Calcolo Delle Probabilita_esami 2006-2001
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Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.2.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 1
Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria Binomiale, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo dia la definizione di covarianza di una coppia di variabili aleatorie, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 3 Il candidato enunci la legge debole dei grandi numeri ed eventualmente la dimostri. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.2.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 2
Esercizi
Esercizio 1 Nella repubblica di Bananas la probabilit`a di insolvenza nei confronti delle banche per imprese del settore terziario `e pari al 15%, mentre per imprese di altri settori `e pari al 9%. Le imprese del settore terziario sono il 32% del totale delle imprese di Bananas. 1. Calcolare la probabilit` a che un’impresa scelta a caso tra quelle del settore terziario non sia insolvente. Risposta: La probabilit` a cercata `e: 1 − 0.15 = 0.85. 2. Calcolare la probabilit` a che un’impresa scelta a caso tra tutte le imprese sia insolvente. Risposta: Per la formula delle probabilit` a totali la probabilit`a cercata `e: 0.15 · 0.32 + 0.09 · (1 − 0.32) = 0.1092. 3. Sapendo che l’impresa `e insolvente, calcolare la probabilit`a che appartenga al settore terziario. Risposta: Per la formula di Bayes la probabilit`a cercata `e: 0.15 · 0.32/0.1092 = 0.43956044.
2
Esercizio 2 Un calcolatore deve analizzare alcuni set di dati statistici. I set di dati vengono sottoposti al calcolatore sequenzialmente. Sia Tk il tempo necessario per analizzare il k-esimo set di dati, k = 1, 2, . . . e Sn := T1 + T2 + · · · + Tn il tempo necessario per analizzare n set di dati. Si pu` o assumere che le variabili aleatorie T1 , T2 , . . . siano variabili aleatorie esponenziali indipendenti di media 1/3 ms. 1. Calcolare il valore atteso e la deviazione standard del tempo impiegato dal calcolatore ad analizzare 3 × 103 set di dati. Risposta: E(S3000 ) = 103 ms = 1 s,
p
Var(S3000 ) =
q
1 3
× 103 ms ' 18.257 ms.
2. Calcolare “in modo approssimato” la probabilit`a che il tempo impiegato per analizzare 3×103 set di dati sia maggiore di 1.02 × 103 ms. Risposta: Per il teorema del limite centrale
P (S3000 > 1020) = P
S3000 − 1000 1020 − 1000 √ > √ ¯ 333.3 333.¯3
' 1−Φ(1.095) ' 1−0.8632 = 0.1367.
3. Quale `e “approssimativamente” il numero massimo di set di dati n (si assuma sempre n > 100) che si possono sottoporre al calcolatore se si vuole avere una probabilit`a pi` u piccola del 5% che il calcolatore impieghi pi` u di 103 ms per analizzarli? Risposta: Bisogna trovare il pi` u grande n > 100 tale che P (Sn > 1000) < 0.05. Per il teorema del limite centrale ! Sn − n3 1000 − n3 3000 − n pn > pn √ P (Sn > 1000) = P . '1−Φ n 9 9 Dobbiamo quindi richiedere che Φ il che avviene sicuramente se
3000 − n √ n
> 0.95,
3000 − n √ ≥ 1.65. n
Per risolvere questa disuguaglianza notiamo innanzi tutto che n < 3000. Poi elevando al quadrato entrambi i membri (cosa legittima dato che che 3000 − n > 0) otteniamo la disuguaglianza di secondo grado (3000 − n)2 ≥ (1.65)2 n o anche n2 − [6000 + (1.65)2 ]n + (3000)2 > 0 che pu` o essere risolta in modo standard ricordando che n < 3000. Con questa ulteriore richiesta otteniamo che i valori di n pi` u piccoli di 2910 soddisfano la richiesta.
3
Esercizio 3 Si consideri un vettore aleatorio (X, Y ) con densit`a continua ( x2 kxye− 2 se x > 0 e 0 < y < 1 fX,Y (x, y) = 0 altrove, dove k > 0 `e una costante da determinare. 1. Determinare il valore della costante k. Risposta: Abbiamo che
+∞
Z 1=k
xe
1
Z
2
− x2
dx
0
y dy = 0
k . 2
Ne segue che necessariamente k = 2. 2. Calcolare E(Y ) e Cov(X, Y ). Risposta: Si ha che Z
+∞
E(Y ) = 2
xe−
x2 2
1
Z
y 2 dy =
dx 0
0
2 . 3
Per la covarianza basta osservare che essendo fX,Y il prodotto di due funzioni, una dipendente solo da x, l’altra solo da y si ha che X ed Y sono indipendenti. Quindi necessariamente Cov(X, Y ) = 0. 3. Calcolare E(X). Risposta:
Z E(X) = 2
+∞
x e 0
Z
2
2 − x2
dx
1
Z y dy =
0
+∞
2
2 − x2
x e 0
4
1 dx = 2
Z
+∞
√ 2
2 − x2
x e −∞
dx =
2π . 2
Esercizio 4 Un algoritmo `e stato progettato per analizzare un certo database. L’algoritmo `e costituito da 2 test in sequenza. Il risultato di ogni test `e 0 o 1. Indichiamo Tk , k = 1, 2 il risultato del test k. Supponiamo che le variabili aleatorie T1 , T2 siano Bernoulli di parametro p indipendenti. L’output T dell’algoritmo sar`a 1 se almeno uno dei 2 test ha dato esito positivo, altrimenti sar` a 0. 1. Determinare la densit` a di T ed E(T ). Risposta: T `e una variabile aleatoria di Bernoulli. P (T = 0) = (1 − p)2 , quindi il suo parametro `e 1 − (1 − p)2 = p(2 − p) che coincide con il suo valore atteso. 2. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (T1 , T2 , T ). Risposta: Si ha pT1 ,T2 ,T (0, 0, 0) = (1 − p)2 , pT1 ,T2 ,T (0, 1, 1) = (1 − p)p, pT1 ,T2 ,T (1, 0, 1) = (1 − p)p, pT1 ,T2 ,T (1, 1, 1) = p2 . 3. Determinare Cov(T, T1 ) e Cov(T, T2 ). Risposta: Utilizziamo la formula Cov(T, T1 ) = E(T T1 ) − E(T ) E(T1 ). E(T T1 ) = P (T1 = 1, T = 1) = P (T1 = 1, T2 = 0, T = 1)+P (T1 = 1, T2 = 1, T = 1) = (1−p)p+p2 = p. Da cui segue che Cov(T, T1 ) = p − p2 (2 − p) = p(1 − p)2 = Cov(T, T2 ).
5
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 9.3.2006 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria esponenziale, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo enunci la formula delle probabilit`a totali con le necessarie ipotesi ed eventualmente la dimostri. Risposta:
D 3 Il candidato dia la definizione di vettore gaussiano bidimensionale e ne enunci alcune propriet` a, eventualmente dimostrandole. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 9.3.2006 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 Si considerino 2 urne. La prima urna contiene 2 biglie bianche e 2 nere mentre la seconda 1 biglie bianca e 3 nere. Si estrae una biglia alla volta reimmettendola dalla prima urna fino a quando non viene estratta una biglia nera. Sia X il numero di biglie, compresa l’ultima, necessarie ad estrarne una nera (ad esempio X = 1 se la prima biglia estratta `e nera, X = 2 se la prima biglia estratta `e bianca e la seconda `e nera etc.). Si ripete il medesimo procedimento con la seconda urna. Sia Y il numero di biglie, compresa l’ultima, necessarie ad estrarne una nera 1. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (X, Y ). Risposta: X ed Y sono variabili aleatorie geometriche indipendenti di parametri 1/2 e 3/4. 2. Calcolare la probabilit` a che X = Y = 3 Risposta:
P (X = Y = 3) = P (X = 3)P (Y = 3) =
1 2
1−
1 2
3−1
3 4
1−
3 4
3−1 =
3 ' 0.0059. 512
3. Calcolare la probabilit` a che X 6= Y Risposta:
k−1 k−1 +∞ X X 1 1 3 3 P (X = 6 Y ) = 1−P (X = Y ) = 1− P (X = Y = k) = 1− 1− 1− = 2 2 4 4 k k=1 +∞ k−1 3X 1 3 1 4 =1− · = ' 0.57143 =1− 8 8 8 1 − 18 7 k=1
2
Esercizio 2 Un generatore di numeri casuali genera una successione X1 , X2 , . . . di variabili aleatorie indipendenti uniformi in [0, 1]. Vengono generate 100 variabili aleatorie. 1. Calcolare
100 X
P
! Xk ≤ 45
k=1
Risposta:
P
100 X
! Xk ≤ 45
P100 X − 50 45 − 50 k ' q ≤ q = P k=1
100 12
k=1
100 12
√ ' Φ(− 3) ' 1 − Φ(1.73) ' 1 − 0.9582 ' 0.0418.
2. Sia Yk = 1(Xk ≤ 1/50), k = 1, 2, . . . . Determinare la densit`a di Y := Var(Y ).
P100
k=1
Yk , E(Y ) e
Risposta: Le Yk , k = 1, 2, . . . sono v.a. i.i.d. bernoulliane di media 1/50, quindi Y `e binomiale di parametri 100, 1/50 la sua media `e 2 e la sua varianza `e 49/25 = 1.96. 3. Calcolare la probabilit` a che esattamente 2 tra le variabili X1 , . . . , X100 siano pi` u piccole di 1/50. Risposta: La probabilit` a cercata `e
P
100 X k=1
! Yk = 2
=
100 2
1 50
2
1 1− 50
100−2 '
22 −2 e ' 0.27, 2!
dove si `e utilizzata l’approssimazione poissoniana della binomiale.
3
Esercizio 3 Due sacchi di mele sono apparentemente identici ma il primo contiene 2 mele marce e 8 mele buone mentre il secondo ne contiene 6 marce e 4 buone. Viene scelto a caso un sacco e se ne estrae una mela, la si esamina e, senza reinserirla, dallo stesso sacco se ne estrae una seconda. 1. Calcolare la probabilit` a che la prima mela estratta sia marcia. Risposta: Per la formula delle probabilit` a totali la probabilit`a cercata `e: P (I marcia) =
1 1 1 3 2 · + · = = 0.4. 2 5 2 5 5
2. Sapendo che la prima mela estratta `e marcia calcolare la probabilit`a che provenga dal secondo sacco. Risposta: Per la formula di Bayes P (II sacco|I mela marcia) =
1 2
· 2 5
3 5
=
3 = 0.75. 4
3. Sapendo che la prima mela estratta `e marcia calcolare la probabilit`a che anche la seconda lo sia. Risposta: Per la formula delle probabilit` a totali: P (I e II marce) = P (I marcia) P (I e II marce|I sacco)P (I sacco) + P (I e II marce|II sacco)P (II sacco) = = P (I marcia) (62) 1 1 1 10 · 2 + 10 · 2 4 ( ) (2) = 2 = = 0.¯4. 2 9 5
P (II marcia|I marcia) =
4
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio continuo con densit`a ( k(x + y)2 se x, y ∈ [0, 1] fX,Y (x, y) := 0 altrove, dove k > 0 `e una costante da determinare. 1. Determinare k > 0. Risposta: ZZ
(x + y)2 dx dy =
7 , 6
quindi k = 6/7. 2. Determinare le densit` a marginali fX (x) e fY (y) e discutere l’indipendenza di X ed Y . Risposta: 6 fX (x) = 1(y ∈ [0, 1]) 7 Per simmetria:
1
Z
1 6 2 (x + y) dy = 1(y ∈ [0, 1]) x + x + . 7 3 2
0
1 6 2 . fY (y) = 1(x ∈ [0, 1]) y + y + 7 3
Poich´e fX,Y 6≡ fX fY , X ed Y sono variabili aleatorie dipendenti. 3. Calcolare P (X > 2Y ) Risposta: 6 P (X > 2Y ) = 7
Z
1
x 2
Z dx
0
0
5
dy (x + y)2 =
19 ' 0.169643 112
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 3.7.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 1
Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria di Poisson, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo enunci la definizione di indipendenza di 3 eventi, eventualmente enunci la definizione di indipendenza di n eventi. Risposta:
D 3 L’allievo enunci il teorema del limite centrale ed eventualmente ne fornisca qualche esempio di applicazione. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 3.7.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 2
Esercizi
Esercizio 1 La densit` a di un vettore aleatorio discreto (X1 , X2 ) `e data da: ( 1 eβx1 x2 se x1 , x2 ∈ {−1, 1} P (X1 = x1 , X2 = x2 ) := Z(β) 0 altrimenti, dove β > 0 `e un parametro e Z(β) := 2e2β + 2e−2β = 4 cosh(2β). 1. Calcolare P (X1 = x1 ) e P (X2 = x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ {−1, 1}. Risposta: Si noti che: P (X1 = x1 , X2 = x2 ) = P (X1 = −x1 , X2 = −x2 ). Quindi per ragioni di simmetria P (X1 = −1) = P (X1 = 1) = 1/2 = P (X2 = −1) = P (X2 = 1). Alternativamente si poteva arrivare al medesimo risultato mediante il calcolo diretto. 2. Calcolare E[X1 ] ed E[X2 ]. Risposta: Per il punto precedente o direttamente perch´e P (X1 = x1 , X2 = x2 ) = P (X1 = −x1 , X2 = −x2 ) si ha E[X1 ] = E[X2 ] = 0. 3. Calcolare Cov(X1 , X2 ). Risposta: Poich´e E[X1 ] = 0, Cov(X1 , X2 ) = E[X1 X2 ]. P (X1 X2 = −1) = P (X1 = −1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = −1) =
2e−2β . 2e2β + 2e−2β
Mentre P (X1 X2 = 1) = P (X1 = −1, X2 = −1) + P (X1 = 1, X2 = 1) = Ne segue che Cov(X1 , X2 ) = tanh(2β).
