (1) ′ (1) 𝜂 = + 𝛥𝜙 (𝑦 ) (𝜙 + 𝛥𝜙)2 𝑑𝜙 ∗

Se fijan los nuevos valores de módulo de Thiele y factor de efectividad de la siguiente manera y se calcula hasta un valor de módulo de Thiele de 100

Figura 1-Factor de efectividad isotérmico sin transferencia de masa externa para una cinética de orden uno Para una cinética de orden 2 se obtuvo la figura 2

Figura 3- Factores de efectividad no isotérmicos de orden de reacción uno en función del módulo de Thiele generalizado

Figura 2-Factor de efectividad isotérmico sin transferencia de masa externa para una cinética de orden dos Para la cinética de orden 2 se tuvo problemas de convergencia a Thiele mayores a 5

Ahora se introduce un factor que tiene en cuenta la geometría del pellet de catalizador que se calcula a partir del módulo de Thiele de la siguiente forma 𝛷=

𝜙 𝑠+1

Graficando factor de efectividad contra Thiele generalizado se obtiene la figura 3 para cinética de primer orden y la figura 4 para cinética de segundo orden

Figura 4- Factores de efectividad no isotérmicos de orden de reacción dos en función del módulo de Thiele generalizo

De las figuras 3 y 4 vemos que los factores de efectividad convergen cuando el módulo de Thiele generalizado tiende a cero y a infinito.

Bibliografía Belfiore, L. A. (2003). Transport Phenomena for Chemical Reactor Design. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Fogle, H. S. (2001). Elementos de Ingeniería de las Reacciones Químicas. Mexico. Gómez García, M. A., Fontalvo Alzate, J., & García Cárdenas, J. A. (2008). Difusión y Reacción en Medios Porosos. Bogota: Universidad Nacional de Colombia - UNILIBROS.