Cac Mo Hinh Vu Tru
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Cac Mo Hinh Vu Tru as PDF for free.
More details
- Words: 11,585
- Pages: 42
§¹i Häc S Ph¹m Hµ Néi Khoa VËt Lý
−−−?−−−
C¸c m« h×nh Vò trô
Chuyªn ngµnh: VËt Lý Thiªn V¨n Lý ThuyÕt
Khãa LuËn Tèt NghiÖp
Sinh viªn thùc hiÖn: §oµn KiÒu Anh Líp: A K53 Ngêi híng dÉn khoa häc: TS NguyÔn Quúnh Lan
Hµ Néi, 5 / 2007 1
C¸c m« h×nh Vò trô
Th¸ng 5 - 2007
Lêi c¶m ¬n
Em xin ch©n thµnh bµy tá lêi c¶m ¬n tíi c« NguyÔn Quúnh Lan, ngêi ®· quan t©m, tËn t×nh híng dÉn, chØ b¶o, cung cÊp tµi liÖu, ph¬ng thøc nghiªn cøu cho em trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi khãa luËn tèt nghiÖp. Em xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong khoa VËt lý trêng §¹i Häc S Ph¹m Hµ Néi, ®Æc biÖt lµ c¸c thÇy c« trong tæ VËt lý §¹i c¬ng, cïng b¹n bÌ ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì em trong qu¸ tr×nh hoµn thiÖn khãa luËn nµy. Con xin göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c tíi bè mÑ, gia ®×nh vµ ngêi th©n v× ®· lu«n bªn con, ñng hé con ®Ó con ®¹t ®îc kÕt qu¶ nh ngµy h«m nay. B¶n khãa luËn hoµn thµnh trong sù cè g¾ng, nç lùc cña em, song do ®Æc ®iÓm thiªn v¨n häc ë ViÖt Nam cha ph¸t triÓn, tµi liÖu nghiªn cøu kh«ng nhiÒu mµ chñ yÕu lµ tµi liÖu níc ngoµi, bªn c¹nh ®ã thêi gian nghiªn cøu, kinh nghiÖm nghiªn cøu khoa häc cßn h¹n chÕ nªn khãa luËn nµy kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy, em kÝnh mong nhËn ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®Ó ®Ò tµi nµy cña em ®îc hoµn thiÖn h¬n. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Hµ Néi, ngµy10 th¸ng 05 n¨m 2007.
Ngêi thùc hiÖn
§oµn KiÒu Anh
1
Môc lôc 1
2
M« h×nh Vò trô de Sitter
6
1.1
Ph¬ng tr×nh
6
1.2
HÖ sè gi·n në Vò trô (scale factor)
. . . . . . . . . . . . . . . 10
M« h×nh Vò trô chuÈn
12
2.1
M« h×nh Big Bang
2.2
Ph¬ng tr×nh Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
MËt ®é n¨ng lîng tæng céng
2.4
2.5
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2
XÐt mèi quan hÖ víi hÖ sè gi·n në Vò trô . . . . . . . . 17
2.3.3
Sù gi·n në theo thêi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Quan s¸t sù gi·n në cña Vò trô
. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1
Vò trô gi·n në
2.4.2
Sè phËn cña Vò trô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3
H¹t ch©n trêi
2.4.4
Kho¶ng c¸ch Vò trô
Tuæi cña Vò trô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TÝnh tuæi Vò trô qua scale factor
2.5.2
TÝnh tuæi Vò trô qua ®é dÞch chuyÓn ®á
M« h×nh n¨ng lîng tèi
3.1
3.1.2
. . . . . . . . . . 27
z
. . . . . . . . 29 33
B»ng chøng vÒ sù gia tèc cña Vò trô 3.1.1
3.2
a(t)
2.5.1
. . . . . . . . . . . . . . 33
§o kho¶ng c¸ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Th¨m dß sù gi·n në cña Vò trô
Giíi thiÖu n¨ng lîng tèi
. . . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2
3.3
M« h×nh vò trô víi qu¸ tr×nh r· vËt chÊt tèi . . . . . . . . . . . 36
Phô lôc
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43
3
Më ®Çu Ngµy nay Vò trô häc c«ng nhËn r»ng Vò trô cña chóng ta b¾t nguån tõ vô næ lín Big Bang. Tõ ®ã Vò trô tiÕn triÓn theo thêi gian cho ®Õn b©y giê. Víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña VËt lý häc, khoa häc lu«n muèn t×m hiÓu c¸c lo¹i t¬ng t¸c vµ sù thèng nhÊt gi÷a chóng. Vò trô häc vµ Thiªn v¨n vËt lý còng vËy. Vò trô cßn rÊt nhiÒu bÝ mËt cha ®îc kh¸m ph¸, con ngêi cÇn ph¶i ®i t×m nh÷ng chiÕc ch×a khãa ®Ó më tõng c¸nh cöa nh»m tiÕn s©u h¬n n÷a vµo Vò trô, cè g¾ng gi¶i thÝch nh÷ng ®iÒu k× bÝ n»m trong ®ã. C¸c m« h×nh Vò trô lÇn lît ra ®êi. Cã rÊt nhiÒu m« h×nh Vò trô. Tõ xa xa con ngêi ®· ®a ra m« h×nh Vò trô thÇn linh, m« h×nh Vò trô thÇn tho¹i (chÝnh v× thÕ mµ ta míi cã nh÷ng c©u chuyÖn thó vÞ vÒ c¸c v× sao). Råi xa h¬n khi con ngêi cã nh÷ng nhËn xÐt qua quan s¸t chuyÓn ®éng cña c¸c thiªn thÓ, m« h×nh ®Þa t©m cña Ptoleme vµ m« h×nh nhËt t©m cña Copernic xuÊt hiÖn [1]. Vµ ®©y chÝnh lµ nh÷ng bíc ®Öm thóc ®Èy, khÝch lÖ loµi ngêi bíc ch©n vµo nghiªn cøu Vò trô bao la vµ k× diÖu. C¸c m« h×nh Vò trô ®îc coi lµ c«ng cô h÷u hiÖu trong qu¸ tr×nh kh¸m ph¸ b¶n chÊt, cÊu tróc còng nh n¨ng lîng cña Vò trô. §ã chÝnh lµ lý do mµ t«i lùa chän ®Ò tµi "C¸c m« h×nh Vò trô". §èi tîng nghiªn cøu cña ®Ò tµi lµ c¸c m« h×nh Vò trô. B¶n khãa luËn chñ yÕu tËp trung vµo mét sè m« h×nh Vò trô, t×m hiÓu vÒ n¨ng lîng tèi. Môc ®Ých cña khãa luËn nµy lµ t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè, thµnh phÇn, sù gi·n në cña Vò trô. Qua ®ã íc lîng tuæi cña Vò trô trong mçi m« h×nh, ®èi chiÕu kÕt qu¶ thu ®îc víi nh÷ng th«ng tin hiÖn nay ta cã thÓ ®¸nh gi¸ nh÷ng g× ®· ®¹t ®îc vµ cha ®¹t ®îc cña tõng m« h×nh. B¶n khãa luËn còng giíi thiÖu mét c¸ch c¬ b¶n vÒ n¨ng lîng tèi - mét thµnh phÇn chiÕm tØ lÖ kh«ng nhá trong Vò trô hiÖn nay (chiÕm 73% n¨ng lîng Vò trô [2]). Tõ môc ®Ých ®ã, t«i lùa chän ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lµ ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch vµ tÝnh sè. Khãa luËn tr×nh bµy víi bè côc ba phÇn: phÇn më ®Çu, phÇn néi dung chÝnh, phÇn kÕt luËn.
4
PhÇn néi dung chÝnh cã 3 ch¬ng: C¸c m« h×nh Vò trô lµ c¸c gi¶ thuyÕt ®îc ®a ra trong qu¸ tr×nh t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Einstein :
1 Rµν − gµν R − Λgµν = 8ΠGTµν 2 Ch¬ng 1: M« h×nh Vò trô de Sitter
M« h×nh ®¬n gi¶n nhÊt , ®ã lµ cho vÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh trªn b»ng kh«ng (coi nh kh«ng cã sù ®ãng gãp cña tenx¬ n¨ng xung lîng
Tµν = 0),
mét m« h×nh kh«ng vËt chÊt, kh«ng bøc x¹, chØ cã n¨ng lîng ch©n kh«ng. Ch¬ng 2: M« h×nh Vò trô chuÈn
Giíi thiÖu vÒ m« h×nh Big Bang [3]- m« h×nh gi¶i thÝch nguån gèc Vò trô ®ang ®îc khoa häc thõa nhËn. Tæng qu¸t h¬n m« h×nh de Sitter, m« h×nh Vò trô chuÈn cã xÐt ®Õn c¶ sù cã mÆt cña vËt chÊt vµ bøc x¹ ngoµi n¨ng lîng ch©n kh«ng. M« h×nh nµy t×m sù phô thuéc gi÷a c¸c yÕu tè nh mËt ®é n¨ng lîng, hÖ sè gi·n në Vò trô, c¸c th«ng sè Vò trô... vµ sù phô thuéc cña chóng vµo sù gi·n në cña Vò trô. Tõ ®ã tïy thuéc sù ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn mµ Vò trô sÏ thÓ hiÖn mét c¸ch riªng t¬ng øng. Qua ®ã ta cã thÓ thiÕt lËp ®îc biÓu thøc tÝnh tuæi cña Vò trô. Sö dông m« h×nh Vò trô chuÈn ®Ó t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè Vò trô, hÖ sè gi·n në, mËt ®é n¨ng lîng..., vµ sù thay ®æi cña c¸c ®¹i lîng ®ã khi Vò trô gi·n në. Tõ ®ã íc lîng tuæi Vò trô. Ch¬ng 3: N¨ng lîng tèi
Giíi thiÖu vÒ n¨ng lîng tèi vµ c¸c b»ng chøng cho sù tån t¹i cña n¨ng lîng tèi còng nh c¸c m« h×nh cho n¨ng lîng tèi.
5
Ch¬ng 1 M« h×nh Vò trô de Sitter M« h×nh Vò trô lµ nh÷ng gi¶ thuyÕt ®îc x©y dùng trªn nh÷ng lý thuyÕt ®· ®îc khoa häc c«ng nhËn lµ ®óng. ThuyÕt t¬ng ®èi réng cña Einstein ra ®êi ®· cung cÊp nÒn t¶ng lý thuyÕt cho Vò trô häc, nguyªn lý t¬ng ®èi réng ®îc khoa häc thõa nhËn lµ mét lý thuyÕt tæng qu¸t nhÊt cho mäi vËt. V× thÕ c¸c m« h×nh Vò trô ®Òu ®îc x©y dùng dùa vµo c¬ së lý thuyÕt v÷ng ch¾c nµy. Ph¬ng tr×nh Einstein lµ nguån gèc h×nh thµnh cña c¸c m« h×nh Vò trô.
1.1
Ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh hÊp dÉn Einstein:
1 Rµν − gµν R = 8ΠGTµν 2
(1.1)
Tríc ®©y cã ý kiÕn cho r»ng Vò trô cña chóng ta lµ tÜnh t¹i. Nhng ph¬ng tr×nh Einstein cho ta thÊy Vò trô lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng, nã kh«ng tÜnh mµ lu«n gi·n në hoÆc co l¹i. Einstein cho r»ng nhÊt thiÕt sè h¹ng
gµν
ph¶i cã mÆt trong ph¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cña «ng (tøc lµ ph¶i cã thµnh phÇn
kh«ng gian ë trong ph¬ng tr×nh tæng qu¸t). Nh thÕ ph¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cña Einstein lµ:
1 Rµν − gµν R − Λgµν = 8ΠGTµν 2
trong ®ã:
Rµν
lµ tenx¬ ®é cong Ricci; 6
(1.2)
R lµ ®é cong v« híng Ricci; gµν lµ tenx¬ metric; Λ lµ h»ng sè Vò trô; G lµ hÖ sè hÊp dÉn Einstein; Tµν lµ tenx¬ n¨ng xung lîng: ρΛ 0 0 0 0 −ρΛ 0 0 Tµν = 0 0 −ρΛ 0 0 0 0 −ρΛ víi
(1.3)
ρΛ = 3Λ/(8ΠG). C¸c thµnh phÇn cña tenx¬ n¨ng xung lîng lµ:
T ij = pδji , nÕu
ρΛ
(1.4)
d¬ng th× ¸p suÊt ©m!
Trong trêng hîp kh«ng cã vËt chÊt hoÆc bøc x¹ (cã nghÜa lµ
Tµν
= 0),
ta cã ph¬ng tr×nh de Sitter:
1 Rµν − gµν R = Λgµν . 2
(1.5)
Nguyªn lý Vò trô cho ta biÕt Vò trô cña chóng ta lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng. §Ó m« t¶ Vò trô ta sö dông metric Robertson - Walker:
dr2 ds = dt − a (t)( + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 ) 2 1 − kr 2
trong (1.5)
Rµν
2
2
lµ tenx¬ Ricci:
α Rµν = Rµαν , víi:
ρ Rσµν = Mµ
Γνµσ
(1.6)
(1.7)
∂ ρ ∂ ρ Γ − Γµσ + Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ . νσ µ ν ∂x ∂x
lµ kÝ hiÖu Christoffel:
Γλµν
g λρ = (gνρ,µ + gµρ,ν − gνµ,ρ ) , 2 7
(1.8)
vµ R lµ v« híng Ricci:
trong ®ã
gµν
R = g µν Rµν
(1.9)
1 , g µν
(1.10)
lµ tenx¬ metric:
gµν =
gµν
1
0 0 0 2 a 0 0 0 − = 1 − kr2 0 −a2 r2 0 0 0 0 0 −a2 r2 sin2 θ
(1.11)
Tõ c¸c d÷ kiÖn trªn ta cã thÓ tÝnh ®îc c¸c gi¸ trÞ cña kÝ hiÖu Christoffel, cô thÓ:
a˙ aa ˙ Γ101 = Γ202 = Γ303 = ; Γ011 = a 1 − kr2 kr 1 2 3 ; Γ Γ111 = = Γ = 12 13 1 − kr2 r 0 2 1 Γ22 = aar ˙ ; Γ22 = −r(1 − kr2 ) Γ323 = cot θ;
Γ133 = −r(1 − kr2 sin2 θ)
Γ233 = − sin θ cos θ. C¸c thµnh phÇn cßn l¹i ®Òu b»ng 0. Tõ ®ã ta t×m ®îc thµnh phÇn 00,11, 22, 33 cña ph¬ng tr×nh de Sitter. a) Thµnh phÇn 00:
α R00 = R0α0 =
∂Γα00 ∂Γα0α − + Γααλ Γλ00 − Γα0λ Γλα0 . α 0 ∂x ∂x
Thay c¸c kÝ hiÖu Christoffel võa tÝnh vµo ta suy ra:
a ¨ R00 = −3 . a b) Thµnh phÇn 11:
R11 =
α R1α1
∂Γα11 ∂Γα1α = − + Γααλ Γλ11 − Γα1λ Γλα1 . α 1 ∂x ∂x 8
Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra:
a ¨ R11 = −3 , a c) thµnh phÇn 22:
R22 =
α R2α2
∂Γα22 ∂Γα2α − + Γααλ Γλ22 − Γα2λ Γλα2 = α 2 ∂x ∂x
Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra:
R22 = (¨ aa + 2a˙ 2 + 2k)r2 d) thµnh phÇn 33:
R33 =
α R3α3
∂Γα33 ∂Γα3α = − + Γααλ Γλ33 − Γα3λ Γλα3 α 3 ∂x ∂x
Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra:
R33 = (¨ aa + 2a˙ 2 + 2k)r2 sin2 θ Tõ ®ã ta sÏ tÝnh ®îc v« híng Ricci:
R=
R = g µν Rµν
R00 R11 R22 R33 a ¨ a˙ k + + + = −6[ + ( )2 + 2 ] g00 g11 g22 g33 a a a
Ph¬ng tr×nh de Sitter øng víi nh÷ng thµnh phÇn thêi gian vµ kh«ng gian: +) Víi thµnh phÇn 00: Ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:
1 R00 − g00 R = Λg00 2 t¬ng ®¬ng:
a˙ 3k 3( )2 + 2 = Λ a a
(1.12)
+) Víi thµnh phÇn 11:
1 R11 − g11 R = Λg11 2 suy ra:
a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a 9
(1.13)
+) Víi thµnh phÇn 22:
1 R22 − g22 R = Λg 2 suy ra t¬ng tù:
a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a +) Víi thµnh phÇn 33: Còng thay vµo nh trªn:
1 R33 − g33 R = Λg33 2 suy ra:
a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a Tãm l¹i ta cã 2 mèi quan hÖ cña kh«ng gian vµ h»ng sè Vò trô nh (1.12) vµ (1.13).
1.2
HÖ sè gi·n në Vò trô (scale factor) Theo ®Þnh luËt Hubble th×:
v = Hr
(1.14)
mµ ta biÕt:
r(t) = a(t)r0 víi
r(t) lµ b¸n kÝnh Vò trô, a(t) lµ hÖ sè tØ lÖ (scale factor), cßn r0
®ång chuyÓn ®éng (comoving coordinate) (thêng chän
r0
lµ to¹ ®é
=1).
Suy ra ta cã:
r˙ = Hr
hay:
H(t) = Víi
r(t) ˙ a˙ = r(t) a
(1.15)
k = 0 vµ Λ > 0 th× tõ (1.12) ta suy ra: a˙ Λ H 2 (t) = ( )2 = a 3 10
(1.16)
r hay
H(t) = Tõ
a˙ a
=
Λ 3
H(t) ta suy ra: ln a = Ht
suy ra:
r a(t) = exp(Ht) = exp( Ta thÊy
a(t)
Λ t). 3
(1.17)
t¨ng nhanh theo hµm sè mò cña thêi gian, ®iÒu nµy dïng
®Ó gi¶i thÝch cho sù l¹m ph¸t cña Vò trô, Vò trô gi·n në rÊt nhanh nªn tr«ng nã nh mét mÆt ph¼ng (ta gäi lµ Vò trô ph¼ng) [4].
M« h×nh de Sitter ®· dùa trªn ph¬ng tr×nh t¬ng ®èi réng cña Einstein ®i t×m mèi quan hÖ cña hÖ sè gi·n në Vò trô vµo thêi gian. Tuy nhiªn m« h×nh nµy míi chØ xÐt ®Õn Vò trô mét thµnh phÇn, hoµn toµn bá qua sù cã mÆt cña c¸c thµnh phÇn quan träng kh¸c mµ chóng ta ®· biÕt ®Õn. Nªn m« h×nh de Sitter chØ gi¶i quyÕt ®îc mét phÇn nhá trong sù tiÕn hãa cña Vò trô mµ th«i. Ta cÇn ph¶i t×m mét m« h×nh tæng qu¸t h¬n, ®ã chÝnh lµ m« h×nh Vò trô chuÈn.
11
Ch¬ng 2 M« h×nh Vò trô chuÈn 2.1
M« h×nh Big Bang C©u chuyÖn vÒ vô næ lín vµ nãng xuÊt hiÖn tõ nh÷ng bíc tiÕn triÓn
cña c¸c ý kiÕn vËt lý vµ quan s¸t Vò trô häc ®Çu thÕ kØ XX. ThÕ kØ XX ®¸nh dÊu sù tiÕn bé vît bËc cña VËt lý b»ng c¸c ®ãng gãp vÜ ®¹i cña nhµ b¸c häc Anbert Einstein. ThuyÕt t¬ng ®èi réng cña Einstein (ra ®êi n¨m 1915) ®· cung cÊp cho c¸c nhµ khoa häc mét c¬ së ®Ó nghiªn cøu s©u h¬n vÒ Vò trô. C¸c m« h×nh Vò trô ®· ®îc x©y dùng lªn tõ ®ã. Trong n¨m 1922, Friedmann ®· t×m ra mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Einstein, cho r»ng Vò trô lµ kh«ng tÜnh t¹i mµ hoÆc gi·n në hoÆc co sËp l¹i. N¨m 1929 cã mét kh¸m ph¸ vÜ ®¹i cña Hubble, r»ng nh÷ng tinh v©n ë xa lµ nh÷ng thiªn hµ n»m ngoµi Thiªn hµ cña chóng ta. B»ng viÖc quan s¸t sù dÞch chuyÓn vÒ phÝa ®á cña nh÷ng thiªn hµ nµy, Hubble thÊy r»ng Vò trô kh«ng ë tr¹ng th¸i tÜnh mµ nã ®ang gi·n në, sau ®ã «ng kh¸i qu¸t thµnh ®Þnh luËt mang tªn «ng, ®Þnh luËt Hubble:
v = Hr N¨m 1946, lµm viÖc trªn lý thuyÕt vÒ sù d dËt c¸c yÕu tè nhÑ, Gamov ®Ò xuÊt r»ng Vò trô trong thêi gian ®Çu lµ rÊt nãng vµ ®Ëm ®Æc. TiÕp tôc c«ng viÖc cña Gamov, Alpher vµ Herman ®· viÕt ra mét ch¬ng tr×nh dù ®o¸n r»ng Vò trô bÞ lÊp ®Çy bëi bøc x¹ v« tuyÕn víi quang phæ vËt ®en ë kho¶ng 5K [5].