2
2e2β . 2e2β + 2e−2β
Esercizio 2 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio uniforme nel quadrato [−1, 1] × [−1, 1] e ( 1 se x, y ∈ [−1, 1] fX,Y (x, y) := 4 0 altrove, la sua densit` a. Sia R :=
√
X 2 + Y 2 la distanza di (X, Y ) da (0, 0).
1. Calcolare E[R2 ] e Var[R2 ]. Risposta: 1 E[R ] = E[X + Y ] = 4 2
2
2
4
2
Z
1
Z
1
1 dx dy (x + y ) = 2 −1 −1 2
2
Z
1
Z
1
dx −1
dy x2 =
−1
2 . 3
2 2
Var[R ] = E[R ] − E[R ] , E[R4 ] =
1 4
Z
1
Z
1
−1
1 2
dy (x2 + y 2 )2 =
dx −1
Z
1
Z
1
dx −1
dy (x4 + x2 y 2 ) =
−1
Ne segue Var[R2 ] = 8/45. 2. Calcolare P (R ≤ 1). Risposta: P (R ≤ 1) =
1 4√
ZZ dx dy =
π . 4
x2 +y 2 ≤1
3. Calcolare per ogni r ≥ 0 la probabilit`a condizionata P (R ≤ r|R ≤ 1). Risposta: Si ha P (R ≤ r|R ≤ 1) = Ma P (R ≤ r ∧ 1) =
P (R ≤ r ∧ 1) P (R ≤ r, R ≤ 1) = P (R ≤ 1) P (R ≤ 1) 1 4√
ZZ dx dy = x2 +y 2 ≤(r∧1)
Ne segue che P (R ≤ r|R ≤ 1) = r2 ∧ 1.
3
π (r ∧ 1)2 . 4
2 2 + . 5 9
Esercizio 3 Un mazzo di 52 carte francesi `e distribuito tra 4 giocatori in modo tale che ciascun giocatore ne riceva 13. 1. Calcolare la probabilit` a che 3 dei 4 giocatori non ricevano assi. Risposta: Se 3 dei quattro giocatori non riceve assi significa 52 che solo uno ne riceve 4. La probabilit`a a cercata `e che un fissato giocatore riceva 4 assi `e 52−4 13−4 / 13 , quindi la probabilit` 4
52−4 13−4 52 13
=
44 ' 0.011. 4165
2. Calcolare la probabilit` a che ciascun giocatore riceva un asso. Risposta: I modi di distribuire le 52 carte tra i quattro giocatori sono: 52 52 − 13 52 − 13 − 13 52! = . 13 13 13 (13!)4 Ci sono poi 4! modi di distribuire gli assi tra i 4 giocatori e le rimanenti 52 − 4 = 48 carte possono essere distribuite tra i 4 giocatori in
48 12
48 − 12 12
48 − 12 − 12 12
=
48! . (12!)4
modi. In definitiva la probabilit` a cercata `e: 48! 4! · · 52!
13! 12!
4 ' 0.105.
3. Calcolare la probabilit` a che 2 delle 4 persone non ricevano assi. Risposta: Ci sono 42 = 6 modi di scegliere le persone che non ricevono gli assi. I modi di dare carte a queste 2 persone sono 48! 52 − 4 52 − 13 − 4 . = (13!)2 22! 13 13 I modi di dare carte alle rimanenti 2 sono: 52 − 13 − 13 26! = . 13 (13!)2 In definitiva la probabilit` a cercata `e 6·
26! 48! (13!)2 22! · (13!)2 52! (13!)4
4
=
276 ' 0.331 833
Esercizio 4 Due silos, detti silos A e silos B, contengono semi di soia. Un millesimo dei semi di soia contenuti nel silos A `e transgenico, mentre un decimo di quelli contenuti nel silos B lo `e. Vengono prelevati 2 campioni di 103 semi dai 2 silos. Si assuma che il numero di semi contenuti in ciascun silos sia molto maggiore di 103 (in pratica infinito). 1. Calcolare, in modo approssimato, la probabilit`a che nel campione prelevato dal silos A ci siano pi` u (in senso stretto, cio`e “>”) di 2 semi transgenici. Risposta: Sia Xk = 1 se il k–esimo seme `e transgenico altrimenti Xk = 0. Si pu`o assumere che X1 , X2 , . . . , X103 siano variabili aleatorie indipendenti bernoulliane di parametro 10−3 . Il P103 numero totale di semi transgenici nel campione `e k=1 Xk che risulta essere una binomiale di parametri 103 , 10−3 . Usando l’approssimazione poissoniana della binomiale otteniamo: 3 3 0 10 10 X X 11 12 5 1 + + e−1 = 1 − e−1 ' 0.080. P Xk > 2 = 1 − P Xk ≤ 2 ' 1 − 0! 1! 2! 2 k=1
k=1
2. Calcolare, in modo approssimato, la probabilit`a che nel campione prelevato dal silos B ci siano pi` u (in senso stretto, cio`e “>”) di 120 semi transgenici. Risposta: Sia Yk = 1 se il k–esimo seme `e transgenico altrimenti Yk = 0. Si pu`o assumere che Y1 , Y2 , . . . , Y103 siano variabili aleatorie indipendenti bernoulliane di parametro 10−1 . Il P103 numero totale di semi transgenici nel campione `e k=1 Yk che risulta essere una binomiale di parametri 103 , 10−1 . Usando il teorema limite centrale otteniamo: P
3
10 X
Yk > 120 = 1 − P
3
10 X
Yk ≤ 120 '
k=1
k=1
'1−Φ
√
120 − 103 · 10−1 103 · 10−1 · 9 · 10−1
' 1 − Φ(2.11) ' 1 − 0.9826 = 0.0174.
3. Supponiamo ora di scegliere a caso uno dei due silos e di prelevare da esso un seme alla volta. Analizziamo ogni seme prelevato. Supponiamo che il primo seme transgenico che troviamo sia il decimo. Calcolare la probabilit`a (condizionata) che questo seme provenga dal silos A. Risposta: Sia E l’evento “il primo seme transgenico che troviamo `e il decimo”, A l’evento “scelgo il silos A” e B l’evento “scelgo il silos B”. La probabilit`a richiesta `e P (A|E). Per la formula di Bayes P (E|A)P (A) . P (A|E) = P (E|A)P (A) + P (E|B)P (B) In questa formula P (A) = P (B) = 1/2, P (E|A) = (1 − 10−3 )9 10−3 e P (E|B) = (1 − 10−1 )9 10−1 . Effettuando il conto si ottiene: P (A|E) ' 0.025.
5
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.9.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 1
Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di densit`a e di funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua. Illustri i legami che esistono tra queste funzioni eventualmente con qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo dia la definizione di funzione generatrice dei momenti e ne illustri le principali propriet` a eventualmente fornendo qualche dimostrazione. Risposta:
D 3 L’allievo enunci la legge dei grandi numeri eventualmente dimostrandola. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.9.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 2
Esercizi
Esercizio 1 Siano assegnate due urne A e B. A contiene 6 palline di cui una numerata 1, due numerate 2 e tre numerate 3 e B contiene 9 palline di cui quattro numerate 4 e cinque numerate 5. Viene lanciato un dado regolare: se esce un numero pari, si estrae una pallina dall’urna A, altrimenti si estrae una pallina dall’urna B. 1. Calcolare la probabilit` a di estrarre una pallina numerata con un numero pari. Risposta: Sia E l’evento “viene estratta una pallina con un numero pari”, A e B gli eventi “il dado mostra un numero pari” e “il dado mostra un numero dispari” rispettivamente. Allora P (E|A) = 1/3 mentre P (E|B) = 4/9, quindi per la formula delle probabilit`a totali: P (E) = P (E|A)P (A) + P (E|B)P (B) =
7 1 1 4 1 · + · = ' 0.3¯8 3 2 9 2 18
2. Sapendo che `e stata estratta una pallina con un numero pari, calcolare la probabilit`a che sul dado sia uscito un numero pari. Risposta: Per la formula di Bayes: P (A|E) =
P (E|A)P (A) 3 = ' 0.429 P (E) 7
3. Sia X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero della pallina estratta. Determinare e riconoscere la densit` a di Y := [(−1)X + 1]/2. Risposta: Si noti che Y assume il valore 0 se X `e dispari e il valore 1 se X `e pari. Ne segue che Y `e una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro p = 7/18.
2
Esercizio 2 L’istante d’arrivo dell’autobus delle 10 `e uniformemente distribuito tra le 10:00 e le 10:10. Un passeggero arriva alla fermata alle 10:00. 1. Calcolare la probabilit` a che il passeggero debba attendere pi` u di 5 minuti. Risposta: Sia T il tempo di attesa dell’autobus. Per ipotesi T ∼ U[0, 10], quindi P (T > 5) = 1/2. 2. Sapendo che l’autobus ancora non `e passato alle 10:05 calcolare la probabilit`a che il passeggero debba attenderlo almeno altri 3 minuti. Risposta: Dalla definizione di probabilit` a condizionata:
P (T > 8|T > 5) =
P (T > 8, T > 5) P (T > 8) 1 − P (T ≤ 8) = = = 2[1−8/10] = 2/5 = 0.4 P (T > 5) P (T > 5) P (T > 5)
3. Se il passeggero si reca alla fermata per prendere l’autobus delle 10 per 100 giorni, supponendo che i ritardi dell’autobus in giorni differenti siano indipendenti, calcolare la probabilit`a che il tempo totale che attende sia maggiore di 550 minuti. Risposta: Siano T1 , . . . , T100 i tempi attesi nei giorni 1, . . . , 100. Il tempo totale atteso `e S := T1 + · · · + T100 . Si ha che E[Tk ] = 5 mentre Var[Tk ] = 102 /12 Per il teorema del limite centrale P (S > 550) = √ 550 − 500 = 1 − Φ( 3) ' 1 − Φ(1.73) ' 1 − 0.9582 = = 1 − P (S ≤ 550) ' 1 − Φ q 1 1002 · 12
= 0.0418.
3
Esercizio 3 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio discreto con densit`a data da X \Y 0 1 2
1. Quanto vale P X −
Y 2
-2 0.12 0.24 0
0 0.12 0.24 0.09
2 0.1 0 0.09
=0 ?
