Caderno De Exercicios_ec

´ ´ ANALISE MATEMATICA I

Engenharia Civil

Exerc´ıcios das Aulas Pr´ aticas

Escola Superior de Tecnologia de Tomar Ano lectivo 2009/2010 - 1º Semestre

Conte´ udo 1 N´ umeros Reais

3

2 Fun¸ c˜ oes Reais de Vari´ avel Real

14

3 Limites e Continuidade

22

4 C´ alculo Diferencial

24

5 C´ alculo Integral

32

2

Cap´ıtulo 1

N´ umeros Reais ´nica potˆencia : 1. Apresente sob a forma de uma u √ ¡ ¢ 3 (a) 23 × − 8 ; (b) ( √13 )5 : ( √13 )5 : (−2)7 ; √ 23 (c)( 10) ; (d) (5)3 × (− 15 )−3 ; 1 (e) 3£−5 × 3−5 × ( 2 )¤5 ; (f) ( 23 )−7 : ( 32 )6 × ( 32 )−1 ; 1 −1 1 −2 1 5 (g) √ (2) + (2) √ − 52 ; (h)√3 × 2−2 + ( 16 ) : 2−18 − (−20 )18 ; √ (i) ( 5)−6 × 26 : ( 12 5)−8 ; (j) 3 + ( 3)5 : ( √13 )−3 . 2. Averigue o valor l´ogico da proposi¸c˜ao: 0.00006 × 106 + 0.01× 0.02 × 10−2

µ

1 10

¶−2 > 3.15 × 105

. 3. Coloque os n´ umeros seguintes por ordem crescente: (a) − 25 ; (− 25 )−3 ; (− 25 )0 ; (− 25 )−2 ; (− 25 )4 . (b) (− 73 )3 ; (− 73 )−2 ; (− 73 )−6 ; (− 73 )5 . 4. Calcule: p √ (a) 5 + 3 −1; p √ (d) 18 − 4; √ √ √ √ (g) 3 5 × 3 25 − ( 4 25 + 1)( 4 25 − 1);

r

r −1 1 (b) + ; √ √8 √4 (e) 2 7 − 3 14; √ √ 1√ 7 (h) 7 20 : 7 5 − 4; 3 3

5. Calcule o valor num´erico de √ √ (a) 2x2 + xy para x = 3, y = 2; √ (b) −4a + a2 para a = 2 − 3. 6. Complete de forma a obter proposi¸c˜oes verdadeiras: √ (a) ( 3 5)3 = . . .; √ (b) (− 10)2 = . . .; √ (c) ( 7 −28)7 = . . .; √ (d) (− 3)4 = . . ..

3

q

√ −10 + 4; √ √ √ 5 5 5 (f) 4 2 4; √ √ √ (i) 125 + 2 5 − (1 − 5)2 .

(c)

3

7. Diga se ´e par o n´ umero (a) 25000 × 10−2 − 1.36 × 102 ; (b) 1250 × 10−1 + 0.05 × 104 . 8. Determine os valores inteiros p tais que: (a)75 × 72p = 7−3 ; (c) 23 × 25−2p < 215 e p ∈ Z− ;

(b)73 × 49−p = 713 ; 1 (d)( 12 )p > 32 e p ∈ N.

9. Transforme as seguintes quantidades em radicais de ´ındice 3: √ (a) (2 3 5)2 ; √ √ (b) ( 3 2 × 9 5)3 ; p √ (c) 2 2 3 2; √ (d) 15 2. 10. Escreva sob a forma de frac¸c˜ao de denominador racional: (a) (d)

1√ ; 2− 7 3√ ; 4+2 5

√ 2 √ ; 2+ 7 1 √ 3 ; 2

(b) (e)

11. Mostre que (2 −

√

7)(2 +

√

(c) (f)

√

3√ ; 4−2 5 7 √ 3 . 5 2

√ √ 7) e (4 − 2 5)(4 + 2 5) s˜ao n´ umeros inteiros.

12. Simplifique as seguintes express˜oes: q q q √ (a) 32 − 23 ; (b) 12 + 8; p p √ √ √ √ √ 8 8 (d) 8 − 8; (e) 9 + 6 36 : 8 2; √ √ 4 (g) 167 ; (h) 5r0.00032; q q p p √ √ (j) 13 + 7 + 4; (k) 21 + 13 + 7 + 4;

p√

√ 3 − 8 9; √ 1 (f) 2√ − 7; p7 √ (i) 7 + 4; √ √ √ 8 2× 8 16 (l) 2 6√ . 5

(c)

13. Reduza a um radical cada uma das express˜oes: √ √ √ (a) 2 8 5; (b) 21 8 7; (c) 10 2; q √ √ 4 2 3 (d) 0.1 15; (e) 3 2; (f) 3 2 ; √ √ √ √ √ √ √ 8 8 8 5 (g) 2 2 4 8; (h) 30 : 5; (i) 5 2 2. 14. Simplifique as seguintes express˜oes: (a) a−5 .a−5 .

¡ 1 ¢5 2

;

√ √ √ 3 a b : 6 a.b; ¡ ¢6 ¡ ¢−1 ; (g) x−7 : x1 × x1 (d)

√ (b) 3y −2 3 y; q q (e) 3 − a13 + a12 ; ³ p ´3 (h) y 3 × − y 3 ;

15. Simplifique as seguintes express˜oes: µ ¶n µ ¶m 1 1 × , (m, n ∈ N, a > 0); (a) a a n

m

(b) (−a) + (−a) : ap , (m, n ∈ N, a > 0); µ ¶n µ ¶n 1 1 0 (c) (−a) − : , (n ∈ N, a, b > 0); b b ¡ ¢0 n (d) (−a) : an + ak , (n, k ∈ N, a > 0); 4

µ ¶−3 ¡√ ¢5 1 x+ x : √ ; x µ ¶−a 1 (f) xa . − ; x ³ ¡ ¢−k ´ (i) z −2 × z k+2 : z1 .

(c)

√

¡ (e)

¢n − ab : an ¡ 1 ¢p , (n, p ∈ N, a, b > 0); b

µ ¶−n µ ¶−n b d (f) −a − : , (n ∈ N, a, b, c, d > 0); c c ³ ´−p ³ ´k −n 0 − (−a) , (k, n, p ∈ N, a > 0); (g) (−a) 0

(h)

2−6 × a−3 × b4 , (a, b 6= 0). 4−2 × a−1 × b2

16. Simplifique as seguintes express˜oes: q √ √ 1 (a) × a2 × 3 a − 6 a, (a > 0); ap √ m n bk √ (b) , (k, m, n, p ∈ N, b > 0); p b q √ 4 (c) a3 , (a > 0); ³ √ ´ √ (d) a 1 − 4a , (a > 0); √ √ (e) (a − b c)(a + b c), (a, b ∈ R, c > 0); √ √ √ 3 3 (f) a 3 a 2a 3a, (a > 0); q √ √ (g) a b × a, (a, b > 0); √ √ b , (a, b > 0); (h) 3 a × √ 4 a q √ √ √ 3 (i) a × a2 − 2 × 6 a − 3 a, (a > 0); p √ √ 3 a a× 4b √ (j) , (a, b > 0); ab p p√ √ 9 3 a× b3 √ , (a, b > 0). (k) 3 b 17. Desenvolva e ordene, segundo as potˆencias decrescentes de x, os polin´omios: (a) (x − 1)2 (x2 + x + 1)2 ; (b) (x2 + 1)3 − 2(x2 + x)(x − 1) − 3(x + 1)3 . 18. Determine o termo de maior grau do polin´omio (x2 + x + 1)2 − 3(x2 − 7)(x + 2)2 + x4 + 2. 19. f e g s˜ao fun¸c˜oes definidas em R por: f : x 7−→ (x − 2)2 g : x 7−→ 5(x − 2)(3x − 5) (a) Determine, sob a forma de um polin´omio, a express˜ao da fun¸c˜ao f (x) + g(x). (b) Considere k(x) = f (x) − g(x). Factorize k(x). 20. Encontre os zeros dos seguintes (a) x3 + x2 − 10x + 8 = 0 (b) 2x3 − 9x + 2 = 0 (c) x4 + x3 − x2 − x = 0 (d) x3 − 5x − 2 = 0

polin´omios e factorize quando poss´ıvel: sabendo que x = 1 ´e um zero; sabendo que x = 2 ´e um zero; sabendo que x = −1 ´e um zero; sabendo que x = −2 ´e um zero. 5

21. Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divis˜ao de: (a) x3 + 2x2 − 1 por x + 3; (b) 2x4 − 3x − x2 + 2 por 2x − 1; (c) 2x3 − 3x4 + 1 por x − 1; 1 1 1 (d) − x2 + x4 − 3x + 1 por x + ; 8 2 2 (e) x − 10 − 3x2 + 2x3 por 3x − 9; (f) 2x5 + 30x2 − 40x + 100 por 2x + 6; (g) x3 − 5x + 3 por 2 − x. 22. Utilizando o algoritmo da divis˜ao, determine o quociente e o resto da divis˜ao de : (a) 4x2 − 2x + 3 por x − 1; (b) 4x − 2x4 + 6x2 por 2x2 + x − 1; 1 (c) x2 − 3x3 + 2x por 3x − 2; 2 (d) 4x3 − 3x2 + 13x + x5 por 3 − 2x + x2 ; (e) 2 − x6 + x5 por x3 − x + 1; (f) 5x − 3 por x2 − 3x + 1. 23. (a) Indique a express˜ao geral dos polin´omios do 3º grau que admitem as ra´ızes 1, 2 e 3. (b) Existe algum polin´omio do 3º grau que admita 1, 2, 3 e 4 como ra´ızes? 24. (a) Calcule a e b de modo que x4 + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1), para todo o x real. (b) Um polin´omio factoriz´avel tem sempre ra´ızes reais? 25. Determine uma rela¸c˜ao entre m e n de modo que a express˜ao (m − 1)x4 − 2x3 − 3nx2 + x + 1 se transforme num polin´omio em x divis´ıvel por x − 1. umeros reais a e b de modo que o polin´omio 26. Determine os n´ x4 − ax3 + bx2 + 3x + 1 seja divis´ıvel por (x − 1)(x + 1). umeros reais a e b de modo que o polin´omio 27. Determine os n´ x4 + ax3 + 3bx2 + 2x + 1 seja um quadrado perfeito. 28. Quatro cubos tˆem, respectivamente, por arestas, medidas em cent´ımetros, x, x + 1, x + 2 e x + 3, em que x ´e um n´ umero natural. Determine o valor de x de modo que a capacidade dos trˆes cubos de arestas x, x + 1 e x + 2 seja exactamente igual `a capacidade do cubo de aresta x + 3. 29. Calcule m, n e p de modo que sejam equivalentes as seguintes express˜oes em x: 3x3 − (m + n)x2 + 3x − 1 e (p + 5)x3 − px2 + (n + p)x − 1.

