Calculo Avanzado De Una Variable.pdf

C´ alculo Avanzado de Una Variable Antoni Wawrzy´ nczyk

´ noma Metropolitana Universidad Auto Iztapalapa

Contenido 1 N´ umeros reales 1.1 N´ umeros naturales y enteros 1.2 N´ umeros racionales . . . . . 1.3 Cortaduras de Dedekind . . 1.4 Propiedad de supremo . . . 1.5 Raices . . . . . . . . . . . .

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2 Sucesiones 2.1 Midiendo las distancias . . . . . . . . . 2.2 Sucesiones y subsucesiones . . . . . . . 2.3 Sucesiones convergentes. L´ımites . . . 2.4 Punto l´ımite, l´ımite superior e inferior 2.5 Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . .

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1 2 8 14 25 27

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31 31 33 34 40 43

3 Series 47 3.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Criterios de convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Conjuntos abiertos, cerrados, compactos 4.1 Conjuntos abiertos en X, vecindades. . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Conjuntos cerrados. La cerradura . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 64 68

5 Funciones continuas 73 5.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2 Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Discontinuidades. L´ımites de la funci´on en un punto . . . . . . 79 i

ii 5.4

Funciones continuas en todas partes . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Integral de Riemann 6.1 Funciones R-integrables . . . . . . 6.2 Criterios de integrabilidad . . . . . 6.3 Espacio de funciones R-integrables 6.4 Integral indefinida . . . . . . . . . . 7 Derivaci´ on 7.1 La derivada . . . . . . . . . . . . 7.2 T´ecnicas de derivaci´on . . . . . . 7.3 Teoremas de valor medio . . . . . 7.4 Teorema fundamental del c´alculo diferencial e integral . . . . . . . 7.5 F´ormula de Taylor . . . . . . . . 7.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . 7.7 L´ımites en el infinito y l´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Funciones convexas . . . . . . . . 7.9 Estudio de las gr´aficas de funciones suaves . . . . . . . .

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89 89 92 94 100

103 . . . . . . . . . . . . . . . . 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . . . . . . 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 112 . . . . . . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8 Convergencia de funciones 8.1 Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . 8.3 Convergencia uniforme y continuidad . . . . . 8.4 Convergencia uniforme y la integraci´on . . . . 8.5 Convergencia uniforme y derivaci´on . . . . . . 8.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Integraci´on y derivaci´on de series de potencias 8.8 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 8.9 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .

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133 133 136 140 141 144 146 148 151 153

iii

Prefacio El presente curso de C´alculo Avanzado no pretende cargar al Lector con mayor cantidad de f´ormulas y teoremas por aprender. El avanze que se intenta lograr consiste en un mejor entendimiento de los temas e introducci´on a las t´ecnicas y los m´etodos de demostraci´on. Es una profunda convicci´on del autor que solamente el conocimiento de las demostraciones de los teoremas permite entender su contenido, importancia y el alcanze de sus aplicaciones. Un hecho realmente comprendido no necesita ser recordado, no nonstituye ninguna carga para la memoria, sino se vuelve parte de nuestro ser como una mano es parte de nuestro cuerpo. El primer cap´ıtulo est´a dedicado a la teor´ıa de los n´ umeros reales. En la matem´atica ”preunivesitaria” se intenta convencer al alumno que el concepto de n´ umero real es obvio y natural. Para este fin se utilizan las intuiciones geom´etricas identificando el eje real con una recta en el plano con un origen identificado con el n´ umero 0 y un semieje distinguido como el conjunto de los n´ umeros positivos. Entre enfoque funciona en pr´actica hasta cierto punto para tratar los problemas algebraicos, sin embargo no es suficiente para el an´alisis. Entre varios enfoques de la teor´ıa de n´ umeros escogemos aqu´ı el m´etodo de las cortaduras de Dedekind, aunque tal vez no es el m´etodo m´as sencillo. Tiene sin embargo una ventaja muy importante, a saber proporciona oportunidad de recordar las nociones de la teor´ıa de conjuntos y de hacer muchos ejercicios que en realidad pertenecan al ´area de la topolog´ıa que es el tema de varios Cap´ıtulos consecutivos. Para el estudio de la continuidad de funciones utilizamos en forma paralela los m´etodos de convergencia de sucesiones as´ı como tan llamados m´etodos ² − δ dandoles sin embargo el sabor a la topolog´ıa. La derivaci´on es tratada en forma sumamente tradicional, aunque se

iv mencionan los puntos de vista que luego ayudan el paso a las funciones de varias variables. El u ´ltimo Cap´ıtulo presenta los problemas de convergencia puntual, uniforme y casi uniforme de funciones que se aplican tambi´en a las series de funciones. El programa del curso corresponde exactamente a los programas vigentes de los cursos del C´alculo Avanzado I y II de la licanciatura en Matem´aticas de la Divisi´on de Ciencias B´asicas e Ingenier´ıa de la Universidad Aut´onoma Metropolitana - Iztapalapa.

Chapter 1 N´ umeros reales Los primeros n´ umeros que aprendemos a manejar son los n´ umeros naturales. Aunque parezca extra˜ no, se puede llegar a mucha habilidad en el manejo de los mismos sin haber definido que es en realidad un n´ umero natural. Con toda seguridad se puede decir que la mayor´ıa de las personas que ”practican” matem´aticas nunca en su vida se preocupan por conocer los problemas l´ogicos que est´an atras del concepto del n´ umero natural. Para justificar esta falta podemos comentar unicamente que la demostraci´on rigurosa del hecho de que 1+1=2 en un art´ıculo muy formal de Russell and Whitehead ocupa 362 p´aginas. En el curso de Estructuras Num´ericas conocimos la axiom´atica de Peano de N, pero la existencia del objeto que satisfaga esta axiom´atica no es obvia en absoluto. El mismo desarollo de la teor´ıa de los n´ umeros naturales a partir de los axiomas de Peano es una tarea larga que en los libros serios ocupa por lo menos 50 p´aginas. Introducci´on de los n´ umeros enteros, racionales y reales significa otros 100 p´aginas. El presente curso est´a dedicado al an´alisis real y bi´en podr´ımos empezar diciendo simplemente: Denotamos por R el eje real. Sin embargo, mientras que el manejo intuitivo de los n´ umeros naturales no presenta mayores peligros, no es as´ı en caso de los n´ umeros reales cuya ”existencia” es mucho menos obvia. Por otro lado, creemos que todos los cursos de la licenciatura, adem´as de ampliar los conocimientos de nuevas ´areas, deben participar en el desarrollo de la ”cultura matem´atica” profundizando los fundamentos de la misma. Aunque no es posible presentar brevemente las bases de la teor´ıa de los n´ umeros, vamos a dar un r´apido repaso de este tema poniendo especial ´enfasis sobre las construcciones de Z, Q, R a partir de la axiom´atica de los n´ umeros 1

2 naturales.

1.1

N´ umeros naturales y enteros

La axiom´atica de los n´ umeros naturales fue creada por Giuseppe Peano (1858-1932) un matem´atico italiano quien adem´as de grandes aportaciones en los fundamentos de matem´atica obtuvo resultados importantes en un ´area de caracter tan ”pr´actico” como la teor´ıa de ecuaciones diferenciales. Lo mencionams para subrayar que la preocupaci´on por los fundamentos de matem´aticas no es solo dominio de ”los aburridos puristas”. ´ tica de Peano para N Axioma Los n´ umeros naturales est´an formados por una terna (N, 1, σ), donde N es un conjunto, 1 es un elemento de N y σ : N → N es una funci´on llamada sucesor que tiene las siguientes propiedades: 1. σ(n) 6= 1 para todos n ∈ N, 2. σ(n) = σ(m) implica n = m para todos n, m ∈ N, 3. si S ⊂ N, 1 ∈ S y σ(S) ⊂ S entonces S = N. Para explicar el significado de la axiom´atica de los naturales debemos interpretar el elemento σ(n) como el elemento siguiente a n y el elemento n como el precedente de σ(n). El n´ umero 1 como el u ´nico elemento de N no tiene precedente. Todos los dem´as elementos tienen a lo m´as un precedente seg´ un axioma 2. El u ´ltimo axioma llamado el principio de la inducci´on matem´atica afirma que no existe dentro de N ning´ un subconjunto propio que satisfaga las condiciones 1 y 2. Gracias a este axioma se puede ver inmediatamente que cada elemento exepto 1 s´ı tiene su elemento precedente. Vale la pena estudiar su demostrac´on que es un ejemplo t´ıpico de la aplici´on de la inducci´on matem´atica. Proposition 1.1.1. σ(N) = N \ {1}. ´ n Sea M = σ(N) ∪ {1} ⊂ N. Directamente por la definici´on el Demostracio conjunto M contiene al elemento 1 y est´a cerrado con respecto a la operaci´on σ. Por axioma 3 obtenemos M = N. ¤

3 El tercer axioma permite tambi´en probar el siguiente resultado que demuestra en que sentido N es u ´nico. Su demostraci´on tambi´en se basa en en el m´etodo de la inducci´on. Teorema 1.1.2 Si las ternas (N, 1, σ) y (M, 1, τ ) satisfacen los axiomas de Peano, entonces existe una funci´on biun´ıvoca ϕ : N → M tal que ϕ(1) = 1 y ϕ(σ(n)) = τ (ϕ(n)). ´ n Definimos la funci´on ϕ de la manera siguiente: Demostracio a. ϕ(1) = 1, b. si ϕ(n) = m entonces ϕ(σ(n)) = τ (m) = τ (ϕ(n)). El dominio D de esta funci´on contiene el elemento 1 y es cerrado con respecto a σ. Entonces D = N. Es una funci´on un´ıvoca, porque ϕ(σ(n)) = ϕ(σ(m)) implica τ (ϕ(n)) = τ (ϕ(m)) y por axioma 2 se sigue ϕ(n) = ϕ(m). La imagen J = ϕ(N) contiene 1. Si p ∈ J entonces p = ϕ(n) para alg´ un n ∈ N. Obtenemos τ (p) = τ (ϕ(n) = ϕ(σ(n)) ∈ J. Por axioma 3 que es v´alido para la terna (M, 1, τ ) obtenemos que ϕ es tambi´en suprayectiva. ¤ Despu´es de haber presentado la axiom´atica de los n´ umeros naturales vamos a recordar brevemente el desarrollo de las propiedades de su estructura. El papel preponderante pertenece a la operaci´on de adici´on en N. No nos debe sorprender que la definici´on tiene tambi´en car´acter inductivo. ´ n La suma es una operaci´on N × N 3 (n, m) → n + m ∈ N Definicio definida en dos pasos: 1. La suma con 1 n + 1 = σ(1). 2. conociendo el valor de n + m ponemos n + σ(m) = σ(n + m). De acuerdo con Proposi´on 1.1.1 cada elemento de N que no es 1, tiene la forma σ(m). Aplicando el tercer axioma de Peano se deduce que la suma est´a definida para todo par (n, m). Esta demostraci´on se recomienda como un ejercicio.

4 Teorema 1.1.3 La aplicaci´on N × N 3 (n, m) → n + m ∈ N tiene las siguientes propiedades: Es conmutativa: n+m=m+n y asociativa: n + (m + k) = (n + m) + k. Tiene tambi´en la propiedad de cancelaci´ on: n + k = m + k ⇒ n = m. En N se define tambi´en la multiplicaci´on. ´ n La aplicaci´on de la multiplicaci´ Definicio on N × N 3 (n, m) → nm ∈ N 1. n1 = n, para todo n ∈ N, 2. Si conocemos el valor nm, definimos σ(m)n = mn + n. La propiedad 2 de la definici´on est´a creando la fundamental relaci´on entre la multiplicaci´on y la suma. Tomando m = 2 = σ(1) obtenemos la f´ormula 2n = n + n; para m = 3 se sigue 3n = 2n + n = n + n + n etc., lo que est´a de acuerdo con la definici´on intuitiva de que mn = n + · · · + n (m-veces.) Teorema 1.1.4 La multiplicaci´on es conmutativa: nm = mn y asociativa: n(mk) = (nm)k. Tiene tambi´en la propiedad de cancelaci´ on: nk = mk ⇒ n = m. La adici´on y la multiplicaci´on est´an relacionadas por la propiedad de distribuci´ on: (n + m)k = nk + mk. Tenemos finalmente un orden natural en N. ´ n Si n, m ∈ N, denotamos n < m y decimos que n es menor que Definicio m, o que m es mayor que n, cuando existe k ∈ N tal que m = n + k. Este orden es transitivo, es decir m < n y n < k implica m < k. He aqu´ı las f´ormulas de la compatibilidad del orden con las operaciopnes de suma y multiplicaci´on: Si m, n, k, l ∈ N y m < n, k < l entonces

5 1. m + k < n + l, 2. mk < nl. Una vez m´as se aplica el u ´ltimo axioma de Peano para demostrar la propiedad de tricotom´ıa: Para cada par a, b ∈ N una y solo una de las tres posibilidades se da: a < b, a = b, b < a. El principio de buen orden tambi´en se deduce del axioma de inducci´on: Cada conjunto F ⊂ N contiene un u ´nico elemento m´ınimo. ´ n de Z Construccio La construcci´on de los n´ umeros enteros consiste en agregar a N el elemento neutral 0 y el conjunto de los enteros negativos. Como resultado obtenemos un anillo ordenado: un grupo conmutativo con respecto a la adici´on y provisto de un orden y adem´as de la multiplicaci´on. En el producto cartesiano N × N introducimos la relaci´on (m, n) ≡ (k, l) cuando m+l = n+k. Dejamos al lector la tarea de verificar que esta relaci´on es de equivalencia. ´ n La clase del elemento (m, n) se va a denotar hm, ni y se llama Definicio un n´ umero entero. Por Z = N × N/ ≡ denotamos el conjunto de las clases de equivalencia con respecto a la relaci´on ≡. El c´alculo de los enteros surgi´o en forma natural de los calculos financieros de los efectivos y los adeudos. Si en el par (m, n) se interpreta m como efectivos y n como adeudo, entonces a dos pares (m, n) y (k, l) les corresponde la misma situaci´on financiera cuando m + l = k + n, es decir cuando (m, n) ≡ (k, l). Los n´ umeros naturales no son suficientes para describir las situaciones cuando la deuda supera a los efectivos y esta es la raz´on de introducir el espacio de los enteros. En el espacio Z sumergimos los n´ umeros naturales utilizando la funci´on ι : N 3 n → hn + 1, 1i ∈ Z.

(1.1)

La imagen de esta aplicaci´on satisface los tres axiomas de Peano por lo que se puede identificar con N. Consideramos N como subconjunto de Z.

6 En Z definimos la operaci´on de adici´on y de la multiplicaci´on extendiendo las que tenemos ya definidas en N. La adici´on: hm, ni + hk, li = hm + k, n + li, La multiplicaci´on: hm, nihk, li = hmk + nl, ml + nki. Cada vez que definimos una funci´on sobre las clases de equivalencia utilizando los representantes de la clase, es necesario verificar que la definici´on es correcta. Lo hacemos en el caso de la multiplicaci´on que aparentemente es m´as complicado. Tomando (m0 , n0 ) ≡ (m, n) y (k 0 , l0 ) ≡ (k, l) debemos probar que (m0 k 0 + n0 l0 , m0 l0 + n0 k 0 ) ≡ (mk + nl, ml + nk). Disponemos de la informaci´on de que m0 + n = n0 + m y k 0 + l = k + l0 . Multiplicando la primera ecuaci´on por k 0 y luego por l0 y la segunda por m y por n obtenemos: k 0 m0 + k 0 n l0 m + l0 n0 mk 0 + ml nk + nl0

= = = =

k 0 m + k 0 n0 , l0 m0 + l0 n, mk + l0 m nk 0 + nl.

Sumamos los lados izquierdos y los lados derechos de las ecuaciones y obtenemos: k 0 m0 + l0 n0 + ml + nk + k 0 n + l0 m + mk 0 + nl0 = k 0 n0 + l0 m0 + mk + nl + k 0 m + l0 n + l0 m + nk 0 . Gracias a la propiedad de la cancelaci´on llegamos a la igualdad k 0 m0 + l0 n0 + ml + nk = k 0 n0 + l0 m0 + mk + nl, que demuestra la equivalencia deseada. La demostraci´on correspondiente a la definici´on de la suma que es m´as sencilla, se recomienda como un ejercicio. En la proposici´on siguiente verificamos que las operaciones introducidas en Z constituyen una extenci´on de las operaciones definidas anteriormente para N. Proposici´ on 1.1.5 Si ι : N → Z es la inyecci´on definida en (1.1), entonces para todos n, m ∈ N 1. ι(m + n) = ι(m) + ι(n), 2. ι(mn) = ι(m)ι(n).

7 ´ n 1. Calculamos Demostracio ι(m+n) = hm+n+1, 1i = hm+n+2, 2i = hm+1, 1i+hn+1, 1i = ι(m)+ι(n). 2. Directamente por la definici´on ι(m)ι(n) = hm + 1, 1ihn + 1, 1i = h(m + 1)(n + 1) + 1, m + 1 + n + 1i = hmn + 1, 1i = ι(mn). ¤ He aqu´ı el resumen de las propiedades de las operaciones de la adici´on y de la multiplicaci´on: Teorema 1.1.6 Para a, b, c ∈ Z 1. a + b = b + a. 2. a + (b + c) = (a + b) + c. 3. La clase 0 = h1, 1i es el u ´nico elemento tal que a + 0 = a para todo a ∈ Z. 4. Para cada a = hm, ni ∈ Z el elemento −a = hn, mi = h1, 2ihm, ni es el u ´nico n´ umero que satisface a + (−a) = 0. 5. ab = ba. 6. a(bc) = (ab)c. 7. a(b + c) = ab + ac. 8. La clase 1 = h2, 1i es el u ´nico elemento tal que 1a = a para todo a ∈ Z. ´ n Todas las f´ormulas se obtiene aplicando directamente las Demostracio definiciones correspondientes, entonces dejamos esta tarea como ejercicio. Nos limitamos a demostrar que los elementos neutrales de la adici´on y de la multiplicaci´on y el elemento inverso de la adici´on son u ´nicos. Si a + 0 = a y a + 00 = a para todos a ∈ Z, entonces substituyendo a = 00 en la primera ecuaci´on y a = 0 en la segunda obtenemos 00 = 0 + 00 = 0. En forma an´aloga, si 1a = a y 10 a = a id´enticamente para a ∈ Z, entonces en particular 1 = 1 · 10 = 10 . Los elementos neutrales son u ´nicos.

8 Si −a y a∗ son inversos aditivos de a, entonces −a = −a + 0 = −a + (a + a∗ ) = (−a + a) + a∗ = a∗ . ¤ Al final definimos el orden en Z. Lo hacemos determinando primero los conjuntos de elementos positivos y negativos. Z+ = {hm, ni| m > n},

Z− = {hm, ni| m < n}.

Cuando m > n, tomando en cuenta que hm, ni = hm − n + 1, 1i = ι(m − n). Por lo tanto Z+ = ι(N). Usando esta observaci´on y Proposici´on 1.1.5 obtenemos inmediatamente: Corolario 1.1.7 Si a, b ∈ Z+ , entonces a + b, ab ∈ Z+ . Para cada par de n´ umeros naturales (m, n) tiene lugar una y solo una de las relaciones: m > n ´o m < n ´o m = n. Por lo tanto Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z− . Denotamos tambi´en Z∗ = Z+ ∪ Z− . ´ n Sean a, b ∈ Z. Decimos que a es menor que b (denotamos Definicio a < b) cuando b − a ∈ Z+ . Denotamos a ≤ b cuando b − a ∈ Z+ ∪ {0}. El estudio de esta relaci´on, lo dejamos a la secci´on siguiente, donde Z se sumerge en el campo de los n´ umeros racionales Q y el orden aqu´ı definido tambi´en se extiende al orden en este espacio m´as grande.

1.2

N´ umeros racionales

La descripci´on de los n´ umeros racionales que vamos a presentar no difiere mucho de la descripci´on conocida de la escuela primaria donde los n´ umeros n racionales se llaman las fracciones o los quebrados . Se trata de un m procedimiento que se aplica tambi´en en otras situaciones cuando tenemos una estructura aditiva de grupo conmutativo combinada por medio de la f´ormula de distribuci´on con la multiplicaci´on tambi´en conmutativa sin divisores de cero. La construcci´on de ”los quebrados” sumerge esta estructura en un campo, es decir una estructura, donde cada elemento no nulo tiene su inverso multiplicativo. En nuestro caso partimos de los n´ umeros enteros Z y el prop´osito es sumergir Z en un campo Q lo m´as peque˜ no posible. El hecho de que Q sea un

9 campo significa que para cada p ∈ Q, p 6= 0 existe su inverso multiplicativo, es decir un n´ umero p−1 ∈ Q tal que p(p−1 ) = (p−1 )p = 1. Mientras que la introducci´on de los n´ umeros enteros tuvo como prop´osito obtener una estructura que contiene a N y donde cada elemento tiene su inverso aditivo, la introducci´on de Q realiza el mismo plan con respecto a la multiplicaci´on de elementos no nulos. Pasamos a la construcci´on de Q. En el espacio de los pares (m, n) ∈ Z × Z∗ introducimos la siguiente relaci´on. (m, n) ∼ (k, l) cuando lm = kn. Proposici´ on 1.2.1 La relaci´on ∼ es una relaci´on de equivalencia. ´ n La condici´on (m, n) ∼ (m, n) se cumple obviamente. La Demostracio condici´on lm = kn significa que se cumple (m, n) ∼ (k, l) y tambi´en (k, l) ∼ (m, n), entonces la relaci´on es sim´etrica. Supongamos que (m, n) ∼ (k, l) y (k, l) ∼ (r, s). Tenemos entonces kn = lm y lr = sk. Por lo tanto kns = lms = lrn que implica l(ms − rn) = 0. Por suposici´on l 6= 0 entonces ms = rn que significa (m, n) ∼ (r, s). ¤ El espacio de los n´ umeros racionales es el conjunto Q de las clases de equivalencia Z × Z∗ / ∼. La clase de equivalencia de (m, n) se va a denotar por [m, n]. Sumergimos Z en Q por medio de la aplicaci´on τ : Z → Q, donde τ (m) = [m, 1]. Realmente se trata de una inyecci´on porque [m, 1] = [k, 1] implica (m, 1) ∼ (k, 1) y luego m = k. En Q introducimos las operaciones de la adici´on y de la multiplicaci´on. 1. [m, n] + [k, l] = [lm + nk, nl], 2. [m, n][k, l] = [mk, nl]. Nuevamente hemos definido una operaci´on en el espacio de las clases de equivalencia por medio de las operaciones sobre los representantes de las clases. Es necesario comprobar que la definici´on es correcta - que el resultado no depende del representante particular de cada clase. Lo vamos a hacer u ´nicamente en el caso de la suma, que es relativamente m´as complicado.

10 Sean (m, n) ∼ (m0 , n0 ) y (k, l) ∼ (k 0 , l0 ). Debemos demostrar que (lm + nk, nl) ∼ (l0 m0 + n0 k 0 , n0 l0 ). Lo que sabemos es que mn0 = nm0 y kl0 = lk 0 . Calculamos: (lm + nk)n0 l0 = lmn0 l0 + nkn0 l0 = lnm0 l0 + nn0 k 0 l = (m0 l0 + n0 k 0 )nl, por lo cual efectivamente (lm + nk, nl) ∼ (l0 m0 + n0 k 0 , n0 l0 ). El paso siguiente es ver que la inyecci´on τ transforma la adici´on y la multiplicaci´on en Z en las operaciones correspondientes en Q. Con este fin calculamos: τ (n + m) = [n + m, 1] = [n, 1] + [m, 1] = τ (n) + τ (m), τ (nm) = [nm, 1] = [n, 1][m, 1] = τ (n)τ (m). Las propiedades principales de la estructura algebr´aica definida en Q est´an contenidas en el siguiente teorema: Teorema 1.2.2 Para a, b, c ∈ Q 1. a + b = b + a, 2. a + (b + c) = (a + b) + c, 3. la clase 0 = [0, 1] es el u ´nico elemento tal que a + 0 = a para todo a ∈ Q, ´nico n´ umero 4. para cada a = [m, n] ∈ Q el elemento −a = [−m, n] es el u que satisface a + (−a) = 0. 5. ab = ba, 6. a(bc) = (ab)c, 7. a(b + c) = ab + ac, 8. la clase 1 = [1, 1] es el u ´nico elemento tal que 1a = a para todo a ∈ Q, 9. si a = [m, n] 6= 0 entonces a−1 = [n, m] es el u ´nico elemento tal que −1 a(a ) = 1. ´ n No vamos a desarrollar los c´alculos que unicamente neceDemostracio sitan la aplicaci´on de las definiciones correspondientes. Los recomendamos como ejercicios. La unicidad de los elementos neutrales de la adici´on y de la

11 multiplicaci´on, as´ı como la unicidad de −a se demuestra como en el caso de los n´ umeros enteros. Nos queda por demostrar que el inverso multiplicativo es u ´nico. Si a−1 y a∗ son inversos multiplicativos de a 6= 0 entonces a−1 = (a−1 )1 = (a−1 )aa∗ = a∗ . ¤ A continuaci´on en vez de a + (−b) vamos a escribir a − b llamando esta a operaci´on la sustracci´on. En en algunas ocasiones denotamos en vez de b −1 a(b ). (Aqu´ı b se supone 6= 0). Esta operaci´on se llama la divisi´on de a entre b. Las propiedades descritas en el u ´ltimo teorema se pueden resumir diciendo: Q es un campo. Otra estructura important´ısima que existe en Q es el buen orden. Para determinarlo definimos primero los conjuntos de los elementos positivos y de negativos. Sean Q+ = {[m, n]| nm > 0},

Q− = {[m, n]| nm < 0}.

Estas definici´ones necesitan cierta aclaraci´on. Debemos ver que el signo del producto nm es constante para cada elemento de la clase [m, n] 6= 0. Si (m0 , n0 ) ∼ (m, n) entonces mn0 = m0 n y obtenemos (mn)(m0 n0 ) = (nm0 )2 > 0. Por lo tanto mn y m0 n0 tienen el mismo signo. Las definiciones de Q+ , Q− son correctas. Obviamente Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ donde los tres componentes son disjuntos. Esta propiedad es llamada la tricotom´ıa del orden en Q. Denotamos Q∗ = Q+ ∪ Q− . Observemos la siguiente propiedad del conjunto Q+ : Proposici´ on 1.2.3 Para a, b ∈ Q arbitrarios 1. a + b ∈ Q+ , 2. ab ∈ Q+ .

12 ´ n Sean a = [m, n], b = [k, l] ∈ Q+ . Tenemos mn > 0 y kl > Demostracio 0. Luego, para a+b = [lm+nk, nl] calculamos (lm+nk)nl = l2 mn+n2 lk > 0, entonces a + b ∈ Q. Para el producto ab = [mk, nl] obtenemos mknl = (mn)(kl) > 0, entonces ab ∈ Q. ¤ Finalmente introducimos el orden en Q: a < b cuando b − a ∈ Q+ , a ≤ b cuando b − a ∈ {0} ∪ Q+ . Tenemos en particular: a < b si y solo si b − a > 0. La demostraci´on de que ≤ es un orden es sencilla y se deja como ejercicio. Como es costumbre con frecuencia escribiremos a > b ´o a ≥ b en lugar de escribir b < a ´o b ≤ a. La relaci´on del orden con las operaciones de la adici´on y de la multiplicaci´on se describe en el siguiente teorema. Teorema 1.2.4 Sean a, b, c, d ∈ Q. Entonces 1. si a < b, entonces a + c < b + c, 2. si a < b y c < d, entonces a + c < b + d, 3. a > 0 si y solo si −a < 0, 4. si a < b y 0 < c entonces ac < bc, 5. si a < b y c < 0 entonces ac > bc, 6. a > 0 si y solo si a−1 > 0, 7. Si 0 < a < b entonces b−1 < a−1 . ´ n Todas las afirmaciones se demuestran directamente por la Demostracio definici´on usando las propiedades b´asicas de los conceptos en cuesti´on. Inciso 1 dice nada mas que b + c − (a + c) = b − a > 0. En inciso 2 por suposici´on b − a ≥ 0 y d − c ≥ 0. Proposici´on 1.2.3 afirma que b − a + d − c = b + d − (a + c) ≥ 0. Entonces b + d ≥ a + c.

13 En inciso 3, si suponemos que −a ∈ Q+ , obtenemos de la Proposici´on 1.2.3 que 0 = a + (−a) ∈ Q+ , que no es cierto. Por lo tanto −a ≤ 0 y como a 6= 0 (ver ejercicio 6) se sigue que −a < 0. Entonces −a < 0. Para demostrar 4 calculamos ac − bc = (a − b)c ∈ Q+ por Proposici´on 1.2.3. An´alogamete, si c < 0 obtenemos −c > 0 y por lo tanto (−c)(b − a) = −cb + ca > 0, lo que implica ca > cb. En el caso del inciso 6 aplicamos el mismo razonamiento que en 3, recordando que a es el inverso de a−1 . Finalmente, para obtener 7 multiplicamos ambos lados de la desigualdad a < b por b−1 obteniendo a(b−1 ) < 1. Multiplicamos la u ´ltima desigualdad por a−1 y llegamos a la f´ormula b−1 < a−1 . ¤ La introducci´on del orden en Q nos permite observar unas propiedades nuevas del campo Q. Teorema 1.2.5 Si a, b ∈ Q y a < b, entonces existe c ∈ Q tal que a < c < b. a+b . Por suposici´on tenemos 2a < a+b < 2 a+b 2b. Dividiendo entre 2 pasamos a a < < b. ¤ 2

´ n Definimos c = Demostracio

Como corolario podemos deducir tan llamada propiedad arquimediana de los racionales: Teorema 1.2.6 Si a, b ∈ Q+ y a < b, entonces existe n ∈ N tal que b < na. a ´ n Por Teorema 1.2.5 existe 0 < [m, n] tal que [m, n] < . Demostracio b Multiplicando ambos lados de la desigualdad por nb obtenemos mb < na. Sin embargo m ≥ 1, entonces b ≤ mb < na. ¤ Corolario 1.2.7 Dado a ∈ Q+ , para cada ² > 0 existe n ∈ N tal que a < ². 2n Dejamos la demostraci´on como ejercicio.

14

1.3

Cortaduras de Dedekind

Antes de pasar a la construcci´on de los n´ umeros reales debemos explicar las razones de hacerlo. Los n´ umeros naturales N se introducen para poder contar objetos. En N podemos sumar y multiplicar los elementos. El anillo de los n´ umeros enteros Z se construye para poder adem´as efectuar las sustracciones. En el campo de los racionales Q podemos adem´as dividir entre cualquier elemento distinto de cero. En los casos de Z y Q las raz´on de construirlos es de car´acter algebraico. Desde este punto de vista la estructura del campo Q ya es muy satisfactoria, aunque no perfecta (habr´an razones tambi´en algebraicas para sumergirla en el campo de los complejos). Sin embargo, la construcci´on de los reales est´a motivada por necesidades de otro car´acter que, adelantandonos un poco, podemos llamar topol´ogicos. Para explicarlos recordemos primero un hecho bi´en conocido: Ejemplo 1: No existe en Q ning´ un n´ umero q que satisfaga la ecuaci´on q 2 = 2. Para demostrarlo supongamos que para m, n ∈ N el n´ umero q = [m, n] 2 2 2 2 cumple con q = [m, n] = [m , n ] = 2 y por lo tanto m2 = 2n2 . Si m2 contiene 2 como factor, entonces m es de forma m = 2k con k ∈ N. Por lo tanto m2 = 4k 2 = 2n2 . Obtenemos 2k 2 = n2 , lo que implica n = 2l, donde l ∈ N. Pero entonces [m, n] = [k, l], donde k = m/2 y l = n/2 son n´ umeros naturales. Repitiendo el argumento obtenemos que, si el par (m, n) satisface la ecuaci´on [m, n]2 = 2, entonces para cada p ∈ N el n´ umero m/2p sigue siendo un n´ umero natural. Obtenemos la contradicci´on con el principio de buen orden, porque resulta que el conjunto {m ∈ N| ∃n ∈ N, [m, n]2 = 2} no tiene elemento minimal. No existe entonces la soluci´on racional de la ecuaci´on q 2 = 2. Observemos ahora que, de todas maneras el n´ umero 2 se puede ”acosar” por ambos lados por los n´ umeros de forma q 2 , donde q ∈ Q. Denotemos p = {p ∈ Q| p < 0 o p2 < 2}. Teorema 1.3.1 Para todo 0 < p ∈ p y q 6∈ p existen p1 , q1 ∈ Q tales que p < p1 , q1 < q y p2 < p21 < 2 < q12 < q 2 . ´ n Como ya sabemos, la soluci´on racional de la ecuaci´on x2 = 2 Demostracio no existe.

15 El complemento del conjunto p tiene la forma pc = {x ∈ Q| x2 > 2}. Nuestra suposici´on significa entonces que p2 < 2 < q 2 . Buscamos 0 < hi ∈ Q, i = 1, 2, tales que (p + h1 )2 < 2 < (q − h2 )2 . Representamos (p + h1 )2 = p2 + (2p + h1 )h1 . Si hacemos h1 < 1 y al 2−p2 mismo tiempo h1 < 2p+1 , obtenemos para p1 = p + h1 : p21 = p2 + (2p + h1 )h1 < p2 + (2p + 1)h1 < p2 + 2 − p2 = 2. Tomando h2 =

q 2 −2 2q

obtenemos para q1 = q − h2 :

q 2 = (q − h2 )2 = q 2 − (q 2 − 2) + h22 > 2. ¤ Para dar una interpretaci´on importante del Teorema 1.3.1 introduzcamos los conceptos de elemento maximal y de elemento minimal de un conjunto A ⊂ Q. Diremos que A tiene elemento maximal si existe M ∈ A tal que p ≤ M para todo p ∈ A. En tal caso denotamos M = max A. El conjunto A tiene elemento minimal si existe m ∈ A tal que p ≥ m para todo p ∈ A. Denotamos m = min A. Teorema 1.3.1 combinado con Ejemplo 1 afirma que el conjunto p no tiene elemento maximal. El conjunto pc en cambio no tiene elemento minimal. Parece que entre los conjuntos p y su complemento queda un hueco y que este hueco es responsable de la falta de la soluci´on de la ecuaci´on r2 = 2. La construcci´on de los n´ umeros reales nos proporcionar´a en particular tal n´ umero que adem´as satisface p < r para todo p ∈ p y r < q para todo q ∈ pc . Vamos a ”llenar huecos” en el conjunto de los n´ umeros racionales. ´n Definicio Un subconjunto propio no vac´ıo a ⊂ Q se llama una cortadura de Dedekind si no contiene un elemento maximal y tiene la siguiente propiedad: x ∈ a, y < x ⇒ y ∈ a. A continuaci´on llamamos a las cortaduras de Dedekind solamente cortaduras.

16 Para obtener ejemplos de cortaduras podemos tomar a ∈ Q y luego definir xa = {x ∈ Q| x < a}.

(1.2)

Este conjunto satisface todas las condiciones que definen una cortadura. Es tambi´en obvio que si a, b ∈ Q y a < b entonces xa ⊂ xb y xa 6= xb . Efectivamente, el n´ umero racional 12 (a + b) pertenece a xb y no pertenece a xa . Las cortaduras de la forma xa , a ∈ Q se llaman cortaduras racionales. He aqu´ı una caracter´ıstica de las cortaduras racionales. Teorema 1.3.2 La cortadura a es racional si y solo si su complemento ac contiene un elemento minimal. ´ n Si a = xm con m ∈ Q, entonces m es el elemento minimal Demostracio de ac . Supongamos que m es el elemento minimal de ac . Si x ∈ Q y x > m entonces x ∈ ac , porque si x ∈ a y m < x implica m ∈ a, que no es cierto. Obtenemos entonces ac = {x ∈ Q| x ≥ m} y por lo tanto a = {x ∈ Q| x < m}. ¤ Observemos tambi´en que los elementos de una cortadura a no est´an separados de los elementos del complemento ac . Teorama 1.3.3 Sea a una cortadura. Para todo ε > 0 existen x0 ∈ a y y0 ∈ ac \ {min ac } tales que y0 − x0 ≤ ε. ´ n Sean x ∈ a e y ∈ ac \ {min ac }. Tomemos el n´ Demostracio umero x+y y−x z = 2 . Si z ∈ a, entonces x1 = z, y1 = y satisfacen y1 − x1 ≤ 2 . Si z ∈ ac \ {min ac } ponemos x1 = x, y1 = z y la misma desigualdad es v´alida. Cuando z = min ac podemos tomar x1 = 34 x + 14 y ∈ a y y2 = 41 x + 34 y ∈ ac y llegamos a la misma desigualdad. Ahora aplicando la inducci´on podemos obtener xn ∈ a y yn ∈ ac tales y−x . Tomando n suficientemente grande podemos cumplir que yn − xn < 2n y−x con yn − xn < < ε. 2n ¤ La aplicaci´on que a cada a ∈ Q le asocia la cortadura xa sumerge los n´ umeros racionales en el conjunto de las cortaduras. Surge la pregunta: ¿Existen las cortaduras que no son racionales?

