Cal Culo

Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades La Sumatoria es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y se define como : n S =∑xi = x1 + x2 + x3 +….+ xn m

Donde sus elementos son: S es la magnitud resultante de la suma m es el límite inferior (es el número inicial de donde comienza la sumatoria) n es el límite superior (es el numero hasta donde llegara la sumatoria) La variable i es el índice de la suma, que varía entre m y n x es el valor de la magnitud objeto de suma en el punto i Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i" Necesariamente debe cumplirse que: m, n sean números enteros y m ≤ n Propiedades de la sumatoria: Propiedad #1:

Propiedad #2:

Propiedad #3:

Propiedad #4:

Propiedad #5:

Propiedad #6:

Propiedad #7:

Propiedad #8:

Propiedad #9:

Propiedad #10:

Propiedad #11:

Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior Para encontrar el área de una región plana procedemos con un polígono que se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.

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Sea f: [a, b] → IR una función continua y no negativa. Considérese una región en el plano cartesiano como muestra la figura 1 acotada por el eje x, las restas x=a y x=b y la curva de la función y = F(x). Deseamos hallar la medida del área de la región R. para tal efecto, podemos proceder de dos maneras: Suma Inferior. De tal manera dividimos el intervalo cerrado [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud Δx. Donde Δx= (b-a)/n. denotaremos los puntos extremos de estos subintervalos por x0, x1, x2, x3,…., xn-1, xn; Donde x0=a, x1=a+Δx,…., xi=a+iΔx,…., xn-1=a+(n-1)Δx, xn=b Así mismo denótese el i-ésimo intervalo por [xi-1, xi]. Como f es continua en [a,b], f es continua en cada subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo sabemos que existe un numero en cada subintervalo para el cual f tiene un valor mínimo absoluto. Sea mi este número en el iesimo subintervalo, de tal modo que f(mi) es el valor mínimo absoluto de f en [xi-1, xi]. construidos el rectángulo ri de base el subintervalo[xi-1, xi] y de altura f(mi). El área de este rectángulo es

Área de Ri = f(mi)(xi-xi-1) = f(mi)∆x Este proceso se hace para cada i = 1, 2,3,….,n, y se obtienen n rectángulos inscritos en la región R. las figuras Nº 2 ilustran este proceso para los casos n = 2 y n = 4 Si

es la suma de las áreas de los n rectángulos inscritos, entonces Ó, con la notación sigma n Sn = ∑ f(mi)∆x m=1

Donde la expresión anterior tomara el nombre de suma inferior. Si A(R) es el área de la región R, tenemos que:

≤ A(R)

Si duplicamos el numero n, entonces se duplicara el numero de rectángulos, los que tendrán la mitad de ancho; sin embargo, la suma de la áreas de los nuevos rectángulos aproximara mejor a A(R) que la suma anterior. Si seguimos el proceso de duplicar el número n, cada vez obtendremos mejores aproximaciones para el área A(R). Se prueba en los cursos de cálculo avanzado que los números cuando la Sn, tiene un límite que es, precisamente, A(R). O sea n A(R) = Lim Sn = Lim ( ∑f(mi)∆x) i=1 i→1 i=1 Ár ea con rectángulos circunscritos Procedemos como en el caso anterior, con la variante de que cada subintervalo [xi-1, xi], en lugar de tomar el mínimo absoluto de f, tomamos el máximo absoluto. Esto es, en [xi-1, xi] hay un punto Mi tal que f (Mi) es el máximo absoluto de f en [xi-1, xi]. Construimos el rectángulo Ri con base [xi1, xi] y Altura f(Mi). Área de Ri = f(Mi)( xi-1, xi) = f(Mi) x Si n es la suma de las áreas de los n rectángulo, entonces n Sn =∑ f(Mi)∆x i=1 A la expresión anterior la llamaremos suma superior. Se cumple: A(R) ≤ Sn

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Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables. Método de sustitución o cambio de variables. Si se tiene f(x) dx, una integral no inmediata; se trata de hacer el cambio: x = g(t) ⇒dx = g´(t) dt para llegar a : ∫f (g (t)) g´ (t) dt, de modo que sea inmediata su resolución es decir, ∫b f (g(x)) g(x) dx= ∫g (b) f (u) du a

g(a)

Si aplicamos el Teorema Fundamental del Calculo Integral a la función f en el intervalo con extremos g(a),g(b), obtenemos ∫g (b) f (u) du = F (g (b)) −F (g(a)) g(a)