6

30. Resolva em ,R, as seguintes equa¸c˜oes: (a) x − 7 = 0; (c) −3x + 4 = 0; (e) 5x(x − 6) = 0; (g) 3x2 + 5x + 2 = 0; (i) (3x − 2)(2x + 3) = 0; (k) 2x3 − x2 + x − 2 = 0; (m) 9x2 − 30x + 25 = 0; (o) 16x2 − 12x = 12x − 9; (q) 5x2 − x + 1 = 0; (s) (x2 − 9)(2x − 5) = 0; (u) x(2x + 4)(5 − x) = 0; (x) (4x3 − x)x = 0; (aa)x2 (4x − 3)(4x2 + 3) = 0; (ac)4x3 − 2x2 = 0; (ae)x3 − 2x2 + x − 2 = 0; 4 2 (ag)x √ + x − 6 = 0; (ai) 3x + 1 = 2x;

(b) 8x + 16 = 0; (d) −5x − 2 = −3x; (f) x2 + x − 2 = 0; (h) 8x2 − 5x = 0; (j) 3x2 + 4 = 0; (l) 25x2 − 4 = 0; (n) 12x2 + 12x + 3 = 0; (p) x(x + 5) = 3(x + 5); (r) x2 − 2x + 1 = 0; (t) x2 + 4x + 2 = 0; (v) (x2 − 3x)(3x − 6) = 0; (z) (7x − 2)(x + 1) = 5(x + 1); (ab) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0; (ad) x3 = 2x; (af) 5x3 − 4x + 1 = 0; (ah) √ x6 − 2x3 + 1 = 0; √ (aj) x2 − 6 = x.

31. Resolva em R as equa¸c˜oes seguintes, aplicando a lei do anulamento do produto : (a) (3x − 2)(2x + 3) = 0; (c) x(2x + 4)(5 − x) = 0; (e) 25x2 − 4 = 0; (g) 12x2 + 12x + 3 = 0; (i) 0, 01x2 = 1; (k) x(x + 5) = 3(x + 5); (m) (3 + x2 )(x2 − 10x + 25)(x2 − 1) = 0; 32. Resolva em R as seguintes equa¸c˜oes: (a) (x2 − 1)(x − 3) + (3x + 3)(x − 3) = 0; (c) x3 − 5x2 + 6x = 0; 1 2x2 1 + = 2 ; (e) x−1 x+1 x −1 2 4 2 (g) (x + 1)(x + 2x + 1) = 1 .

(b) 5x(x − 6) = 0; (d) x2 (4x − 3)(4x2 + 3) = 0; (f) 9x2 − 30x + 25 = 0; (h) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0; (j) 16x2 − 12x = 12x − 9; (l) (7x − 2)(x + 1) = 5(x + 1); (n) x3 = 2x. (b)(x2 − 1)(x − 3) + (3x + 3)(x − 1) = 0; 5 (d) ( x2 − x − 3)2 = 0; 4 1 2 (f) 2 = ; x − 4x + 3 x−3

33. Considere a equa¸c˜ao 4x(x + 6) = (x − 5)(x + 6). (a) A equa¸c˜ao ´e equivalente a 4x = x − 5 ? Justifique. (b) Determine o seu conjunto-solu¸c˜ao. 34. Determine dois n´ umeros inteiros consecutivos, sabendo que o seu produto ´e igual ao qu´ıntuplo do menor n´ umero. 35. Determine a medida do comprimento do lado de um quadrado, sabendo que a ´area e o per´ımetro s˜ao expressos pelo mesmo valor (em cm e cm2 , respectivamente). 36. Num rectˆangulo, o comprimento ´e triplo da largura. Determine as dimens˜oes do rectˆangulo, sabendo que tem 0, 75 cm2 de ´area. 37. O produto de dois n´ umeros ´ımpares consecutivos excede o dobro do menor em nove unidades. Quais s˜ao os n´ umeros? 38. As idades de trˆes irm˜aos s˜ao n´ umeros pares consecutivos. O produto das idades que os dois mais novos ter˜ao daqui a quatro anos ´e doze vezes a idade que o mais velho ter´a daqui a dois anos. Determine a idade de cada um deles.

7

39. Na figura est˜ao representados um losango e um quadrado.

Determine a ´area da regi˜ao sombreada, supondo que: (a) O comprimento da diagonal maior excede o da menor em 4 cm e a ´area do losango excede a do quadrado em 5 cm2 . (b) A diagonal maior do losango ´e dupla da menor. 40. O quadrado da soma de dois n´ umeros ´e igual `a diferen¸ca entre a soma dos seus quadrados e −5. Qual ´e o produto dos n´ umeros? 41. Simplifique as seguintes frac¸c˜oes (a)

x−1 ; x2 − 1

(b)

(d)

x3 + 3x2 − 4x ; (x − 1)2

(e)

(g)

4 4 + . x2 + 1 x2 − 1

(x + 1)2 ; x2 − 1 x2

(c)

x 1 + ; −1 x−1

(f)

x2 − 4 ; x2 + x − 6 x2

1 2 3 + − ; −4 2−x x+2

42. Considere a fun¸c˜ao polinomial 7 1 f : x 7−→ 5x3 − x2 + 2 4 (a) Verifique que

1 ´e ra´ız de f . 2

1 (b) Para todo o x real, tem-se que f (x) = (x − )·g(x). 2 Encontre o polin´omio g(x). (c) Resolva a equa¸c˜ao f (x) = 0. 43. Considere o polin´omio p(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + 1. (a) Determine o polin´omio q(x) de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x). (b) Resolva a equa¸c˜ao p(x) = 0. 44. Indique o conjunto solu¸c˜ao de: √ √ 6 (a) 2x5 − 3 2√= 0; (b)0 = x√ + 3 2; (c) 0 = x7 − 3x; (d)x6 − 3 2 = 0. 45. Determine o conjunto solu¸c˜ao de: (a) x3 = −27; (d) x51 = 0; (g) x4 − 81= 0; (j) x8 + 9x2 = 0;

(b) x3 = 5; (e) x8 + 1= 0; (h) x2 − 15= 0; (k) x5 = −32;

(c) x291 = −1; (f) 64x6 − 1= 0; (i) x3 + 15= 0; (l) x3 = 10.

8

46. Transforme cada uma das inequa¸c˜oes seguintes noutra equivalente em que o primeiro membro seja x: (a) 3x < 6; (c) −3x < −6; (e) x − 7 < 2; (g) 4x + 5 ≤ −2; 2 (i) 3(x − ) < 2x; 5 2 (k) x − 1 < x − 2; 3 x−3 x−5 1 (m) − > 3x − ; 2 3 6 (o) −(x − (3 − x)) + 5x ≤ 4.

(b) −3x < 6; (d) 3x < −6; 1 (f) −x + ≥ 3; 2 3 (h) − 5x ≤ −1; 2 (j) −(5x − 2) + 6x > 7; x−7 3 (l) − x > x − 2; 2 4 3x − 5 4−x (n) −x>1− ; 4 2

47. Resolva, em R, cada uma das seguintes inequa¸c˜oes: (a)(x + 3)(x − 2) < 0; (c) (x − 1)(5x + 4) > 0; (e) 3x ≤ x2 ; (g) (x2 + 6)(3x + 5) < 0; (i) (2x + 5)(3 − x)(x + 2) ≥ 0; (k) (3x − 1)(x − 1)2 (x − 3)3 > 0; (m) −2x3 − 4x < −6x2 ; (o) x2 (−x + 2)(x2 − x − 6) > 0.

