Caja[1]

XXII Olimpiada Thales

¡TEN AMIGOS “PA’ESTO”! Me ha llegado un aviso de correos para recoger un paquete. Aprovechando que mi amiga Carlota trabaja allí, la llamo para preguntarle las dimensiones y así saber si puedo ir en bici a recogerlo. En seguida me arrepentí, porque Carlota, que es una “pirá” de las matemáticas me dio la siguiente respuesta: Sólo te diré que tiene la misma forma que una caja de zapatos y que la superficie de sus caras es 120 cm2, 80 cm2 y 96 cm2 respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del paquete?

Solución

Menú

Solución 1

Solución

Solución 2

Menú

Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados

a c b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80

Enunciado

Solución 2

Menú

Solución: ¿Qué me dice esto que tengo?

 120 es un múltiplo de a y de b, o bien, a y b son divisores de 120.

 96 es un múltiplo de b y de c, o bien, b y c son divisores de 96.

 80 es un múltiplo de a y de c, o bien, a y c son divisores de 80. a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

 a es divisor común de 120 y de 80.  b es divisor común de 120 y de 96.  c es divisor común de 96 y de 80.

Enunciado

Solución 2

Menú

Solución:

a c

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

b Escribimos los divisores de los tres números.

De 120: 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 De 96: 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48 96 De 80: 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80 Y marcamos los divisores comunes a dos de ellos.

Enunciado

Solución 2

Menú

Solución:

a c

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

b Por tanto: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 Bastará buscar parejas cuyos productos sean los deseados.

Enunciado

Solución 2

Menú

Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16

Enunciado

Si c vale:

a

1

80

b

Solución 2

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

a·b = 120 ¿? ¡Pero a

≠ 80!

Menú

Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16

Si c vale:

a

1

80

2

Enunciado

b

48

Solución 2

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

a·b = 120 ¿?

¡Pero b

≠ 48!

Menú

Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16

Si c vale:

a

1

80

2 4

Enunciado

b

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

a·b = 120 ¿?

48 20

24

Solución 2

No

¡20·24

≠ 120!

Menú

Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16

Si c vale:

a

1

80

2 b

=

12

cm

c = 8 cm

b

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

a·b = 120

48

4

20

24

No

8

10

12

¡Siii!

a = 10 cm

Enunciado

Solución 2

Menú

Solución: a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16

Si c vale:

a

1

80

2 b

=

12

cm

a = 10 cm

Enunciado

c = 8 cm

b

a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80

a·b = 120

48

4

20

24

No

8

10

12

¡Siii!

16

5

6

No

Solución 2

¡5·6

≠ 120! Menú

Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución

¡A por la bici!

b

=

12

cm

c = 8 cm

a = 10 cm

Enunciado

Solución 2

Menú

Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados. Si desplegamos la caja tenemos que:

a

a c

120

b

80

96

c

b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Descomponiendo estos números tenemos que: 120= 23x3x5;

80= 24x5

y

96= 25x3

Si sustituímos los números por sus descomposiciones, tenemos

a

a

2x2x2x3x5 120

c

80 2x2x2x2x5

b

Enunciado

Solución 1

b 2 96 x22 x22 x3

c

Menú

Solución: Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que:

a =5x

a 120 80

2x2x2x3x5 120

c 96

80 2x2x2x2x5

b

b 2 96 x22 x22 x3

c

Quitemos pues el cinco de las descomposiciones

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que:

a =5x

a

2x2x2x3x5

120 80

c 96

2x2x2x2x5

b

b 2 96 x22 x22 x3

c

Quitemos pues el cinco de las descomposiciones

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Vamos a seguir con el 3... Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que:

a =5x

a 120 80

2x2x2x3x5 120

c 96

80 2x2x2x2x5

b

b =3x 2 96 x22 x22 x3

c

Quitando el 3 nos queda...

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Vamos a seguir con el 3... Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que:

a =5x

a 120 80

2x2x2x3x5 120

c 96

80 2x2x2x2x5

b

b =3x 2 96 x22 x22 x3

c

Quitando el 3 nos queda...

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Ahora sólo nos quedan potencias de 2 Si “a” tuviese a 2x2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones:

a =5x

a 120 80

b =3x

2x2x2x3x5 2x2x2

c 96

2x2x2x2 2x2x2x2x5

b

2 96 x22 x22 x3

c

El lado “c” tendría obligatoriamente el 2 en su descomposición y por tanto, “b” tendría a 24 en la suya lo que es imposible

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. Los quitamos

a =5x

a 120 80

2x2x2 120

c 96

80 2x2x2x2

b

Enunciado

Solución 1

=3x2 b =3 2 96 x22 x22 x3

c

Menú

Solución: Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. Los quitamos Si “a” tuviese a 2x2, entonces quitando dichos factores tenemos que:

a =5x

a 120 80

2x2 2x2120

c 96

80 2x2x2x2

b

b =3x2 2 96 x22 x2

c

El lado “c” tendría obligatoriamente el 22 en su descomposición y por tanto, “b” tendría en la suya a 22 lo que es imposible

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Razonando de la misma forma, si “b” tuviese a 2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones:

a =5x

a 120 80

2x2120 2x2

c 96

80 2x2x2x2

b

b =3x2 2 96 x22 x2

c

El lado “c” tendría obligatoriamente a 24 en su descomposición lo que no es posible.

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: =5x2 a =5

a 120 80

2x2120

c 96

80 2x2x2x2

b

=3x2 b =3x2x2 2 96 x22 x2

c

Y si los quitamos...

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir:

a =5x2

a 120 80

b =3x2x2

c 96

80 2x2x2

2 96 x22

c=2x2x2

b Y si los quitamos...

Enunciado

Es evidente que c=2x2x2

Solución 1

Menú

Solución: ¡Ya está!, vamos a comprobarlo: Tenemos que a · b = 120;

b · c = 96 y

a =10

a

120

120 80

a · c = 80

c 96

80

b =12 96

c=8

b

Enunciado

Solución 1

Menú

Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución

¡A por la bici!

b

=

12

cm

c = 8 cm

a = 10 cm

Enunciado

Solución 1

Menú