Buku Ajar 2003.doc

BUKU AJAR

PERSAMAAN GARIS LURUS

DI SUSUN OLEH : KELAS 1E MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

BLITAR KATA PENGANTAR Rasa syukur yang dalam kami sampaikan ke hadiran Tuhan Yang Maha Pemurah, karena berkat kemurahanNya buku ajar ini dapat kami selesaikan sesuai yang diharapkan. Buku ajar ini memuat tentang memuat tentang Persamaan Garis Lurus, terdiri atas materi dan soal-soal Penyusun juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah banyak membantu penyusun agar dapat menyelesaikan buku ajar ini. Semoga buku ajar ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca. Penyusun menyadari bahwa dalam penulisan buku ajar ini masih banyak kekurangan, oleh sebab itu penyusun angat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Dan semoga dengan selesainya buku ajat ini dapat bermanfaat. Amin...

Penyusun

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI

……………………………………………………………… ……

………………………………………………………………………… ….

i ii

A. Sifat – Sifat Persamaan Garis Lurus 1. Bentuk Persamaan Garis Lurus

…………………………………………

1

…………………………………… …

2

…………………………………………………… …

2

2. Menggambar Lurus Pada Koordinat B. Gradien 1. Pengertian Gradien

2. Gradien Garis Yang Melalui Dua Titik 3. Gradien Garis-Garis Sejajar

……………………………………

…………………………………………… …

4. Gradien Garis –Garis yang Saling Tegak Lurus

……………………… …

3 4 4

C. Persamaan Garis 1. Persaman Grafik Dalam Bentuk y = mx dan y = mx + c 2. Menentukan Persamaan Garis Lurus Latihan Soal Kunci Jawaban

…………………

……………………………… …

4 5

…………………………………………………… …

7

………………………………………………… …

8

A.SIFAT – SIFAT PERSAMAAN GARIS LURUS Bentuk Persamaan Garis Lurus 1

Masih ingatkah dengan rumus umum fungsi linear? Rumus fungsi linear adalah :

Oleh karena grafik fungsi linear y = f(x) = ax + b berupa garis lurus maka persamaan y= ax + b dinamakan persamaan garis lurus. Berikut adalah contoh persamaan garis lurus.  y = 5x – 1  y = -3x

Contoh Apakah persamaan x = + merupakan persamaan garis lurus? Penyelesaian: x= + dengan KPK 4 dan 7 28x = 7y + 24

kalikan kedua ruas

kedua ruas dibagi 7

7y = 28x – 24 y = 4x Bentuk y = 4x - merupakan bentuk ax + b dengan a = 4 dan b = - . Jadi persamaan x = + merupakan persamaan garis lurus.

2 Menggambar Garis Lurus pada Koordinat Cartesius Untuk menggambar sebuah garis lurus diperlukan paling sedikit dua titik yang dilalui oleh garis tersebut. Cara termudah untuk mencari titik tersebut adalah dengan mencari titik potong antara persamaan garis dan kedua sumbu koordinat. Contoh Gambarkan grafik dari persamaan y = 2x – 1 Penyelesaian: 

Menentukan titik potong

Langkah pertama adalah menentukan nilai x dan y sebarang yang memenuhi persamaan y = 2x – 1. Lebih mudah bila dituliskan dalam bentuk tabel seperti di bawah ini: x y (x,y)

0 -1 (0,-1)

½ 0 (1/2,0)

Jadi, diperoleh titik potong dari persamaan y = 2x – 1 dengan sumbu x (0, -1) dan sumbu y (1/2,0). 

Menentukan posisi kedua titik tersebut pada bidang cartesius dan kemudian hubungkan kedua titik pada gambar di samping. Grafik y = 2x – 1

B. GRADIEN 1

Pengartian Gradien

Apakah gradien (kemiringan) itu ?