12
TÊt c¶ nh÷ng ý kiÕn nµy dÉn chóng ta tíi mét bøc tranh: mäi thiªn hµ ®Òu b¾t ®Çu tõ mét ®iÓm cùc nãng vµ ®é ®Ëm ®Æc lµ v« cïng, sau ®ã th× gi·n në, dÇn dÇn h¹ nhiÖt ®é khi gi·n në. Kh¸i niÖm ®ã ®îc gäi lµ "The hot Big Bang" (Vô næ lín nãng). Cã nh÷ng b»ng chøng chøng tá cho m« h×nh "Hot Big Bang", ®ã lµ [6]: +) Sù dÞch chuyÓn ®á cña nh÷ng thiªn hµ xa x«i: lµ chøng cø ®Çu tiªn cña Vò trô ®ang gi·n në. +) Sù tæng hîp h¹t nh©n nguyªn thñy: Nh÷ng dù ®o¸n vÒ sù d dËt nguyªn tè nhÑ tõ sù tæng hîp h¹t nh©n trong Big Bang ®· ®îc ®Ò xuÊt, vµ ®· ®îc chÊp nhËn víi nh÷ng quan s¸t thiªn v¨n häc. +) ViÖc t×m ra bøc x¹ nÒn Vò trô CMB n¨m 1965 bëi Penziad vµ Wilson. Quang phæ cña CMB rÊt gÇn víi lý thuyÕt dù ®o¸n, nã dêng nh rÊt ®¼ng híng trong toµn kh«ng gian víi nhiÖt ®é kho¶ng 2,7K, rÊt gÇn víi tiªn ®o¸n cña Alpher vµ Herman. ViÖc kh¸m ph¸ ra CMB cung cÊp mét b»ng chøng cô thÓ cho lý thuyÕt Big Bang, chèng l¹i lý thuyÕt tr¹ng th¸i tÜnh.
∗ Còng nh m« h×nh de Sitter dùa trªn yÕu tè ®êng d¹ng (1.6) nhng m« h×nh chuÈn cña Vò trô tæng qu¸t h¬n v× nã cã chøa nh÷ng d¹ng n¨ng lîng kh¸c n¨ng lîng ch©n kh«ng nh lµ vËt chÊt vµ bøc x¹. M« h×nh chuÈn cung cÊp nÒn t¶ng cho m« h×nh Big Bang - mét m« h×nh thµnh c«ng trong viÖc gi¶i thÝch nhiÒu ®Æc tÝnh quan träng trong quan s¸t Vò trô. Trong chÊt lu Vò trô, ta ®a ra hÖ ®ång chuyÓn ®éng, n¬i mµ chÊt lu lµ hoµn toµn ®¼ng híng.
2.2
Ph¬ng tr×nh Friedmann Trong m« h×nh Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker ®ång nhÊt
vµ ®¼ng híng (FLRW), cã yÕu tè ®êng trong hÖ to¹ ®é ®ång chuyÓn ®éng
13
(xÐt trong hÖ to¹ ®é cÇu) lµ:
dr2 ds = dt − a (t)( + r2 d2 θ + r2 sin2 θd2 φ). 2 1 − kr 2
2
2
(2.1)
Trong m« h×nh chuÈn ta cã xÐt ®Õn sù cã mÆt cña vËt chÊt, bøc x¹ nghÜa lµ cã sù ®ãng gãp cña tenx¬ n¨ng xung lîng
Tµν
tõ vËt chÊt vµ bøc x¹.
§èi víi h¹t ®øng yªn trong hÖ to¹ ®é ®ång chuyÓn ®éng th× nã tho¶ m·n ph¬ng tr×nh tr¾c ®Þa (ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña h¹t trong kh«ng gian):
ν µ d2 xi i dx dx + Γµν =0 (2.2) ds2 ds ds i (ThËt vËy, v× h¹t ®øng yªn nªn dr = dθ = dφ =0 hay dx = 0 víi i = 0 0 dxi i dx dx 1,2,3 nªn ds = dt vµ = 0. Suy ra (2.2) t¬ng ®¬ng víi Γ00 = 0 ds ds ds i (®iÒu nµy hoµn toµn ®óng v× Γ00 =0) ). §iÒu ®ã chØ ra r»ng mét h¹t cã mét vËn tèc ®Æc biÖt nµo ®ã liªn quan ®Õn hÖ ®ång chuyÓn ®éng sÏ ®øng yªn khi Vò trô gi·n në. Vò trô lµ ®¼ng híng ë mäi ®iÓm trong hÖ ®ång chuyÓn ®éng. Tõ ®ã sÏ dÉn tíi mét ®Æc ®iÓm rÊt thó vÞ cña m« h×nh ®ång nhÊt nh m« h×nh FLRW lµ: mäi quan s¸t viªn ®Òu thÊy mét Vò trô ®¼ng híng tõ bÊt cø n¬i ®©u (do vËy, mçi ngêi ®Òu thÊy m×nh lµ trung t©m cña Vò trô), nÕu nh hä ®øng yªn trong hÖ ®ång chuyÓn ®éng ®Þa ph¬ng (r,
θ, φ kh«ng ®æi).
Nh ta ®· biÕt tenx¬ n¨ng xung lîng:
Tµν = (p + ρ)uµ uν − pgµν . trong ®ã
(2.3)
p lµ ¸p suÊt chÊt lu; ρ lµ mËt ®é n¨ng lîng tæng céng; uµ lµ vect¬
vËn tèc 4 chiÒu. §iÒu kiÖn ®¹o hµm hiÖp biÕn:
T;µµν = 0. víi:
µν µν T;α = T,α + Γµαρ T ρν + Γναρ T ρµ .
14
(2.4)
Nh vËy ph¬ng tr×nh Einstein b©y giê lµ:
1 Rµν − gµν = 8ΠGTµν . 2 Gäi
(2.5)
ρ lµ mËt ®é n¨ng lîng tæng céng cña vËt chÊt, bøc x¹,n¨ng lîng
ch©n kh«ng th×:
ρ = ρm + ρrad + ρvac .
(2.6)
Trong ch¬ng tríc chóng ta chØ xÐt m« h×nh Vò trô kh«ng cã vËt chÊt hay bøc x¹, cßn ë trong ch¬ng nµy chóng ta xÐt m« h×nh FLRW cã sù ®ãng gãp cña vËt chÊt vµ bøc x¹. Ta ®Þnh nghÜa mËt ®é n¨ng lîng ch©n kh«ng lµ:
ρvac =
Λ . 8πG
(2.7)
th× ta cã thÓ viÕt l¹i ph¬ng tr×nh Friedmann lµ:
k 8πG a˙ ρ. ( )2 + 2 = a a 3 a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = −8πGp. a a a
(2.8)
(2.9)
Tõ (2.8) ta cã:
ρ=
3 a˙ k [( )2 + 2 ] 8πG a a
Tõ (2.9) ta cã:
1 a ¨ a˙ k [2 + ( )2 + 2 ] 8πG a a a 2 3 a˙ a 2k a˙ 3 aa¨ ¨a − (a) ˙ ˙ a − a˙ 3 − k a˙ =⇒ ρ˙ = [2 − 3 ]= 8πG a a2 a 4πG a3 1 2¨ a a˙ k 3 a˙ k =⇒ 3a2 a(p ˙ + ρ) + a3 ρ˙ = 3a2 a[− ˙ ( + ( )2 + 2 ) + (( )2 + 2 )] 8πG a a a 8πG a a 3 3 aa¨ ˙ a − (a) ˙ − k a˙ +a3 4πG a3 1 a˙ 2 k 3a2 a˙ 2¨ a 2 3 2 =⇒ 3a a(p ˙ + ρ) + a ρ˙ = 3a a˙ (( ) + 2 ) − 4πG a a 8πG a 3 + (aa¨ ˙ a − a˙ 3 − k a) ˙ 4πG p=−
15
=⇒ 3a2 a(p ˙ + ρ) + a3 ρ˙ = 0 d =⇒ [a3 (ρ + p)] = 3a2 a(ρ ˙ + p) + a3 (p˙ + ρ) ˙ = pa ˙ 3 dt Tõ ®ã ta suy ra:
pa ˙ 3=
d d d d (pa3 ) + (ρa3 ) = p a3 + pa ˙ 3 + (ρa3 ) dt dt dt dt
⇐⇒
d d (ρa3 ) = −p a3 . dt dt
(2.10)
(®©y chÝnh lµ ph¬ng tr×nh liªn tôc cña chÊt khÝ lÝ tëng [7]). Qua ph¬ng tr×nh (2.10) ta thÊy r»ng sù biÕn thiªn mËt ®é n¨ng lîng
da3
tæng céng trong yÕu tè thÓ tÝch dV =
2.3
c©n b»ng víi
−p
d 3 a. dt
MËt ®é n¨ng lîng tæng céng
2.3.1
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i lµ mèi quan hÖ gi÷a ¸p suÊt lîng tæng céng
p
vµ mËt ®é n¨ng
ρ: p = αρ
(2.11)
α lµ mét h»ng sè. Trong tõng trêng hîp mçi thµnh phÇn ®ãng vai trß chñ ®¹o mèi quan hÖ cña p vµ ρ thÓ hiÖn kh¸c nhau [8]. ρ 1 +) Bøc x¹ chi phèi: α = =⇒ p = . 3 3 +) VËt chÊt phi t¬ng ®èi tÝnh chi phèi: α = 0 =⇒ p = 0 (®iÒu nµy cã trong ®ã
thÓ ®îc gi¶i thÝch nh sau: vËt chÊt phi t¬ng ®èi tÝnh chuyÓn ®éng víi vËn tèc
v << c
cã n¨ng lîng nghØ
mc2 ,
lµ mét gi¸ trÞ rÊt lín khi ®em so s¸nh
víi ¸p suÊt, nªn ta cã thÓ coi mét c¸ch gÇn ®óng lµ vËt chÊt phi t¬ng ®èi tÝnh kh«ng cã ¸p suÊt hay
p = 0).
+) N¨ng lîng ch©n kh«ng chi phèi th×
α = −1 =⇒ p = −ρ
sù l¹m ph¸t, gi¶i thÝch sù gi·n në t¨ng tèc cña Vò trô nguyªn thñy).
16
(g©y ra
2.3.2
XÐt mèi quan hÖ víi hÖ sè gi·n në Vò trô
ρ sÏ thay ®æi nh thÕ nµo khi Vò trô gi·n në, nghÜa lµ ta ®i t×m mèi quan hÖ gi÷a mËt ®é n¨ng lîng tæng céng ρ víi hÖ sè gi·n në a(t) (scale factor). MËt ®é n¨ng lîng
Ta thay ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i vµo ph¬ng tr×nh (2.11) thu ®îc:
d d (ρa3 ) = −αρ a3 dt dt d ρa ˙ 3 = −(1 + α)ρ a3 dt ρ˙ 3a˙ a˙ = −(1 + α) = −3(1 + α) ρ a a
⇐⇒ ⇐⇒
TÝch ph©n hai vÕ ta cã:
lnρ = −3(1 + α)lna + const ⇐⇒
loga ρ = −3(1 + α) + const.
nªn suy ra:
ρ = const · a−3(1+α) . Tõ (2.12) ta thÊy øng víi c¸c gi¸ trÞ cña
(2.12)
α th× ta cã c¸c gi¸ trÞ tØ lÖ kh¸c
ρ víi hÖ sè gi·n në a(t). Cô thÓ lµ: 1 +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi bøc x¹, nghÜa lµ: α = th× ta cã: 3 1 ρ∼ 4 a
nhau cña mËt ®é n¨ng lîng
(2.13)
(viÖc nµy x¶y ra trong vµi tr¨m ngh×n n¨m sau vô næ lín Big Bang). +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi vËt chÊt, nghÜa lµ
ρ∼
α = 0 th× ta cã:
1 a3
(2.14)
(thùc ra ®iÒu nµy còng kh«ng cã g× khã hiÓu. Khi vËt chÊt æn ®Þnh, kh«ng tù t¨ng lªn hay hñy ®i, th× mËt ®é n¨ng lîng sÏ tØ lÖ nghÞch víi thÓ tÝch, khi hÖ sè gi·n në Vò trô
a(t)
®é n¨ng lîng tØ lÖ víi
t¨ng lªn th× thÓ tÝch sÏ t¨ng lªn b»ng
a3 (t)
,nªn mËt
a−3 (t)).
+) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi n¨ng lîng ch©n kh«ng, ta cã
ρ ∼ const 17
α = −1 : (2.15)
2.3.3
Sù gi·n në theo thêi gian
HÖ sè gi·n në Vò trô thÓ hiÖn kh¸c nhau øng víi tõng trêng hîp Vò trô bÞ chi phèi bëi nh÷ng thµnh phÇn kh¸c nhau. Tõ (2.8) vµ (2.9) ta rót ra ®îc:
a ¨ −4πG = (ρ + 3p) a 3
(2.16)
V× a(t) lµ mét hµm phô thuéc vµo thêi gian nªn ®Æt:
a ∼ tβ =⇒ a ¨ ∼ tβ−2 =⇒
a ¨ ∼ t−2 a
MÆt kh¸c, tõ ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i (2.11) suy ra:
(3p + ρ) = (1 + 3α)ρ ∼ a−3(1+α) ∼ t−3β(1+α) . §ång nhÊt 2 vÕ cña (2.16) ta cã:
=⇒ −2 = −3β(1 + α) 2 . =⇒ β = 3(1 + α) Nªn:
(2.17) (2.18)
2 a(t) ∼ t 3(1 + α)
(2.19)
1 α= . 3 √ a(t) ∼ t
+) Khi Vò trô chi phèi bëi bøc x¹:
+) Khi Vò trô chi phèi bëi vËt chÊt:
(2.20)
α=0
a(t) ∼ t2/3 +) Khi Vò trô chi phèi bëi n¨ng lîng ch©n kh«ng:
(2.21)
α = −1
Nh ta ®· biÕt tõ (1.17) th× hÖ sè gi·n në t¨ng theo hµm e mò:
a(t) ∼ eHt
(2.22)
Qua ®ã ta thÊy r»ng Vò trô víi mét tØ lÖ bÊt k× cña vËt chÊt, bøc x¹, n¨ng lîng ch©n kh«ng th× lu«n lu«n gi·n në (lu«n tØ lÖ víi thêi gian) nªn kh«ng bao giê tån t¹i ë mét thÓ ®ãng. (Xem h×nh 1 vµ h×nh 2 (tríc Phô lôc) thÓ hiÖn sù tiÕn triÓn cña hÖ sè gi·n në Vò trô vµo thêi gian) 18
2.4
Quan s¸t sù gi·n në cña Vò trô Nh÷ng quan s¸t cña Hubble vÒ dÞch chuyÓn ®á ®· chØ ra r»ng c¸c thiªn
hµ chuyÓn ®éng ra xa nhau. NÕu gäi
a(t0 ) lµ kho¶ng c¸ch gi÷a thiªn hµ cña
chóng ta (Milky Way) víi mét thiªn hµ kh¸c th× kho¶ng c¸ch nµy ®ang t¨ng lªn, hay
a˙ > 0. Ta m« t¶ Vò trô b»ng mét m« h×nh ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng
nh m« h×nh FLRW:
ds2 = dt2 − a2 (t)(
dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 ) 2 1 − kr
(2.23)
Víi mét m« h×nh ®Çy ®ñ vµ râ rµng th× ta cÇn ph¶i biÕt c¸c th«ng sè nh ®é cong k, mËt ®é n¨ng lîng
ρ(t), hÖ sè gi·n në a(t), nh÷ng ®ãng gãp
cña c¸c thµnh phÇn Vò trô (vËt chÊt thêng, vËt chÊt tèi, bøc x¹, n¨ng lîng ch©n kh«ng...). §©y lµ mét nhiÖm vô quan träng cña m« h×nh Vò trô.
2.4.1
Vò trô gi·n në
Vò trô lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng, cã nghÜa lµ mäi ngêi sÏ quan s¸t nh nhau ë cïng mét thêi ®iÓm. §ã lµ, mét ngêi ë thiªn hµ c¸ch chóng ta hµng tØ n¨m ¸nh s¸ng còng quan s¸t thÊy nh÷ng g× mµ Hubble ®· quan s¸t: tÊt c¶ c¸c thiªn hµ kh¸c ®Òu chuyÓn ®éng ra xa thiªn hµ ®ã víi vËn tèc lµ mét hµm tuyÕn tÝnh phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch (nh c«ng thøc Hubble). Ta ®a ra mét hÖ hay ®îc sö dông ®ã lµ hÖ ®ång chuyÓn ®éng, mµ ë t¹i mçi n¬i bøc x¹ nÒn viba lµ ®¼ng híng. Metric (2.23) cã ý nghÜa: víi nh÷ng vïng cã nhiÖt ®é æn ®Þnh
t = t0
trong Vò trô th× Vò trô gièng nh mét trong nh÷ng m« h×nh c¬ b¶n víi k = 1, 2, 3. Trêng hîp ®Æc biÖt ta liªn kÕt tõng thiªn hµ cã täa ®é (ri , θi , ϕi ). ë thêi ®iÓm ban ®Çu c¸c thiªn hµ ®Òu cã cïng täa ®é (ri , θi , ϕi ), cã mét ®iÒu x¶y ra lµ tÊt c¶ c¸c kho¶ng c¸ch cña Vò trô ®Òu bÞ kÐo gi·n bëi hÖ sè tØ lÖ
a(t).
T¹i thêi ®iÓm
t1
ta cã hÖ sè
a(t1 ),
t2 ta cã hÖ sè a(t2 ), a(t1 ) . Ta thÊy r»ng lÖ a(t2 )
t¹i thêi ®iÓm
nghÜa lµ mäi kho¶ng c¸ch ®Òu bÞ gi·n në víi hÖ sè tØ Vò trô gi·n në theo ®óng ®Þnh luËt Hubble:
v = Hd 19
(2.24)
víi th«ng sè Hubble:
H(t) =
a˙ a
(2.25)
(ThËt vËy, ta gäi kho¶ng c¸ch tõ thiªn hµ cña chóng ta tíi mét thiªn hµ nµo ®ã ë thêi ®iÓm t1 lµ
d1 = a(t1 )s, trong ®ã s lµ kho¶ng c¸ch gãc tõ thiªn
hµ cña ta tíi thiªn hµ ®ã, ë thêi ®iÓm
t2
lµ
d2 = a(t2 )s,
v× thÕ vËn tèc lµ:
d2 − d1 a(t2 ) − a(t1 ) = s . Ta ®a vµo giíi h¹n t2 −→ t1 , tõ ®ã ta cã t2 − t1 t2 − t1 a˙ v = (as) = Hd, víi H lµ th«ng sè Hubble. a Ta ®a ra kÝ hiÖu H0 = H(t0 ) t¹i thêi ®iÓm hiÖn t¹i t0 . Ngµy nay th×: v=
H0 = h · 100(kms−1 M pc−1 ) víi
(2.26)
h = 0.65 ± 0.15. Tõ ph¬ng tr×nh (2.16) ta thÊy r»ng nÕu vËt chÊt chi phèi Vò trô th× hÖ
sè gi·n në sÏ bÞ h·m l¹i (v×
p∼0
, vµ
ρ > 0).
Tuy nhiªn nÕu n¨ng lîng
ch©n kh«ng cã vai trß quan träng th× sù gi·n në sÏ ®îc gia tèc. Khai triÓn
a(t) b»ng chuçi Taylor xung quanh thêi ®iÓm t0 : a(t) = eHt = eHt0 eH(t−t0 )
suy ra:
1 d H(t−t0 ) 1 d2 H(t−t0 ) e |t=t0 (t − t0 ) + e |t=t0 (t − t0 )2 + · · ·] 2 1! dt 2! dt 1 ˙ = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) + (H + H 2 )|t=t0 (t − t0 )2 + · · ·] 2 1a ¨ = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) + (t − t0 )2 + · · ·] 2a a˙ ¨ ˙ =a ( V× H = nªn H − H 2) a a 1 a(t) = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] (2.27) 2 a(t) = a(t0 )[1 +
víi th«ng sè h·m
q0 : q0 = − 20
a ¨ aH02
(2.28)
Ta ®Þnh nghÜa mËt ®é tíi h¹n:
HiÖn t¹i th×
ρ0crit
3H 2 ρcrit = (2.29) 8πG = 1, 9 · 10−32 h2 .kg.cm−3 . Do vËy chóng ta cã thÓ viÕt
ph¬ng tr×nh (2.8) díi d¹ng:
k ρ + 1 = =Ω H 2 a2 3H 2 8πG Trong ®ã:
Ω=
(2.30)
ρ
(2.31)
ρcrit
hoÆc:
k =Ω−1 H 2 a2
(2.32)
§iÒu nµy cã nghÜa r»ng toµn bé d¹ng h×nh häc cña Vò trô ®îc x¸c ®Þnh bëi th«ng sè Vò trô +)
Ω.