Risposta: X−
Y 2
= 0 se e solo se X = 0 e Y = 0 oppure X = 1 e Y = 2. Ne segue che Y = 0 = 0.12 + 0 = 0.12 P X− 2
2. Determinare E(X) e Var(X). Risposta: P (X = 1) = 0.48 mentre P (X = 2) = 0.18. Quindi E[X] = 0.48 + 2 · 0.18 = 0.84, E[X 2 ] = 0.48 + 4 · 0.18 = 1.2 e Var(X) = 1.2 − 0.842 = 0.494. 3. Determinare Cov(X, Y ). X, Y sono indipendenti? Risposta: E[XY ] = −2 · 0.24 + 4 · 0.09 = −0.12. P (Y = −2) = 0.36, P (Y = 2) = 0.19, Quindi E[Y ] = −0.34. Ne segue che: Cov(X, Y ) = −0.12 − 0.84 · (−0.34) = −0.4056, cio`e X ed Y sono correlate e quindi non possono essere indipendenti.
4
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio di densit`a fX,Y (x, y) = 1(x ∈ (0, 1), y ∈ (0, +∞))
ex−y . e−1
1. Calcolare le densit` a marginali di X ed Y . Risposta: fX (x) = 1(x ∈ (0, 1))
ex e−1
fY (y) = 1(y ∈ (0, +∞))e−y
2. Calcolare Cov(X, Y ). Risposta: Dal punto precedente si vede che X ed Y sono indipendenti, quindi Cov(X, Y ) = 0. 3. Calcolare P (X < Y ). Risposta: ZZ P (X < Y ) =
1 fX,Y (x, y) dx dy = e−1
x
5
Z
1
dx e 0
x
Z
+∞
x
dy e−y =
1 ' 0.582 e−1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 26.11.2004 Nome: Cognome: Matricola: I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito.
1
Domande di teoria
. Domanda 1.1 Il candidato enunci la definzione di densit` a discreta di una variabile aleatoria e ne fornisca qualche esempio esplicito. Inoltre enunci qualche propriet`a generale della densit`a discreta ed eventualmente la dimostri. Risposta:
Domanda 1.2 Il candidato enunci la formula delle probabilit` a totali con le corrette ipotesi ed eventualemte la dimostri. Risposta:
Domanda 1.3 Il candidato dia la definzione di variabile aleatoria gaussiana (o normale) standard e dica quali sono la sua media e la sua varianza. Inoltre dia la definzione di variabile aleatoria gaussiana (o normale) e ne calcoli la media e la varianza. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit` a G. Posta 26.11.2004 Nome: Cognome: Matricola: I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito.
2
Esercizi
Esercizio 1 Un dado bilanciato viene lanciato ripetutamente. 1. Calcolare la probabilit` a che dopo 5 lanci non sia ancora uscito un numero maggiore o uguale a 5. Risposta: La probabilit` a che esca un numero maggiore od uguale a 5 `e 1/3, quindi se X `e il numero di lanci necessari per vedere un numero maggiore o uguale a 5 si ha che X `e geometrica di parametro 1/3: P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 −
" #k−1 5 ! 1 2 32 = . 3 3 243 k=1
2. Calcolare la probabilit` a che siano necessari esattamente 3 lanci per osservare 2 volte numeri maggiori o uguali a 5. Risposta: Chiaramente “sono necessari esattamente 3 lanci per osservare 2 volte numeri maggiori o uguali a 5” se e solo se “tra i primi due lanci c’`e esattamente un numero maggiore od uguale a 5” e “l’ultimo lancio `e un numero maggiore od uguale a 5”. Da qui segue che la probabilit`a cercata `e 2(1/3)(2/3)(1/3) = 4/27.
3. Calcolare la probabilit` a che su 300 lanci siano usciti meno di 90 numeri maggiori o uguali a 5. Risposta: Sia Y il numero di numeri maggiori o uguali a 5 che si ottengono lanciando il dado 300 volte. Allora Y `e binomiale 300, 1/3 e per il teorema del limite centrale
89.5 − 100 # Φ(−1.286) = 1 − Φ(1.286) # 0.1093 P (Y < 90) = P (Y ≤ 89.5) # Φ & 200 3
2
Esercizio 2 Un’urna contiene 4 biglie bianche e 2 biglie rosse. Si pesca una biglia dall’urna, se questa `e bianca la si butta via e se ne pesca una seconda, se questa `e rossa la si reimmette nell’urna e se ne pesca una seconda. 1. Calcolare la probabilit` a che la seconda biglia pescata sia rossa Risposta: Ri := “la i-esima biglia pescata `e rossa”. Allora P (R2 ) = P (R2 |R1 )P (R1 ) + P (R2 |R1c )P (R1c ) =
1 1 2 2 17 · + · = . 3 3 5 3 45
2. Calcolare la probabilit` a che la prima biglia sia bianca sapendo che la seconda `e rossa. Risposta: P (R1c |R2 ) =
P (R2 |R1c )P (R1c ) = P (R2 )
2 5
·
17 45
2 3
=
12 17
3. Calcolare la probabilit` a che la prima biglia e la seconda biglia siano dello stesso colore. Risposta: La probabilit` a cercata `e P ((R1 ∩ R2 ) ∪ (R1c ∩ R2c )) = P (R1 ∩ R2 ) + P (R1c ∩ R2c ). Si ha che P (R1 ∩R2 ) = P (R2 |R1 )P (R1 ) = (1/3)·(1/3) = 1/9 mentre P (R1c ∩R2c ) = P (R2c |R1c )P (R1c ) = (3/5) · (2/3) = 2/5, quindi P ((R1 ∩ R2 ) ∪ (R1c ∩ R2c )) = 23/45. 3
Esercizio 3 Sia fX,Y (x, y) =
)
2 16 √ ye−x π
se x > 0 e 0 < y < 1/2
0
altrove.
1. Calcolare le densit`a marginali di X ed Y e Cov(X, Y ). Risposta: 2
fX (x) = 1(x > 0)2π −1/2 e−x e fY (y) = 1(0 < y < 1/2)8y. Poich´e fX,Y = fX fY segue che X ed Y sono indipendenti e quindi scorrelate. Cio`e Cov(X, Y ) = 0.
2. Calcolare E(X) e Var(X). Risposta: E(X) =
*
+∞
2 2x 1 √ e−x dx = √ π π
+∞
2 x2 √ e−x = π
0
e E(X 2 ) =
*
+∞
0
da cui Var(X) =
1 2
2x2 −x2 √ e = π
*
−∞
*
+∞
−∞
− π1 .
3. Calcolare P (Y > 1/4). Risposta: P (Y > 1/4) =
*
1/2
1/4
4
8y dy =
3 . 4
2
− x1 2x2 1 & e 2· 2 = 2 1 2π · 2
Esercizio 4 Sia X = (X1 , X2 )t un vettore gaussiano di media µ = (1/2, 1/3)t e matrice di covarianza " # 5 11 C= 11 25 1. Determinare la densit`a di X1 . Risposta: X1 ∼ N (1/2, 5).
2. Calcolare P (−14/3 < X2 ≤ 16/3). Risposta:
X2 ∼ N (1/3, 25), quindi P (−14/3 < X2 ≤ 16/3) = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 = 0.6826.
3. Siano Y1 = X2 − 2X1 + 2/3 e Y2 = (3/2)X1 − (1/2)X2 − 7/12. Calcolare Cov(Y1 , Y2 ) e dire se Y1 e Y2 sono indipendenti. Risposta: Abbiamo che
"
Y1 Y2
#
=
"
#" # " # −2 1 X1 2/3 + 3/2 −1/2 X2 −7/12
quindi la matrice di covarianza di (Y1 , Y2 )t `e "
#" #" #t " −2 1 5 11 −2 1 1 = 0 3/2 −1/2 11 25 3/2 −1/2
e Y1 e Y2 sono indipendenti.
5
# 0 , 1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 25.2.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di varianza di una variabile aleatoria e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 2 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria di Poisson e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 3 Dato uno spazio di probabilit` a (Ω, F, P ), dire quando 3 eventi A, B, C ∈ F sono indipendenti ed eventualmente dare la definzione di indipendenza per una famiglia finita A1 , . . . , An ∈ F di eventi.
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 25.2.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 Consideriamo un mazzo di 40 carte suddivise in 4 classi (detti “semi”) ciascuna contenente 10 carte numerate da 1 a 10. Ogni mano servita `e formata da cinque carte estratte dal mazzo. 1. Calcolare la probabilit` a di ricevere una mano che contiene i numeri 6,7,8,9,10. Risposta: Ognimano `e un insieme di 5 carte scelte a caso dal mazzo e il numero totale di mani possibili `e 40 a 5 . Tutte le possibili mani sono ugualmente probabili, quindi ogni mano ha probabilit` 40 5 1/ 5 . Le mani contenenti i cinque numeri distinti 6,7,8,9,10 sono in totale 4 = 1024 da cui segue che la probabilit` a cercata vale 1024 128 1024 40 = 658008 = 82251 ' 0.00156. 5 2. Calcolare la probabilit` a di ricevere una mano che contiene cinque numeri distinti. Risposta: I cinque numeri distinti possono essere scelti da un insieme di 10 in 10 5 = 252 modi diversi. Fissata una qualunque cinquina di numeri distinti, la probabilit`a di ricevere una mano con a cercata quei numeri `e pari a 1024/ 40 5 , come si deduce dal punto 1. Segue che la probabilit` vale 10 128 5 · 1024 = 252 · ' 0.3922. 40 82251 5 3. Vengono servite 300 mani. Calcolare in modo approssimato la probabilit`a di ricevere almeno 130 mani costituite da cinque numeri distinti. Risposta: Stiamo ripetendo n = 300 prove di Bernoulli di parametro p = 252 · 128/82251 ' 0.3922: n(1 − p) > np = 117.68 `e anche esso grande. La variabile aleatoria Y = “numero di mani su 300 costituite ciascuna da cinque numeri distinti” `e Bin(300, 0.3922), che, in virt` u del teorema centrale del limite, approssimiamo con la fdr gaussiana di media 117.68 e varianza np(1 − p) = 71.51892. Usando la correzione di continuit`a, un valore approssimato della probabilit` a richiesta `e 129.5 − 117.68 √ P (Y ≥ 130) = 1−P (Y ≤ 129) ' 1−Φ ' 1−Φ(1.398) ' 1−0.91880 = 0.0812. 71.51892
2
Esercizio 2 All’ufficio catastale della citt`a xxx le mappe si possono visionare agli sportelli A e B. Il tempo di servizio dello sportello A espresso in minuti `e una variabile aleatoria esponenziale di parametro 0.2 mentre quello dello sportello B `e una variabile aleatoria esponenziale di parametro 0.5. Supponiamo che i due sportelli siano entrambi liberi nel momento in cui Giovanni varca la soglia dell’ufficio e che egli scelga a caso fra i due. 1. Calcolare la probabilit` a che Giovanni impieghi pi` u di 10 minuti per visionare una mappa se sceglie lo sportello A. Risposta: Introduciamo la variable aleatoria T che misura il tempo che Giovanni impiega per visionare una mappa ed A e B gli eventi rispettivamente “Giovanni sceglie lo sportello A” e “Giovanni sceglie lo sportello B”. Si ha Z +∞ P (T > 10|A) = 0.2e−0.2t dt = e−2 ' 0.1353. 10
2. Calcolare la probabilit` a che Giovanni impieghi pi` u di 10 minuti per visionare una mappa. Risposta: P (T > 10) = P (T > 10|A)P (A) + P (T > 10|B)P (B) =
1 −2 [e + e−5 ] ' 0.07104. 2
3. Se Giovanni ha impiegato meno di 10 minuti, qual `e la probabilit`a che abbia scelto lo sportello A? Risposta: P (A|T < 10) =
P (T < 10|A)P (A) 1 − e−2 = ' 0.4654. P (T < 10) 2 − e−2 − e−5
3
Esercizio 3 Si consideri il vettore aleatorio (X, Y ) che ha la seguente densit`a congiunta: −2 0 4/36 1/36
X \Y −2 1 3
0 2/36 1/36 26/36
2 1/36 0 1/36
1. Calcolare la covarianza delle variabili aleatorie X ed Y . Risposta: 83 11 1 = ' 0.0509 Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y ) = − + 3 216 216 in quanto: E(X) =
X
E(Y ) =
X
E(XY ) =
X
xpXY (x, y) = −2
x,y
ypXY (x, y) = −2
x,y
2 1 + 36 36
4 1 + 36 36
xypXY (x, y) = −2 · 2
x,y
+1 +2
4 1 + 36 36
1 1 + 36 36
+3 =−
1 26 1 + + 36 36 36
6 1 =− 36 6
1 4 1 1 1 + 1 · (−2) + 3 · (−2) + 3 · 2 =− 36 36 36 36 3
2. Stabilire se X, Y sono indipendenti. Risposta: 3. Poich´e Cov(X, Y ) 6= 0, concludiamo che X e Y non sono indipendenti. 4. Calcolare P (X > −2, Y < 0). Risposta: P (X > −2, Y < 0) = pXY (1, −2) + pXY (3, −2) =
4
4 1 5 + = 36 36 36
=
83 36
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio assolutamente continuo con densit`a data da ( c(x + y) se 0 < x < 1 e 0 < y < 1 fX,Y (x, y) 0 altrove. 1. Determinare il valore di c. Risposta: Z
1
Z
1
dy 0
dx (x + y) = 1 0
quindi c = 1. 2. Determinare le marginali fX ed fY e dire se X ed Y sono indipendenti o meno. Risposta: fX (x) = 1(x ∈ (0, 1))
1 +x 2
fY (y) = 1(y ∈ (0, 1))
1 +y . 2
X ed Y non sono indipendenti. 3. Calcolare P (X > Y ). Risposta: ZZ P (X > Y ) =
Z dx dy fX,Y (x, y) =
x>y
1
Z dx
0
x
dy (x + y) = 0
Alla medesima conclusione si poteva arrivare ragionando sulla simmetria.