17 Ejemplo fundamental Veremos que el conjunto p = {x ∈ Q| x < 0 o x2 < 2} es una cortadura no racional. Este conjunto no es vac´ıo y no es igual a Q. Si x ∈ p y tenemos y < x, entonces en el caso de y ≤ 0 inmediatamente obtenemos que y ∈ p. Si 0 < y la desigualdad y < x implica y 2 < x2 < 2, entonces y ∈ p. El conjunto p no contiene elemento maximal por el Teorema 1.3.1. As´ı vemos que p es una cortadura. Por el mismo teorema sabemos que pc no tieme elemento minimal, entonces p no es cortadura racional. umero √ En la teor´ıa que estamos presentando la cortadura ρ representa al n´ 2. Obviamente, modificando muy poco los mismos razonamientos podemos construir otras cortaduras no racionales correspondientes a los n´ umeros como √ 1 3, 5 3 etc. ´n Definicio Al conjunto de todas las cortaduras de Q, lo vamos a llamar el eje real y lo denotamos por R. Sus elementos - las cortaduras se van a llamar los n´ umeros reales. Como se˜ nalamos anteriormente los n´ umeros racionales se sumergen en R por medio de la aplicaci´on ι : Q → R, ι(p) = xp . La idea de usar las cortaduras para construir el eje real pertenece a Richard Dedekind (1831-1916). Otros enfoques a la teor´ıa de los reales fueron creados por Cantor, Weierstrass. Hoy los m´etodos de Cantor y de Dedekind son los m´as usados. Desarrollando la idea vamos a definir en R las operaciones algebr´aicas y el orden en forma consistente con las estructuras conocidas en el conjunto de los racionales. ´n Adicio Sean p, q dos cortaduras. Sea p + q = {a + b | a ∈ p, b ∈ q}. Por el momento p + q est´a bi´en definido como un subconjunto de Q. Demostraremos que p + q ∈ R, es decir que se trata de una cortadura. El conjunto no es vac´ıo y tampoco es igual a Q. Si x ∈ p + q entonces x = a + b, donde a ∈ p, b ∈ q. Existen a0 ∈ p, 0 b ∈ q tales que a < a0 y b < b0 . Entonces a + b < a0 + b0 = y ∈ p + q. El conjunto p + q no tiene elemento maximal.

18 Si x ∈ p + q e y < x entonces representando nuevamente x = a + b, donde a ∈ p, b ∈ q podemos escribir y = a + (b − (x − y)). En virtud de que b − (x − y) < b obtenemos b − (x − y) ∈ q y por consiguiente y ∈ p + q. El conjunto p + q es una cortadura llamada la suma de p y q. La operaci´on (p, q) → p + q se llama adici´ on. El teorema siguiente describe las propiedades b´asicas de esta operaci´on. Denotamos por 0 la cortadura x0 . Teorema 1.3.4 Para todo p, q, r ∈ R 1. p + q = q + p, 2. p + (q + r) = (p + q) + r, 3. p + 0 = p. 4. Existe una sola cortadura denotada por −p tal que p + (−p) = 0. ´ n Las propiedades 1 y 2 son obvias porque la adici´on en Q es Demostracio conmutativa y asociativa. Si x ∈ p + 0 entonces x = a + b, donde a ∈ p y b < 0. Por lo tanto a + b < a, lo que implica x = a + b ∈ p. Obtenemos p + 0 ⊂ p. Si a ∈ p, entonces existe y ∈ p tal que a < y, es decir a − y ∈ 0. Entonces a = y + (a − y) ∈ p + 0. Se cumple tambi´en la contensi´on p + 0 ⊃ p, entonces la igualdad 3. est´a probada. Para demostrar el inciso 4. veamos primero que la soluci´on de la ecuaci´on p + q = 0, si existe, es u ´nica. Supongamos entonces que p + q = 0 y p + s = 0. Aplicando las propiedades 1, 2 y 3 obtenemos q = (p + s) + q = (p + q) + s = s. Para definir la cortadura −p que satisfaga 4. consideremos primero una cortadura racional. Si p = xa entonces definimos −p = x−a . Si p no es racional ponemos −p = {−a|a ∈ pc } Por ser racional pc no contiene elemento m´ınimo, entonces −pc no contiene m´aximo. Sea −x ∈ −p, por lo cual x ∈ pc . Si y < −x, entonces x < −y ∈ pc . Se satisface y ∈ −pc . De tal manera resulta que el conjunto

19 −p = {−a|a ∈ pc } es una cortadura. Tenemos definido la cortadura −p para p arbitrario. En ambos casos podemos escribir −p = {−x| x ∈ pc \ {min pc }}. Para cada x ∈ p y y ∈ pc \{min pc } es v´alido que x−y < 0, entonces p+(−p) ⊂ 0. Por otro lado, por teorema 1.3.3 para ² < 0 arbitrario existen x0 ∈ p y 0 y ∈ pc \ {min pc } tales que ² < x0 − y 0 . Ya que x0 − y 0 ∈ p + (−p) de aqu´ı se obtiene ² ∈ p + (−p) y por ende 0 ⊂ p + (−p) y la demostraci´on est´a completa. ¤ El elemento −q se llama el inverso aditivo de q. De aqu´ı en adelante escribimos p − q en lugar de p + (−q). Proposici´ on 1.3.5 Para todo p, q ∈ R −(p − q) = q − p. ´ n Calculamos: Demostracio (p − q) + (q − p) = p + (−q) + q + (−p) = 0. Sabemos que para cada x su inverso aditivo est´a univocamente definido por la ecuaci´on x + (−x) = 0. Por lo tanto el inverso aditivo de p − q es es la cortadura q − p. ¤ Positividad y el orden en R El orden en el espacio de cortaduras se introduce por medio de la contensi´on. Decimos que q es mayor o igual a p (p es menor o igual a q) si p ⊂ q. Denotamos en tal caso q ≥ p, (p ≤ q). La relaci´on p < q (o q > p) significa que p es un subconjunto propio de q. Decimos que la cortadura p es positiva cuando p > 0; es negativa cuando p < 0). Teorema 1.3.6 Si p < q entonces existe a ∈ Q tal que p < xa < q. ´ n Por la suposici´on existe b ∈ q \ p. La cortadura no contiene Demostracio elemento maximal, entonces existe a tal que b < a ∈ q. La cortadura xa contiene p propiamente, porque contiene a b, que no es elemento de p. La contensi´on xa ⊂ q tambi´en es propia, porque q contiene un elemento mayor que a. ¤

20 Ahora podemos describir la positividad y la negatividad de la siguiente manera. Proposici´ on 1.3.7 1. p > 0 si y solo si p contiene a 0. 2. p < 0 si y solo si pc contiene un n´ umero negativo. Teorema 1.3.8 (propiedad de tricotom´ıa) Si p ∈ R entonces es v´alida una y solo una de las tras opciones: 1. p < 0, 2. p = 0, 3. p > 0. ´ n Esta afirmaci´on u Demostracio ´nicamente expresa las propiedades elementales de la contensi´on. Para p arbitrario 0 ∈ p ´o 0 6∈ p. En el primer caso 0 < p. En el segundo caso p ⊂ Q− = 0. Si la contenci´on es propia tenemos p < 0. En otro caso p = 0. ¤ El orden < est´a univocamente definido por la positividad. Proposici´ on 1.3.9 1. p < q si y solo si q − p > 0, 2. p < 0 si y solo si −p > 0. 3. Si p < q entonces p + s < q + s para s arbitrario. ´ n 1. Supongamos p < q. Existe a ∈ q \ p tal que a 6= Demostracio min pc . En este caso −a ∈ −p y 0 = a − a ∈ q − p. Entonces q − p > 0. Si q − p > 0, entonces 0 ∈ q − p. Existe entonces a ∈ q tal que a 6∈ p. Por lo tanto p < q. Apliquemos inciso 1 a q = 0 y obtenemos 2. La suposici´on p < q equivale a q + s + (−s) + (−p) > 0. El elemento (−s) + (−p) es inverso a s + p, entonces q + s + −(s + p) > 0. Aplicando nuevamente inciso 1 obtenemos s + p < s + p. ¤ Por R+ denotamos el conjunto de n´ umeros reales positivos y por R− los negativos. Adem´as R∗ = R+ ∪ R− . Definimos el valor absoluto de un n´ umero real: (

|p| =

p si p ≥ 0, −p si p < 0.

El valor absoluto de cualquier cortadura es una cortadura no-negativa.

21 ´n Multiplicacio A diferencia del caso de la suma de las cortaduras, la definici´on del producto no es tan natural. El conjunto P (p, q) = {ab| a ∈ p, b ∈ q} no es una cortadura. En particular P (0, 0) = Q+ , mientras que P (1, 0) = Q. Para definir el producto que tenga propiedades deseadas consideramos primero cortaduras no-negativas. Sean p, q ∈ R+ ∪ {0}. Entonces pq = Q− ∪ {ab| 0 ≤ a ∈ p, 0 ≤ b ∈ q}. Para p, q ∈ R definimos (

pq =

|p||q| −|p||q|

si ambas cortaduras son no-negativas ´o no-positivas, en otros casos.

Veamos que el conjunto definido es efectivamente una cortadura. Obviamente es un conjunto no vac´ıo. Tampoco es vac´ıo su complemento. Supongamos que x ∈ pq y que y < x. Si x ≤ 0 entonces y < 0 y por lo tanto pertenece a pq. Supongamos entonces que x = ab, donde 0 < a ∈ p, 0 < b ∈ q. Representamos y y = ab. ab y y y < 1 y por lo tanto a ∈ p. Obtenemos y = ab ∈ pq. Sabemos que 0 < ab ab ab El producto pq s´ı es una cortadura. Denotemos x1 = 1 y x−1 = −1. Proposici´ on 1.3.10 Para todos p, q, s ∈ R 1. pq = qp, (conmutividad del producto) 2. (pq)s = p(qs), (asociatividad del producto) 3. 1p = p1 = p, 4. −p = (−1)p.

22 ´ n El producto de dos cortaduras positivas p, q es la uni´on Demostracio del conjunto Q− ∪ {0} y del conjunto de los productos ab, donde 0 ≤ a ∈ p, 0 ≤ b ∈ q. Por la conmutividad del producto en Q obtenemos |p||q| = |q||p|. El signo del producto en el caso general no depende tampoco del orden de la multiplicaci´on. La asociatividad del producto en Q implica la f´ormula (pq)s = p(qs) en el caso de tres cortaduras no-negativas. El signo del producto triple en el caso general es positivo si todos los factores son no-negativos ´o u ´nicamente dos de ellos son negativos. En los dem´as casos el signo es negativo. El signo no depende del orden de efectuar las multiplicaci´on, entonces f´ormula 2 es v´alida. Pasamos al inciso 3. Es suficiente demostrar que la f´ormula es v´alida para p > 0. Las cortaduras 1p y p1 constan de Q− y de todos los productos ab, 0 ≤ a < 1, b ∈ p. Obviamente 1p ⊂ p. Por otro lado para cada 0 ≤ b ∈ p b b existe c tal que b < c ∈ p. Entonces b = c ∈ 1p, porque ∈ 1. El inciso 3 c c est´a demostrado. La cortadura −1 es negativa y su valor absoluto es 1. Por la definici´on del producto y por el inciso 1 tenemos para p ≥ 0: (−1)p = −|p| = −p. Cuando p < 0 obtenemos (−1)p = |p| = −p. En ambos casos es v´alida la f´ormula 4. ¤ Introduzcamos la notaci´on (

sgn p =

1 cuando p ≥ 0, −1 cuando p < 0.

Cada cortadura se puede escribir ahora como p = (sgn p)|p|. Con esta notaci´on pq = (sgn p)(sgn q)|p||q|. SEguido probamos que el inverso multiplicativo existe para todos los reales no-nulos. Teorema 1.3.11 Para cada p ∈ R, p 6= 0 existe un u ´nico elemento denotado por p−1 tal que p(p−1 ) = p−1 p = 1. ´ n Supongamos que p > 0 y sea pC = pc \ {min pc }. El Demostracio conjunto pC tiene la propiedad de que a ∈ pC y a < b implica b ∈ pC . Sea p−1 = Q− ∪{0}∪{a−1 | a ∈ pC }. Este conjunto no es vac´ıo y tampoco es igual a Q. No contiene m´aximo, porque pC no contiene m´ınimo. Supongamos que

23 a < b y que b ∈ p−1 . Si a ≤ 0 entonces a ∈ Q− ∪ {0} ⊂ p−1 . Queda por demostrar el caso de b, a > 0. Tenemos entonces b−1 < a−1 , donde b−1 ∈ pC . Se satisface a−1 ∈ pC y por lo tanto a ∈ p−1 . El conjunto p−1 es una cortadura. La multiplicaci´on es conmutativa, entonces es suficiente demostrar que p(p−1 ) = 1. La cortadura p(p−1 ) consta de Q+ ∪{0} y de todos los productos ab−1 , a ∈ p, b ∈ pC . En virtud de que a < b obtenemos p(p−1 ) ⊂ 1. Sea 0 < x < 1 y sean 0 < a ∈ p, b ∈ pC . Sea 0 < ² < a( x1 − 1). Por Teorema 1.3.3 existen a0 > a y 0 < h < ² tales que a0 ∈ p y a0 + h ∈ pC . El 0 a c´alculo directo demuestra que x < a+h < a0a+h . El u ´ltimo n´ umero pertenece −1 a p(p ), entonces x tambi´en le pertenece. Hemos probado que 1 ⊂ p(p−1 ) y la demostraci´on est´a terminada. ¤ Por pq vamos a denotar el producto p(q−1 ). Debemos estudiar finalmente la relaci´on entre la estructura aditiva y la estructura multiplicativa en R. Teorema 1.3.12 Para todos p, q, s ∈ R 1. 0p = p0 = 0. 2. p(q + s) = pq + ps. ´ n Inciso 1 se obtiene directamente aplicando la definici´on Demostracio del producto. Para demostrar 2 tomemos en principio p = −1. Como afirma el inciso 4 del Teorema 1.3.10 (−1)(q + s) es el elemento inverso al q + s. El u ´ltimo coincide con −q − s = (−1)q + (−1)s. La f´ormula es v´alida. Ahora supongamos que p y q, s son positivas. Para cada x ∈ p(q + s) existen 0 < a ∈ p, 0 < b ∈ q, 0 < c ∈ s tales que x < a(b + c) = ab + ac. El elemento ab+ac pertenece a pq + ps. Esto demuestra que p(q+s) ⊂ pq+ps. Pero tambi´en para cada y ∈ pq + ps existen 0 < a0 ∈ p, 0 < b0 ∈ q, 0 < c0 ∈ s tales que y < a0 b0 + a0 c0 = a0 (b0 + c0 ). Entonces pq + ps ⊂ p(q + s). Ahora, siguiendo con el caso de p, q, s positivos supongamos que q > s. Calculamos p(q−s)+ps = p(q−s+s) = pq. Por lo tanto p(q−s) = pq−ps. La f´ormula est´a probada en el caso de p ≥ 0 y q + s ≥ 0. Para obtener la f´ormula en caso general es suficiente recordar que cada cortadura se puede escribir como p = (sgn p)|p| y usar la asociatividad del producto. ¤

24 De tal manera acabamos de demostrar que (R, +, ·) es un campo en el cual est´a sumergido el campo de los racionales Q. En ambos espacios tenemos adem´as definido un orden ≤. Sin embargo en este momento no sabemos todav´ıa como las operaciones definidas en los reales est´an relacionadas con las operaciones de adici´on y de la multiplicaci´on de los racionales. Por lo tanto es fundamental demostrar que estas operaciones ”coinciden” en el sentido siguiente: Teorema 1.3.13 Para todos a, b ∈ Q 1. xa ≤ xb si y solo si a ≤ b, 2. xa+b = xa + xb , 3. xab = xa xb , ´ n La relaci´on xa ≤ xb es equivalente a xa ⊂ xb , entonces Demostracio inciso 1 es obvio por la misma definici´on de xa . La cortadura xa + xb consta de las sumas s + t, donde s < a, t < b. Obviamente s + t < a + b entonces xa + xb ⊂ xa+b . Por otro lado para cada a+b−v a+b−v ∈ xa y t = b − ∈ xb y v < a + b podemos tomar s = a − 2 2 obtenemos que v = s + t, entonces xa+b ⊂ xa + xb . Para demostrar 3 observemos primero que sgn xa = (sgn a)1. En vista de que pq = (sgn p)(sgn q)|p||q| es suficiente demostrar el inciso 2 en el caso de a, b > 0. El producto xa xb contiene Q ∪ {0} y todos los productos st, donde 0 < s < a, 0 < t < b. Entonces st < ab, lo que demuestra la contensi´on xa xb ⊂ xab . Si 0 < v < ab entonces existe un n´ umero racional s tal que av < s < b. v Sea t = . Entonces t < a y st = v. Ya que st ∈ xa xb , hemos obtenido la s relaci´on xab ⊂ xa xb . ¤ De aqu´ı en adelante vamos a identificar Q con su imagen bajo la aplicaci´on Q 3 a → xa ∈ R, entonces trataremos Q como un subcampo de los reales R.

25

1.4

Propiedad de supremo

La construcci´on de los reales por medio de las cortaduras fue motivada por el hecho de que Q se puede representar por ejemplo como Q = {a ∈ Q| a2 < 2} ∪ {a ∈ Q| a2 > 2}, donde ninguno de los componentes contiene extremo, es decir {a ∈ Q| a2 < 2} no tiene m´aximo y {a ∈ Q| a2 > 2} no contiene m´ınimo. En R tal situaci´on es imposible. Vamos a formular este hecho en varias formas. Recordemos que para A ⊂ R el supremo de A se define como un n´ umero real S tal que 1. ∀ a ∈ A a ≤ S, 2. ∀ ² > 0 ∃ a ∈ A S − ² < a. El supremo de A se denota sup A. Teorema 1.4.1 (Propiedad de supremo) Sea ∅ 6= A ⊂ R acotado superiormente. Entonces existe sup A. ´ n Los elementos de A son las cortaduras p ⊂ Q. Sea Demostracio S=

[

p = {a ∈ Q| ∃ p ∈ A, a ∈ p}.

p∈A

Vamos a demostrar que S es una cortadura y que S = sup A. El conjunto S no es vac´ıo, porque A no es vac´ıo. Por ser acotado superiormente A 6= R. Si S tuviera un elemento m´aximo m tendr´ıamos que m ∈ p para alg´ un p ∈ A. Entonces m ser´ıa el m´aximo para p que no es posible. Si a < b y b ∈ S entonces b ∈ p para alg´ un p ∈ A. Entonces a ∈ p ⊂ S. S s´ı es una cortadura. Directamente por su definici´on p ⊂ S, es decir p ≤ S para cada p ∈ A. Sea 0 < ² ∈ Q. Por Teorema 1.3.3 existe a ∈ S tal que a + ² 6∈ S. Existe entonces p ⊂ S tal que a ∈ p y por lo tanto xa ≤ p ≤ S ≤ xa+² ≤ p + x² . Las desigualdades p ≤ S ≤ p + x² demuestran que S = sup A. ¤

26 La propiedad de supremo es equivalente al siguiente hecho que en realidad afirma que considerando ahora las cortaduras en el espacio R no vamos a obtener m´as de lo que ya tenemos. Proposici´ on 1.4.2 Sea A ⊂ R un conjunto no vac´ıo que no contiene m´aximo y satisface la condici´on x < a ∈ A ⇒ x ∈ A. Entonces A = R ´o A = {x ∈ R| x < r}, donde r = sup A. ´ n Sea A 6= R y sea c ∈ R \ A. Entonces para todo a ∈ A Demostracio tenemos a > c. El conjunto A es superiormente acotado. Existe sup A seg´ un Teorema 1.5.1. Por suposici´on A no contiene m´aximo entonces sup A ∈ Ac . El complemento de A tiene entonces la forma {x ∈ R| x ≥ sup A}, mientras que A = {x ∈ R| x < r} como hemos enunciado. ¤ Adem´as de la propiedad de supremo, podemos hablar obviamente de la propiedad de ´ınfimo. Para A ⊂ R el supremo de A se es un n´ umero real I tal que 1. ∀ a ∈ A a ≥ I, 2. ∀ ² > 0 ∃ a ∈ A S + ² > a. El ´ınfimo de A se denota inf A. Teorema 1.4.3 (Propiedad de ´ınfimo) Sea ∅ 6= A ⊂ R acotado inferiormente. Entonces existe inf A. ´ n Sabemos que existe c ∈ R tal que c ≤ a para todo a ∈ A. Demostracio Tenemos entonces la desigualdad a − c ≥ 0, que equivale a −c − (−a) ≥ 0. El n´ umero −c mayoriza a todos los elementos del conjunto −A = {−a| a ∈ A}. Aplicando la propiedad de supremo podemos encontrar S = sup (−A). Tenemos entonces 1. ∀ a ∈ A

− a ≤ S,

27 2. ∀ ² > 0 ∃ a ∈ A S − ² < −a. Tomando I = −S obtenemos respectivamente 1. ∀ a ∈ A I ≥ a, 2. ∀ ² > 0 ∃ a ∈ A a < S + ². I = −S es igual al ´ınfimo de A. ¤

1.5

Raices

Una de las consequencias de la propiedad de supremo es la existencia de la 1 ra´ız a n para todo 0 < a ∈ R, n ∈ N. Necesitamos dos sencillos resultados auxiliares. Lema 1.5.1 Sean 0 < p, q ∈ R. Entonces p < q si y solo si pn < q n . ´ n Aprovechamos la f´ormula algebr´aica Demostracio q n − pn = (q − p)(q n−1 + q n−2 p + · · · + qpn−2 + pn−1 )

(1.3)

que se demuestra directamente aplicando asociatividad y distribuitividad de la multiplicaci´on. El producto de n´ umeros positivos y la suma de n´ umeros positivos n´ umero positivo, entonces el segundo factor del lado derecho de la f´ormula es positivo. Los n´ umeros q −p y q n −pn son del mismo signo positivo. ¤ Proposici´ on 1.5.2 Sea A ⊂ R+ un conjunto acotado y sea n ∈ N. Denotemos An = {xn | n ∈ A}. Entonces sup An = (sup A)n y inf An = (inf A)n . ´ n Denotemos s = sup A. Para todo x ∈ A tenemos a ≤ s y Demostracio por Lema 1.5.2 xn ≤ sn . Entonces sup An ≤ sn . Dado ² > 0, sea a ∈ A tal ² . Utilizando f´ormula (1.3) obtenemos que s − a < nsn−1 sn − an = (s − a)(sn−1 + sn−2 a + · · · + san−2 + an ) < (s − a)nsn−1 < ². As´ı se llega a la f´ormula sup An = (sup A)n . La demostraci´on en el caso de los ´ınfimos es an´aloga y se deja como ejercicio. ¤

28 Estamos preparados para demostrar el resultado principal de esta secci´on. Teorema 1.5.3 Sea n ∈ N y sea 0 < a ∈ R. Entonces existe una u ´nica soluci´on positiva de la ecuaci´on xn = a. ´n Demostracio Sean A = {0 < x ∈ R| xn < a} y B = {0 < x ∈ R| xn > a}. Denotamos s = sup A y m = inf B. Aplicando Proposici´on 1.5.2 obtenemos sn = sup{xn | x ∈ A} = sup{xn | xn < a} ≤ a y mn = inf{y n | y n > a} ≥ a. Por consiguiente sn ≤ a ≤ mn y aplicando Lema 1.5.1 se concluye que s ≤ m. En el caso de s = m obtenemos sn = mn = a lo que termina la demostraci´on. Supongamos entonces que s < m. Existe un n´ umero real p tal que n n n s < p < m y por consiguiente s < p < m . Ese n´ umero satisface una de las condiciones: pn < a ´o pn > a ´o pn = a. La primera opci´on equivale a p ∈ A, lo que es imposible porque p es mas grande que s. La segunda opci´on corresponde a p ∈ B que contradice a la desigualdad p < m. Entonces pn = a. Obtuvimos la soluci´on de la ecuaci´on. La soluci´on es u ´nica por Lema 1.5.1. ¤ El√n´ umero no-negativo x que satisface la ecuaci´on xn = a se denota por 1 a n o n a y se llama la n-esima ra´ız de a. Qualquier n´ umero positivo en el campo real tiene su ra´ız en el mismo campo. Ejercicios y Problemas 1. Demuestre que la funci´on F (m, n) =

(m + n − 1)(m + n − 2) +n 2

es una biyecci´on de N × N sobre N.

29 2. Demostrar que Z+ = ι(N). 3. Verificar todos los incisos de Teorema 1.1.4. 4. Demostrar que −a = (−1)a para cada a ∈ Z. 5. Demostrar que ab = 0 implica a = 0 ´o b = 0 para a, b ∈ Z. 6. Sea S ⊂ Z un subgrupo aditivo de Z, es decir un subconjunto que contiene a cero, es cerrado con respecto de la suma y de la operaci´on n → −n. Demostrar que existe k ∈ N tal que S = Sk = {nk| n ∈ Z}. 7. Demostrar que cada [m, n] ∈ Q es igual a

ι(m) . ι(m)

8. Probar que, dado a ∈ Q+ , para cada ² > 0, ² > 0 existe n ∈ N tal que a < ². 2n 9. Deducir Teorema 1.2.5 a partir de la propiedad arquimediana 1.2.6. 10. Demuestre que {q ∈ Q| q 3 < 5} es una cortadura que no es racional. 11. Demostrar que para p, q ∈ R arbitrarios la ecuaci´on x + p = q tiene una soluci´on y que esta soluci´on es u ´nica. 12. Demostrar que para p, q ∈ R, donde p 6= 0 la ecuaci´on xp = q tiene una soluci´on y que esta soluci´on es u ´nica. 13. Sean p, q cortaduras no negativas. Demuestre que pq ≥ 0. 14. Demuestre que p ≤ q si y solo si −p ≥ −q. 15. Demuestre que p > 1 si y solo si p−1 < 1. 16. Demuestre que para p > 0 y 0 < t < 1 se tiene tp < p. 17. Sea A ⊂ R+ un conjunto acotado y sea B = {x2 | x ∈ A}. Pruebe que sup B = (sup A)2 . 18. Para A ⊂ R denotemos −A = {−a| a ∈ A}. Demuestre que sup A = − inf(−A) si por lo menos uno de estos n´ umeros existe.

30 19. Demuestre que ∀² > 0 ∃ n ∈ N tal que

1 < ². n

20. Demueste la desigualdad |a1 + · · · + an | ≤ |a1 | + · · · + |an | para ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n aplicando la inducci´on matem´atica.

Chapter 2 Sucesiones De aqu´ı en adelante dejamos de denotar a los n´ umeros reales con las letras negritas que en el cap´ıtulo anterior se usaron para subrayar que los n´ umeros reales seg´ un Dedekind est´an definidos como conjuntos de n´ umeros racionales.

2.1

Midiendo las distancias

Muchos de los resultados que vamos a obtener en los cap´ıtulos si- guientes se demuestran comparando las expresiones de forma |p − q|, p, q ∈ R. Vamos a llamar este n´ umero no-negativo la distancia entre p y q y en algunas ocasiones lo denotamos por d(p, q). En geometr´ıa este valor se interpreta como la magnitud del segmento que une p con q, lo que permite apoyar los razonamientos con ciertas interpretaciones geom´etricas. Antes de todo hagamos una observaci´on ing´enua y sin embargo importante. Decir que |a−x| < c para alg´ un c > 0 significa que a−x < c y a la vez x − a < c. Estas dos desigualdades se pueden escribir como a − c < x < a + c y se interpretan diciendo que x se encuentra dentro del intervalo (a−c, a+c). Las propiedades b´asicas del valor absoluto est´an contenidas en el teorema siguiente. Teorema 2.1.1 Para todos p, q, r ∈ R 1. |x + y| ≤ |x| + |y|. La igualdad tiene lugar unicamente cuando x y y tienen el mismo signo. 2. |x − y| ≤ |x − r| + |r − y|, 31

32 (d(x, y) ≤ d(x, r) + d(r, y)). 3. ||x| − |y|| ≤ |x − y|. ´ n Directamente por la definici´on del producto de los n´ Demostracio umeros reales vemos que x2 = |x|2 . Calculamos |x + y|2 = (x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y 2 ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 = (|x| + |y|)2 . Seg´ un Lema 1.5.2 se sigue |x + y| ≤ |x| + |y|. La igualdad se obtiene si y solo si xy = |x|||y| y lo u ´ltimo es v´alido si y solo si los signos de ambos n´ umeros coinciden. Inciso 2 es en realidad un caso particuler del inciso 1: |x − y| = |(x − r) + (r − y)| ≤ |x − r| + |r − y|. Desigualdad 2 est´a demostrada. |x| − |y| = |x − y + y| − |y| ≤ |x − y| + |y| − |y| = |x − y|. Cambiando los papeles de x y y tenemos de la misma manera |y| − |x| ≤ |y − x| = |x − y|. Finalmente ||x| − |y|| ≤ |x − y|. ¤ El valor absoluto |x| se puede interpretar como d(0, x) - la distancia de x del punto 0. La desigualdad 1 dice que la suma x + y no puede distanciarse de 0 m´as que por la suma de las distancias de x y de y a cero. La desigualdad 3 significa que x y y no pueden acercarse m´as que a la diferencia entre sus valores absolutos. La desigualdad 2, cuando se generaliza a los vectores en Rn adquiere el nombre de la desigualdad de tri´angulo y afirma que la distancia entre x y y no puede superar la suma de las distancias de x y de y a cualguier otro punto del espacio.

33

2.2

Sucesiones y subsucesiones

´ n Una sucesi´on en un espacio X es una funci´on con dominio N y Definicio valuada en X. En particular una sucesi´on de n´ umeros reales es una funci´on a : N → R. A diferencia de otras funciones, el valor de una sucesi´on a en n no se acostumbra denotar por a(n) sino por an . En lugar de a mismo se usa la notaci´on (an ). Es una cuesti´on de tradici´on que desgraciadamente puede provocar algunas confusiones. En particular no se debe confundir la funci´on (an ) con el conjunto de sus valores {an }n∈N . En el espacio de todas las sucesiones reales podemos definir la suma, producto y a veces el cociente de dos sucesiones. Sean (an ), (bn ) sucesiones reales y a ∈ R. 1. (an ) + (bn ) = (an + bn ), 2. (an )(bn ) = (an bn ), 3. a(an ) = (aan ), µ ¶ (an ) an 4. (b ) = b , n n si bn 6= 0 para todo n ∈ N. Una sucesi´on (an ) es acotada superiormente (inferiormente) cuando existe A ∈ R tal que an < A (respectivamente an > A) para todos n ∈ N; (an ) es acotada cuando existe A > 0 tal que |an | < A para todos n ∈ N. La sucesi´on (an ) es creciente (decreciente) cuando n < m implica an < am (respectivamente an > am ). En muchas ocasiones nos interesan unicamente los valores de una sucesi´on sobre un subconjunto de N lo que conduce al concepto de la subsucesi´on. ´ n Sea (nk ) una sucesi´on mon´otona creciente valuada en N y Definicio sea (an ) una sucesi´on real arbitraria. La sucesi´on N 3 k → ank se llama subsucesi´on de (an ) y se denota (ank ). Ejemplos 1. Sea an = (−1)n . Tomando nk = 2k obtenemos como (ank ) la sucesi´on constante igual a 1, porque a2k = (−1)2k = 1. Si en cambio tomamos nk = 2k + 1 obtenemos a2k+1 = (−1)2k+1 = −1.

34 2. Sea an = (−1)n + n sen (nπ/3). Supongamos que nos interesa una subsucesi´on de (an ) que tenga valores negativos. Ponemos nk = 3k. Obtenemos ank = (−1)3k + 3ksen (πk) = −1. Si en cambio queremos obtener una subsucesi´on creciente podemos tomar nk = 6k + 1 y entonces √ π 3 ank = (−1)6k+1 + (6k + 1) sen (2kπ + ) = (−1) + (6k + 1) . 3 2 3. Para (an ) arbitraria denotemos: P = {n ∈ N| an ≥ 0},

N = {n ∈ N| an < 0}.

En los conjuntos P , N existe el orden natural. Por lo menos uno de estos conjuntos es infinito. Supongamos que lo es P . Para k ∈ N denotemos nk = k-´esimo elemento de P . La subsucesi´on (ank ) consta de todos los elementos no negativos de (an ). Si N es infinito podemos construir en forma an´aloga otra subsucesi´on (amk ) que consta de todos los elementos negativos de (an ).

2.3

Sucesiones convergentes. L´ımites

´ n Sea (an ) una sucesi´on real y sea a ∈ R. Decimos que la sucesi´on Definicio (an ) converge al limite a si ∀² > 0 ∃ ∈ N, ∀ n ≥ N, |an − a| ≤ ². Denotamos entonces an −→ a ´o limn→∞ an = a. Decimos que (an ) es una n→∞ sucesi´on convergente cuando existe su l´ımite (aunque no sepamos su valor). Seg´ un esta definici´on la convergencia de (an ) al n´ umero real a significa que para cada ² > 0 unicamente un n´ umero finito de elementos an no cabe en el intervalo de forma [a − ², a + ²]. La convergencia de (an ) a a se puede interpretar como la acumulaci´on de los elementos an alrededor del n´ umero a. En este caso estamos usando la palabra ”acumular” en el sentido com´ un y corriente. Hay que mencionar que existe tambi´en el concepto matem´atico de ”un punto de acumulaci´on de un conjunto” que vamos a definir m´as adelante y cuyo significado es diferente.

35 Teorema 2.2.1 Si (an ) es convergente, entonces existe un solo l´ımite de (an ). ´ n Supongamos que limn→∞ an = a y limn→∞ an = b. SabeDemostracio mos que, dado ² > 0 existe N y existe M tal que para n > max{N, M } se tiene |an −a| < ²/2 y |an −b| < ²/2. Por lo tanto |a−b| ≤ |an −a|+|an −b| ≤ ². N´ umero a en el intervalo (a − ², a + ²) para cada ² > 0. Obtenemos que \ b est´ b ∈ (a − ², a + ²). Este u ´ltimo conjunto contiene un solo punto a. En²>0

tonces a = b. ¤ Teorema 2.2.2 Cada sucesi´on convergente es acotada. ´ n Si limn→∞ an = a, entonces existe N tal que Demostracio |an − a| < 1 para n > N . Para los mismos valores n obtenemos |an | = |an − a + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a|. ¤ Ejemplos 1 . Para cada ² > 0 existe N tal que N1 < ². Adem´as, para n n > N tenemos n1 < N1 . Estos dos hechos demuestran que

1. Sea an =

lim

n→∞

2. Sea an =

1 = 0. n

n+1 . n+3

2 . n+3 Para ² > 0 arbitrario existe N tal que N 1+3 < ²/2. Para n > N 2 obtenemos |an − 1| = n+3 < N2+3 < ². Por lo tanto Representamos an = 1 −

lim

n→∞

3. Sea an =

√

n+3−

√

n+1 = 1. n+3

n + 5.

Esta vez transformamos an en √ √ √ √ 2 ( n + 3 − n + 5)( n + 3 + n + 5) √ √ √ = −√ . an = n+3+ n+5 n+3+ n+5

36 Para los n´ umeros positivos a, b la desigualdad a2 < b2 implica a < b. √ La sucesi´on n es entonces mon´otona creciente y no acotada. Esto quiere decir que para todo ² > 0 existe N tal que √1N < ² y luego para n > N se obtiene √1n < √1N . De aqu´ı se sigue |an | = √

2 1 1 √ <√ < √ < ². n+3+ n+5 n+3 N

De tal manera lim

n→∞

√

n+3−

√

n + 5 = 0.

