Calculo 2 Trabajo Taylor.docx

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERA

CACLCULO II PARA INGENIEIRA

BAIN 042 – TRABAJO GRUPAL EXTERNO I APROXIMACION DE FUNCIONES Y T. DE TAYLOR

INTEGRANTES - Carlos Alvarez Jaramillo FECHA DE ENTREGA - 11 Octubre de 2017 GRUPO DE LA ASIGNATURA– GRUPO 3 NOMBRE DEL PROFESOR– JUAN LEIVA

COMENTARIOS PREVIOS La metodología de resolución del presente trabajo, será: 

Primeramente, plantear todos los ítems a resolver.



Dar respuesta enumerando el ítem correspondiente.



Con fines prácticos, se incluirá en formato .JPG las actividades a realizar en la sección planteamiento formal del problema, puesto que solo se necesita de forma referencial y para orientar al profesor a corregir este trabajo.

PLANTEAMIENTO FORMAL DEL PROBLEMA

SOLUCION ITEM A ITEM

1. Como en el enunciado se dice que f(X,Y) es una función de clase C2, se concluye que f(X,Y) tiene sus derivadas parciales de orden 2 continuas. a) Escribiendo explícitamente la fórmula que permite aproximar el valor de 𝛛𝐟 𝛛𝐟

f(Xo+h,Yo+k) en términos de h, k, 𝛛𝐱 , 𝛛𝐲 se tiene que : FORMULA DE TAYLOR DE PRIMER ORDEN f (Xo+h,Yo+k) ≈ A + B + C

Dónde: A = f (Xo,Yo) B=

𝛛𝐟 𝛛𝐱

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡

𝛛𝐟

C= 𝛛𝐲 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤 𝛛𝐟

Quedando finalmente f (Xo+h,Yo+k) ≈ f(Xo,Yo) + 𝛛𝐱 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡 +

𝛛𝐟 𝛛𝐲

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤

FORMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN f (Xo+h,Yo+k) ≈ A + B + C + D

Donde: A = f (Xo,Yo) 𝛛𝐟

B=

𝛛𝐱

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡

𝛛𝐟

C = 𝛛𝐲 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤 𝟏

𝛛𝟐 𝐟

𝛛𝟐 𝐟

𝛛𝟐 𝐟

D= 𝟐 [ 𝛛𝐱𝟐 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝟐 + 𝟐 𝛛𝐱𝛛𝐲 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝐤 + 𝛛𝐲𝟐(Xo,Yo) 𝐤 𝟐 ] Quedando finalmente f (Xo,Yo) ≈ f(Xo,Yo) + 𝛛𝟐 𝐟

𝛛𝟐 𝐟

𝛛𝐟 𝛛𝐱

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡 +

𝟐 𝛛𝐱𝛛𝐲 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝐤 + 𝛛𝐲𝟐(Xo,Yo) 𝐤 𝟐 ]

𝛛𝐟

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤 + 𝛛𝐲

𝟏

𝛛𝟐 𝐟

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝟐 + [ 𝟐 𝛛𝐱 𝟐

FORMULA DE TAYLOR DE TERCER ORDEN f (Xo+h,Yo+k) ≈ A + B + C + D + E

Donde : A = f (Xo,Yo) 𝛛𝐟

B=

𝛛𝐱

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡

𝛛𝐟

C = 𝛛𝐲 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤 𝟏

𝛛𝟐 𝐟

𝟏

𝛛𝟑 𝐟

𝛛𝟐 𝐟

𝛛𝟐 𝐟

D= 𝟐 [ 𝛛𝐱𝟐 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝟐 + 𝟐 𝛛𝐱𝛛𝐲 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝐤 + 𝛛𝐲𝟐(Xo,Yo) 𝐤 𝟐 ] 𝛛𝟑 𝐟

𝛛𝟑 𝐟

E = 𝟔 [ 𝛛𝐱𝟑 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝟑 + 𝟑 𝛛𝐲𝛛𝐱𝛛𝐱 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡𝟐 𝐤 +3 𝛛𝐲𝛛𝐲𝛛𝐱(Xo,Yo)h𝐤 𝟐 + 𝛛𝟑 𝐟 𝛛𝐲 𝟑