5
1 . 2
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 20.7.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 2 L’allievo dia la definizione di variabile esponenziale e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 3 Sia (Ω, F, P ) uno spazio di probabilit`a e A, B ∈ F eventi disgiunti, cio`e tali che A ∩ B = ∅. In che caso A e B sono indipendenti? Eventualmente dimostrare quanto affermato.
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 20.7.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 I privilegi che un utente di un sistema UNIX ha su un suo file sono di tre tipi: r=“lettura”, w=“scrittura”, x=“esecuzione”. Supponiamo che i privilegi di un certo file siano assegnati casualmente e sia (R, W, X) il vettore aleatorio che indica lo stato del file. Un “1” significa che l’utente ha ha quel privilegio mentre uno “0” significa il contrario. Ad esempio (1, 1, 1) indica che l’utente ha possibilit` a di lettura scrittura ed esecuzione su quel file, mentre (0, 1, 1) indica che l’utente non pu` o leggere ma pu` o scrivere ed eseguire quel file. In questo esercizio supporremo che R, W ed X siano variabili aleatorie di Bernoulli indipendenti tutte con lo stesso parametro p ∈ (0, 1). 1. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (R, W, X). Risposta: pR W
X (r, w, x)
= pr+w+x (1 − p)3−r−w−x 1(r, w, x ∈ {0, 1})
2. Sia S := 4R + 2W + 1X. Determinare la densit`a di S. Risposta: 3 se s = 0 (1 − p) 2 p(1 − p) se s ∈ {4, 2, 1} pS (s) = p2 (1 − p) se s ∈ {6, 5, 3} p3 se s = 7 0 altrimenti. 3. Determinare Cov(S, R). Risposta: Cov(S, R) = 4 Cov(R, R) + 2 Cov(W, R) + Cov(X, R) = 4 Var[R] = 4p(1 − p).
2
Esercizio 2 Siano date 3 urne: A, B e C. Ognuna contiene 1023 biglie. Il 50% delle biglie contenute in A `e nero mentre le rimanenti sono bianche. Il 40% delle biglie contenute in B e C `e nero mentre le rimanenti sono bianche. Viene scelta a caso una delle 3 urne e da essa si estraggono 106 biglie. 1. Calcolare la probabilit` a che il numero di biglie nere estratte sia maggiore del numero di biglie bianche. Risposta: Sia A l’evento “viene scelta l’urna A” ed N la variabile aleatoria “numero di biglie nere estratte”. Per il teorema limite centrale N ∼ N (0.5 × 106 , 0.25 × 1012 ) se si estrae dall’urna A mentre N ∼ N (0.4×106 , 0.24×1012 ) se si estrae da B o da C. Allora P (N > 0.5×106 |A) ' 1/2 mentre √ P (N > 0.5 × 106 |Ac ) ' 1 − Φ((0.5 − 0.4)/ 0.24) ' 1 − Φ(0.20) ' 1 − 0.5793 ' 0.4207. Quindi P (N > 0.5 × 106 ) = P (N > 0.5 × 106 |A)P (A) + P (N > 0.5 × 106 |Ac )P (Ac ) ' 0.447. 2. Supponendo che venga scelta l’urna A calcolare la probabilit`a che il numero X di biglie da essa sia compreso tra 0.5 × 106 e 0.6 × 106 . Risposta: √ P (0.5 × 106 < N < 0.6 × 106 |A) ' Φ((0.6 − 0.5)/ 0.25) − 0.5 ' 0.5793 − 0.5 = 0.0793. 3. Se si sono estratte pi` u biglie nere che bianche calcolare la probabilit`a che esse provengano dall’urna A. Risposta:
P (A|N > 0.5 × 106 ) = P (N > 0.5 × 106 |A) ·
3
P (A) 0.5 · 0.3¯ ' ' 0.373. 6 P (N > 0.5 × 10 ) 0.447
Esercizio 3 In una stanza ci sono 7 persone. 1. Calcolare la probabilit` a che le 7 persone siano nate in giorni della settimana differenti. Risposta: 7!/77 = 720/117649 ' 0.0061 2. Calcolare la probabilit` a che esattamente 2 persone siano nate di domenica. Risposta: 5 7 7 2 · 6 /7 = 9375/117649 ' 0.1983 3. Sia X il numero di persone che sono nate il sabato o la domenica. Calcolare E[X]. Risposta: Sia Xk , k = 1, . . . , 7 la variabile aleatoria che vale 1 se la k-esima persona `e nata il sabato o la domenica 0 altrimenti. Le variabili aleatorie Xk sono tutte variabili aleatorie di Bernoulli di parametro 2/7 e ovviamente X = X1 + · · · + X7 . Quindi E[X] = 7 E[X1 ] = 2.
4
Esercizio 4 Un canale di trasmissione `e costituito da un trasmettitore τ e da un ricevitore ρ. All’istante iniziale (t = 0) ρ e τ vengono accesi. ρ rimane funzionante fino all’istante aleatorio Tρ in cui esso si guasta. Dopo l’istante Tρ il ricevitore non pu`o pi` u ricevere segnali. Si suppone che Tρ sia una variabile aleatoria esponenziale di parametro λρ = 0.5 × 10−1 s−1 . Il trasmettitore τ pu`o emettere segnali a partire dall’istante t = 0. Sia Tτ l’istante in cui viene emesso il primo segnale. Supponiamo che Tτ sia una variabile aleatoria esponenziale di parametro λτ = 1×10−1 s−1 indipendente da Tρ e chiamiamo X la variabile aleatoria che vale 1 se il primo segnale trasmesso da τ viene ricevuto da ρ e 0 in caso contrario. 1. Calcolare la probabilit` a p che il primo segnale trasmesso da τ venga ricevuto da ρ. Risposta:
ZZ p=
Z
λρ λτ e−(λτ t+λρ r) dt dr =
+∞
dr λρ e−λρ r
Z =
r
dt λτ e−λτ t =
0
0
0
Z
+∞
dr λρ e−λρ r 1 − e−λτ r = 1 −
0
2 λρ = = 0.¯6. λρ + λ τ 3
2. Calcolare E[X]. Risposta: E[X] = p = 0.¯ 6. 3. Calcolare la probabilit` a q che trascorsi 15 secondi dall’istante iniziale ρ sia ancora funzionante e τ non abbia ancora trasmesso il primo segnale. Risposta: q = P (Tρ > 15, Tτ > 15) = P (Tρ > 15)P (Tτ > 15) = e−(λρ +λτ )15 = e−9/4 ' 0.105
5
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 13.9.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 2 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria geometrica e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 3 Sia (Ω, F, P ) uno spazio di probabilit`a e A, B ∈ F eventi tali che A ⊂ B. In che caso A e B sono indipendenti? Eventualmente dimostrare quanto affermato.
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Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 13.9.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 Siano X, Y e Z variabili aleatorie indipendenti bernoulliane di parametro p ∈ (0, 1). Definiamo U := 2X − 1, V := 2Y − 1 e W := 2Z − 1. 1. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (U, V, W ). Risposta: pU
V W (u, v, w)
= p(u+v+w+3)/2 (1 − p)1−(u+v+w+3)/2 1(r, w, x ∈ {−1, 1})
2. Sia S := U V W . Determinare la densit`a di S. Risposta: 3 3 2 p + 2 p(1− p) 3 3 pS (s) = 1 − p − 2 p(1 − p)2 0
se s = 1; se s = −1; altrimenti.
3. Determinare E(S). Risposta: E(S) = E(U ) E(V ) E(W ) = (2p − 1)3 .
2
Esercizio 2 Il numero di matricola dei 105 pezzi prodotti da una ditta `e una stringa costituita da 5 cifre. Ogni cifra `e un numero intero in {0, 1, . . . , 9}. Viene scelto a caso un pezzo e viene letta la matricola. 1. Calcolare la probabilit` a che la matricola abbia tutte le cifre differenti. Risposta: 10 5 5 · 5!/10 = 189/625 ' 0.3024. 2. Calcolare la probabilit` a che la matricola abbia esattamente 2 cifre consecutive uguali e tutte le altre differenti (tra di loro e da quelle uguali). Risposta: 10 · 4 · 93 · 3!/105 = 126/625 ' 0.2016. 3. Calcolare la probabilit` a che la matricola abbia esattamente 2 cifre uguali e tutte le altre differenti (tra di loro e da quelle uguali). Risposta: 10 · 52 · 93 · 3!/105 = 63/125 ' 0.504.
3
Esercizio 3 In un esame la prova scritta consiste in un test composto da 10 domande; per ciascuna di esse il test richiede allo studente di scegliere una tra le 4 risposte suggerite, delle quali una sola `e corretta. Supponiamo che uno studente risponda a caso ad ogni domanda e che la valutazione del test venga fatta attribuendo il punteggio +1 ad ogni risposta corretta e −, > 0 ad ogni risposta errata. Sia X il numero di risposte corrette del test e T il punteggio ottenuto. 1. Scrivere la densit` a di X. Risposta: X ∼ Bi(10, 1/4). 2. Calcolare E(T ) e determinare il valore 0 tale che per ogni > 0 non sia conveniente rispondere a caso. Risposta: T = X − (10 − X) = (1 + )X − 10, quindi E(T ) = (1 + ) E(X) − 10 =
5 10(1 + ) − 10 = (1 − 3). 4 2
E(T ) < 0 se > 0 := 1/3. 3. Dare una valutazione (approssimata) della probabilit`a che, per 100 esaminandi che rispondono a caso e indipendentemente uno dall’altro, il totale delle risposte corrette sia compreso tra 240 e 260 (Attenzione: 100 esaminandi rispondono ad un totale di 1000 domande). Risposta: Sia Y il numero totale di risposte corrette. Y ∼ Bi(1000, 1/4), P (240 < Y < 260) =
240 − 250 Y − 250 = P q
3 4
260 − 250
= Φ(0.73) − Φ(−0.73) = 2Φ(0.73) − 1 ' 0.54.