Ω > 1, k > 0: Vò trô ®ãng;
Ω < 1, k < 0: Vò trô më v« h¹n; +) Ω = 1, k = 0: Vò trô ph¼ng trªn +)
mét quy m« lín (dÜ nhiªn sù tËp trung
vËt chÊt nh nh÷ng thiªn hµ, c¸c sao vÉn g©y ra sù uèn cong tõng vïng). Chó ý r»ng
Ω phô thuéc vµo thêi gian (gi¸ trÞ hiÖn thêi cña Ω lµ Ω0 ). Ta
thÊy r»ng vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh (2.32) tiÕn nhanh tíi 0 khi
t −→ 0.
§iÒu
nµy cã nghÜa lµ hiÖu øng ®êng cong cã thÓ ®îc bá qua trong nhiÒu tÝnh to¸n ë thêi k× ®Çu cña Vò trô. ThÕ (2.8) vµo (2.16) vµ sö dông ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i
p = αρ ta cã:
4πG 4πG a ¨ = − (ρ + 3p) = − ρ(1 + 3α) aH02 3H02 3H02 1 k 1 = (1 + 2 2 )(1 + 3α) = (1 + Ω0 − 1)(1 + 3α) 2 a H0 2
q0 = −
suy ra:
Ω0 (1 + 3α). 2 nÕu α = −1 th× th«ng
q0 = Tõ ®ã ta nhËn thÊy r»ng
(2.33) sè h·m
q0 < 0,
sù gi·n në tiÕp tôc t¨ng lªn nÕu mËt ®é n¨ng lîng bÞ chi phèi bëi 21
tøc lµ
ρΛ .
2.4.2
Sè phËn cña Vò trô
Ta thÊy r»ng nghiÖm ®Çy ®ñ cña ph¬ng tr×nh Friedmann ®èi víi t¹i mäi thêi ®iÓm
t
a(t)
a phô thuéc nh÷ng thµnh phÇn céng ρ. Trong trêng hîp x¸c ®Þnh
cã thÓ rÊt phøc t¹p do
®ãng gãp vµo mËt ®é n¨ng lîng tæng
a(t) khi t −→ ∞ th× ®ã lµ ta ®· ®i xÐt sè phËn cña Vò trô. Ta biÕt ngµy nay bøc x¹ kh«ng cßn ®ãng vai trß quan träng, nªn ta chØ cÇn xÐt ®Õn sù ®ãng gãp vËt chÊt
ρm , vµ n¨ng lîng ch©n kh«ng ρvac .
Chóng ta b¾t ®Çu b»ng viÖc xÐt trêng hîp h»ng sè Vò trô lµ
ρvac = 0) Tõ
ρm = ρ 0
a30 a3 (t)
víi
ρ0
lµ mËt ®é vËt chÊt hiÖn thêi,
a0
Λ = 0 (nghÜa lµ hÖ sè tØ lÖ
(scale factor) ngµy nay. T¹i t = t0 , ph¬ng tr×nh Friedmann trë thµnh:
8πGρ0 a30 a˙ (t) = − k. 3a(t) 2
(2.34)
ρ0 = 0, muèn a(t) cã nghiÖm thùc th× k = −1. Trêng hîp nµy ®îc
+) Víi
gäi lµ m« h×nh Milne. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n lµ:
aM ilne (t) = t
(2.35)
=⇒ Vò trô gi·n në tuyÕn tÝnh. +) víi
ρ0 > 0 vµ t nhá: ta cã a ∼ t2/3 .
t lín h¬n th× nghiÖm phô thuéc vµo k . Víi k = 0 th× ph¬ng tr×nh (2.34) cho nghiÖm: Víi
t a(t) = a0 ( )2/3 t0 lµ nghiÖm øng víi trêng hîp
(2.36)
t lín. M« h×nh Vò trô nµy thêng ®îc gäi lµ
m« h×nh Einstein de Sitter [4]. +) Víi
ρ<0
vµ ®êng cong ©m,
k = −1,
th×
a˙ 2
lu«n d¬ng, cã nghÜa lµ
a(t) t¨ng lªn kh«ng ngõng theo thêi gian. Tøc lµ sè h¹ng vËt chÊt ë vÕ ph¶i cã thÓ bá qua khi so víi ®é uèn cong k . Trong tr¹ng th¸i sau th× Vò trô gi·n në gièng nh m« h×nh Milne: a(t) ∼ t. 22
NÕu
k = 1,
ρ > 0,
®êng cong d¬ng,
ta thÊy
a˙ 2 > 0, a(t) sÏ
t¨ng lªn
®Õn mét gi¸ trÞ tíi h¹n:
8πGρ0 a30 (2.37) 3 Tõ (2.9) ta thÊy a ¨ ≤ 0 víi mäi a, nghÜa lµ Vò trô b¾t ®Çu co l¹i (chu k× acrit =
co "Big Crunch"). Trêng hîp
Λ 6= 0, cÇn gi¶i ph¬ng tr×nh: 8πGρ0 a30 Λa2 (t) a˙ (t) = −k+ 3a(t) 3 2
(2.38)
Ta ®Æt:
ΩM = víi
ρ0
8πGρ0 3H02
(2.39)
lµ mËt ®é vËt chÊt t¹i thêi ®iÓm t0 . Ta cã thÓ viÕt:
ρ0 ρ0crit
ΩM = Trong ®ã
ρ0crit
(2.40)
lµ gi¸ trÞ hiÖn thêi cña mËt ®é vËt chÊt tíi h¹n.
ΩΛ =
Λ 3H02
(2.41)
a(t) nhá (trong giai ®o¹n ®Çu cña Vò trô) th× ta cã thÓ hoµn toµn bá qua Λ, cßn víi a(t) lín th× Λ chi phèi toµn bé Tõ ph¬ng tr×nh (2.38),ta thÊy víi
c¸c d¹ng vËt chÊt vµ ®é uèn cong. +) NÕu
Λ < 0:
(2.38) chØ ra r»ng
a(t)
kh«ng thÓ lín m·i ®îc. Víi gi¸ trÞ
a(t) lµ acrit (khi vÕ ph¶i ph¬ng tr×nh (2.38) b»ng 0), tõ ph¬ng tr×nh (2.9) suy ra a ¨ < 0, ta cã mét Vò trô dao ®éng.
d¬ng lín nhÊt cña
Λ > 0: • NÕu k = 0 hoÆc −1: ta thÊy víi a(t) lín th× Vò trô gi·n në theo hµm
+) NÕu
sè mò, m« h×nh Vò trô gièng nh m« h×nh de Sitter ë môc tríc.
• NÕu k = 1: sù t¸c ®éng qua l¹i gi÷a ba sè h¹ng ë ph¬ng tr×nh (2.38) sÏ liªn quan chÆt chÏ víi nhau h¬n. Ta t×m ®îc VËy ta cã thÓ nãi
Λ ®Ó a˙ vµ a ¨ ®Òu b»ng 0.
Λ chi phèi rÊt lín ®Õn sè phËn cña Vò trô.
23
2.4.3
H¹t ch©n trêi
Khi ¸nh s¸ng di chuyÓn trªn quü ®¹o kiÓu ¸nh s¸ng th×
ds2 = 0 [4]. Ta
r = 0. Tia s¸ng dÞch chuyÓn nhanh vÒ phÝa ta (θ, φ = const). Tia s¸ng ®îc ph¸t ra tõ r = rE t¹i thêi ®iÓm a(t)dr t = tE , ®Õn thêi ®iÓm t0 (v× ds2 = 0 nªn dt = √ ) th×: 1 − kr2 Z t0 Z rE dt dr √ (2.42) = 2 a(t) 1 − kr tE 0
chän hÖ täa ®é sao cho ta ®ang ë n¬i cã
Chän gèc thêi gian
t=0
khi
a=0
(thêi ®iÓm ban ®Çu khi x¶y ra vô
næ Big Bang), ta thÊy r»ng kho¶ng c¸ch vËt lý xa nhÊt
dH
cã thÓ quan s¸t
thÊy ë thêi ®iÓm hiÖn nay (cßn gäi lµ kho¶ng c¸ch ch©n trêi) ®îc cho bëi ph¬ng tr×nh (2.42) bëi hÖ sè tØ lÖ hiÖn thêi lµ
a(t0 ), ta cho giíi h¹n tE −→ 0.
rE
Z t0 dr dt √ dH (t0 ) = a(t0 ) = a(t0 ) (2.43) 2 a(t) 1 − kr 0 0 Trong m« h×nh chuÈn th× a(t) tiÕn ®Õn 0 chËm h¬n t (xem ph¬ng tr×nh (2.19)), dH lµ cã giíi h¹n (dH ∼ t), vµ nãn ¸nh s¸ng bÞ giíi h¹n bëi h¹t ch©n trêi. VÝ dô, nÕu bøc x¹ chi phèi Vò trô th× dH = 2t , nÕu vËt chÊt chi phèi Vò trô th× dH = 3t. Z
Ta ®a ra c«ng thøc dÞch chuyÓn ®á [4]:
λobs a(tobs ) = λemit a(temit ) Th«ng sè dÞch chuyÓn ®á z:
1+z =
λobs λemit
(2.44)
Nh vËy trong m« h×nh FLRW th×:
1+z =
a(tobs ) a(temit )
24
(2.45)
2.4.4
Kho¶ng c¸ch Vò trô
Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ®Ó x¸c ®Þnh nh÷ng gi¸ trÞ hiÖn thêi cña c¸c th«ng sè Vò trô, hÇu hÕt chóng ®Òu phô thuéc vµo nh÷ng quan s¸t kh¸c nhau cña kho¶ng c¸ch ¸nh s¸ng (hoÆc bøc x¹ ®iÖn tõ). §Æc tÝnh cña nh÷ng nguån s¸ng c¸ch xa Tr¸i ®Êt sÏ phô thuéc vµo kiÓu m« h×nh Vò trô. Trong m« h×nh FLRW dÞch chuyÓn ®á xuÊt hiÖn do Vò trô gi·n në. Tuy vËy ®Ó biÕt ®îc nh÷ng th«ng tin trªn nh÷ng th«ng sè Vò trô th× ta cßn ph¶i biÕt thªm nhiÒu ®¹i lîng kh¸c n÷a nh cêng ®é s¸ng cña mét nguån hoÆc ®é m¹nh cña ¸nh s¸ng chuÈn nh mét hµm cña dÞch chuyÓn ®á. Cêng ®é s¸ng tæng céng mµ kÝnh thiªn v¨n trªn Tr¸i ®Êt thu ®îc tõ nguån s¸ng chuÈn cã tæng n¨ng lîng ph¸t ra ®îc tÝnh nh sau: Gi¶ sö ®Çu tiªn cã
Nγ
photon ®îc ph¸t ra ®¼ng híng t¹i thêi ®iÓm
temit tõ nguån cã täa ®é b¸n kÝnh r. Kho¶ng c¸ch t¹i thêi ®iÓm ph¸t x¹ lµ a(tpx )r , kÝnh thiªn v¨n cã tiÕt diÖn A. Do Vò trô gi·n në, t¹i thêi ®iÓm t0 = tqs diÖn tÝch h×nh cÇu chøa c¸c h¹t photon t¨ng lªn 4π(a(tpx )r)2 , v× thÕ tØ lÖ sè photon t×m ®îc Nt so víi sè photon ph¸t ra lµ: Nt A = Nγ 4π(a(tpx )r)2
(2.46)
Tõ ®ã ta tÝnh ®îc tæng n¨ng lîng trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch hay ®é trng biÓu kiÕn (apparent luminosity) lµ:
Lapp =
L L ≡ 4πa2 (t0 )r2 (1 + z)2 4πd2L
víi:
s dL = Khai triÓn
L 4πLapp
(2.47)
(2.48)
a(t) b»ng chuçi Taylor xung quanh thêi ®iÓm hiÖn t¹i t0 :
1 a(t) = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] 2 a ¨ 1 víi q0 = − · . a H02 MÆt kh¸c theo ph¬ng tr×nh (2.42) th× ta cã vÕ ph¶i b»ng 1 (do ta ®ang 25
xÐt t0 rÊt gÇn víi tE ). Cßn vÕ tr¸i ta sö dông khai triÓn Taylor:
1 1 = a(t) a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) − 21 q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] 1 1 = [1 − H0 (t − t0 ) + q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] a(t0 ) 2 (do
H0 (t − t0 )
rÊt nhá nªn ta cã thÓ bá qua sè h¹ng bËc cao cña nã vµ sö
dông c«ng thøc lµm trßn
(1 + x)n ≈ 1 + nx víi x 1).
Tõ ®ã suy ra :
Z
t0
dt 1 [1 − H0 (t − t0 ) + q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] 2 t1 a(t0 ) 1 1 = [(t0 − t1 ) + H02 (t0 − t1 )2 + · · ·] a(t0 ) 2
r =
Mµ ta ®· cã
1 a(t1 ) = a(t0 )[1 + H0 (t1 − t0 ) − q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 Theo c«ng thøc dÞch chuyÓn ®á:
1+z =
a(t0 ) . a(t1 )
Suy ra:
z =
=
=
= =
a(t0 ) −1 a(t1 ) 1 a(t0 )[−H0 (t1 − t0 ) + q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 1 a(t0 )[1 + H0 (t1 − t0 ) − q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 1 −H0 (t1 − t0 ) + q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · · 2 1 1 + H0 (t1 − t0 ) − q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 1 1 [H0 (t0 − t1 ) + q0 H02 (t0 − t1 )2 + · · ·][1 − H0 (t1 − t0 ) + q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · 2 2 1 H0 (t0 − t1 ) + (1 + q0 )H02 (t0 − t1 )2 + · · · 2 26
(ta vÉn sö dông c¸ch lÊy gÇn ®óng nh trªn). VËy lµ ta ®· cã mèi quan hÖ gi÷a ®é dÞch chuyÓn ®á
q0
vµ h»ng sè Hubble
z víi th«ng sè h·m
H0 .
KÕt hîp víi (2.48) ta thu ®îc:
dL =
1 1 (z + (1 − q0 )2 z 2 + · · ·) H0 2
(2.49)
Ta thÊy ph¬ng tr×nh (2.49) cã thÓ ®îc gi¶i thÝch nh mét sù kh¸c biÖt tõ ®Þnh luËt Hubble tuyÕn tÝnh, vµ tõ
q0
phô thuéc vµo m« h×nh Vò trô ®iÒu
nµy ®em l¹i mét híng quan s¸t ®Ó x¸c ®Þnh d¹ng h×nh häc cña Vò trô.
2.5
Tuæi cña Vò trô Mét trong nh÷ng môc ®Ých nghiªn cøu cña c¸c m« h×nh Vò trô ®ã lµ ®i
t×m c©u tr¶ lêi cho c©u hái: "Vò trô cña chóng ta b¾t nguån tõ bao giê? Hay Vò trô nµy ®· ®îc bao nhiªu tuæi?". Muèn lµm ®îc ®iÒu ®ã th× chóng ta ph¶i ®i t×m tuæi cña Vò trô. Qua nghiªn cøu vÒ thµnh phÇn ®ãng gãp cña c¸c chÊt trong mçi m« h×nh, ta ®¸nh gi¸ tuæi cña Vò trô øng víi tõng m« h×nh khi Vò trô bÞ chi phèi bëi vËt chÊt, bøc x¹, hay n¨ng lîng ch©n kh«ng? Cã nhiÒu c¸ch tÝnh tuæi cña Vò trô ®ã lµ th«ng qua c¸c tham sè Vò trô (v× c¸c tham sè Vò trô phÇn lín ®Òu thay ®æi theo thêi gian). Díi ®©y tr×nh bµy hai c¸ch tÝnh tuæi cña Vò trô, mét c¸ch tÝnh qua hÖ sè gi·n në c¸ch tÝnh qua ®é dÞch chuyÓn ®á
2.5.1
z.
TÝnh tuæi Vò trô qua scale factor
a(t)
Theo c«ng thøc (2.38):
Λa2 (t) 8πGρ0 a30 a˙ (t) = −k+ 3a(t) 3 2
cïng víi c¸c h»ng sè Vò trô (2.39) vµ (2.41), ta cã:
2
a˙ =
Λ 2 a2 − k + a0 2 a 3 a0
a0 ΩM H02 a20 27
a(t), mét
§Æt
a = x th× ta cã thÓ viÕt l¹i nh sau: a0 1 a˙ 2 = ΩM H02 a20 − k + ΩΛ H02 a20 x2 . x
Suy ra:
da a˙ = = dt
r
1 ΩM H02 a20 − k + ΩΛ H02 a20 x2 . x
Tïy thuéc vµo tõng kiÓu m« h×nh mµ ta cã c¸c bé th«ng sè kh¸c nhau, thay vµo ph¬ng tr×nh nµy ta cã thÓ ®¸nh gi¸ ®îc tuæi cña Vò trô ë mçi m« h×nh t¬ng øng. VÝ dô:
Trêng hîp vËt chÊt thèng trÞ Vò trô ph¼ng Khi ®ã ta chØ cßn:
da = a˙ = dt
r ΩM H02 a20
1 x
da
⇐⇒ dt = r
ΩM H02 a20
1 x
TÝch ph©n hai vÕ:
t0
Z
Z dt =
0
0
Z
1
a0 dx r ΩM H02 a20
1
t0 = 0
= p
1 x
dx r
1 ΩM H02 x Z 1 √ 1
ΩM H02 0 2 1 = p 3 ΩM H02 2 1 √ = 3H0 ΩM 28
x
Thay gi¸ trÞ hiÖn thêi cña
H0 = 70kms−1 M pc−1 , vµ gi¸ trÞ cña ΩM = 1
(v× ®ang xÐt trêng hîp bøc x¹ thèng trÞ) vµo ta sÏ t×m ®îc tuæi cña Vò trô trong m« h×nh nµy lµ kho¶ng 9,3 tØ n¨m.
Trêng hîp n¨ng lîng ch©n kh«ng thèng trÞ Vò trô ph¼ng Khi ®ã ta chØ cßn:
da a˙ = = dt
q
ΩΛ H02 a20 x2 da
⇐⇒ dt = p
ΩM H02 a20 x2
Lµm t¬ng tù, tÝch ph©n hai vÕ:
t0
Z
Z
1
dt = 0
0
Z t0 =
a0 dx p
1
ΩΛ H02 a20 x2 dx
p
ΩΛ H02 x2 Z 1 1 1 = p ΩΛ H02 0 x = ∞ 0
Nh vËy trong trêng hîp nµy tuæi cña Vò trô lµ v« cïng. Mét lÇn n÷a chøng tá m« h×nh de Sitter lµ hoµn toµn kh«ng phï hîp.
2.5.2
TÝnh tuæi Vò trô qua ®é dÞch chuyÓn ®á
z
Ta cã thÓ tÝnh ®îc kho¶ng thêi gian tõ thêi ®iÓm hiÖn t¹i
dÕn mét
z.
Tõ ®Þnh nghÜa
d a(t) d 1 −1 dz ln( ) = ln( )= dt a0 dt 1+z 1 + z dt
(2.50)
thêi ®iÓm trong qu¸ khø
t
t0
th«ng qua ®é dÞch chuyÓn ®á
th«ng sè Hublle ta cã:
H=
29
Ta ®a ra c¸c kÝ hiÖu vÒ c¸c th«ng sè Vò trô sau:
8πG )ρ0 3H02 Λ = 3H02 −k = 2 2 a0 H 0
ΩM = ( ΩΛ ΩK Ta cã
ΩM + ΩΛ + ΩK = 1 vµ ta cã thÓ biÓu diÔn h»ng sè Hubble qua
H0
vµ ®é dÞch chuyÓn ®á
z
nh
sau:
H 2 = H02 [ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ ] Thay
H
vµo ph¬ng tr×nh (2.50) ta t×m ®îc:
−(1 + z)−1 dt = dz H0 [ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ ]1/2 Thay
(2.51)
ΩK = 1 − ΩM − ΩΛ .
Suy ra:
dt = −H0−1 (1 + z)−1 [ΩM (1 + z)3 + (1 − ΩM − ΩΛ )(1 + z)2 + ΩΛ ]−1/2 dz = −H0−1 (1 + z)−1 [ΩM (1 + z)2 (1 + z − 1) + ΩΛ (1 − (1 + z)2 ) + (1 + z)2 ]−1/2 = −H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 Tõ ®ã ta cã:
dt = −H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 dz TÝch ph©n hai vÕ:
Z
t0
0
Z
[−H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 ]dz
dt = t1
z1
ta t×m ®îc:
Z t0 − t1 =
z1
[H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 ]dz
0 30
NÕu chän
t1 = 0
(tøc lµ t¹i thêi ®iÓm x¶y ra vô næ Big Bang) th×
z = ∞, thay vµo tÝch ph©n trªn ta tÝnh ®îc tuæi cña Vò trô, ®ã lµ hµm cña H0 , ΩM , ΩΛ (ta bá qua thêi k× ®Çu vµi tr¨m ngh×n n¨m khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi bøc x¹). Khi ®ã:
Z t0 =
∞
1
[H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]− 2 ]dz
0 T¬ng øng víi mçi m« h×nh Vò trô (nghÜa lµ øng víi mçi bé gi¸ trÞ cña c¸c th«ng sè Vò trô) th× ta cã thÓ tÝnh ®îc tuæi cña Vò trô cña m« h×nh Êy. VÝ dô: TÝnh tuæi cña Vò trô øng víi m« h×nh Einstein de Sitter (ΩM
=
1, ΩΛ = 0). Ta sÏ tÝnh tÝch ph©n trªn:
Z t0 =
∞
1
[H0−1 (1 + z)−1 [(1 + z)(1 + z)2 ]− 2 ]dz
0 hay
Z
∞
H0 t0 =
1 5
(1 + z) 2
0
dz
2 = − (1 + z)−3/2 |∞ 0 3 2 = 3 Ta suy ra :
t0 = víi
H0 = 70kms−1 M pc−1
2 3H0
th× ta ®îc tuæi cña Vò trô t0 kho¶ng 9,3 tØ n¨m .
