Calculo-ciro.docx

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CALCULO MATRICIAL UNIDAD I (VECTORES EN R3) DEFINICIÓN DE VECTORES EN R3 Es un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas. VECTOR EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cualquier segmento su origen en un punto y su extremo en el otro.

orientado que

tiene

2 COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO *- Origen O también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. *- Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. *- Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector coordenadas del origen.

son las coordenadas del extremo menos las

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

MÓDULO DE UN VECTOR El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

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Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores

y

, hallar los módulos de

y

·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

4 OPERACIONES CON VECTORES EN EL ESPACIO

1.- SUMA Y RESTA DE VECTORES A.-Suma Si A  a1 , a 2 , a3  y B  b1 , b2 , b3  entonces la suma de estos vectores está dada por:

A  B  a1  b1 , a2  b2, , a3  b3 

B.-Resta: La diferencia de dos vectores a y b denotada por entonces  A  B  .

A  B  A   B

A  B  a1  b1 , a2  b2, , a3  b3 

2.- Producto de un vector por un escalar: Si k es un escalar y a es el vector A  a1 , a 2 , a3  , entonces el producto escalar de k y a denotado por k...A esta dado por:

K .B  K a1, a2 , a3   Ka1, Ka2 , Ka3  3.- Producto punto cruz: Si A  a1 , a 2 , a3  y B  b1 , b2 , b3  entonces el producto punto cruz de a y b denotado por axb está dado por:

AxB  a2b3  a3b2, , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1  4.- Producto punto : Si A  a1 , a 2 , a3  y B  b1 , b2 , b3  entonces el producto punto de a y b denotado por axb esta dado por:

A.B  a1.b1  a2 .b2,  a3b3 

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EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1. Dados los vectores hallar: 1.

,

2.

,

3. 4.

1.

2.

3.

4.

,

,

,

y

6 EJERCICIO 2. Dados los vectores 1 Los módulos de

y

y

, hallar:

·

2 El producto vectorial de 1 Los módulos de

y

y

·

y

·

·

2 El producto vectorial de

6.- COMBINACION LINEAL: Un a com b ina ció n lin e a l d e d o s o má s ve ct o re s e s e l ve ct o r qu e se o b t ie n e a l sum a r e so s ve cto re s m u lt ip lica do s p o r se n do s e sca la re s .

EJEMPLO. Expresa el vector vectores:

= (1, 2, 3) como combinación lineal de los

= (1, 0, 1),

= (1, 1, 0) y

= (0, 1, 1).

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Encontrar la distancia entre los puntos: a.-

a=(0,0,0)

b=(7,2,3)

b.-

a=(1,1,1)

b=(3,4,2)

c.-

a=(-1,1,1)

b=(2,3,5)

2.- Sean:

A  1,2,3 D   2,1,6 Hallar: a.-

A + 5B

b.-

4B + 6C – 2D

c.-

C + 3D – 8A

d.-

2A - C

e.-

7C  5D

B  4,3,1

C   5,3,5

8 3.- Sean:

A   4,2,4

C   6,3,0

B  2,7,1

D  5,4,3 Hallar: a.-

A. (B+C)

b.-

A.B+A.C

c.-

(A.B).(C.D)

d.-

A.B – B.C

e.-

(A.D).A – (D.A).B

f.- (2A + 3B).(4C - D)

4.- Sean:

A  4,3,1

B  1,2,3

C   5,3,5

D   2,1,6

E  4,0,7 

F  0,2,1

Hallar: a.-

AxB

b.-

(CxD).(ExF)

c.-

(5Cx4D). (5Ex1/3F)

d.-

DxE

e.-

(CxE).(DxF)

5.- Expresa el vector los vectores: 6.- Expresa

= (10, 12, 4) como combinación lineal de

= (1, 3, 1), el

vector

lineal de los vectores:

= (1, 4, -3) y =

(10/3,

= (1, 3, 1),

= (5, 1, 1).