(b) (2 − 3x)(x + 3) < 0; (d) (2 − x)(5x + 7) > 0; (f) 3x2 < −8x; (h) (x2 − 9)(x2 + x) < 0; (j) (x − 1)(4 − x2 )(x2 − 3x) < 0; (l) (x2 − 10x + 21)(−x2 + 6) ≥ 0; (n) −3x2 + 2x > 5;

48. Qual ser´a a medida do lado dos quadrados para o qual o valor do dobro da ´area ´e maior que a medida do lado subtra´ıda de uma unidade? 49. Considere o polin´omio p(x) = 2x3 + 12x2 + qx − 84. umero real q de modo que -2 seja raiz do polin´omio. (a) Determine o n´ (b) Resolva a inequa¸c˜ao p(x) ≥ 0. 50. Considere a fun¸c˜ao polinomial g : x 7−→ x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15 (a) Prove que 1 e −1 s˜ao ra´ızes de g(x). (b) Determine os valores de x que satisfazem a condi¸c˜ao g(x) = 0. (c) Indique, recorrendo a intervalos de n´ umeros reais, o conjunto-solu¸c˜ao da condi¸c˜ao g(3x) ≥ 0. 51. Determine o dom´ınio de cada uma das √ 3 2x x2 + x (a) √ ; (b) ; 2 1 − x2 x −3 s q √ 49 − x2 (d) 2 + x + 1; (e) 3 ; (x − 1)2 r r x2 − x 3−x (g) + 3; (h) ; x 5x −3 √ 3 x − 4x2 + 1 (j) √ . x(x − 3)2

seguintes express˜oes designat´orias: r 1−x (c) 3 ; 3x − 1 p (f) −(x + 1)2 ; √ x−1 (i) √ ; 3 x+3

9

52. Defina, com a forma de condi¸c˜oes: 3 (a) ≥ 0; 2x + 3 1 (d) > x; x √ x−3 (g) > 0; x−4 1 1 (j) ≥ ; 3x + 1 x −(x − 3)4 ≥ 0; (m) x2 − 1 −x2 + 5x − 6 (p) 2 ≥ 0; x − 10x + 16 r 2 3 1 − 2x (s) ≥ 0. 3x2 + 1

intervalos de n´ umeros reais, o conjunto solu¸c˜ao das seguintes (b) (e) (h) (k) (n) (q)

2 ≥ x; x+1 2 x +5 < 0; 2 − 3x 2 x −9 ≤ 0; x2 + 4x (x − 1)3 ≤ 0; x2 (x + 3)2 1 1> ; x−3 5−x x+5 1+ > ; x−2 x+2

x−1 ≥ 0; 2 − 3x 2 x − 25 (f) 2 ≥ 0; x + 25 2 x (i) ≥ 0; (x − 3)(4 + x) (x + 1)5 (l) ≥ 0; 3x2 − x4 x2 − 2x + 3 (o) ≤ 1; 2x2 − 3x + 1 x+5 (r) √ < 0; x−2 (c)

53. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: x−3 x2 − 4 (a) ≥ 0; (b) 2 < 0; 1−x x − 5x 2 √ x − 5x + 6 (c) ≥ 0; (d) 5 + x < 1; x (e) x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0; (f) −2x3 + 6x2 − 4x < 0. 54. Complete com = ou 6= de forma a obter proposi¸c˜oes verdadeiras: (a) | − 3| . . . 3; (b) |3 − π| . . . 3 − π; √ √ (c) |π − 5| . . . π − 5; √ √ √ √ (d) | − 2 10 + 7| . . . 2 10 − 7; √ √ (e) | − 3 − 8| . . . 3 + 8. 55. Das afirma¸c˜oes seguintes, quais as verdadeiras e quais as falsas? Em cada caso explique porquˆe. (a) |x| = | − x|, para todo o x ∈ R. (b) Qualquer que seja o x ∈ R, |x| ≥ 0. (c) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| < 0. (d) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| ≤ 0. (e) |x1 | > |x2 | ent˜ ao x1 > x2 , para todo x1 , x2 ∈ R. 56. Mostre que: (a) x ≤ |x|,

∀x ∈ R;

(b) |x + y| ≤ |x| + |y|,

∀x, y ∈ R.

57. Resolva, em R, as seguintes equa¸c˜oes: (a) |2x + 3| = 9; (d) |4x − 5| = −9; (g) |x − 3| = x; (j) |x2 + 2x − 9| = 6; (m) |12x2 + 5x − 7| = 4;

(b) |3x − 5| = 7; (e) |2x + 3| = 4x − 1; (h) |2x − 1| = 2x + 1; (k) |x2 − 5x + 1| = 3; x−1 | = 2; (n) | 3x + 4 10

(c) |6x − 9| = 0; (f) |3x − 2| = 5x + 4; (i) |x2 + 4x − 1| = 4; (l) |x − 2| = |3x − 1|; (o)|x(x + 4)| = |1 − 2x|.

58. Nas colunas seguintes cada condi¸c˜ao (ai ) (i = 1, . . . , 10) ´e equivalente a uma e uma s´o condi¸c˜ao (bj ) (j = 1, . . . , 10). Indique todos os pares equivalentes. (a1 ) (a2 ) (a3 ) (a4 ) (a5 ) (a6 )

|x| < 4 |x − 1| < 3 |3 − 2x| < 1 |1 + 2x| ≤ 1 |x − 1| > 2 |x + 2| ≥ 5 1 (a7 ) |5 − | < 1 x (a8 ) |x − 5| < |x + 1|

(b1 ) (b2 ) (b3 ) (b4 ) (b5 ) (b6 )

4 < x < 6; x > 3 ∨ x < −1; −4 < x < 4; x > 2; −2√< x < 4; √ (− 3 ≤ x ≤ 1) ∨ (1 ≤ x ≤ 3);

(b7 ) 1 < x < 2; (b8 ) x ≤ −7 ∨ x ≥ 3; 1 1 (b9 ) < x < ; 6 4 (b10 ) −1 ≤ x ≤ 0.

(a9 ) |x2 − 2| ≤ 1 (a10 ) x < x2 − 12 < 4x

59. Represente,com intervalos de n´ umeros reais, o conjunto-solu¸c˜ao de cada uma das condi¸c˜oes: (a) |2x − 3| ≥ 1; (b) |3x − 1| ≤ 5; (c) |5 − 4x| ≥ 2; 1 2 (d)|1 − 2x| ≤ 1; (e) |x − 2| > 1; (f) | + 2| ≥ x; x 3x + 1 x2 − x + 2 x−1 (g) | | < 3; (h) | | ≥ 2; (i) ≥ 0; x+1 x−4 |x| − 3 2 |x + 1| − 3 |x| 4−x (j) ≤ 0; (k) 2 ≥ 0; (l) ≥ 0; x−4 x −1 |x| + 3 2 x 6 (m) ≤ 0; (n) |x4 − 4x2 | ≤ 0; (o) |x − | > 5; |x − 3| − 5 x 6x2 + 12 | < 3. (p) |3 − 2 x − 4x + 1 60. Aplique as propriedades das fun¸c˜oes exponencial e logaritmo e simplifique as express˜oes: (a) log 2 + log 5; (d) 32 log3 |x+1| ; (g) log 12 ( 18 )(2−x) ; (j) 2(x − 3) log4 2; (m)

log 23 ( 49 )(x− x2 − 5

√ 5)

;

61. Mostre que: loga x =

(b) log 6 − log 3 + elog 5 ; (e) 16log4 |x−1| ; (h) (ex )log 2 ; log3 |x + 1| (k) ; log3 5

(c) elog 5+log |x| ; 2 (f) 2log4 (x−2) + log3 9(x−1) ; (i) log e(x+2) ; √ (l) log |x2 − 1| − log 3 x − 1;

(n) 9(log3 |x+4|+2) ;

(o) a(2−loga |x|)/3 ,

log x log a ,

∀x > 0,

a ∈ R+ \ {1}.

∀a ∈]0, 1[∪]1, +∞[.

62. Simplifique as seguintes frac¸c˜oes e2x − 1 ; ex + 1 2 log x − 3 log x (c) ; log x 3x 2x 2e − e − 6ex (e) ; e2x − 4 2 x −1 (g) log x . e −1 (a)

e2x + ex − 2 ; ex − 1 log x + 2 (d) ; 2 log x + 2 log x 3x 2x x e + 2e − e − 2 (f) ; e2x − 1

(b)

63. Resolva em ordem a x as seguintes equa¸c˜oes: x ; 2−x (d) e2x+3 = 5;

(a) y =

(g) (x2 − 4)5x+2 = 0;

(b) y = −3 + log2 ( x2 ); 3

(e) y = log(x + 1) 2 ; (h) e2x − 5ex + 6 = 0;

11

e4x ; (c) y = 1 + 4 1 (f) log( − 1) = 2; x (i) 7x x2 − 7x 5x = 0.

64. Resolva em R: √ √ √ √ (a) loga (x 2 + x) = − loga (x 2 − x); (c) ex + 4e−x = 5; (e) x10x + 10x 5 > 0; ex − 1 (g) 2 > 0; x +1 1−x (i) 4 > 16; (k) log2 x − log x − 2 ≥ 0; (m) (x − 3) log 12 (x + 1) < 0; (o) log 13 (1 − x) < 2; 65. Calcule: (a) arcsin( 12 );√ (e) arccos(− 23 ); (i) sin( π3 − arcsin 54 ); (m) 2arccot(−1); (q) arccos(sin 5π 4 );

(b)log3 x = 12 + log9 (4x + 15); (d)7x x2 − 7x 5x = 0; (f) xex − 2ex < 0; (h) ex+2 log x − 2ex+2 > 0; (j) (2 + log x) log x ≤ 0; (l) log(x2 − 4) − log(x − 1) ≥ 0; (n) (2 − log x) log(x − 1) ≤ 0; (p) (x2 − 1) log2 x ≥ 0.

√

(b) arcsin(− 22 ); (f) sin(arcsin( 12√ )); 2 (j) π2 + arccos( 2√ ); (n) arcsin(sin(− 45 π)); 4 (r) sin(arcsin 12 13 + arcsin 5 );

(c) 2 arcsin(−1); (g) sin(arccos 53 ); 5 (k) cos(2 arccos(− 13 )); (o) sin(arctan 2); 7 (s) cos(arccos 15 17 − arccos 25 );

(d) cos(arcsin 12 ); (h) arcsin(sin( 2π 3 )); (l) arctan(tan(π)); √ (p) cos(arccos( 23 )); (t) sin( 12 arccos 45 ).