Trong nh÷ng trêng hîp coi tuæi cña Vò trô nh mét hµm cña víi
z Ω M , ΩΛ ,
sè h¹ng bËc 3 cña
z
lîng tuæi Vò trô t¹i tõng thêi ®iÓm qua
tU (z) ∼
3H0
2 √
vµ
trë nªn quan träng. Khi ®ã ta íc
z:
1 ΩM (1 + z)3/2
31
ΩM ,
(2.52)
M« h×nh Vò trô chuÈn tæng qu¸t h¬n m« h×nh de Sitter v× nã ®· xÐt ®Õn sù cã mÆt cña c¶ vËt chÊt, bøc x¹, n¨ng lîng ch©n kh«ng. M« h×nh nµy ®· chØ ra sù ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn vµo qu¸ tr×nh Vò trô gi·n në, vµ qua ®ã cã thÓ íc lîng ®îc tuæi cña Vò trô. Song m« h×nh Vò trô chuÈn vÉn cßn thiÕu sãt ®ã lµ: Vò trô cña chóng ta kh«ng chØ bao gåm c¸c nguån vËt chÊt th«ng thêng, mäi hiÖn tîng k× bÝ nhÊt trong Vò trô häc l¹i liªn quan ®Õn vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi. Khoa häc ngµy nay chØ ra r»ng trong Vò trô nh÷ng g× mµ chóng ta nh×n thÊy chØ chiÕm kho¶ng 4%, cßn l¹i lµ n¨ng lîng tèi (73%) vµ vËt chÊt tèi (23%) [2].
32
Ch¬ng 3 M« h×nh n¨ng lîng tèi 3.1
B»ng chøng vÒ sù gia tèc cña Vò trô B»ng chøng vÒ sù gia tèc lµ viÖc x¸c ®Þnh thêi gian gi·n në Vò trô. Hai
ph¬ng ph¸p nghiªn cøu hiÖn nay lµ: thø nhÊt, ngêi quan s¸t cã thÓ ®o ®îc kho¶ng c¸ch tíi vËt thÓ qua viÖc th¨m dß gi·n në t¹i nh÷ng thêi ®iÓm kh¸c nhau, hai lµ x¸c ®Þnh mËt ®é c¸c thµnh phÇn Vò trô, t¹o ra nh÷ng nguån n¨ng lîng trong Vò trô. KÕt hîp nh÷ng m¶ng th«ng tin ta thÊy ®ã chÝnh lµ b»ng chøng m¹nh mÏ cho n¨ng lîng tèi.
3.1.1
§o kho¶ng c¸ch
Ta thiÕt lËp ®îc c«ng thøc thÓ hiÖn mèi quan hÖ gi÷a h»ng sè Hubble víi c¸c tham sè mËt ®é thµnh phÇn
Ωi , víi dÞch chuyÓn ®á z :
H 2 = H02 [ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ ]
(3.1)
Nh÷ng tÝnh to¸n hiÖn nay cho phÐp ta x¸c ®Þnh ®îc kho¶ng c¸ch ®Õn vËt thÓ, ®ã lµ:
Z x(z) = H0 0
zqs
dz H(z)
NÕu biÕt tæng n¨ng lîng Vò trô, ®o ®îc ®é dÞch chuyÓn ®á
(3.2)
z
b»ng
m¸y ®o quang phæ th× kho¶ng c¸ch nµy cã thÓ tÝnh ®îc. Tõ ®ã sÏ nghiªn cøu ®îc sù gia tèc cña Vò trô.
33
3.1.2
Th¨m dß sù gi·n në cña Vò trô
CÊp sao lµ ®¹i lîng nãi vÒ ®é s¸ng cña mét vËt thÓ n»m trong kh«ng gian. CÊp sao nh×n thÊy:
m = −2, 5lg víi
S0 , Sqs
Sqs S0
lµ th«ng lîng bøc x¹ do vËt thÓ ph¸t ra vµ do m¸y nhËn ®îc.
CÊp sao tuyÖt ®èi lµ cÊp sao nh×n thÊy khi vËt thÓ ë c¸ch ta 10 parsec. Kho¶ng c¸ch ®é trng ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc sau:
dl = 10(m−M −25)/5 Ch¬ng tr×nh x¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch ®é trng lµ mét trong nh÷ng c¸ch x¸c ®Þnh cÊp sao tuyÖt ®èi. Hubble sö dông c¸c sao biÕn quang nh nh÷ng nguån s¸ng chuÈn. C¸c sao biÕn quang thay ®æi ®é s¸ng theo chu k× 1-100 ngµy, chu k× nµy liªn quan ®Õn cÊp sao tuyÖt ®èi. Nh÷ng nguån s¸ng chuÈn míi lµ c¸c sao siªu míi. Cã hai lo¹i sao siªu míi lµ lo¹i I vµ lo¹i II. Lo¹i II cã ®êng phæ Hidro, sinh ra do nhòng sao nÆng chÕt ®i. Lo¹i I kh«ng cã ®êng phæ Hidro, chóng l¹i ®îc chia ra lµm ba lo¹i Ia, Ib, Ic. Lo¹i Ia ®îc quan t©m nhiÒu nhÊt, chóng sinh ra bëi sù lín dÇn lªn cña vËt chÊt tõ sao ®«i trªn bÒ mÆt cña sao lïn tr¾ng. X¸c ®Þnh cÊp sao tuyÖt ®èi cña c¸c sao siªu míi lo¹i Ia cho phÐp ngêi quan s¸t th¨m dß mèi quan hÖ gi÷a kho¶ng c¸ch vµ ®é dÞch chuyÓn ®á, tõ ®ã thÊy sù gia tèc cña Vò trô.
3.2
Giíi thiÖu n¨ng lîng tèi Tõ viÖc ph©n tÝch c¸c sè liÖu quan s¸t Vò trô cña vÖ tinh ®¼ng híng
®o bøc x¹ nÒn Vò trô (CMB) [9], sao siªu míi lo¹i Ia vµ sè lîng rÊt Ýt c¸c tinh v©n baryon trong Vò trô ®· ñng hé mét m« h×nh mang tªn "Sù phï hîp Vò trô". M« h×nh nµy lµ Vò trô Euclidean ph¼ng víi mét phÇn ba lµ vËt chÊt tèi phi t¬ng ®èi tÝnh vµ hai phÇn ba lµ n¨ng lîng tèi - mét thµnh phÇn mÞn. Gi¶ sö r»ng vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi lµ kh«ng t¬ng t¸c. TØ lÖ gi÷a mËt ®é n¨ng lîng cña chóng t¨ng theo thêi gian
ρDM /ρDE ∼ a3α
[9]. Do vËy,
h»ng sè Vò trô hoÆc trêng c©n b»ng cña thÕ hiÖu dông ph¶i ®îc xem xÐt 34
cÈn thËn ®Ó ®¹t ®îc sù c©n ®èi cña vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi nh ngµy nay. Mét sè m« h×nh n¨ng lîng tèi ®îc ®a ra thÓ hiÖn mèi quan hÖ cña h»ng sè Hubble víi c¸c tham sè Vò trô nh»m gi¶i thÝch sù gi·n në cña Vò trô øng víi sè h¹ng n¨ng lîng tèi. Ngµy nay vÉn cßn nhiÒu vÊn ®Ò liªn quan ®Õn n¨ng lîng tèi mµ con ngêi cha gi¶i thÝch ®îc. Ph¬ng tr×nh Einstein ®Çy ®ñ nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt sè h¹ng h»ng sè Vò trô
Λ. Vµ gÇn ®©y Λ ®îc dïng ®Ó minh chøng cho n¨ng lîng tèi. N¨ng
lîng tèi dïng ®Ó gi¶i thÝch cho sù gi·n në cña Vò trô, bÞ ph¸t hiÖn bëi mét vµi thµnh phÇn l¹ ¸p suÊt ©m, nh h»ng sè Vò trô hoÆc trêng v« híng víi thÕ thÝch hîp. H»ng sè Vò trô lµ mét sè kh«ng ®æi bÊt k×, kh«ng cã g× quy ®Þnh gi¸ trÞ cho nã c¶. Cã thÓ ®¸nh gi¸ gi¸ trÞ cña nã tõ thuyÕt trêng lîng tö, b»ng viÖc kh¶o s¸t sù ®ãng gãp tõ nh÷ng dao ®éng kh«ng ®iÓm, n¨ng lîng cña nh÷ng trêng lîng tö trong tr¹ng th¸i ch©n kh«ng cña chóng. Tr¹ng th¸i n¨ng lîng cña trêng lîng tö coi nh lµ mét sè v« h¹n c¸c dao ®éng ®iÒu hßa. N¨ng lîng mét dao ®éng lµ
ω=
√
~ω ,
trong ®ã tÇn sè
m2 + k 2 [10] (m lµ khèi lîng, k lµ sè sãng). N¨ng lîng ch©n kh«ng
lµ tæng tÊt c¶ c¸c dao ®éng:
Z ρvac ∼
∞p
k 2 + m2 k 2 dk
0 Ch¾c ch¾n r»ng ë ®©y ph¶i cã sù ®ãng gãp ®¸ng kÓ cña tÇn sè cao. Do
4 ρvac ∼ kmax . Gi¸ trÞ giíi h¹n kmax nµy cã thÓ cao nh gi¸ trÞ Planck √ 19 (mP l ≈ 10 GeV ) hoÆc thÊp nh gi¸ trÞ ®iÖn yÕu (1/ GF = 300GeV ) Gi¸ 76 4 trÞ mËt ®é n¨ng lîng cã thÓ lµ 10 GeV , trong khi qua quan s¸t gi¸ trÞ íc −46 lîng chØ cã 10 GeV 4 . Kh«ng cã c¸ch nµo gi¶i thÝch t¹i sao n¨ng lîng ®ã,
ch©n kh«ng l¹i cã gi¸ trÞ thÊp nh vËy b»ng lý thuyÕt lîng tö [10]. Cïng víi vÊn ®Ò vÒ h»ng sè Vò trô, "vÊn ®Ò trïng hîp" ®îc nh¾c ®Õn. MËt ®é n¨ng lîng vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi gÇn nh lµ cã thÓ so s¸nh ®îc. Coi r»ng hai thµnh phÇn ®ã tiÕn triÓn ®éc lËp, sau ®ã mËt ®é cña chóng
35
gi¶m xuèng theo nh÷ng tØ lÖ kh¸c nhau. H»ng sè mËt ®é Vò trô kh«ng ®æi, trong khi Vò trô b¾t ®Çu gia tèc mËt ®é vËt chÊt gi¶m xuèng theo hµm sè mò. Lóc ®ã, ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña Vò trô ph¶i ®Æt sao cho mËt ®é cña c¸c thµnh phÇn cã thÓ so s¸nh ®îc víi nhau. Sau l¹m ph¸t, tØ lÖ n¨ng lîng tèi so víi mËt ®é vËt chÊt, bøc x¹ lµ kho¶ng
10−100 , ngµy nay tØ lÖ nµy gÇn nh
cã thÓ so s¸nh ®îc víi nhau. Tíi giê vÉn cha cã mét sù gi¶i thÝch tháa ®¸ng nµo vÒ vÊn ®Ò nµy.
3.3
M« h×nh vò trô víi qu¸ tr×nh r· vËt chÊt tèi Cã rÊt nhiÒu m« h×nh lÝ thuyÕt ®îc ®a ra nh»m gi¶i thÝch sù gia tèc
cña Vò trô còng nh sù xuÊt hiÖn thµnh phÇn n¨ng lîng tèi trong biÓu thøc mËt ®é n¨ng lîng toµn phÇn. Trong phÇn nµy t«i xÐt m« h×nh Vò trô ph¼ng víi
k = 0, Λ = 0
trong hÖ täa ®é ®ång chuyÓn ®éng vµ tæng mËt ®é n¨ng
lîng Vò trô bao gåm c¶ c¸c h¹t vËt chÊt tèi bÒn, c¸c h¹t t¬ng ®èi tÝnh, c¸c h¹t baryon.
ρ = ρDM + ρb + ργ + ρl , trong ®ã
ργ + ρl
ρb
lµ mËt ®é baryon,
ρDM
(3.3)
lµ mËt ®é cña c¸c h¹t vËt chÊt tèi bÒn vµ
lµ mËt ®é cña c¸c h¹t t¬ng ®èi tÝnh . Khi ®ã ta cã ¸p suÊt cña Vò
trô lµ:
1 p = [ργ + ρνl ] . 3
(3.4)
Tenx¬ n¨ng xung lîng ®îc biÓu diÔn díi d¹ng sau:
T00 = ρ
(3.5)
T0i = 0 a˙ Tij = p − 3ζ gij . a
(3.6) (3.7)
Nh×n vµo tenx¬ n¨ng xung lîng ta thÊy xuÊt hiÖn thªm mét thµnh phÇn cho ®ãng gãp nh lµ ¸p suÊt ©m. Tõ ph¬ng tr×nh Friedmann cho trêng hîp víi thµnh phÇn
µν = 00, ta thÊy r»ng nã kh«ng phô thuéc vµo ¸p suÊt. Ta cã
36
ph¬ng tr×nh cho h»ng sè Vò trô Hublle nh sau:
a˙ 2 8 H = 2 = πGρ , a 3 2
ë ®©y
ρ
(3.8)
chÝnh lµ tæng mËt ®é n¨ng lîng cña vËt chÊt vµ c¸c h¹t t¬ng ®èi
tÝnh. Do sù ®ãng gãp vµo mËt ®é cña c¸c h¹t baryon lµ rÊt bÐ nªn ta cã thÓ bá qua sè h¹ng chøa thµnh phÇn mËt ®é cña c¸c h¹t baryon. Vµ lóc nµy chØ cßn l¹i:
ρ = ρDM + ργ + ρl
(3.9)
Gi¶i ph¬ng tr×nh b¶o toµn cho mËt ®é n¨ng lîng cña vËt chÊt vµ bøc x¹ ta cã:
1 ρm0 e−t/τ . 3 a Z 1 ρh0 t −t0 /τ 0 0 e a(t )dt + ρBV , ρl = 4 ρl0 + a τ 0 xuÊt hiÖn thªm thµnh ρBV t¬ng øng cho mËt ργ =
vµ:
ë ®©y ta thÊy
(3.10)
(3.11) ®é cña c¸c h¹t
®îc sinh ra tõ c¸c h¹t vËt chÊt tèi ë mét kho¶ng thêi gian nµo ®ã trong qu¸ tr×nh h×nh thµnh cña Vò trô.
Z
t
2 a˙ ζ(t ) a(t0 )4 dt0 . a 0
ρBV = 9 0
(3.12)
Nh vËy tæng mËt ®é cho ph¬ng tr×nh Friedmann bao gåm c¸c h¹t vËt chÊt tèi nÆng vµ c¸c h¹t vËt chÊt tèi nhÑ, ngoµi ra cßn xuÊt hiÖn thªm thµnh phÇn mËt ®é n¨ng lîng kh¸c mµ ta gäi lµ chÊt nhÇy cña Vò trô. Thµnh phÇn nµy cho ®ãng gãp vµo sù gia tèc cña Vò trô. §é s¸ng biÓu kiÕn cña sao siªu míi lo¹i Ia chuÈn trong Vò trô ph¼ng
Λ = 0
cho ta biÕt ®îc kho¶ng c¸ch ®é
trng theo c«ng thøc sau:
DL
c(1 + z) = H0
Z 0
z
dz 0 , [Ωm (z 0 ) + (Ωr (z 0 ) + Ωλ (z 0 )]1/2 (3.13)
Ωi
lµ mËt ®é tíi h¹n t¹i tõng thêi ®iÓm kh¸c nhau. VÝ dô nh ®èi víi c¸c h¹t
vËt chÊt tèi l¹nh:
Ωm (z) = (8πGρm0 /3H02 )e−λt (1 + z)3 37
(3.14)
Cßn ®èi víi c¸c h¹t chuyÓn ®éng víi vËn tèc t¬ng ®èi ta cã:
Ωr = (8πGρr0 /3H02 )(1 + z)4 .
(3.15)
ë ®©y ta thÊy xuÊt hiÖn thµnh phÇn liªn quan ®Õn sù gia tèc cña Vò trô lµ:
Ωλ ≡
(8πGρm0 /3H02 )(1
4
Z
+ z) λρm0 0
t
dt0 . eλt0 (1 + z 0 )
(3.16)
Thµnh phÇn nµy kh«ng ph¶i lµ vËt chÊt tèi vµ bøc x¹. M« h×nh chóng ta xÐt trong trêng hîp nµy ®îc gi¶ thiÕt lµ ban ®Çu chØ chøa c¸c h¹t vËt chÊt tèi l¹nh. Tõ sù tÝnh to¸n sè b»ng ch¬ng tr×nh Fotran chóng t«i thÊy r»ng theo thêi gian ®Õn thêi ®iÓm kho¶ng lín h¬n 10 tØ n¨m th× c¸c h¹t vËt chÊt tèi l¹nh kh«ng cßn bÒn n÷a vµ r· ra thµnh c¸c h¹t chuyÓn ®éng víi vËn tèc rÊt lín cì vËn tèc ¸nh s¸ng. Thµnh phÇn nµy chÝnh lµ nguyªn nh©n lµm cho Vò trô gia tèc.
38
KÕt luËn VËt lý thiªn v¨n hiÖn ®¹i lµ mét ngµnh khoa häc ®ang ®îc rÊt nhiÒu ngêi quan t©m, thu hót ®îc sù chó ý cña nhiÒu nhµ khoa häc, song ë ViÖt Nam ®©y lµ mét ngµnh cha ph¸t triÓn nhiÒu. §Ò tµi "C¸c m« h×nh Vò trô" ®· thu ®îc mét sè kÕt qu¶ chÝnh nh sau:
•
Giíi thiÖu mét sè m« h×nh Vò trô, ®iÓm xuÊt ph¸t lý thuyÕt cña c¸c
m« h×nh ®ã, t×m hiÓu c¸c thµnh phÇn Vò trô trong tõng m« h×nh.
•
T×m hiÓu trong qu¸ tr×nh Vò trô gi·n në c¸c th«ng sè Vò trô, hÖ sè
gi·n në, mËt ®é n¨ng lîng Vò trô... thay ®æi nh thÕ nµo.
•
LËp biÓu thøc ®¸nh gi¸ tuæi cña Vò trô øng víi tõng m« h×nh. Bíc
®Çu nghiªn cøu vÒ n¨ng lîng tèi. Bíc ®Çu t×m hiÓu c¸c ch¬ng tr×nh tÝnh to¸n sè ®Ó tÝnh ®îc mèi liªn hÖ mËt ®é n¨ng lîng cña Vò trô víi tuæi cña Vò trô nh»m ®a ra mét m« h×nh lý thuyÕt phï hîp víi c¸c kÕt qña thùc nghiÖm. Híng nghiªn cøu tiÕp theo cña ®Ò tµi lµ t×m hiÓu sù ¶nh hëng cña n¨ng lîng tèi vµ bøc x¹ nÒn Vò trô trong c¸c m« h×nh Vò trô.
39
Tµi liÖu tham kh¶o [1] Ph¹m ViÕt Trinh, NguyÔn §×nh No·n, Gi¸o tr×nh thiªn v¨n. NXBGD, 1999. [2] Khoa VËt Lý, §H Khon Kaen, Th¸i Lan, The Early Universe. 2004. [3] Burin Gumjudpai,
Introduction to Cosmology, Naresuan University,
2004. [4] Lars Bergstrom, Ariel Goobar (§¹i häc Stockholm, Thôy §iÓn), Cosmology and particle astrophysics. Praxis Publishing, 1999. [5] Elsevier, Review of particle physics, 2004. [6] G. Dvali, A. Perez-Lorenzana, G. Senjanovic, G. Thompson, F. Vissani, 2002 astroparticle physics and cosmology, 05-07/2002. [7] Ph¹m Phóc TuyÒn, Vò trô häc- M«n khoa häc tèi hËu nµy cã hay kh«ng cã håi kÕt, VËt Lý Ngµy Nay, 1+2/2006 [8] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, Wiley, 2003. [9] D. Comelli, M.Pietroni, A.Riotto,
Dark energy and dark matter,
Physics Letters B 571 (2003) 115-120, 2003. [10] David Pakinson, Bµi gi¶ng: Dark Energy, §H Khon Kaen, Th¸i Lan, 10/2004.