Gradien adalah nilai yang menunjukkan besar dan arah kemiringan garis, yaitu perbandingan antara komponen y (vertikal) dan komponen x (horizontal)

Makin besar gradien suatu garis, makin curam garis tersebut. Garis yang condong ke kanan mempunyai gradien positif, sedangkan garis yang condong ke kiri mempunyai gradien negatif. Gradien garis sering disimbolkan dengan m. Berikut ini adalah hal – hal yang berkaitan dengan gradien suatu garis yang terletak pada koordinat Cartesius. Gradien garis tidak bergantung pada panjang atau pendeknya garis. Gradien garis dapat ditentukan dengan memilih sebagian ruas garis. Gradien garis OA atau mOA = Gradien garis yang sejajar sumbu x adalah 0, sedangkan gradien garis yang sejajar sumbu y adalah tidak terdefinisi. Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama. Hasil kali gradien dari dua garis yang tegak lurus sama dengan -1. Gradien garis yang melalui titik O (0,0) dan P (x,y) aalah m = . Gradien garis yang melalui titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) adalah m

2

= y2 – y 1 Gradien Garis yang Melalui Dua Titik

Perhatikan gambar di samping! Gradien ruas AB adalah

X 2

mAB = -

Oleh karena koordinat A(x1, y1) dan B(x2, y2) maka komponen y pada ruas garis AB adalah y2 – y1. Sedangkan komponen x pada ruas garis AB adalah x2 – x1, sehingga mAB = Gradien garis dengan persamaan y = mx + c adalah m.

Jika sebuah garis melalui titik A((x1, y1) dan B(x2, y2) maka gradien garis tersebut adalah mAB =

x 1

3 Gradien Garis – Garis Sejajar Berikut ini adalah sifat – sifat yang dimiliki oleh gradien garis sejajar:  

Garis – garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Jika diketahui garis – garis dengan gradien yang sama maka garis-garis tersebut sejajar.

4

Gradien Garis – Garis yang saling Tegak Lurus Setelah mengetahui sifat-sifat gradien pada garis sejajar, berikut adalah sifat yang dimiliki gradien pada garis yang saling tegak lurus.

Hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah – 1

C. PERSAMAAN GARIS 1

Persamaan Garis dalam Bentuk y = mx dan Y = mx + c

Pada umumnya terdapat dua bentuk persamaan garis, yaitu bentuk y = mx dan y = mx + c seperti yang dapat dilihat pada gambar berikut.

Grafik y = mx dan y = mx + c

Grafik y = mx

a. Persamaan Garis y = mx Perhatikan gambar di atas di atas! Gambar tersebut menunjukkan dua contoh persamaan garis dalam bentuk y = mx.

Contoh

Persamaan garis y = mx adalah

suatu persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik O (0,0) Tentukan persamaan garis dengan gradien -3 dan melalui titik (0,0)! Penyelesaian : Oleh karena persamaan garis tersebut melalui titik (0,0) maka persamaan umun garis tersebut adalah y = mx. Diketahui m = -3, maka persamaan garis tersebut adalah y = -3x. b. Persamaan Garis y = mx + c  Koefisien x dari persamaan y = mx + c merupakan gradien garis tersebut.  Ordinat titik potong antara garis y = mx + c dan sumbu y merupakan nilai c persamaan garis tersebut. Dapat dikatakan bahwa,

Persamaan garis y = mx + c merupakan suatu persamaan garis dengan gradient m dan memotong sumbu y di titik (0, c)

Contoh Tentukan persamaan garis yang bergradien 4 dan melalui titik (0, -5) Penyelesaian : Persamaan umum garis yang melalui titik (0, c) adalah y = mx + c. Oleh karena m = 4 dan c = -5, maka persamaan garisnya adalah y = 4x – 5.