4. Como sabemos, todas las sucesiones convergentes son acotadas. Esta condici´on est´a lejos de ser suficiente para la convergencia de una sucesi´on. La sucesi´on an = (−1)n es acotada y no es convergente. Contiene dos distintas subsucesiones constantes: a2k = (−1)2k = 1 y a2k+1 = (−1)2k+1 = −1. Existen sucesiones acotadas que tienen un n´ umero realmente grande de subsucesiones convergentes a l´ımites diferentes. Los n´ umeros racionales del intervalo [0, 1] forman un conjunto numerable. Esto quiere decir exactamente que existe una sucesi´on (an ) tal que an ∈ Q∩[0, 1], adem´as an 6= am para n 6= m y {an }n∈N = Q∩[0, 1]. Para cada n´ umero x ∈ [0, 1] 1 y k ∈ N existe nk tal que |ank − x| < k . Podemos siempre seleccionar nk de tal manera que nk > nk−1 . Obtenemos una subsucesi´on ank que converge a x. Vemos entonces que nuestra sucesi´on (an ) contiene por lo menos tantas subsucesiones convergentes distintas, cuantos n´ umeros reales contiene el intervalo [0, 1]. El estudio de la convergencia directamente por la definici´on es a veces complicada. He aqu´ı los teoremas b´asicos que permiten efectuar esta tarea por pasos. Teorema 2.2.3 Sean limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b y c ∈ R. Entonces 1. limn→∞ an + bn = a + b, 2. limn→∞ an bn = ab, limn→∞ can = ca. 3. Si adem´as bn 6= 0 y limn→∞ bn 6= 0, entonces an a limn→∞ = . bn b

37 ´ n 1. Fijando ² > 0 encontramos N y M tales que |an − a| < Demostracio ²/2 para n > N y |bm − b| < ²/2 para m > M . Por lo tanto para k > max{N, M } tenemos |ak + bk − (a + b)| ≤ |ak − a| + |bk − b| < ². 2. Sabemos que las sucesiones (an ) y (bn ) son acotadas. Sea A > 0 una cota com´ un para los valores absolutos de los elementos de ambas sucesiones y para sus l´ımites a, b. Ahora escogemos N tal que para n > N se cumple ² ² y |bn − b| < . |an − a| < 3A 3A |ak bk − ab| = |ak bk − ak b + ak b − abk + abk − ab| = |ak (bk − b) + bk (ak − a) + a(bk − b)| ≤ |ak ||bk − b| + |bk ||ak − a| + |a||bk − b| ≤ ². La primera f´ormula del inciso 2 est´a mostrada. Si tomamos como (bn ) la sucesi´on constante bn = c para todo n ∈ N, obtenemos obviamente limn→∞ bn = c y as´ı surge la segunda f´ormula. 3. Si | limn→∞ bn | = |b| > 0 entonces existe N1 tal que para n > N1 |b| . Como |bn | + |b − bn | ≥ |b|, obtenemos |bn | ≥ se cumple |bn − b| < 2 |b| |b| − |b − bn | ≥ . 2 Podemos ahora encontrar N > N1 tal que para n > N se cumplen ²|b|2 ²|b|2 |a − an | < y |bn − b| < , donde A > 0 es la cota com´ un para 4A 4A ambas sucesiones y sus l´ımites. Calculamos ¯ ¯ ¯ an a ¯¯ ¯ − ¯ ¯

bn

b

|ban − bn an + bn an − abn | |ban − abn | ≤ |bn b| |bn b| |an ||b − bn | + |bn ||an − a| 2A ≤ ≤ 2 (|a − an | + |bn − b|) ≤ ². |b||bn | |b| =

¤ El siguiente teorema tiene aplicaciones numerosas. Teorema 2.2.4 Sean (an ), (bn ) sucesiones convergentes con l´ımites a y b, respectivamente. Si an ≤ bn para todo n entonces a ≤ b. ´ n Introducimos la sucesi´on (bn − an ), cuyo l´ımite es b − a, Demostracio seg´ un el teorema anterior. Por la suposici´on bn − an ≥ 0. Es suficiente demostrar que b − a > 0. Supongamos lo contrario, es decir que

38 c = limn→∞ bn −an < 0. Para n suficientemente grande tenemos |bn −an −c| ≤ |c| |c| |c| c y en particular bn −an −c ≤ . De aqu´ı se sigue bn −an ≤ c+ = < 0, 2 2 2 2 que es una contradicci´on. Entonces b − a ≥ 0. ¤ Teorema 2.2.5 (Teorema de tres sucesiones o teorema de sandwich) Sean an ≤ bn ≤ cn . Si las sucesiones (an ) y (cn ) convergen y limn→∞ an = limn→∞ cn entonces la sucesi´on (bn ) converge al mismo l´ımite. ´ n Sea a = limn→∞ an = limn→∞ cn . Para ² > 0 arbitrario Demostracio existe N tal que para n > N tenemos a la vez |a − an | ≤ ² y |a − cn | ≤ ². Entonces a − ² ≤ an ≤ bn ≤ cn ≤ a + ². Obtenemos |a − bn | ≤ ², lo que demuestra la convergencia de la sucesi´on bn al mismo l´ımite a. ¤ El principio de supremo proporciona otro criterio de convergencia muy u ´til. Teorema 2.2.6 Si (an ) es una sucesi´on superiormente acotada y no decreciente, entonces existe limn→∞ an = supn∈N an . ´ n El conjunto {an }n∈N es superiormente acotado. Por el Demostracio principio de supremo sabemos que existe a = supn∈N an . Por la definici´on del supremo para todo ² > 0 existe N tal que 0 < a − aN ≤ ². Siendo (an ) no decreciente obtenemos 0 < a − an ≤ ² para n > N . Entonces a = limn→∞ an . ¤ Teorema 2.2.7 Si limn→∞ an = a entonces para cada subsucesi´on (ank ) lim ank = a.

k→∞

´ n Lo que sabemos es que Demostracio ∀² > 0 ∃ N, ∀ n > N |a − an | ≤ ². La aplicaci´on k → nk es mon´otona creciente. Existe K tal que nK > N y entonces para k > K tenemos nk > N y por lo tanto |a − ank | ≤ ². La subsucesi´on converge al mismo l´ımite. ¤

39 Ejemplos 1 1. Sea an = α . Queremos determinar los valores de α para los cuales la n sucesi´on converge o diverge. Como sabemos, 0 < a < b implica aα < bα µ ¶1 1 α cuando α > 0. Si ² > 0 y N > , entonces para n > N obtenemos ² 0<

1 1 ≤ α < ². α n N

1 1 Por lo tanto n→∞ lim α = 0 para α > 0. Para α < 0 la identidad α = n−α n n demuestra que la sucesi´on no es acotada, entonces no diverge. √ 2. Sea an = n n. Denotamos bn = an −1. Utilizando la f´ormula de binomio de Newton obtenemos n = (1 + bn )n > 21 n(n − 1)b2n y despejando llegamos a s 2 0 ≤ bn ≤ para n > 1. n−1 Por el criterio de tres sucesiones obtenemos lim an = 1 + n→∞ lim bn = 1.

n→∞

√ √ 3. Para p ≥ 1 y n > p tenemos 1 < n p < n n y por el crite√ rio de tres sucesiones limn→∞ n p = 1. Si 0 < p < 1 tenemos 1 √ √ q = 1. La f´ ormula limn→∞ n p = 1 es v´alida para lim n p = n→∞ n 1 limn→∞ p todo p > 0. 4. Sea 0 ≤ a < 1 y sea an = an . En virtud de que an+1 = aan < an , la sucesi´on es decreciente. Es tambi´en acotada inferiormente por 0. Gracias a Teorema 2.2.6 sabemos que es convergente. Sea x = limn→∞ an . Por Teorema 2.2.3.2 x2 = limn→∞ a2n = x, porque el l´ımite de una subsucesi´on coincide con el l´ımite de la sucesi´on misma. Obtenemos x(x − 1) = 0 y como x 6= 1 obtenemos x = limn→∞ an = 0. 5. La f´ormula 1−an = (1−a)(1+a+a2 +· · ·+an ) implica para −1 < a < 1 que n X 1 1 − an k = . lim a = lim n→∞ n→∞ 1 − a 1−a k=0

40 µ

¶

1 n . En este caso nos limitamos a demostrar que la n sucesi´on converge. La f´ormula de Newton nos permite representar

6. Sea an = 1 +

1 n−1 1 (n − 1)(n − 2) 1 n! + + · · · + = 2 n 2! µ n 3! n n! n ¶ µ ¶µ ¶ 1 1 1 1 2 = 1+1+ 1− + 1− 1− + ... 2! n 3! n n µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 2 n−1 1 1− 1− ... 1 − . + n! n n n

an = 1 + 1 +

El elemento siguiente an+1 es una suma que tiene un t´ermino positivo m´as que an . Si comparamos los t´erminos de an+1 y an que tienen 1 como factor observamos que es m´as grande aquell de los dos que k! corresponde al ´ındice n + 1. La sucesi´on (an ) es creciente. La misma representaci´on de an demuestra que an < 1 + 1 +

1 1 1 1 1 + ··· + < 1 + 1 + + 2 + · · · + n−1 < 3 2! n! 2 2 2

seg´ un el resultado del inciso anterior.

µ

Por Teorema 2.2.6 (an ) converge. Denotamos e = lim

n→∞

Visiblemente 2 < e < 3.

2.4

1 1+ n

¶n

.

Punto l´ımite, l´ımite superior e inferior

Como sabemos, sucesiones divergentes pueden tener subsucesiones convergentes. Vamos a estudiar m´as atentamente esta propiedad. ´ n Sea (an ) una sucesi´on. Un n´ Definicio umero x ∈ R se llama punto l´ımite de la sucesi´on (an ) si existe una subsucesi´on ank tal que x = limk→∞ ank . Resulta que todas las sucesiones acotadas tienen puntos l´ımite. Vamos a indicar concretamente a dos de ellos. Primero los definimos llamandolos el l´ımite superior y el l´ımite inferior de la sucesi´on. ´ n Sea (an ) una sucesi´on acotada. Definicio sucesi´on (an ) es el n´ umero lim sup an = lim sup an . n→∞

n→∞ k>n

El l´ımite superior de la

41 El l´ımite inferior de (an ) se define como lim inf an = lim inf an . n→∞

n→∞ k>n

Observemos que lim supn→∞ an existe cuando los |an | tienen una cota superior A. La sucesi´on auxiliar bn = supk>n an est´a bi´en definida para todo n. Esta sucesi´on es no-creciente, porque el supremo tomado en un conjunto m´as peque˜ no es mas peque˜ no. La sucesi´on (bn ) es no-creciente y acotada, entonces tiene l´ımite, es decir lim supn→∞ an existe. En forma an´aloga se demuestra que existe lim inf n→∞ an . Teorema 2.3.1 Sea (an ) una sucesi´on acotada. Entonces lim supn→∞ an y lim inf n→∞ an son puntos l´ımite de (an ). Para cada x que es punto l´ımite de (an ) se satisface lim inf n→∞ an ≤ x ≤ lim supn→∞ an . ´ n Denotemos s = lim supn→∞ an . Sea bn = supk>nm ak . EnDemostracio tonces s = limn→∞ bn . Debemos construir una subsucesi´on de (an ) convergente al mismo s. Para cada ² > 0 existe un n´ umero infinito de ´ındices m tales que s ≤ bm < s + ²/2. (Recordemos que bn & s). Por otro lado, para cada m existe tambi´en un n´ umero infinito de ´ındices k tales que bm −ak ≤ ²/2. En suma, para cada ² > 0 la desigualdad |ak − s| ≤ |bm − ak | + |bm − s| ≤ ² se cumple para un n´ umero infinito de ´ındices k. La sucesi´on buscada se construye inductivamente. Escojemos n1 de tal manera que |an1 − s| < 1. Si ya hemos seleccionado ank de tal manera que 1 |ank − s| ≤ k1 , buscamos luego nk+1 > nk de tal manera que |ank+1 − s| < k+1 . La subsucesi´on (ank ) converge a s. De la manera an´aloga se demuestra que lim inf n→∞ an es tambi´en un punto l´ımite de la sucesi´on. Si (ank ) converge a x entonces todas sus subsucesiones convergen a x y en particular lim inf ank = lim sup ank = x. k→∞

k→∞

Es obvio por las definiciones correspondientes que para cada subsucesi´on inf an . lim inf an ≤ lim inf ank ≤ lim sup ank ≤ lim n→∞ n→∞ k→∞

k→∞

Obtenemos lim inf n→∞ an ≤ x ≤ lim supn→∞ an . ¤ En la secci´on anterior hemos visto que existe una sucesi´on cuyos puntos l´ımite coinciden con el segmento [0, 1]. Hemos demostrado tambi´en que una

42 sucesi´on convergente tiene un solo punto l´ımite, porque todas sus subsucesiones convergen al mismo l´ımite. La convergencia de una sucesi´on se puede expresar en t´erminos de los puntos l´ımite. Teorema 2.3.2 1. Una sucesi´on (an ) es convergente si y solo si es acotada y tiene un solo punto l´ımite. 2. Una sucesi´on (an ) converge a a si y solo si a = lim inf n→∞ an = lim supn→∞ an . ´ n 1. En vista de Teorema 2.2.7 es suficiente demostrar que Demostracio una sucesi´on acotada que tiene un solo punto l´ımite es convergente. Supongamos que no es as´ı. Denotamos por x el u ´nico punto l´ımite de (an ). Existe ² > 0 tal que para todo k, N existe nk > N tal que |ank − x| > ². Existe entonces una subsucesi´on de (an ) cuyos elementos est´an separados de x. Esta subsucesi´on es tambi´en acotada, entonces tiene un punto l´ımite y que satisface |y − x| ≥ ². Sin embargo y es tambi´en un punto l´ımite de (an ), entonces coincide con x. Obtenemos una contradicci´on que demuestra la veracidad de la afirmaci´on 1. 2. La convergencia de (an ) implica que todos sus puntos l´ımite son iguales, entonces lim inf n→∞ an = lim supn→∞ an . Por otro lado, para cada punto l´ımite x tenemos lim inf an ≤ x ≤ lim sup an . n→∞ n→∞

Si lim inf n→∞ an = lim supn→∞ an , este punto es el u ´nico punto l´ımite de la sucesi´on. ¤ Ejemplo Vamos a demostrar que para una sucesi´on (an ) tal que an > 0 la converan+1 √ gencia lim = a implica limn→∞ n an = a. En pincipio supongamos que n→∞ a n a > 0. Sea a > ² > 0. Existe N tal que para n ≥ N an+1 ≤ a + ². a−²≤ an an+m an+m−1 an+1 an+m = ... se sigue Tomando en cuenta que an an+m−1 an+m−2 an an+m (a − ²)m ≤ ≤ (a + ²)m . an

43 En particular (a − ²)m aN ≤ aN +m ≤ (a + ²)m aN . Substituimos k = N + m y pasamos a desigualdades: (a − ²)k−N aN ≤ ak ≤ (a + ²)k−N aN . De aqu´ı se sigue q k

(a −

²)−N a

N (a

− ²) ≤

√ k

q

ak ≤

k

(a + ²)−N aN (a + ²).

Cuando k → ∞ la primera sucesi´on √ tiende a a − ², mientras que la tercera k tiene l´ımite a + ². Sobre la sucesi´on ak obtenemos la informaci´on de que √ √ a − ² ≤ lim inf k ak ≤ lim sup k ak ≤ a + ². k→∞

k→∞

√ Ya que ² es arbitrario llegamos a la conclusi´on de que lim inf k→∞ k ak = √ √ lim supk→∞ k ak = a. Por Teorema 2.3.2.2 obtenemos que k ak converge a a. Si a = 0 aplicamos el mismo m´etodo partiendo de las desigualdades an+1 0≤ ≤ a + ². an

2.5

Sucesiones de Cauchy

Siguiendo la definici´on de convergencia, para demostrar que una sucesi´on (an ) converge tenemos que encontrar un n´ umero a tal que el valor |an − a| resulte peque˜ no para los valores del ´ındice n suficientemente grandes. En muchas ocasiones es suficiente saber que la sucesi´on converge sin que se determine su l´ımite a. En esta secci´on se estudia una condici´on necesaria y suficiente que deben cumplir los elementos an para que la sucesi´on fuera convergente. ´ n Una sucesi´on (an ) se dice que es de Cauchy cuando Definicio ∀² > 0 ∃N,

∀ n, m > N

|an − am | ≤ ².

Teorema 2.4.1 Una sucesi´on (an ) converge si y solo si es de Cauchy. ´ n Sea limn→∞ an = a. Sabemos que Demostracio ∀² > 0 ∃N,

∀n>N

|an − a| ≤ ²/2.

Para n, m > N obtenemos entonces |an − am | ≤ |an − a| + |am − a| ≤ ². Cada sucesi´on convergente es de Cauchy.

44 Ahora supongamos que (an ) es de Cauchy. En particular, tomando ² = 1 y N correspondiente podemos lograr que |aN +1 − an | ≤ 1 para n > N . Obtenemos la cota |an | ≤ |aN +1 − an | + |aN +1 | para n > N . La desigualdad |an | ≤ maxk≤N +1 |ak | + 1 es entonces cierta para todos n ∈ N. Cada sucesi´on de Cauchy es acotada. Por Teorema 2.3.1 la sucesi´on tiene puntos l´ımite. Supongamos que x > y son puntos l´ımite de esta sucesi´on. Existen subsucesiones (ank ) y (aml ) convergentes a x y y, respectivamente. Tomando ² = (x − y)/3 podemos encontrar N (x) y N (y) ∈ N tales que para todo k > N (x) y l > N (y) |ank − x| ≤ (x − y)/3, mientras que |aml − y| ≤ (x − y)/3. Por consiguiente aml ≤ y + (x − y)/3 < x − (x − y)/3 ≤ ank . De tal manera para N arbitrario podemos encontrar nk , ml > N tales que |ank − aml | > (x − y)/3. Resulta que una sucesi´on que tiene dos distintos puntos l´ımite no es de Cauchy. Nuestra sucesi´on s´ı lo es, entonces tiene un solo punto l´ımite y es convergente, seg´ un Teorema 2.3.2. ¤ En algunos casos se puede calcular el l´ımite de una sucesi´on comparandola con otra, cuyo l´ımite ya conocemos. ´ n Las sucesiones (an ), (bn ) son equivalentes cuando Definicio ∀² > 0 ∃N,

∀n > N

|an − bn | ≤ ².

La equivalencia de (an ) y (bn ) se va a denotar (an ) ∼ (bn ). Teorema 2.4.2 Si (an ) ∼ (bn ) y (an ) es de Cauchy, entonces ambas sucesiones convergen al mismo l´ımite. ´ n Si (an ) es de Cauchy, entonces existe a = limn→∞ an . Queda Demostracio por mostrar que (bn ) converge al mismo l´ımite. Dado ² > 0 podemos encontrar N1 tal que |a − an | ≤ ²/2 para cada n > N . Por otro lado existe N2 tal que |am − bm | ≤ ²/2 para m > N2 . Si tenemos k > N1 + N2 entonces |bk − a| ≤ |bk − ak | + |ak − a| ≤ ². Entonces limn→∞ bn = a. ¤

45 Ejercicios y Problemas 1. Encontrar l´ımites de las siguientes sucesiones (n + 1)2 − (n − 1)2 (n + 1)2 + (n − 1)2 , (n + 2)! + (n + 1)! = , (n + 3)! √ √ 4 = n + 2 − n2 + 3n + 1, √ √ 5 n7 + 3 + 4 2n3 − 1 = √ , 6 n8 + n7 + 1 − n µq √ ¶ √ = n3 n2 + n4 + 1 − n 2 .

(a) an = (b) an (c) an (d) an (e) an

nk , donde k es un n´ umero natural fijo y b 6= 0, bn bn (g) an = , n! n! (h) an = n . n (f) an =

2. Encontrar limn→∞ sen(sen(. . . (sen 1) . . . )) . |

{z

}

n veces

3. Sea (xn ) una sucesi´on cuyos elementos satisfacen la ecuaci´on x3n + 12 xn = 1 . Demostrar que limn→∞ xn = 0. n √ 4. Demostrar que las sucesiones (an ) y ( n nan ) tienen los mismos conjuntos de puntos l´ımite. 5. Demostrar que en cada intervalo (a, b) ⊂ [−1, 1] se encuentra un punto l´ımite de la sucesi´on (sen n). n 6. Demostrar que n→∞ lim √ = e. n n! 7. Sea (xn ) una sucesi´on convergente.

Sea an =

n2 xn + 4n − 1 . Den2 xn − 5n + 2

mostrar que a. Si limn→∞ xn 6= 0, entonces an converge. b. Si limn→∞ xn = 0, entonces la sucesi´on (an ) puede converger o diverger. Ad´emas para cada a ∈ R existe (xn ) tal que limn→∞ an = a.

46 √ √ 8. Sea a1 = 2 y sea an+1 = 2 + an . Demostrar que (an ) es convergente y encontrar el l´ımite. √ √ 9. Calcular limn→∞ n 2n + 3n y limn→∞ n 3n − 2n 10. Supongamos que an ≤ bn y que ambas sucesiones son acotadas. Demostrar que lim inf n→∞ an ≤ lim inf n→∞ bn y lim supn→∞ an ≤ lim supn→∞ bn . 11. Calcular lim supn→∞ an para ¶ µ n 3 nπ n , 2. an = 1 + 1. an = (−1) 2 + cos . n n+1 2 12. Demostrar que, si (an ), (bn ) son sucesiones acotadas entonces a. lim supn→∞ (an + bn ) ≤ lim supn→∞ an + lim supn→∞ bn . Encontrar una sucesion para la cual los dos n´ umeros son distintos. b. Suponiendo que adem´as an , bn > 0 demostrar lim sup(an bn ) ≤ lim sup an lim sup bn . n→∞

n→∞

n→∞

Encontrar una sucesi´on positiva para la cual los dos n´ umeros difieren y una sucesi´on (no-positiva) para la cual el n´ umero de lado izquierdo es mayor. 13. Aplicando las desigualdades del Ejemplo de la secci´on 3 demostrar que para an > 0 √ an+1 a. lim inf ≤ lim inf n an , n→∞ n→∞ an √ an+1 n b. lim sup an ≤ lim sup . an n→∞ n→∞ 14. Sean (an ), (bn ) sucesiones de Cauchy. Sea (cn ) = (a1 , b1 , c2 , b2 , a3 , b3 , . . . ). Demostrar que (cn ) es de Cauchy si y solo si (an ) ∼ (bn ). 15. Una sucesi´on (an ) es constante cuando existe a tal que an = a para todo n. ¿Como describir las sucesiones que son equivalentes a una sucesi´on constante? 16. Sea (an ) una sucesi´on de Cauchy y sea (ank ) una subsucesi´on. Demuestre que limn→∞ ank = a implica limn→∞ an = a.

Chapter 3 Series Una serie es tan solo un caso particular de una sucesi´on. Sin embargo la teor´ıa de la convergencia de series dispone de m´etodos muy espec´ıficos y avanzados que hacen de ella un ´area aparte. Entre los personajes que dan sus nombres los criterios de convergencia de las series aparecen los m´as famosos matem´aticos: Leibnitz, d’Alembert, Cauchy entre otros.

3.1

Definiciones y ejemplos P

on. El Una serie es un s´ımbolo de forma ∞ j=1 aj , donde (aj ) es una sucesi´ elemento aj de la sucesi´on se llama n-esimo t´ermino de la serie. Por Sk vamos a denotar la suma parcial de la serie: Sk =

k X

aj .

j=1

Si la sucesi´on de sumas parciales (Sk ) converge a S, decimos que la serie o que la suma de la serie es igual a S. j=1 aj converge a S ´ La convergencia de sucesi´ones en general se puede expresar en t´erminos de las series. Si (an ) es una sucesi´on y b1 = a1 , bn = an − an−1 para P on an converge. n > 1 entonces la serie ∞ j=1 bj converge si y solo si la sucesi´ Pk Efectivamente, la suma parcial Sk = j=1 bj = an . P∞ P Se dice que la serie ∞ j=1 |aj | j=1 aj converge absolutamente si la serie converge. Los teoremas que hablan de la convergencia de las sucesiones se pueden traducir inmediatamente en teoremas sobre las series. En particular Teorema P∞

47

48 2.4.1 proporciona el siguiente criterio de la convergencia de las series. Teorema 3.1.1 Una serie

P∞

j=1

∀² > 0 ∃N,

aj es convergente si y solo si

∀n > m > N

¯ ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ m ¯ ¯ a j ¯ < ². ¯ ¯j=n ¯

La propiedad de supremo implica: P

Teorema 3.1.2 Una serie ∞ aj es absolutamente convergente si y solo Pj=1 k si la serie de sumas parciales j=1 |aj | es acotada. Antes de pasar a los criterios avanzados de la convergencia de series veamos una condici´on necesaria muy sencilla. Proposici´ on 3.1.3 Si la serie

P∞

j=1

aj converge, entonces

lim an = 0.

n→∞

´ n Supongamos que la serie converge, es decir que la sucesi´on Demostracio Sn tiene l´ımite. Entonces lim an = n→∞ lim (Sn − Sn−1 ) = n→∞ lim Sn − n→∞ lim Sn = 0.

n→∞

¤ Ejemplos 1. En Ejemplo 5 de la secci´on 2.2, hemos demostrado que para −1 < p < 1 1 P j la serie geom´etrica ∞ . j=0 p converge al valor 1−p 2. La serie arm´onica

∞ X 1 j=1

j

diverge, aunque la condici´on suficiente aj → 0

se cumple. En efecto, |S2n − Sn | =

n X

1 1 1 >n = para todo n. 2n 2 j=1 n + j

Por Teorema 3.1.1 la serie diverge. 3. Estudiamos la serie

∞ X 1

. Los t´erminos de la serie son positivos enj! tonces para demostrar su convergencie es suficiente encontrar una cota j=0

49 com´ un para sus sumas parciales. El termino aj = face aj <

1 para j > 3 satisj!

X 1 1 entonces Sn < 1 + < 3. La serie converge. j j 2 j=0 2 ³

Recordemos que limn→∞ 1 +

1 n

´n

= e, (Secci´on 2.4, Ejemplo 6).

Observemos que 1 1 1 + + ··· + > 2! µ 3! ¶ n!µ ¶µ ¶ 1 1 1 1 2 > 1+1+ 1− + 1− 1− + ... 2! n 3! n n µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 1 2 n−1 + 1− 1− ... 1 − = n! n n n µ ¶n 1 = 1+ . n

Sn = 1 + 1 +

Como sabemos la sucesi´on del lado derecho converge al n´ umero e. Entonces obtenemos ∞ X 1 ≥ e. j=0 j! Sin embargo para n > m tenemos µ

1 1+ n

¶n

= µ

1 1− 2! µ 1 > 1+1+ 1− 2! = 1+1+

¶

1 + ··· + n ¶ 1 + ··· + n

µ

¶µ

¶

µ

¶

1 1 2 n−1 1− 1− ... 1 − n! n n n µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 1 2 m−1 1− 1− ... 1 − . m! n n n

Si en esta desigualdad pasamos al l´ımite n → ∞ obtenemos para m arbitrario 1 1 1 e ≥ 1 + 1 + + + ··· + . 2! 3! m! El resultado final es que ∞ X 1 j=0

j!

µ

= e = lim

n→∞

1 1+ n

¶n

.

50

3.2

Criterios de convergencia absoluta

La convergencia de series num´ericas es un asunto complicado que desp´ ues de cientos de a˜ nos de ser estudiado sigue proporcionando temas interesantes a los investigadores. No existe ning´ un criterio que en caso m´as general permita reducir el problema a la aplicaci´on de alguna f´ormula o algoritmo. El caso de la convergencia absoluta es un poco m´as accesible y adem´as proporciona mucha informaci´on sobre la convergencia en general gracias al siguiente resultado bastante obvio. P

P

∞ Proposici´ on 3.2.1 Sean ∞ ericas tales que |aj | ≤ j=1 aj y j=1 bj series num´ P∞ P P∞ bj , j ∈ N. Si la serie j=1 bj converge entonces las series ∞ j=1 aj j=1 |aj | convergen.

´ n Calculamos para m > n arbitrarios: Demostracio |

m X

aj | ≤

j=n

m X

|aj | ≤

j=n

m X

bj .

j=n

P

´ltima La convergencia de la serie ∞ j=1 bj implica (Teorema 3.1.1) que la u suma es acotada por ² para n suficientemente grande. Las dem´as sumas tienen la misma cota, entonces ambas series convergen por el mismo Teorema 3.1.1. ¤ Este resultado afirma en particular que una serie absolutamente convergente es convergente. Pasamos a los criterios m´as importantes de la convergencia absoluta. Teorema 3.2.2 (Criterio de Cauchy) Sea lim supj→∞

q j

P∞

j=1

aj una serie y sea α =

|aj |. Entonces:

1. si α < 1, la serie 2. si α > 1, la serie

P∞

j=1

P∞

j=1

aj converge absolutamente; aj diverge.

´ n Sea α < 1 y sea ² tal que 0 < α < α+² < 1. Demostracio on q Por la definici´ j del l´ımite superior existe N tal que para j > N se tiene |aj | < α + ². En P j otre forma |aj | < (α + ²)j . La serie ∞ j=1 (α + ²) converge, entonces la serie P∞ en converge por Proposici´on 3.2.1. j=1 aj tambi´

51 En el caso de α > 1 existe ² > 0 tal que α > α − ² > 1. Tambi´en directamente por la definici´on del l´ımite superior existe una subsucesi´on ajk tal que |ajk | > (α − ²)nk > 1. La sucesi´on |an | no es entonces convergente a cero y la serie resulta divergente. ¤ El criterio de Cauchy no proporciona ninguna informaci´on sobre el caso q j cuando lim supj→∞ |aj | = 1. Ejemplos muy sencillos demuestran que 1 P en este caso puede pasar cualquier cosa. Como sabemos ∞ diverge. j=1 j 1 Sabemos tambi´en que lim supj→∞ √ = 1. Sin embargo, como vamos a j j 1 1 P es tambi´en igual probar m´as adelante ∞ j=1 2 < ∞ aunque lim supj→∞ √ j j j2 a 1. Para tratar estos casos se necesitan otros criterios. El criterio de d’Alembert que vamos a demostrar a continuaci´on tampoco es universal. En realidad es m´as d´ebil. Existen casos, cuando el criterio de d’Alembert no proporciona ninguna informaci´on, mientras que con el criterio de Cauchy se puede obtener informaci´on definitiva. Sin embargo vale la pena conocer ambos criterios porque los c´alculos que se tiene que realizar en el caso del criterio de d’Alembert son en general m´as sencillos. 1 P Cuando se trata de la serie conocida ∞ que converge al n´ umero e, j=1 j! 1 para aplicar el criterio de Cauchy tenemos que calcular limj→∞ √ que s´ı j j! existe y es igual a cero (vea Ejercicio 2 en Cap. 2), pero este resultado no es trivial. Para aplicar en el mismo caso el criterio de d’Alembert es suficiente j! 1 calcular limj→∞ = limj→∞ = 0, para demostrar la convergencia de (j + 1)! j la serie. La diferencia es notoria. Teorema 3.3.3 (Criterio de d’Alembert) Supongamos que niguno de los t´erminos de la serie

∞ X

aj se anula. Entonces

j=1

|aj+1 | < 1 entonces la serie converge absolutamente; |aj | j→∞ |aj+1 | 2. si lim inf > 1, la serie diverge. j→∞ |aj | 1. si lim sup

52 ´ n 1. Fijemos β de tal manera que lim sup Demostracio j→∞

|aj+1 | < β < 1. |aj |

|aj+1 | Por la definici´on del l´ımite superior existe N tal que < 1 para j > N . |aj | Por lo tanto |aN +1 | < β|aN |, |aN +2 | < β|aN +1 | < β 2 |aN | e aplicando la inducci´on llegamos a |aN +j | < β j |aN |, lo que equivale a |an | < |aN |β −N β n . Obtenemos la afirmaci´on aplicando Proposici´on 3.2.1. |aj+1 | 2. Si lim inf > 1, por la misma definici´on del l´ımite inferior existe j→∞ |aj | |ajk +1 | una subsucesi´on ajk tal que > 1. En particular tenemos |ajk | > |ajk | |ajk −1 | > · · · > |aj1 | > 0. La subsucesi´on (ajk ) no converge a cero, entonces la sucesi´on misma (an ) tampoco converge a cero y la serie

∞ X

aj diverge.

j=1

¤

|aj+1 | = 1 y cuando |aj | j→∞ ∞ ∞ X X |aj+1 | 1 1 lim inf = 1. En el caso de las series y ambos l´ımites 2 j→∞ |aj | j=1 j j=1 j superior e inferior son iguales a 1 y el criterio de d’Alembert tampoco resuelve el problema de su convergencia. He aqu´ı un caso cuando el criterio de Cauchy demuestra su superioridad: Este criterio no aporta nada en el caso de lim sup

Ejemplo Consideramos la serie 1 1 1 1 1 1 + + 2 + 2 + 3 + 2 + ... 2 3 2 3 2 3 El t´ermino general de la serie tiene la forma a2j−1 =

1 , 2j

a2j =

1 , 3j

j = 1, 2, 3 . . .

En este caso      

an+1 = an    

µ ¶

a2j 2 j = , cuando n = 2j − 1; a2j−1 3 µ ¶ 1 3 j a2j+1 = , cuando n = 2j. a2j 2 2

53 |aj+1 | |aj+1 | = 0, mientras que lim sup = ∞. En |aj | |aj | j→∞ este caso el criterio de d’Alembert no dice nada sobre la convergencia o divergencia. Sin embargo De tal manera lim inf j→∞

√ n

an =

    

√

2j−1

   

1 1 √ , cuando n = 2j − 1; a2j−1 = √ 2(2j−1) 2 2 1 √ 2j a cuando n = 2j. 2j = √ , 3

De aqu´ı se sigue lim sup n→∞

serie converge.

3.3

√ n

1 an = . El criterio de Cauchy asegura que la 2

Otros criterios de convergencia

En esta secci´on presentamos otros criterios de convergencia de series en los cuales el papel principal juega la monoton´ıa de la sucesi´on (an ). Se trata entonces de las series de forma m´as espec´ıfica. Teorema 3.4.1 (principio de condensaci´on de Cauchy) Sea (an ) una sucesi´on mon´otona y decreciente a cero. Entonces la serie si y solo si la serie

∞ X

∞ X

aj converge

j=1

2j a2j converge.

j=1

´ n Denotemos por Sn las sumas parciales de la serie Demostracio

∞ X j=1

sean Tk =

k X

2j a2j .

j=0

Para n = 2k obtenemos gracias a la monoton´ıa de la sucesi´on Sn = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + . . . + (a2k−1 + · · · + a2k −1 ) + a2k ≤ ≤ a1 + 2a2 + 4a4 + · · · + 2k−1 a2k−1 + 2k a2k = Tk . Por otro lado

aj y

54

Sn = a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + . . . + (a2k+1 + · · · + a2k −1 ) + a2k ≥ 1 1 ≥ a1 + a2 + 2a4 + · · · + 2k−1 a2k = Tk . 2 2 Las sucesiones Sn , Tk son mon´otonas crecientes entonces convergen si solo si son acotadas. Las desigualdades S2k ≤ Tk y S2k ≥ 21 Tk demuestran que ´o ambas sucesiones son acotadas o ambas no lo son. ¤ El u ´ltimo criterio nos permite describir el comportamiento de todas las ∞ X 1 series de forma . p j=1 j Proposici´ on 3.4.2 La serie

∞ X 1 j=1

jp

converge si y solo si p > 1.

´ n Construimos la serie Demostracio

∞ X

2j a2j . En nuestro caso

j=1

2j a2j = 2j

1 = 2(1−p)j . 2jp

P

j 1−p . Esta serie converge si Obtenemos la serie geom´etrica ∞ j=1 q con q = 2 y solo si p > 1 entonces por Teorema 3.4.1 la condici´on para la convergencia de la serie estudiada es la misma. ¤ Todos los criterios estudiados hasta este momento conciernen la convergencia absoluta. El criterio de Leibnitz que se estudia a continuaci´on habla de series que son convergentes pero en general no son absolutamente convergentes.

Teorema 3.4.3 (criterio de Leibnitz) Sea (an ) una sucesi´on mon´otona decreciente convergente a cero. Entonces la serie

∞ X

(−1)j aj converge.

j=1

´ n Denotamos por Sn la sucesi´on de sumas parciales. Para Demostracio n = 2k podemos representar S2k = (−a1 + a2 ) + (−a3 + a4 ) + · · · + (−a2k−1 + a2k ).

55 Esta sucesi´on es decreciente porque estamos sumando cada vez m´as t´erminos negativos. Por otro lado tenemos: S2k = −a1 + (a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k > −a1 . Como una sucesi´on decreciente inferiormente acotada, Sn es convergente. Al mismo tiempo los elmentos impares S2k−1 representados como S2k−1 = −a1 + (a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) nos dan una subsucesi´on creciente acotada superiormente: S2k−1 = (−a1 + a2 ) + (−a3 + a4 ) + · · · + (−a2k−3 + a2k−2 ) − a2k−1 ) < 0. Esta subsucesi´on tambi´en converge. Adem´as tenemos que |S2k − S2k−1 | = a2k → 0, entonces ambas sucesiones tienden al mismo l´ımite. La sucesi´on Sn tiene un solo p´ unto l´ımite y por Teorema 2.3.2 es convergente. ¤ ∞ X 1 El criterio de Leibnitz demuestra que la serie (−1)j llamada anj j=1 ∞ X 1 arm´onica, es convergente. Las series de forma (−1)j p convergen para j j=1 todo p > 0. Ejercicios y Problemas P

P

∞ 1. Demueste que, si ∞ entonces para cada j=0 an y j=0 bn convergen, P∞ P∞ P c ∈ R la serie j=0 (an + cbn ) converge a j=0 an + c ∞ j=0 bn .