40
−−−?−−−
C¸c m« h×nh Vò trô
Chuyªn ngµnh: VËt Lý Thiªn V¨n Lý ThuyÕt
Khãa LuËn Tèt NghiÖp
Sinh viªn thùc hiÖn: §oµn KiÒu Anh Líp: A K53 Ngêi híng dÉn khoa häc: TS NguyÔn Quúnh Lan
Hµ Néi, 5 / 2007 1
C¸c m« h×nh Vò trô
Th¸ng 5 - 2007
Lêi c¶m ¬n
Em xin ch©n thµnh bµy tá lêi c¶m ¬n tíi c« NguyÔn Quúnh Lan, ngêi ®· quan t©m, tËn t×nh híng dÉn, chØ b¶o, cung cÊp tµi liÖu, ph¬ng thøc nghiªn cøu cho em trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi khãa luËn tèt nghiÖp. Em xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong khoa VËt lý trêng §¹i Häc S Ph¹m Hµ Néi, ®Æc biÖt lµ c¸c thÇy c« trong tæ VËt lý §¹i c¬ng, cïng b¹n bÌ ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì em trong qu¸ tr×nh hoµn thiÖn khãa luËn nµy. Con xin göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c tíi bè mÑ, gia ®×nh vµ ngêi th©n v× ®· lu«n bªn con, ñng hé con ®Ó con ®¹t ®îc kÕt qu¶ nh ngµy h«m nay. B¶n khãa luËn hoµn thµnh trong sù cè g¾ng, nç lùc cña em, song do ®Æc ®iÓm thiªn v¨n häc ë ViÖt Nam cha ph¸t triÓn, tµi liÖu nghiªn cøu kh«ng nhiÒu mµ chñ yÕu lµ tµi liÖu níc ngoµi, bªn c¹nh ®ã thêi gian nghiªn cøu, kinh nghiÖm nghiªn cøu khoa häc cßn h¹n chÕ nªn khãa luËn nµy kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy, em kÝnh mong nhËn ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®Ó ®Ò tµi nµy cña em ®îc hoµn thiÖn h¬n. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Hµ Néi, ngµy10 th¸ng 05 n¨m 2007.
Ngêi thùc hiÖn
§oµn KiÒu Anh
1
Môc lôc 1
2
M« h×nh Vò trô de Sitter
6
1.1
Ph¬ng tr×nh
6
1.2
HÖ sè gi·n në Vò trô (scale factor)
. . . . . . . . . . . . . . . 10
M« h×nh Vò trô chuÈn
12
2.1
M« h×nh Big Bang
2.2
Ph¬ng tr×nh Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
MËt ®é n¨ng lîng tæng céng
2.4
2.5
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2
XÐt mèi quan hÖ víi hÖ sè gi·n në Vò trô . . . . . . . . 17
2.3.3
Sù gi·n në theo thêi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Quan s¸t sù gi·n në cña Vò trô
. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1
Vò trô gi·n në
2.4.2
Sè phËn cña Vò trô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3
H¹t ch©n trêi
2.4.4
Kho¶ng c¸ch Vò trô
Tuæi cña Vò trô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TÝnh tuæi Vò trô qua scale factor
2.5.2
TÝnh tuæi Vò trô qua ®é dÞch chuyÓn ®á
M« h×nh n¨ng lîng tèi
3.1
3.1.2
. . . . . . . . . . 27
z
. . . . . . . . 29 33
B»ng chøng vÒ sù gia tèc cña Vò trô 3.1.1
3.2
a(t)
2.5.1
. . . . . . . . . . . . . . 33
§o kho¶ng c¸ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Th¨m dß sù gi·n në cña Vò trô
Giíi thiÖu n¨ng lîng tèi
. . . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2
3.3
M« h×nh vò trô víi qu¸ tr×nh r· vËt chÊt tèi . . . . . . . . . . . 36
Phô lôc
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43
3
Më ®Çu Ngµy nay Vò trô häc c«ng nhËn r»ng Vò trô cña chóng ta b¾t nguån tõ vô næ lín Big Bang. Tõ ®ã Vò trô tiÕn triÓn theo thêi gian cho ®Õn b©y giê. Víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña VËt lý häc, khoa häc lu«n muèn t×m hiÓu c¸c lo¹i t¬ng t¸c vµ sù thèng nhÊt gi÷a chóng. Vò trô häc vµ Thiªn v¨n vËt lý còng vËy. Vò trô cßn rÊt nhiÒu bÝ mËt cha ®îc kh¸m ph¸, con ngêi cÇn ph¶i ®i t×m nh÷ng chiÕc ch×a khãa ®Ó më tõng c¸nh cöa nh»m tiÕn s©u h¬n n÷a vµo Vò trô, cè g¾ng gi¶i thÝch nh÷ng ®iÒu k× bÝ n»m trong ®ã. C¸c m« h×nh Vò trô lÇn lît ra ®êi. Cã rÊt nhiÒu m« h×nh Vò trô. Tõ xa xa con ngêi ®· ®a ra m« h×nh Vò trô thÇn linh, m« h×nh Vò trô thÇn tho¹i (chÝnh v× thÕ mµ ta míi cã nh÷ng c©u chuyÖn thó vÞ vÒ c¸c v× sao). Råi xa h¬n khi con ngêi cã nh÷ng nhËn xÐt qua quan s¸t chuyÓn ®éng cña c¸c thiªn thÓ, m« h×nh ®Þa t©m cña Ptoleme vµ m« h×nh nhËt t©m cña Copernic xuÊt hiÖn [1]. Vµ ®©y chÝnh lµ nh÷ng bíc ®Öm thóc ®Èy, khÝch lÖ loµi ngêi bíc ch©n vµo nghiªn cøu Vò trô bao la vµ k× diÖu. C¸c m« h×nh Vò trô ®îc coi lµ c«ng cô h÷u hiÖu trong qu¸ tr×nh kh¸m ph¸ b¶n chÊt, cÊu tróc còng nh n¨ng lîng cña Vò trô. §ã chÝnh lµ lý do mµ t«i lùa chän ®Ò tµi "C¸c m« h×nh Vò trô". §èi tîng nghiªn cøu cña ®Ò tµi lµ c¸c m« h×nh Vò trô. B¶n khãa luËn chñ yÕu tËp trung vµo mét sè m« h×nh Vò trô, t×m hiÓu vÒ n¨ng lîng tèi. Môc ®Ých cña khãa luËn nµy lµ t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè, thµnh phÇn, sù gi·n në cña Vò trô. Qua ®ã íc lîng tuæi cña Vò trô trong mçi m« h×nh, ®èi chiÕu kÕt qu¶ thu ®îc víi nh÷ng th«ng tin hiÖn nay ta cã thÓ ®¸nh gi¸ nh÷ng g× ®· ®¹t ®îc vµ cha ®¹t ®îc cña tõng m« h×nh. B¶n khãa luËn còng giíi thiÖu mét c¸ch c¬ b¶n vÒ n¨ng lîng tèi - mét thµnh phÇn chiÕm tØ lÖ kh«ng nhá trong Vò trô hiÖn nay (chiÕm 73% n¨ng lîng Vò trô [2]). Tõ môc ®Ých ®ã, t«i lùa chän ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lµ ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch vµ tÝnh sè. Khãa luËn tr×nh bµy víi bè côc ba phÇn: phÇn më ®Çu, phÇn néi dung chÝnh, phÇn kÕt luËn.
4
PhÇn néi dung chÝnh cã 3 ch¬ng: C¸c m« h×nh Vò trô lµ c¸c gi¶ thuyÕt ®îc ®a ra trong qu¸ tr×nh t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Einstein :
1 Rµν − gµν R − Λgµν = 8ΠGTµν 2 Ch¬ng 1: M« h×nh Vò trô de Sitter
M« h×nh ®¬n gi¶n nhÊt , ®ã lµ cho vÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh trªn b»ng kh«ng (coi nh kh«ng cã sù ®ãng gãp cña tenx¬ n¨ng xung lîng
Tµν = 0),
mét m« h×nh kh«ng vËt chÊt, kh«ng bøc x¹, chØ cã n¨ng lîng ch©n kh«ng. Ch¬ng 2: M« h×nh Vò trô chuÈn
Giíi thiÖu vÒ m« h×nh Big Bang [3]- m« h×nh gi¶i thÝch nguån gèc Vò trô ®ang ®îc khoa häc thõa nhËn. Tæng qu¸t h¬n m« h×nh de Sitter, m« h×nh Vò trô chuÈn cã xÐt ®Õn c¶ sù cã mÆt cña vËt chÊt vµ bøc x¹ ngoµi n¨ng lîng ch©n kh«ng. M« h×nh nµy t×m sù phô thuéc gi÷a c¸c yÕu tè nh mËt ®é n¨ng lîng, hÖ sè gi·n në Vò trô, c¸c th«ng sè Vò trô... vµ sù phô thuéc cña chóng vµo sù gi·n në cña Vò trô. Tõ ®ã tïy thuéc sù ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn mµ Vò trô sÏ thÓ hiÖn mét c¸ch riªng t¬ng øng. Qua ®ã ta cã thÓ thiÕt lËp ®îc biÓu thøc tÝnh tuæi cña Vò trô. Sö dông m« h×nh Vò trô chuÈn ®Ó t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè Vò trô, hÖ sè gi·n në, mËt ®é n¨ng lîng..., vµ sù thay ®æi cña c¸c ®¹i lîng ®ã khi Vò trô gi·n në. Tõ ®ã íc lîng tuæi Vò trô. Ch¬ng 3: N¨ng lîng tèi
Giíi thiÖu vÒ n¨ng lîng tèi vµ c¸c b»ng chøng cho sù tån t¹i cña n¨ng lîng tèi còng nh c¸c m« h×nh cho n¨ng lîng tèi.
5
Ch¬ng 1 M« h×nh Vò trô de Sitter M« h×nh Vò trô lµ nh÷ng gi¶ thuyÕt ®îc x©y dùng trªn nh÷ng lý thuyÕt ®· ®îc khoa häc c«ng nhËn lµ ®óng. ThuyÕt t¬ng ®èi réng cña Einstein ra ®êi ®· cung cÊp nÒn t¶ng lý thuyÕt cho Vò trô häc, nguyªn lý t¬ng ®èi réng ®îc khoa häc thõa nhËn lµ mét lý thuyÕt tæng qu¸t nhÊt cho mäi vËt. V× thÕ c¸c m« h×nh Vò trô ®Òu ®îc x©y dùng dùa vµo c¬ së lý thuyÕt v÷ng ch¾c nµy. Ph¬ng tr×nh Einstein lµ nguån gèc h×nh thµnh cña c¸c m« h×nh Vò trô.
1.1
Ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh hÊp dÉn Einstein:
1 Rµν − gµν R = 8ΠGTµν 2
(1.1)
Tríc ®©y cã ý kiÕn cho r»ng Vò trô cña chóng ta lµ tÜnh t¹i. Nhng ph¬ng tr×nh Einstein cho ta thÊy Vò trô lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng, nã kh«ng tÜnh mµ lu«n gi·n në hoÆc co l¹i. Einstein cho r»ng nhÊt thiÕt sè h¹ng
gµν
ph¶i cã mÆt trong ph¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cña «ng (tøc lµ ph¶i cã thµnh phÇn
kh«ng gian ë trong ph¬ng tr×nh tæng qu¸t). Nh thÕ ph¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cña Einstein lµ:
1 Rµν − gµν R − Λgµν = 8ΠGTµν 2
trong ®ã:
Rµν
lµ tenx¬ ®é cong Ricci; 6
(1.2)
R lµ ®é cong v« híng Ricci; gµν lµ tenx¬ metric; Λ lµ h»ng sè Vò trô; G lµ hÖ sè hÊp dÉn Einstein; Tµν lµ tenx¬ n¨ng xung lîng: ρΛ 0 0 0 0 −ρΛ 0 0 Tµν = 0 0 −ρΛ 0 0 0 0 −ρΛ víi
(1.3)
ρΛ = 3Λ/(8ΠG). C¸c thµnh phÇn cña tenx¬ n¨ng xung lîng lµ:
T ij = pδji , nÕu
ρΛ
(1.4)
d¬ng th× ¸p suÊt ©m!
Trong trêng hîp kh«ng cã vËt chÊt hoÆc bøc x¹ (cã nghÜa lµ
Tµν
= 0),
ta cã ph¬ng tr×nh de Sitter:
1 Rµν − gµν R = Λgµν . 2
(1.5)
Nguyªn lý Vò trô cho ta biÕt Vò trô cña chóng ta lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng. §Ó m« t¶ Vò trô ta sö dông metric Robertson - Walker:
dr2 ds = dt − a (t)( + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 ) 2 1 − kr 2
trong (1.5)
Rµν
2
2
lµ tenx¬ Ricci:
α Rµν = Rµαν , víi:
ρ Rσµν = Mµ
Γνµσ
(1.6)
(1.7)
∂ ρ ∂ ρ Γ − Γµσ + Γρµλ Γλνσ − Γρνλ Γλµσ . νσ µ ν ∂x ∂x
lµ kÝ hiÖu Christoffel:
Γλµν
g λρ = (gνρ,µ + gµρ,ν − gνµ,ρ ) , 2 7
(1.8)
vµ R lµ v« híng Ricci:
trong ®ã
gµν
R = g µν Rµν
(1.9)
1 , g µν
(1.10)
lµ tenx¬ metric:
gµν =
gµν
1
0 0 0 2 a 0 0 0 − = 1 − kr2 0 −a2 r2 0 0 0 0 0 −a2 r2 sin2 θ
(1.11)
Tõ c¸c d÷ kiÖn trªn ta cã thÓ tÝnh ®îc c¸c gi¸ trÞ cña kÝ hiÖu Christoffel, cô thÓ:
a˙ aa ˙ Γ101 = Γ202 = Γ303 = ; Γ011 = a 1 − kr2 kr 1 2 3 ; Γ Γ111 = = Γ = 12 13 1 − kr2 r 0 2 1 Γ22 = aar ˙ ; Γ22 = −r(1 − kr2 ) Γ323 = cot θ;
Γ133 = −r(1 − kr2 sin2 θ)
Γ233 = − sin θ cos θ. C¸c thµnh phÇn cßn l¹i ®Òu b»ng 0. Tõ ®ã ta t×m ®îc thµnh phÇn 00,11, 22, 33 cña ph¬ng tr×nh de Sitter. a) Thµnh phÇn 00:
α R00 = R0α0 =
∂Γα00 ∂Γα0α − + Γααλ Γλ00 − Γα0λ Γλα0 . α 0 ∂x ∂x
Thay c¸c kÝ hiÖu Christoffel võa tÝnh vµo ta suy ra:
a ¨ R00 = −3 . a b) Thµnh phÇn 11:
R11 =
α R1α1
∂Γα11 ∂Γα1α = − + Γααλ Γλ11 − Γα1λ Γλα1 . α 1 ∂x ∂x 8
Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra:
a ¨ R11 = −3 , a c) thµnh phÇn 22:
R22 =
α R2α2
∂Γα22 ∂Γα2α − + Γααλ Γλ22 − Γα2λ Γλα2 = α 2 ∂x ∂x
Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra:
R22 = (¨ aa + 2a˙ 2 + 2k)r2 d) thµnh phÇn 33:
R33 =
α R3α3
∂Γα33 ∂Γα3α = − + Γααλ Γλ33 − Γα3λ Γλα3 α 3 ∂x ∂x
Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña c¸c kÝ hiÖu Christoffel ta suy ra:
R33 = (¨ aa + 2a˙ 2 + 2k)r2 sin2 θ Tõ ®ã ta sÏ tÝnh ®îc v« híng Ricci:
R=
R = g µν Rµν
R00 R11 R22 R33 a ¨ a˙ k + + + = −6[ + ( )2 + 2 ] g00 g11 g22 g33 a a a
Ph¬ng tr×nh de Sitter øng víi nh÷ng thµnh phÇn thêi gian vµ kh«ng gian: +) Víi thµnh phÇn 00: Ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:
1 R00 − g00 R = Λg00 2 t¬ng ®¬ng:
a˙ 3k 3( )2 + 2 = Λ a a
(1.12)
+) Víi thµnh phÇn 11:
1 R11 − g11 R = Λg11 2 suy ra:
a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a 9
(1.13)
+) Víi thµnh phÇn 22:
1 R22 − g22 R = Λg 2 suy ra t¬ng tù:
a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a +) Víi thµnh phÇn 33: Còng thay vµo nh trªn:
1 R33 − g33 R = Λg33 2 suy ra:
a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = Λ a a a Tãm l¹i ta cã 2 mèi quan hÖ cña kh«ng gian vµ h»ng sè Vò trô nh (1.12) vµ (1.13).
1.2
HÖ sè gi·n në Vò trô (scale factor) Theo ®Þnh luËt Hubble th×:
v = Hr
(1.14)
mµ ta biÕt:
r(t) = a(t)r0 víi
r(t) lµ b¸n kÝnh Vò trô, a(t) lµ hÖ sè tØ lÖ (scale factor), cßn r0
®ång chuyÓn ®éng (comoving coordinate) (thêng chän
r0
lµ to¹ ®é
=1).
Suy ra ta cã:
r˙ = Hr
hay:
H(t) = Víi
r(t) ˙ a˙ = r(t) a
(1.15)
k = 0 vµ Λ > 0 th× tõ (1.12) ta suy ra: a˙ Λ H 2 (t) = ( )2 = a 3 10
(1.16)
r hay
H(t) = Tõ
a˙ a
=
Λ 3
H(t) ta suy ra: ln a = Ht
suy ra:
r a(t) = exp(Ht) = exp( Ta thÊy
a(t)
Λ t). 3
(1.17)
t¨ng nhanh theo hµm sè mò cña thêi gian, ®iÒu nµy dïng
®Ó gi¶i thÝch cho sù l¹m ph¸t cña Vò trô, Vò trô gi·n në rÊt nhanh nªn tr«ng nã nh mét mÆt ph¼ng (ta gäi lµ Vò trô ph¼ng) [4].
M« h×nh de Sitter ®· dùa trªn ph¬ng tr×nh t¬ng ®èi réng cña Einstein ®i t×m mèi quan hÖ cña hÖ sè gi·n në Vò trô vµo thêi gian. Tuy nhiªn m« h×nh nµy míi chØ xÐt ®Õn Vò trô mét thµnh phÇn, hoµn toµn bá qua sù cã mÆt cña c¸c thµnh phÇn quan träng kh¸c mµ chóng ta ®· biÕt ®Õn. Nªn m« h×nh de Sitter chØ gi¶i quyÕt ®îc mét phÇn nhá trong sù tiÕn hãa cña Vò trô mµ th«i. Ta cÇn ph¶i t×m mét m« h×nh tæng qu¸t h¬n, ®ã chÝnh lµ m« h×nh Vò trô chuÈn.
11
Ch¬ng 2 M« h×nh Vò trô chuÈn 2.1
M« h×nh Big Bang C©u chuyÖn vÒ vô næ lín vµ nãng xuÊt hiÖn tõ nh÷ng bíc tiÕn triÓn
cña c¸c ý kiÕn vËt lý vµ quan s¸t Vò trô häc ®Çu thÕ kØ XX. ThÕ kØ XX ®¸nh dÊu sù tiÕn bé vît bËc cña VËt lý b»ng c¸c ®ãng gãp vÜ ®¹i cña nhµ b¸c häc Anbert Einstein. ThuyÕt t¬ng ®èi réng cña Einstein (ra ®êi n¨m 1915) ®· cung cÊp cho c¸c nhµ khoa häc mét c¬ së ®Ó nghiªn cøu s©u h¬n vÒ Vò trô. C¸c m« h×nh Vò trô ®· ®îc x©y dùng lªn tõ ®ã. Trong n¨m 1922, Friedmann ®· t×m ra mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Einstein, cho r»ng Vò trô lµ kh«ng tÜnh t¹i mµ hoÆc gi·n në hoÆc co sËp l¹i. N¨m 1929 cã mét kh¸m ph¸ vÜ ®¹i cña Hubble, r»ng nh÷ng tinh v©n ë xa lµ nh÷ng thiªn hµ n»m ngoµi Thiªn hµ cña chóng ta. B»ng viÖc quan s¸t sù dÞch chuyÓn vÒ phÝa ®á cña nh÷ng thiªn hµ nµy, Hubble thÊy r»ng Vò trô kh«ng ë tr¹ng th¸i tÜnh mµ nã ®ang gi·n në, sau ®ã «ng kh¸i qu¸t thµnh ®Þnh luËt mang tªn «ng, ®Þnh luËt Hubble:
v = Hr N¨m 1946, lµm viÖc trªn lý thuyÕt vÒ sù d dËt c¸c yÕu tè nhÑ, Gamov ®Ò xuÊt r»ng Vò trô trong thêi gian ®Çu lµ rÊt nãng vµ ®Ëm ®Æc. TiÕp tôc c«ng viÖc cña Gamov, Alpher vµ Herman ®· viÕt ra mét ch¬ng tr×nh dù ®o¸n r»ng Vò trô bÞ lÊp ®Çy bëi bøc x¹ v« tuyÕn víi quang phæ vËt ®en ë kho¶ng 5K [5].