4
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio di densit`a fX,Y (x, y) = 1(x, y ∈ (0, 1))
ex−y+1 . (1 − e)2
1. Calcolare le densit` a marginali di X ed Y . Risposta: fX (x) = 1(x ∈ (0, 1))
ex e−1
fY (y) = 1(y ∈ (0, 1))
e1−y e−1
2. Calcolare Cov(X, Y ). Risposta: Dal punto precedente si vede che X ed Y sono indipendenti, quindi Cov(X, Y ) = 0. 3. Calcolare P (X < Y ). Risposta: ZZ P (X < Y ) =
fX,Y (x, y) dx dy = x
5
1 (e − 1)2
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© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 1
Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria Binomiale, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo dia la definizione di covarianza di una coppia di variabili aleatorie, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 3 Il candidato enunci la legge debole dei grandi numeri ed eventualmente la dimostri. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.2.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 2
Esercizi
Esercizio 1 Nella repubblica di Bananas la probabilit`a di insolvenza nei confronti delle banche per imprese del settore terziario `e pari al 15%, mentre per imprese di altri settori `e pari al 9%. Le imprese del settore terziario sono il 32% del totale delle imprese di Bananas. 1. Calcolare la probabilit` a che un’impresa scelta a caso tra quelle del settore terziario non sia insolvente. Risposta: La probabilit` a cercata `e: 1 − 0.15 = 0.85. 2. Calcolare la probabilit` a che un’impresa scelta a caso tra tutte le imprese sia insolvente. Risposta: Per la formula delle probabilit` a totali la probabilit`a cercata `e: 0.15 · 0.32 + 0.09 · (1 − 0.32) = 0.1092. 3. Sapendo che l’impresa `e insolvente, calcolare la probabilit`a che appartenga al settore terziario. Risposta: Per la formula di Bayes la probabilit`a cercata `e: 0.15 · 0.32/0.1092 = 0.43956044.
2
Esercizio 2 Un calcolatore deve analizzare alcuni set di dati statistici. I set di dati vengono sottoposti al calcolatore sequenzialmente. Sia Tk il tempo necessario per analizzare il k-esimo set di dati, k = 1, 2, . . . e Sn := T1 + T2 + · · · + Tn il tempo necessario per analizzare n set di dati. Si pu` o assumere che le variabili aleatorie T1 , T2 , . . . siano variabili aleatorie esponenziali indipendenti di media 1/3 ms. 1. Calcolare il valore atteso e la deviazione standard del tempo impiegato dal calcolatore ad analizzare 3 × 103 set di dati. Risposta: E(S3000 ) = 103 ms = 1 s,
p
Var(S3000 ) =
q
1 3
× 103 ms ' 18.257 ms.
2. Calcolare “in modo approssimato” la probabilit`a che il tempo impiegato per analizzare 3×103 set di dati sia maggiore di 1.02 × 103 ms. Risposta: Per il teorema del limite centrale
P (S3000 > 1020) = P
S3000 − 1000 1020 − 1000 √ > √ ¯ 333.3 333.¯3
' 1−Φ(1.095) ' 1−0.8632 = 0.1367.
3. Quale `e “approssimativamente” il numero massimo di set di dati n (si assuma sempre n > 100) che si possono sottoporre al calcolatore se si vuole avere una probabilit`a pi` u piccola del 5% che il calcolatore impieghi pi` u di 103 ms per analizzarli? Risposta: Bisogna trovare il pi` u grande n > 100 tale che P (Sn > 1000) < 0.05. Per il teorema del limite centrale ! Sn − n3 1000 − n3 3000 − n pn > pn √ P (Sn > 1000) = P . '1−Φ n 9 9 Dobbiamo quindi richiedere che Φ il che avviene sicuramente se
3000 − n √ n
> 0.95,
3000 − n √ ≥ 1.65. n
Per risolvere questa disuguaglianza notiamo innanzi tutto che n < 3000. Poi elevando al quadrato entrambi i membri (cosa legittima dato che che 3000 − n > 0) otteniamo la disuguaglianza di secondo grado (3000 − n)2 ≥ (1.65)2 n o anche n2 − [6000 + (1.65)2 ]n + (3000)2 > 0 che pu` o essere risolta in modo standard ricordando che n < 3000. Con questa ulteriore richiesta otteniamo che i valori di n pi` u piccoli di 2910 soddisfano la richiesta.
3
Esercizio 3 Si consideri un vettore aleatorio (X, Y ) con densit`a continua ( x2 kxye− 2 se x > 0 e 0 < y < 1 fX,Y (x, y) = 0 altrove, dove k > 0 `e una costante da determinare. 1. Determinare il valore della costante k. Risposta: Abbiamo che
+∞
Z 1=k
xe
1
Z
2
− x2
dx
0
y dy = 0
k . 2
Ne segue che necessariamente k = 2. 2. Calcolare E(Y ) e Cov(X, Y ). Risposta: Si ha che Z
+∞
E(Y ) = 2
xe−
x2 2
1
Z
y 2 dy =
dx 0
0
2 . 3
Per la covarianza basta osservare che essendo fX,Y il prodotto di due funzioni, una dipendente solo da x, l’altra solo da y si ha che X ed Y sono indipendenti. Quindi necessariamente Cov(X, Y ) = 0. 3. Calcolare E(X). Risposta:
Z E(X) = 2
+∞
x e 0
Z
2
2 − x2
dx
1
Z y dy =
0
+∞
2
2 − x2
x e 0
4
1 dx = 2
Z
+∞
√ 2
2 − x2
x e −∞
dx =
2π . 2
Esercizio 4 Un algoritmo `e stato progettato per analizzare un certo database. L’algoritmo `e costituito da 2 test in sequenza. Il risultato di ogni test `e 0 o 1. Indichiamo Tk , k = 1, 2 il risultato del test k. Supponiamo che le variabili aleatorie T1 , T2 siano Bernoulli di parametro p indipendenti. L’output T dell’algoritmo sar`a 1 se almeno uno dei 2 test ha dato esito positivo, altrimenti sar` a 0. 1. Determinare la densit` a di T ed E(T ). Risposta: T `e una variabile aleatoria di Bernoulli. P (T = 0) = (1 − p)2 , quindi il suo parametro `e 1 − (1 − p)2 = p(2 − p) che coincide con il suo valore atteso. 2. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (T1 , T2 , T ). Risposta: Si ha pT1 ,T2 ,T (0, 0, 0) = (1 − p)2 , pT1 ,T2 ,T (0, 1, 1) = (1 − p)p, pT1 ,T2 ,T (1, 0, 1) = (1 − p)p, pT1 ,T2 ,T (1, 1, 1) = p2 . 3. Determinare Cov(T, T1 ) e Cov(T, T2 ). Risposta: Utilizziamo la formula Cov(T, T1 ) = E(T T1 ) − E(T ) E(T1 ). E(T T1 ) = P (T1 = 1, T = 1) = P (T1 = 1, T2 = 0, T = 1)+P (T1 = 1, T2 = 1, T = 1) = (1−p)p+p2 = p. Da cui segue che Cov(T, T1 ) = p − p2 (2 − p) = p(1 − p)2 = Cov(T, T2 ).
5
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 9.3.2006 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria esponenziale, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo enunci la formula delle probabilit`a totali con le necessarie ipotesi ed eventualmente la dimostri. Risposta:
D 3 Il candidato dia la definizione di vettore gaussiano bidimensionale e ne enunci alcune propriet` a, eventualmente dimostrandole. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 9.3.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 2
Esercizi
Esercizio 1 Si considerino 2 urne. La prima urna contiene 2 biglie bianche e 2 nere mentre la seconda 1 biglie bianca e 3 nere. Si estrae una biglia alla volta reimmettendola dalla prima urna fino a quando non viene estratta una biglia nera. Sia X il numero di biglie, compresa l’ultima, necessarie ad estrarne una nera (ad esempio X = 1 se la prima biglia estratta `e nera, X = 2 se la prima biglia estratta `e bianca e la seconda `e nera etc.). Si ripete il medesimo procedimento con la seconda urna. Sia Y il numero di biglie, compresa l’ultima, necessarie ad estrarne una nera 1. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (X, Y ). Risposta: X ed Y sono variabili aleatorie geometriche indipendenti di parametri 1/2 e 3/4. 2. Calcolare la probabilit` a che X = Y = 3 Risposta:
P (X = Y = 3) = P (X = 3)P (Y = 3) =
1 2
1−
1 2
3−1
3 4
1−
3 4
3−1 =
3 ' 0.0059. 512
3. Calcolare la probabilit` a che X 6= Y Risposta:
k−1 k−1 +∞ X X 1 1 3 3 P (X = 6 Y ) = 1−P (X = Y ) = 1− P (X = Y = k) = 1− 1− 1− = 2 2 4 4 k k=1 +∞ k−1 3X 1 3 1 4 =1− · = ' 0.57143 =1− 8 8 8 1 − 18 7 k=1
2
Esercizio 2 Un generatore di numeri casuali genera una successione X1 , X2 , . . . di variabili aleatorie indipendenti uniformi in [0, 1]. Vengono generate 100 variabili aleatorie. 1. Calcolare
100 X
P
! Xk ≤ 45
k=1
Risposta:
P
100 X
! Xk ≤ 45
P100 X − 50 45 − 50 k ' q ≤ q = P k=1
100 12
k=1
100 12
√ ' Φ(− 3) ' 1 − Φ(1.73) ' 1 − 0.9582 ' 0.0418.
2. Sia Yk = 1(Xk ≤ 1/50), k = 1, 2, . . . . Determinare la densit`a di Y := Var(Y ).
P100
k=1
Yk , E(Y ) e
Risposta: Le Yk , k = 1, 2, . . . sono v.a. i.i.d. bernoulliane di media 1/50, quindi Y `e binomiale di parametri 100, 1/50 la sua media `e 2 e la sua varianza `e 49/25 = 1.96. 3. Calcolare la probabilit` a che esattamente 2 tra le variabili X1 , . . . , X100 siano pi` u piccole di 1/50. Risposta: La probabilit` a cercata `e
P
100 X k=1
! Yk = 2
=
100 2
1 50
2
1 1− 50
100−2 '
22 −2 e ' 0.27, 2!
dove si `e utilizzata l’approssimazione poissoniana della binomiale.
3
Esercizio 3 Due sacchi di mele sono apparentemente identici ma il primo contiene 2 mele marce e 8 mele buone mentre il secondo ne contiene 6 marce e 4 buone. Viene scelto a caso un sacco e se ne estrae una mela, la si esamina e, senza reinserirla, dallo stesso sacco se ne estrae una seconda. 1. Calcolare la probabilit` a che la prima mela estratta sia marcia. Risposta: Per la formula delle probabilit` a totali la probabilit`a cercata `e: P (I marcia) =
1 1 1 3 2 · + · = = 0.4. 2 5 2 5 5
2. Sapendo che la prima mela estratta `e marcia calcolare la probabilit`a che provenga dal secondo sacco. Risposta: Per la formula di Bayes P (II sacco|I mela marcia) =
1 2
· 2 5
3 5
=
3 = 0.75. 4
3. Sapendo che la prima mela estratta `e marcia calcolare la probabilit`a che anche la seconda lo sia. Risposta: Per la formula delle probabilit` a totali: P (I e II marce) = P (I marcia) P (I e II marce|I sacco)P (I sacco) + P (I e II marce|II sacco)P (II sacco) = = P (I marcia) (62) 1 1 1 10 · 2 + 10 · 2 4 ( ) (2) = 2 = = 0.¯4. 2 9 5
P (II marcia|I marcia) =
4
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio continuo con densit`a ( k(x + y)2 se x, y ∈ [0, 1] fX,Y (x, y) := 0 altrove, dove k > 0 `e una costante da determinare. 1. Determinare k > 0. Risposta: ZZ
(x + y)2 dx dy =
7 , 6
quindi k = 6/7. 2. Determinare le densit` a marginali fX (x) e fY (y) e discutere l’indipendenza di X ed Y . Risposta: 6 fX (x) = 1(y ∈ [0, 1]) 7 Per simmetria:
1
Z
1 6 2 (x + y) dy = 1(y ∈ [0, 1]) x + x + . 7 3 2
0
1 6 2 . fY (y) = 1(x ∈ [0, 1]) y + y + 7 3
Poich´e fX,Y 6≡ fX fY , X ed Y sono variabili aleatorie dipendenti. 3. Calcolare P (X > 2Y ) Risposta: 6 P (X > 2Y ) = 7
Z
1
x 2
Z dx
0
0
5
dy (x + y)2 =
19 ' 0.169643 112
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 3.7.2006 Nome: Cognome: Matricola:
© I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar`a perseguito. 1
Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria di Poisson, ne elenchi alcune delle principali propriet` a fornendo eventualmente qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo enunci la definizione di indipendenza di 3 eventi, eventualmente enunci la definizione di indipendenza di n eventi. Risposta:
D 3 L’allievo enunci il teorema del limite centrale ed eventualmente ne fornisca qualche esempio di applicazione. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 3.7.2006 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 La densit` a di un vettore aleatorio discreto (X1 , X2 ) `e data da: ( 1 eβx1 x2 se x1 , x2 ∈ {−1, 1} P (X1 = x1 , X2 = x2 ) := Z(β) 0 altrimenti, dove β > 0 `e un parametro e Z(β) := 2e2β + 2e−2β = 4 cosh(2β). 1. Calcolare P (X1 = x1 ) e P (X2 = x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ {−1, 1}. Risposta: Si noti che: P (X1 = x1 , X2 = x2 ) = P (X1 = −x1 , X2 = −x2 ). Quindi per ragioni di simmetria P (X1 = −1) = P (X1 = 1) = 1/2 = P (X2 = −1) = P (X2 = 1). Alternativamente si poteva arrivare al medesimo risultato mediante il calcolo diretto. 2. Calcolare E[X1 ] ed E[X2 ]. Risposta: Per il punto precedente o direttamente perch´e P (X1 = x1 , X2 = x2 ) = P (X1 = −x1 , X2 = −x2 ) si ha E[X1 ] = E[X2 ] = 0. 3. Calcolare Cov(X1 , X2 ). Risposta: Poich´e E[X1 ] = 0, Cov(X1 , X2 ) = E[X1 X2 ]. P (X1 X2 = −1) = P (X1 = −1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = −1) =
2e−2β . 2e2β + 2e−2β
Mentre P (X1 X2 = 1) = P (X1 = −1, X2 = −1) + P (X1 = 1, X2 = 1) = Ne segue che Cov(X1 , X2 ) = tanh(2β).