66. Simplifique as seguintes frac¸c˜oes sin x + 1 cos x + 2 (a) ; (b) ; 2 4 − cos2 x sin x − 1 2 sin x sin x − 3 sin x (c) ; ; (d) 2 cos x(sin x − 3) sin x + sin x 4 2 sin x − 1 1 − sin x (e) ; (f) ; 2 (sin x + 1) cos2 x + 2 cos x 2 cos3 x − 2 cos2 x − 3 cos x sin x − 9 ; (h) . (g) sin x + 3 cos2 x + cos x 67. Simplifique as seguintes express˜oes: sin2 x ; cos2 x (c) sin(x + π) + sin(x − 3π);

(a) 1 +

(e) − sin(x +

3π 2 )

1 − cos2 x ; sin x 1 1 (d) − cos(2x + 2); 8 8 (f) cos(x + 2π) − cos(π − x); 1 1 (h) + cos(2x) ; 4 4 1 (j) 1 − ; 1 − sin2 x 1 1 (l) + ; sin2 x 1 − sin2 x 2 2 cosh x − sinh x ; (n) 1 − tanh2 x cosh x sinh x − sinh x (p) ; cosh2 x − 1 2 1 + sinh x (r) . 1 + cosh(2x) (b)

+ cos( 27π 2 − x) + sin(x + 3π) − cos(7π − x);

(g)2 sin(5π − x) + 2 tan(3π − x) + 2 sin(x − 3π) + 3 tan(x − 7π) ; (i) tan(x + π) + tan(x − π); x 2 (k) + ; sin x cos x 1 1 (m) − ; 2 1 + sin x 1 − sin4 x 1 (o) 1 + ; 1 + sinh2 x 1 1 − ; (q) cosh x cosh x − cosh3 x

12

68. Verifique as seguintes igualdades: (a) sin(x + π4 ) sin(x − π4 ) = sin2 x − 12 , ∀x ∈ R; (b) sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x, ∀x ∈ R; 2π (c) cos(x) + cos(x + 2π ∀x ∈ R; 3 ) + cos(x − 3 ) = 0, 3 (d) cos(3x) = 4 cos x − 3 cos x, ∀x ∈ R; 2 (e) [cos(x) ¡+ cos(2x)] +¡ [sin(x) + sin(2x)]2 = 2 + 2 cos(x), ¢ ¢ x 2 x (f) 1 + cos 2 = 2 cos 4 , ∀x ∈ R; 1 1 (g)tan(2x) = − ; 1 − tan(x) 1 +¶tan(x) µ x ; (h)arctan x = arcsin √ 1 + x2 (i) sinh(3x) = 3 sinh x + 4 sinh3 x; (j)cosh(3x) =¡ 4¢cosh3 x − 3¡cosh ¢ x; 2 x x (k) 1 + cosh = 2 cosh 4 ; ¡ ¢ 2 sinh x (l) tanh x2 = 1+cosh . x 69. Mostre que: (a) sinh(−x) = − sinh x; (c) cosh2 x − sinh2 x = 1; (e)cosh2 x = 12 [1 + cosh(2x)]; (g) sinh2 x = 21 [cosh(2x) − ³ ´ 1]; (i) arg tanh =

1 2

log

1+x 1−x

(k) arg cosh x = log(x +

√

,

x ∈] − 1, 1[;

∀x ∈ R;

(b) cosh(−x) = cosh x; (d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x; (f)cosh x cosh y = 12 [cosh(x + y) + cosh(x − y)]; (h) (cosh x + sinh x)n = cosh(nx) + sinh(nx), n ∈ N ; √ (j) arg sinh x = log(x + x2 + 1);

x2 − 1), x ≥ 1.

70. Resolva as seguintes equa¸c˜oes: √ (a) 2 sin x =¡ −¢ 3; (c) 1 − tan x3 = 2; (e) 3(1 − cos x) = sin2 x; (g) sin x = cos x; (i) 3 cos2 x − 1 = −2 sin2 x + 2 cos x; (k) 2 cos x + 3 = 4 cos x2 ; (m) log 12 ( 12 sin(3x − 2)) = 1; (o) cos x − tan x = cos1 x ; sin x cos x (q) − = 1; 1 + cos x sin x π (s) | arcsin(x + 1)| = 4 ; (u) cosh x + sinh x = 3; (w) e2 tanh x+tanh x cosh x = 1;

(b) sin(2x) + sin π4 = 0; (d) cos x = sin2 x − cos2 x; (f) cos x + sin(2x) = 0; (h) 2 sin2 x − sin(2x) = 0; (j) cos x cos(4x) = cos(2x) cos(3x); (l) 3sin x+sin x tan x = 1; (n) log2 (sin x + 1) − 1 = 0 ; (p) 2 cos2 x + 3 = 3 sin2 x + 4 cos x; (r)log2 (arctan x) + 3 log(arctan x) + 2 = 0; (t) sinh x = 5; (v) 1 + sinh2 x = 3 cosh x; (x) sinh2 x − 2 sinh x + 1 = 0.

71. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: (a) log(1 − x) arctan(x + 2) ≤ 0; (x2 + x − 2)(ex − 2) ≤0; arcsin x arctan x + π6 ≥0; (e) log(x + 2) − 3 arcsin x 2 e (x − 5x + 4) (g) <0; arccos x log x + 1 > 0; (i) arcsin x (c)

(k) log(cosh x) ≥ 0; (m) | sinh x − 3| < 2.

(b)

(log x + 1)(2x − 3) ≥0; arctan x − π4

(d) (log x − 1)(arcsin x + π4 ) ≥ 0; log(x − 1) (f) | | ≤ 1; 2 log(x − 1) + 1 2x x e − 4e + 3 (h) 2 ≤0; (x − 1)(arccos x − π2 ) x2 − 1 (j) < 0; arg cosh(x + 3) earg sinh x (x − 1) (l) ≥ 0; cosh x + 2

13

Cap´ıtulo 2

Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real 1. Dadas as fun¸c˜oes reais de vari´avel real, m e p, definidas por m(x) =

2 e p(x) = 1 − 2x x+2

(a) Calcule o dom´ınio e o contradom´ınio das fun¸c˜oes. (b) Calcule (m ◦ p)(1) e (p ◦ m)(0). (c) Caracterize as fun¸c˜oes (m ◦ p) e (p ◦ m). 2. Sendo f e g duas fun¸c˜oes reais de vari´avel real definidas por √ f (x) = x − 4 e g(x) = 3 + x2 (a) Calcule o dom´ınio e o contradom´ınio das fun¸c˜oes. (b) Caracterize as fun¸c˜oes (f ◦ g) e (g ◦ f ). (c) Mostre que (f ◦ g) tem dois zeros e que (g ◦ f ) n˜ao tem zeros. √ 3. Sendo f e g fun¸c˜oes reais de vari´avel real definidas por f (x) = x e g(x) = x2 − 2. Determine express˜oes para as fun¸c˜oes compostas (f ◦ f ), (g ◦ f ), (f ◦ g), (g ◦ g) e indique o dom´ınio de cada uma dessas fun¸c˜oes. 4. Sendo f , g e h fun¸c˜oes reais de vari´avel real definidas por f (x) = x + 1, g(x) = x2 e h(x) =

√ x − 1,

caracterize as fun¸c˜oes (f ◦ g), (f ◦ f ), (g ◦ h), (h ◦ g). 5. Considere a fun¸c˜ao f , real de vari´avel real, definida por f (x) = x2 − 4 (a) Indique o dom´ınio e o contradom´ınio de f . (b) A fun¸c˜ao f ´e injectiva? Justifique. (c) Caracterize uma restri¸c˜ao g de f , injectiva e cujo dom´ınio seja R+ 0. 6. Dadas as fun¸c˜oes f e g, reais de vari´avel real, definidas por f (x) =

x+1 e g(x) = x2 − 3x x−3

(a) Calcule o dom´ınio de f e g.

14

(b) Indique, justificando , o valor l´ogico de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes: i. ∀ y ∈ R\{1}, ∃ x ∈ Df : f (x) = y; ii. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R : g(x) = y. (c) As fun¸c˜oes f e g s˜ao sobrejectivas? Justifique. 7. Dadas as fun¸c˜oes reais de vari´avel real definidas por: √ (i) f (x) = 3 − x2 ; (ii) h(x) = 2½− 1 − x; 1 2− 3 √ 2 ln(x) se x > 1 . (iii) s(x) = x+3 ; (iv) g(x) = 5−x se x ≤ 1 (a) Calcule o dom´ınio, o contradom´ınio e os zeros de cada uma das fun¸c˜oes. (b) Classifique-as quanto `a injectividade e sobrejectividade. 8. Considere as correspondˆencias definidas por: (i) f : R\N −→ R\Q (ii) f : R\N −→ R x −→

√ − 2 7−3x

x −→

1 3−x

(iii) f : R\]0,½2] −→ R\]1, 10] −x se x ≤ 0 com f (x) = −5x se x > 0

Para cada al´ınea verifique se: (i) f ´e uma fun¸c˜ao;

(ii) f ´e injectiva;

(iii) f ´e sobrejectiva.

9. Das seguintes afirma¸c˜oes indique, justificando, as verdadeiras e as falsas: (a) (b) (c) (d)

Seja Seja Seja Seja

f f f f

:R→R :R→R :R→R :R→R

tal tal tal tal

que que que que

f (2) = f (3); ent˜ao f ´e injectiva; f (2) = f (2); ent˜ao f n˜ao ´e injectiva; f (2) n˜ao existe; ent˜ao f n˜ao ´e injectiva; f (2) 6= f (3); ent˜ao f ´e injectiva;

(e) (f) (g) (h)

Seja Seja Seja Seja

f f f f

:R→R :R→R :R→R :R→R

tal tal tal tal

que que que que

f (x) = |x| ao f ´e injectiva; x ; ent˜ f (2) ≥ f (3); ent˜ao f ´e injectiva; f (R) = R; ent˜ao f ´e sobrejectiva; f (R) = ∅; ent˜ao f ´e sobrejectiva.