12
TÊt c¶ nh÷ng ý kiÕn nµy dÉn chóng ta tíi mét bøc tranh: mäi thiªn hµ ®Òu b¾t ®Çu tõ mét ®iÓm cùc nãng vµ ®é ®Ëm ®Æc lµ v« cïng, sau ®ã th× gi·n në, dÇn dÇn h¹ nhiÖt ®é khi gi·n në. Kh¸i niÖm ®ã ®îc gäi lµ "The hot Big Bang" (Vô næ lín nãng). Cã nh÷ng b»ng chøng chøng tá cho m« h×nh "Hot Big Bang", ®ã lµ [6]: +) Sù dÞch chuyÓn ®á cña nh÷ng thiªn hµ xa x«i: lµ chøng cø ®Çu tiªn cña Vò trô ®ang gi·n në. +) Sù tæng hîp h¹t nh©n nguyªn thñy: Nh÷ng dù ®o¸n vÒ sù d dËt nguyªn tè nhÑ tõ sù tæng hîp h¹t nh©n trong Big Bang ®· ®îc ®Ò xuÊt, vµ ®· ®îc chÊp nhËn víi nh÷ng quan s¸t thiªn v¨n häc. +) ViÖc t×m ra bøc x¹ nÒn Vò trô CMB n¨m 1965 bëi Penziad vµ Wilson. Quang phæ cña CMB rÊt gÇn víi lý thuyÕt dù ®o¸n, nã dêng nh rÊt ®¼ng híng trong toµn kh«ng gian víi nhiÖt ®é kho¶ng 2,7K, rÊt gÇn víi tiªn ®o¸n cña Alpher vµ Herman. ViÖc kh¸m ph¸ ra CMB cung cÊp mét b»ng chøng cô thÓ cho lý thuyÕt Big Bang, chèng l¹i lý thuyÕt tr¹ng th¸i tÜnh.
∗ Còng nh m« h×nh de Sitter dùa trªn yÕu tè ®êng d¹ng (1.6) nhng m« h×nh chuÈn cña Vò trô tæng qu¸t h¬n v× nã cã chøa nh÷ng d¹ng n¨ng lîng kh¸c n¨ng lîng ch©n kh«ng nh lµ vËt chÊt vµ bøc x¹. M« h×nh chuÈn cung cÊp nÒn t¶ng cho m« h×nh Big Bang - mét m« h×nh thµnh c«ng trong viÖc gi¶i thÝch nhiÒu ®Æc tÝnh quan träng trong quan s¸t Vò trô. Trong chÊt lu Vò trô, ta ®a ra hÖ ®ång chuyÓn ®éng, n¬i mµ chÊt lu lµ hoµn toµn ®¼ng híng.
2.2
Ph¬ng tr×nh Friedmann Trong m« h×nh Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker ®ång nhÊt
vµ ®¼ng híng (FLRW), cã yÕu tè ®êng trong hÖ to¹ ®é ®ång chuyÓn ®éng
13
(xÐt trong hÖ to¹ ®é cÇu) lµ:
dr2 ds = dt − a (t)( + r2 d2 θ + r2 sin2 θd2 φ). 2 1 − kr 2
2
2
(2.1)
Trong m« h×nh chuÈn ta cã xÐt ®Õn sù cã mÆt cña vËt chÊt, bøc x¹ nghÜa lµ cã sù ®ãng gãp cña tenx¬ n¨ng xung lîng
Tµν
tõ vËt chÊt vµ bøc x¹.
§èi víi h¹t ®øng yªn trong hÖ to¹ ®é ®ång chuyÓn ®éng th× nã tho¶ m·n ph¬ng tr×nh tr¾c ®Þa (ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña h¹t trong kh«ng gian):
ν µ d2 xi i dx dx + Γµν =0 (2.2) ds2 ds ds i (ThËt vËy, v× h¹t ®øng yªn nªn dr = dθ = dφ =0 hay dx = 0 víi i = 0 0 dxi i dx dx 1,2,3 nªn ds = dt vµ = 0. Suy ra (2.2) t¬ng ®¬ng víi Γ00 = 0 ds ds ds i (®iÒu nµy hoµn toµn ®óng v× Γ00 =0) ). §iÒu ®ã chØ ra r»ng mét h¹t cã mét vËn tèc ®Æc biÖt nµo ®ã liªn quan ®Õn hÖ ®ång chuyÓn ®éng sÏ ®øng yªn khi Vò trô gi·n në. Vò trô lµ ®¼ng híng ë mäi ®iÓm trong hÖ ®ång chuyÓn ®éng. Tõ ®ã sÏ dÉn tíi mét ®Æc ®iÓm rÊt thó vÞ cña m« h×nh ®ång nhÊt nh m« h×nh FLRW lµ: mäi quan s¸t viªn ®Òu thÊy mét Vò trô ®¼ng híng tõ bÊt cø n¬i ®©u (do vËy, mçi ngêi ®Òu thÊy m×nh lµ trung t©m cña Vò trô), nÕu nh hä ®øng yªn trong hÖ ®ång chuyÓn ®éng ®Þa ph¬ng (r,
θ, φ kh«ng ®æi).
Nh ta ®· biÕt tenx¬ n¨ng xung lîng:
Tµν = (p + ρ)uµ uν − pgµν . trong ®ã
(2.3)
p lµ ¸p suÊt chÊt lu; ρ lµ mËt ®é n¨ng lîng tæng céng; uµ lµ vect¬
vËn tèc 4 chiÒu. §iÒu kiÖn ®¹o hµm hiÖp biÕn:
T;µµν = 0. víi:
µν µν T;α = T,α + Γµαρ T ρν + Γναρ T ρµ .
14
(2.4)
Nh vËy ph¬ng tr×nh Einstein b©y giê lµ:
1 Rµν − gµν = 8ΠGTµν . 2 Gäi
(2.5)
ρ lµ mËt ®é n¨ng lîng tæng céng cña vËt chÊt, bøc x¹,n¨ng lîng
ch©n kh«ng th×:
ρ = ρm + ρrad + ρvac .
(2.6)
Trong ch¬ng tríc chóng ta chØ xÐt m« h×nh Vò trô kh«ng cã vËt chÊt hay bøc x¹, cßn ë trong ch¬ng nµy chóng ta xÐt m« h×nh FLRW cã sù ®ãng gãp cña vËt chÊt vµ bøc x¹. Ta ®Þnh nghÜa mËt ®é n¨ng lîng ch©n kh«ng lµ:
ρvac =
Λ . 8πG
(2.7)
th× ta cã thÓ viÕt l¹i ph¬ng tr×nh Friedmann lµ:
k 8πG a˙ ρ. ( )2 + 2 = a a 3 a ¨ a˙ k 2 + ( )2 + 2 = −8πGp. a a a
(2.8)
(2.9)
Tõ (2.8) ta cã:
ρ=
3 a˙ k [( )2 + 2 ] 8πG a a
Tõ (2.9) ta cã:
1 a ¨ a˙ k [2 + ( )2 + 2 ] 8πG a a a 2 3 a˙ a 2k a˙ 3 aa¨ ¨a − (a) ˙ ˙ a − a˙ 3 − k a˙ =⇒ ρ˙ = [2 − 3 ]= 8πG a a2 a 4πG a3 1 2¨ a a˙ k 3 a˙ k =⇒ 3a2 a(p ˙ + ρ) + a3 ρ˙ = 3a2 a[− ˙ ( + ( )2 + 2 ) + (( )2 + 2 )] 8πG a a a 8πG a a 3 3 aa¨ ˙ a − (a) ˙ − k a˙ +a3 4πG a3 1 a˙ 2 k 3a2 a˙ 2¨ a 2 3 2 =⇒ 3a a(p ˙ + ρ) + a ρ˙ = 3a a˙ (( ) + 2 ) − 4πG a a 8πG a 3 + (aa¨ ˙ a − a˙ 3 − k a) ˙ 4πG p=−
15
=⇒ 3a2 a(p ˙ + ρ) + a3 ρ˙ = 0 d =⇒ [a3 (ρ + p)] = 3a2 a(ρ ˙ + p) + a3 (p˙ + ρ) ˙ = pa ˙ 3 dt Tõ ®ã ta suy ra:
pa ˙ 3=
d d d d (pa3 ) + (ρa3 ) = p a3 + pa ˙ 3 + (ρa3 ) dt dt dt dt
⇐⇒
d d (ρa3 ) = −p a3 . dt dt
(2.10)
(®©y chÝnh lµ ph¬ng tr×nh liªn tôc cña chÊt khÝ lÝ tëng [7]). Qua ph¬ng tr×nh (2.10) ta thÊy r»ng sù biÕn thiªn mËt ®é n¨ng lîng
da3
tæng céng trong yÕu tè thÓ tÝch dV =
2.3
c©n b»ng víi
−p
d 3 a. dt
MËt ®é n¨ng lîng tæng céng
2.3.1
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i
Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i lµ mèi quan hÖ gi÷a ¸p suÊt lîng tæng céng
p
vµ mËt ®é n¨ng
ρ: p = αρ
(2.11)
α lµ mét h»ng sè. Trong tõng trêng hîp mçi thµnh phÇn ®ãng vai trß chñ ®¹o mèi quan hÖ cña p vµ ρ thÓ hiÖn kh¸c nhau [8]. ρ 1 +) Bøc x¹ chi phèi: α = =⇒ p = . 3 3 +) VËt chÊt phi t¬ng ®èi tÝnh chi phèi: α = 0 =⇒ p = 0 (®iÒu nµy cã trong ®ã
thÓ ®îc gi¶i thÝch nh sau: vËt chÊt phi t¬ng ®èi tÝnh chuyÓn ®éng víi vËn tèc
v << c
cã n¨ng lîng nghØ
mc2 ,
lµ mét gi¸ trÞ rÊt lín khi ®em so s¸nh
víi ¸p suÊt, nªn ta cã thÓ coi mét c¸ch gÇn ®óng lµ vËt chÊt phi t¬ng ®èi tÝnh kh«ng cã ¸p suÊt hay
p = 0).
+) N¨ng lîng ch©n kh«ng chi phèi th×
α = −1 =⇒ p = −ρ
sù l¹m ph¸t, gi¶i thÝch sù gi·n në t¨ng tèc cña Vò trô nguyªn thñy).
16
(g©y ra
2.3.2
XÐt mèi quan hÖ víi hÖ sè gi·n në Vò trô
ρ sÏ thay ®æi nh thÕ nµo khi Vò trô gi·n në, nghÜa lµ ta ®i t×m mèi quan hÖ gi÷a mËt ®é n¨ng lîng tæng céng ρ víi hÖ sè gi·n në a(t) (scale factor). MËt ®é n¨ng lîng
Ta thay ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i vµo ph¬ng tr×nh (2.11) thu ®îc:
d d (ρa3 ) = −αρ a3 dt dt d ρa ˙ 3 = −(1 + α)ρ a3 dt ρ˙ 3a˙ a˙ = −(1 + α) = −3(1 + α) ρ a a
⇐⇒ ⇐⇒
TÝch ph©n hai vÕ ta cã:
lnρ = −3(1 + α)lna + const ⇐⇒
loga ρ = −3(1 + α) + const.
nªn suy ra:
ρ = const · a−3(1+α) . Tõ (2.12) ta thÊy øng víi c¸c gi¸ trÞ cña
(2.12)
α th× ta cã c¸c gi¸ trÞ tØ lÖ kh¸c
ρ víi hÖ sè gi·n në a(t). Cô thÓ lµ: 1 +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi bøc x¹, nghÜa lµ: α = th× ta cã: 3 1 ρ∼ 4 a
nhau cña mËt ®é n¨ng lîng
(2.13)
(viÖc nµy x¶y ra trong vµi tr¨m ngh×n n¨m sau vô næ lín Big Bang). +) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi vËt chÊt, nghÜa lµ
ρ∼
α = 0 th× ta cã:
1 a3
(2.14)
(thùc ra ®iÒu nµy còng kh«ng cã g× khã hiÓu. Khi vËt chÊt æn ®Þnh, kh«ng tù t¨ng lªn hay hñy ®i, th× mËt ®é n¨ng lîng sÏ tØ lÖ nghÞch víi thÓ tÝch, khi hÖ sè gi·n në Vò trô
a(t)
®é n¨ng lîng tØ lÖ víi
t¨ng lªn th× thÓ tÝch sÏ t¨ng lªn b»ng
a3 (t)
,nªn mËt
a−3 (t)).
+) Khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi n¨ng lîng ch©n kh«ng, ta cã
ρ ∼ const 17
α = −1 : (2.15)
2.3.3
Sù gi·n në theo thêi gian
HÖ sè gi·n në Vò trô thÓ hiÖn kh¸c nhau øng víi tõng trêng hîp Vò trô bÞ chi phèi bëi nh÷ng thµnh phÇn kh¸c nhau. Tõ (2.8) vµ (2.9) ta rót ra ®îc:
a ¨ −4πG = (ρ + 3p) a 3
(2.16)
V× a(t) lµ mét hµm phô thuéc vµo thêi gian nªn ®Æt:
a ∼ tβ =⇒ a ¨ ∼ tβ−2 =⇒
a ¨ ∼ t−2 a
MÆt kh¸c, tõ ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i (2.11) suy ra:
(3p + ρ) = (1 + 3α)ρ ∼ a−3(1+α) ∼ t−3β(1+α) . §ång nhÊt 2 vÕ cña (2.16) ta cã:
=⇒ −2 = −3β(1 + α) 2 . =⇒ β = 3(1 + α) Nªn:
(2.17) (2.18)
2 a(t) ∼ t 3(1 + α)
(2.19)
1 α= . 3 √ a(t) ∼ t
+) Khi Vò trô chi phèi bëi bøc x¹:
+) Khi Vò trô chi phèi bëi vËt chÊt:
(2.20)
α=0
a(t) ∼ t2/3 +) Khi Vò trô chi phèi bëi n¨ng lîng ch©n kh«ng:
(2.21)
α = −1
Nh ta ®· biÕt tõ (1.17) th× hÖ sè gi·n në t¨ng theo hµm e mò:
a(t) ∼ eHt
(2.22)
Qua ®ã ta thÊy r»ng Vò trô víi mét tØ lÖ bÊt k× cña vËt chÊt, bøc x¹, n¨ng lîng ch©n kh«ng th× lu«n lu«n gi·n në (lu«n tØ lÖ víi thêi gian) nªn kh«ng bao giê tån t¹i ë mét thÓ ®ãng. (Xem h×nh 1 vµ h×nh 2 (tríc Phô lôc) thÓ hiÖn sù tiÕn triÓn cña hÖ sè gi·n në Vò trô vµo thêi gian) 18
2.4
Quan s¸t sù gi·n në cña Vò trô Nh÷ng quan s¸t cña Hubble vÒ dÞch chuyÓn ®á ®· chØ ra r»ng c¸c thiªn
hµ chuyÓn ®éng ra xa nhau. NÕu gäi
a(t0 ) lµ kho¶ng c¸ch gi÷a thiªn hµ cña
chóng ta (Milky Way) víi mét thiªn hµ kh¸c th× kho¶ng c¸ch nµy ®ang t¨ng lªn, hay
a˙ > 0. Ta m« t¶ Vò trô b»ng mét m« h×nh ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng
nh m« h×nh FLRW:
ds2 = dt2 − a2 (t)(
dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 ) 2 1 − kr
(2.23)
Víi mét m« h×nh ®Çy ®ñ vµ râ rµng th× ta cÇn ph¶i biÕt c¸c th«ng sè nh ®é cong k, mËt ®é n¨ng lîng
ρ(t), hÖ sè gi·n në a(t), nh÷ng ®ãng gãp
cña c¸c thµnh phÇn Vò trô (vËt chÊt thêng, vËt chÊt tèi, bøc x¹, n¨ng lîng ch©n kh«ng...). §©y lµ mét nhiÖm vô quan träng cña m« h×nh Vò trô.
2.4.1
Vò trô gi·n në
Vò trô lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng híng, cã nghÜa lµ mäi ngêi sÏ quan s¸t nh nhau ë cïng mét thêi ®iÓm. §ã lµ, mét ngêi ë thiªn hµ c¸ch chóng ta hµng tØ n¨m ¸nh s¸ng còng quan s¸t thÊy nh÷ng g× mµ Hubble ®· quan s¸t: tÊt c¶ c¸c thiªn hµ kh¸c ®Òu chuyÓn ®éng ra xa thiªn hµ ®ã víi vËn tèc lµ mét hµm tuyÕn tÝnh phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch (nh c«ng thøc Hubble). Ta ®a ra mét hÖ hay ®îc sö dông ®ã lµ hÖ ®ång chuyÓn ®éng, mµ ë t¹i mçi n¬i bøc x¹ nÒn viba lµ ®¼ng híng. Metric (2.23) cã ý nghÜa: víi nh÷ng vïng cã nhiÖt ®é æn ®Þnh
t = t0
trong Vò trô th× Vò trô gièng nh mét trong nh÷ng m« h×nh c¬ b¶n víi k = 1, 2, 3. Trêng hîp ®Æc biÖt ta liªn kÕt tõng thiªn hµ cã täa ®é (ri , θi , ϕi ). ë thêi ®iÓm ban ®Çu c¸c thiªn hµ ®Òu cã cïng täa ®é (ri , θi , ϕi ), cã mét ®iÒu x¶y ra lµ tÊt c¶ c¸c kho¶ng c¸ch cña Vò trô ®Òu bÞ kÐo gi·n bëi hÖ sè tØ lÖ
a(t).
T¹i thêi ®iÓm
t1
ta cã hÖ sè
a(t1 ),
t2 ta cã hÖ sè a(t2 ), a(t1 ) . Ta thÊy r»ng lÖ a(t2 )
t¹i thêi ®iÓm
nghÜa lµ mäi kho¶ng c¸ch ®Òu bÞ gi·n në víi hÖ sè tØ Vò trô gi·n në theo ®óng ®Þnh luËt Hubble:
v = Hd 19
(2.24)
víi th«ng sè Hubble:
H(t) =
a˙ a
(2.25)
(ThËt vËy, ta gäi kho¶ng c¸ch tõ thiªn hµ cña chóng ta tíi mét thiªn hµ nµo ®ã ë thêi ®iÓm t1 lµ
d1 = a(t1 )s, trong ®ã s lµ kho¶ng c¸ch gãc tõ thiªn
hµ cña ta tíi thiªn hµ ®ã, ë thêi ®iÓm
t2
lµ
d2 = a(t2 )s,
v× thÕ vËn tèc lµ:
d2 − d1 a(t2 ) − a(t1 ) = s . Ta ®a vµo giíi h¹n t2 −→ t1 , tõ ®ã ta cã t2 − t1 t2 − t1 a˙ v = (as) = Hd, víi H lµ th«ng sè Hubble. a Ta ®a ra kÝ hiÖu H0 = H(t0 ) t¹i thêi ®iÓm hiÖn t¹i t0 . Ngµy nay th×: v=
H0 = h · 100(kms−1 M pc−1 ) víi
(2.26)
h = 0.65 ± 0.15. Tõ ph¬ng tr×nh (2.16) ta thÊy r»ng nÕu vËt chÊt chi phèi Vò trô th× hÖ
sè gi·n në sÏ bÞ h·m l¹i (v×
p∼0
, vµ
ρ > 0).
Tuy nhiªn nÕu n¨ng lîng
ch©n kh«ng cã vai trß quan träng th× sù gi·n në sÏ ®îc gia tèc. Khai triÓn
a(t) b»ng chuçi Taylor xung quanh thêi ®iÓm t0 : a(t) = eHt = eHt0 eH(t−t0 )
suy ra:
1 d H(t−t0 ) 1 d2 H(t−t0 ) e |t=t0 (t − t0 ) + e |t=t0 (t − t0 )2 + · · ·] 2 1! dt 2! dt 1 ˙ = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) + (H + H 2 )|t=t0 (t − t0 )2 + · · ·] 2 1a ¨ = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) + (t − t0 )2 + · · ·] 2a a˙ ¨ ˙ =a ( V× H = nªn H − H 2) a a 1 a(t) = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] (2.27) 2 a(t) = a(t0 )[1 +
víi th«ng sè h·m
q0 : q0 = − 20
a ¨ aH02
(2.28)
Ta ®Þnh nghÜa mËt ®é tíi h¹n:
HiÖn t¹i th×
ρ0crit
3H 2 ρcrit = (2.29) 8πG = 1, 9 · 10−32 h2 .kg.cm−3 . Do vËy chóng ta cã thÓ viÕt
ph¬ng tr×nh (2.8) díi d¹ng:
k ρ + 1 = =Ω H 2 a2 3H 2 8πG Trong ®ã:
Ω=
(2.30)
ρ
(2.31)
ρcrit
hoÆc:
k =Ω−1 H 2 a2
(2.32)
§iÒu nµy cã nghÜa r»ng toµn bé d¹ng h×nh häc cña Vò trô ®îc x¸c ®Þnh bëi th«ng sè Vò trô +)
Ω.
Ω > 1, k > 0: Vò trô ®ãng;
Ω < 1, k < 0: Vò trô më v« h¹n; +) Ω = 1, k = 0: Vò trô ph¼ng trªn +)
mét quy m« lín (dÜ nhiªn sù tËp trung
vËt chÊt nh nh÷ng thiªn hµ, c¸c sao vÉn g©y ra sù uèn cong tõng vïng). Chó ý r»ng
Ω phô thuéc vµo thêi gian (gi¸ trÞ hiÖn thêi cña Ω lµ Ω0 ). Ta
thÊy r»ng vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh (2.32) tiÕn nhanh tíi 0 khi
t −→ 0.