2 Menentukan Persamaan Garis Lurus

a. Persamaan Garis dengan Gradien m yang Melalui Sebuah Titik Perhatikan gambar di samping ! Diketahui garis g memiliki gradien m. Garis g melalui titik P(x1, y1). Misalnya titik Q(x,y) adalah titik sebarang yang terletak pada garis g seperti tampak pada gambar di samping. Kita dapat mengetahui gradien garis PQ, yaitu m = Gunakan m =

.

untuk mencari persamaan garis yang melalui titik (x1,

y1). m= y – y1 = m(x – x1) Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 = m(x – x1) b. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Kita telah mengetahui bahwa gradien suatu garis yang melalui titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah m =

. Substitusikanlah nilai m tersebut ke

persamaan y – y1 = m(x – x1). y – y1 =

(x – x1)

Bagi kedua ruas dengan y2 – y1, sehingga diperoleh : =

.

. Karena

= 1 maka

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah

=

=

Latihan Soal A. Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal di bawah ini!

1. Gradien ruas garis yang menghubungkan titik A(2, 3) dan titik B(5, 8) adalah. . . a. 1/2 c. 3/4 e. 5/2 b. 5/3 d. ¼ 2. Persamaan garis yang sejajar dengan garis y = 2x + 3 dan melalui titik A(1, 4) adalah . . . a. y = 2x + 2 c. y = x + 4 e. y = x – 4 b. y = -2x + 2 d. y = 2x – 2 3. Persamaan garis g yang melalui titik (0,0) dan tegak lurus dengan garis yang bergradien 6 adalah . . . . a. y = x b. y = -

c. y = x x

e. y = - 6x

d. y = 6x

4. Garis yang melalui titik P(4, y) dan Q(10, 7) memiliki gradien m = -1. Nilai y adalah. . . a. 11 c. -12 e. 13 b. 12 d. -13 5. Persamaan garis k adalah – 6x – y + 8 = 0. Gradien garis yang tegak lurus garis k adalah . . . a. -18

c.

e. 18

b. -9 d. 9 6. Persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (5, -3) adalah . .. a. y = 2x – 13 c. y = -2x – 13 e. y = x – 13 b. y = 2x + 13 d. y = -2x + 13 7. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 4x – 3 dan melalui titik (1, -2) adalah . . . a. x + 4y = 7 c. x + 4y = -7 e. –x + 4y = 7 b. x – 4y = 7 d. x – 4y = -7 8. Persamaan garis yang bergradien -3 dan melalui titik (0, 0) adalah . .. a. y = 3x

c. y = x

e. y = 6x

b. y = -6x d. y = -3x 9. Persamaan garis yang melalui titik ( 0, -3) dan bergradien 8 aalah . . . a. y = x – 3 c. y = 8x + 3 e. y = 8x – 3 b. y= x – 3 d. y = -8x – 3 10. Persamaan garis yang melalui titik A(2, 6) dan B(5, 1) adalah . . . a. y = - x + 9

c. y =

b. y =

d. y = -

x-9

x+9

e. y = 5x + 9

x-9

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan banar!

1. Diketahui garis dengan persamaan y – 4x = 9. Tentukan gradien tersebut, kemudian tentukan pula titik potong antara garis dan sumbu y! 2. Diketahui titik P(b, 2b + 2) dan titik Q(b – 3, 3b). Tentukan b agar garis yang melalui titik P dan Q mempunyai gradien 1. 3. Sebuah garis 2x – y = 4 tegak lurus pada garis g. Garis g melalui tititk (2, 4). Tentukan persamaan garis g! 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dan (4, 3)! 5. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x – y + 3 = 0 dan melalui titik B(-1, 2) !

Kunci Jawaban A. Soal pilihan ganda

1. Jawaban B Penyelesaian : Titik A(2, 3) dan titik B(5, 8) Gradien ruas AB adalah mAB =

=

=

2. Jawaban A Penyelesaian : Misalkan k adalah garis yang sejajar garis y = 2x + 3, maka gradien garis k = 2 Persamaan garis k adalah y = 2x + b, karena garis k melalui titik A(1, 4) maka y = 2x + b 4 = 2. 1 + b 4 = 2b b = 4 – 2 = 2, jadi persamaan garisnya adalah y = 2x + 2 3. Jawaban B Penyelesaian : Persamaan umum garis g adalah y = mx . Diketahui garis g tersebut tegak lurus dengan garis yang bergradien 6. Oleh karena hasil perkalian gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah -1 maka gradien garis g adalah – 1/6. Jadi, persamaan garis g adalah y = -1/6 x. 4. Jawaban E Penyelesaian : Garis melalui itik P(4, y) dan Q(10, 7), bergradien m = -1. Maka nilai y adalah m PQ =