2. Pruebe que si bn ) diverge.

P∞

j=0

an converge y

P∞

j=0 bn

3. Calcula el valor de las series: µ ¶3j

2 2 ∞ X 1 (b) . j=1 j(j + 1) (a)

P∞

j=0

Observa que

1 1 1 = . j(j + 1) jj+1

diverge, entonces

P∞

j=0 (an

+

56 ∞ X

1 . j=1 (3j − 2)(3j + 1) √ √ √ P (d) ∞ 2n + 1). j=1 ( 2n + 5 − 2 2n + 3 + (c)

(e) (f)

∞ X

2n + 1 . + 1)2 n=1 √ ∞ X n − n2 − 1 n2 (n q

n(n + 1)

n=1

∞ X 1

4. Demuestre que e=

j=n

∞ X

.

j!

<

1 . A partir de esta ecuaci´on deduzca que j!j

1 no es un n´ umero racional. j=0 j!

5. Estudie la convergencia de la serie: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

∞ √ X

n+1−

√

n).

n=1 ∞ X

1 , a 6= 0. j=1 aj + b ∞ X

1 , a 6= 0. 2 j=1 aj + bj + c ∞ X n(2 + (−1)n )n n=1 ∞ X n=1 ∞ X

√ n2

4n

n . +1

1 √ . n n=1 n n ∞ X

j5 . j j j=1 2 + 3 ∞ √ X n

( n − 1)n .

n=1 ∞ X

3n n! . n n=1 n

.

57 6. Determine los valores p para los cuales converge la serie (a)

∞ X pj j! j=1

(b)

∞ X n=1

(c)

∞ X j=1

(d)

jj

pn

q n

.

2n + (−1)n

Ã

1 1 − cos j

!p

.

∞ X j(p + (−1)j j=1

.

4j

. ∞ X

7. Demuestre que, si

an converge absolutamente, entonces

n=1

∞ X

∞ X

an y

n=1

∞ X

a2n

n=1

tambi´en converge absolutamente. 8. Demuestre que, si

∞ X

bn convergen y an ≤ cn ≤ bn entonces

n=1

cn converge.

n=1

9. Demueste que, si

∞ X

an converge absolutamente, entonces

n=1

n=1

converge absolutamente. 10. Demuestre que, si y

∞ X

a2n

∞ X n+1

<∞y

n=1

∞ X

b2n

< ∞, entonces

n=1

̰ X n=1

!2

an bn

≤

∞ X n=1

∞ X n=1

a2n

∞ X n=1

b2n .

n

an

an bn converge

58

Chapter 4 Conjuntos abiertos, cerrados, compactos En los cap´ıtulos siguientes vamos a estudiar la continuidad de funciones cuyo dominio pocas veces va a coincidir con R. La definici´on de la continuidad que vamos a dar m´as adelante concierne funciones de forma X 3 x → f (x) ∈ R, donde X es un subconjunto de R. En este capi´ıtulo nos estamos preparando para esta tarea investigando la estructura de subconjuntos de R.

4.1

Conjuntos abiertos en X, vecindades.

Un intervalo abierto en R es simplemente un intervalo sin puntos extremos: (a, b) = {x ∈ R| a < x < b}. Cada intervalo de esta forma tiene la siguiente propiedad, obvia en este caso: ∀x ∈ (a, b) ∃ ² > 0,

(x − ², x + ²) ⊂ (a, b).

Para x fijo podemos escoger ² igual al menor de dos n´ umeros: b − x y x − a y la condici´on de arriba se cumple. Existen otros conjuntos en R que tienen esta propiedad y que se van a llamar abiertos en R. Sin embargo nuestra definici´on del abierto va a ser m´as general. Introducimos el concepto de un abierto en X ⊂ R. 59

60 ´ n Sea X un subconjunto arbitrario del eje real R. Decimos que Definicio A ⊂ X es abierto en X si ∀x ∈ A ∃ ² > 0,

∀y ∈ X,

|y − x| < ²

⇒

y ∈ A.

En particular un conjunto A es abierto en X = R cuando ∀x ∈ A ∃ ² > 0 (x − ², x + ²) ⊂ A. El intervalo abierto es un subconjunto abierto en R. En caso general podemos reformular la definici´on del abierto en X de la siguiente manera: A ⊂ X es abierto en X cuando ∀x ∈ A ∃ ² > 0,

(x − ², x + ²) ∩ X ⊂ A.

El mismo conjunto A tal que A ⊂ X ∩ Y puede ser abierto en X y no abierto en Y . El conjunto [0, 1) no es abierto en Y = [−1, 1], pero s´ı, es abierto en X = [0, 2]. Ser abierto no es una propiedad intr´ınsica sino relativa. Por lo tanto la afirmaci´on ”A es abierto” en principio no significa nada. ”A es abierto en X” es la exprecio´on correcta. Si en futuro, hablando de un subconjunto A ⊂ R diremos unicamente ”A es abierto”, hay que entenderlo como ”A es abierto en R”. Obviamente los abiertos en R merecen un interes especial y vamos a dedicar m´as tiempo a ellos. Sin embargo, primero demostraremos algunas propiedades de los abiertos en general. Teorema 4.1.1 Sea X ⊂ R. 1. Si Oι , ι ∈ I son subconjuntos abiertos de X, entonces en X. 2. Si Oi , 1 ≤ i ≤ n son abiertos en X entonces

Tn

i=1

S ι∈I

Oι es abierto

Oi es abierto en X.

3. X y ∅ son abiertos en X. S

´ n 1. Sea x ∈ ι∈I Oι . Existe entonces ι0 ∈ I tal que x ∈ Oι0 . Demostracio S Siendo Oιo abierto en X, existe ² > 0 tal que (x−², x+²)∩X ⊂ Oι0 ⊂ ι∈I Oι . S Entonces ι∈I Oι es abierto en X.

61 2. Sea x ∈ Oi , para todo 1 ≤ i ≤ n. Por lo tanto, para todo i existe ²i > 0 tal que (x − ²i , x + ²i ) ∩ X ⊂ Oi . Si ² = min1≤i≤n ²i , entonces ² > 0 y T (x − ², x + ²) ∩ X ⊂ 1≤i≤n Oi . 3. La frase ”si x ∈ ∅, entonces es cierto P (x)” es cierta independientemente de lo que diga P (x), porque la suposici´on nunca se cumple. En particular, cuando P (x) dice ”∃² > 0, tal que (x − ²i , x + ²i ) ∩ X ⊂ ∅”, obtenemos una afirmaci´on cierta. El conjunto vac´ıo es abierto en cada espacio. El hecho de que X es abierto en X es obvio. ¤ Ejemplos 1. Si (a, b) ⊂ X, entonces (a, b) es abierto en X, cualquier que sea X. 2. Si tomamos la intersecci´on de un n´ umero infinito de conjuntos abiertos, el resultado no neceseriamente es un conjunto abierto. Como ejemplo tomemos los intervalos In = (− n1 , n1 ) que son conjuntos abiertos en R. La intersecci´on de todos los intervalos In consta de un solo elemento 0. El conjunto {0} no es abierto en R, porque para ² > 0 arbitrario (−², ²) 6⊂ {0}. 3. Es muy f´acil construir un espacio, donde el mismo conjunto {0} es abierto. Adem´as del caso trivial X = {0} podemos tomar X = Z. Observemos que en el u ´ltimo espacio todos los conjuntos son abiertos. Efectivamente, cualquier que sea A ⊂ Z y n ∈ A, si tomamos ² = 21 entonces (n − 12 , n + 12 ) ∩ Z = {n} ⊂ A. 4. Otro espacio, donde todos los subconjuntos son abiertos es 1 X = { | n ∈ N}. n Tomemos un conjunto de un solo elemento A = { n1 }. El elemento mas 1 1 cercano a n1 en X es n+1 y la distancia entre ellos es igual a n1 − n+1 = 1 1 1 1 1 . Si tomamos ² = n(n+1) entonces ( n − ², n + ²) ∩ X = { n } = A. n(n+1) Cada conjunto de un solo punto es abierto en X. Ahora, si O ⊂ X, S entonces podemos representarlo en forma O = x∈O {x}. O es abierto como uni´on de conjuntos abiertos.

62 5. Sea X = [0, 1). En este espacio el subconjunto O = [0, 12 ) es abierto, mientras que A = [0, 21 ] no lo es. Verifiquemoslo: para x ∈ [0, 12 ) tomemos ² = 12 − x. Este n´ umero es positivo. Ahora, (

(x − ², x + ²) ∩ X =

[0, 12 ) cuando x < 14 , (2x − 21 , 12 ), cuando x ≥

1 4

1 ⊂ [0, ) = O. 2

El conjunto O es abierto. Pasando al conjunto A = [0, 21 ], tomemos x = 12 ∈ A. Para 0 < ² < 12 arbitrario el conjunto ( 12 −², 12 +²)∩X contiene el elemento 21 +²/2 6∈ A. Entonces A no es abierto. En forma no muy rigurosa se puede decir que A es obierto en X cuando cada punto a ∈ A est´a separado de los puntos del complemento X \ A. ´ n Sea x ∈ X ⊂ R. Un conjunto U ⊂ X se llama vecindad de x Definicio si existe un conjunto O ⊂ U abierto en X y tal que x ∈ O. Una vecindad de x no tiene que ser abierta. El intervalo [0, 1] es una vecindad de cada x ∈ (0, 1) y no es vecindad de los puntos 0 y 1 en R. Subconjuntos abiertos del eje real Los intervalos de forma (a, b) son abiertos en R. Los semiejes (a, ∞) y (−∞, b) tambi´en lo son. Para simplificar la notaci´on vamos a tratar los semiejes como intervalos. Por Teorema 4.1.1.1 la uni´on de cualquier n´ umero de intervalos abiertos es tambi´en un abierto. Sin embargo, cuando (a, b) ∩ (c, d) 6= ∅, la uni´on de estos dos intervalos es tambi´en un intervalo solo que en general m´as grande. Unicamente tomando uniones de intervalos mutuamente ajenos obtenemos conjuntos que no sean intervalos. Resulta que cada conjunto abierto en R puede representarse como una uni´on numerable de intervalos mutauamente ajenos: Teorema 4.1.2 Sea ∅ = 6 O ⊂ R un conjunto abierto en R. Entonces existen Ii = (ai , bi ) ⊂ R, i = 1, 2, 3 . . . , tales que Ii ∩ Ij = ∅ para i 6= j y S O = i∈N Ii . ´ n Si O es abierto en R y no vac´ıo, entonces contiene alg´ Demostracio un intervalo (a, b). Este intervalo contiene un n´ umero racional. Fijemos x ∈ Q ∩ (a, b) y sean ax = inf{c ∈ R| (c, b) ⊂ O},

bx = sup{d ∈ R| (a, d) ⊂ O}.

63 En estas f´ormulas admitimos los valores ax = −∞ y bx = ∞ cuando los conjuntos en cuesti´on no son inferiormente (resp., superiormente) acotados. Entonces (ax , b) ⊂ O, (a, bx ) ⊂ O y por lo tanto Ix = (ax , bx ) ⊂ O. Por otro lado este intervalo no est´a contenido en ning´ un intervalo que sea subconjunto de O. Si x, y ∈ Q ∩ O y Ix ∩ Iy 6= ∅, entonces Ix ∪ Iy ⊂ O es un intervalo abierto que contiene x y y. Esto implica Ix = Iy , porque cada uno de estos intervalos es maximal en O. La familia de los intervalos de forma Ix , x ∈ Q ∩ O es numerable porque Q es numerable. Existe entonces una funci´on N 3 i → xi S tal que para Ii = Ixi se cumple O = i∈N Ii . ¤ Teorema 4.1.3 Si O1 , O2 son conjuntos abiertos en R tales que R = O1 ∪ O2 y O1 ∩ O2 = ∅ entonces uno de estos conjuntos es vac´ıo. ´ n Supongamos que ninguno de los conjuntos O1 , O2 es vac´ıo. Demostracio Sea x ∈ O1 , y ∈ O2 y x < y. El conjunto O1 ∩ (−∞, y) tampoco es vac´ıo porque contiene a x. Sea s = sup O1 ∩ (−∞, y). Siendo O2 abierto, existe ² > 0 tal que (y − ², y + ²) ⊂ O2 , entonces s < y. Por la misma raz´on, si s ∈ O2 , entonces un intervalo de forma (s − ², s + ²) est´a contenido en O2 . Esto contradice la definici´on de s como del supremo de unos elementos de O1 . Queda unicamente la posibilidad de que s ∈ O1 . Sin embargo, en este caso existe ε > 0 tal que (s − ε, s + ε) ⊂ O1 . Obtenemos que s + ε/2 < y y s + ε/2 ∈ O1 . Resulta que s no mayoriza a todos los elementos de O1 ∩ (−∞, y), contrario a su definici´on. Esta contradicci´on demuestra que O1 ∩ O2 = ∅. ¤ La propiedad del eje real que acabamos de demostrar se llama la conexidad. Un conjunto X ⊂ R es conexo si no se puede descomponer en uni´on disjunta de dos subconjuntos no vac´ıos y abiertos en X. Los intervalos son tambi´en conjuntos conexos. Teorema 4.1.4 Cada intervalo [a, b] ⊂ R es conexo. ´ n Supongamos que [a, b] = O1 ∪ O2 , donde ambos conjuntos Demostracio ˜ 1 = (−∞, a) ∪ son abiertos en [a, b] y O1 ∩ O2 = ∅. Si a, b ∈ O1 definimos O ˜ 2 = O2 . Obtenemos dos conjuntos abiertos en R, disjuntos O1 ∪ (b, ∞) y O ˜1 ∪ O ˜ 2 . Por el teorema anterior O2 = ∅. Si a ∈ O1 , y tales que R = O ˜ 1 = (−∞, a) ∪ O1 y O ˜ 2 = O2 ∪ (b, ∞). Estos b ∈ O2 construimos conjuntos O

64 conjuntos son disjuntos, abiertos y llenan R. Nuevamente obtenemos que uno de ellos es vac´ıo. ¤

4.2

Conjuntos cerrados. La cerradura

´ n Sea X ⊂ R y sea A ⊂ X. Decimos que A es cerrado en X Definicio cuando X \ A es abierto en X. Las propiedades can´onicas de los conjuntos cerrados se pueden deducir inmediatamente del Teorema 4.1.1 aplicando las f´ormulas de Morgan. Teorema 4.2.1 Sea X ⊂ R. 1. Si Aι , ι ∈ I son subconjuntos cerrados de X, entonces en X. 2. Si Ai , 1 ≤ i ≤ n son cerrados en X entonces

Sn

i=1

T ι∈I

Aι es cerrado

Ai es cerrado en X.

3. X y ∅ son cerrados en X. ´ n 1. Sabemos por la suposici´on que Oι = X \ Aι , ι ∈ I son Demostracio S conjuntos abiertos. Por Teorema 4.1.1.1 O = ι∈I Oι es un conjunto abierto y por lo tanto X \ O es cerrado. Entonces \

Aι =

ι∈I

\

Ã

(X \ Oι ) = X \

ι∈I

[

!

Oι = X \ O

ι∈I

es cerrado. 2. Denotemos Oi = X \ Ai . Por Teorema 4.1.1.2 y la segunda formula de Morgan obtenemos: n [ i=1

Ai =

n [

(X \ Oi ) = X \

i=1

à n \

!

Oi .

i=1

Este conjunto es cerrado como el complemento de un abierto. 3. X es cerrado como el complemento del abierto ∅ y al revez. ¤

65 Ejemplos 1. Los intervalos [a, b] y semiejes (−∞, b], [a, ∞) son conjuntos cerrados en R, porque sus complementos son respectivamente (−∞, a) ∪ (b, ∞), (b, ∞), (−∞, a) y estos conjuntos son abiertos. 2. En los espacios N y { n1 | n ∈ N} todos los conjuntos son abiertos, entonces tambi´en todos los conjuntos son cerrados. 3. En el espacio X = [0, 1) el conjunto [ 21 , 1) es cerrado. 4. En el espacio X = (0, 1] el conjunto { n1 | n ∈ N} es cerrado, porque su complemento 1 1 1 1 1 X \ A = ( , 1) ∪ ( , ) ∪ ( , ) ∪ . . . 2 3 2 4 3 es abierto como uni´on de intervalos abiertos. Seg´ un la definici´on, A ⊂ X es cerrado en X si y solo si su complemento en X es abierto. Por lo tanto O ⊂ X es abierto en X si y solo si X \ O es cerrado en X. Parece que estamos unicamente jugando con la terminolog´ıa. Esta impresi´on equivocada se desvanece gracias a los resultados que siguen y que describen los conjuntos cerrados en otros t´erminos. Al mismo tiempo esta caracterizaci´on nueva de los conjuntos cerrados aportar´a tambi´en informaciones sobre los conjuntos abiertos. Teorema 4.2.2 Un conjunto A ⊂ X ⊂ R es cerrado en X si y solo si ∀an ∈ A,

a = lim an ∈ X ⇒ a ∈ A. n→∞

´ n ⇒ Supongamos que A es cerrado en X y que la segunda Demostracio propiedad no es v´alida. Existe entonces una sucesi´on convergente (an ) tal que an ∈ A, pero su l´ımite a pertenece a X \ A. Sin embargo por suposici´on X \ A es abierto y existe ² > 0 tal que (a − ², a + ²) ∩ X ⊂ X \ A. Entonces no existe ning´ un elemento an ∈ A que satisfaga |a − an | < ². La sucesi´on (an ) no converge al punto a. Obtenemos una contradicci´on que termina la primera parte de la demostraci´on.

66 ⇐ Ahora suponemos que la segunda condici´on se cumple y que A no es cerrado, es decir X \ A no es abierto. Existe entonces a ∈ X \ A tal que para todo ² > 0 el intervalo (a − ², a + ²) contiene un elemento de A. Para cada n ∈ N existe entonces an ∈ A tal que |an − a| < n1 . La sucesi´on (an ) converge a a ∈ X, pero a 6∈ A. Obtuvimos nuevamente una contradicci´on que termina la demostraci´on. ¤ ´ n Sea A ⊂ X ⊂ R. El conjunto Definicio A = {x ∈ X| ∀² > 0 A ∩ (x − ², x + ²) 6= ∅} se llama la cerradura de A en X. Las propiedades de la cerradura que damos a continuaci´on nos llevar´an a otra definici´on de A. Teorema 4.2.3 Sea A ⊂ X ⊂ R. 1. A ⊂ A. 2. A es cerrado en X. 3. A es cerrado en X si y solo si A = A. 4. Si A ⊂ B y B es cerrado en X, entonces A ⊂ B. ´ n La primera afirmaci´on es obvia. Pasamos a la demostraci´on Demostracio de que A es cerrado. Es suficiente ver que X \ A es abierto en X. Sea x ∈ X \ A. Por la definici´on de la cerradura existe ² > 0 tal que (x − ², x + ²) no contiene elementos de A, entonces tampoco tiene elementos de A. Obtenemos que (x − ², x + ²) ∩ X ⊂ X \ A. El complemento de A en X s´ı es abierto. La cerradura es cerrada. 3. Si A es cerrado entonces X \ A es abierto y tiene la propiedad: ∀x ∈ X \ A ∃² > 0, (x − ², x + ²) no contiene elementos de A. Ning´ un elemento de X \ A pertenece a A. Entonces A = A. Por otro lado, si A = A, entonces por inciso 2 A es cerrado. 4. Directamente por la definici´on es obvio que A ⊂ B implica A ⊂ B. B es cerrado, entonces por el resultado probado en inciso 3 B = B. Obtenemos A ⊂ B. ¤ Los resultados del u ´ltimo teorema conducen a las siguientes descripciones de la cerradura:

67 Corolario 4.2.4 1. A es el conjunto cerrado m´as peque˜ no que contiene A. 2. A es la intersecci´on de todos los conjuntos cerrados que contienen A. Existe otra caracter´ıstica de la cerradura que utiliza el concepto del punto de acumulaci´on de un conjunto. ´ n Sea A ⊂ X y sea x ∈ X. Decimos que x es un punto de Definicio acumulaci´ on de A si existe una sucesi´on (an ) tal que an 6= x, an ∈ A y limn→∞ an = x. Si a ∈ A no es un punto de acumulaci´on de A, decimos que a es aislado. Teorema 4.2.5 La cerradura de A en X consta de A y de todos los puntos de acumulaci´on de A en X. ´ n Sea A0 el conjunto que consta de A y de todos los puntos Demostracio de acumulaci´on de A. Si x ∈ X y x 6∈ A0 entonces existe ² > 0 tal que el intervalo (x − ², x + ²) no contiene ning´ un elemento de A. Entonces x 6∈ A. As´ı hemos demostrado que X \ A0 ⊂ X \ A, entonces A ⊂ A0 . La contensi´on opuesta es obvia por la definici´on de la cerradura. ¤ Corolario 4.2.6 Sea A un conjunto cerrado en R. Si A acotado superiormente, entonces sup A ∈ A. Si A es acotado inferiormente entonces inf A ∈ A. ´ n Sea s = sup A. Para todo n ∈ N existe an ∈ A tal que Demostracio 1 s − an < . Tenemos entonces an → s. A es cerrado entonces s ∈ A. n La demostraci´on en el caso de un conjunto inferiormente acotado es an´aloga. ¤ Ejemplos 1. Sea X = Q. El conjunto A = {q ∈ Q| − 1 < q < 1} es abierto. Su cerradura es igual √ a {q ∈√Q| − 1 ≤ q ≤ 1}. El conjunto B = {q ∈ Q| − 2 < q < 2} es abierto y al mismo tiempo es cerrado en Q. En cambio el conjunto C = {q ∈ Q| − 1 √ ≤ q < 1} no es ni abierto ni tampoco cerrado. D = {q ∈ Q| − 1 ≤ q < 2} es cerrado y no es abierto. Todos los puntos de Q son sus puntos de acumulaci´on. Los espacios que tienen esta propiedad se llaman perfectos. Los espacos Q y R son ejemplos de espacios perfectos.

68 2. Sea X = R y sea (an ) una sucesi´on real acotada. Denotemos por A el conjunto de los valores de la sucesi´on: A = {an | n ∈ N}. Los puntos de acumulaci´on de A son puntos l´ımite de la sucesi´on (an ). La uni´on de A y del conjunto de los puntos l´ımite de (an ) es la cerradura de A. No todos los puntos l´ımite de (an ) son puntos de acumulaci´on de A. Un punto aislado a ∈ A puede ser un punto l´ımite de la sucesi´on si existe una subsucesi´on constante ank = a. Si la sucesi´on (an ) es convergente entonces A tiene a lo m´as un punto de acumulaci´on. Sin embargo una sucesi´on constante es convergente y su conjunto de valores no tiene ning´ un punto de acumulaci´on. Como sabemos Q es un espacio numerable. Existe entonces una sucesi´on an ∈ Q tal que su conjunto de valores coincide con Q. La cerradura de Q en R es todo R. 3. Demostraremos la f´ormula: A ∪ B = A ∪ B. Las contensiones A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B son obvias y obtenemos A ∪ B ⊂ A ∪ B. Sabemos que A∪B ⊂ A∪B y por lo tanto A ∪ B ⊂ A ∪ B. Sin embargo A, B son cerrados y su uni´on es cerrada, entonces A ∪ B = A ∪ B. Obtenemos A ∪ B ⊂ A ∪ B. La igualdad est´a demostrada.

4.3

Conjuntos compactos

Los subconjuntos de R que son cerrados y acotados se llaman compactos. Esta definici´on es muy breve y sencilla. Sin embargo, existe otra caracter´ıstica de estos conjuntos que, aunque indudablemente m´as complicada, resulta muy u ´til para el estudio de las funciones continuas sobre los conjuntos compactos. Adem´as esta nueva descripci´on de los compactos en R es m´as adecuada para extender el concepto del conjunto compacto a otros espacios. Teorema 4.3.1 (Teorema de Heine-Borel) Un subconjunto K ⊂ R es compacto si y solo si ∀ xn ∈ K

∃ xnk , x ∈ K,

lim xnk = x.

k→∞

´ n Sea K compacto y sean xn ∈ K. Debemos mostrar que Demostracio uno de los puntos l´ımite de la sucesi´on pertenece a K. La sucesi´on es acotada,

69 entonces tiene por lo menos un punto l´ımite x. Este punto pertenece a K. Nuestro K es cerrado y por lo tanto x ∈ K = K. Los conjuntos compactos tienen la propiedad enunciada en el teorema. Ahora supongamos que K tiene aquella propiedad. Queremos probar que K es acotado y cerrado. Supongamos que K no es acotado. Para cada N ∈ R existe x ∈ K tal que |x| > N . Construimos una sucesi´on inductivamente. Sea x1 ∈ K arbitrario. Sea x2 ∈ K tal que |x2 | > |x1 | + 1. Dado xn ∈ K tal que |xn | > |xn−1 | + 1 encontramos xn+1 ∈ K tal que |xn+1 | > |xn | + 1. La sucesi´on construida de esta manera satisface |xn − xm | > n − m. para n > m. Esta sucesi´on no tiene ning´ un punto l´ımite. Obtuvimos una contradicci´on. Entonces K es acotado. Supongamos que K no es cerrado. No es entonces igual a su cerradura. Existe x 6∈ K que es un punto de acumulaci´on de K. Existen xn ∈ K tales que limn→∞ xn = x. Sin embargo cada subsucesi´on de (xn ) converge tambi´en al mismo x que no pertenece a K. Nuevamente obtenemos una contradicci´on que demuestra que K es cerrado. ¤ Cuando tenemos en R una familia descendiente de conjuntos no vac´ıos T An+1 ⊂ An , entonces puede suceder que n∈N An = ∅. Como ejemplo podemos tomar An = [n, ∞) o A0n = (0, n1 ]. Resulta que esto no puede suceder cuando los conjuntos son compactos. Teorema 4.3.2 Sean ∅ 6= Kn ⊂ R conjuntos compactos y sea Kn+1 ⊂ Kn T para todo n ∈ N. Entonces n∈N Kn 6= ∅. Este conjunto es compacto. ´ n De cada conjunto Kn seleccionamos un elemento xn . En Demostracio particular xn ∈ K1 para todo n. El conjunto K1 es compacto. La sucesi´on (xn ) tiene una subsucesi´on (xnk ) convergente y limk→∞ xnk = x ∈ K1 . Sin embargo para cada n existe mn tal que para k > mn xnk ∈ Kn . Entonces T x ∈ Kn , porque cada Kn es cerrado. Finalmente x ∈ n∈N Kn . La intersecci´on es cerrada como intersecci´on de conjuntos cerrados y es obviamente acotada. Entonces es compacta. ¤ Ejemplos Los intervalos con extremos [a, b] y sus uniones son conjuntos compactos. El hecho de que un intervalo [a, b] tiene la propiedad descrita por Teorema de Heine-Borel lleva el nombre de Teorema de Bolzano-Weierstrass.

70 Tambi´en los conjuntos finitos son compactos. Si limn→∞ xn = x, entonces el conjunto {xn | n ∈ N} ∪ {x} es compacto. He aqu´ı un ejemplo de conjunto compacto que no es numerable y no se puede representar como uni´on de intervalos. Conjunto de Cantor Sea I1 = [0, 1], I2 = [1, 31 ] ∪ [ 23 , 1], I3 = [0, 91 ] ∪ [ 29 , 13 ] ∪ [ 23 , 79 ] ∪ [ 89 , 1]. Continuando as´ı se obtiene como Ik una uni´on de 2k intervalos de longitud 1 cada uno. El conjunto Ik+1 se obtiene de Ik quitando del medio de cada 3k 1 uno de los 2k componentes de Ik un intervalo abierto de longitud 3k+1 . Los conjuntos Ik son compactos y forman una familia descendiente. Su intersecci´on C no es vac´ıa porque en particular todos los puntos extremos de cada intervalo que forma parte de cada Ik pertenece a la intersecci´on. Este conjunto se llama el conjunto de Cantor. Es compacto. Su caracteristica interesante es que no contiene ning´ un intervalo. Sin embargo no es tan ”menudo” como parece. Se puede demostrar que tiene la cardinal igual a la del intervalo [0, 1]. Utilizando el u ´ltimo teorema vamos a probar que a diferencia del espacio de los n´ umeros racionales el eje real no es un conjunto numerable. Obviamente es suficiente demostrar que un intervalo [a, b] ⊂ R no es numerable.

Teorema 4.3.3 Un intervalo [a, b] no trivial en R no es numerable. ´ n Supongamos que el intervalo es numerable y que la sucesi´on Demostracio {x1 , x2 , . . . } contiene a todos los elementos de [a, b]. Construimos inductivamente una sucesi´on de intervalos. Sea I1 ⊂ [a, b] cualquier intervalo cerrado que no contiene el elemento x1 . Como I2 tomamos un subintervalo cerrado de I2 que no contiene x2 . Dados los intervalos I1 , I2 , . . . , In definimos como In+1 cualquier intervalo contenido en In que no contiene xn+1 . T Por Theorema 4.3.2 la parte com´ un de estos intervalos ∞ n=1 In contiene por lo menos un elemento x ∈ [a, b]. Existe i tal que x = xi . Esto sin embargo es una contradicci´on porque xi 6∈ Ii . ¤

71 Una vez m´as vemos que el espacio R \ Q es ”muy grande”. Ejercicios y Problemas 1. Sea X = {0, 1, 21 , 13 . . . }. Describir todos los conjuntos abiertos y cerrados en X. 2. Describe la cerradura en R del conjunto µ

½

A = (−1)

n

n3

2 + (−1)

n

¶

¾

| n∈N .

3. Sea A el conjunto definido en el ejercicio anterior y sea X = A ∪ {2}. Describir los conjuntos abiertos y cerrados en X. 4. Sea O ⊂ X ⊂ R. Demueste que, si O es abierto en R, entonces es abierto en X. 5. Sea O ⊂ X ⊂ R. Demuestre que O es abierto en X si y solo si en R existe un abierto U tal que O = U ∩ X. 6. Demuestre que si los conjuntos Vι , ι ∈ I son vecindades de x ∈ X, entonces: (a) (b)

S ι∈I

Tk

Vι es una vecindad de x,

n=1

Vιn es una vecindad de x.

7. Sea X = (−∞, −1) ∪ [1, 2]. Construya los subconjuntos Ai ⊂ X tales que: a) A1 es cerrado en X, abierto en X, no compacto. b) A2 es abierto en X y compacto. c) A3 es cerrado en X, no abierto en X, no compacto. 8. Demuestre que los conjuntos (−∞, a], (b, a), (b, a] son conexos. 9. Demostrar que el conjunto de los puntos l´ımite de una sucesi´on es cerrado. 10. Demostrar las f´ormulas y encontrar los ejemplos que demuestren que las contensiones opuestas no son v´alidas:

72 (a) A ∩ B ⊂ A ∩ B S S (b) n∈N An ⊂ n∈N An . 11. Demuestre que adem´as de R y ∅ no existen en R subconjuntos que son abietros y cerrados al mismo tiempo. 12. Sea A ⊂ X ⊂ R. Demuestre que A = {x ∈ X| inf y∈A |x − y| = 0}. 13. Demuestre que, si Kn , n = 1, 2, . . . , k son conjuntos compactos, entonces

k [

Kn es compacto. Encuente un ejemplo de una familia nu-

n=1

merable Cn de conjuntos compactos, tal que

k [

Cn no sea compacto.

n=1

14. Denotemos por O, C, K y S las afirmaciones ”es abierto en X”, ”es cerrado en X”, ”es compacto” y ”es conexo”, respectivamente y por O0 , C 0 , K 0 y S 0 sus negaciones. Formando todas las combinaciones de estas propiedades podemos definir 16 clases de conjuntos. Por ejemplo, para X ⊂ R, la afirmaci´on: A − OC 0 KS 0 quiere decir A es abierto en X, no es cerrado en X, es compacto, no es conexo. Para cada uno de los espacios (a) (b) (c) (d) (e)

X X X X X

= R \ N, = {0, 21 , 13 , 14 , . . . }, = [0, 1), = (0, ∞), = [−3, −2) ∪ (−1, 0) ∪ {0, 21 , 13 , 14 , . . . }.

encuentre (si es posible) los ejemplos de cada clase de conjuntos. 15. Describir todos los subconjuntos compactos de Z. 16. Demueste que cada dos de las tres sigiuentes propiedades implican la tercera: (a) X es compacto, (b) X es finito, (c) Cada subconjunto es abierto en X. 17. Demuestre que el espacio R \ Q no es numerable.

Chapter 5 Funciones continuas La continuidad de funciones es una herramienta muy fuerte del an´alisis matem´atico. Si una funci´on es continua en X ⊂ R, entonces su comportamiento en un conjunto A ⊂ X determina sus valores en todos los puntos de la cerradura A. Despu´es de haber estudiado los conjuntos abiertos, cerrados y compactos pasamos al estudio de funciones continuas sobre subconjuntos X ⊂ R. Para hacer justicia a los que se lo merecen debemos aclarar que el concepto de la continuidad rigurosamente formulado aparece por primera vez en un trabajo de Bernhard Bolzano, un matem´atico y fil´osofo de procedencia italiana, que sin embargo naci´o y pas´o toda la vida en Praga escribiendo trabajos en el idioma alem´an. De acuerdo con los costumbres de aquellos tiempos el t´ıtulo de su art´ıculo publicado en 1817 contiene el resultado principal del trabajo: Si una funci´on continua alcanza en un extremo del intervalo un valor negativo y en otro extremo un valor positivo, entonces en alg´ un punto del intervalo tiene que tomar el valor nulo. Se trata entonces del teorema de valor intermedio (Teorema 5.4.7 en estas notas) en algunos paises llamado injustamente teorema de Darboux. Lo importante es que el art´ıculo de Bolzano contiene una definici´on de la continuidad absolutamente satisfactoria de punto de vista contemporaneo. Sin embargo el trabajo de Bolzano fue olvidado y sacado a la luz despu´es de 50 a˜ nos, cuando el mundo matem´atico ya consideraba a Cauchy el padre de la rigurosidad en an´alisis matem´atico a base de sus trabajos publicados en los a˜ nos 1821, 1823 y 1829. Y as´ı qued´o. 73

74

5.1

Continuidad en un punto

En esta secci´on damos dos definiciones de la continuidad pertenecientes a Cauchy y a Heine, respectivamente y demostramos su equivalencia. Recordemos primero unos t´erminos relacionados con el estudio de las funciones. Sea X ⊂ R y sea f : X → R una funci´on. El conjunto f (X) = {f (x)| x ∈ X} se llama el rango o la imagen de la funci´on f . La preimagen o la imagen inversa de un conjunto Y ⊂ R se define como f −1 (Y ) = {x ∈ X| f (x) ∈ Y }. ´ n 1 Sea f : X → R una funci´on y sea x ∈ X. La funci´on f es Definicio continua en x si ∀² > 0 ∃δ > 0,

∀y ∈ X

|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ².

Esta definci´on se puede interpretar de la manera siguiente: Para cualquier intervalo de forma I = (f (x) − ², f (x) + ²) su imagen inversa f −1 (I) contiene un intervalo de forma (x − δ, x + δ) ∩ X. Usando el concepto de la vecindad podemos expresarlo en forma m´as sencilla: La imagen inversa de un conjunto abierto que contiene f (x) es una vecindad de x. Esta definici´on pertenece a Cauchy, qui´en es el autor del ”metodo ² − δ” en matem´aticas. Es muy u ´til para manejar las propiedades te´oricas de las funciones continuas. Cuando se trata de estudiar la contnuidad de funciones concretas, muchas veces resulta mas conveniente el m´etodo de Heine llamado la continuidad secuencial. ´ n 2 f : X → R una funci´on y sea x ∈ X. La funci´on f es Definicio continua en x si para cada sucesi´on (xn ) en X tal que limn→∞ xn = x se cumple limn→∞ f (xn ) = f (x). A diferencia de la primera definici´on la segunda determina un procedimiento muy concreto para el estudio de la continuidad: tomar las sucesiones xn → x e investigar que pasa con los valores f (xn ). Teorema 5.1.1 Definici´on 1 es equivalente a Definici´on 2. ´ n ⇒ Suponemos que f es continua en el sentido de Cauchy. Demostracio Sea xn → x, sea ² > 0 y sea δ > 0 tal que |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ². Existe N tal que para n > N tenemos |xn − x| < δ y por lo tanto |f (xn ) − f (x)| < ². La convergencia f (xn ) → f (x) est´a probada.

75 ⇐ Supongamos ahora que la funci´on f es continua en el sentido de Definici´on 2 y que no es cont´ınua en sentido de Cauchy. Existe entonces ² > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ X que cumple |x − xn | < n1 y sin embargo |f (x) − f (xn )| ≥ ². Obtuvimos xn → x tal que f (xn ) 6→ f (x) a pesar de nuestra suposici´on. La contradicci´on significa que la continuidad secuencial implica la continuidad de Cauchy. ¤ Para dominar bi´en el concepto de la continuidad debemos estar concientes que significa la discontinuidad de una funci´on. Utilizando la definici´on de Cauchy obtenemos el siguiente criterio: Una funci´on f : X → R es discontinua en x ∈ X si y solo si ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃y ∈ X,

|x − y| < δ y |f (y) − f (x)| > ε.