10. Dadas as fun¸c˜oes reais de vari´avel real, √ x 8 f (x) = − 4; g(x) = ; h(x) = 2 − x2 ; 2 x+2 (a) (b) (c) (d) (e) (f)

j(x) =

1 √ . 1 − x2 + 2

Determine os seus dom´ınios. Indique os contradom´ınios das fun¸c˜oes g(x) e h(x). Indique as fun¸c˜oes que s˜ao injectivas. Indique as fun¸c˜oes que s˜ao bijectivas. Caracterize, explicitando o dom´ınio e a express˜ao anal´ıtica, a aplica¸c˜ao inversa de g(x). Caracterize a aplica¸c˜ao (h ◦ g)(x).

11. Indique, justificando, se as seguintes fun¸c˜oes tˆem inversa: y

y

x x

(a)

(b) 15

y

y

x

x

(c)

(d)

12. Diga, justificando, quais das seguintes fun¸c˜oes s˜ao limitadas. (i) f (x) = x, x ∈ R; (iii) f (x) = x, x ∈ [0, 126];

(ii) f (x) = x, x ∈ R+ ; 2 , x ∈ R. (iv) f (x) = cos(x) − 7

13. Estude as fun¸c˜oes seguintes quanto `a paridade. (i) f (x) = x11 + 3x3 − x, x ∈ R; x−1 (iii) f (x) = , x ∈ R\{−1}; x+1 3 x −x (v) f (x) = , x ∈ R\{−1}; x+1

(ii) f (x) = x100 − 5x50 + 1, x ∈ R; (iv) f (x) = |x + 1|, x ∈ R; p (vi) f (x) = |1 − x2 |, x ∈ R.

14. Diga quais das seguintes fun¸c˜oes s˜ao peri´odicas e indique o per´ıodo: ³x´ 2 (i) f (x) = sin(2x + 5), x ∈ R; (ii) g(x) = , x ∈ R\{−6}; (iii) h(x) = sin , x ∈ R. x+6 π 15. A figura mostra a parte situada `a direita do eixo dos yy do gr´afico de uma fun¸c˜ao f (x). y

x

(a) Complete o gr´afico se f (x) ´e uma fun¸c˜ao par. (b) Complete o gr´afico se f (x) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.

16

16. A figura representa o gr´afico de uma fun¸c˜ao f (x). y

x

(a) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao g(x) definida por g(x) = |f (x)|. (b) Esboce o gr´afico de −f (x). (c) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao h(x) = f (−x). (d) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao i(x) = −f (−x). 17. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real f definida por f (x) =

√

x+1+3

(a) Indique o dom´ınio e o contradom´ınio de f . (b) Aver´ıgue se f ´e injectiva. (c) Caso seja poss´ıvel, determine a fun¸c˜ao inversa f . (d) Esboce, no mesmo referencial, os gr´aficos de f e f (−1) . 18. Determine, caso seja poss´ıvel, a fun¸c˜ao inversa, dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao definida por: (i) f (x) = 3 − 2x; 1 − 2x (v) f (x) = ; 1+x

(ii) f (x) = x2 − 1; (vi) f (x) = −3 + ln

¡x¢ 32 ;

(iii) f (x) = (vii) f (x) =

x 2−x ;

(iv) f (x) = 1 +

1 ; 2 + log2 (3 − x)

19. Considere a fun¸c˜ao g, real de vari´avel real definida por g(x) = 2 − log5 (x − 3). (a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de g. (b) Calcule, se existirem, os zeros da fun¸c˜ao. (c) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de g. 20. Seja t a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por t(x) = log2 (9 − x2 ). (a) Indique o dom´ınio e o contradom´ınio de t. (b) Justifique que a fun¸c˜ao n˜ao tem inversa. ³ 21. Considere a fun¸c˜ao f , real de vari´avel real, definida por f (x) = ln (a) Indique o dom´ınio de f . (b) Prove que f ´e ´ımpar. (c) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de f , caso exista.

17

2+x 2−x

´ .

e4x 4 ; x

(viii) f (x) = 1 +

2 ; 5

22. G1 , G2 , G3 e G4 s˜ao gr´aficos (mas n˜ao necessariamente por esta ordem) das fun¸c˜oes reais de vari´avel real, definidas como se segue:

y

G1

G2

G3 G4

x

f (x) = |x| + α g(x) = |x − β| h(x) = |x + β| i(x) = | − x − β| j(x) = | − x| + α l(x) = | − x + β| m(x) = |αx| com α e β pertencentes a R+ . Fa¸ca corresponder a cada fun¸c˜ao o respectivo gr´afico. 23. Represente geometricamente a fun¸c˜ao inversa das seguintes fun¸c˜oes: (a) y

x

(b) y

x

18

(c) y

x

(d) y

x

 x>2  x + 3 se |x| + 1 se −2 ≤ x ≤ 2 . 24. Considere a fun¸c˜ao f , real de vari´ avel real, definida por f (x) =  −x + 3 se x < −2 (a) Represente graficamente uma restri¸c˜ao de f ao intervalo [−4, 4]. (b) Verifique graficamente e prove analiticamente que f ´e uma fun¸c˜ao par. ½ −1 se x ∈ R\[−2, 2] (c) Sendo g a fun¸c˜ao definida por g(x) = caracterize analitica1 se x ∈ [−2, 2] mente (f + g) e esboce o seu gr´afico. 25. Represente graficamente cada uma das fun¸c˜oes reais de vari´avel real definidas por: (a) f (x) = x2 − 6x + 10; (b) g(x) = 2x2 + 12x + 16; (c) h(x) = |x + 1|;    2x − 1 x (d) i(x) = −  2  2x − 5 ½ 2 se (e) j(x) = x2 se ½ |2 − x| (f) l(x) = (x − 4)2

se

x≤0

se

0<x≤

se

x≥3

5 ; 2

x<0 ; x≥0 se se

x≤3 . x>3

19

√ x−1 26. Dadas as fun¸c˜oes f e g, reais de vari´avel real, definidas por f (x) = 1− x + 1 e g(x) = . x+1 (a) Calcule o dom´ınio de f e g. (b) Determine os zeros de (f ◦ g). (c) Caracterize as fun¸c˜oes (f + g), (f − g), (f × g) e

f g

.

27. Determine o dom´ınio e o contradom´ınio das fun¸c˜oes definidas por: (a) f (x) = −3 + arcsin(3x); (d) f (x) = 23 arccos( x2 − 3);

1 (b) f (x) = −2 + arcsin( x+1 ); 1−x2 (e) f (x) = π + arccos( 2 );

2

(c) f (x) = arcsin( x 2−1 ); 1 (f) f (x) = arctan( x+5 ).

28. Caracterize a fun¸c˜ao inversa de cada uma das fun¸c˜oes definidas por: (a) f (x) = 2 sin(3x);

(b) f (x) = 3 arcsin(2x − 1);

(d) f (x) = 5 − 3 arccos( x−1 3 );

(e) f (x) = 2 cot(x + π3 );

29. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real f definida por f (x) =

−1 + arccos(3x) ; 2 π (f) f (x) = tan( 4 ) − arctan( x3 ). (c) f (x) =

1 2

arcsin(3x − 2).

(a) Determine o dom´ınio de f .

√ 1 4+ 2 (b) Calcule f (1) + 2f ( ) − f ( ). 3 6 (c) Determine os zeros de f . (d) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de f . 30. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por g(x) =

π 2

− 3 arccos(x + 1).

3 (a) Calcule g(−1) − g(− ). 2 (b) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio da fun¸c˜ao. (c) Calcule os zeros de g, se existirem. (d) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de g. 31. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por h(x) = − π4 + arctan(2x − x2 ). (a) Calcule h(0) + h(1). (b) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de h. (c) Analise a existˆencia de zeros para a fun¸c˜ao. 1 32. Seja f a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por f (x) = 1 + arccot( x+1 ).

(a) Calcule f (0) + f (−2). (b) Determine o dom´ınio, o contradom´ınio e, se existirem, os zeros de f . (c) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de f . 33. Seja g a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por g(x) = principal). (a) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de g. (b) Calcule g(arcsin( 25 )). 34. Determine x sabendo que x = sin(arccos( 11 61 )). 20

1 (Considere a restri¸c˜ao sin(2x − π2 )

35. Seja g a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por g(x) =

1 . 1 − tan( x2 )

(a) Determine o dom´ınio de g. (b) Calcule g( π3 ). (c) Averigue qual o valor l´ogico da proposi¸c˜ao: ∀ x ∈ Dg , g(x + 2π) = g(x). 2 3π a (d) Sabendo que g(a) = e que < a < 2π, calcule cos( ). 3 2 2 √ 3 2 36. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por f (x) = arccos( − 2x). 2 (a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f . (b) Caracterize a fun¸c˜ao inversa de f . π (c) Resolva a equa¸c˜ao f (x) = . 4

21

Cap´ıtulo 3

Limites e Continuidade 1. Considere a fun¸c˜ao: ½ f (x) =

|x − a| 2

se se

x 6= a . x=a

Mostre que lim f (x) = 0. x→a

2. Considere as fun¸c˜oes: f (x) = x +

1 (x − 3)2

e

g(x) =

7 . (x2 − 9)(x − 3)

Determine lim (f (x) − g(x)). x→3

3. Considere as fun¸c˜oes: u(x) =

√

x+5

e

v(x) =

√

x−1 .

Calcule lim (u(x) − v(x)). x→+∞

4. Considere as fun¸c˜oes: u(x) =

1 x2

e

v(x) = x3 − 2x2 .