-1=

-1 =

-6 = 7 – y y = 7 + 6 = 13, jadi nilai y adalah 13. 5. Jawaban C Penyelesaian : m=

=

= -18

m1 . m2 = -1 -18 . m2 = -1 m2 = 1/18 6. Jawaban A Penyelesaian: m = 2 dan melalui titik (5, -3) y – y1 = m(x – x1) y - (-3) = 2(x – 5) y + 3 = 2x – 10 y = 2x – 13 Jadi, persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (5, -3) adalah y = 2x – 13 7. Jawaban C Penyelesaian: Garis melalui titik (1, -2) dan tegak lurus dengan garis y= 4x – 3 Ubah bentuk persamaan y = 4x – 3 dalam bentuk persamaan ax + by + c = 0, sehingga menjadi -4x + y + 3 = 0. Maka persamaan garisnya dapat diproleh dengan rumus: bx – ay = bx1 – ay1 1.x – (-4)y = 1.1 – (-4)(-2) x + 4y = 1 – 8 x + 4y = -7 Jadi, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 2x – 3 dan melalui (1, -2) adalah x + 4y = -7 8. Jawaban D Penyelesaian: Karena persamaan tersebut melalui titik (0, 0) maka persamaan umum garis tersebut adalah y = mx. Diketahui m = -3. Dengan demikian, persamaan garis tersebut adalah y = -3x. 9. Jawaban E Penyelesaian: Persamaan umum garis yang melalui titik (0, c) adalah y = mx + c. Jika diketahui m = 8 dan c = -3 maka persamaan garisnya adalah y = 8x – 3. 10. Jawaban A Penyelesaian:

Titik A(2, 6) dan B(5, 1) .

= = =

3y – 18 3y

= -5x + 10 = -5x + 28

y

=- x+9

Jadi, persamaan garis yang melalui titik (2, 6) dan titik (5, 1) adalah y= - x + 9 B. Soal Uraian 1. Ubahlah bentuk persamaan garis y – 4x = 9 menjadi bentuk y = mx. Sehingga diperoleh y = 4x + 9. Jadi, gradien garis tersebut adalah 4. Garis dengan persamaan y = mx + c akan memotong sumbu y di titik (0, c). Jadi, garis dengan persamaan y = 4x + 9 akan memotong sumbu y di titik (0, 9). 2. Titik P(b, 2b + 2) dan titik Q(b – 3, 3b) mPQ = 1

=

1

=

1

=

-3

=b–2

b = -1 adalah – 1.

Jadi, agar garis P dan Q bergradien 1 maka nilai b

3. 2x – y = 4 y = 2x – 4, maka m1 = 2. Karena tegak lurus maka: m1 . m2 = -1 m2 = -1/2 Persamaan garis g adalah y – y1 = m(x – x1) y – 4 = -1/2 (x – 2)

y – 4 = -1/2 x + 1 y = -1/2 x + 5 4. Persamaan garisnya dapat dicari dengan rumus

= = =

2y – 10 = -2x + 4 2y = -2x + 14 y = -x + 7 Jadi, persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dan (4, 3) adalah y = -x + 7 5. Cara 1 Gradien garis 2x – y + 3 = 0 adalah m1 = 2. Karena sejajar maka m1 = m2 . y = mx + c ↔ y = 2x + c melalui (-1, 2) ↔ 2 = 2(-1) + c c = 4, Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah y = 2x + 4 Cara 2 Diketahui 2x – y + 3 = 0 melalui (-1, 2) ↔ 2x – y = 2(-1) – (-2) Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y = 4.