De acuerdo con Teorema 5.1.1 esta condici´on es equivalente a la que sigue: ∃yn → x f (yn ) 6→ f (x). La u ´ltima condici´on es aparentemente m´as sencilla, pero en forma desarrollada significa que ∃yn → x,

∃ ε > 0 ∀N ∈ N ∃n > N

|f (yn ) − f (x)| > ε.

El estudio de la continuidad a base de cualquiera de las definiciones no es sencillo. As´ı como en el caso de las sucesi´ones vamos a demostrar un teorema sobre las operaciones algebr´aicas que conservan la continuidad. Primero recordemas las definiciones de la suma, producto y cociente de funciones: • f + αg(x) = f (x) + αg(x), • f g(x) = f (x)g(x), •

f f (x) (x) = . g g(x)

Teorema 5.1.2 Sean f, g : X → R funciones continuas en x ∈ X y sea α ∈ R. Entonces las funciones f + αg, f g son continuas en x. Si g no se f anula en alguna vecindad de x entonces es continua en x. g ´ n Este resultado se obtiene m´as f´acil usando la definici´on de Demostracio Heine. Supongamos que yn → x. Por suposici´on sabemos que f (yn ) → f (x) y

76 g(yn ) → g(x). Si adem´as g no se anula en alg´ un intervalo de forma (x−², x+²) entonces g(x) 6= 0 y g(yn ) 6= 0 para n suficientemente grandes. La afirmaci´on se obtiene aplicando Teorema 2.2.3. ¤ Gran n´ umero de funciones se obtiene superponiendo varias funciones m´as sencillas. El hecho de que la superposici´on conserva la continuidad es un hecho muy importante. Teorema 5.1.3 Sea f : X → Y ⊂ R y sea g : Y → R. Si f es continua en x y g es continua en f (x) entonces la funci´on f ◦ g(x) = f (g(x)) es continua en x. ´ n Nuevamente la definici´on de Heine proporciona una deDemostracio mostraci´on inmediata. Sea xn → x. Entonces f (xn ) → f (x) por la continuidad de f . La funci´on g es continua en f (x), entonces f ◦ g(xn ) = g(f (xn )) → g(f (x)) = f ◦ g(x). ¤ Ejemplos 1. Todos los polinomios p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 son funciones continuas en todos los puntos del eje real. Las funciones p(x) racionales R(x) = (p, q son polinomios), son continuas en los q(x) puntos, donde q(x) 6= 0. 2. Demostraremos la continuidad de sen x y cos x usando las siguientes propiedades de estas funciones: 1. |sen x| < |x|, 2. sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y 3. cos(x + y) = cos x cos y − sen xsen y, 4. sen2 x + cos2 x = 1. En principio demostramos la continuidad de ambas funciones en cero. Si xn → 0 entonces sen xn → 0 = sen 0, por la f´ormula 1, lo que demuestra la continuidad de sen x en cero. F´ormula 4 implica entonces cos xn → ±1. Sin embargo cos x es positivo en (−π/2, π/2) y obtenemos cos xn → 1 = cos 0. La funci´on cos x es tambi´en continua en cero. Ahora, cuando xn → x obtenemos sen(x + xn ) = sen x cos xn + cos xn sen x → sen x.

77 La funci´on sen x es continua en todas partes. F´ormula 4 implica la continuidad de la funci´on cos x en todas partes. 3. M´as adelante vamos a demostrar un teorema general sobre la continuidad de funciones inversas. Por el momento demostraremos la continuidad de la ra´ız cuadrada en cada punto del semieje R+ . Sea x ∈ R+ . Para demostrar que la funci´on R+ 3 x → x1/2 es continua en x debemos verificar que ∀ε > 0 ∃ δ > 0,

|x − y| < δ ⇒ |x1/2 − y 1/2 | < ε.

Aprovechamos la formula (x1/2 − y 1/2 )(x1/2 + y 1/2 ) = x − y que implica |x1/2 − y 1/2 | =

|x − y| ≤ |x − y|x−1/2 . + y 1/2

x1/2

Si para ε > 0 dado escogemos δ = εx1/2 y y tal que |x − y| ≤ δ, obtenemos: |x1/2 −y 1/2 | < |x−y|x−1/2 < ε y as´ı cumplimos con nuestro prop´osito. 1 4. La funci´on f (x) = est´a definida en R∗ = R \ {0} y por la u ´ltima x afirmaci´on de Teorema 5.1.2 es continua en este dominio. Sin embargo vamos a demostrar el mismo hecho directamente por la definici´on porque esta experiencia nos prepara bi´en para abordar el tema de la continuidad uniforme. Fijamos x 6= 0 y ε > 0. Sea y tal que |y| > |x|/2. Esta condici´on asegura que f est´a definida en todo intervalo que une los puntos x y y. Tenemos ¯ ¯ ¯1 1 ¯¯ |x − y| |x − y| ¯ |f (x) − f (y)| = ¯ − ¯ = ≤ . ¯x ¯ y |xy| |x|2 Cuando |x| es muy peque˜ no y |x|−2 alcanza valores grandes, necesitamos valores de |x − y| muy peque˜ nos para cumplir con la condici´on |f (x) − f (y)| < ε. Concretamente debemos elegir δ menor o igual a ε|x|2 para alcanzar el prop´osito. Se puede decir que acercandonos con x a cero cada vez m´as dificil es encontrar δ adecuada. No existe el valor δ que sirva para obtener la implicaci´on |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| en todos los puntos del dominio. Tenemos un ejemplo de una funci´on continua que no es uniformemente continua.

78

5.2

Continuidad uniforme

En general la continuidad de una funci´on en alg´ un punto x de su dominio significa que controlando los incrementos del argumento cerca de x podemos controlar los incrementos de la funci´on. Como hemos visto en el u ´ltimo ejemplo de la secci´on anterior en algunos puntos aquellos incrementos pueden ser m´as f´aciles, en otros m´as dif´ıciles de controlar. La continuidad uniforme de una funci´on significa que la funci´on no solo es continua, sino que el control de sus incrementos es global, es decir no depende del punto x. ´ n Una funci´on X 3 x → f (x) ∈ R es uniformemente continua si Definicio ∀ε > 0 ∃ δ > 0,

∀ x, y ∈ X

|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

Pronto vamos a demostrar teoremas fuertes sobre la continuidad uniforme. En este momento nos dedicamos principalmente a los ejemplos que demuestren la diferencia entre la continuidad uniforme y la ”ordinaria”. Negando la afirmaci´on ”f es uniformemente continua” obtenemos la siguiente propiedad: ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x, y ∈ X,

|x − y| < δ, |f (x) − f (y)| > 0.

Ejemplos 1 . Sea ε = 2 y sea δ > 0 arbitrario. En el caso x de δ ≥ 1 podemos tomar x = 1/4 y y = 1 obteniendo |x − y| = 3/4 < δ y |f (x) − f (y)| = 4 − 1 > 2.

1. Volvamos a la funci´on

Para δ < 1 tomemos x = δ y y = δ/3. Entonces |x − y| < δ pero 3 1 2 1 |f (x) − f (y)| = − = > 2. La funci´on no es uniformemente δ δ δ x continua, aunque s´ı, es continua en todos los puntos de su dominio R∗ . 1 2. Sea f (x) =sen . Esta funci´on est´a definida en el mismo dominio R∗ x y es continua como composici´on de dos funciones continuas. Adem´as es acotada. En el semieje positivo alcanza zero en los puntos x que 1 1 = nπ, es decir para xn = , n ∈ N. El satisfacen la condici´on x nπ

79 valor 1 alcanza esta funci´on en los puntos que satisfacen la ecuaci´on 1 π 1 = + 2nπ, entonces yn = π . Obtenemos y 2 + 2nπ 2 x2n − yn =

1 − 2nπ

π 2

1 1 = . π + 2nπ 4n( 2 + 2nπ)

Para cualquier δ > 0 podemos encontrar n tal que x2n −yn < δ mientras que |f (x2n ) − f (yn )| = 1. Esta funci´on no es uniformemente continua. 3. La funci´on f (x) = x2 est´a definida en todo eje real y es continua. Sin 1 embargo para δ > 0 arbitrario podemos tomar x = y y = x + δ/2. δ Entonces y − x = δ/2, mientras que 1 δ 1 1 f (y) − f (x) = ( + )2 − 2 = 1 + 2 > 1. δ 2 δ δ La funci´on x2 tampoco es uniformemente continua.

5.3

Discontinuidades. L´ımites de la funci´ on en un punto

Las discontinuidades de una funci´on pueden ser de varios tipos. El concepto del l´ımite de una funci´on en un punto ayuda estudiar su continuidad y si la u ´ltima no tiene lugar, permite caracterizar ”que tan discontinua” es la funci´on. ´ n Sea f : X → R y sea x0 ∈ X, donde la barra significa la Definicio cerradura de X en R. Decimos que a ∈ R es el l´ımite izquierdo (resp. derecho) de la funci´on f en x0 cuando para toda sucesi´on X 3 xn → x0 tal que xn < x0 (resp. xn > x0 ) lim f (xn ) = a.

n→∞

El l´ımite izquierdo de f en x0 se denota por lim f (x) y el l´ımite derecho x→x0 −

se denota por lim f (x). x→x0 +

Cuando lim f (x) = lim f (x) = a, decimos que la funci´on f tiene en x→x0 −

x→x0 +

x0 l´ımite a y lo denotamos lim f (x) = a. x→x0

80 El concepto del l´ımite de una funci´on en un punto est´a relacionado estrechamente con la continuidad de la funci´on en dicho punto. Sea f una definida en X y sea x0 ∈ X. En el conjunto X1 = ({x0 } ∪ X) ∩ (−∞, x0 ] definamos la funci´on (

f (x) a

f1 (x) =

x ∈ X ∩ (−∞, x0 ), x = x0 .

Por la definici´on de Heine de la continuidad, vemos inmediatamente que lim f (x) = a existe si y solo si la funci´on f1 es continua en x0 . Razonando x→x0 −

de la misma manera obtenemos tambi´en que lim f (x) = a si y solo si es x→x0 + continua la funci´on (

f2 (x) =

f (x) a

x ∈ X ∩ (x0 , ∞), x = x0 .

Aplicando la definici´on de Cauchy obtenemos inmediatamente: Teorema 5.3.1 Sea f : X → R y sea x0 ∈ X. Entonces lim f (x) = a (resp. lim f (x) = a) si y solo si x→x0 −

x→x0 +

∀ε > 0 ∃δ

∀x ∈ X, x < x0 (x > x0 ) |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − a| < ε.

De aqu´ı se sigue: Teorema 5.3.2 Sea f : X → R y sea x0 ∈ X. La funci´on f es continua en x0 si y solo si lim f (x) = f (x0 ). x→x0

Por otro lado, si f tiene el l´ımite en x0 ∈ X, donde x0 6∈ X, existe la posibilidad de extender la funci´on sobre X ∪{x0 } de tal manera que la funci´on extendida sea continua en x0 . Con este fin ponemos: (

f˜(x) =

f (x) lim f (x), x→x 0

x ∈ X, x = x0 .

Ejemplos 1. La funci´on

(

f (x) =

−|x + 1| x ≤ 0, x + 1 x > 0.

est´a definida en todo R y es continua en R \ {0}. Su l´ımite izquierdo existe y es igual a −1, mientras que el l´ımite derecho es igual a 1. La funci´on tiene discontinuidad en 0.

81 1 . El dominio de esta funci´on es X = R \ {0}. Como x 1 sabemos esta funci´on toma valores 0 en los puntos de forma xn = πn 1 y los valores 1 en los puntos yn = 1 . Ambas sucesiones son pos+ 2nπ 2 itivas, convergen a cero y sin embargo limn→∞ f (xn ) 6= limn→∞ f (yn ). La funci´on f no tiene l´ımite derecho en 0. Como f (−x) = −f (x), tampoco existe el l´ımite izquierdo.

2. Sea f (x) = sen

3. Sea f una funci´on mon´otona creciente en [a, b]. Para x ∈ [a, b] denotemos fl (x) = supy<x f (y) y fr (x) = inf y>x f (y). Por la monoton´ıa de la funci´on tenemos f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) para x arbitrario, entonces fl (x), fr (x) existen para a < x < b. Por la misma definici´on tenemos fl (x) ≤ f (x) ≤ fr (x). Sean xn < x y xn → x y sea ε > 0. Existe x0 < x tal que fl (x) − f (x0 ) < ε. Existe N tal que para n > N se tiene xn > x0 y por la monoton´ıa de la funci´on fl (x) − f (xn ) < ε. Obtenemos entonces limn→∞ f (xn ) = fl (x) y por consiguiente limy→x− f (y) = fl (x). En forma an´aloga se demuestra que limy→x+ f (y) = fr (x). Resulta que cada funci´on mon´otona creciente tiene ambos l´ımites laterales en el interior del dominio. En x = a existe limy→a+ f (y) y en b existe limy→b− f (y). Una funci´on mon´otona es continua si y solo si fl (x) = fr (x). Si f no es continua en x el valor fr (x) − fl (x) es el ”brinco” que da la funci´on en el punto x. Obviamente la suma de todos los ”brincos” de la funci´on mon´otona no puede superar el valor f (b) − f (a). Esta observaci´on permite demostrar que cada funci´on mon´otona en alg´ un sentido tiene m´as puntos de continuidad que los puntos de discontinuidad. Teorema 5.3.3 Si f : [a, b] → R es una funci´on mon´otona entonces el n´ umero de los puntos donde f es discontinua es numerable. ´ n Obviamente es suficiente considerar el caso de una Demostracio funci´on creciente, porque en caso de una funci´on decreciente f la funci´on −f es creciente. Para n → N definimos D(n) = {x ∈ [a, b]| fr (x) − fl (x) < n1 } y N (n) = #D(n). C(n) es un conjunto finito, porque nD(n) < f (b) −

82 f (a). Por otro lado para cada punto de discontinuidad x existe n tal que x [ ∈ D(n). El conjunto de puntos de discontinuidad es igual a D = C(n). Uni´on numerable de conjuntos finitos es numerable, n∈N

entonces D es numerable. ¤ 4. Aprovechando Teoremas 5.3.1 y 5.3.2 podemos formular un criterio muy sencillo de la continuidad de funciones de forma (

f (x) =

g(x) h(x)

x ∈ [a, b) x ∈ [b, c],

donde g es continua en todo [a, b] y h es continua en [b, c]. Proposici´ on 5.3.4 La funci´on f es continua en [a, c] si y solo si g(b) = h(b). ´ n Sea f : X → R una funci´on que no es continua en y ∈ Definicio X. Decimos que la discontinuidad es removible, si existe lim f (x). La x→y

discontinuidad es de primer tipo si existen lim f (x) y lim f (x). En caso x→y−

x→y+

contrario decimos que la discontinuidad es de segundo tipo.

5.4

Funciones continuas en todas partes

El hecho de que una funci´on es continua en la totalidad de su dominio facilita mucho el estudio de la funci´on especialmente cuando el dominio es un intervalo. En esta secci´on demostraremos los resultados mas importantes sobre este tema. Teorema 5.4.1 Sean f, g : X → R funciones continuas en X y sea α ∈ R. Entonces las funciones f + αg, f g son continuas en X. Si g no se anula en f X entonces es continua en X. g ´ n El resultado se obtiene inmediatamente aplicando TeoDemostracio rema 5.1.2 en todos los puntos x ∈ X. ¤ Denotemos por C(X) el espacio de todas las funciones continuas f : X → R. Seg´ un Teorema 5.4.1 C(X) provisto de la estructura de suma y multiplicaci´on por n´ umeros, es un espacio vectorial. Es tambi´en un ´algebra si le

83 agregamos la estructura de la multiplicaci´on de funciones punto por punto. Su estructura es mas compleja. Si f es continua, entonces |f | es tambi´en continua. La demostraci´on de este hecho queda como ejercicio. Finalmente podemos decir que C(X) es una l´atiz. La definici´on de Cauchy de la continuidad conduce a una descripci´on muy interesante de funciones globalmente continuas. Teorema 5.4.2 Una funci´on f : X → R es continua en X si y solo si para todo abierto O ⊂ R la imagen inversa f −1 (O) es conjunto abierto en X. ´ n Supongamos que f es continua y sea O un abierto en R. Demostracio Fijemos x ∈ f −1 (O). Ya que f (x) pertenece al conjunto abierto O, existe ε > 0 tal que (f (x) − ε, f (x) + ε) ⊂ O. Por la continuidad de f existe δ > 0 tal que f ((x − δ, x + δ)) ⊂ (f (x) − ε, f (x) + ε) ⊂ O. Resulta que (x − δ, x + δ) ⊂ f −1 (O). La imagen inversa de O es un conjunto abierto. Ahora supongamos que f −1 (O) es abierto en X cuando O es abierto. Sea x ∈ X. Para ε > 0 arbitrario f −1 ((f (x) − ε, f (x) + ε)) es abierto en X y contiene x. Existe entonces δ > 0 tal que (x − δ, x + δ) ⊂ f −1 ((f (x) − ε, f (x) + ε)). La u ´ltima contensi´on dice exactamente que f ((x − δ, x + δ)) ⊂ (f (x) − ε, f (x) + ε) lo que significa la continuidad de f en x. ¤ Las funciones continuas sobre compactos tienen propiedades muy importantes. Teorema 5.4.3 Sea X un conjunto compacto en R y sea f : X → R una funci´on continua en X. Entonces f (X) = {f (x)| x ∈ X} es compacto. ´ n Sean yn ∈ f (X). Cada yn es de forma yn = f (xn ) para Demostracio alg´ un xn ∈ X. El espacio X es compacto, entonces existe una subsucesi´on xnk convergente a x ∈ X. Por la continuidad de f obtenemos f (xnk ) → f (x) ∈ f (X). Cada sucesi´on en f (X) tiene una subsucesi´on convergente en f (X) entonces f (X) es compacto. ¤ El mismo teorema se puede expresar en la siguiente forma: Corolario 5.4.4 Si X ⊂ R es cerrado y acotado y f : X → R es una funci´on continua, entonces f (X) es cerrado y acotado. Obtenemos tambi´en los corolarios siguientes: Corolario 5.4.5 Si X ⊂ R es cerrado y acotado y f : X → R es una funci´on continua, entonces f alcanza en X su m´aximo y su m´ınimo.

84 ´ n Sabemos que f (X) es acotado, entonces existen Demostracio sup f (X) y inf f (X). Ambos puntos pertenecen a f (X) porque este conjunto es cerrado (Teorema 4.2.6). Entonces existen x1 , x2 ∈ X tales que f (x1 ) = sup f (X) = max f (X) y f (x2 ) = inf f (X) = min f (X). ¤ Pasamos a resultados m´as profundos. Teorema 5.4.6 Sea f una funci´on continua en un espacio compacto X. Entonces f es uniformemente continua. ´ n Supongamos que f no es uniformemente continua. Esto Demostracio quiere decir que existe ε > 0 tal que para todo n ∈ N se puede encontrar xn , yn ∈ X tales que |xn − yn | < n1 y sin embargo |f (xn ) − f (yn )| > ε. Estamos en un espacio compacto, entonces existe x ∈ X y una subsucesi´on xnk tal que limk→∞ xnk = x. Tenemos ahora: |x − ynk | = |x − xnk + xnk − ynk | ≤ |x − xnk | + |xnk − ynk |. Ambos t´erminos tienden a cero cuando k → ∞, entonces limk→∞ ynk = x. Por la continuidad de la funci´on f obtenemos lim f (xnk ) = f (x) = lim f (ynk ).

k→∞

k→∞

Esto no es posible si |f (xn ) − f (yn )| > ε para todo n. La contradicci´on obtenida demuestra que f es uniformemente continua. ¤ Teorema 5.4.7 (teorema de valor intermedio) Sea f : [a, b] → R una funci´on continua. La funci´on f alcanza en [a, b] todos los valores del intervalo [min f ([a, b]), max f ([a, b])]. ´ n Por la compacidad del intervalo y por Teorema 5.3.4 Demostracio sabemos que la funci´on f alcanza en [a, b] sus valores m´aximo y m´ınimo. Supongamos que no alcanza un valor α ∈ (min f ([a, b]), max f ([a, b])). Sea O1 = {x ∈ [a, b]| f (x) < α} = f −1 ((−∞, α)) y O2 = {x ∈ [a, b]| f (x) > α} = f −1 ((α, ∞)). Ambos conjuntos son abiertos como im´agenes inversas de conjuntos abiertos. Su intersecci´on es vac´ıa y su uni´on es todo [a, b]. Sin embargo [a, b] es conexo. Obtuvimos una contadicci´on. Entonces la funci´on f alcanza en su dominio el valor α. ¤

85 Ejemplos 1.

Como aplicaci´on del u ´ltimo teorema vamos a deducir un resultado que es el caso m´as simple de la serie de resultados relacionados con el problema de punto fijo. Si f : [0, 1] → [0, 1] es una funci´on continua, entonces existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x. Este teorema afirma que, si transformamos de forma continua el intervalo en si mismo, por lo menos un punto no se mueve de su lugar. La demostraci´on es una aplicaci´on del u ´ltimo teorema. Tomemos g(x) = f (x) − x. Esta funci´on es continua. En 0 toma valor nonegativo f (0). Si f (0) = 0 nuestro problema est´a resuelto. En caso contrario tenemos g(0) > 0. El valor g(1) = f (1) − 1 es no-positivo. Si es nulo, el problema est´a resuelto. En caso contrario tenemos g(1) < 0. Nos queda por estudiar el caso de g cuyo m´ınimo es negativo y m´aximo positivo. Por Teorema 5.3.7 existe x ∈ [0, 1] tal que g(x) = 0, es decir f (x) = x.

2. Vamos demostrar que una funci´on f continua en [a, b] e inyectiva es estr´ıctamente mon´otona. Por la inyectividad f (a) 6= f (b). Supongamos que f (a) < f (b). En este caso demostraremos que f es creciente. Sea a < x < b. Supongamos que f (a) > f (x). Por Teorema 5.4.7 existe en [x, b] un punto y tal que f (y) = f (a). Como esto es imposible por la inyectividad de la funci´on obtenemos f (a) < f (x). En la misma forma obtenemos f (a) < f (x) < f (b). Ahora, si x < y < b aplicamos el resultado en el intervalo [x, b] con el punto intermedio y y obtenemos f (x) < f (y). La funci´on es mon´otona creciente. El caso f (a) > f (b) conduce de la misma manera a una funci´on mon´otona decreciente. Teorema 5.4.8 Sea X un compacto en R. Sea f : X → R una funci´on continua inyectiva. Entonces la funci´on f −1 : f (X) → X es continua. ´ n Sea yn = f (xn ) tal que yn → y = f (x). Demostracio Como X es compacto, la sucesi´on (xn ) tiene una subsucesi´on convergente xnk → x0 ∈ X. Por la continuidad de f obtenemos ynk = f (xnk ) → f (x0 ). Por otro lado ynk → y = f (x) como subsucesi´on de una sucesi´on convergente.

86 Entonces x = x0 . Resulta que la sucesi´on acotada (xn ) tiene un solo punto l´ımite igual a x entonces es convergente al mismo punto. La convergencia yn → y implica que f −1 (yn ) = xn → x = f −1 (y). La funci´on f −1 es continua. ¤ Ejemplo Para ver que la compacidad es realmente necesaria para la validez del u ´ltimo teorema tomemos X = [0, 1] ∪ (2, 3] y (

x, x − 1,

f (x) =

x ∈ [0, 1] x ∈ (2, 3].

La funci´on f es continua, inyectiva, tiene rango [0, 2]. Sin embargo, cuando yn % 1 obtenemos f −1 (yn ) → 1, mientras que para yn & 1 obtenemos f −1 (yn ) → 2. La funci´on inversa no es continua. Ejercicios y Problemas 1. Sea f : X → Y una funci´on. Demuestre: (a) A ⊂ f −1 (f (A)), pero la igualidad no es v´alida en general. (b) Si f es inyectiva entonces f −1 (f (A)) = A. (c) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). (d) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). c

(e) f −1 (Ac ) = (f −1 (A)) . 2. Sean f , g : X → R funciones continuas y sea (

f ∪ g(x) =

f (x) cuando f (x) ≥ g(x) g(x) cuando g(x) > f (x).

Demostrar que f ∪ g es continua. 3. Sea

(

f (x) =

1 cuando x ∈ Q 0 cuando x ∈ 6 Q.

Demuestre que f no es continua en ninguna parte.

87 4. Sea   0,

f (x) =  1 , n

cuando x 6∈ Q, m cuando , n > 0 y la fracci´on es irreducible. n

Demuestre que f es continua en los puntos irracionales y en 0 y es discontinua en los dem´as puntos racionales. 5. Demuestre que, si f es continua sobre X, entonces |f |(x) = |f (x)| es tambi´en continua. 6. Investigue la continuidad de las funciones (a) f (x) = (b)

  1  x

sen x,

a,

cuando x 6= 0, cuando x = 0.

 3 2   x − 3x + 3x − 1

f (x) = 

5x − 5

 a,

(c)

( √

f (x) =

x2 + a2 , ax2 + bx + c,

,

cuando x 6= 1, cuando x = 1.

cuando |x| > 1, cuando |x| ≤ 1.

7. Sea f una funci´on continua en R que satisface la identidad f (x + y) = f (x) + f (y). Demuestre que existe a ∈ R tal que f (x) = ax. 8. Demuestre que el espacio C[a, b] es de dimenci´on infinita. 9. Sea f : X → R una funci´on continua y sea (an ) una sucesi´on de Cauchy en X. ¿Es f (an ) una sucesi´on de Cauchy? 10. Supongamos que f es continua en (a, b) y que existen lim f (x) y lim f (x). Demuestre que f es uniformemente continua.

x→x0 +

x→x0 −

88 11. Demuestre que los u ´nicos polinomios que son uniformemente continuos en R son de forma ax + b. 12. Calcule lim xsen x→0+

1 1 y lim xsen . x x→0− x

13. Sean f , g funciones continuas en [a, b]. Supongamos que f (a) > g(a) y f (b) < g(b). Demuestre que la ecuaci´on f (x) = g(x) tiene soluci´on en [a, b]. 14. Se dice que f es una funci´on de Lipschitz si existe K tal que |f (x) − f (y)| < K|x−y|. Demuestre que cada funci´on de Lipschitz es uniformemente continua, pero no todas las funciones uniformamente continuas son de Lipschitz. 1 15. Encontrar un intervalo de longitud ≤ , donde se anula la funci´on 4 x2 ex + 2x3 + 1.

Chapter 6 Integral de Riemann El c´alculo integral y el c´alculo diferencial constituyen dos ´areas cruciales del an´alisis matem´atico estrechamente vinculados por Teorema Fundamental de C´alculo Diferencial e Integral. Ninguno de los dos temas queda completo antes de que se presente el otro para poder formular y demostrar Teorema Fundamental. En este cap´ıtulo introducimos el concepto de la integral de Riemann y de la funci´on R-integrable. Demostramos las propiedades elementales de la integral como su linealdad y monoton´ıa. El resultado m´as importante es el teorema de valor medio del c´alculo integral (Teorema 6.3.7). Este tema es de caracter te´orico y no proporciona las t´ecnicas m´as importantes de la integraci´on tales como las f´ormulas de integraci´on por partes y por cambio de la variable. Contrario a la costumbre optamos por presentar la integral de Riemann antes de la teor´ıa de derivaci´on para obtener luego la imagen m´as completa y concisa de la u ´ltima. El el enfoque tradicional la integral de Riemann aparece como una interrupci´on en el desarrollo del c´alculo diferencial dando una imagen completamente equivocada de la relaci´on entre ambas.

6.1

Funciones R-integrables

´ n Sea I = [a, b] un intervalo finito. Una partici´on P de I es un Definicio conjunto finito de puntos {x0 , x1 . . . , xn } tal que a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. 89

90 Denotamos ∆xj = xj − xj−1

(j = 1, . . . , n).

Sea f una fincion acotada sobre I. A cada partici´on P, le asociamos los n´ umeros: Mj = sup f (x), mj = inf f (x), xj−1 ≤x≤xj

xj−1 ≤x≤xj

Σ(f, P) =

n X

Mj ∆xj ,

Σ(f, P) =

j=1

n X

mj ∆xj .

j=1

Los n´ umeros Σ(f, P) y Σ(f, P) se llaman respectivamente la suma superior y la suma inferior de la funci´on f asociada a la partici´on P. Para m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M , x ∈ [a, b] tenemos las desigualdades m(b − a) ≤ Σ(f, P) ≤ M (b − a). En seguida definimos la integral superior y la integral inferior de la funci´on f en el intervalo [a, b]. Z b a

f (x)dx = inf Σ(f, P), P

Z b a

f (x)dx = sup Σ(f, P). P

´ n Una funci´on f : [a, b] → R se llama R-integrable (integrable Definicio en el sentido de Riemann), cuando sus integrales superior e inferior coinciden. Este valor com´ un se llama la integral de f en [a, b] y se denota Z b a

f (x)dx.

Ejemplo La integrabilidad en el sentido de Riemann es una condici´on fuerte. Es muy f´acil construir el ejemplo de una funci´on que no es Rintegrable. Sea (

f (x) =

1 cuando x ∈ Q 0 cuando x 6∈ Q.

En cada intervalo [xj−1 , xj ] esta funci´on toma valores 0 y 1. Por lo tanto Mj = 1 y mj = 0 para cada partici´on y para cada j. De tal manera Z b a

f (x)dx = b − a,

Z b a

f (x)dx = 0.

91 Esta funci´on no es R-integrable. En el conjunto de todas las particiones se puede definir una orden parcial. Decimos que la partici´on P2 es m´as fina que la partici´on P1 si P1 ⊂ P2 . Denotamos entonces P1 ¹ P2 . Para cada par de particiones P1 , P2 existe una partici´on P∗ que es mas fina que cualquiera de los dos. Es suficiente tomar P∗ = P1 ∪ P2 . Lema 6.1.1 Sean P ¹ P∗ . Entonces Σ(f, P) ≤ Σ(f, P∗ ),

Σ(f, P∗ ) ≤ Σ(f, P).

´ n Sea P = {x0 , x1 , . . . , xn } y sea P∗ = {y0 , y1 , . . . , ym }. Demostracio Existen entonces mi tales que xi = ymi , 1 ≤ i ≤ n. Supongamos que xi = yl < yl+1 < · · · < yl+k−1 < yl+k = xi+1 . Denotamos como antes Mj =

sup

f (x),

mi =

f (x),

m∗j =

xi−1 ≤x≤xi

inf

f (x),

inf

f (x).

xi−1 ≤x≤xi

y sean Mj∗ =

sup yj−1 ≤x≤yj

yj−1 ≤x≤yj

P

Tenemos entonces mi ∆xi ≤ kt=1 m∗l+t ∆yl+t . Tomando la suma con respecto a i obtenemos de lado izquierdo Σ(f, P), mientras que de lado derecho Σ(f, P∗ ). De aqu´ı la desigualdad Σ(f, P) ≤ Σ(f, P∗ ). La demostraci´on en el caso de las sumas superiores es an´aloga. ¤ Teorema 6.1.2 Para cada funci´on f acotada en [a, b] se tiene Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

f (x)dx.

´ n Sean P1 , P2 particiones arbitrarias y sea P∗ la partici´on Demostracio m´as fina que qualquiera de las dos. Entonces tenemos Σ(f, P1 ) ≤ Σ(f, P∗ ) ≤ Σ(f, P∗ ) ≤ Σ(f, P2 ). De aqu´ı se sigue Σ(f, P1 ) ≤ Σ(f, P2 ) para P1 , P2 arbitrarios. Pasando al supremo de lado izquierdo y al ´ınfimo de lado derecho obtenemos la desigualdad enunciada. ¤

92

6.2

Criterios de integrabilidad

Teorema 6.2.1 Una funci´on acotada sobre [a, b] es R-integrable si y solo si para todo ² > 0 existe una partici´on P tal que Σ(f, P) − Σ(f, P) ≤ ². ´ n Para cualquier partici´on P tenemos Demostracio Σ(f, P) ≤

Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

f (x)dx ≤ Σ(f, P).

La condici´on Σ(f, P) − Σ(f, P) ≤ ² implica entonces 0≤

Z b a

f (x)dx −

Z b a

f (x)dx ≤ ².

R

R

El valor de ² es arbitrario entonces ab f (x)dx = ab f (x)dx y la funci´on es integrable. Supongamos ahora la integrabilidad de la funci´on en el sentido de Riemann. Para cada ² > 0 existen particiones P1 y P2 tales que Z b a

² f (x)dx ≤ Σ(f, P) + , 2

Σ(f, P) ≤

Z b a

² f (x)dx + . 2

Sea P la partici´on m´as fina que P1 y P2 . Por Lema 6.1.1 obtenemos las desigualdades siguientes: Σ(f, P) ≤ Σ(f, P2 ) ≤

Z b a

f (x)dx +

² ≤ Σ(f, P1 ) + ² ≤ Σ(f, P) + ². 2

Entonces Σ(f, P) − Σ(f, P) ≤ ². ¤ A base de este criterio podemos identificar una clase amplia de funciones R-integrables. Teorema 6.2.2 Si f es acotada en [a, b] y continua en (a, b) entonces es R-integrable. ´ n Sea M tal que |f (x)| < M en [a, b]. Dado ² > 0, existen Demostracio 0 0 a b ∈ (a, b) tales que M (a0 − a + b − b0 ) < 4² . La funci´on f es continua en el

93 intervalo compacto [a0 , b0 ], entonces es uniformemente continua en el mismo intervalo. Existe δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| ≤

² 2(b − a)

para |x − y| ≤ δ. Sea P = {a, x1 , x2 , . . . , xn−2 , xn−1 , b} tal que x1 = a0 , xn−1 = b0 y adem´as xj − xj−1 < δ para j = 2, . . . , n − 1. Tenemos Σ(f, P) − Σ(f, P) =

n X

(Mj − mj )∆xj ≤

j=1 0

0

≤ 2M (a − a) + 2M (b − b ) +

n−1 X

(Mj − mj )∆xj ≤

j=2

≤

n−1 X ² ² + ∆xj ≤ ². 2 2(b − a) j=2

Por Teorema 6.2.1 la funci´on f es R-integrable en [a, b]. ¤ La monoton´ıa de la funci´on tambi´en implica su integrabilidad. Teorema 6.2.3 Sea f una funci´on mon´otona en [a, b]. Entonces f es Rintegrable. ´ n Consideramos el caso de una funci´on creciente f . Dado Demostracio ² > 0, podemos encontrar n ∈ N tal que (f (b) − f (a))(b − a) < n². Sea P b−a una partici´on que satisface ∆xi = . Por la monoton´ıa de la funci´on n tenemos: Mj = f (xj ), mj = f (xj−1 ) y por lo tanto Σ(f, P) − Σ(f, P) = =

n X

(Mj − mj )∆xj

j=1 n X

(f (xj ) − f (xj−1 )

j=1

b−a b−a = (f (b) − f (a)) ≤ ². n n

Aplicando Teorema 6.2.1 obtenemos la R-integrabilidad de f . ¤

94

6.3

Espacio de funciones R-integrables

Demostraremos ahora que el espacio de funciones R-integrables es un espacio vectorial y que la integral es una funci´on lineal. Teorema 6.3.1 Sean f , g funciones integrables en [a, b] y sea α ∈ R. Entonces f + αg es R-integrable y Z b a

(f + αg)(x)dx =

Z b a

f (x)dx + α

Z b a

g(x)dx.

´ n Sea h = f + g. En cada intervalo [s, t] tenemos Demostracio h(x) ≤ sup f (x) + g(x) x∈[s,t]

para todo x ∈ [s, t]. Pasando al supremo con respecto a x obtenemos sup h(x) ≤ sup f (x) + sup g(x). x∈[s,t]

x∈[s,t]

x∈[s,t]

En la misma manera se demuestra la desigualdad inf h(x) ≥ inf f (x) + inf g(x).

x∈[s,t]

x∈[s,t]

x∈[s,t]

Para cada partici´on P obtenemos Σ(f, P) + Σ(g, P) ≤ Σ(h, P) ≤ Σ(h, P) ≤ Σ(f, P) + Σ(g, P). Por la suposici´on sabemos que para toda ² > 0 existen unas particiones P1 , P2 tales que Σ(f, P1 )−Σ(f, P1 ) < ² y Σ(g, P2 )−Σ(g, P2 ) < ². Pasando a una partici´on P m´as fina obtenemos ambas desigualdades v´alidas para la misma P. Por lo tanto Σ(h, P) − Σ(h, P) < 2². La funci´on h es entonces R-integrabla. Tenemos adem´as para la misma partici´on P. Σ(f, P) ≤

Z b a

f (x)dx + ²,

Σ(g, P) ≤

Z b a

g(x)dx + ²,

as´ı como Z b a

f (x)dx ≤ Σ(f, P) + ²,

Z b a

g(x)dx ≤ Σ(g, P) + ².