§iÒu
nµy cã nghÜa lµ hiÖu øng ®êng cong cã thÓ ®îc bá qua trong nhiÒu tÝnh to¸n ë thêi k× ®Çu cña Vò trô. ThÕ (2.8) vµo (2.16) vµ sö dông ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i
p = αρ ta cã:
4πG 4πG a ¨ = − (ρ + 3p) = − ρ(1 + 3α) aH02 3H02 3H02 1 k 1 = (1 + 2 2 )(1 + 3α) = (1 + Ω0 − 1)(1 + 3α) 2 a H0 2
q0 = −
suy ra:
Ω0 (1 + 3α). 2 nÕu α = −1 th× th«ng
q0 = Tõ ®ã ta nhËn thÊy r»ng
(2.33) sè h·m
q0 < 0,
sù gi·n në tiÕp tôc t¨ng lªn nÕu mËt ®é n¨ng lîng bÞ chi phèi bëi 21
tøc lµ
ρΛ .
2.4.2
Sè phËn cña Vò trô
Ta thÊy r»ng nghiÖm ®Çy ®ñ cña ph¬ng tr×nh Friedmann ®èi víi t¹i mäi thêi ®iÓm
t
a(t)
a phô thuéc nh÷ng thµnh phÇn céng ρ. Trong trêng hîp x¸c ®Þnh
cã thÓ rÊt phøc t¹p do
®ãng gãp vµo mËt ®é n¨ng lîng tæng
a(t) khi t −→ ∞ th× ®ã lµ ta ®· ®i xÐt sè phËn cña Vò trô. Ta biÕt ngµy nay bøc x¹ kh«ng cßn ®ãng vai trß quan träng, nªn ta chØ cÇn xÐt ®Õn sù ®ãng gãp vËt chÊt
ρm , vµ n¨ng lîng ch©n kh«ng ρvac .
Chóng ta b¾t ®Çu b»ng viÖc xÐt trêng hîp h»ng sè Vò trô lµ
ρvac = 0) Tõ
ρm = ρ 0
a30 a3 (t)
víi
ρ0
lµ mËt ®é vËt chÊt hiÖn thêi,
a0
Λ = 0 (nghÜa lµ hÖ sè tØ lÖ
(scale factor) ngµy nay. T¹i t = t0 , ph¬ng tr×nh Friedmann trë thµnh:
8πGρ0 a30 a˙ (t) = − k. 3a(t) 2
(2.34)
ρ0 = 0, muèn a(t) cã nghiÖm thùc th× k = −1. Trêng hîp nµy ®îc
+) Víi
gäi lµ m« h×nh Milne. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n lµ:
aM ilne (t) = t
(2.35)
=⇒ Vò trô gi·n në tuyÕn tÝnh. +) víi
ρ0 > 0 vµ t nhá: ta cã a ∼ t2/3 .
t lín h¬n th× nghiÖm phô thuéc vµo k . Víi k = 0 th× ph¬ng tr×nh (2.34) cho nghiÖm: Víi
t a(t) = a0 ( )2/3 t0 lµ nghiÖm øng víi trêng hîp
(2.36)
t lín. M« h×nh Vò trô nµy thêng ®îc gäi lµ
m« h×nh Einstein de Sitter [4]. +) Víi
ρ<0
vµ ®êng cong ©m,
k = −1,
th×
a˙ 2
lu«n d¬ng, cã nghÜa lµ
a(t) t¨ng lªn kh«ng ngõng theo thêi gian. Tøc lµ sè h¹ng vËt chÊt ë vÕ ph¶i cã thÓ bá qua khi so víi ®é uèn cong k . Trong tr¹ng th¸i sau th× Vò trô gi·n në gièng nh m« h×nh Milne: a(t) ∼ t. 22
NÕu
k = 1,
ρ > 0,
®êng cong d¬ng,
ta thÊy
a˙ 2 > 0, a(t) sÏ
t¨ng lªn
®Õn mét gi¸ trÞ tíi h¹n:
8πGρ0 a30 (2.37) 3 Tõ (2.9) ta thÊy a ¨ ≤ 0 víi mäi a, nghÜa lµ Vò trô b¾t ®Çu co l¹i (chu k× acrit =
co "Big Crunch"). Trêng hîp
Λ 6= 0, cÇn gi¶i ph¬ng tr×nh: 8πGρ0 a30 Λa2 (t) a˙ (t) = −k+ 3a(t) 3 2
(2.38)
Ta ®Æt:
ΩM = víi
ρ0
8πGρ0 3H02
(2.39)
lµ mËt ®é vËt chÊt t¹i thêi ®iÓm t0 . Ta cã thÓ viÕt:
ρ0 ρ0crit
ΩM = Trong ®ã
ρ0crit
(2.40)
lµ gi¸ trÞ hiÖn thêi cña mËt ®é vËt chÊt tíi h¹n.
ΩΛ =
Λ 3H02
(2.41)
a(t) nhá (trong giai ®o¹n ®Çu cña Vò trô) th× ta cã thÓ hoµn toµn bá qua Λ, cßn víi a(t) lín th× Λ chi phèi toµn bé Tõ ph¬ng tr×nh (2.38),ta thÊy víi
c¸c d¹ng vËt chÊt vµ ®é uèn cong. +) NÕu
Λ < 0:
(2.38) chØ ra r»ng
a(t)
kh«ng thÓ lín m·i ®îc. Víi gi¸ trÞ
a(t) lµ acrit (khi vÕ ph¶i ph¬ng tr×nh (2.38) b»ng 0), tõ ph¬ng tr×nh (2.9) suy ra a ¨ < 0, ta cã mét Vò trô dao ®éng.
d¬ng lín nhÊt cña
Λ > 0: • NÕu k = 0 hoÆc −1: ta thÊy víi a(t) lín th× Vò trô gi·n në theo hµm
+) NÕu
sè mò, m« h×nh Vò trô gièng nh m« h×nh de Sitter ë môc tríc.
• NÕu k = 1: sù t¸c ®éng qua l¹i gi÷a ba sè h¹ng ë ph¬ng tr×nh (2.38) sÏ liªn quan chÆt chÏ víi nhau h¬n. Ta t×m ®îc VËy ta cã thÓ nãi
Λ ®Ó a˙ vµ a ¨ ®Òu b»ng 0.
Λ chi phèi rÊt lín ®Õn sè phËn cña Vò trô.
23
2.4.3
H¹t ch©n trêi
Khi ¸nh s¸ng di chuyÓn trªn quü ®¹o kiÓu ¸nh s¸ng th×
ds2 = 0 [4]. Ta
r = 0. Tia s¸ng dÞch chuyÓn nhanh vÒ phÝa ta (θ, φ = const). Tia s¸ng ®îc ph¸t ra tõ r = rE t¹i thêi ®iÓm a(t)dr t = tE , ®Õn thêi ®iÓm t0 (v× ds2 = 0 nªn dt = √ ) th×: 1 − kr2 Z t0 Z rE dt dr √ (2.42) = 2 a(t) 1 − kr tE 0
chän hÖ täa ®é sao cho ta ®ang ë n¬i cã
Chän gèc thêi gian
t=0
khi
a=0
(thêi ®iÓm ban ®Çu khi x¶y ra vô
næ Big Bang), ta thÊy r»ng kho¶ng c¸ch vËt lý xa nhÊt
dH
cã thÓ quan s¸t
thÊy ë thêi ®iÓm hiÖn nay (cßn gäi lµ kho¶ng c¸ch ch©n trêi) ®îc cho bëi ph¬ng tr×nh (2.42) bëi hÖ sè tØ lÖ hiÖn thêi lµ
a(t0 ), ta cho giíi h¹n tE −→ 0.
rE
Z t0 dr dt √ dH (t0 ) = a(t0 ) = a(t0 ) (2.43) 2 a(t) 1 − kr 0 0 Trong m« h×nh chuÈn th× a(t) tiÕn ®Õn 0 chËm h¬n t (xem ph¬ng tr×nh (2.19)), dH lµ cã giíi h¹n (dH ∼ t), vµ nãn ¸nh s¸ng bÞ giíi h¹n bëi h¹t ch©n trêi. VÝ dô, nÕu bøc x¹ chi phèi Vò trô th× dH = 2t , nÕu vËt chÊt chi phèi Vò trô th× dH = 3t. Z
Ta ®a ra c«ng thøc dÞch chuyÓn ®á [4]:
λobs a(tobs ) = λemit a(temit ) Th«ng sè dÞch chuyÓn ®á z:
1+z =
λobs λemit
(2.44)
Nh vËy trong m« h×nh FLRW th×:
1+z =
a(tobs ) a(temit )
24
(2.45)
2.4.4
Kho¶ng c¸ch Vò trô
Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ®Ó x¸c ®Þnh nh÷ng gi¸ trÞ hiÖn thêi cña c¸c th«ng sè Vò trô, hÇu hÕt chóng ®Òu phô thuéc vµo nh÷ng quan s¸t kh¸c nhau cña kho¶ng c¸ch ¸nh s¸ng (hoÆc bøc x¹ ®iÖn tõ). §Æc tÝnh cña nh÷ng nguån s¸ng c¸ch xa Tr¸i ®Êt sÏ phô thuéc vµo kiÓu m« h×nh Vò trô. Trong m« h×nh FLRW dÞch chuyÓn ®á xuÊt hiÖn do Vò trô gi·n në. Tuy vËy ®Ó biÕt ®îc nh÷ng th«ng tin trªn nh÷ng th«ng sè Vò trô th× ta cßn ph¶i biÕt thªm nhiÒu ®¹i lîng kh¸c n÷a nh cêng ®é s¸ng cña mét nguån hoÆc ®é m¹nh cña ¸nh s¸ng chuÈn nh mét hµm cña dÞch chuyÓn ®á. Cêng ®é s¸ng tæng céng mµ kÝnh thiªn v¨n trªn Tr¸i ®Êt thu ®îc tõ nguån s¸ng chuÈn cã tæng n¨ng lîng ph¸t ra ®îc tÝnh nh sau: Gi¶ sö ®Çu tiªn cã
Nγ
photon ®îc ph¸t ra ®¼ng híng t¹i thêi ®iÓm
temit tõ nguån cã täa ®é b¸n kÝnh r. Kho¶ng c¸ch t¹i thêi ®iÓm ph¸t x¹ lµ a(tpx )r , kÝnh thiªn v¨n cã tiÕt diÖn A. Do Vò trô gi·n në, t¹i thêi ®iÓm t0 = tqs diÖn tÝch h×nh cÇu chøa c¸c h¹t photon t¨ng lªn 4π(a(tpx )r)2 , v× thÕ tØ lÖ sè photon t×m ®îc Nt so víi sè photon ph¸t ra lµ: Nt A = Nγ 4π(a(tpx )r)2
(2.46)
Tõ ®ã ta tÝnh ®îc tæng n¨ng lîng trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch hay ®é trng biÓu kiÕn (apparent luminosity) lµ:
Lapp =
L L ≡ 4πa2 (t0 )r2 (1 + z)2 4πd2L
víi:
s dL = Khai triÓn
L 4πLapp
(2.47)
(2.48)
a(t) b»ng chuçi Taylor xung quanh thêi ®iÓm hiÖn t¹i t0 :
1 a(t) = a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] 2 a ¨ 1 víi q0 = − · . a H02 MÆt kh¸c theo ph¬ng tr×nh (2.42) th× ta cã vÕ ph¶i b»ng 1 (do ta ®ang 25
xÐt t0 rÊt gÇn víi tE ). Cßn vÕ tr¸i ta sö dông khai triÓn Taylor:
1 1 = a(t) a(t0 )[1 + H0 (t − t0 ) − 21 q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] 1 1 = [1 − H0 (t − t0 ) + q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] a(t0 ) 2 (do
H0 (t − t0 )
rÊt nhá nªn ta cã thÓ bá qua sè h¹ng bËc cao cña nã vµ sö
dông c«ng thøc lµm trßn
(1 + x)n ≈ 1 + nx víi x 1).
Tõ ®ã suy ra :
Z
t0
dt 1 [1 − H0 (t − t0 ) + q0 H02 (t − t0 )2 + · · ·] 2 t1 a(t0 ) 1 1 = [(t0 − t1 ) + H02 (t0 − t1 )2 + · · ·] a(t0 ) 2
r =
Mµ ta ®· cã
1 a(t1 ) = a(t0 )[1 + H0 (t1 − t0 ) − q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 Theo c«ng thøc dÞch chuyÓn ®á:
1+z =
a(t0 ) . a(t1 )
Suy ra:
z =
=
=
= =
a(t0 ) −1 a(t1 ) 1 a(t0 )[−H0 (t1 − t0 ) + q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 1 a(t0 )[1 + H0 (t1 − t0 ) − q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 1 −H0 (t1 − t0 ) + q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · · 2 1 1 + H0 (t1 − t0 ) − q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · ·] 2 1 1 [H0 (t0 − t1 ) + q0 H02 (t0 − t1 )2 + · · ·][1 − H0 (t1 − t0 ) + q0 H02 (t1 − t0 )2 + · · 2 2 1 H0 (t0 − t1 ) + (1 + q0 )H02 (t0 − t1 )2 + · · · 2 26
(ta vÉn sö dông c¸ch lÊy gÇn ®óng nh trªn). VËy lµ ta ®· cã mèi quan hÖ gi÷a ®é dÞch chuyÓn ®á
q0
vµ h»ng sè Hubble
z víi th«ng sè h·m
H0 .
KÕt hîp víi (2.48) ta thu ®îc:
dL =
1 1 (z + (1 − q0 )2 z 2 + · · ·) H0 2
(2.49)
Ta thÊy ph¬ng tr×nh (2.49) cã thÓ ®îc gi¶i thÝch nh mét sù kh¸c biÖt tõ ®Þnh luËt Hubble tuyÕn tÝnh, vµ tõ
q0
phô thuéc vµo m« h×nh Vò trô ®iÒu
nµy ®em l¹i mét híng quan s¸t ®Ó x¸c ®Þnh d¹ng h×nh häc cña Vò trô.
2.5
Tuæi cña Vò trô Mét trong nh÷ng môc ®Ých nghiªn cøu cña c¸c m« h×nh Vò trô ®ã lµ ®i
t×m c©u tr¶ lêi cho c©u hái: "Vò trô cña chóng ta b¾t nguån tõ bao giê? Hay Vò trô nµy ®· ®îc bao nhiªu tuæi?". Muèn lµm ®îc ®iÒu ®ã th× chóng ta ph¶i ®i t×m tuæi cña Vò trô. Qua nghiªn cøu vÒ thµnh phÇn ®ãng gãp cña c¸c chÊt trong mçi m« h×nh, ta ®¸nh gi¸ tuæi cña Vò trô øng víi tõng m« h×nh khi Vò trô bÞ chi phèi bëi vËt chÊt, bøc x¹, hay n¨ng lîng ch©n kh«ng? Cã nhiÒu c¸ch tÝnh tuæi cña Vò trô ®ã lµ th«ng qua c¸c tham sè Vò trô (v× c¸c tham sè Vò trô phÇn lín ®Òu thay ®æi theo thêi gian). Díi ®©y tr×nh bµy hai c¸ch tÝnh tuæi cña Vò trô, mét c¸ch tÝnh qua hÖ sè gi·n në c¸ch tÝnh qua ®é dÞch chuyÓn ®á
2.5.1
z.
TÝnh tuæi Vò trô qua scale factor
a(t)
Theo c«ng thøc (2.38):
Λa2 (t) 8πGρ0 a30 a˙ (t) = −k+ 3a(t) 3 2
cïng víi c¸c h»ng sè Vò trô (2.39) vµ (2.41), ta cã:
2
a˙ =
Λ 2 a2 − k + a0 2 a 3 a0
a0 ΩM H02 a20 27
a(t), mét
§Æt
a = x th× ta cã thÓ viÕt l¹i nh sau: a0 1 a˙ 2 = ΩM H02 a20 − k + ΩΛ H02 a20 x2 . x
Suy ra:
da a˙ = = dt
r
1 ΩM H02 a20 − k + ΩΛ H02 a20 x2 . x
Tïy thuéc vµo tõng kiÓu m« h×nh mµ ta cã c¸c bé th«ng sè kh¸c nhau, thay vµo ph¬ng tr×nh nµy ta cã thÓ ®¸nh gi¸ ®îc tuæi cña Vò trô ë mçi m« h×nh t¬ng øng. VÝ dô:
Trêng hîp vËt chÊt thèng trÞ Vò trô ph¼ng Khi ®ã ta chØ cßn:
da = a˙ = dt
r ΩM H02 a20
1 x
da
⇐⇒ dt = r
ΩM H02 a20
1 x
TÝch ph©n hai vÕ:
t0
Z
Z dt =
0
0
Z
1
a0 dx r ΩM H02 a20
1
t0 = 0
= p
1 x
dx r
1 ΩM H02 x Z 1 √ 1
ΩM H02 0 2 1 = p 3 ΩM H02 2 1 √ = 3H0 ΩM 28
x
Thay gi¸ trÞ hiÖn thêi cña
H0 = 70kms−1 M pc−1 , vµ gi¸ trÞ cña ΩM = 1
(v× ®ang xÐt trêng hîp bøc x¹ thèng trÞ) vµo ta sÏ t×m ®îc tuæi cña Vò trô trong m« h×nh nµy lµ kho¶ng 9,3 tØ n¨m.
Trêng hîp n¨ng lîng ch©n kh«ng thèng trÞ Vò trô ph¼ng Khi ®ã ta chØ cßn:
da a˙ = = dt
q
ΩΛ H02 a20 x2 da
⇐⇒ dt = p
ΩM H02 a20 x2
Lµm t¬ng tù, tÝch ph©n hai vÕ:
t0
Z
Z
1
dt = 0
0
Z t0 =
a0 dx p
1
ΩΛ H02 a20 x2 dx
p
ΩΛ H02 x2 Z 1 1 1 = p ΩΛ H02 0 x = ∞ 0
Nh vËy trong trêng hîp nµy tuæi cña Vò trô lµ v« cïng. Mét lÇn n÷a chøng tá m« h×nh de Sitter lµ hoµn toµn kh«ng phï hîp.
2.5.2
TÝnh tuæi Vò trô qua ®é dÞch chuyÓn ®á
z
Ta cã thÓ tÝnh ®îc kho¶ng thêi gian tõ thêi ®iÓm hiÖn t¹i
dÕn mét
z.
Tõ ®Þnh nghÜa
d a(t) d 1 −1 dz ln( ) = ln( )= dt a0 dt 1+z 1 + z dt
(2.50)
thêi ®iÓm trong qu¸ khø
t
t0
th«ng qua ®é dÞch chuyÓn ®á
th«ng sè Hublle ta cã:
H=
29
Ta ®a ra c¸c kÝ hiÖu vÒ c¸c th«ng sè Vò trô sau:
8πG )ρ0 3H02 Λ = 3H02 −k = 2 2 a0 H 0
ΩM = ( ΩΛ ΩK Ta cã
ΩM + ΩΛ + ΩK = 1 vµ ta cã thÓ biÓu diÔn h»ng sè Hubble qua
H0
vµ ®é dÞch chuyÓn ®á
z
nh
sau:
H 2 = H02 [ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ ] Thay
H
vµo ph¬ng tr×nh (2.50) ta t×m ®îc:
−(1 + z)−1 dt = dz H0 [ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ ]1/2 Thay
(2.51)
ΩK = 1 − ΩM − ΩΛ .
Suy ra:
dt = −H0−1 (1 + z)−1 [ΩM (1 + z)3 + (1 − ΩM − ΩΛ )(1 + z)2 + ΩΛ ]−1/2 dz = −H0−1 (1 + z)−1 [ΩM (1 + z)2 (1 + z − 1) + ΩΛ (1 − (1 + z)2 ) + (1 + z)2 ]−1/2 = −H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 Tõ ®ã ta cã:
dt = −H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 dz TÝch ph©n hai vÕ:
Z
t0
0
Z
[−H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 ]dz
dt = t1
z1
ta t×m ®îc:
Z t0 − t1 =
z1
[H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]−1/2 ]dz
0 30
NÕu chän
t1 = 0
(tøc lµ t¹i thêi ®iÓm x¶y ra vô næ Big Bang) th×
z = ∞, thay vµo tÝch ph©n trªn ta tÝnh ®îc tuæi cña Vò trô, ®ã lµ hµm cña H0 , ΩM , ΩΛ (ta bá qua thêi k× ®Çu vµi tr¨m ngh×n n¨m khi Vò trô bÞ thèng trÞ bëi bøc x¹). Khi ®ã:
Z t0 =
∞
1
[H0−1 (1 + z)−1 [(ΩM z + 1)(1 + z)2 − ΩΛ z(2 + z)]− 2 ]dz
0 T¬ng øng víi mçi m« h×nh Vò trô (nghÜa lµ øng víi mçi bé gi¸ trÞ cña c¸c th«ng sè Vò trô) th× ta cã thÓ tÝnh ®îc tuæi cña Vò trô cña m« h×nh Êy. VÝ dô: TÝnh tuæi cña Vò trô øng víi m« h×nh Einstein de Sitter (ΩM
=
1, ΩΛ = 0). Ta sÏ tÝnh tÝch ph©n trªn:
Z t0 =
∞
1
[H0−1 (1 + z)−1 [(1 + z)(1 + z)2 ]− 2 ]dz
0 hay
Z
∞
H0 t0 =
1 5
(1 + z) 2
0
dz
2 = − (1 + z)−3/2 |∞ 0 3 2 = 3 Ta suy ra :
t0 = víi
H0 = 70kms−1 M pc−1
2 3H0
th× ta ®îc tuæi cña Vò trô t0 kho¶ng 9,3 tØ n¨m .