2
2e2β . 2e2β + 2e−2β
Esercizio 2 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio uniforme nel quadrato [−1, 1] × [−1, 1] e ( 1 se x, y ∈ [−1, 1] fX,Y (x, y) := 4 0 altrove, la sua densit` a. Sia R :=
√
X 2 + Y 2 la distanza di (X, Y ) da (0, 0).
1. Calcolare E[R2 ] e Var[R2 ]. Risposta: 1 E[R ] = E[X + Y ] = 4 2
2
2
4
2
Z
1
Z
1
1 dx dy (x + y ) = 2 −1 −1 2
2
Z
1
Z
1
dx −1
dy x2 =
−1
2 . 3
2 2
Var[R ] = E[R ] − E[R ] , E[R4 ] =
1 4
Z
1
Z
1
−1
1 2
dy (x2 + y 2 )2 =
dx −1
Z
1
Z
1
dx −1
dy (x4 + x2 y 2 ) =
−1
Ne segue Var[R2 ] = 8/45. 2. Calcolare P (R ≤ 1). Risposta: P (R ≤ 1) =
1 4√
ZZ dx dy =
π . 4
x2 +y 2 ≤1
3. Calcolare per ogni r ≥ 0 la probabilit`a condizionata P (R ≤ r|R ≤ 1). Risposta: Si ha P (R ≤ r|R ≤ 1) = Ma P (R ≤ r ∧ 1) =
P (R ≤ r ∧ 1) P (R ≤ r, R ≤ 1) = P (R ≤ 1) P (R ≤ 1) 1 4√
ZZ dx dy = x2 +y 2 ≤(r∧1)
Ne segue che P (R ≤ r|R ≤ 1) = r2 ∧ 1.
3
π (r ∧ 1)2 . 4
2 2 + . 5 9
Esercizio 3 Un mazzo di 52 carte francesi `e distribuito tra 4 giocatori in modo tale che ciascun giocatore ne riceva 13. 1. Calcolare la probabilit` a che 3 dei 4 giocatori non ricevano assi. Risposta: Se 3 dei quattro giocatori non riceve assi significa 52 che solo uno ne riceve 4. La probabilit`a a cercata `e che un fissato giocatore riceva 4 assi `e 52−4 13−4 / 13 , quindi la probabilit` 4
52−4 13−4 52 13
=
44 ' 0.011. 4165
2. Calcolare la probabilit` a che ciascun giocatore riceva un asso. Risposta: I modi di distribuire le 52 carte tra i quattro giocatori sono: 52 52 − 13 52 − 13 − 13 52! = . 13 13 13 (13!)4 Ci sono poi 4! modi di distribuire gli assi tra i 4 giocatori e le rimanenti 52 − 4 = 48 carte possono essere distribuite tra i 4 giocatori in
48 12
48 − 12 12
48 − 12 − 12 12
=
48! . (12!)4
modi. In definitiva la probabilit` a cercata `e: 48! 4! · · 52!
13! 12!
4 ' 0.105.
3. Calcolare la probabilit` a che 2 delle 4 persone non ricevano assi. Risposta: Ci sono 42 = 6 modi di scegliere le persone che non ricevono gli assi. I modi di dare carte a queste 2 persone sono 48! 52 − 4 52 − 13 − 4 . = (13!)2 22! 13 13 I modi di dare carte alle rimanenti 2 sono: 52 − 13 − 13 26! = . 13 (13!)2 In definitiva la probabilit` a cercata `e 6·
26! 48! (13!)2 22! · (13!)2 52! (13!)4
4
=
276 ' 0.331 833
Esercizio 4 Due silos, detti silos A e silos B, contengono semi di soia. Un millesimo dei semi di soia contenuti nel silos A `e transgenico, mentre un decimo di quelli contenuti nel silos B lo `e. Vengono prelevati 2 campioni di 103 semi dai 2 silos. Si assuma che il numero di semi contenuti in ciascun silos sia molto maggiore di 103 (in pratica infinito). 1. Calcolare, in modo approssimato, la probabilit`a che nel campione prelevato dal silos A ci siano pi` u (in senso stretto, cio`e “>”) di 2 semi transgenici. Risposta: Sia Xk = 1 se il k–esimo seme `e transgenico altrimenti Xk = 0. Si pu`o assumere che X1 , X2 , . . . , X103 siano variabili aleatorie indipendenti bernoulliane di parametro 10−3 . Il P103 numero totale di semi transgenici nel campione `e k=1 Xk che risulta essere una binomiale di parametri 103 , 10−3 . Usando l’approssimazione poissoniana della binomiale otteniamo: 3 3 0 10 10 X X 11 12 5 1 + + e−1 = 1 − e−1 ' 0.080. P Xk > 2 = 1 − P Xk ≤ 2 ' 1 − 0! 1! 2! 2 k=1
k=1
2. Calcolare, in modo approssimato, la probabilit`a che nel campione prelevato dal silos B ci siano pi` u (in senso stretto, cio`e “>”) di 120 semi transgenici. Risposta: Sia Yk = 1 se il k–esimo seme `e transgenico altrimenti Yk = 0. Si pu`o assumere che Y1 , Y2 , . . . , Y103 siano variabili aleatorie indipendenti bernoulliane di parametro 10−1 . Il P103 numero totale di semi transgenici nel campione `e k=1 Yk che risulta essere una binomiale di parametri 103 , 10−1 . Usando il teorema limite centrale otteniamo: P
3
10 X
Yk > 120 = 1 − P
3
10 X
Yk ≤ 120 '
k=1
k=1
'1−Φ
√
120 − 103 · 10−1 103 · 10−1 · 9 · 10−1
' 1 − Φ(2.11) ' 1 − 0.9826 = 0.0174.
3. Supponiamo ora di scegliere a caso uno dei due silos e di prelevare da esso un seme alla volta. Analizziamo ogni seme prelevato. Supponiamo che il primo seme transgenico che troviamo sia il decimo. Calcolare la probabilit`a (condizionata) che questo seme provenga dal silos A. Risposta: Sia E l’evento “il primo seme transgenico che troviamo `e il decimo”, A l’evento “scelgo il silos A” e B l’evento “scelgo il silos B”. La probabilit`a richiesta `e P (A|E). Per la formula di Bayes P (E|A)P (A) . P (A|E) = P (E|A)P (A) + P (E|B)P (B) In questa formula P (A) = P (B) = 1/2, P (E|A) = (1 − 10−3 )9 10−3 e P (E|B) = (1 − 10−1 )9 10−1 . Effettuando il conto si ottiene: P (A|E) ' 0.025.
5
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.9.2006 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di densit`a e di funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua. Illustri i legami che esistono tra queste funzioni eventualmente con qualche dimostrazione. Risposta:
D 2 L’allievo dia la definizione di funzione generatrice dei momenti e ne illustri le principali propriet` a eventualmente fornendo qualche dimostrazione. Risposta:
D 3 L’allievo enunci la legge dei grandi numeri eventualmente dimostrandola. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 15.9.2006 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 Siano assegnate due urne A e B. A contiene 6 palline di cui una numerata 1, due numerate 2 e tre numerate 3 e B contiene 9 palline di cui quattro numerate 4 e cinque numerate 5. Viene lanciato un dado regolare: se esce un numero pari, si estrae una pallina dall’urna A, altrimenti si estrae una pallina dall’urna B. 1. Calcolare la probabilit` a di estrarre una pallina numerata con un numero pari. Risposta: Sia E l’evento “viene estratta una pallina con un numero pari”, A e B gli eventi “il dado mostra un numero pari” e “il dado mostra un numero dispari” rispettivamente. Allora P (E|A) = 1/3 mentre P (E|B) = 4/9, quindi per la formula delle probabilit`a totali: P (E) = P (E|A)P (A) + P (E|B)P (B) =
7 1 1 4 1 · + · = ' 0.3¯8 3 2 9 2 18
2. Sapendo che `e stata estratta una pallina con un numero pari, calcolare la probabilit`a che sul dado sia uscito un numero pari. Risposta: Per la formula di Bayes: P (A|E) =
P (E|A)P (A) 3 = ' 0.429 P (E) 7
3. Sia X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero della pallina estratta. Determinare e riconoscere la densit` a di Y := [(−1)X + 1]/2. Risposta: Si noti che Y assume il valore 0 se X `e dispari e il valore 1 se X `e pari. Ne segue che Y `e una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro p = 7/18.
2
Esercizio 2 L’istante d’arrivo dell’autobus delle 10 `e uniformemente distribuito tra le 10:00 e le 10:10. Un passeggero arriva alla fermata alle 10:00. 1. Calcolare la probabilit` a che il passeggero debba attendere pi` u di 5 minuti. Risposta: Sia T il tempo di attesa dell’autobus. Per ipotesi T ∼ U[0, 10], quindi P (T > 5) = 1/2. 2. Sapendo che l’autobus ancora non `e passato alle 10:05 calcolare la probabilit`a che il passeggero debba attenderlo almeno altri 3 minuti. Risposta: Dalla definizione di probabilit` a condizionata:
P (T > 8|T > 5) =
P (T > 8, T > 5) P (T > 8) 1 − P (T ≤ 8) = = = 2[1−8/10] = 2/5 = 0.4 P (T > 5) P (T > 5) P (T > 5)
3. Se il passeggero si reca alla fermata per prendere l’autobus delle 10 per 100 giorni, supponendo che i ritardi dell’autobus in giorni differenti siano indipendenti, calcolare la probabilit`a che il tempo totale che attende sia maggiore di 550 minuti. Risposta: Siano T1 , . . . , T100 i tempi attesi nei giorni 1, . . . , 100. Il tempo totale atteso `e S := T1 + · · · + T100 . Si ha che E[Tk ] = 5 mentre Var[Tk ] = 102 /12 Per il teorema del limite centrale P (S > 550) = √ 550 − 500 = 1 − Φ( 3) ' 1 − Φ(1.73) ' 1 − 0.9582 = = 1 − P (S ≤ 550) ' 1 − Φ q 1 1002 · 12
= 0.0418.
3
Esercizio 3 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio discreto con densit`a data da X \Y 0 1 2
1. Quanto vale P X −
Y 2
-2 0.12 0.24 0
0 0.12 0.24 0.09
2 0.1 0 0.09
=0 ?
Risposta: X−
Y 2
= 0 se e solo se X = 0 e Y = 0 oppure X = 1 e Y = 2. Ne segue che Y = 0 = 0.12 + 0 = 0.12 P X− 2
2. Determinare E(X) e Var(X). Risposta: P (X = 1) = 0.48 mentre P (X = 2) = 0.18. Quindi E[X] = 0.48 + 2 · 0.18 = 0.84, E[X 2 ] = 0.48 + 4 · 0.18 = 1.2 e Var(X) = 1.2 − 0.842 = 0.494. 3. Determinare Cov(X, Y ). X, Y sono indipendenti? Risposta: E[XY ] = −2 · 0.24 + 4 · 0.09 = −0.12. P (Y = −2) = 0.36, P (Y = 2) = 0.19, Quindi E[Y ] = −0.34. Ne segue che: Cov(X, Y ) = −0.12 − 0.84 · (−0.34) = −0.4056, cio`e X ed Y sono correlate e quindi non possono essere indipendenti.