95 De tal manera Z b a

≤ ≤

f (x)dx +

Z b Zab a

Z b a

g(x)dx − 2² ≤ Σ(f, P) + Σ(f, P) ≤ Σ(h, P) ≤

h(x)dx ≤ Σ(h, P) ≤ Σ(f, P) + Σ(g, P) ≤ f (x)dx +

Z b a

g(x)dx + 2².

Las desigualdades son v´alidas para ² arbitrario, entonces Z b a

h(x)dx =

R

Z b a

f (x)dx +

Z b a

g(x)dx.

R

La f´ormula ab αg(x)dx = α ab g(x)dx es obvia por la definici´on si α ≥ 0. Nos queda por demostrar el caso α = −1. Recordamos las f´ormulas inf −g(x) = − sup g(x),

x∈[s,t]

sup −g(x) = − inf g(x),

x∈[s,t]

x∈[s,t]

x∈[s,t]

que implican las relaciones Σ(−g, P) = −Σ(g, P),

Σ(−g, P) = −Σ(g, P).

Obtenemos entonces Z b a

(−g)(x)dx = sup Σ(−g, P) = sup −Σ(g, P) = − inf Σ(g, P) =

=−

Z b a

P

g(x)dx = −

Z b a

P

g(x)dx = −

P

Z b a

g(x)dx = − sup Σ(g, P) = P

= inf −Σ(g, P) = inf Σ(−g, P) = P

P

Z b a

(−g)(x)dx.

Estas igualdades demuestran la integrabilidad de −g y conducen a la f´ormula Z b a

(−g)(x)dx = −

Z b a

g(x)dx.

¤ Las f´omulas que acabamos de demostrar significan que la funci´on f → Rb a f (x)dx definida sobre el espacio vectorial de todas las funciones Rintegrables es lineal. Ahora probaremos que esta funci´on es adem´as mon´otona.

96 Proposici´ on 6.3.2 Si las funcciones f, g son R-integrables y f (x) ≤ g(x), x ∈ [a, b] entonces Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

g(x)dx.

´ n La funci´on g − f es no-negativa. Por la aditividad de la Demostracio integral y por misma construcci´on de la integral obtenemos Z b a

g(x)dx −

Z b a

f (x)dx =

Z b a

(g − f )(x)dx ≥ 0.

¤ Sean a < c < b y sea P una partici´on del intervalo [a, b]. Denotemos por Pc la partici´on que contiene a todos los puntos de la partici´on P y adem´as el punto c. En general, para f arbitraria tenemos supP Σ(f, Pc ) ≤ supP Σ(f, P), porque en el primer caso estamos tomando el supremo sobre un conjunto m´as peque˜ no. Sin embargo, sabemos tambi´en que para una pertici´on m´as fina se cumple Σ(f, P) ≤ Σ(f, Pc ) y por lo tanto en realidad sup Σ(f, Pc ) = sup Σ(f, P). P

P

En forma an´aloga se demuestra que inf Σ(f, Pc ) = inf Σ(f, P). P

P

Investigando la integrabilidad en [a, b] podemos entonces fijar c ∈ (a, b) y luego tomar en cuenta u ´nicamente las particiones de [a, b] que contienen este punto. Teorema 6.3.3 Sean a < c < b y sea f : [a, b] → R. Entonces f es R-integrable en [a, b] si y solo si es integrable en [a, c] y en [c, b] y en este caso Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx.

´ n Aprovechando las observaciones precedentes este teorema Demostracio podemos tomar en cuenta u ´nicamente las particiones que contienen el punto c. Tal partici´on es de forma P = P1 ∪ P2 , donde P1 es una partici´on de [a, c] y P2 es una partici´on del intervalo [c, b]. Obtenemos entonces las f´ormulas: Σ(f, P) = Σ(f, P1 ) + Σ(f, P2 )

97 y tambi´en Σ(f, P) = Σ(f, P1 ) + Σ(f, P). Por Σ(f, Pi ), (Σ(f, P1 )), i = 1, 2 entendemos la suma inferior (superior) correpondiente a la restricci´on de f al intervalo [a, b] o [c, b], respectivamente. Si f es integrable en [a, b] entonces Σ(f, P) − Σ(f, P) = Σ(f, P1 ) − Σ(f, P1 ) + Σ(f, P1 ) − Σ(f, P2 ) < ² para una partici´on suficientemente fina. De lado derecho tenemos dos componentes no-negativos que suman < ², entonces ninguno de ellos supera ². Esto demuestra la integrabilidad de f en [a, c] y en [c, b]. Las mismas f´ormulas demuestran que la integrabilidad en los dos intervalos implica la integrabilidad en su uni´on. Para obtener la f´ormula Z b a

f (x)dx =

Z c a

Z b

f (x)dx +

c

f (x)dx

descomponemos f = f1 + f2 , donde f1 coincide con f en [a, c] y es nula en (c, b], mientras que f2 es nula en [a, c] y es igual a f en (c, b]. Entonces Z b a

f (x)dx =

Z b a

f1 (x)dx +

Z b a

f2 (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx.

¤ Corolario 6.3.4 Sea f una funci´on acotada en [a, b] y continua en [a, b] \ {x1 , . . . , xn }. Entonces f es R-integrable. ´ n Por Teorema 6.2.2 la funci´on f restringida a cada uno de Demostracio los intervalos [xn−1 , xn ] es integrable. Entonces por Teorema 6.3.3 la funci´on es integrable en [a, b] y Z b a

f (x)dx =

n−1 X Z xj+1 j=1

xj

f (x)dx.

¤ Pasamos al estudio de la integrabilidad de la composici´on de funciones. Teorema 6.3.5 Sea f una funci´on integrable en [a, b] y valuada en [c, d]. Si ϕ : [c, d] → R es continua en [c, d] entonces h = ϕ ◦ f es integrable en [a, b].

98 ´ n La fuci´on ϕ es uniformemente continua y acotada por Demostracio ε tal que un n´ umero K > 0, entonces para cada ε > 0 existe δ < 4K ε |ϕ(s) − ϕ(t)| < 2(b−a) , cuando |s − t| < δ. Por la integrabilidad de f existe una partici´on P = {x1 , . . . , xm } de [a, b] tal que Σ(f, P) − Σ(f, P) < δ 2 . Denotemos Mj = Mj∗ =

sup

f (x),

mj =

h(x),

m∗j =

xj−1 ≤x≤xj

sup xj−1 ≤x≤xj

inf

f (x),

inf

h(x),

xj−1 ≤x≤xj

xj−1 ≤x≤xj

para j = 1, . . . , m. Sea {1, 2, . . . , m} = A ∪ B, donde j ∈ A cuando Mj − mj < δ y j ∈ B en ε el caso contrario. Cuando j ∈ A se cumple Mj∗ − m∗j ≤ 2(b−a) para j ∈ A, ∗ ∗ mientras que para j ∈ B sabemos por lo menos que Mj − mj ≤ 2K. Por la selecci´on de la partici´on obtenemos δ

X

X

(xj − xj−1 ) ≤

j∈B

Obtenemos

(Mj − mj )(xj − xj−1 ) < δ 2 .

j∈B

X

(xj − xj−1 ) < δ.

j∈B

Finalmente Σ(h, P) − Σ(h, P) =

X

(Mj∗ − m∗j )(xj − xj−1 ) +

j∈A

+

X

(Mj∗ − m∗j )(xj − xj−1 ) < ε.

j∈B

La R-integrabilidad de h est´a probada. ¤ Como corolario obtenemos la integrabilidad del producto de funciones integrables y del valor absoluto de una funci´on integrable. Teorema 6.3.6 Si f , g son R integrables en [a, b], entonces f g y |f | son R-integrables. Adem´as ¯Z ¯ Z b ¯ b ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯¯ ≤ |f (x)|dx. ¯ a a

99 ´ n Aplicamos Teorema 6.3.5 tomando ϕ(x) = x2 y as´ı probamos Demostracio la integrabilidad de f 2 . Por la f´ormula 4f g = (f + g)2 − (f − g)2 y Teorema 6.3.1 obtenemos la integrabilidad del producto. Substituyendo ϕ(x) = |x| vemos que |f | es integrable. Las desigualdades −|f | ≤ f ≤ |f | y Proposici´on 6.3.2 implican −

Z b a

Z b

|f (x)|dx ≤

a

f (x)dx ≤

Z b a

|f (x)|dx. ¤

Teorema 6.3.7 (Teorema de valor medio del c´alculo integral) Sean f , g funciones R-integrables en [a, b]. Supongamos que g no cambia del signo en [a, b]. Entonces Z b a

f g(x)dx = µ

Z b a

g(x)dx,

donde m = inf{f (x)|x ∈ [a, b]} ≤ µ ≤ M = sup{f (x)|x ∈ [a, b]}. Si f es continua, entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que Z b a

Z b

f g(x)dx = f (ξ)

a

g(x)dx.

´ n Suponemos que g ≥ 0 en su dominio. En el caso de Demostracio g(x) ≤ 0 la demostraci´on es an´aloga. Tenemos entonces mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x),

x ∈ [a, b].

En virtud de que la integral es una funci´on mon´otona obtenemos m Si

Rb a

Z b a

g(x)dx ≤

Z b a

f (x)g(x)dx ≤ M

Z b a

g(x)dx.

g(x)dx = 0 entonces las u ´ltimas desigualdades implican Z b a

f (x)g(x)dx = 0

y la afirmaci´on se obtiene tomando µ arbitrario. En caso contrario el valor ÃZ

µ=

b

a

!−1 Z

g(x)dx

b

a

f (x)g(x)dx

conduce las propiedades deseadas. Si f es continua, entonces alcanza en [a, b] sus extremos y todos los valores intermedios por el teorema de valor intermedio. Existe entonces ξ ∈ [a, b] tal que µ = f (ξ). ¤

100

6.4

Integral indefinida

Sea f una funci´on R-integrable en el intervalo [a, b]. La funci´on es entonces integrable en cada intervalo [a, c] con c ≤ b. Definimos F (x) =

Z x a

f (t)dt.

La funci´on F se llama la integral indefinida de f . Para una funci´on dada f la integral indefinida est´ a determinada salvo una constante, porque para a0 > a Rx la funci´on F1 (x) = a0 f (t)dt es otra integral de f y F (x) = F (a0 ) + F1 (x). Teorema 6.4.1 Si f es R-integrable en [a, b], entonces su integral indefinida F es una funci´on uniformemente continua en el mismo intervalo. Si f es continua en x, entonces para todo x ∈ [a, b] F (y) − F (x) . y→x y−x

f (x) = F 0 (x) = lim

´ n Sea M tal que |f | ≤ M . Para a ≤ x < y ≤ b calculamos: Demostracio ¯Z y ¯

|F (y) − F (x)| = ¯¯

a

f (t)dt −

Z x a

¯ ¯

¯Z y ¯

f (t)dt¯¯ = ¯¯

x

¯ ¯

f (t)dt¯¯ ≤ M |x − y|.

De aqu´ı se sigue que para δ < M² tenemos |F (x) − F (y)| < ², es decir la funci´on es uniformemente continua. Supongamos que f es continua en x. Sea ² > 0. Por la continuidad de f en x existe δ > 0 tal que |y − x| < δ ⇒ |f (y) − f (x)| < ². Por lo tanto ¯ ¯ ¯ F (y) − F (x) ¯ 1 ¯ ¯ − f (x)¯¯ = ¯ ¯ y−x |y − x|

¯Z ¯ ¯ max{x,y} ¯ ¯ ¯ (f (t) − f (x))dt¯¯ ≤ ². ¯ min{x,y} ¯

Si [a, b] 3 yn → x ∈ [a, b]¯ entonces para n suficientemente grandes ¯ ¯ F (y ) − F (x) ¯ n ¯ ¯ − f (x)¯ < ². De aqu´ı se sigue |yn − x| < δ y por consiguiente ¯ ¯ ¯ yn − x f (x) = lim

y→x

¤

F (y) − F (x) . y−x

101 Ejercicios y Problemas 1. Sin calculer la integral demostrar las desigualdades: 2 Z 2 xdx 1 < < . 3 2 1 x2 + 1 2. Sin calcular las integrales determinar cual de las dos es m´as grande: (a)

Z 1 0

(b)

Z

Z 1

exp xdx,

0

Z

π 2

senn xdx,

0

π 2

0

exp x2 dx;

senn+1 xdx.

3. Usando directamente la definici´on de la integral de Riemann calcular las integrales indeterminadadas de f para: (a) f (x) = |x|, ( 1 − x2 , (b) f (x) = 1 − |x|, (c) f (x) =

(d) f (x) =

|x| ≤ 1, |x| > 1.

   1,     

x + 1, 2x, 1 sen , x 0,

−∞ < x < 0, 0≤x≤1 1 < x < ∞. x 6= 0, x = 0.

4. Sea f una funci´on R-integrable en [a, b]. Demuestre que para cada [α, β] ⊂ (a, b) lim

Z β

h→∞ α

|f (x + h) − f (x)|dx = 0.

5. Sea f una funci´on R-integrable en [a, b]. Demuestre que existe c ∈ [a, b] tal que Z Z c

a

f (x)dx =

b

c

f (x)dx. Z b

6. Sea f una funci´on continua no negativa y tal que f (x)dx = 0. Dea muestre que f ≡ 0. ¿Es cierta esta afirmaci´on si suponemos que f es R-integrable unicamente?

102

Chapter 7 Derivaci´ on En la u ´ltima secci´on del cap´ıtulo anterior hemos mostrado en realidad que la derivada de la integral indeterminada de una funci´on continua f es la misma funci´on f . Este teorema presenta la derivaci´on como la aplicaci´on inversa a a la aplicaci´on que asocia a f su integral indeterminada. En el cap´ıtulo presente desarrollamos el c´alculo diferencial, demostramos Teorema Fundamental del Calculo Diferencial e Integral y luego traducimos algunas de las f´ormulas obtenidas en propiedades de las integrales. A continuaci´on, aprovechando la f´ormula de integraci´on por partes deducimos la f´ormula de Taylor que es una de las herramientas m´as fuertes del c´alculo diferencial. Establecemos de esta manera v´ınculos muy profundos entre los dos c´alculos.

7.1

La derivada

Vamos a determinar tres condiciones equivalentes que significan la diferenciabilidad de una funci´on en un punto. Teorema 7.1.1 Sea f : [a, b] → R y sea x ∈ [a, b]. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Existe f 0 (x) = y→x lim

f (y) − f (x) . y−x

2. Existe a ∈ R tal que para todo y ∈ [a, b] f (y) − f (x) = a(y − x) + r(x, y), 103

104 y y→x lim

r(x, y) = 0. y−x

3. Para todo y ∈ [a, b] f (y) − f (x) = (y − x)ϕ(x, y), donde la funci´on y → ϕ(x, y) tiene l´ımite en x. ´ n Vamos a probar la cadena de implicaciones (1) ⇒ (2) ⇒ Demostracio (3) ⇒ (1). (1) ⇒ (2) Tomemos a = f 0 (x) y sea r(x, y) definido por la ecuaci´on f (y) − f (x) = a(y − x) + r(x, y). Entonces lim

y→x

r(x, y) f (y) − f (x) = y→x lim − a = 0. y−x y−x

(2) ⇒ (3) Si f (y) − f (x) = a(y − x) + r(x, y), entonces en la descomposici´on r(y, x) . f (y)−f (x) = (y −x)ϕ(x, y) la funci´on ϕ toma la forma ϕ(x, y) = a + y−x Por lo tanto r(x, y) lim ϕ(x, y) = a + lim = a. y→x y→x y − x (3) ⇒ (1) Tenemos la descomposici´on f (y)−f (x) = (y −x)ϕ(x, y) entonces f (y) − f (x) = lim ϕ(x, y). y→x y→x y−x Este l´ımite existe por nuestra suposici´on. ¤ lim

´ n La funci´on f es derivable en x si se cumple una (y entonces Definicio todas) de las condiciones (1), (2), (3). El n´ umero f 0 (x) se llama la derivada de f en x. Si f es derivable en todos los puntos del dominio, entonces la funci´on x → f 0 (x) se llama la derivada de f . Usando la notaci´on del inciso 3 obtenemos f 0 (x) = limy→x ϕ(x, y). Hay muchas formas de denotar la derivada. La notaci´on f 0 proviene de Lagrange. Los creadores de esta teor´ıa Leibnitz y Newton usaban las df notaciones y f˙, respectivamente. Esta u ´ltima sigue siendo usada en la dx mec´anica para denotar la derivada con respecto a la variable tiempo. Cauchy

105 introdujo la notaci´on Df que actualmente se usa en caso de funciones de varias variables. Corolario 7.1.2 Si f es derivable en x entonces es continua en x. ´ n Efectivamente, usando inciso 3 obtenemos Demostracio lim f (y) = lim (y − x)ϕ(x, y) + f (x) = f (x).

y→x

y→x

Ejemplos 1. En la secci´on 6.4 hemos visto que la integral indeterminada F de una funci´on continua f es derivable y que su derivada es f . 2. El c´alculo de la derivada directamente por la definici´on pocas veces es tarea f´acil. S´ı, lo es en el caso de los monomios. Sea f (x) = xn . Obtenemos y n − xn = (y − x)(y n−1 + y n−2 x + · · · + yxn−2 + xn ) = (y − x)ϕ(x, y). Entonces f 0 (x) = limy→x ϕ(x, y) = ϕ(x, x) = nxn−1 .

7.2

T´ ecnicas de derivaci´ on

Para calcular derivadas m´as complicadas conviene demostrar algunas f´ormulas generales. Teorema 7.2.1 Sean f, g : [a, b] → R funciones derivables en x ∈ [a, b], c ∈ R. Entonces son derivables las funciones f + cg, f g. Si g(y) 6= 0 para f y ∈ [a, b], entonces es derivable en x. Adem´as g 1. (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x). 2. (f g)0 (x) == f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x). Ã !0

3.

f g

f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) (x) = . g(x)2

106 ´ n 1. Calculamos directamente Demostracio (f + cg)(y) − (f + cg)(x) = y−x f (y) − f (x) + c(g(y) − g(x)) = f 0 (x) + cg 0 (x). = y→x lim y−x

(f + g)0 (x) = lim

y→x

2. Calculamos el incremento del producto usando el hecho de que: f (y) − f (x) = (y − x)ϕ1 (x, y),

g(y) − g(x) = (y − x)ϕ2 (x, y),

donde limy→x ϕi (x, y) existe. Entonces (f g)(y) − (f g)(x) = (f (y) − f (x))g(y) + f (x)(g(y) − g(x)) = = (y − x)[ϕ1 (x, y)g(y) + f (x)ϕ2 (y, x)]. De aqu´ı se sigue (f g)0 (x) = y→x lim ϕ1 (x, y)g(y) + f (x)ϕ2 (y, x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x). 3. Nuevamente vamos a usar el inciso 3 de Teorema 7.1.1. Ã !

f g

=

à !

(y) −

f g

(x) =

1 {(f (y) − f (x))g(x) − f (x)(g(y) − g(x))} = g(y)g(x)

(y − x) (ϕ1 (x, y)g(x) − f (x)ϕ2 (x, y)). g(y)g(x)

Por lo tanto à !0

f g

1 (ϕ1 (x, y)g(x) − f (x)ϕ2 (x, y)) = g(y)g(x) f (x)g(x) − f (x)g 0 (x) = . g(x)2

(x) = lim

y→x 0

¤ Estudiamos a continuaci´on la derivada de la funci´on inversa. Teorema 7.2.2 Sea f : [a, b] → R una funci´on continua, invertible en [a, b] y derivable en x. Si f 0 (x) 6= 0 entonces f −1 es derivable en t = f (x) y ³

´0

f −1 (t) =

1 f 0 (x)

.

107 ´ n Recordamos que la funci´on inversa a una funci´on continua Demostracio en un intervalo es tambi´en continua. Sean t = f (x) y s = f (y). Entonces s → t si y solo si y → x. lim s→t

(f −1 ) (s) − (f −1 ) (t) y−x = lim = s→t f (y) − f (x) s−t 1 1 = lim = 0 . y→x f (y) − f (x) f (x) y−x

¤ Investigamos tambi´en la diferenciabilidad de una funci´on compuesta. Teorema 7.2.3 Sean f : [a, b] → [c, d] y g : [c, d] → R funciones derivables en x ∈ [a, b] y en f (x), respectivamente. Entonces la composici´on h(t) = g ◦ f (t) = g(f (t)) es derivable en x y (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x). ´ n La diferenciabilidad de f y de g se puede expresar en Demostracio forma siguiente: f (y) − f (x) = (y − x)ϕ(x, y), g(s) − g(f (x)) = (s − f (x))φ(f (x), s), donde las funciones ϕ(x, ·) y φ(f (x), ·) tienen l´ımites en x y f (x), respectivamente; limy→x ϕ(x, y) = f 0 (x) y lims→f (x) φ(f (x), s) = g 0 (f (x)). Ahora estudiamos el incremento de la funci´on compuesta. h(y) − h(x) = g(f (y)) − g(f (x)) = (f (y) − f (x))φ(f (x), f (y)) = = (y − x)ϕ(x, y)φ(f (x), f (y)) = (y − x)ψ(x, y). Aprovechando la continuidad de f en x calculamos el l´ımite de la funci´on ψ(x, y) = ϕ(x, y)φ(f (x), f (y)). Si este l´ımite existe, su valor es igual a (g ◦ f )0 (x). lim ψ(x, y) = y→x lim ϕ(x, y)φ(f (x), f (y)) = f 0 (x)g 0 (f (x)).

y→x

¤

108 Ejemplo Calculamos la derivada de la funci´on f (x) = xt , donde x ≥ 0 y t = m , n n, m ∈ N es un n´ umero racional. Esta funci´on es una composici´on de dos 1 funciones: x → xm → (xm ) n . S´ı, conocemos la derivada se la funci´on x → xn 1 que es igual a nxn−1 . Calculamos la derivada de la funci´on g : y → y n como de la funci´on inversa a x → xn : g 0 (xn ) =

1 . nxn−1

1 1 −1 y n . Finalmente calculamos la n 1 derivada de la funci´on compuesta f (x) = (xm ) n : 1

Denotando x = y n obtenemos g 0 (y) =

1 1 m m f 0 (x) = mxm−1 (xm ) n −1 = x n −1 = txt−1 . n n

La f´ormula obtenida es una extensi´on al caso racional de la formula de derivaci´on de un monomio.

7.3

Teoremas de valor medio

Decimos que una funci´on f : (a, b) → R tiene en x ∈ (a, b) un extremo local si existe δ > 0 tal que para todos y ∈ (x − δ, x + δ) el incremento f (y) − f (x) tiene el mismo signo. Si el signo es positivo se trata de un m´ınimo local y en caso del signo negativo tenemos un m´aximo local. Teorema 7.3.1 (Fermat) Si una fuci´on f : (a, b) → R es derivable en x y tiene en este punto un extremo local, entonces f 0 (x) = 0. ´ n Consideramos el caso de un m´ınimo local. Suponemos Demostracio entonces que el incremento f (y − f (x) es no negativo para |y − x| < δ. Representamos: f (y) − f (x) . f 0 (x) = lim y→x y−x Para todos (a, b) 3 y < x el denominador es negativo, entonces f (y) − f (x) lim ≤ 0. Para (a, b) 3 y > x el nominador y el denominador y→x− y−x

109 f (y) − f (x) ≥ 0. El l´ımite del cociente existe, y−x entonces ambos l´ımites laterales coinciden. Por lo tanto f 0 (x) = 0. ¤ Teorema de Fermat conduce inmediatamente al teorema llamado teorema de valor medio del c´alculo diferencial. son positivos, entonces lim

y→x+

Corolario 7.3.3 (teorema de valor medio de Cauchy) Sean f , g funciones derivables en [a, b]. Entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que (f (b) − f (a))g 0 (ξ) = (g(b) − g(a))f 0 (ξ). ´ n Introducimos la siguiente funci´on auxiliar: Demostracio h(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x). La funci´on h es derivable en [a, b] y satisface h(a) = h(b). Si h es nula en todas partes entonces su derivada tambi´en se anula y la identidad (f (b) − f (a))g 0 (x) = (g(b) − g(a))f 0 (x) es v´alida para x cualquiera. Pasamos entonces al caso de una funci´on que no es nula en todas partes. La funci´on h como cada funci´on continua en [a, b] alcanza en el intervalo su valor m´aximo y su valor m´ınimo. Por lo menos uno de estos valores no es igual a h(a). Supongamos que este valor se alcanza en ξ ∈ (a, b). Tenemos entonces en ξ un extremo local y por Teorema de Fermat h0 (x) = 0. Calculando la derivada en ξ obtenemos 0 = h0 (ξ) = (f (b) − f (a))g 0 (ξ) − (g(b) − g(a))f 0 (ξ). ¤ Teorema de valor medio de Lagrange es una versi´on simplificada del teorema de Cauchy. Su ventaja sobre este u ´ltimo es precisamente su sencillez que la hace m´as f´acil de recordar. Teorema 7.3.4 (teorema de valor medio de Lagrange) Sea f una funci´on derivable en [a, b]. Existe entonces ξ ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a). Para obtener este resultado es suficiente aplicar Teorema 7.3.3 tomando g(x) = x. He aqu´ı otros resultados importantes que se deducen del teorema de valor medio:

110 Corolario 7.3.5 (Rolle) Si una funci´on f es derivable en [a, b] y f (a) = f (b) = 0, entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que f 0 (ξ) = 0. Corolario 7.3.6 Si f es derivable en [a, b] y f 0 ≡ 0 entonces f es constante. Corolario 7.3.7 Si f es derivable en [a, b] entonces es no decreciente si y solo si f 0 ≥ 0 en [a, b]. Obtenemos tambi´en una condici´on suficiente para que f tenga un extremo local en alg´ un punto. Corolario 7.3.8 Sea f una funci´on derivable en [a, b] y sea x ∈ (a, b). Supongamos que f 0 (y) ≤ 0 para y ≤ x y f 0 (y) ≥ 0 para y ≥ x. Entonces f tiene en x un m´ınimo local. Respectivamente, si f 0 (y) ≥ 0 para y ≤ x y f 0 (y) ≤ 0 para y ≥ x, entonces f tiene en x un m´aximo. Ejemplo Definimos el logaritmo natural para x > 0: log x =

Z x 1 1

t

dt.

1 Como sabemos por Teorema 6.4.1 (log x)0 = , entonces el logaritmo es una x funci´on creciente en todo su dominio. Es una funci´on inyectiva, porque la igualdad log a = log b para a < b implicar´ıa por Teorema de Rolle que 1 (log x)0 = = 0 que es imposible. Existe entonces la funci´on inversa que x denotamos por exp y y llamamos la funci´on exponencial. Entonces y = log x si y solo si x = exp y. En particular exp 0 = 1. Calculamos la derivada de la funci´on exponencial utilizando Teorema 7.2.2. Para y = log x obtenemos (exp y)0 =

1 = x = exp y. (log x)0

La funci´on exponencial es igual a su derivada. Este hecho permite deducir propiedades b´asicas de la funci´on exponencial y del logaritmo: 1. log(xy) = log x + log y, para x, y > 0.

111 2. log(xt ) = t log x para t ∈ Q. 3. exp(x + y) = (exp x)(exp y). 4. exp(tx) = (exp x)t para t ∈ Q. Para demostrar la f´ormula 1 consideramos la funci´on g : x → log(xy) − log x + log y para y > 0 fijo. Calculamos su derivada: g 0 (x) =

y 1 − ≡ 0. xy x

La funci´on g es constante y su valor en x = 1 es 0, entonces g ≡ 0. Para demostrar f´ormula 2 introducimos h(x) = log(xt ) − t log x y calculamos su derivada: txt−1 t h0 (x) = − ≡ 0. t x x Nuevamente, la funci´on h es constante y su valor en x = 1 es 0. Las f´ormulas 1 y 2 est´an probadas. La f´ormula 2 se puede aprovechar para demostrar que el rango de la funci´on log x es todo R. De tal manera determinamos el dominio de la funci´on exp y la validez de la f´ormula 2 en todo eje real. Como log es una funci´on creciente, es suficiente probar que para cada R > 0 existen x, y tales que Zlog x < −R y log y > R. Para y = 2n obtenemos 2 dt n log 2n = n log 2 = n > . Estos valores forman una sucesi´on no aco2 1 t tada. Por otro lado n log 2−n = log 1 − log 2n < − . 2 La funci´on exponencial tiene entonces como rango todo el eje real. Pasamos a la demostraci´on de las f´ormulas 3 y 4. Podemos representar x = log u y y = log v y obtenemos: exp(x + y) = exp(log u + log v) = exp(log uv) = uv = (exp x)(exp y). Luego exp(tx) = exp(t log u) = exp(log(ut )) = ut = (exp x)t . F´ormula 4 nos permite extender la funci´on at a los valores 0 < a ∈ R y t ∈ R. Cada a > 0 se puede representar como a = exp(log a). Para t racional tenemos la f´ormula exp(t log a) = (exp(log a))t = at .

112 Definimos entonces at = exp(t log a) para 0 < a ∈ R y t ∈ R. Calculamos la derivada de la funci´on ax aplicando la formula de derivaci´on de funci´on compuesta: (ax )0 = (exp(x log a))0 = log a exp(x log a)) = (log a)ax . Por otro lado, podemos tambi´en derivar la funci´on x → xt para t ∈ R: (xt )0 = exp(t log x))0 = exp(t log x))t

7.4

1 1 = txt = txt−1 . x x

Teorema fundamental del c´ alculo diferencial e integral

El siguiente teorema, llamado tambi´en Teorema de Newton-Leibnitz conduce a una relaci´on entre las operaciones de la derivaci´on y de integraci´on indefinida. Teorema 7.4.1 (Teorema Fundamental del C´alculo - TFC) Sea f una funci´on integrable sobre [a, b]. Si existe una funci´on derivable F tal que F 0 = f entonces Z b

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

´ n Para todo ε > 0 existe una partici´on Demostracio P = {a, x1 , . . . , xn−1 , b} tal que Σ(f, P) − Σ(f, P) < ε, mientras que Σ(f, P) ≤

Z b a

f (x)dx ≤ Σ(f, P).

Por el teorema de valor medio existen ξj tales que xj−1 < ξj < xj y F (xj ) − F (xj−1 ) = f (ξj )(xj − xj−1 ). En vista de que F (b) − F (a) =

n X

(F (xj ) − F (xj−1 )) =

j=1

n X j=1

f (ξj )(xj − xj−1 )

113 obtenemos Σ(f, P) ≤ F (b) − F (a) ≤ Σ(f, P). De aqu´ı se sigue

¯ ¯ Z b ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ ≤ ε. ¯F (b) − F (a) − ¯ ¯ a

El valor de ε es arbitrario, entonces Z b

f (x)dx = F (b) − F (a). ¤

a

La f´ormula de integraci´on por partes es una consecuencia inmediata del TFC: Teorema 7.4.2 (integraci´on por partes) Sean f, g funciones derivables en [a, b] y tales que f g 0 y gf 0 sean integrables. Entonces Z b a

f (x)g 0 (x)dx = (f (b)g(b) − f (a)g(a)) −

Z b a

g(x)f 0 (x)dx.

´ n Sea F (x) = f (x)g(x). Entonces F 0 = f 0 g +g 0 f y la u Demostracio ´ltima funci´on es integrable. Por TFC obtenemos Z b a

f (x)g 0 (x)dx +

Z b a

g(x)f 0 (x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a). ¤

El principio del cambio de la variable en la integral tambi´en se deduce del TFC: Teorema 7.4.3 (cambio de variable en la integral de Riemann) Sea ϕ : [a, b] → [c, d] una funci´on derivable y tal que ϕ(x) ≥ ϕ(a) para todo x ∈ [a, b]. Sea f derivable en [c, d]. Supongamos que la funci´on x → f (ϕ(x))ϕ0 (x) es integrable en [a, b]. Entonces Z ϕ(b) ϕ(a)

f (y)dy =

Z b a

f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx.

´ n Introducimos la funci´on Demostracio F : [a, b] 3 x → ϕ(x) →

Z ϕ(x) ϕ(a)

f (y)dy.

114 Por la f´ormula de la derivaci´on de la funci´on compuesta calculamos la derivada de F : F 0 (x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x). TFC afirma entonces Z ϕ(b) ϕ(a)

f (y)dy = F (b) − F (a) =

Z b a

f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx.

¤ Nota Si la funci´on ϕ satisface la condici´on ϕ(x) ≤ ϕ(a) para a ≤ x ≤ b, se obtiene de la misma manera la f´ormula Z ϕ(a) ϕ(b)

7.5

f (y)dy =

Z b a

f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx.

F´ ormula de Taylor

Supongamos que una funci´on f : [a, b] → R es derivable y que su derivada f 0 resulta tambi´en derivable. Denotemos f 00 = (f 0 )0 . La funci´on f 00 se llama la segunda derivada de f . As´ı, inductivamente definimos la k-´esima derivada de f como la derivada de su k − 1-esima derivada denotandola por f (k) . Para la consistencia de las f´ormulas denotamos f (0) = f . De tal manera f (k) = (f (k−1) )0 , k = 2, 3, . . . . A la funci´on f (k) se la llama tambi´en la derivada de f de orden k. El primer paso hac´ıa la f´ormula de Taylor es un lema que generaliza el m´etodo de integraci´on por partes. Lema 7.5.1 Supongamos que las funciones h, g : [a, b] → R son k veces derivables y que sus derivadas h(k) , g (k) son continuas. Entonces Z b a

(k)

k−1

h (t)g(t)dt + (−1) =

Z b a

h(t)g (k) (t)dt =

k−1 X

(−1)j (h(k−j−1) (b)g (j) (b) − h(k−j−1) (a)g (j) (a)).

j=0

´ n Aplicando la f´ormula de derivaci´on del producto calcuDemostracio lamos la derivada ³

h(k−1) g − f (k−2) g (1) + h(k−3) g (2) − · · · + (−1)k−1 hg (k−1)

´0

115 y observamos que se cancelan 2k − 2 t´erminos quedando unicamente h(k) g + (−1)k−1 hg (k) . Ahora TFC nos da el resultado enunciado. ¤ Teorema 7.5.2 (F´ormula de Taylor) Sea f : [a, b] → R. Supongamos que la k + 1-´esima derivada de f existe y es continua. Entonces para cada x ∈ (a, b) f (x) = f (a) +

x − a (1) (x − a)2 (2) (x − a)k (k) f (a) + f (a) + · · · + f (a) + 1! 2! k! Z x (x − t)k (k+1) + f (t)dt. k! a

´ n Aplicamos Lema 7.5.1 substituyendo g = f 0 , h(t) = Demostracio k (t − x) . Calculamos los valores de los t´erminos consecutivos: k! Ã

h(k) (t) = Z x a

(k)

h (t)g(t)dt =

Adem´as, tenemos g (−1)k

Z x a

(k)

=f

(k+1)

(t − x)k k!

Z x a

!(k)

= 1,

1 · f 0 (t)dt = f (x) − f (a).

, entonces

h(t)g (k) (t)dt = (−1)k

Z x (t − x)k (k+1) f (t)dt = a

k!

Z x (x − t)k (k+1) = f (t)dt. a

k!

Luego h

(k−j−1)

(t − x)k−(k−j−1) (t − x)j+1 (t) = k(k − 1) . . . (k − (k − j − 2)) = , k! (j + 1)!

y por lo tanto (−1)j h(k−j−1) (t)g (j) (t) = (−1)j

(x − t)j+1 (j+1) (t − x)j+1 (j+1) f (t) = − f (t). (j + 1)! (j + 1)!

116 En particular (−1)j h(k−j−1) (x)g (j) (x) = 0. Substituyendo todos los datos obtenemos por Lema 7.5.1: f (x) − f (a) =

Z x (x − a)j+1 (j+1) (x − t)k (k+1) f (a) + f (t)dt, k! a j=0 (j + 1)!

k−1 X

que es exactamente la f´ormula de Taylor. ¤ Z x (x − t)k (k+1) Sea Rk (x, a) = f (t)dt el residuo que aparece en la f´ormula k! a de Taylor. Teorema de valor medio 6.3.7 nos permite darle otra forma. Existe ξ ∈ (a, b) tal que Rk (x, a) =

(x − a)k+1 (k+1) f (k+1) (ξ) Z x (x − t)k dt = f (ξ). k! (k + 1)! a

En este caso hablamos del residuo en forma de Lagrange. Aplicando el mismo Teorema 6.3.7 en forma diferente obtenemos la forma de Cauchy del residuo. (x − η)k (k+1) Existe η ∈ (a, x) tal que Rk (x, a) = (x − a) f (η). Podemos k! representar η = x − θ(x − a), donde θ ∈ (0, 1). Entonces x − η = θ(x − a) y resulta que θk Rk (x, a) = (x − a)k+1 f (k+1) (x − θ(x − a)). k!