Trong nh÷ng trêng hîp coi tuæi cña Vò trô nh mét hµm cña víi
z Ω M , ΩΛ ,
sè h¹ng bËc 3 cña
z
lîng tuæi Vò trô t¹i tõng thêi ®iÓm qua
tU (z) ∼
3H0
2 √
vµ
trë nªn quan träng. Khi ®ã ta íc
z:
1 ΩM (1 + z)3/2
31
ΩM ,
(2.52)
M« h×nh Vò trô chuÈn tæng qu¸t h¬n m« h×nh de Sitter v× nã ®· xÐt ®Õn sù cã mÆt cña c¶ vËt chÊt, bøc x¹, n¨ng lîng ch©n kh«ng. M« h×nh nµy ®· chØ ra sù ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn vµo qu¸ tr×nh Vò trô gi·n në, vµ qua ®ã cã thÓ íc lîng ®îc tuæi cña Vò trô. Song m« h×nh Vò trô chuÈn vÉn cßn thiÕu sãt ®ã lµ: Vò trô cña chóng ta kh«ng chØ bao gåm c¸c nguån vËt chÊt th«ng thêng, mäi hiÖn tîng k× bÝ nhÊt trong Vò trô häc l¹i liªn quan ®Õn vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi. Khoa häc ngµy nay chØ ra r»ng trong Vò trô nh÷ng g× mµ chóng ta nh×n thÊy chØ chiÕm kho¶ng 4%, cßn l¹i lµ n¨ng lîng tèi (73%) vµ vËt chÊt tèi (23%) [2].
32
Ch¬ng 3 M« h×nh n¨ng lîng tèi 3.1
B»ng chøng vÒ sù gia tèc cña Vò trô B»ng chøng vÒ sù gia tèc lµ viÖc x¸c ®Þnh thêi gian gi·n në Vò trô. Hai
ph¬ng ph¸p nghiªn cøu hiÖn nay lµ: thø nhÊt, ngêi quan s¸t cã thÓ ®o ®îc kho¶ng c¸ch tíi vËt thÓ qua viÖc th¨m dß gi·n në t¹i nh÷ng thêi ®iÓm kh¸c nhau, hai lµ x¸c ®Þnh mËt ®é c¸c thµnh phÇn Vò trô, t¹o ra nh÷ng nguån n¨ng lîng trong Vò trô. KÕt hîp nh÷ng m¶ng th«ng tin ta thÊy ®ã chÝnh lµ b»ng chøng m¹nh mÏ cho n¨ng lîng tèi.
3.1.1
§o kho¶ng c¸ch
Ta thiÕt lËp ®îc c«ng thøc thÓ hiÖn mèi quan hÖ gi÷a h»ng sè Hubble víi c¸c tham sè mËt ®é thµnh phÇn
Ωi , víi dÞch chuyÓn ®á z :
H 2 = H02 [ΩM (1 + z)3 + ΩK (1 + z)2 + ΩΛ ]
(3.1)
Nh÷ng tÝnh to¸n hiÖn nay cho phÐp ta x¸c ®Þnh ®îc kho¶ng c¸ch ®Õn vËt thÓ, ®ã lµ:
Z x(z) = H0 0
zqs
dz H(z)
NÕu biÕt tæng n¨ng lîng Vò trô, ®o ®îc ®é dÞch chuyÓn ®á
(3.2)
z
b»ng
m¸y ®o quang phæ th× kho¶ng c¸ch nµy cã thÓ tÝnh ®îc. Tõ ®ã sÏ nghiªn cøu ®îc sù gia tèc cña Vò trô.
33
3.1.2
Th¨m dß sù gi·n në cña Vò trô
CÊp sao lµ ®¹i lîng nãi vÒ ®é s¸ng cña mét vËt thÓ n»m trong kh«ng gian. CÊp sao nh×n thÊy:
m = −2, 5lg víi
S0 , Sqs
Sqs S0
lµ th«ng lîng bøc x¹ do vËt thÓ ph¸t ra vµ do m¸y nhËn ®îc.
CÊp sao tuyÖt ®èi lµ cÊp sao nh×n thÊy khi vËt thÓ ë c¸ch ta 10 parsec. Kho¶ng c¸ch ®é trng ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc sau:
dl = 10(m−M −25)/5 Ch¬ng tr×nh x¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch ®é trng lµ mét trong nh÷ng c¸ch x¸c ®Þnh cÊp sao tuyÖt ®èi. Hubble sö dông c¸c sao biÕn quang nh nh÷ng nguån s¸ng chuÈn. C¸c sao biÕn quang thay ®æi ®é s¸ng theo chu k× 1-100 ngµy, chu k× nµy liªn quan ®Õn cÊp sao tuyÖt ®èi. Nh÷ng nguån s¸ng chuÈn míi lµ c¸c sao siªu míi. Cã hai lo¹i sao siªu míi lµ lo¹i I vµ lo¹i II. Lo¹i II cã ®êng phæ Hidro, sinh ra do nhòng sao nÆng chÕt ®i. Lo¹i I kh«ng cã ®êng phæ Hidro, chóng l¹i ®îc chia ra lµm ba lo¹i Ia, Ib, Ic. Lo¹i Ia ®îc quan t©m nhiÒu nhÊt, chóng sinh ra bëi sù lín dÇn lªn cña vËt chÊt tõ sao ®«i trªn bÒ mÆt cña sao lïn tr¾ng. X¸c ®Þnh cÊp sao tuyÖt ®èi cña c¸c sao siªu míi lo¹i Ia cho phÐp ngêi quan s¸t th¨m dß mèi quan hÖ gi÷a kho¶ng c¸ch vµ ®é dÞch chuyÓn ®á, tõ ®ã thÊy sù gia tèc cña Vò trô.
3.2
Giíi thiÖu n¨ng lîng tèi Tõ viÖc ph©n tÝch c¸c sè liÖu quan s¸t Vò trô cña vÖ tinh ®¼ng híng
®o bøc x¹ nÒn Vò trô (CMB) [9], sao siªu míi lo¹i Ia vµ sè lîng rÊt Ýt c¸c tinh v©n baryon trong Vò trô ®· ñng hé mét m« h×nh mang tªn "Sù phï hîp Vò trô". M« h×nh nµy lµ Vò trô Euclidean ph¼ng víi mét phÇn ba lµ vËt chÊt tèi phi t¬ng ®èi tÝnh vµ hai phÇn ba lµ n¨ng lîng tèi - mét thµnh phÇn mÞn. Gi¶ sö r»ng vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi lµ kh«ng t¬ng t¸c. TØ lÖ gi÷a mËt ®é n¨ng lîng cña chóng t¨ng theo thêi gian
ρDM /ρDE ∼ a3α
[9]. Do vËy,
h»ng sè Vò trô hoÆc trêng c©n b»ng cña thÕ hiÖu dông ph¶i ®îc xem xÐt 34
cÈn thËn ®Ó ®¹t ®îc sù c©n ®èi cña vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi nh ngµy nay. Mét sè m« h×nh n¨ng lîng tèi ®îc ®a ra thÓ hiÖn mèi quan hÖ cña h»ng sè Hubble víi c¸c tham sè Vò trô nh»m gi¶i thÝch sù gi·n në cña Vò trô øng víi sè h¹ng n¨ng lîng tèi. Ngµy nay vÉn cßn nhiÒu vÊn ®Ò liªn quan ®Õn n¨ng lîng tèi mµ con ngêi cha gi¶i thÝch ®îc. Ph¬ng tr×nh Einstein ®Çy ®ñ nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt sè h¹ng h»ng sè Vò trô
Λ. Vµ gÇn ®©y Λ ®îc dïng ®Ó minh chøng cho n¨ng lîng tèi. N¨ng
lîng tèi dïng ®Ó gi¶i thÝch cho sù gi·n në cña Vò trô, bÞ ph¸t hiÖn bëi mét vµi thµnh phÇn l¹ ¸p suÊt ©m, nh h»ng sè Vò trô hoÆc trêng v« híng víi thÕ thÝch hîp. H»ng sè Vò trô lµ mét sè kh«ng ®æi bÊt k×, kh«ng cã g× quy ®Þnh gi¸ trÞ cho nã c¶. Cã thÓ ®¸nh gi¸ gi¸ trÞ cña nã tõ thuyÕt trêng lîng tö, b»ng viÖc kh¶o s¸t sù ®ãng gãp tõ nh÷ng dao ®éng kh«ng ®iÓm, n¨ng lîng cña nh÷ng trêng lîng tö trong tr¹ng th¸i ch©n kh«ng cña chóng. Tr¹ng th¸i n¨ng lîng cña trêng lîng tö coi nh lµ mét sè v« h¹n c¸c dao ®éng ®iÒu hßa. N¨ng lîng mét dao ®éng lµ
ω=
√
~ω ,
trong ®ã tÇn sè
m2 + k 2 [10] (m lµ khèi lîng, k lµ sè sãng). N¨ng lîng ch©n kh«ng
lµ tæng tÊt c¶ c¸c dao ®éng:
Z ρvac ∼
∞p
k 2 + m2 k 2 dk
0 Ch¾c ch¾n r»ng ë ®©y ph¶i cã sù ®ãng gãp ®¸ng kÓ cña tÇn sè cao. Do
4 ρvac ∼ kmax . Gi¸ trÞ giíi h¹n kmax nµy cã thÓ cao nh gi¸ trÞ Planck √ 19 (mP l ≈ 10 GeV ) hoÆc thÊp nh gi¸ trÞ ®iÖn yÕu (1/ GF = 300GeV ) Gi¸ 76 4 trÞ mËt ®é n¨ng lîng cã thÓ lµ 10 GeV , trong khi qua quan s¸t gi¸ trÞ íc −46 lîng chØ cã 10 GeV 4 . Kh«ng cã c¸ch nµo gi¶i thÝch t¹i sao n¨ng lîng ®ã,
ch©n kh«ng l¹i cã gi¸ trÞ thÊp nh vËy b»ng lý thuyÕt lîng tö [10]. Cïng víi vÊn ®Ò vÒ h»ng sè Vò trô, "vÊn ®Ò trïng hîp" ®îc nh¾c ®Õn. MËt ®é n¨ng lîng vËt chÊt tèi vµ n¨ng lîng tèi gÇn nh lµ cã thÓ so s¸nh ®îc. Coi r»ng hai thµnh phÇn ®ã tiÕn triÓn ®éc lËp, sau ®ã mËt ®é cña chóng
35
gi¶m xuèng theo nh÷ng tØ lÖ kh¸c nhau. H»ng sè mËt ®é Vò trô kh«ng ®æi, trong khi Vò trô b¾t ®Çu gia tèc mËt ®é vËt chÊt gi¶m xuèng theo hµm sè mò. Lóc ®ã, ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña Vò trô ph¶i ®Æt sao cho mËt ®é cña c¸c thµnh phÇn cã thÓ so s¸nh ®îc víi nhau. Sau l¹m ph¸t, tØ lÖ n¨ng lîng tèi so víi mËt ®é vËt chÊt, bøc x¹ lµ kho¶ng
10−100 , ngµy nay tØ lÖ nµy gÇn nh
cã thÓ so s¸nh ®îc víi nhau. Tíi giê vÉn cha cã mét sù gi¶i thÝch tháa ®¸ng nµo vÒ vÊn ®Ò nµy.
3.3
M« h×nh vò trô víi qu¸ tr×nh r· vËt chÊt tèi Cã rÊt nhiÒu m« h×nh lÝ thuyÕt ®îc ®a ra nh»m gi¶i thÝch sù gia tèc
cña Vò trô còng nh sù xuÊt hiÖn thµnh phÇn n¨ng lîng tèi trong biÓu thøc mËt ®é n¨ng lîng toµn phÇn. Trong phÇn nµy t«i xÐt m« h×nh Vò trô ph¼ng víi
k = 0, Λ = 0
trong hÖ täa ®é ®ång chuyÓn ®éng vµ tæng mËt ®é n¨ng
lîng Vò trô bao gåm c¶ c¸c h¹t vËt chÊt tèi bÒn, c¸c h¹t t¬ng ®èi tÝnh, c¸c h¹t baryon.
ρ = ρDM + ρb + ργ + ρl , trong ®ã
ργ + ρl
ρb
lµ mËt ®é baryon,
ρDM
(3.3)
lµ mËt ®é cña c¸c h¹t vËt chÊt tèi bÒn vµ
lµ mËt ®é cña c¸c h¹t t¬ng ®èi tÝnh . Khi ®ã ta cã ¸p suÊt cña Vò
trô lµ:
1 p = [ργ + ρνl ] . 3
(3.4)
Tenx¬ n¨ng xung lîng ®îc biÓu diÔn díi d¹ng sau:
T00 = ρ
(3.5)
T0i = 0 a˙ Tij = p − 3ζ gij . a
(3.6) (3.7)
Nh×n vµo tenx¬ n¨ng xung lîng ta thÊy xuÊt hiÖn thªm mét thµnh phÇn cho ®ãng gãp nh lµ ¸p suÊt ©m. Tõ ph¬ng tr×nh Friedmann cho trêng hîp víi thµnh phÇn
µν = 00, ta thÊy r»ng nã kh«ng phô thuéc vµo ¸p suÊt. Ta cã
36
ph¬ng tr×nh cho h»ng sè Vò trô Hublle nh sau:
a˙ 2 8 H = 2 = πGρ , a 3 2
ë ®©y
ρ
(3.8)
chÝnh lµ tæng mËt ®é n¨ng lîng cña vËt chÊt vµ c¸c h¹t t¬ng ®èi
tÝnh. Do sù ®ãng gãp vµo mËt ®é cña c¸c h¹t baryon lµ rÊt bÐ nªn ta cã thÓ bá qua sè h¹ng chøa thµnh phÇn mËt ®é cña c¸c h¹t baryon. Vµ lóc nµy chØ cßn l¹i:
ρ = ρDM + ργ + ρl
(3.9)
Gi¶i ph¬ng tr×nh b¶o toµn cho mËt ®é n¨ng lîng cña vËt chÊt vµ bøc x¹ ta cã:
1 ρm0 e−t/τ . 3 a Z 1 ρh0 t −t0 /τ 0 0 e a(t )dt + ρBV , ρl = 4 ρl0 + a τ 0 xuÊt hiÖn thªm thµnh ρBV t¬ng øng cho mËt ργ =
vµ:
ë ®©y ta thÊy
(3.10)
(3.11) ®é cña c¸c h¹t
®îc sinh ra tõ c¸c h¹t vËt chÊt tèi ë mét kho¶ng thêi gian nµo ®ã trong qu¸ tr×nh h×nh thµnh cña Vò trô.
Z
t
2 a˙ ζ(t ) a(t0 )4 dt0 . a 0
ρBV = 9 0
(3.12)
Nh vËy tæng mËt ®é cho ph¬ng tr×nh Friedmann bao gåm c¸c h¹t vËt chÊt tèi nÆng vµ c¸c h¹t vËt chÊt tèi nhÑ, ngoµi ra cßn xuÊt hiÖn thªm thµnh phÇn mËt ®é n¨ng lîng kh¸c mµ ta gäi lµ chÊt nhÇy cña Vò trô. Thµnh phÇn nµy cho ®ãng gãp vµo sù gia tèc cña Vò trô. §é s¸ng biÓu kiÕn cña sao siªu míi lo¹i Ia chuÈn trong Vò trô ph¼ng
Λ = 0
cho ta biÕt ®îc kho¶ng c¸ch ®é
trng theo c«ng thøc sau:
DL
c(1 + z) = H0
Z 0
z
dz 0 , [Ωm (z 0 ) + (Ωr (z 0 ) + Ωλ (z 0 )]1/2 (3.13)
Ωi
lµ mËt ®é tíi h¹n t¹i tõng thêi ®iÓm kh¸c nhau. VÝ dô nh ®èi víi c¸c h¹t
vËt chÊt tèi l¹nh:
Ωm (z) = (8πGρm0 /3H02 )e−λt (1 + z)3 37
(3.14)
Cßn ®èi víi c¸c h¹t chuyÓn ®éng víi vËn tèc t¬ng ®èi ta cã:
Ωr = (8πGρr0 /3H02 )(1 + z)4 .
(3.15)
ë ®©y ta thÊy xuÊt hiÖn thµnh phÇn liªn quan ®Õn sù gia tèc cña Vò trô lµ:
Ωλ ≡
(8πGρm0 /3H02 )(1
4
Z
+ z) λρm0 0
t
dt0 . eλt0 (1 + z 0 )
(3.16)
Thµnh phÇn nµy kh«ng ph¶i lµ vËt chÊt tèi vµ bøc x¹. M« h×nh chóng ta xÐt trong trêng hîp nµy ®îc gi¶ thiÕt lµ ban ®Çu chØ chøa c¸c h¹t vËt chÊt tèi l¹nh. Tõ sù tÝnh to¸n sè b»ng ch¬ng tr×nh Fotran chóng t«i thÊy r»ng theo thêi gian ®Õn thêi ®iÓm kho¶ng lín h¬n 10 tØ n¨m th× c¸c h¹t vËt chÊt tèi l¹nh kh«ng cßn bÒn n÷a vµ r· ra thµnh c¸c h¹t chuyÓn ®éng víi vËn tèc rÊt lín cì vËn tèc ¸nh s¸ng. Thµnh phÇn nµy chÝnh lµ nguyªn nh©n lµm cho Vò trô gia tèc.
38
KÕt luËn VËt lý thiªn v¨n hiÖn ®¹i lµ mét ngµnh khoa häc ®ang ®îc rÊt nhiÒu ngêi quan t©m, thu hót ®îc sù chó ý cña nhiÒu nhµ khoa häc, song ë ViÖt Nam ®©y lµ mét ngµnh cha ph¸t triÓn nhiÒu. §Ò tµi "C¸c m« h×nh Vò trô" ®· thu ®îc mét sè kÕt qu¶ chÝnh nh sau:
•
Giíi thiÖu mét sè m« h×nh Vò trô, ®iÓm xuÊt ph¸t lý thuyÕt cña c¸c
m« h×nh ®ã, t×m hiÓu c¸c thµnh phÇn Vò trô trong tõng m« h×nh.
•
T×m hiÓu trong qu¸ tr×nh Vò trô gi·n në c¸c th«ng sè Vò trô, hÖ sè
gi·n në, mËt ®é n¨ng lîng Vò trô... thay ®æi nh thÕ nµo.
•
LËp biÓu thøc ®¸nh gi¸ tuæi cña Vò trô øng víi tõng m« h×nh. Bíc
®Çu nghiªn cøu vÒ n¨ng lîng tèi. Bíc ®Çu t×m hiÓu c¸c ch¬ng tr×nh tÝnh to¸n sè ®Ó tÝnh ®îc mèi liªn hÖ mËt ®é n¨ng lîng cña Vò trô víi tuæi cña Vò trô nh»m ®a ra mét m« h×nh lý thuyÕt phï hîp víi c¸c kÕt qña thùc nghiÖm. Híng nghiªn cøu tiÕp theo cña ®Ò tµi lµ t×m hiÓu sù ¶nh hëng cña n¨ng lîng tèi vµ bøc x¹ nÒn Vò trô trong c¸c m« h×nh Vò trô.
39
Tµi liÖu tham kh¶o [1] Ph¹m ViÕt Trinh, NguyÔn §×nh No·n, Gi¸o tr×nh thiªn v¨n. NXBGD, 1999. [2] Khoa VËt Lý, §H Khon Kaen, Th¸i Lan, The Early Universe. 2004. [3] Burin Gumjudpai,
Introduction to Cosmology, Naresuan University,
2004. [4] Lars Bergstrom, Ariel Goobar (§¹i häc Stockholm, Thôy §iÓn), Cosmology and particle astrophysics. Praxis Publishing, 1999. [5] Elsevier, Review of particle physics, 2004. [6] G. Dvali, A. Perez-Lorenzana, G. Senjanovic, G. Thompson, F. Vissani, 2002 astroparticle physics and cosmology, 05-07/2002. [7] Ph¹m Phóc TuyÒn, Vò trô häc- M«n khoa häc tèi hËu nµy cã hay kh«ng cã håi kÕt, VËt Lý Ngµy Nay, 1+2/2006 [8] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, Wiley, 2003. [9] D. Comelli, M.Pietroni, A.Riotto,
Dark energy and dark matter,
Physics Letters B 571 (2003) 115-120, 2003. [10] David Pakinson, Bµi gi¶ng: Dark Energy, §H Khon Kaen, Th¸i Lan, 10/2004.
40
Related Documents
Cac Mo Hinh Vu Tru
November 2019 10
Vu Tru Hoc
May 2020 1
Chuong 2 - Cac Mo Hinh Kddt
May 2020 16
Cac Dich Vu Mobile
October 2019 20
Mo Hinh Is_lm
June 2020 18