4
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio di densit`a fX,Y (x, y) = 1(x ∈ (0, 1), y ∈ (0, +∞))
ex−y . e−1
1. Calcolare le densit` a marginali di X ed Y . Risposta: fX (x) = 1(x ∈ (0, 1))
ex e−1
fY (y) = 1(y ∈ (0, +∞))e−y
2. Calcolare Cov(X, Y ). Risposta: Dal punto precedente si vede che X ed Y sono indipendenti, quindi Cov(X, Y ) = 0. 3. Calcolare P (X < Y ). Risposta: ZZ P (X < Y ) =
1 fX,Y (x, y) dx dy = e−1
x
5
Z
1
dx e 0
x
Z
+∞
x
dy e−y =
1 ' 0.582 e−1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 26.11.2004 Nome: Cognome: Matricola: I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito.
1
Domande di teoria
. Domanda 1.1 Il candidato enunci la definzione di densit` a discreta di una variabile aleatoria e ne fornisca qualche esempio esplicito. Inoltre enunci qualche propriet`a generale della densit`a discreta ed eventualmente la dimostri. Risposta:
Domanda 1.2 Il candidato enunci la formula delle probabilit` a totali con le corrette ipotesi ed eventualemte la dimostri. Risposta:
Domanda 1.3 Il candidato dia la definzione di variabile aleatoria gaussiana (o normale) standard e dica quali sono la sua media e la sua varianza. Inoltre dia la definzione di variabile aleatoria gaussiana (o normale) e ne calcoli la media e la varianza. Risposta:
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit` a G. Posta 26.11.2004 Nome: Cognome: Matricola: I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito.
2
Esercizi
Esercizio 1 Un dado bilanciato viene lanciato ripetutamente. 1. Calcolare la probabilit` a che dopo 5 lanci non sia ancora uscito un numero maggiore o uguale a 5. Risposta: La probabilit` a che esca un numero maggiore od uguale a 5 `e 1/3, quindi se X `e il numero di lanci necessari per vedere un numero maggiore o uguale a 5 si ha che X `e geometrica di parametro 1/3: P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 −
" #k−1 5 ! 1 2 32 = . 3 3 243 k=1
2. Calcolare la probabilit` a che siano necessari esattamente 3 lanci per osservare 2 volte numeri maggiori o uguali a 5. Risposta: Chiaramente “sono necessari esattamente 3 lanci per osservare 2 volte numeri maggiori o uguali a 5” se e solo se “tra i primi due lanci c’`e esattamente un numero maggiore od uguale a 5” e “l’ultimo lancio `e un numero maggiore od uguale a 5”. Da qui segue che la probabilit`a cercata `e 2(1/3)(2/3)(1/3) = 4/27.
3. Calcolare la probabilit` a che su 300 lanci siano usciti meno di 90 numeri maggiori o uguali a 5. Risposta: Sia Y il numero di numeri maggiori o uguali a 5 che si ottengono lanciando il dado 300 volte. Allora Y `e binomiale 300, 1/3 e per il teorema del limite centrale
89.5 − 100 # Φ(−1.286) = 1 − Φ(1.286) # 0.1093 P (Y < 90) = P (Y ≤ 89.5) # Φ & 200 3
2
Esercizio 2 Un’urna contiene 4 biglie bianche e 2 biglie rosse. Si pesca una biglia dall’urna, se questa `e bianca la si butta via e se ne pesca una seconda, se questa `e rossa la si reimmette nell’urna e se ne pesca una seconda. 1. Calcolare la probabilit` a che la seconda biglia pescata sia rossa Risposta: Ri := “la i-esima biglia pescata `e rossa”. Allora P (R2 ) = P (R2 |R1 )P (R1 ) + P (R2 |R1c )P (R1c ) =
1 1 2 2 17 · + · = . 3 3 5 3 45
2. Calcolare la probabilit` a che la prima biglia sia bianca sapendo che la seconda `e rossa. Risposta: P (R1c |R2 ) =
P (R2 |R1c )P (R1c ) = P (R2 )
2 5
·
17 45
2 3
=
12 17
3. Calcolare la probabilit` a che la prima biglia e la seconda biglia siano dello stesso colore. Risposta: La probabilit` a cercata `e P ((R1 ∩ R2 ) ∪ (R1c ∩ R2c )) = P (R1 ∩ R2 ) + P (R1c ∩ R2c ). Si ha che P (R1 ∩R2 ) = P (R2 |R1 )P (R1 ) = (1/3)·(1/3) = 1/9 mentre P (R1c ∩R2c ) = P (R2c |R1c )P (R1c ) = (3/5) · (2/3) = 2/5, quindi P ((R1 ∩ R2 ) ∪ (R1c ∩ R2c )) = 23/45. 3
Esercizio 3 Sia fX,Y (x, y) =
)
2 16 √ ye−x π
se x > 0 e 0 < y < 1/2
0
altrove.
1. Calcolare le densit`a marginali di X ed Y e Cov(X, Y ). Risposta: 2
fX (x) = 1(x > 0)2π −1/2 e−x e fY (y) = 1(0 < y < 1/2)8y. Poich´e fX,Y = fX fY segue che X ed Y sono indipendenti e quindi scorrelate. Cio`e Cov(X, Y ) = 0.
2. Calcolare E(X) e Var(X). Risposta: E(X) =
*
+∞
2 2x 1 √ e−x dx = √ π π
+∞
2 x2 √ e−x = π
0
e E(X 2 ) =
*
+∞
0
da cui Var(X) =
1 2
2x2 −x2 √ e = π
*
−∞
*
+∞
−∞
− π1 .
3. Calcolare P (Y > 1/4). Risposta: P (Y > 1/4) =
*
1/2
1/4
4
8y dy =
3 . 4
2
− x1 2x2 1 & e 2· 2 = 2 1 2π · 2
Esercizio 4 Sia X = (X1 , X2 )t un vettore gaussiano di media µ = (1/2, 1/3)t e matrice di covarianza " # 5 11 C= 11 25 1. Determinare la densit`a di X1 . Risposta: X1 ∼ N (1/2, 5).
2. Calcolare P (−14/3 < X2 ≤ 16/3). Risposta:
X2 ∼ N (1/3, 25), quindi P (−14/3 < X2 ≤ 16/3) = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 = 0.6826.
3. Siano Y1 = X2 − 2X1 + 2/3 e Y2 = (3/2)X1 − (1/2)X2 − 7/12. Calcolare Cov(Y1 , Y2 ) e dire se Y1 e Y2 sono indipendenti. Risposta: Abbiamo che
"
Y1 Y2
#
=
"
#" # " # −2 1 X1 2/3 + 3/2 −1/2 X2 −7/12
quindi la matrice di covarianza di (Y1 , Y2 )t `e "
#" #" #t " −2 1 5 11 −2 1 1 = 0 3/2 −1/2 11 25 3/2 −1/2
e Y1 e Y2 sono indipendenti.
5
# 0 , 1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 25.2.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di varianza di una variabile aleatoria e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 2 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria di Poisson e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 3 Dato uno spazio di probabilit` a (Ω, F, P ), dire quando 3 eventi A, B, C ∈ F sono indipendenti ed eventualmente dare la definzione di indipendenza per una famiglia finita A1 , . . . , An ∈ F di eventi.
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 25.2.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 Consideriamo un mazzo di 40 carte suddivise in 4 classi (detti “semi”) ciascuna contenente 10 carte numerate da 1 a 10. Ogni mano servita `e formata da cinque carte estratte dal mazzo. 1. Calcolare la probabilit` a di ricevere una mano che contiene i numeri 6,7,8,9,10. Risposta: Ognimano `e un insieme di 5 carte scelte a caso dal mazzo e il numero totale di mani possibili `e 40 a 5 . Tutte le possibili mani sono ugualmente probabili, quindi ogni mano ha probabilit` 40 5 1/ 5 . Le mani contenenti i cinque numeri distinti 6,7,8,9,10 sono in totale 4 = 1024 da cui segue che la probabilit` a cercata vale 1024 128 1024 40 = 658008 = 82251 ' 0.00156. 5 2. Calcolare la probabilit` a di ricevere una mano che contiene cinque numeri distinti. Risposta: I cinque numeri distinti possono essere scelti da un insieme di 10 in 10 5 = 252 modi diversi. Fissata una qualunque cinquina di numeri distinti, la probabilit`a di ricevere una mano con a cercata quei numeri `e pari a 1024/ 40 5 , come si deduce dal punto 1. Segue che la probabilit` vale 10 128 5 · 1024 = 252 · ' 0.3922. 40 82251 5 3. Vengono servite 300 mani. Calcolare in modo approssimato la probabilit`a di ricevere almeno 130 mani costituite da cinque numeri distinti. Risposta: Stiamo ripetendo n = 300 prove di Bernoulli di parametro p = 252 · 128/82251 ' 0.3922: n(1 − p) > np = 117.68 `e anche esso grande. La variabile aleatoria Y = “numero di mani su 300 costituite ciascuna da cinque numeri distinti” `e Bin(300, 0.3922), che, in virt` u del teorema centrale del limite, approssimiamo con la fdr gaussiana di media 117.68 e varianza np(1 − p) = 71.51892. Usando la correzione di continuit`a, un valore approssimato della probabilit` a richiesta `e 129.5 − 117.68 √ P (Y ≥ 130) = 1−P (Y ≤ 129) ' 1−Φ ' 1−Φ(1.398) ' 1−0.91880 = 0.0812. 71.51892
2
Esercizio 2 All’ufficio catastale della citt`a xxx le mappe si possono visionare agli sportelli A e B. Il tempo di servizio dello sportello A espresso in minuti `e una variabile aleatoria esponenziale di parametro 0.2 mentre quello dello sportello B `e una variabile aleatoria esponenziale di parametro 0.5. Supponiamo che i due sportelli siano entrambi liberi nel momento in cui Giovanni varca la soglia dell’ufficio e che egli scelga a caso fra i due. 1. Calcolare la probabilit` a che Giovanni impieghi pi` u di 10 minuti per visionare una mappa se sceglie lo sportello A. Risposta: Introduciamo la variable aleatoria T che misura il tempo che Giovanni impiega per visionare una mappa ed A e B gli eventi rispettivamente “Giovanni sceglie lo sportello A” e “Giovanni sceglie lo sportello B”. Si ha Z +∞ P (T > 10|A) = 0.2e−0.2t dt = e−2 ' 0.1353. 10
2. Calcolare la probabilit` a che Giovanni impieghi pi` u di 10 minuti per visionare una mappa. Risposta: P (T > 10) = P (T > 10|A)P (A) + P (T > 10|B)P (B) =
1 −2 [e + e−5 ] ' 0.07104. 2
3. Se Giovanni ha impiegato meno di 10 minuti, qual `e la probabilit`a che abbia scelto lo sportello A? Risposta: P (A|T < 10) =
P (T < 10|A)P (A) 1 − e−2 = ' 0.4654. P (T < 10) 2 − e−2 − e−5
3
Esercizio 3 Si consideri il vettore aleatorio (X, Y ) che ha la seguente densit`a congiunta: −2 0 4/36 1/36
X \Y −2 1 3
0 2/36 1/36 26/36
2 1/36 0 1/36
1. Calcolare la covarianza delle variabili aleatorie X ed Y . Risposta: 83 11 1 = ' 0.0509 Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y ) = − + 3 216 216 in quanto: E(X) =
X
E(Y ) =
X
E(XY ) =
X
xpXY (x, y) = −2
x,y
ypXY (x, y) = −2
x,y
2 1 + 36 36
4 1 + 36 36
xypXY (x, y) = −2 · 2
x,y
+1 +2
4 1 + 36 36
1 1 + 36 36
+3 =−
1 26 1 + + 36 36 36
6 1 =− 36 6
1 4 1 1 1 + 1 · (−2) + 3 · (−2) + 3 · 2 =− 36 36 36 36 3
2. Stabilire se X, Y sono indipendenti. Risposta: 3. Poich´e Cov(X, Y ) 6= 0, concludiamo che X e Y non sono indipendenti. 4. Calcolare P (X > −2, Y < 0). Risposta: P (X > −2, Y < 0) = pXY (1, −2) + pXY (3, −2) =
4
4 1 5 + = 36 36 36
=
83 36
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio assolutamente continuo con densit`a data da ( c(x + y) se 0 < x < 1 e 0 < y < 1 fX,Y (x, y) 0 altrove. 1. Determinare il valore di c. Risposta: Z
1
Z
1
dy 0
dx (x + y) = 1 0
quindi c = 1. 2. Determinare le marginali fX ed fY e dire se X ed Y sono indipendenti o meno. Risposta: fX (x) = 1(x ∈ (0, 1))
1 +x 2
fY (y) = 1(y ∈ (0, 1))
1 +y . 2
X ed Y non sono indipendenti. 3. Calcolare P (X > Y ). Risposta: ZZ P (X > Y ) =
Z dx dy fX,Y (x, y) =
x>y
1
Z dx
0
x
dy (x + y) = 0
Alla medesima conclusione si poteva arrivare ragionando sulla simmetria.