7.6

Aplicaciones

Extremos locales Teorema de Fermat 7.3.1 afirma que una funci´on derivable tiene en x ∈ (a, b) un extremo local u ´nicamente cuando f 0 (x) = 0. Esta condici´on es entonces necesaria para la existencia del extremo. Sin embargo no es suficiente, porque la funci´on f (x) = x3 satisface f 0 (0) = 0 aunque en cero no se observa extremo local. Usando la f´ormula de Taylor vamos a obtener una condici´on suficiente para la existencia del extremo. Teorema 7.6.1 Supongamos que f : (a, b) → R es una funci´on que tiene 2k-´esima derivada continua. Si f (j) (c) = 0 para cada 0 < j < 2k y f (2k) (c) 6= 0 entonces f tiene en c un extremo local. Cuando f (2k) (c) < 0

117 tenemos en c un m´aximo local y cuando f (2k) (c) > 0 tenemos un m´ınimo local. ´ n Usando la f´ormula de Taylor y el residuo en forma de Demostracio Lagrange obtenemos f (x) = f (c) +

(x − c)2k (2k) f (ξ), (2k)!

para un punto intermedio ξ. Por la continuidad de f (2k) existe δ tal que para x ∈ I = (c − δ, c + δ) se satisface f (2k) (x) > 0 o f (2k) (x) < 0. En el primer caso f (x) − f (c) > 0 en I y tenemos un m´ınimo local. En el segundo caso tenemos f (x) − f (c) < 0 y un m´aximo local. ¤ Hay que subrayar que la suposici´on del u ´ltimo teorema no es una condici´on necesaria para la existencia del extremo local. La funci´on definida como f (x) = exp(− x12 ), para x 6= 0 y f(0)=0 satisface f (k) (0) = 0 para todos k naturales, entonces no satisface las suposiciones de Teorema 7.6.1. Sin embargo esta funci´on alcanza en cero su m´ınimo. ´ rmulas de l’Ho ˆ pital Fo Estudiando las funciones de forma h = lim

y→x

f hemos demostrado que g

f (y) limy→x f (y) = g(y) limy→x g(y)

cuando limy→x f (y) y limy→x g(y) existen y el segundo es distinto de cero. En muchos casos el l´ımite existe aunque limy→x g(y) = 0. F´ormulas de l’Hˆopital son muy u ´tiles en esta situaci´on. Teorema 7.6.2 Supongamos que las funciones f , g definidas en (a, b) tienen k derivadas continuas. Sea c ∈ (a, b). Si f (j) (c) = 0 y g (j) (c) = 0 para j = 0, 1, 2 . . . , k − 1 y g (k) (c) 6= 0 entonces lim y→c

f (k) (c) f (y) = (k) . g(y) g (c)

´ n Aplicamos la f´ormula de Taylor con el residuo en forma Demostracio k f (k) (ξ1 (y)) de Lagrange. Gracias a las suposiciones se cumple: f (y) = (y−c) k!

118 k

y g(y) = (y−c) g (k) (ξ2 (y)), donde ξi (y) son puntos intermedios entre y y c. k! Si y → c, entonces ξ1 (y), ξ2 (y) → c y por la continuidad de las derivadas obtenemos. f (y) (y − c)k f (k) (ξ1 (y)) f (k) (c) lim = lim = (k) . y→c g(y) y→c (y − c)k g (k) (ξ (y)) g (c) 2 ¤ Ejemplos 1.

sen x cos x = lim = 1. x→0 x→0 x 1 lim

2.

cos x − 1 (cos x − 1)00 1 = lim =− . 2 2 00 x→0 x→0 x (x ) 2 lim

En la secci´on 7 vamos a obtener otras versiones de las f´ormulas de l’Hˆopital.

7.7

L´ımites en el infinito y l´ımites infinitos

Sea f una funci´on definida en el semieje [a, ∞). Para describir el comportamiento de f para los valores x grandes es conveniente introducir el concepto del l´ımite de f en el infinito. ´ n Decimos que f tiene en ∞ l´ımite igual a A si Definicio ∀ε > 0 ∃K > a ∀x > K

|f (x) − A| < ε.

Denotamos entonces: limx→∞ f (x) = A. Disponiedo de varios teoremas sobre los l´ımites de funciones en puntos finitos, nos conviene relacionar el concepto que acabamos de introducir con el concepto conocido anteriormente. µ ¶

Teorema 7.7.1 limx→∞ f (x) = limx→0+ f

1 . x

119 ´ n Sin afectar la generalidad podemos suponer que K > 0. Demostracio 1 1 La condici´on x > K es obviamente equivalente a < . Por lo tanto son x K equivalentes las condiciones ∀ε > 0 ∃K > a ∀x > K luego ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀

|f (x) − A| < ε,

1 <δ x

|f (x) − A| < ε

y finalmente à !

∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀y < δ

|f

1 − A| < ε. y

La primeraµ dice que limx→∞ f (x) = A, mientras que la u ´ltima afirma que ¶ 1 limx→0+ f = A. ¤ x Si f es una funci´on definida en el semieje (−∞, a], podemos en forma semejante definir su l´ımite en −∞. Ponemos entonces: µ ¶

lim f (x) = lim f

x→−∞

x→0−

1 . x

Para describir el comportamiento de una funci´on en un entorno del punto, donde la funci´on no est´a definida ´o donde tiene discontinuidad, es conveniente introducir tambi´en el concepto del l´ımite infinito. Sea f una funci´on definida en (a, x) (resp. (x, a)). Decimos que el l´ımite izquierdo (derecho) de la funci´on f en x es igual a ∞ si ∀N > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ (x − δ, x) (resp. y ∈ (x, x + δ)) f (x) > N. Denotamos entonces: limy→x− f (x) = ∞, (resp. limy→x+ f (x) = ∞). El l´ımite igual a −∞ se define en forma an´aloga: limy→x− f (x) = −∞, (resp. limy→x+ f (x) = −∞) cuando ∀N < 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ (x − δ, x) (resp. y ∈ (x, x + δ)) f (x) < N. Ejemplo Estudiamos los l´ımites en el infinito de una funci´on racional de forma f (x) =

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0

120 donde n, m ∈ N y an , bm 6= 0. La misma funci´on se puede representar como f (x) = xn−m

an + an−1 x−1 + · · · + a1 x−n+1 + a0 x−n . bm + bm−1 x−1 + · · · + b1 x−m+1 + b0 x−m

El valor del l´ımite en −∞ y ∞ depende principalmente del factor xn−m , an porque el segundo factor tiende el l´ımite en ambos casos. bm Obtenemos   m > n,  0, an , m = n, lim f (x) =  bm x→∞  ∞, m < n.  0,     an , bm lim f (x) =  x→−∞ ∞,   

−∞,

m > n, m = n, m < n, n − m par, m < n, n − m impar.

Probaremos ahora las f´ormula de l’Hˆopital que describen los l´ımites en f (x) el infinito, incluyendo los casos cuando en una funci´on de forma el g(x) denominador tiende al infinito. Teorema 7.7.2 Sean f , g funciones derivables en (a, b), donde b puede tomar el valor ∞. Supongamos que g 0 (x) 6= 0 en el dominio. Supongamos f 0 (x) que existe l = limx→b 0 . Si es v´alida una de las condiciones g (x) 1. limx→b f (x) = limx→b g(x) = 0 o 2. limx→b g(x) = ∞, entonces lim x→∞

f 0 (x) f (x) = x→∞ lim 0 . g(x) g (x)

´ n Samemos que g 0 (x) 6= 0 para x ∈ (a, b). La funci´on g es Demostracio entonces mon´otona de signo constante en (a, b). Su l´ımite en el infinito es igual a cero en el primer caso y es infinito en el segundo caso, entonces g no se anula en alg´ un conjunto de forma (c, b), b > c > a. Por otro lado para todo ε > 0 podemos encontrar d > c tal que para d < ξ < b se cumple

121 f 0 (ξ) ∈ (l − ε/2, l + ε/2). Por Teorema 7.3.3 para todos x, y ∈ (d, b) existe g 0 (ξ) ξ ∈ (x, y) tal que f (y) − f (x) f 0 (ξ) = 0 ∈ (l − ε/2, l + ε/2). g(y) − g(x) g (ξ) Consideremos el primer caso, cuando para y → b ambos valores f (y), f (y) − f (x) f (x) g(y) tienden a cero. Para x fijo, lim = . Por lo tanto para y→b g(y) − g(x) g(x) y mayores que cierto p se tiene f (y) − f (x) f (x) − < ε/2. g(y) − g(x) g(x) Esto implica

¯ ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ ¯ ¯ − l ¯≤ε ¯ g(x) ¯

para todos x > d. En el segundo caso, cuando limx→b g(x) = ∞ tenemos f (y) − f (x) g(y) f (y) − f (x) = . g(y) − g(x) g(y) g(y) − g(x) El segundo factor tiende a 1 cuando x es fijo y y → b, entonces f (y) − f (x) f (y) − f (x) f (y) − f (x) − ε/2 < < + ε/2, g(y) g(y) − g(x) g(y) para y suficientemente grandes. Obtenemos en el primer paso ¯ ¯ ¯ f (y) − f (x) ¯ ¯ ¯ − l¯¯ ≤ ε ¯ ¯ g(y)

para y suficientemente grandes. f (x) Sin embargo tiende a cero bajo las mismas condiciones, entonces g(y) finalmente ¯ ¯ ¯ f (y) ¯ ¯ ¯ − l ¯ ¯ ≤ 2ε ¯ g(y) ¯

122 cuando y supera cierto valor p, a < p < b. En ambos casos obtenemos f 0 (x) f (x) = l = lim 0 . x→∞ g(x) x→∞ g (x) lim

¤ Ejemplos 1. Sea p > 0. Entonces lim x→∞

(log x)0 log x = lim = x→∞ lim x−p = 0. p p 0 x→∞ x (x )

xp , p > 0. Denotemos f (x) = xp y g(x) = exp x exp x f (x) . Sea n un n´ umero natural mayor que de tal manera que l = x→∞ lim g(x) p. Entonces f (n) (x) lim (n) = 0. x→∞ g (x)

2. Calculemos l = x→∞ lim

Aplicamos Teorema 7.7.2 consecutivamente n veces: 0 = x→∞ lim

f (n) (x) f (n−1) (x) f (x) = lim = · · · = x→∞ lim . (n) (n−1) x→∞ g (x) g (x) g(x)

3. El l´ımite en el infinito de la funci´on µ

¶

2 + 2x + sen 2x 2 = 1+ e−sen x sen x (2x + sen 2x)e 2x + sen 2x no existe, porque la funci´on e−sen x no tiene l´ımite en el infinito y el otro factor s´ı la tiene. Sin embargo, existe el l´ımite del cociente de las derivadas del nominador y denominador: 2 + 2 cos 2x = 0. x→∞ 2 + 2 cos 2x + (2x + sen 2x) cos x)e−sen x lim

Este resultado no es un contraejemplo al Teorema 7.7.2, porque no se cumple la condici´on de que la derivada del denominador no se anula en alg´ un semieje de forma (a, ∞).

123

7.8

Funciones convexas

Unas de las funciones m´as sencillas sobre la recta son las funciones lineales que son de forma f (x) = ax y las funciones afines que tienen forma f (x) = ax+b. Vamos a buscar una caracterizaci´on geom´etrica de estas funciones. Sean x < y y sea 0 < t < 1. El punto ux,y (t) = tx + (1 − t)y = t(x − y) + y pertenece entonces al intervalo (x, y) y cada elemento de dicho intervalo se puede representar como u(t) para t adecuado. Efectivamente, si x < z < y, y−z entonces la ecuaci´on z = tx + (1 − t)y tiene la u ´nica soluci´on t = y−x y por lo tanto y−z z−x z= x+ y. y−x y−x Calculemos el valor de una funci´on af´ın en el punto z: f (z) = a

y−z z−x y−z z−x x+ y+b= (ax + b) + (ay + b). y−x y−x y−x y−x

Una funci´on af´ın f toma en el punto intermedio z entre x y y el valor intermedio correspondiente entre f (x) y f (y). En particular, conociendo el valor de la funci´on af´ın en dos puntos, conocemos sus valores en todos los puntos del eje. Una funci´on f : [a, b] → R es convexa si para todos a < x < y < b y 0 < t < 1 se cumple f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). En forma equivalente: para toda terna x < z < y tenemos f (z) ≤

z−x y−z f (x) + f (y). y−x y−x

Una funci´on f es convexa en el intervalo [a, b] si para todos x, y ∈ [a, b] tales que x < y su grafica en [x, y] se encuentra por debajo de la recta que une los puntos (x, f (x)) y (y, f (y)). En el caso de una funci´on suficientemente suave f su convexidad se relaciona con el signo de la segunda derivada f (2) . Para demostrar este resultado vamos a buscar una descripci´on diferente de la convexidad. Proposici´ on 7.8.1 Sea f : [a, b] → R. La funci´on f es convexa en [a, b] si y solo si para todos a < x < z < y < b se cumple f (y) − f (x) f (z) − f (x) ≤ z−x y−x

´o

f (z) − f (x) f (y) − f (z) ≤ . z−x y−z

124 ´ n La condici´on de la convexidad de f se puede escribir Demostracio en forma y−z z−x f (z) ≤ f (x) + f (y) y−x y−x que es equivalente a f (z)y − f (z)x ≤ f (x)y − f (x)z + f (y)z − f (y)x, y luego a la desigualdad (f (z) − f (x))(y − x) = f (z)y − f (z)x − f (x)y + f (x)x ≤ ≤ f (y)z − f (x)z − f (y)x + f (x)x = (f (y) − f (x))(z − x). Un c´alculo semejante demuestra que la segunda desigualdad es tambi´en equivalente a la convexidad de la funci´on. ¤ Si denotamos z = x + h1 y y = x + h2 , la convexidad de f se expresa por la desigualdad f (x + h2 ) − f (x) f (x + h1 ) − f (x) ≤ . h1 h2 Obtenemos otro criterio de la convexidad: Proposici´ on 7.8.2 Una funci´on f : [a, b] → R es convexa si y solo si para f (x + h) − f (x) todo x ∈ [a, b] la funci´on Fx (h) = es mon´otona creciente. h Corolario 7.8.3 Cada funci´on f convexa en un intervalo abierto (a, b) es continua y para todo x ∈ (a, b) existen f (x + h) − f (x) h→0+ h lim

as´ı como

f (x + h) − f (x) . h→0− h lim

´ n Como sabemos, las funciones mon´otonas en un intervalo Demostracio abierto tienen tienen en cada punto ambos l´ımites laterales. Aplicando este hecho a la funci´on creciente Fx definida anteriormente obtenemos que los l´ımites f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) y lim lim h→0− h→0+ h h existen.

125 Representamos entonces: f (x + h) − f (x) = h

f (x + h) − f (x) . h

Cuando h tiende a cero tomando valores negativos esta expreci´on tiene l´ımite igual a cero y lo mismo sucede, cuando h tiende a cero tomando valores positivos. Entonces limh→0 f (x + h) − f (x) = 0 para cada x y la funci´on f es continua. ¤ Cuando el dominio de f es un intervalo no abierto, la convexidad no implica continuidad. La funci´on que toma valor cero en (−1, 1) y el valor 1 en los puntos 1 y −1, es convexa en [−1, 1], pero no es continua. El caso de f (x) = |x| demuesta que una funci´on convexa no tiene que ser derivable. Las derivadas laterales de f en x = 0 existen pero no son iguales. Pasamos al resultado principal de esta secci´on. Teorema 7.8.4 Sea f : (a, b) → R una funci´on derivable. Entonces f es convexa si y solo si f 0 es una funci´on no decreciente en el intervalo. ´ n El c´alculo directo demuestra que para a < x < z < y < b Demostracio la desigualdad f (z) − f (x) f (y) − f (x) ≤ z−x y−x es equivalente a f (z) − f (x) f (y) − f (z) ≤ . z−x y−z Si f es convexa, y tomamos y < w, entonces la u ´ltima desigualdad aplicada a la terna z, y, w implica: f (z) − f (x) f (y) − f (z) f (w) − f (y) ≤ ≤ . z−x y−z w−y Pasando al l´ımite z → x en la primera de las expresiones obtenemos f 0 (x) ≤

f (w) − f (y) w−y

para x < y < w arbitrarios. Si tomams ahora el l´ımite w → y en el lado derecho de la desigualdad obtenemos f 0 (x) ≤ f 0 (y) cuando x < y.

126 Supongamos ahora que f 0 es una funci´on no decreciente en (a, b). Tomemos nuevamente x < z < y en el intervalo. Por Teorema de Lagrange 7.3.2 existen x < a < z y z < b < y tales que f (z) − f (x) = f 0 (a) z−x

mientras que f 0 (b) =

f (y) − f (z) . y−z

La derivada es mon´otona entonces f 0 (a) ≤ f 0 (b), lo que implica f (z) − f (x) f (y) − f (z) ≤ z−x y−z y termina la demostraci´on. ¤ Recordando Teorema 7.3.7 obtenemos inmediatamente: Teorema 7.8.5 Sea f : (a, b) → R una funci´on dos veces derivable. Entonces f es convexa si y solo si f 00 ≥ 0 en el intervalo. Una funci´on f : (a, b) → R se llama c´oncava si la funci´on −f es convexa. Los resultsdos de esta secci´on se pueden adaptar al caso de las funciones concavas. En particular: Teorema 7.8.6 Sea f : (a, b) → R una funci´on dos veces derivable. Entonces f es c´oncava si y solo si f 00 ≤ 0 en el intervalo.

7.9

Estudio de las gr´ aficas de funciones suaves

Muchas propiedades de funciones tales como las regiones de crecimiento y decrecimiento, de convexidad y concavidad est´an relacionadas con el signo de las derivadas de primer y segundo orden. Por lo tanto los m´etodos del estudio de las regiones donde una funci´on no cambia del signo son cruciales para la construcci´on de la gr´afica de la funci´on. Cuando se trata de funciones continuas en intervalos sabemos por el teorema del valor intermedio que entre dos puntos en los cuales una funci´on toma valores del signo opuesto siempre se encuentra un punto donde la funci´on se anula. Una vez m´as aparece la ecuaci´on f (x) = 0 como un problema fundamental. Si somos capaces de resolver las ecuaciones f (x) = 0, f 0 (0) = 0 y f 00 (x) = 0 entonces calculando

127 luego unos cuantos valores de las mismas funciones podemos determinar la forma aproximada de la gr´afica de la funci´on. Presentamos el procedimiento desarrollando en forma paralela dos ejemplos: x−1 . x+2 I. Determinaci´ on de regiones del signo constante de la funci´ on: E.1 La funci´on sen x es peri´odica con el periodo 2π. Es por lo tanto suficiente determinar su gr´afica en el intervalo [0, 2π]. Sea trata de una funci´on continua que se anula en los puntos 0, π y 2π y u ´nicamente en estos puntos. Por lo tanto su signo permanece constante en los intervalos de forma (0, π) donde es positiva y en (π, 2π) donde es negativa. E.2 x−1 La funci´on tiene como dominio R \ {−2}. Se anula u ´nicamente x+2 en x = 1. El n´ominador es negativo en (−∞, 1) y positivo en (1, ∞). El denominador es negativo en (−∞, −2) y positivo en (−2, ∞). La funci´on toma valores positivos en (−∞, −2), valores negativos en (−2, 1) y nuevamente positivos en (1, ∞). Podemos calcular facilmente sus l´ımites en −∞ y ∞: E.1 f (x) = sen x,

E.2 g(x) =

lim g(x) =

x→−∞

1 x lim x→0− 1 x

−1 1−x = 1. = lim + 2 x→0− 1 + 2x

De la misma manera obtenemos: 1 x x→0+ 1 x

lim g(x) = lim

x→∞

−1 1−x = lim = 1. + 2 x→0+ 1 + 2x

Obtenemos tambi´en: limx→−2− g(x) = ∞ y limx→−2+ g(x) = −∞ II. Determinaci´ on de regiones del crecimiento y decrecimiento de la funci´ on: E.1 La derivada de la funci´on sen x es igual a cos x. La u ´ltima funci´on toma valores positivos en los intervalos (0, 12 π) y ( 23 π, 2π) y toma valores negativos en el intervalo ( 12 π, 32 π).

128 Por lo tanto la funci´on sen x es creciente en el intervalo (0, 21 π) del valor 0 hasta el valor 1. En el intervalo ( 12 π, 23 π) decrece hasta el valor −1. En ( 23 π, 2π) vuelve a crecer para regresar al valor 0 en el extremo derecho. La derivada f 0 se anula en los puntos 21 π y 32 π y la funci´on f tiene en estos puntos el m´aximo y el m´ıinimo local, respectivamente. E.2 3 La defivada de la funci´on g es igual a , es entonces positiva en (x + 2)2 todo su dominio. La funci´on g es creciente en (−∞, −2) del valor 1 hasta ∞. En (−2, ∞) crece del valor -∞ hasta el valor 1. La derivada de g no se anula en ninguna parte, entonces la funci´on no tiene extremos locales. III. Determinaci´ on de regiones de convexidad y concavidad de la funci´ on: E.1 La segunda derivada de la la funci´on f es −sen x, cuyos signos ya conocemos. La funci´on f (x) = sen x es entonces concava en (0, π) y convexa en (π, 2π). E.2 −6 La segunda derivada de la funci´on g es igual a . Toma valores (x + 2)3 positivos en (−∞, −2), donde entonces g es convexa y los valores negatvos en (−2, ∞), donde g es concava. A continuaci´on estudiamos un ejemplo de funci´on m´as complicada. Ejemplo Estudiamos la gr´afica de la funci´on f (x) =

x2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) = . 2 x −1 (x − 1)(x + 1)

I Un factor de forma x−a cambia de signo en a pasando de valores negativos a positivos. Por lo tanto la funci´on f cambia de signo en los puntos −2, −1, 1 y 3. Sus l´ımite en −∞ y en ∞ es igual a 1. La funci´on es entonces positiva en (−∞, −2), negativa en (−2, −1), positiva en (−1, 1), negativa en (1, 3) y positiva en (3, ∞). Tenemos tambi´en: limx→−1− f (x) = −∞, limx→−1+ f (x) = ∞, limx→1− f (x) = ∞, limx→1+ f (x) = −∞.

129 II Calculamos la derivada de la funci´on f ; f 0 (x) =

x2 + 10x + 1 . (x2 − 1)2

El denominador es positivo en todas partes, entonces las regiones de crecimiento y decrecimiento de la funci´on dependen u ´nicamente del signo del ´ nominador. Este u ´ltimo se anula en los puntos √ √ 1 1 x1 = (−10 − 96) ≈ −9.9, x2 = (−10 + 96) ≈ −0.1. 2 2 La funci´on f crece en forma mon´otona en el semieje (−∞, x1 ) del valor 1 en -∞ al valor f (x1 ) ≈ 1.05 en x1 . Luego empieza a descender hasta a llegar a cero en el punto −3. Sigue descenciendo a −∞ acercandose al argumento −1. En el intervalo (−1, 1) la funci´on desciende del valor ∞ a f (x2 ) ≈ 6.15 para luego crecer al ∞ en 1. En el semieje (1, ∞) la funci´on crece en forma mon´otona del valor -∞ al valor 1. III La tercera derivada de f es la funci´on f 00 (x) =

−2(x3 + 15x2 + 3x + 5) . (x2 − 1)3

Estudiamos entonces primero la gr´afica de la funci´on g(x) = x3 +15x2 +3x+5. Este polinomio tiene l´ımite −∞ cuando x → −∞ y el ´ımite ∞ cuando x → ∞. Se anula una o tres veces en todo eje real. Para averiguar cual es el caso calculamos g 0 (x) = x2 + 10x + 1. Como sabemos esta funci´on tiene ceros en x1 y x2 , cuyos valores conocemos. La funci´on g tiene m´aximo local en x1 y m´ınimo local en x2 . Su valor en x2 ≈ −0.1 es positivo, entonces la funci´on g se anula en un solo punto x0 que se encuentra en el semieje (−∞, x1 ). La funci´on g es negativa en (−∞, x0 ) y positiva en (x0 , ∞). El denominador de f 00 es positivo en (−∞, −1) y en (1, ∞) y negativo en el intervalo (−1, 1). Todas estas informaciones nos dan la siguiente imagen de la funci´on f : En (−∞, x0 ) la funci´on es creciente convexa. En (x0 , x1 ) la funci´on es creciente concava. En (x1 , −1) la funci´on es decreciente concava. En (−1, 1) la funci´on es convexa, decreciente en (−1, x1 ), creciente en (x1 , 1). En (1, ∞) la funci´on es creciente concava. Ejercicios y Problemas

130 1. Determine los valores a, b para los cuales la funci´on (

f (x) =

x2 , ax + b,

x ≥ 0, x<0

es derivable. 2. Sea f (x) =

  ax + b,    2

cx + d,

 1    1− ,

x ≤ 0, 0 < x ≤ 1,

1 < x. x Encuentre los valores a, b, c, d para los cuales f es derivable. 3. Sea

 2   x + ax + 5,

x ≤ 0,

x+b , x > 0. x+3 Encuentre los valores a, b para los cuales f es derivable. f (x) = 

 log

4. Sea f una funci´on derivable. Demuestre que f (x + h) − f (x − h) = f 0 (x). h→0 2h lim

5. Calcule la derivada de la funci´on f (x) = |x3 |. 6. Encuentre dos funciones no diferenciables tales que su producto sea derivable. 7. Para a, c ∈ R, c > 0 definimos: (

f (x) =

xa sen x−c , 0,

x 6= 0, x=0

Demostrar: (a) f es continua si y solo si a > 0, (b) f es derivable si y solo si a > 1, (c) f 0 es acotada en una vecindad de cero si y solo si a ≥ 1 + c,

131 (d) f 0 es continua si y solo si a > 1 + c. 8. Calcula la derivada de la funci´on: √ (a) log(x + a2 + x2 ), q √ 4 (b) ax + sen 2x, x

(c) f (x) = xx . (d) f (x) = g ◦ g ◦ g(x). 9. Demostrar por inducci´on la siguiente f´ormula de Leibnitz: (n)

(f g)

=

n X k=0

Ã

n k

!

f (n−k) g (k) ,

cuando f , g tienen todas las derivadas hasta el orden n. 10. De la f´ormula de la derivaci´on de la funci´on compuesta deduzca la f´ormula para la derivada de la funci´on inversa tomando en cuenta que f −1 (f (x)) = x. 11. Demuestre que xt − tx − t − 1 ≤ 0 para x > 0 y 0 < t < 1. 12. Sea f una funci´on derivable que satisface la ecuaci´on f 0 = f 2 + 1. Demuestre que f tiene inversa, encuentre (f −1 )0 , f −1 y f misma. 13. Sea f una funci´on derivable que satisface la ecuaci´on f 0 = Suponiendo que f tiene inversa, encuentre (f −1 )0 , f −1 y f misma. 14. Calcula lim

x→0

1 . 2f

1 1 exp − 2 . n x x

15. encontrar los extremos de la funci´on f (x) = xx . 16. Supongamos que la funci´on f tiene derivada acotada en (a, b). Demostrar que f es uniformemente continua en este intervalo. 17. Demostrar que una funcci´on que satisface la desigualdad |f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 para todos x, y ∈ R, es constante. 18. Sea f (x) = |x|3 . Calcule f 0 (0), f 00 (0) y demuestre que f 000 (0) no existe.

132 19. Demuestre que, si una funci´on f : R → R satisface |f (x) − f (y)|2 ≤ (x − y)2 para todos x, y ∈ R, entonces es constante. 20. Calcular los siguientes l´ımites: (a) lim tg x log x2 ,

x→0

(b) limx→∞ (c) limx→1

xlog x , (log x)x

xx −x , log x−x+1 1

(d) limx→0 (1 − x + sen x) x3 , (e) limx→0 xsen x , 1

(f) limx→∞ x(e x − 1), (g) limx→∞ (π − 2arctg x) log x.

Chapter 8 Convergencia de funciones 8.1

Convergencia puntual

Sea X ⊂ R. El espacio de todas las funciones X 3 x → f (x) ∈ R se denota por RX . Considerando una funci´on como un punto en el espacio RX vamos a definir la convergencia de funciones-puntos en este espacio. A diferencia del caso del espacio de n´ umeros existen muchas opciones de definir la convergencia y a ninguna de ellas se la puede llamar la m´as natural o la mejor. Vamos a hablar entonces de la convergencia puntual, convergencia casi uniforme, convergencia uniforme de funciones para desp´ ues estudiar distintas propiedades de todos estos conceptos. Una sucesio´on de funciones es una aplicaci´on del espacio de los n´ umeros X naturales N en R . ´ n Una sucesi´on (fn ) de funciones sobre X converge puntualmente Definicio a la funci´on f ∈ RX si para todo x ∈ X la sucesi´on de n´ umeros (fn (x)) converge a f (x) en R. En forma m´as explicita la convergencia puntual fn → f significa:

∀ x ∈ X, ∀ε > 0,

∃N ∈N ∀n>N

|fn (x) − f (x)| < ε.

La convergencia puntual es tambi´en llamada ”convergencia d´ebil”, porque realmente es poco satisfactoria de varios puntos de vista. 133

134 Ejemplos 1. Sea X = [0, 1] y sea fn (x) = xn . Obtenemos ( n

lim fn (x) = lim x =

n→∞

n→∞

0, 1,

x 6= 1 x = 1.

Tenmos en este caso fn → f , donde (

f (x) =

0 1

x 6= 1 x = 1.

Las funciones fn son continuas y derivables y sin embargo su l´ımite puntual, la funci´on f no es ni siquiera continua. La convergencia puntual no conserva la continuidad de funciones. Sea xm = 1 − decir que

1 . m

La discontinuidad de f = limn→n fn en x = 1 quiere lim lim fn (xm ) 6= m→∞ lim n→∞ lim fn (xm ).

n→∞ m→∞

En la sucesi´on de dos ´ındices unm = fn (xm ) se obtiene resultados distintos dependiendo del orden en el cual pasamos al l´ımite con respecto a los ´ındices m y n. 2. Sea X = R y fn (x) = limm→∞ (cos n! πx)2m , n ∈ N. La funci´on fn est´a definida como un l´ımite puntual con respecto a m de funciones (cos n! πx)2m . Recordando que (cos kπx)2 toma valor 1 unicamente para k entero y en otros puntos su valor es menor que 1, obtenemos: ( 0, n! x 6∈ Z fn (x) = 1, n! x ∈ Z. Sea f (x) = limn→∞ fn (x). p entonces para n > q el n´ umero q n! x es racional y fn (x) = 1. En consecuencia f (x) = 1. Si x 6∈ Q entonces fn (x) = 0 para todos n y f (x) = 0. Tenemos: Si x es un n´ umero racional de forma

(

f (x) =

0, 1,

x 6∈ Q x ∈ Q.

135 La funci´on f que, como sabemos no es integrable en el sentido de Riemann, se obtiene como un l´ımite puntual doble de funciones derivables. En este caso concluimos que la convergencia puntual y la integrabilidad en el sentido de Riemann no concuerdan. En la teor´ıa de integraci´on creada por Lebesgue y Caratheodory medio siglo despu´es de Riemann la convergencia puntual resulta ser m´as que satisfactoria. 3. Sea fn (x) = nx(1 − x2 )n para x ∈ [0, 1] y sea f (x) = limn→∞ fn (x). En los puntos 0 y 1 todas las funciones fn toman valor cero entonces f (0) = f (1) = 0. Para x ∈ (0, 1) aplicamos el criterio de d’Alembert y obtenemos lim

n→∞

fn+1 (x) n+1 = lim (1 − x2 ) = 1 − x2 < 1. n→∞ fn (x) n

Obtenemos f (x) = 0 para todo x ∈ [0, 1]. La sucesi´on (fn ) converge a la funci´on nula. Observemos ahora que lim

Z 1

n→∞ 0

n 1 Z1 = 6= f (x)dx = 0. n→∞ 2n + 2 2 0

nx(1 − x2 )n dx = lim

Recordemos entonces que en general lim

Z b

n→∞ a

fn (x)dx 6=

Z b

lim fn (x)dx

a n→∞

incluso cuando la funci´on f es R-integrable. cos nx converge tambi´en a la funci´on iden4. La sucesi´on fn (x) = n ticamente igual a cero. Sin embargo la sucesi´on de las derivadas fn0 (x) = −sen nx no es convergente. En general lim f 0 n→∞ n

6= ( lim fn )0 . n→∞

La relaci´on entre la convergencia puntual y la derivaci´on tampoco es satisfactoria. La convergencia puntual tiene una ventaja incuestionable: es muy sencilla. Cuando estamos buscando el l´ımite en cualquier otro sentido de una sucesi´on de funciones fn , primero buscamos su l´ımite puntual f y despu´es verificamos si la convergencia fn → f es uniforme, casi uniforme etc.

136

8.2

Convergencia uniforme

Introduciendo la convergencia uniforme que es m´as fuerte, es decir m´as exigente que la convergencia puntual resolvemos algunos de los problemas anunciados en la secci´on anterior. La convergencia uniforme conserva la continuidad de funciones y su R-integrabilidad. Aunque su relaci´on con la diferenciabilidad no es de todo satisfactoria, existen resultados bastante satisfactorios en esta ´area. ´ n Sean fn , f ∈ RX . Decimos que la sucesi´on (fn ) converge a f Definicio uniformemente si ε > 0 ∃ N ∈ N,

∀ n > N, x ∈ X

|fn (x) − f (x)| < ε.

u

Vamos a usar la notaci´on fn → f en el caso de la convergencia uniforme p y fn → f cuando la convergencia es puntual. u

Cuando la convergencia fn → f tiene lugar, para cada ε > 0 podemos encontrar N tal que todas las funciones fn con n > N tienen sus gr´aficas contenidas entre la funci´on f − ε y la funci´on f + ². La convergencia uniforme es m´as fuerte que la convergencia puntual. Comparando las definiciones se observa: u

p

Proposici´ on 8.2.1 fn → f implica fn → f . El siguiente teorema es bastante obvio, sin embargo es u ´til creando un procedimiento para estudiar la convergencia uniforme. u

Teorema 8.2.2 fn → f si y solo si existe M ∈ N tal que para n > M Dn = supx∈X |fn (x) − f (x)| < ∞ y adem´as limn→∞ Dn = 0. u

´ n Si fn → f entonces tomando primero ε = 1 encontramos Demostracio M tal que para n > M y x ∈ X tenemos |fn (x) − f (x)| < 1. En particular Dn = supx∈X |fn (x) − f (x)| ≤ 1 < ∞. Sabemos entonces que los n´ umeros Dn son finitos para todos n > M . Luego, para ε > 0 cualquiera existe N tal que para n > max{N, M } tenemos Dn ≤ ε. La sucesi´on (Dn ) converge a cero. Ahora, si la sucesi´on Dn est´a bien definida para n > M y converge a cero obtenemos que ∀ε > 0 ∃N

∀n > N, x ∈ X

|fn (x) − f (x)| ≤ Dn < ε. ¤

137 En muchas ocasiones tenemos dada una sucesi´on de funciones (fn ) y sin conocer su l´ımite queremos saber si tiene lugar la convergencia uniforme. En este caso es muy importante el criterio siguiente: Teorema 8.2.3 Sean fn ∈ RX . La sucesi´on (fn ) converge uniformemente a una funci´on f ∈ RX si y solo si 1. ∃ M ∀ n, m > M Dn,m = supx∈X |fn (x) − fm (x)| < ∞ y 2. ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n, m > N Dn,m < ε. u

´ n Si xiste f ∈ RX tal que fn → f , entonces seg´ Demostracio un el teorema anterior los n´ umeros Dn estan bi´en definidos desde cierto M en adelante y Dn → 0. Observemos que para n, m > M y para x ∈ X cualquiera |fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − f (x) − (fm (x) − f (x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| ≤ Dn + Dm . Calculando el supremo del valor del lado izquierdo de la desigualdad obtenemos: Dn,m ≤ Dn + Dm . La convergencia Dn → 0 implica ∀ε>0 ∃N

∀n, m > N

Dn,m ≤ Dn + Dm ≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Las propiedades 1 y 2 est´an probadas. Ahora supongamos que (fn ) satisface las condiciones 1 y 2. Para encontrar la funci´on que es el l´ımite de la sucesi´on observemos que por la propiedad 2 ∀ε > 0 ∃N

∀ n, m > N x ∈ X

|fn (x) − fm (x)| ≤ Dn,m < ε.

