C68386e9-2ae6-4adb-bfa6-967a6f7d25de.pdf

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Servicios a la Facultad de Ingeniería Instituto de Matemáticas 4 Parcial de Geometría Vectorial Agosto 21 de 2014

Profesor: Juan Carlos Arango Parra Nombre:

Grupo: Documento:

Nota: El examen consta de 5 numerales para ser resueltos en un tiempo máximo de 2 horas. Los procedimientos empleados para llegar a cada respuesta deben ser justificados y quedar registrados en el examen. 1. (20 %) Dadas las afirmaciones siguientes, indique si son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta para las afirmaciones falsas mediante un contraejemplo. n − n − →o → → − →o → → a) (V) Si − a , b es un conjunto L.I. entonces − a , b ,− a × b es un conjunto L.I.

− → → Solución: El enunciado es verdadero por definición, ya que si − a y b son no paralelos − → − → (L.I.) entonces el vector o a × b es ortogonal a los dos vectores al tiempo y por ello el n − → → − → → conjunto − a , b ,− a × b es L.I. por la ortogonalidad.

− → → → b) (F) La proyección de b sobre − a es ortogonal al vector − a.

− → − Solución: Es falsa esta proposición ya que vector proyección proy→ a b es un vector que → tienen la misma dirección (paralelo) al vector − a y por ello no pueden ser ortogonales. − → → − − → → → → c) (F) Si − a · b =− a ·→ c . entonces − a es paralelo a b − − c. − → → − → Solución: Por las propiedades entre vectores, se escribe − a · b −− a ·→ c = 0, yaque el − → → − → producto escalar es distributivo respecto de la diferencia entonces a · b − − c = 0; −  → − − → → como el producto escalar es cero si los vectores son ortogonales entonces a ⊥ b − c por ello es falso el enunciado. d ) (F) El producto escalar es asociativo. − → → Solución: Este enunciado es falso ya que el producto − a · b es un número y no un vector,   − → → → es por ello si se hace − a · b ·− c se está haciendo el producto escalar entre un número y un vector, lo cual no está definido, por ello no es posible que se presente la propiedad asociativa. 2. (20 %) Los puntos A(3, 2, −2), B(11, 2, −2), C(8, 6, −2) y D(5, 6, −2) determinan un trapecio, halle el área de esta figura geométrica.

Página 2/4

Solución Parcial 4

Solución: Lo primero es determinar cual de los lados son paralelos, para ello se hallan los −→ −−→ vectores AB y CD, veamos −→ −−→ −→ AB = OB − OA = (11, 2, −2) − (3, 2, −2) = (8, 0, 0) −−→ −−→ −→ CD = OD − OC = (5, 6, −2) − (8, 6, −2) = (−3, 0, 0) −→ −−→ −→ En esta situación se tiene que −3AB = 8CD; como un vector es múltiplo, los vectores AB y −−→ CD son paralelos y por ende determinan un trapecio. A

B

D

C

Para encontrar el área de este trapecio se descompone en dos triángulo a través de una de las diagonales, se elige el punto D como fijo, por ello se tienen las siguiente expresión

1

−−→ −−→ 1 −−→ −−→ Atrapecio = DA × DB + DB × DC 2 2 −−→ −−→ −−→ Es necesario hallar los vectores DA y DB debido a que el vector DC es el opuesto del vector −−→ CD que ya se halló. −−→ −→ −−→ DA = OA − OD = (3, 2, −2) − (5, 6, −2) = (−2, −4, 0) −−→ −−→ −−→ DB = OB − OD = (11, 2, −2) − (5, 6, −2) = (6, −4, 0) De acuerdo a la definición de i −−→ −−→ DA × DB = −2 6

producto vectorial como pseudo-determinante i j k j k − − → − − → −4 0 = 32k y DB × DC = 4 −4 0 3 0 0 −4 0

se sigue que = 12k

Donde la magnitud de estos productos es 32 y 12 respectivamente, es por ello que el área del trapecio limitado por los puntos A, B, C y D es ATrapecio = 12 32 + 12 12 = 16 + 6 = 22 unidades cuadradas.