Calcule lim u(x).v(x). x→0

5. Investigue a existˆencia de limite, ou limites laterais, no ponto indicado, para cada uma das fun¸c˜oes definidas pelas express˜oes anal´ıticas seguintes: (a)

1 , x = −1; x5

(c) −|x + 2|, x = −2; 1 , x = −2 (e)1 + √ x+2 2x + 3 − 3 (g) , x = 3; x−3

3x2 − x + 4 , x = 2; ½ x5 − 7 |x − 1| se x≤2 (d) , x = 2; x2 se x>2 1 + x2 − x3 (f) , x = +∞; 1 + x4 1 (h) , x = 0. x

(b)

22

6. Estude a continuidade das fun¸c˜ oes e classifique as descontinuidades, se existirem.  2 ½  x − 4x + 3 ex se x < 2 se x 6= 3 ; (a) f (x) = (b) f (x) = ; 2 x − 3 x +1 se x≥2  2 se x=3 ( ( 1 1 se x < 1 se x < 0 (c)f (x) = ; (d) f (x) = . x−1 x x ln(1 + x) se x≥0 e se x ≥ 1 7. Considere a fun¸c˜ao: ( f (x) =

2x2 − k 1 x+ x

se

x<3

se

x≥3

.

Determine k de forma que a fun¸c˜ao seja cont´ınua em x = 3. 8. Considere a fun¸c˜ao:  

µ ¶ 1 x sin f (x) = x  5

se

x 6= 0

se

x=0

.

(a) Mostre que f (x) n˜ao ´e cont´ınua em x = 0. (b) O que seria necess´ario alterar para que a fun¸c˜ao passasse a ser cont´ınua em x = 0. √ 9. Discuta a continuidade de f (x) =

x2 − 9 . x−3

23

Cap´ıtulo 4

C´ alculo Diferencial 1. Calcule as seguintes derivadas, por defini¸c˜ao: (a) f (x) =

2 , no ponto x = 1; x

(b) f (x) =

x−1 , no ponto x = 0; 2−x

(c) f (x) = ln x, no ponto x = 2. 2. Determine, usando a defini¸c˜ao, f 0 (x0 ) nos seguintes casos: 1 , x0 ∈ R\{0}; x √ (b) f (x) = x, x0 ∈ R+ ; (a) f (x) =

(c) f (x) = ln x, x0 ∈ R+ . 3. Calcule, se existirem, as derivadas laterais de cada uma das seguintes fun¸c˜oes:   x2 + 1 se x < 2 , no ponto x = 2; (a) f (x) = 2  2x −1 se x≥2 ½ (x − 3)2 + 1 se 0 ≤ x < 3 (b) f (x) = , no ponto x = 3; 2x − 5 se 3 ≤ x ≤ 5 ( x se x 6= 0 1 , no ponto x = 0 . (c) f (x) = 1 + ex 0 se x = 0

24

4. Calcule a fun¸c˜ao derivada das seguintes fun¸c˜oes reais: 1 x ; + (x + 1)2 x+2 (4)f (x) = (3x2 + 5x)3 ; 2x + 1 (6)f (x) = ; 3−x p 4 (8)f (x) = x3 + 2x;

(1) f (x) = 3x(2x + 1)(2 − 3x);

(2) f (x) =

(3)f (x) = 4(3 − x) ; (5)f (x) = (x2 + 1)3 (3 − x)2 ; r x+1 (7)f (x) = ; 2−x 3x (9)f (x) = e ; √ (11)f (x) = 3 x ;

1

(10)f (x) = 2 x ; x+1 (12)f (x) = e x−1 ; ln (x) + 1 ; (14)f (x) = ln x −√1 (16)f (x) = ln p(ln ( x)); (18)f (x) = 7 Ã (x3 + x2 )6 ; ! r 1 + sin x (20)f (x) = ln ; 1 − sin x

(13)f (x) = xx ; (15)f (x) = sin3 (2x) ; (17)f (x) = ln (arctan (3x)) ; √ (19)f (x) = sin (x) tan (x2 ) + cos ( 3 x) ;

x

(21)f (x) = (sin x)ln(tan x) ;

(22)f (x) = 5 x−1 ; µ ¶ ex − e−x (24)f (x) = arctan ; 2 1 (26)f (x) = 3 ln x ;

(23)f (x) = ln(sin2 x) + sin(ln(x)) ; (25)f (x) = (xx )x ; ex−1 (27)f (x) = ; 1 + ex ln(ln x) ; (29)f (x) = arccos x (31)f (x) = coshµx ; ¶ √ 1 (33)f (x) = tan − cosh( x + 1) ; 2x cos x (35)f (x) = ex µ ; ¶ 2x (37)f (x) = ln ; 1 + 3x 2

(28)f (x) = ex − (1 − x2 ); (30)f (x) = sinh x; (32)f (x) = tanh x; (34)f (x) = sinh(ln x); (36)f (x) = ln(tan (x5 )); (38)f (x) = cosh(x2 ) ln(sinh x) .

5. Mostre que se y = c1 e2x + c2 xe2x + ex , c1 e c2 constantes, ent˜ao y 00 − 4y 0 + 4y = ex 6. Calcule a derivada de ordem n das seguintes fun¸c˜oes. (a) f (x) = xm ;

(b) f (x) = sin x;

(c) f (x) =

1 . x

7. Mostre que a derivada de ordem n da fun¸c˜ao f (x) = xe−x ´e dada por f (n) (x) = (−1)n (x − n)e−x . 8. Mostre que, a derivada de ordem n da fun¸c˜ao f (x) = ln(ax + b), ´e dada por f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1) !

an , para todo o n natural. (ax + b)n

9. Em cada uma das al´ıneas, calcule a derivada da fun¸c˜ao h(x) = (f og)(x) utilizando o Teorema da Derivada da Fun¸c˜ao Composta: (a) f (x) = 3x2 + 1 e g(x) = x2 − (b) f (x) =

√ 3

√

x;

x e g(x) = cos x;

(c) f (x) = 3x2 − 2 e g(x) = cos x;

25

(d) f (x) = x3 − 3x2 e g(x) =

√

x − 1.

10. Determine as equa¸c˜oes da recta tangente e da recta normal `as seguintes curvas, nos pontos indicados. (a) f (x) = x3 − 3x + 2, x0 = 2; (b) f (x) = 2x3 − 4, x0 = 2; (c) f (x) = ln x, x0 = 5; (d) f (x) = x2 , x0 = 0; (e) f (x) =

p

4 − x2 , x0 = 0;

(f) f (x) = x2 − ln(2x − 5), x0 = 3. 11. Escreva a equa¸c˜ao da recta tangente a x2 − xy + y 2 = 1 no ponto (−1, 0). √ √ 12. Seja y = f (x) definida implicitamente por x + y = 2. Escreva a equa¸c˜ao da recta normal ao gr´afico de f no ponto de ordenada y = 1. 13. Considere a fun¸c˜ao y = f (x), definida implicitamente por arcsin(x − y) = tan(y − 1). (a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da fun¸c˜ao y = f (x). (b) Escreva a equa¸c˜ao da recta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao no ponto de ordenada y = 1. 14. Considere a fun¸c˜ao y = f (x), definida implicitamente por y 3x

2

+1

+ arctan (x2 y) = ln(e + y − 1).

(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da fun¸c˜ao y = f (x). (b) Escreva a equa¸c˜ao da recta tangente `a curva no ponto de ordenada y = 1. 2

15. Seja y = f (x), definida implicitamente por ey −1 + arctan(x2 y) = ln(e + y − 1). Escreva a equa¸c˜ao da recta normal ao gr´afico de f no ponto de ordenada y = 1. √ 16. Seja y = f (x) definida implicitamente por arctan(xy) + y = 1. Escreva a equa¸c˜ao da recta normal ao gr´afico de f no ponto de ordenada y = 1. √ 17. Seja y = f (x) definida implicitamente por arcsin y + x + y = 1. Escreva a equa¸c˜ao da recta normal ao gr´afico de f no ponto de ordenada y = 0. 18. Seja y = f (x) a fun¸c˜ao definida implicitamente pela equa¸c˜ao xy = y 2 . (a) Determine a equa¸c˜ao da recta normal ao gr´afico da fun¸c˜ao no ponto de ordenada −1. (b) Calcule (F of )0 (1) sabendo que F 0 (−1) =

1 e

19. Seja y = f (x) definida parametricamente por x = arg sinh(3t + t3 ) e y = tanh t, (t ∈ R). Calcule f 0 (0).

26

20. Calcule f 0 (0) e escreva uma equa¸c˜ao da recta tangente afico da fun¸c˜ao y = f (x), no  ao gr´ 3t e − e−3t   x= e3t + e−3t , (t ∈ R). ponto x = 0, sendo f definida parametricamente por 2   y= 3t e + e−3t 21. Um objecto rola num plano inclinado de tal modo que a distˆancia s(t) (em metros) que ele percorre, em t segundos, ´e dada por s(t) = 5t2 + 2. (a) Qual a sua velocidade ap´os um segundo? (b) Quando ´e que a sua velocidade ser´a de 28m/s? 22. A fun¸c˜ao posi¸c˜ao s(t), de um ponto em movimento rectil´ıneo, ´e dada por s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t − 10, com t medido em segundos e s em metros. (a) Determine a acelera¸c˜ao quando a velocidade ´e de 12m/s. (b) Determine a velocidade quando a acelera¸c˜ao ´e de 10m/s2 . 23. Prove que f (x) = x3 − 8x − 5 verifica a hip´otese do Teorema do Valor M´edio em [1, 4] e determine c ∈]1, 4[ que satisfaz a conclus˜ao do referido Teorema. 24. Se f (x) = |x|, mostre que f (1) = f (−1) ,mas f 0 (c) 6= 0, ∀c ∈] − 1, 1[. Porque n˜ao contradiz tal facto o Teorema de Rolle? 25. Mostre que f (x) = 3x2 − 12x + 11 satisfaz a hip´otese do Teorema de Rolle em [0, 4]. 26. Verifique se a fun¸c˜ao f (x) =

1 satisfaz a hip´otese do Teorema do Valor M´edio em (x − 1)2

[0, 2]. 27. Prove que a fun¸c˜ao f (x) = 5sin(x) − 20 log3π (x + 1) tem pelo menos um zero no intervalo [0, 3π] e determine-o com duas casas decimais correctas. 28. Calcule os limites: √ 2− 4−x (a) lim , x→0 x 7 sin(x) − 2x − x2 , x→0 sin(x) − 2x

(g) lim

x→0

(c) lim

4x3 + 2x2 + 1 , x→+∞ 3x3 − 5

(f) lim

x→−∞

(d) lim

√

x+1 , x

(b) lim

(h) lim

x→−∞

eαx − eβx , x→0 sin(αx) − sin(βx) x→ 2

2

(x)

x+1 x

sin(x) , x→0 x

(j) lim

(m) limπ (1 − sin(x))cos

(e) lim

µ

1 + x2 − 1 , x

x→0

(k) lim

x2 + x − 1 ; x→+∞ 2x + 5

¶x ,

x − cos(x) ; x + cos(x)

(i) lim

x→0

x sin(x) ; 1 − cos(x)

(l) lim xe−x ; x→+∞

.