Para cada x ∈ X la sucesi´on de n´ umeros (fn (x)) es de Cauchy y por lo tanto es convergente. Sea f (x) = limn→∞ fn (x). Queda por mostrar que la convergencia fn → f es uniforme. Utilizamos para este fin la desigualdad |fn (x) − fm (x)| ≤ Dn,m < ε que es v´alida para todo x ∈ X y para n, m > N . Pasando al l´ımite m → ∞ obtenemos

138

|fn (x) − f (x)| ≤ Dn,m < ε bajo las mismas condiciones. Entonces sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε

x∈X

u

para todo n > N . La convergencia fn → f est´a probada. ¤ Ejemplo general Las series de funciones son un caso particular de sucesiones de funcions. Una serie de funciones es una expresi´on de forma S=

∞ X

fj

j=1

donde fj ∈ RX . Decimos que la serie S converge puntualmente (resp. uniformemente) si P la sucesi´on de sumas parciales Fn = nj=1 fj converge puntualmente (resp. uniformemente.) Si este es el caso, el l´ımite correspondiente se denota P tambi´en como ∞ j=1 fj . Teorema 8.2.3 aplicado al caso de una serie de funciones conduce al siguiente resultado: P

Teorema 8.2.4 Sea ∞ j=1 fj una serie de funciones definidas en X. La serie converge uniformemente si y solo si ∀ε > 0 ∃ N,

∀n > m > N

sup |

n X

x∈X j=m

fj | < ε.

Ejemplo particular Sea X = [a, b] y sea f (x) = exp x. Como hemos probado en el cap´ıtulo anterior, la serie de Taylor de la funci´on exp converge puntualmente a la misma funci´on. Para demostrar que esta serie converge tambi´en uniformemente en cada intervalo [a, b] recordemos el desarrollo de Taylor de esta funci´on con el res´ıduo en forma de Lagrange: exp x =

k X xj j=0

j!

+

xk+1 exp ξ, (k + 1)!

139 donde |ξ| < |x|. Denotemos C = max{|a|, |b|}. Obtenemos: ¯ ¯ ¯ k j ¯¯ X ¯ x |x|k+1 C k+1 ¯ = exp ξ sup sup ¯¯ exp x − ≤ exp C . ¯ (k + 1)! x∈[a,b] ¯ x∈[a,b] (k + 1)! j=0 j! ¯

La u ´ltima sucesi´on converge a cero cuando k → ∞. Entonces la serie de Taylor de la funci´on exponencial converge uniformemente a la misma sobre cada intervalo finito. El teorema de Dini que vamos a demostrar en seguida relaciona la convergencia puntual mon´otona con la convergencia uniforme. Teorema 8.2.5 (Dini) Sea X ⊂ R un conjunto compacto y sean fn , f funciones continuas en X. Si fn es una sucesi´on decreciente que converge a f puntualmente, entonces su convergencia es uniforme. ´ n Sean gn = fn − f . La sucesi´on gn es descendiente y Demostracio converge en a cero puntualmente. Nuestro prop´osito es demostrar que u gn → 0. Supongamos que no es as´ı. Tenemos entonces: ∃ ε > 0 ∀ n ∃mn > n, xn ∈ X

gmn (xn ) > ε.

La sucesi´on (xn ) tiene una subsucesi´on convergente xnk → x ∈ X. Fijemos el valor M y tomemos K tal que mnk > M para k > K. Por la monoton´ıa de la sucesi´on tenemos para k > K: gM (xnk ) ≥ gmnk (xnk ) > ε. Las funciones gn son continuas, entonces gM (x) = gM ( lim xnk ) = lim gM (xnk ) ≥ ε. k→∞

k→∞

La u ´ltima desigualdad contradice la convergencia a cero de la sucesi´on gM (x). La contradicci´on obtenida termina la demostraci´on. ¤ Observemos que la sucesi´on fn (x) = xn converge puntualmente en el dominio [0, 1] y su convergencia es mon´otona decreciente. Sin embargo (fn ) no converge uniformemente. La razon es que su l´ımite no es una funci´on continua entonces las suposiciones del teorema de Dini no se cumplen.

140

8.3

Convergencia uniforme y continuidad

El teorema que probamos en seguida justifica la aparici´on del concepto de la convergencia uniforme. Teorema 8.3.1 Sea X ⊂ R y sea fn una sucesi´on de funciones sobre X uniformemente convergente sobre X. Supongamos que en un punto x ∈ X todas las funciones fn son continuas. Sea f (y) = limn→∞ fn (y), y ∈ X. Entonces f es continua en x. ´ n Para ε > 0 dado, aprovechando la convergencia uniforme Demostracio de la sucesi´on, podemos encontrar N tal que para todos n > N y todos y ∈ X |f (y) − fn (y)| < ε/3. La funci´on fn tiene l´ımite en x entonces existe δ > 0 tal que |x − y| < δ implica |fn (x) − fn (y)| < ε/3. Calculamos ahora: |f (x) − f (y)| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (y) + fn (y) − f (y)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fm (y)| + |fm (y) − f (y)| ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε para |x − y| < δ. ¤ La convergencia uniforme es una propiedad global, porque para constatarla tenemos que estudiar el valor |fn (x) − f (x)| recorriendo todo el dominio. Por otro lado la continuidad de la funci´on es una propiedad local. Para determinarla en y ∈ X es suficiente estudiar los valores |f (x) − f (y)| para |x − y| < δ, donde δ > 0 es tan peque˜ na como nos convenga. El u ´ltimo teorema carece de ”elegancia” porque deduce una propiedad local a base de cierta propiedad global. En realidad no se necesita hasta la convergencia uniforme para obtener el mismo efecto. ´ n Decimos que una sucesi´on de funciones fn : X → R converge Definicio casi uniformemente a la funci´on f si para cada intervalo [a, b] ⊂ R las restricciones fn |X∩[a,b] convergen uniformemente a f |X∩[a,b] . La convergencia c.u. casi uniforme se denota por fn → f . Teorema 8.3.2 Si las funciones fn son continuas en X ⊂ R y la sucesi´on (fn ) converge casi uniformemente a f entonces f es continua en X. ´ n Para demostrar que f es continua en un punto y ∈ X Demostracio fijamos δ > 0 y restringimos las funciones al intervalo I = [y − δ, y + δ] ∩ X.

141 Por la suposici´on las funciones fn convergen uniformemente a f sobre I, entonces por Teorema 9.3.1 la funci´on f es continua en y. ¤ Ejemplos 1. Sea f una funci´on positiva sobre R. Sea g(x) =

∞ X 1 n=1

2n

f (x) . 1 + f (x)

Vamos a ver que la funci´on g est´a definida en todo R y que s continua en este dominio. Sean k > m. Entonces k X 1

k X f (x) 1 1 ≤ < . n n 2m−1 n=m 2 1 + f (x) n=m 2

Por Teorema 8.2.3 las sumas parciales convergen uniformemente, entonces su l´ımite g es una funci´on continua. 2. La diferencia entre la convergencia uniforme y casi uniforme se puede observar en el siguiente caso muy sencillo: Sea fn (x) = n1 x, x ∈ R. Esta sucesi´on converge puntualmnte a cero, pero la convergencia no es uniforme sobre R, porque las funciones fn no son acotadas. Sobre cada c.u. intervalo finito la convergencia es uniforme entonces fn → f .

8.4

Convergencia uniforme y la integraci´ on

Teorema 8.4.1 Sea fn una sucesi´on de funciones R-integrables sobre un u untervalo finito [a, b]. Si fn → f entonces f es R-integrable y Z b a

f (x)dx = lim

Z b

n→∞ a

fn (x)dx.

´ n Si dos funciones acotadas f y g satisfacen la condici´on Demostracio supx∈[a,b] |f (x) − g(x)| < ε entonces para x arbitrario tenemos en particular g(x) − ε < f (x) < g(x) + ε. Para cualquier partici´on P = {a, x1 , . . . , xn−1 , b} obtenemos entonces inf

x∈[xn−1 ,xn ]

g(x) − ² ≤

inf

x∈[xn−1 ,xn ]

f (x) ≤

sup x∈[xn−1 ,xn ]

f (x) ≤

sup x∈[xn−1 ,xn ]

g(x) + ε.

142 Tomando las sumas con respecto a n llegamos a las siguientes relaciones: Σ(g, P) − ²(b − a) ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(g, P) + ε(b − a). u

Gracias a la convergencia uniforme fn → f para ε > 0 arbitrario podemos ε encontrar un ´ındice n tal que supx∈[a,b] |f (x) − fn (x)| < 3(b−a) . Por la integrabilidad de fn existe una partici´on P tal que Σ(fn , P) − Σ(fn , P) < ε/3. Para esta partici´on en particular tenemos Σ(fn , P) − ²/3 ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(fn , P) + ε/3. Los n´ umeros Σ(f, P) y Σ(f, P) se encuentran dentro del intervalo In = [Σ(fn , P) − ε/3, Σ(fn , P) + ε/3] cuya longitud es < ε. Por lo tanto Σ(f, P) − Σ(f, P) < ². Por Teorema 6.2.1 la funci´on f es integrable.R R El mismo intervalo In contiene los valores ab f (x)dx, as´ı como ab fn (x)dx. Para ε > arbitrario y n suficientemente grande tenemos entonces |

Z b a

f (x)dx −

Z b a

fn (x)dx| < ε,

lo que demuestra la f´ormula Z b a

f (x)dx = lim

Z b

n→∞ a

fn (x)dx.

¤ La convergencia casi uniforme se conserva cuando pasamos de una sucesi´on c.u. fn → f a la sucesi´on de sus integrales indefinidas Fn y F . Teorema 8.4.2 Sean fn funciones definidas en el intervalo [a, b), donde b puede tomar el valor ∞. Supongamos que cada funci´on fn es integrable en c.u. cada intervalo finito [a, c] ⊂ [a, b). Si fn → f , entonces las funciones Fn (x) = Rx Rx on F (x) = a f (t)dt. a fn (t)dt convergen casi uniformemente a la funci´

143 ´ n Aplicando Teorema 8.4.1 al intervalo [a, x] obtenemos la Demostracio convergencia puntual Fn (x) → F (x) para cada x ∈ [a, b). Queda por mostrar que la convergencia es uniforme sobre cada intervalo finito [a, c]. ¯Z x ¯ ¯ ¯ ¯ sup |Fn (x) − F (x)| = sup ¯ (fn (t) − f (t))dt¯¯ ≤ x∈[a,c] x∈[a,c] a Z c Z x

≤ sup

x∈[a,c] a

|fn (t) − f (t)|dt =

a

|fn (t) − f (t)|dt ≤

≤ (c − a) sup |fn (t) − f (t)|. t∈[a,c]

Para cada ε > 0 podemos encontrar n tal que para todo m > n sup |fm (t) − f (t)| <

t∈[a,c]

ε b−a

y entonces supx∈[a,c] |Fm (x) − F (x)| < ε. ¤ Conviene enfatizar que la convergencia uniforme de una sucesi´on fn no implica la covergencia uniforme de las integrales indefinidas Fn como demuestra el ejemplo siguiente: R Si fn (x) = 3x2 + n1 en R entonces Fn = 0x (3t2 + n1 )dt = x3 + n1 x. La primera sucesi´on converge uniformemente a 3x2 , mientras que la segunda no es uniformemente convergente. Obviamente converge casi uniformemente de acuerdo con Teorema 8.4.2. Ejemplo Sean fn funciones R-integrables en el intervalo [a, b]. Supongamos que la serie ∞ X

fn

n=1

converge uniformemente. Como una aplicaci´on inmediata del Teorema 8.4.1 obtenemos Z bX ∞ a n=1

fn (x)dx =

∞ Z b X n=1 a

fn (x)dx.

144

8.5

Convergencia uniforme y derivaci´ on

La relaci´on de la convergencia uniforme con con la derivaci´on es m´as complicada. Ejemplo 4 de la secci´on 9.1 muesta un caso de una sucesi´on uniformemente convergente de funciones suaves fn (x) = cosnn x cuyas derivadas divergen hasta puntualmente. Sin embargo, agregando unas condiciones adicionales vamos a obtener un resultado muy u ´til sobre la posibilidad de interd cambiar las operaciones lim con dx . Teorema 8.5.1 Sean fn funciones derivables en [a, b]. Supongamos que existe x0 ∈ X tal que fn (x0 ) es una sucesi´on convergente. Si la sucesi´on fn0 converge uniformemente a una funci´on ϕ entonces fn converge uniformemente a una funci´on derivable f y f 0 = ϕ. ´ n De acuerdo con las suposiciones para cada ² > 0 existe N Demostracio tal que para n, m > N se cumplen las desigualdades |fn (x0 ) − fm (x0 )| < y 0 |fn0 (x) − fm (x)| <

ε 2

ε 2(b − a)

para todo x ∈ X. Aplicamos el teorema de valor medio en forma de Lagrange a la funci´on fn − fm y obtenemos para x, y arbitrarios y los mismos n, m: ε 0 |fn (x) − fm (x) − (fn (y) − fm (y))| ≤ sup |fn0 (t) − fm (t)||x − y| ≤ . (8.1) 2 t∈X En particular para y = x0 |fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x)− fm (x) − (fn (x0 ) − fm (x0 ))| +|fn (x0 )− fm (x0 )|| ≤ ε. La sucesi´on (fn ) converge uniformemente a un l´ımite que denotamos por f . Estudiamos la diferenciabilidad de f en un punto fijo x ∈ X. Introduzcamos las funciones gn (y) =

   fn (y) − fn (x)

y−x   f 0 (x) n

,

y 6= x, y=x

La diferenciabilidad de fn significa que gn es continua en x.

145 Por la desigualdad (8.1) obtemnemos para n, m > N : |gn (y) − gm (y)| ≤

ε 2(b − a)

para todos y 6= x. La sucesi´on gn converge uniformemente en [a, b] \ {x} y f (y) − f (x) su l´ımite en este dominio es la funci´on g(y) = . y−x En el punto x tenemos gn (x) = fn0 (x) → ϕ(y). En el dominio completo [a, b] la sucesi´on gn converge uniformemente a la funci´on g(y) =

   f (y) − f (x)

y−x   ϕ(x)

,

y 6= x. y=x

Por Teorema 8.3.1 la funci´on g es continua en x y por lo tanto ϕ(x) = y→x lim g(x) = y→x lim

f (y) − f (x) = f 0 (x). ¤ y−x

La f´ormula principal que acabamos de demostrar se puede escribir en forma d d lim fn = lim fn . n→∞ dx dx n→∞ Como hemos enunciado al principio se trata de un criterio que establece las condiciones bajo las cuales se puede intercambiar la operacion de derivacion con la operacion de tomar l´ımites. Ejemplo Nuevamente aplicamos el resultado al caso de una serie de funciones. Sea f (x) =

∞ X

fn (x),

n=1

donde las funciones fn son derivables y la serie converge en alg´ un punto P∞ 0 x0 ∈ [a, b]. Si la serie n=1 fn converge uniformamente entonces la funci´on f es derivable y f 0 (x) =

∞ X

n=1

fn0 (x).

146

8.6

Series de potencias

Un caso particular muy sencillo y sin embargo de importancia enorme es ´el de las series de potencias. ´ n Sea (an ) una sucesi´on de n´ Definicio umeros reales. Una serie de potencias centrada en x0 ∈ R y con coeficientes an se define como S=

∞ X

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . .

n=0

Cada serie de potencias define una funci´on cuyo dominio es ∞ X

D(S) = {x ∈ R|

an (x − x0 )n converge}.

n=0

Hay casos cuando D(S) se reduce a un solo punto {x0 }. As´ı es por ejemplo cuando an = n!. Los resultados que obtuvimos en el caso de series num´ericas se traducen inmediatamente a teoremas sobre las series de potencias. Dada unaqserie de potencias con coeficientes (an ) centrada en x0 , sea α = lim supn→∞ n |an |. El radio de convergencia de la serie S se define como R=

  ∞,    1   α   0,

,

α = 0, 0 < α < ∞, α = ∞.

El siguiente teorema explica el papel del radio de convergencia. Teorema 8.6.1 (Cauchy-Hadamard) Para x ∈ R tal que | x − x0 | < R la serie

∞ X

cn (x − x0 )n converge absolutamnte. Si | x − x0 | > R la serie diverge.

n=1

´ n Aplicamos el criterio Cauchy de convergencia de las series Demostracio num´ericas. El t´ermino n-´esimo de la serie de potencias tiene la forma an (x − x0 )n . Calculamos q

lim sup n→∞

n

q

|an (x − x0 )n | = | x − x0 | lim sup n→∞

n

|an | = | x − x0 |α.

Seg´ un criterio de Cauchy la serie converge absolutamente cuando se cumple la condici´on | x − x0 |α < 1 y diverge cuado | x − x0 |α > 1. Esto equivale al enunciado del teorema. ¤

147 Como hemos observado estudiando las series num´ericas, el criterio de d’Alembert de la convergencia de series n´ umericas tiene menor alcance que ´el de Cauchy, pero en los casos cuando s´ı funciona es m´as f´acil de aplicar. ¯

¯

¯ an+1 ¯ ¯ entonces α = ρ. Proposici´ on 8.6.2 Si existe ρ = lim ¯¯ ¯ n→∞ a n

´n Demostracio

¯ ¯ ¯ an+1 ¯ ¯ ¯ existe, entonces tambi´ en existe Si lim ¯ ¯ n→∞

an

¯ ¯ n+1 ¯ ¯a ¯ n+1 (x − x0 | ¯ lim ¯ ¯ = |x − x0 |ρ. n→∞ ¯ a (x − x )n ¯ n 0

Aplicamos el criterio de d’Alembert. Para todos x tales que |x − x0 |ρ < 1 la serie converge absolutamente y entonces criterio de Cauchy dice que |x − x0 |α ≤ 1. Resulta que para cualquier n´ umero positivo u la desigualdad ρ < u implica α ≤ u. Entonces α ≤ ρ. Por otro lado la condici´on |x−x0 |ρ > 1 implica la divergencia de la serie y en consecuencia obtenemos |x − x0 |α ≥ 1. De aqu´ı se sigue α ≥ ρ. Finalmente α = ρ. ¤ ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ ¯ ¯ entonces Corolario 8.6.4 Si existe ρ = n→∞ lim ¯ an ¯

R=

  ∞,    1  ρ   

,

0,

ρ = 0, 0 < ρ < ∞, ρ = ∞.

El corolario siguiente lleva el nombre del primer teorema de Abel sobre series de potencias. Corolario 8.6.5 Si la serie

∞ X

an (x − x0 )n convege para alg´ un x1 ∈ R

n=1

entonces la misma serie converge absolutamente para cada x tal que |x−x0 | < |x1 − x0 |. ´ n La convergencia de la serie en x1 es posible solamente Demostracio cuando | x1 − x0 | ≤ R. Entonces | x − x0 | < | x1 − x0 | implica |x − x0 | < R y la serie converge absolutamente en x. ¤

148

8.7

Integraci´ on y derivaci´ on de series de potencias

En la secci´on anterior estabamos estudiando las series de potencias tratandolas en realidad como series nu´ericas para cada x por separado. El criterio de Cauchy-Hadamard asegura que por lo menos en el intervalo D(R, x0 ) = {x ∈ R| |x − x0 | < R} = (x0 − R, x0 + R). est´a bi´en definida la funci´on S(x) =

∞ X

an (x − x0 )n .

n=1

La funci´on S es entonces igual al l´ımite puntual de las sumas parciales Sk (x) =

k X

an (x − x0 )n .

n=1

En esta secci´on vamos a estudiar las series de potencias como series de funciones investigando las regiones de convergencia uniforme y casi uniforme para obtener las f´ormulas de integraci´on y derivacion de S con ayuda de los teoremas obtenidos en secciones 8.3, 8.4, 8.5. Teorema 8.7.1 Las sumas parciales Sk convergen casi uniformemente en el intervalo D(R, x0 ). La funci´on S es continua en este intervalo. ´ n Sea 0 < r < R y sea x1 = x0 + r. Demostracio La serie

∞ X

an ( x1 − x0 )n converge absolutamnte por el criterio de Cauchy-

n=1

Hadamard. Para cada ε > 0 existe N tal que ∞ X

|an || x − x0 |n < ε.

n=N +1

Para cada x ∈ [x0 − r, x0 + r] y k > N obtenemos |S(x) − Sk (x)| ≤

∞ X n=k+1

|an || x − x0 |n ≤

∞ X

|an || x1 − x0 |n < ε.

n=N +1

La convergencia es uniforme en cada subintervalo cerrado de D(R, x0 ). Enc.u tonces Sk → S. La funci´on S es continua como l´ımite uniforme de funciones continuas. ¤

149 Teorema 8.7.1 nos permite describir la integral indefinida de S como otra serie de potencias. Teorema 8.7.2 Para cada x ∈ D(R, x0 ) Z x x0

S(t)dt =

∞ X

an (x − x0 )n . n=1 n + 1

´ n Gracias a Teorema 9.7.1 podemos aplicar directamente Demostracio Teorema 9.4.1. Para cada x ∈ D(R, x0 ) Z x x0

∞ X

S(t)dt =

n=1

an

Z x x0

n

(t − x0 ) =

∞ X

an (x − x0 )n . n=1 n + 1

¤ Teorema 8.5.1 proporciona inmediatamente la f´ormula de derivaci´on de la serie de potencias. Teorema 8.7.4 La funci´on S tiene derivadas de cualquier orden y su derivada de orden k tiene la forma de serie de potencias: S

(k)

(x) =

∞ X

n(n − 1) . . . (n − k + 1)an (x − x0 )n−k .

n=k

´ n Estudiamos primero el caso de la primera derivada S 0 (x). Demostracio Queremos probar que 0

S (x) =

∞ X

nan (x − x0 )

n−1

=

n=1

q

n→∞

n

bn (x − x0 )n ,

n=0

donde bn = (n + 1)an+1 . Calculamos lim sup

∞ X

|bn | = lim sup n→∞

√ n

q

q

n + 1 n |an+1 | = lim sup n→∞

n

|an |,

√ P n−1 porque limn→∞ n n + 1 = 1. La serie ∞ tiene el mismo n=1 nan (x − x0 ) radio de convergencia que la serie S. Aplicamos ahora Teorema 9.5.1 a la funcion S = limk→∞ Sk . La sucesi´on Sk converge en x0 . Las derivadas Sk0 son P n iguals a las sumas parciales de la serie ∞ n=0 bn (x − x0 ) entonces convergen casi uniformemente en D(R, x0 ). Entonces S 0 (x) = lim Sk0 = k→∞

∞ X n=1

nan (x − x0 )n−1 .

150 La f´ormula para la k-´esima derivada se obtiene ahora por la inducci´on. ¤ Ejemplos 1. Como sabemos, para |x| < 1 ∞ X 1 = (−1)n xn . 1 + x n=0

El radio de convergencia de esta serie es igual a 1, como se pod´ıa esperar. Por teorema 8.7.2 log(1 + x) =

Z x 0

∞ X 1 (−1)n−1 n dt = x . 1+t n n=1

2. Por la misma f´ormula ∞ X 1 = (−1)n x2 . 1 + x2 n=0

En virtud de que (arctan x)0 =

1 obtenemos 1 + x2

∞ X (−1)n 2n+1 arctan x = x . n=0

2n + 1

Vamos a agregar sin demostraci´on un teorema llamado el segundo teorema de Abel sobre las series de potencias que proporciona cierta informaci´on sobre el comportamiento de series en los extremos del intervalo de convergencia. ∞ X

Teorema 8.7.3 Sea S(x) =

an (x − x0 )n una serie de potencias con el

n=1

radio de convergencia R. Supongamos que la serie ∞ X

∞ X n=1

n

an (−R) converge). Entonces

n=1

lim

x→(x0 +R)−

S(x) =

∞ X n=1

an Rn ,

an Rn converge, (resp.

151 (resp.

lim

x→(x0 +R)+

S(x) =

∞ X

an (−R)n ).

n=1

Este teorema afirma que en el caso de que la serie converge en uno d los extremos del intervalo de convergencia, entonces la funci´on S(x) extendida a este dominio m´as grande - sigue siendo continua. Ejemplo Aplicamos Teorema de Abel para obtener el valor de π. Esta f´ormula fue descubierta por Leibnitz. Como sabemos ∞ X π (−1)n 2n+1 = arctan 1 = lim arctan x = lim x . x→1− x→1− 4 n=0 2n + 1

La serie

∞ X (−1)n n=0

2n + 1

converge seg´ un el criterio de Leibnitz. Entonces ∞ X π (−1)n = . 4 n=0 2n + 1

8.8

Teorema de Weierstrass

El ejemplo de las series de potencias nos ha ense˜ nado la importancia de la convergencia uniforme y la forma como se aplica para calcular las integrales o derivadas de funciones m´as complicadas. Sin embargo las funciones que se pueden representar como series de potencias son relativamente pocas. Estudiando funciones de varias variables vamos a ver que estas funciones no solamente tienen que ser de clase C ∞ sino que, extendidas al plano complejo en forma natural, satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales. Para extender el dominio de aplicaciones de los teoremas probados en las secciones anteriores es preciso estudiar cuales funciones subre un intervalo [a, b] se pueden aproximar uniformemente por polinomios cuyas derivadas e integrales se calculan facilmente. Teorema de Weierstrass da respuesta a est´a pregunta. Antes de presentar y demostrar este importante teorema necesitamos dos Lemas. El primero es muy sencillo y su demostraci´on se recomienda al Lector como ejercicio. Lema 8.8.1 Sea φ : X → Y una aplicaci´on syprayectiva y sean f , fn , n ∈ N u u unas funciones sobre Y . Entonces fn → f si y solo si fn ◦ φ → f ◦ φ.

152 Lema 8.8.2 Para todo n ∈ N y 0 ≤ x ≤ 1 se satisface la desigualdad 1 − nx2 ≤ (1 − x2 )n . ´ n La funci´on h(x) = (1 − x2 )n − 1 + nx2 se anula en x = 0. Demostracio Su derivada igual a h0 (x) = 2nx(1−(1−x2 )n−1 ) es no-negativa en el intervalo. Por lo tanto h es no decreciente en el intervalo y toma valores no-negativos en el mismo.¤ Teorema 8.8.3 (Weierstrass) Sea f ∈ C[a, b]. Existe una sucesi´on de polinomios pn , n ∈ N tal que u pn → f. ´ n Con el fin de construir una sucesi´on de polinomios que Demostracio aproxime a f uniformemente, estudiamos primero unos polinomios en el intervalo [0, 1]. Sean qn (x) = cRn (1 − x2 )n , n ∈ N, donde los coeficientes 1 cn se escogen de tal manera que −1 qn (x)dx = 1. En lugar de buscar la forma expl´ıcita de cn , nos limitamos a la b´ usqueda de una estimaci´on de su valor aprovechando Lema 8.8.2. Z 1 −1

2 n

(1 − x ) dx = 2 ≥ 2

Z 1 0

2 n

(1 − x ) dx ≥ 2

Z 1/√n 0

Z 1/√n 0

(1 − x2 )n dx

√ 4 (1 − nx2 )dx = √ > 1/ n, 3 n

de donde obtenemos cn <

√

n.

Para cualquier δ > 0 y para δ ≤ |x| ≤ 1 se satisface qn (x) ≤

√

n(1 − δ 2 )n .

La sucesi´on de polinomios qn converge uniformemente a cero en [−1, −δ] ∪ [δ, 1]. Pasamos a la parte principal de la demostraci´on del teorema. El intervalo [a, b] se puede transformar en forma biyectiva en [0, 1]. Gracias al Lema 8.8.1 podemos desarrollar la demostraci´on del teorema para el intervalo [0, 1] sin perder la generalidad. Es tambi´en suficiente demostrar el teorema para una funci´on de forma g(x) = f (x) + p(x), donde p(x) es un polinomio fijo, entonces escogemos g(x) = f (x) − f (0) − x(f (1) − f (0)).

153 La funci´on g es tambi´en continua en [0, 1], pero adem´as satisface la condici´on g(0) = g(1) = 0. Si ponemos el valor g(x) = 0 para x 6∈ [0, 1], obtenemos una funci´on continua en todo el eje R. R1 Sean pn (x) = −1 g(x + t)qn (t)dt. Tomando en cuenta que la funci´on g se anula fuera de [0, 1], el integrando es nulo fuera del intervalo [−x, 1 − x]. Esta simple observaci´on y el cambio de variable muy sencillo conducen a otra f´ormula para las funciones pn : pn (x) =

Z 1−x −x

g(x + t)qn (t)dt =

Z 1 0

g(t)qn (t − x)dt.

La u ´ltima expresi´on demuestra que cada pn es un polinomio. La funci´on g es uniformemente continua en R. Dado ² > 0, escogemos ² δ de tal forma que para |y − x| < δ se cumple |f (y) − f (x)| ≤ . Sea 2 M = maxx∈[0,1] |g(x)|. Ahora, para cada x ∈ [0, 1] calculamos |pn (x) − g(x)| = ≤

¯Z 1 ¯ ¯ ¯ ¯ (g(x + t) − g(x))qn (t)dt¯¯ ¯ −1 Z 1 −1

|g(x + t) − g(x)|qn (t)dt ≤

Z 1 ²Zδ qn (t)dt + 2M ≤ 2M qn (t)dt qn (t)dt + 2 −δ δ −1 √ ² ≤ 4M n(1 − δ 2 )n + < ² 2 Z −δ

u

para n suficientemente grande. Hemos probado que pn → g. ¤ El hecho de que cada funci´on continua en un intervalo puede ser aproximada uniformemente por polinomios no significa que se la puede desarrollar en una serie de potencias. El l´ımite de una serie convergente es, como sabemos, una funci´on suave ”y algo m´as”. Representaci´on de una funci´on como serie de potencias es una forma muy especial de aproximaci´on por polinomios.

8.9

Series de Fourier

En una cuerda vibrante que emite un sonido ”puro” de longitud de onda l la desviaci´on moment´anea de on punto de su lugar de reposo depende del

154 tiempo de forma siguiente: d(t) = a sen

πt . l

Una cuerda de longitud l emite sin embargo un sonido m´as complicado que est´a compuesto de un n´ umero infinito de sonidos ”puros”, a saber todos los l que son de longitudes , n = 1, 2, 3 . . . . El movimiento real de un punto de n la cuerda est´a dado por una serie trigonom´etrica: f (t) =

∞ X n=1

an sen

nπt . l

Una persona con buen oido musical sabe evaluar el valor an por lo menos para los sonidos predominantes, es decir puede analizarlo con cierta exactitud. El o´ıdo humano es capaz de realizar el an´alisis arm´onico. Pasando a los problemas puramente matem´aticos relacionados con las series de este tipo definimos la serie de Fourier como la derie de funciones de forma ∞ b0 X f (t) = + an sen nt + bn cos nt. 2 n=1 Inmediatamente surgen dos preguntas fundamentales: ¿Que condiciones impuestas sobre los coeficientes an , bn aseguran la convergencia puntual o uniforme de la serie de Fourier? ¿Cuales son las funciones en un intervalo que pueden representarse en forma de la serie trigonom´etrica puntualmente o uniformemente convergente? La teor´ıa de las series trigonom´etricas es muy avanzada, extensa e involucra m´etodos de varias ramas de an´alisis funcional. Vamos a presentar aqu´ı u ´nicamente algunos teoremas b´asicos de esta ´area. Respecto a la primera pregunta, los teoremas probados en secciones 8.3 y 8.5 nos proporcionan unas condiciones suficiente de la convergencia de la serie de Fourier. Teorema 8.9.1 Si

∞ X

(|an | + |bn |) < ∞ entonces la serie de Fourier corre-

n=1

spondiente converge uniformemente a una funci´on continua f (t) =

∞ b0 X + an sen nt + bn cos nt. 2 n=1

155 Si adem´as

∞ X

n(|an | + |bn |) < ∞, entonces f es de clase C 1 .

n=1

´ n Denotemos por Sm (t) la suma parcial de la serie de Demostracio Fourier. Entonces para k > m se satisface |Sk (t) − Sm (t)| = ≤

¯ ¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ k ¯ an sen nt + bn cos nt¯¯ ≤ ¯ ¯ ¯n=m+1 k X

k X

an |sen nt + bn cos nt| ≤

n=m+1

|an | + |bn |.

n=m+1

P

Por suposici´on las sumas parciales de la serie ∞ n=1 (|an | + |bn |) forman una sucesi´on de Cauchy, entonces por la desigualdad demostrada las sumas Sk (t) tambi´en forman sucesiones de Cauchy, por lo tanto convergentes y adem´as uniformente. Por Teorema 8.3.1 el l´ımite f de la sucesi´on Sn es una funci´on continua. La derivada de la suma parcial Sk tiene forma de serie trigonom´etrica Sk0 (t) =

k X

nan cos nt − nbn sen nt.

n=1

Aplicando los mismos argumentos a la u ´ltima serie y luego el Teorema 8.5.1 obtenemos la conclusi´on de que f es derivable y f 0 (t) =

∞ X

nan cos nt − nbn sen nt

n=1

es una funci´on continua.

¤

Ahora pasamos a otro problema de determinar una clase de funciones las cuales se pueden desarrollar en una serie de Fourier. Desgraciadamente no disponemos de medios suficientes para presentar las demostraciones de resultados m´as interesantes. Cada funci´on que se puede representar como una serie de Fourier convergente satisface la condici´on f (t + k2π) = f (t) para k ∈ Z y t ∈ R arbitrarios, es decir es peri´odica con periodo 2π. Cada funci´on peri´odica est´a totalmente determinada por sus valores cualquier intervalo de longitud de su periodo. En nuestro caso podemos limitarnos a funciones en el intervalo [−π, π] que toman el mismo valor en ambos extremos.

156 Si sabemos de antemano que la funci´on dada admite el desarrollo en una serie de Fourier, podemos calcular los coeficientes an y bn que aparecen en su serie de Fourier. Teorema 8.9.2 Supongamos que una funci´on f : [−π, π] → R tiene la forma de una serie de Fourier uniformemente convergente. Entonces sus coeficientes an y bn est´an dados por las f´ormulas: 1Zπ an = f (x)sen nxdx, π −π

1Zπ bn = f (x) cos nx dx, π −π

(8.2)

n = 0, 1, 2 . . . . ´ n Recordemos las f´ormulas elementales: Demostracio Z π −π

(

cos nx cos mx dx = Z π −π

Z π −π

0, π,

n 6= m, n = m.

cos nxsen mx dx = 0.

sen nxsen mx dx =

(

0, π,

n 6= m, n = m.

Por la suposici´on f (x) =

k X b0 + lim an sen nx + bn cos nx. 2 k→∞ n=1

La serie converge uniformemente entonces para cualquier funci´on R-integrable g Z π −π

f (x)g(x)dx =

k Z π X b0 Z π g(x)dx + lim (an sen nx + bn cos nt)g(x)dx. k→∞ 2 −π n=1 −π

Substituyendo en esta f´ormula g(x) = cos nx, n = 0, 1, 2, . . . y luego g(x) = sen mx, m = 1, 2, 3, . . . obtenemos las f´ormulas enunciadas. ¤ Los coeficientes an , bn definidos por la f´ormula (8.2) se llaman coeficientes de Fourier de la funci´on f . Los coeficientes an y bn se pueden calcular suponiendo nada m´as que f es una funci´on R-integrable. A cada funci´on integrable, le corresponde

157 entonces una serie de Fourier. Sin embargo, en general la serie de Fourier correspondiente puede diverger o bi´en puede converger, pero a una funci´on distinta de f . La continuidad de f no es suficiente para que la serie de Fourier correspondiente a f aproximara la funci´on ni siquiera puntualmente. La suavidad de f s´ı lo asegura. Teorema 8.8.3 Sea f una funci´on derivable en [−π, π]. Entonces su serie de Fourier converge a f puntualmente. En el caso de funciones continuas se demuestra que las sumas parciales de su serie de Fourier convergen a f en el sentido especial. Teorema 8.8.4 Sea f ∈ C[−π, π] y sea Sn la n-´esima suma parcial de su serie de Fourier. Entonces lim

Z π

n→∞ −π

|f (t) − Sn (t)|2 dt = 0.

Cuando tiene lugar la convergencia de este tipo, decimos que Sn converge a f en L2 [−π, π]. El libro An Introduction to Harmonic Analysis por Y. Katznelson presenta la teor´ıa de series de Fourier en forma relativamente sensilla y al mismo tiempo completa.

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Bibliograf´ıa [1] Apostol T., Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1957. [2] Bartle R. G., The Elements of Real Analysis, J. Wiley, 1964. [3] Buck R. C., C´alculo superior, McGraw-Hill, [4] Galaz Fontez F., Introducci´on al An´alisis Matem´atico, UAM-I, 1992. [5] Kaplan I., Advanced Calculus, Addison-Wesley, [6] Katznelson Y., An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publ. Inc. 1976. [7] Kolmogorov A. N., Fomin S. V., Elementos de la Teor´ıa de Funciones y del An´alisis Funcional, Mir, 1975. [8] Lang S., Analysis I, Addison-Wesley, 1968. [9] Rudin W., Principios del An´alisis Matem´atico, Mc Graw-Hill, 1966. [10] Spivak M., Calculus, Addison-Wesley, 1967. [11] Stromberg K., An Introduction to Classical Real Analysis. [12] Zald´ıvar Cruz, F. Introducci´on al Algebra, en impreso.

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