5
1 . 2
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 20.7.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 2 L’allievo dia la definizione di variabile esponenziale e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 3 Sia (Ω, F, P ) uno spazio di probabilit`a e A, B ∈ F eventi disgiunti, cio`e tali che A ∩ B = ∅. In che caso A e B sono indipendenti? Eventualmente dimostrare quanto affermato.
1
Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 20.7.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 I privilegi che un utente di un sistema UNIX ha su un suo file sono di tre tipi: r=“lettura”, w=“scrittura”, x=“esecuzione”. Supponiamo che i privilegi di un certo file siano assegnati casualmente e sia (R, W, X) il vettore aleatorio che indica lo stato del file. Un “1” significa che l’utente ha ha quel privilegio mentre uno “0” significa il contrario. Ad esempio (1, 1, 1) indica che l’utente ha possibilit` a di lettura scrittura ed esecuzione su quel file, mentre (0, 1, 1) indica che l’utente non pu` o leggere ma pu` o scrivere ed eseguire quel file. In questo esercizio supporremo che R, W ed X siano variabili aleatorie di Bernoulli indipendenti tutte con lo stesso parametro p ∈ (0, 1). 1. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (R, W, X). Risposta: pR W
X (r, w, x)
= pr+w+x (1 − p)3−r−w−x 1(r, w, x ∈ {0, 1})
2. Sia S := 4R + 2W + 1X. Determinare la densit`a di S. Risposta: 3 se s = 0 (1 − p) 2 p(1 − p) se s ∈ {4, 2, 1} pS (s) = p2 (1 − p) se s ∈ {6, 5, 3} p3 se s = 7 0 altrimenti. 3. Determinare Cov(S, R). Risposta: Cov(S, R) = 4 Cov(R, R) + 2 Cov(W, R) + Cov(X, R) = 4 Var[R] = 4p(1 − p).
2
Esercizio 2 Siano date 3 urne: A, B e C. Ognuna contiene 1023 biglie. Il 50% delle biglie contenute in A `e nero mentre le rimanenti sono bianche. Il 40% delle biglie contenute in B e C `e nero mentre le rimanenti sono bianche. Viene scelta a caso una delle 3 urne e da essa si estraggono 106 biglie. 1. Calcolare la probabilit` a che il numero di biglie nere estratte sia maggiore del numero di biglie bianche. Risposta: Sia A l’evento “viene scelta l’urna A” ed N la variabile aleatoria “numero di biglie nere estratte”. Per il teorema limite centrale N ∼ N (0.5 × 106 , 0.25 × 1012 ) se si estrae dall’urna A mentre N ∼ N (0.4×106 , 0.24×1012 ) se si estrae da B o da C. Allora P (N > 0.5×106 |A) ' 1/2 mentre √ P (N > 0.5 × 106 |Ac ) ' 1 − Φ((0.5 − 0.4)/ 0.24) ' 1 − Φ(0.20) ' 1 − 0.5793 ' 0.4207. Quindi P (N > 0.5 × 106 ) = P (N > 0.5 × 106 |A)P (A) + P (N > 0.5 × 106 |Ac )P (Ac ) ' 0.447. 2. Supponendo che venga scelta l’urna A calcolare la probabilit`a che il numero X di biglie da essa sia compreso tra 0.5 × 106 e 0.6 × 106 . Risposta: √ P (0.5 × 106 < N < 0.6 × 106 |A) ' Φ((0.6 − 0.5)/ 0.25) − 0.5 ' 0.5793 − 0.5 = 0.0793. 3. Se si sono estratte pi` u biglie nere che bianche calcolare la probabilit`a che esse provengano dall’urna A. Risposta:
P (A|N > 0.5 × 106 ) = P (N > 0.5 × 106 |A) ·
3
P (A) 0.5 · 0.3¯ ' ' 0.373. 6 P (N > 0.5 × 10 ) 0.447
Esercizio 3 In una stanza ci sono 7 persone. 1. Calcolare la probabilit` a che le 7 persone siano nate in giorni della settimana differenti. Risposta: 7!/77 = 720/117649 ' 0.0061 2. Calcolare la probabilit` a che esattamente 2 persone siano nate di domenica. Risposta: 5 7 7 2 · 6 /7 = 9375/117649 ' 0.1983 3. Sia X il numero di persone che sono nate il sabato o la domenica. Calcolare E[X]. Risposta: Sia Xk , k = 1, . . . , 7 la variabile aleatoria che vale 1 se la k-esima persona `e nata il sabato o la domenica 0 altrimenti. Le variabili aleatorie Xk sono tutte variabili aleatorie di Bernoulli di parametro 2/7 e ovviamente X = X1 + · · · + X7 . Quindi E[X] = 7 E[X1 ] = 2.
4
Esercizio 4 Un canale di trasmissione `e costituito da un trasmettitore τ e da un ricevitore ρ. All’istante iniziale (t = 0) ρ e τ vengono accesi. ρ rimane funzionante fino all’istante aleatorio Tρ in cui esso si guasta. Dopo l’istante Tρ il ricevitore non pu`o pi` u ricevere segnali. Si suppone che Tρ sia una variabile aleatoria esponenziale di parametro λρ = 0.5 × 10−1 s−1 . Il trasmettitore τ pu`o emettere segnali a partire dall’istante t = 0. Sia Tτ l’istante in cui viene emesso il primo segnale. Supponiamo che Tτ sia una variabile aleatoria esponenziale di parametro λτ = 1×10−1 s−1 indipendente da Tρ e chiamiamo X la variabile aleatoria che vale 1 se il primo segnale trasmesso da τ viene ricevuto da ρ e 0 in caso contrario. 1. Calcolare la probabilit` a p che il primo segnale trasmesso da τ venga ricevuto da ρ. Risposta:
ZZ p=
Z
λρ λτ e−(λτ t+λρ r) dt dr =
+∞
dr λρ e−λρ r
Z =
r
dt λτ e−λτ t =
0
0
0
Z
+∞
dr λρ e−λρ r 1 − e−λτ r = 1 −
0
2 λρ = = 0.¯6. λρ + λ τ 3
2. Calcolare E[X]. Risposta: E[X] = p = 0.¯ 6. 3. Calcolare la probabilit` a q che trascorsi 15 secondi dall’istante iniziale ρ sia ancora funzionante e τ non abbia ancora trasmesso il primo segnale. Risposta: q = P (Tρ > 15, Tτ > 15) = P (Tρ > 15)P (Tτ > 15) = e−(λρ +λτ )15 = e−9/4 ' 0.105
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Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 13.9.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Domande di teoria
D 1 L’allievo dia la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 2 L’allievo dia la definizione di variabile aleatoria geometrica e ne illustri alcune propriet`a eventualmente con qualche dimostrazione. D 3 Sia (Ω, F, P ) uno spazio di probabilit`a e A, B ∈ F eventi tali che A ⊂ B. In che caso A e B sono indipendenti? Eventualmente dimostrare quanto affermato.
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Prova scritta di Calcolo delle Probabilit`a G. Posta 13.9.2005 Nome: Cognome: Matricola:
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Esercizi
Esercizio 1 Siano X, Y e Z variabili aleatorie indipendenti bernoulliane di parametro p ∈ (0, 1). Definiamo U := 2X − 1, V := 2Y − 1 e W := 2Z − 1. 1. Determinare la densit` a del vettore aleatorio (U, V, W ). Risposta: pU
V W (u, v, w)
= p(u+v+w+3)/2 (1 − p)1−(u+v+w+3)/2 1(r, w, x ∈ {−1, 1})
2. Sia S := U V W . Determinare la densit`a di S. Risposta: 3 3 2 p + 2 p(1− p) 3 3 pS (s) = 1 − p − 2 p(1 − p)2 0
se s = 1; se s = −1; altrimenti.
3. Determinare E(S). Risposta: E(S) = E(U ) E(V ) E(W ) = (2p − 1)3 .
2
Esercizio 2 Il numero di matricola dei 105 pezzi prodotti da una ditta `e una stringa costituita da 5 cifre. Ogni cifra `e un numero intero in {0, 1, . . . , 9}. Viene scelto a caso un pezzo e viene letta la matricola. 1. Calcolare la probabilit` a che la matricola abbia tutte le cifre differenti. Risposta: 10 5 5 · 5!/10 = 189/625 ' 0.3024. 2. Calcolare la probabilit` a che la matricola abbia esattamente 2 cifre consecutive uguali e tutte le altre differenti (tra di loro e da quelle uguali). Risposta: 10 · 4 · 93 · 3!/105 = 126/625 ' 0.2016. 3. Calcolare la probabilit` a che la matricola abbia esattamente 2 cifre uguali e tutte le altre differenti (tra di loro e da quelle uguali). Risposta: 10 · 52 · 93 · 3!/105 = 63/125 ' 0.504.
3
Esercizio 3 In un esame la prova scritta consiste in un test composto da 10 domande; per ciascuna di esse il test richiede allo studente di scegliere una tra le 4 risposte suggerite, delle quali una sola `e corretta. Supponiamo che uno studente risponda a caso ad ogni domanda e che la valutazione del test venga fatta attribuendo il punteggio +1 ad ogni risposta corretta e −, > 0 ad ogni risposta errata. Sia X il numero di risposte corrette del test e T il punteggio ottenuto. 1. Scrivere la densit` a di X. Risposta: X ∼ Bi(10, 1/4). 2. Calcolare E(T ) e determinare il valore 0 tale che per ogni > 0 non sia conveniente rispondere a caso. Risposta: T = X − (10 − X) = (1 + )X − 10, quindi E(T ) = (1 + ) E(X) − 10 =
5 10(1 + ) − 10 = (1 − 3). 4 2
E(T ) < 0 se > 0 := 1/3. 3. Dare una valutazione (approssimata) della probabilit`a che, per 100 esaminandi che rispondono a caso e indipendentemente uno dall’altro, il totale delle risposte corrette sia compreso tra 240 e 260 (Attenzione: 100 esaminandi rispondono ad un totale di 1000 domande). Risposta: Sia Y il numero totale di risposte corrette. Y ∼ Bi(1000, 1/4), P (240 < Y < 260) =
240 − 250 Y − 250 = P q
3 4
260 − 250
= Φ(0.73) − Φ(−0.73) = 2Φ(0.73) − 1 ' 0.54.
4
Esercizio 4 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio di densit`a fX,Y (x, y) = 1(x, y ∈ (0, 1))
ex−y+1 . (1 − e)2
1. Calcolare le densit` a marginali di X ed Y . Risposta: fX (x) = 1(x ∈ (0, 1))
ex e−1
fY (y) = 1(y ∈ (0, 1))
e1−y e−1
2. Calcolare Cov(X, Y ). Risposta: Dal punto precedente si vede che X ed Y sono indipendenti, quindi Cov(X, Y ) = 0. 3. Calcolare P (X < Y ). Risposta: ZZ P (X < Y ) =
fX,Y (x, y) dx dy = x
5
1 (e − 1)2
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