Página 3/4

Solución Parcial 4

3. (20 %) Calcule la distancia entre el punto P (−2, 3, 1) y el plano con ecuación cartesiana −3x + y − z = 2. → Solución: El vector normal al plano π con ecuación cartesiana −3x + y − z = 2 es − n = (−3, 1, −1). Un punto sobre este plano se halla dando valores a dos variables y encontrando el valor de la tercera, por ejemplo, si x = 1, y = 1 entonces z = −4; el punto A en el plano tiene −→ coordenadas A(1, 1, −4). Con dicho punto se halla el vector AP donde −→ −→ −→ AP = OP − OA = (−2, 3, 1) − (1, 1, −4) = (−3, 2, 5) . La distancia del punto P al plano está dada por

→ !

−

− → − → AP · n



− → − n D(P, π) = proy→ AP =

. n → →

− n ·− n

−→ → Se halla ahora esta proyección, los productos internos están dados por AP · − n = 9+2−5 = 6 − → − → y n · n = 9 + 1 + 1 = 11, por tanto



 

6−

6

18 6 6 →



D(P, π) = n = (−3, 1, −1) = − , , − 11 11 11 11 11 r r 324 36 36 396 = + + = ≈ 1,8 . 121 121 121 121

4. (20 %) −−→  Desde un vértice P de un cubo de −4→cm  de longitud, se trazan una diagonal del cubo P B y la diagonal de una de las caras P A . Calcule el ángulo entre las dos diagonales. P

k O

j

i

A B −→ −−→ Solución: Lo primero que se hará es expresar los vectores P A y P B en términos de la base ortonormal {i, j, k}, se asumirá que cada una de las aristas del cubo mide m unidades. Por −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ suma de vectores, P A = P O + OA = −mk + mi = mi − mk; también P B = P O + OC + CB = −mk + mj + mi = mi+ mj −mk. Con base en estas expresiones en términos de la base {i, j, k}, la magnitud de dichos vectores es

Página 4/4

Solución Parcial 4

−→ √ √ √

P A = m2 + m2 = 2m2 = m 2 y

−−→ √ √ √

P B = m2 + m2 + m2 = 3m2 = m 3 .

−

− →

→ − → − → Para determinar el ángulo se puede emplear la expresión a · b = k a k b cos θ (1), donde el producto escalar en este caso es −→ −− → P A · P B = (m)(m) + (0)(m) + (−m)(−m) = m2 + m2 = 2m2 Se reemplaza en la expresión (1) y se depeja el ángulo como sigue  √  √  √ 2 2m = m 2 m 3 cos θ =⇒ 2m2 = 6m2 cos θ =⇒ Por tanto θ = cos

−1



√2 6



2 cos θ = √ 6

= 35,26o .

5. (20 %) A partir de la relación de Gibbs dé respuesta a las siguientes situaciones h − i → − → → → → → a) Halle (3− a ) × 2 b × (−− c ) si − a = (3, 1, 0), b = (−4, −2, −1) y − c = (0, −3, 4). → − → → b) Demuestre que para todo − a , b ,− c ∈ E 3 se satisface la relación de Jacobi −  → − → → → → − − → → → → → a × b ×− c + b × (− c ×− a)+− c × − a × b =− o . Solución:

a) De acuerdo a la Relación de Gibbs se tiene h − i → − →  →  − → − → → → → (3− a ) × 2 b × (−− c ) = (3− a · (−− c )) 2b − 3− a · 2b (−→ c)   − → − → → → → → = − 6 (− a ·− c) b +6 − a · b − c

− → → → → Como − a ·− c = −3 y − a · b = −14 entonces h − i → − → → → → (3− a ) × 2 b × (−− c ) = − 6(−3) b + 6(−14)− c = 18(−4, −2, −1) − 84(0, −3, 4) =(−72, −36, −18) − (0, −252, 336) = (−72, 216, −354).

b) Para la demostración de esta desigualdad de Jacobi se hace uso de la relación de Gibbs para cada uno de los productos triples como sigue − → → − → → − → → − → → → a ×(b ×− c ) = (− a ·− c) b − − a · b − c     − → − → → − − → → − → → b × (− c ×− a)= b ·− a → c − b ·− c → a   − → − → → − → − → → → → → c × (− a × b)= − c · b − a − (− c ·− a) b Sumando estas tres expresiones se anulan los términos del lado izquierdo debido a que el − → − → → → producto escalar es conmutativo (− a · b = b ·− a ) para así concluir que − → − → − → − → → → → → → → a ×( b ×− c ) + b × (− c +− a)+− c × (− a × b)=− o .