29. (a) Enuncie e fa¸ca a interpreta¸c˜ao geom´etrica do Teorema de Lagrange (Valor M´edio). (b) Dada a fun¸c˜ao f (x) = 0

c ∈]1, 2[,tal que f (c) =

√ 1 , verifique x−1 f (2)−f (1) . 2−1

27

se o teorema anterior garante a existˆencia de

30. Considere a fun¸c˜ao f , real de vari´avel real, definida por:

f (x) =

³π ´   sin x   2

, x≤1

   ln(2 − x) 2 − 2x

, x>1

.

(a) Indique o dom´ınio da fun¸c˜ao. (b) Estude a continuidade da fun¸c˜ao no seu dom´ınio. 31. Calcule lim

x→0

ln(cos(x)) . x2

32. Estude as seguintes fun¸c˜oes, reais de vari´avel real, quanto `a monotonia e determine o seu contradom´ınio, calculando em seguida, se existir, a inversa. 1+x x (a) f (x) = x2 , (b) f (x) = , (c) f (x) = ; ln(x) 1−x (d) f (x) =

x+1 , x

(e) f (x) = |x + 1|,

(f) f (x) = ln(x2 ).

33. Determine os m´aximos e m´ınimos locais das seguintes fun¸c˜oes. p √ √ (a) f (x) = 8 + x − 8 − x, (b) f (x) = 1 − x2 , (c) f (x) = xe−x ; (d) f (x) = |

x+1 |, x−3

(e) f (x) = x2 +

1 , x

(f) f (x) = sin(x) +

x . 2

34. Estude as seguintes fun¸c˜oes quanto ao sentido da concavidade e determine eventuais pontos de inflex˜ao. x2 − 2x + 2 (a) f (x) = x3 − 3x2 , (b) f (x) = , (c) f (x) = xx ; x−1 (d) f (x) = sin(x) + cos(x),

(e) f (x) = √

x x2

−1

,

(f) f (x) = cos(3x).

35. Determine as ass´ımptotas de curvas representativas, das seguintes fun¸c˜oes reais de vari´avel real. sin(x) 2x , (b) f (x) = e−x + x, (c) f (x) = ; (a) f (x) = 1 − x2 x (d) f (x) =

x3 , +1

x4

(e) f (x) =

1 , 1 − ex

(f) f (x) = ln(x2 ).

28

36. Fa¸ca o estudo completo das seguintes fun¸c˜oes reais de vari´avel real. 2 (a) f (x) = 2 − x2 ; (b) f (x) = ; (c) f (x) = x3 − 2x2 ; x−5 x2 + |2x + 1| ; x

(d) f (x) = ln(x + 1);

(e) f (x) =

(g) f (x) = e−x cos(x);

(h) f (x) = | ln |x||;

  (j) f (x) =



√

−x

,

x<0

,

x≥0

(f) f (x) = sin(x) + cos(x); (i) f (x) = arctan(sin(x) + cos(x));

. ln(x + 1)

37. Considere a fun¸c˜ao   f (x) =



x2 − 4

se x < 2 .

ln(x − 1)

se

x≥2

Indique, justificando, o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes (a) o dom´ınio de f ´e ]1, +∞[. (b) f ´e cont´ınua em x = 2. (c) f 0 (2) = 1. (d) f tem um m´ınimo local em x = 0. (e) f tem concavidade voltada para baixo em [2, +∞[. 38. Na figura seguinte est´a representado o gr´afico de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real, para x ∈ [−4, 4]. y 2

1

-4

-2

2

4

x

-1

-2

Fa¸ca um esbo¸co gr´afico da respectiva derivada. 39. De entre dois n´ umeros reais positivos, cuja soma ´e 40, determine aqueles cujo produto ´e m´aximo. 40. De entre os rectˆangulos de per´ımetro P, qual o de maior ´area? 41. Uma pista de atletismo, com per´ımetro de 400m, ´e formada por duas semicircunferˆencias iguais e dois segmentos de recta iguais. Quais s˜ao as dimens˜oes da pista (comprimento dos segmentos de recta e raio da circunferˆencia) que compreendem ´area m´axima? 29

42. Mostre que se a soma de dois n´ umeros ´e constante, a soma dos seus quadrados ´e m´ınima quando estes dois n´ umeros s˜ao iguais. 43. As medidas sucessivas duma grandeza x (que varia em R) deram os seguintes resultados: x1 , x2 , x3 , · · · , xn−1 , xn Minimize a soma dos quadrados dos desvios S(x) = (x − x1 )2 + (x − x2 )2 + · · · + (x − xn )2 . 44. Calcule √ o diferencial das seguintes fun¸c˜oes, nos pontos indicados, para os acr´escimos referidos: (a) 5 x, x = 1, dx = 0.1; (b) y = ln(x) + x2 , (c) y = ex (d) y =

2

√ 4

−1

x,

,

x = 1,

dx = 0.01;

x = 0,

dx = 0.2;

x = 16,

dx = 0.1.

45. Calcule o valor aproximado de: √ √ √ 4 5 (a) 1.02, (b) 0.98, (c) 9.002. 46. Obtenha, por meio de diferenciais, o aumento aproximado novolume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm a 10.1 cm. Qual a varia¸c˜ao exacta do volume? ` medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha c´onica cuja altura ´e 47. A sempre igual ao raio. Se em dado instante, o raio ´e de 10 cm, use diferenciais para aproximar a varia¸c˜ao do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha. 48. Pretende-se construir uma caixa rectangular fechada com altura igual `a largura e com 2 m3 de volume. Se os custos por metro quadrado de material, para os lados, o fundo e a tampa s˜ao, respectivamente, 2 euros, 3 euros e 1 euro, determine as dimens˜oes que minimizam o custo total da caixa. 49. A soma dos lados AC e BC do triˆangulo da figura ´e dada por: f (x) =

p

(x + a)2 + h2 +

p (x − a)2 + h2 .

y

C(x,y)

h A −a

B O

x

x

a

De todos os triˆangulos com base e ´area fixa, procure o que tem menor per´ımetro. 30

50. O Sr. Manuel pretende alugar uma casa. Se ele viver a x quil´ometros do seu local de trabalho, o custo do seu transporte ser´a de cx euros por mˆes. Por outro lado, a sua renda 25c ser´a euros. A que distˆancia do seu trabalho ele dever´a viver, de forma que as suas x+1 despesas, de transporte e renda, sejam m´ınimas.

31

Cap´ıtulo 5

C´ alculo Integral 1. Calcule: Z (a) 3x dx; Z

Z

1 x −x+1− dx; x+1 2

(d)

Z (e)

Z x

e cot(e ) dx; Z

(j)

(h)

p

sin(3x) 1−

cos2 (3x)

(k)

dx;

(n) Z

32x dx;

2. Calcule: Z (a) x3 + x2 − 3x + 4 dx; Z (d) Z (g)

Z

Z (p)

Z (b) Z (e)

1 dx, n 6= 1; (x − a)n

(h)

Z

(k)

arcsin(x) √ dx; 1 − x2

(n)

etan(x) dx; cos2 (x)

Z (i)

dx;

(l) Z

tan(x) dx; cos2 (x)

(o)

1 (cos(6x) + cos(−2x)) dx; 3

(r)

(q)

1 dx; x(1 + ln(x))2 2 cos(x) sin(x) q dx; 1 + sin2 (x) 1 (sin(5x) + sin(x)) dx; 2

Z 23x −

√ 1 + 1 − x dx. x−5

tan2 (x) sec2 (x) dx;

(c) Z (f)

1 dx; 1 + cos(x)

(i)

Z Z

1 dx; 1 + x − x2

(l)

sin(2x) cos(4x) dx;

(o)

Z

Z

x

Z

−3x dx; x4 + 54

√

x

(e 7 − e− 7 )2 dx;

(f)

Z −x2

x2 − 2x3 + x5 + 2 dx; 3

Z

e4x √ dx; 3 − e4x

√ 2a b 3 √ − 2 − 3k x2 dx; x x

Z

x−1 dx; a2 − x2

√

(m)

(q)

x2 √ dx; a2 + x3

Z (j)

(c)

2 − dx; x+3

4xe Z

Z (p)

3x

Z

x4 − 4 dx; 3

Z

earctan(x) dx; 1 + x2

Z (m)

e Z

x

(g)