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤 𝟑 ]

2. a) Situacionalmente se tiene la pila de arena de la forma

con r = 85 cm, h = 120 cm y que el volumen del casquete esférico que representa es

V=

𝒓𝟐 𝝅𝒉 𝟐

𝒉𝟑

+ 𝟔 𝝅 (1*)

Con ∆𝑟 = 0.425 , ∆ℎ = -0.864 respectivamente. Utilizando diferencial tenemos que

dV =

𝛛𝐕 𝛛𝐫

(𝒓, 𝒉) ∆𝑟 +

𝛛𝐕 𝛛𝐡

(𝒓, 𝒉) ∆ℎ

dV = r π h (∆𝒓) + 𝒓𝟐 𝒉𝟐 π (∆𝒉) (2*)

Reemplazando los valores en la ecuación anterior, se obtiene mediante excel los siguientes valores medidos en cm y cm3.

Un valor de dV= -18242.635008916 cm3 que representa que el volumen sufrió una disminución de 18242.3 cm3 aprox con la alteración que sufrió en términos de radio basal r y altura h. b) ahora bien, si ∆ℎ = 0.83 cm, y queremos que V = 272648459 pues

V (85,120)= 272648459 de ecuación (1*) 272648459 = r π h (∆𝒓) + 𝒓𝟐 𝒉𝟐 π (∆𝒉)

272648459 = (85) (3.141592654) (120) (∆𝑟) + (7225) (14400) (0.83)

∆𝒓= 42.5 Lo que representa que la variación aproximada del radio basal para que el volumen no se altere, debe ser en un aumento aproximado de 42.5 cm.

3. De la fórmula de taylor de primer orden 𝛛𝐟

f (Xo+h,Yo+k) ≈ f(Xo,Yo) + 𝛛𝐱 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡 +

𝛛𝐟 𝛛𝐲

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤

Se redefine adecuadamente la expresión de A, de tal manera que A= √7 sin(30,01) + 11 𝑐𝑜𝑠 2 (44,93) Sea de la forma A(x,y)= √7 sin(𝑥) + 11 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦), A(Xo+h,Yo+k) = √7 sin(𝑥 + ℎ) + 11 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦 + 𝑘)

Con x= 30, y=45, h= 0,01, k= -0,07 además definimos una función f(X,Y) tal que 𝛛𝐟

A(Xo+h,Yo+k) ≈ f(Xo,Yo) + 𝛛𝐱 (𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐡 +

Con f(x,y)= √7 sin(𝑥) + 11 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦) 𝛛𝐟

= 𝛛𝐱

𝟕𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝟐 √7 sin(𝑥)+11 𝑐𝑜𝑠2 (𝑦)

𝛛𝐟 𝛛𝐲

(𝐗𝐨, 𝐘𝐨)𝐤

𝛛𝐟

=

𝛛𝐲

−𝟐𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) 2 √7 sin(𝑥)+11 𝑐𝑜𝑠2 (𝑦)

Por tanto la aproximación de taylor de primer orden de A es

A≈ √7 sin(𝑥) + 11 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)+

𝟕𝒄𝒐𝒔 (𝒙)

(0,01)+

𝟐 √7 sin(𝑥)+11 𝑐𝑜𝑠2 (𝑦)

−𝟐𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) 2 √7 sin(𝑥)+11 𝑐𝑜𝑠2 (𝑦)

(-0,07)

Evaluando la aproximacion de taylor en f(30,45) y h= 0,01, k= -0,07

A≈ 3 +

𝟔.𝟎𝟔𝟐𝟏𝟕𝟕𝟖𝟐𝟕 𝟔

( 0,01) +

−𝟏𝟏 𝟔

(-0,07)

≈ 3,01010363 + 0,12833333 ≈ 3,138436963

Una vez encontrada la aproximación de taylor de 1er, obtendremos el valor real

A = √7 sin(30,01) + 11 𝑐𝑜𝑠 2 (44,93) A= 3,002415198