12/5, 4) como combinación = (1, 4, -5) y

= (5, 1, 1).

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UNIDAD II (MATRICES) 1.- DEFINICION DE MATRIZ. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El

número

de

filas

denomina dimensión de

una

y

columnas

matriz.

Así,

de

una

matriz

una

matriz

será

se de

dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Am xn o (a i j ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij .

2.- CLASIFICACION DE LAS MATRICES. a.- Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. b.- Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna

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c.- Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

d.- Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

e.- Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.

f.- Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

11 g.- Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

h.- Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

i.- Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

j.- Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

3.- OPERACIONES CON MATRICES. 1.- Suma o Adicion: Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a ij ) y B=(b ij ), se define la matriz suma como: A+B=(a i j +b ij ). Es decir, aquella

12 matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

a.- Asociativa: Dadas las matrices m x n a, b y c.

A  B  C    A  B  C b.- Conmutativa: Dadas las matrices m x n a y b

A B  B A c.- Existencia de matriz cero o matriz nula:

A 0  0  A  A d.- Existencia de matriz opuesta:

A   A  0

13 2.- Producto por un escalar: Dada una matriz A = (a i j ) y un número real k

R, se define el

producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

k · A=(k a ij )

3.- Producto: Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm

x n

x Mn

x p

= M

m x p

El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades: a.- asociativa: dadas las matrices m x n a, b y c.

 A.B.C  A.B.C 

14 b.- propiedad distributiva por la derecha:

 A  B.C  A.C  B.C c.- propiedad distributiva por la izquierda:

C. A  B  C. A  C.B 4.- Matriz transpuesta. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

5.- Matriz inversa. Para calcular se requiere aplicar la siguiente formula

Ejemplo:

15 1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Sistema de ecuación matricial

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

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Multiplicamos la segunda ecuación por -2

Sumamos miembro a miembro

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos:

EJERCICIOS PROPUESTOS UNIDAD II (MATRICES) 1.- Dadas las matrices:

2 0 1 A  3 0 0 5 1 1 a.-

A + B

b.-

A - B

c.-

A X B

d.-

B X At

1 0 1 B  1 2 1 1 1 0

17 2.- Dadas las matrices:

2 0 1 A  3 0 0 5 1 1

1 0 1 B  1 2 1 1 1 0

a.-

A + 8B + 7C

b.-

15A - 30 B + 15/4 C

c.-

A . B + (C+B)

d.-

B . B t X( C+B)

3 1 5 C  2 0 1 1 1 7

e.- Calcular la A-1.B-1. f.- Calcular

C-1.Bt

3.- Calcule los productos matriciales A.B y B.A

1  2 3 1   0 1 1  1  A 1  2 0  5    

3  2 1  2 3  1 B  3 4 3   1 1 1

     

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UNIDAD III (DETERMINATES) DEFINICIÓN: A ca d a m a t riz cu a d rad a a se le a sign a u n e sca la r p a rt icu la r d e no m ina do d et e rm in an t e d e a , d e no t a do po r |a | o po r d e t (a ) .

Determinante de orden uno. |a

11 |

=a

11

Determinante de orden dos.

=a

11

a

22

- a

12

a

21

Determinante de orden tres

1.-CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUSS-JORDAN E l mé t od o d e gau ss co n siste en t ransf o rm a r u n sist ema de e cu a cion e s en ot ro e qu iva le n t e d e f o rm a qu e ést e sea e sca lo na d o. P a ra f a cilit a r e l cálcu lo va m o s a t ra nsf o rm a r e l sist em a e n u n a m a t riz, e n la qu e p on d rem o s lo s co ef icien t e s d e las va ria b le s y lo s t érm in o s in d ep en d ien t e s (se p a rad o s p o r una re ct a ).