−x2 −

(b)

1 dx; x2 + 2x + 5 1 dx; x2 + a2 1 p dx; 2 a − (x + b)2

Z

ln(x) dx; x

32

cos(6x) cos(5x) dx; Z

(r)

3 tan(2x) cos(2x) sin( x) dx. 2

3. Calcule, utilizando o m´etodo de Primitiva¸c˜ao por Partes: Z Z Z (a) x ln(x) dx; (b) ex cos(x) dx; (c) sin(ln(x)) dx; Z

Z

(d)

xe−x dx;

(e)

x sin(x) dx;

(h)

x dx; cos2 (x)

(k)

Z

Z x2 ex dx;

(f)

2x ln2 (x) dx;

(i)

ln(x) dx;

(l)

Z

(g) Z (j) (m)

Z

Z

Z (n)

x cos(x) dx;

(q)

Z Z

Z 2

(s)

(x − 1) cos(x) dx;

(t)

x5x dx;

(x)

Z

Z

(v)

ln(2x) dx; Z

arctan(x) dx;

(o)

arccos(x) dx;

(r)

Z

(p)

3x ex−1 dx; Z

Z cos(ln(x)) dx;

2x3 ex dx;

sin(3x) cos(x) dx; Z

1 dx; 2 sin (x) cos2 (x)

√

x arcsin(x) dx; 1 − x2

Z (u)

(x + 1)10 (2x + 1) dx;

ln2 (x) dx. x2

4. Calcule as seguintes primitivas de potˆencias de fun¸c˜oes trigonom´etricas: Z Z Z Z 5 2 3 (a) cos (x) dx; (b) sin (x) dx; (c) sin (x) dx; (d) cos2 (x) dx; Z

Z sin4 (x) dx;

e)

(f)

Z cot3 (x) dx;

(g)

Z tan3 (x) dx;

tan2 (x) dx;

(h)

Z cot4 (x) dx.

(i)

5. Calcule as seguintes primitivas de fun¸c˜oes racionais: Z Z 1 x+1 (a) dx; (b) dx; (x − 2)(x − 3) x(x − 1)2 Z Z x+1 2 dx; (e) dx; (d) (x + 1)(x − 3) x(x − 1) Z (g) Z (j) Z (m)

x4 + 3x3 dx; x2 − 3x + 2 1 dx; (x − 1)2 (x + 1)2 x+1 dx; (3x2 + 5)2 (x − 1)

Z (h) Z (k) Z (n)

x+2 dx; (x − 1)2 −x3 − 5x + 9 dx; (x − 1)3 (x + 2) x+3 dx; x(x2 + 1)2

33

Z (c) Z (f) Z (i) Z (l) Z (o)

1 dx; (x − 2)(x + 2) 2x + 4 dx; 4x2 + 2x x+1 dx; x(x − 2)3 1 dx; (x2 + 1)(x − 1) (x + 1)2 dx. x2 (x2 + 1)

6. Calcule as seguintes primitivas efectuando a mudan¸ca de vari´avel adequada: Z Z Z x3 1 1 √ p (a) dx; (c) dx; (b) dx; 2 2 x8 + 5 (1 − x ) 1 − x x(3 − x) Z √

(d) Z (g) Z (j)

x3 dx; 1 − x2

Z

1 √ dx; (4 + x2 ) 4 + x2

(e)

3x dx; 2x 3 − 3x − 2

(h)

sin5 (x) p dx; cos(x)

(k)

Z p Z r

Z √ (f)

4 − 4x2 dx;

(i)

1−x dx; 1+x

(l)

Z p

4 − x2 dx;

Z

7. Calcule as seguintes primitivas: Z x Z e −4 2ex (a) dx; (b) dx; 2x e −1 2 + ex + e−x Z (d)

Z

x2 √ dx; x

(e)

x ln(x) dx;

(h)

Z (g)

Z

Z (j)

(m)

5x dx; 53x + 5−x

(k)

(s)

Z

(n)

1 √ dx; x + x1/3

(q) Z (t)

x5 dx;

(c) Z (f)

x dx; (x + 3)(x + 1)(x + 5)

(i)

1 dx; x ln(x)

Z cos(a + bx) dx; Z

3

(l)

e2x dx; ex + 1

(o)

sin (x) dx;

Z x sin(x) cos(x) dx;

Z

1 dx. x2 − 9

ln(x) dx; x

Z r

Z (p)

√

Z arcsin(x) dx;

Z

x−1 √ dx; x

1 √ dx; (2x − 1) 1 − 2x sin(x) cos(x) dx; 1 + sin4 (x)

x arctan(x) dx; Z

sin(x) dx. cos(x) + cos2 (x)

Z (r)

arccos(x); dx; Z

(u)

x+1 √ dx. x

8. Seja h(x) = ex − 2x − 2 (a) Escreva a equa¸c˜ao da recta tangente ao gr´afico de h em x = 0. (b) Prove que o gr´afico da fun¸c˜ ao dada intersecta a recta de equa¸c˜ao y = −2x + 1 em pelo menos um ponto do intervalo ]0, 2[. (c) Determine a fun¸c˜ao H, primitiva de h, tal que H(0) = 0.

34

9. Calcule os seguintes integrais definidos: Z 1 Z 5 3 (a) 5x dx; (b) 4x2 − 12x dx; 0

Z

2

(d)

3

x dx;

e

1

Z

5

|x − 3| dx;

(g)

(j)

−1

Z

2 dx; x

(f)

x(x2 − 1)9 dx;

(i)

(x + 1)(x3 + 2) dx;

(k)

2

1 x−2 sin( ) dx; x

1 π

−2

Z

2 π

Z

1

(h)

−2

Z

3x dx;

−2

(e)

1

−1

(c)

3

Z

Z

Z

π 2

cos3 (x) dx;

0

Z

e

ln(x) dx;

(l)

1

4

2

x3 + 1 dx. x2 − 1

10. Calcule a medida da ´area da regi˜ao plana limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oes: (a) y = 0 e y = 4x − x2 ;

(b) y = x2 − 7x + 6, y = 0, x = 2 e x = 6;

(c) x = 8 + 2y − y 2 , x = 0, y = 1 e y = 3;

(d) y = x3 − 6x2 + 8x e y = 0;

(e) x = 4 − y 2 e x = 0;

(f) y = 6x − x2 e y = x2 − 2x;

(g) y 2 = 4x e y = 2x − 4;

(h) y = ex , y =

(i) y = e−x , xy = 1, x = 1 e x = 2;

(j) y = 2x , x + y = 1 e x = 1;

(k) y = e2x , y =

x , x = 0 e x = 1; x2 + 1

√

x, x = 0 e x = 1;

(l) y = sin(x), y = cos(x), x = −

π π ex= . 2 6

11. Calcule a medida da ´area da menor regi˜ao limitada pelo c´ırculo x2 + y 2 = 25 e pela recta x = 3. 12. Determine a medida da ´area de superf´ıcie comum aos c´ırculos x2 + y 2 = 4 e x2 + y 2 = 4x. 13. Calcule a ´area da regi˜ao plana fechada, delimitada por y = x2 e y = |x|. 14. Calcule a ´area da regi˜ao plana fechada, compreendida entre as curvas y = x3 , y + x = 2 e y + 1 = 0. 15. A regi˜ao plana limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oes y = x, y = 2x e y = x2 roda em torno do eixo dos xx. Determine a medida do volume do s´olido gerado por essa rota¸c˜ao. 16. A regi˜ao plana limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oes y = x3 e y 2 = x roda em torno do eixo dos xx. Determine a medida do volume do s´olido gerado por essa rota¸c˜ao. 17. Determine o volume do s´olido gerado pela revolu¸c˜ao em torno do eixo xx (a) da elipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 ; (b) da regi˜ao sob o gr´afico da y = sin(x), x = 0 e x = π. 2

18. A regi˜ao plana limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oes y = e−x , y = 0, x = 0 e x = 1 roda em torno do eixo dos yy. Determine a medida do volume do s´olido gerado por essa rota¸c˜ao. x a x 19. Determine o volume do corpo gerado pela rota¸c˜ao da caten´aria y = (e a + e− a ) em torno 2 do eixo dos xx entre os planos x = 0 e x = a.

35

20. Determine o volume do toro gerado pela rota¸c˜ao do c´ırculo x2 + (y − b)2 = a2 em torno do eixo das abcissas (sup˜oe-se que b ≥ a). 21. A figura delimitada pela curva y = xex e pelas rectas y = 0 e x = 1, roda em torno do eixo das abcissas. Determine o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado. 22. Calcule o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao, em torno do eixo dos yy, da regi˜ao limitada pela circunferˆencia x2 + y 2 − 2y = 0. 23. Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios: Z 1 Z +∞ Z −x (a) ln(x) dx; (b) e dx; (c) 0

0

Z

+∞

(d)

e √

1

Z

0

(g) −1

Z

+∞

1

√ a

Z

1 dx b−x

1

√

(p) −∞

1 dx; 1−x

Z

+∞

sin(x) dx; +∞

Z e2x dx;

1

(n) −1

Z (q) 0

Z

1 (x − a)

a

(a < b);

0

b

(k)

+∞

(i)

−∞

Z

1 dx; x+1

−∞

(h) Z

0

(f)

−∞

Z

x3 + 1 dx; x2 − 1

1

(e)

x dx; 1 + x2

b

(m)

x

dx;

1 dx; x

(j) Z

Z

√ − x

2

3 2

dx;

1 dx; x2

+∞

2x + 1 dx; x2 + 1

36

4

(l) −1

Z

1 dx; x−4

+∞

(o)

1 dx; x−2

x7 dx

(a > 0);

a

Z

2

(r) 0

1 2 √ +√ dx. x 2−x