Bucle De Costas

´ EN AMPLITUD. MODULACION

Marcos Mart´ın Fern´ andez E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicaci´ on Universidad de Valladolid.

CONTENIDOS

INDICE . DE FIGURAS

VII

1.

´ INTRODUCCION.

1

2.

´ EN AMPLITUD (AM). MODULACION 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

3.

Generaci´ on de una Se˜ nal AM. Modulaci´ on de un Tono Simple. Eficiencia en Potencia. Esquemas Moduladores de AM. Esquemas Demoduladores de AM.

´ DOBLE BANDA LATERAL (DSB). MODULACION

3 3 6 8 10 14

3.1. Generaci´ on de una Se˜ nal DSB. 3.2. Moduladores de DSB. 3.3. Detecci´ on Coherente de DSB.

17 17 18 21

4.

´ DE AMPLITUD EN CUADRATURA (QAM). MODULACION

27

5.

´ BANDA LATERAL UNICA ´ MODULACION (SSB).

29 29 33 34 37

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Generaci´ on de una Se˜ nal SSB. Modulaci´ on de un Tono Simple. Esquemas Moduladores de SSB. Demodulaci´ on de SSB.

6.

´ BANDA LATERAL RESIDUAL (VSB). MODULACION

41

7.

´ EN FRECUENCIA. TRANSLACION

49

8.

´ EN FRECUENCIA (FDM). MULTIPLEXACION

51

v

INDICE DE FIGURAS

Cap´ıtulo 1 Cap´ıtulo 2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Se˜ nal moduladora. Se˜ nal modulada sin sobremodulaci´on. Se˜ nal modulada con sobremodulaci´on. Espectro de la se˜ nal moduladora. Espectro de la se˜ nal modulada. Se˜ nal moduladora sinusoidal junto con su espectro. Se˜ nal portadora sinusoidal junto con su espectro. Se˜ nal modulada junto con su espectro sin sobremodulaci´on, para el caso de moduladora sinusoidal. 2.9. Tanto por ciento de potencia transmitida para la portadora y las bandas laterales como funci´ on del ´ındice de modulaci´ on µ cuando la moduladora es sinusoidal. 2.10. Esquema de un modulador en cuadratura. 2.11. Espectro de la se˜ nal moduladora. 2.12. Espectro de la se˜ nal a la salida del dispositivo no lineal. 2.13. Esquema de un modulador por conmutaci´on. 2.14. Caracter´ıstica entrada/salida ideal de un diodo. 2.15. Tren de pulsos peri´ odico gp (t). 2.16. Esquema de un detector de envolvente. 2.17. Se˜ nal modulada AM. 2.18. Envolvente ideal de la se˜ nal modulada.

3 4 4 5 5 6 6 7 10 11 12 12 13 13 14 15 16 16

Cap´ıtulo 3 3.1. Se˜ nal modulada DSB para moduladora sinusoidal. 3.2. Espectro de la se˜ nal moduladora. 3.3. Espectro de la se˜ nal modulada DSB. 3.4. Esquema de un modulador balanceado. 3.5. Esquema de un modulador en estrella. 3.6. Diagrama esquem´ atico cuando la se˜ nal c(t) es positiva. 3.7. Diagrama esquem´ atico cuando la se˜ nal c(t) es negativa. 3.8. Se˜ nal salida del modulador en estrella para cuando la moduladora es sinusoidal. 3.9. Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador en estrella. 3.10. Esquema de un detector coherente. 3.11. Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto. 3.12. Esquema del bucle de costas. 3.13. Esquema del bucle cuadr´ atico. 3.14. Respuesta en frecuencia del filtro empleado en el bucle cuadr´atico. Cap´ıtulo 4

vii

17 18 18 19 19 20 20 20 21 22 22 24 24 25

´ EN AMPLITUD. MODULACION

viii 4.1. Esquema de un modulador QAM. 4.2. Esquema de un demodulador QAM.

27 28

Cap´ıtulo 5 5.1. Espectro de una se˜ nal moduladora limitada en banda. 5.2. Espectro de la se˜ nal DSB. 5.3. Espectro de la se˜ nal SSB empleando la banda lateral superior. 5.4. Espectro de la se˜ nal SSB empleando la banda lateral inferior. 5.5. Espectro de la se˜ nal modulada desplazado hacia la derecha. 5.6. Espectro de la se˜ nal modulada desplazado hacia la izquierda. 5.7. Espectro de la componente en fase de la se˜ nal modulada. 5.8. Espectro de la componente en cuadratura de la se˜ nal modulada. 5.9. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´on en frecuencia. 5.10. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´on en frecuencia con dos etapas de modulaci´ on y filtrado. 5.11. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´on en fase. 5.12. Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´on en fase empleando dos redes desfasadoras de banda ancha. 5.13. Esquema de un detector coherente para demodular SSB. 5.14. Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto del detector coherente. 5.15. Espectro de la se˜ nal moduladora original. 5.16. Espectro de la se˜ nal demodulada en el primer caso. 5.17. Espectro de la se˜ nal demodulada en el segundo caso.

29 30 30 30 31 31 32 32 35 35 36 36 37 38 38 39 39

Cap´ıtulo 6 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.

Espectro de una se˜ nal moduladora limitada en banda. Espectro de la se˜ nal VSB con banda residual superior. Esquema de un modulador VSB usando discriminaci´on en frecuencia. Esquema de un detector coherente empleado como demodulador de VSB. Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto. Espectro de la se˜ nal a la salida del filtro paso bajo. Un caso particular del m´ odulo del espectro del filtro H(f ) para banda residual inferior. Un caso particular del filtro Hs (f ) empleado para determinar la componente en cuadratura de la se˜ nal modulada. 6.9. Esquema de un modulador VSB usando discriminaci´on en fase. 6.10. Filtro H(f ) empleado para recepci´on VSB de TV.