2.- REGLA DE CRAMER. Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado. El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determínate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

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4.-

ME NO R

COMP LE ME NT ARI O

DE

UN

E LE ME NTO

DE

UN

DE TE RMI N AN TE .

S e lla m a m en o r co m p le me n ta rio d e u n e le me n to a i j a l va lo r d e l d e t e rm in an t e d e o rd e n n -1 qu e se o b tie n e a l su p rim ir e n la m at riz la f ila i y la co lumn a j .

5 . - ADJ UNTO DE UN E LE ME NTO DE UN DE TE RMI N ANTE .

S e lla ma a d jun to a n t ep o n ie n do :

del

e lem en t o

E l sign o e s + si i+j e s pa r. E l sign o e s - si i+j e s im pa r.

aij

al

me n o r

com p lem en t a rio

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E l va lo r d e u n d e te rm in an t e e s igu a l a la sum a d e p rod u ct o s d e lo s e le me n to s de un a lín e a p o r su s a d jun t o s co rre sp o nd ien t e s:

E je m pl o:

= 3 (8 +5 ) - 2 (0 -1 0 ) + 1 (0 +4 ) = 3 9 + 20 + 4 = 6 3 6 . - ME TO DO DE SAR R US . El método de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3. Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

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Ejemplo:

6.- DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A 3 El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). la suma de todos los productos es igual al determinante. En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula). La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. en el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinantes de orden 3. Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3. También puede utilizarse el método de eliminación gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

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EJERCICIOS Calcula el valor de los siguientes del determinante:

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UNIDAD IV (SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES) Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales 1.- Sustitución. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

en la otra ecuación, para

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto. 2.- Igualación. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

24 Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .

, se substituye su valor en una de las

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y. 3.- Reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

para poder cancelar la incógnita

.

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:

25 4.-Regla de Cramer. La regla de Cramer es un teorema que se aplica en álgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de ecuaciones lineales. El nombre de este teorema se debe a Gabriel Cramer, que fue quien publicó este método en uno de sus tratados. Esta regla es aplicada en sistemas que tengan como condición que el número de ecuaciones equivalga al número de incógnitas y que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema, llamaremos a este, sistema de Cramer. Para calcular este tipo de sistemas en necesario seguir determinados pasos. En primer lugar debemos hallar la matriz ampliada, la cual está asociada al sistema de ecuaciones. Esto quiere decir que la primera columna estará formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones. Por otro lado la segunda columna estará formada por los coeficientes de la segunda incógnita. De esta forma llegaremos a la última de las columnas que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. Luego de realizado esto podemos proceder a calcular el determinante de A. Aplicamos luego la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir sustituyendo la primera columna del det(A) por los términos independientes. Luego se dividirán los resultados de dicho determinante entre el det (A) para hallar así el valor de la incógnita primera. Si continuamos sustituyendo los términos independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando las incógnitas restantes. Veamos a continuación un ejemplo. Sea el sistema de ecuaciones lineales que se compone de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Hallaremos los valores de x e y, utilizando la regla de Cramer. Comenzaremos este proceso con el primer paso dicho previamente, en el cual debemos hallar la matriz ampliada.

El siguiente paso es el de calcular el determinante de A. Entonces tendremos lo siguiente:

Finalmente el tercer pasó consiste en calcular las incógnitas.

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(EJERCICIOS PROPUESTOS) 1 Re sue lve p o r sust it u ció n , igu a la ción , re du cció n e l sist e ma :

2 Re sue lve e l sist e m a:

3 Ha lla la s so lu cion e s de l sist em a :

4 Re sue lve :

5 Re sue lve p o r sust it u ció n , igu a la ción , re du cció n e l sist e ma :

27 6 Re sue lve e l sist e m a:

7 Ha lla la s so lu cion e s de l sist em a :

E je rcicio s y p ro b le m a s de sist em a s d e t re s e cu a cione s co n t res in có gn it a s. Mé to do d e CRA ME R

1

2

3