41 41 42 42 43 43 44 45 46 47

Cap´ıtulo 7 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

Espectro de una se˜ nal DSB. Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto. Espectro de la se˜ nal tras el filtro paso banda. Esquema de un mezclador.

49 50 50 50

Cap´ıtulo 8 8.1. Esquema de un sistema FDM.

52

1 ´ INTRODUCCION.

Un sistema de comunicaci´ on transmite se˜ nales con informaci´on a trav´es de un canal de comunicaciones que separa el transmisor del receptor. El t´ermino banda base se utiliza para denominar la banda de frecuencias que representa la se˜ nal original que lleva la informaci´ on. La utilizaci´on eficiente del canal de comunicaci´on requiere desplazar las frecuencias banda base a otro rango de frecuencias m´as adecuado para la transmisi´on. En recepci´on se realizar´a el desplazamiento inverso en frecuencia al rango original banda base. El desplazamiento del rango de frecuencias se consigue mediante un proceso denominado modulaci´ on que se define como el proceso por el que alguna de las caracter´ısticas de una portadora se modifica de acuerdo con la se˜ nal que tiene la informaci´on. La se˜ nal banda base se denomina se˜ nal moduladora y la se˜ nal resultante del proceso de modulaci´ on modulada. En el extremo receptor se requiere devolver a la se˜ nal modulada su forma original. Este proceso se denomina demodulaci´ on y es el inverso de la modulaci´ on. Vamos a estudiar dos tipos de modulaci´on de onda continua (CW: continuos wave):

Modulaci´ on en amplitud (AM: Amplitude Modulation). Modulaci´ on angular: modulaci´ on en frecuencia (FM: Frequency Modulation) y modulaci´on en fase (PM: Phase Modulation).

En AM la amplitud de la se˜ nal portadora sinusoidal var´ıa de acuerdo con la se˜ nal moduladora. En el caso de FM y PM la frecuencia y la fase de la se˜ nal portadora var´ıa de acuerdo con la se˜ nal moduladora respectivamente.

1

2 ´ EN AMPLITUD (AM). MODULACION

2.1

´ DE UNA SENAL ˜ GENERACION AM.

Considerar la portadora sinusoidal dada por la ecuaci´on (2.1), donde Ac es la amplitud de la portadora y fc es la frecuencia de la portadora. Por conveniencia asumimos que la fase de la portadora es cero.

c(t) = Ac cos(2πfc t)

(2.1)

Sea m(t) la se˜ nal banda base que contiene la informaci´on. La se˜ nal c(t) es independiente de m(t). La modulaci´on de amplitud (AM) se define como el proceso en el cual la amplitud de la portadora c(t) var´ıa en torno a un valor medio de forma lineal con la se˜ nal banda base m(t) seg´ un la ecuaci´on (2.2), donde ka es una constante denominada sensibilidad en amplitud del modulador.

s(t) = Ac [1 + ka m(t)] cos(2πfc t)

(2.2)

Si suponemos que Ac es igual a la unidad y m(t) es la se˜ nal de la figura 2.1, se pueden dar dos casos:

Si |ka m(t)| < 1 se tiene la se˜ nal modulada de la figura 2.2. Si |ka m(t)| > 1 se tiene la se˜ nal modulada de la figura 2.3. m(t)

t

Figura 2.1

Se˜ nal moduladora.

3

4

Cap´ıtulo 2 s(t)

t

Figura 2.2

Se˜ nal modulada sin sobremodulaci´ on.

s(t)

t

Figura 2.3

Se˜ nal modulada con sobremodulaci´ on.

Se puede observar que para que la envolvente de la se˜ nal siga la forma de la se˜ nal banda base m(t) se deben satisfacer dos condiciones:

Que |ka m(t)| < 1. Esto asegura que 1 + ka m(t) es siempre positivo y podemos expresar la envolvente de la se˜ nal s(t) como Ac [1 + ka m(t)]. Cuando |ka m(t)| > 1 debido a que la sensibilidad en amplitud ka es demasiado grande, la se˜ nal AM se dice que est´a sobremodulada, resultado que la fase de la se˜ nal AM se invierte siempre que 1 + ka m(t) cambia de signo. Lo que va a dar lugar a una distorsi´on en la envolvente. Es evidente ver que si no hay sobremodulaci´ on hay una relaci´ on un´ıvoca entre la envolvente de la se˜ nal AM y la se˜ nal moduladora. El valor absoluto m´ aximo de ka m(t) multiplicado por cien se denomina porcentaje de modulaci´ on. La frecuencia de la portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t), seg´ un la ecuaci´ on (2.3), donde W es el ancho de banda de m(t). Si esto no se satisface, la envolvente no seguir´ a a la se˜ nal moduladora. fc  W

(2.3)

Modulaci´ on en Amplitud (AM).

5 M(f)

M(0)

f −W

Figura 2.4

W

Espectro de la se˜ nal moduladora.

S(f) Banda

Ac 2

Lateral Superior

−fc−W

Banda

Banda

Lateral

Lateral

Ac ka M(0) 2

Inferior

−fc

−fc+W

Figura 2.5

Ac 2

Inferior

f c−W

fc

Banda Lateral Superior

f c+W

f

Espectro de la se˜ nal modulada.

Calculando ahora la transformada de Fourier de la se˜ nal modulada de la ecuaci´on (2.2) se tiene la ecuaci´on (2.4).

S(f ) =

Ac ka Ac [δ(f − fc ) + δ(f + fc )] + [M (f − fc ) + M (f − fc )] 2 2

(2.4)

Si suponemos que la transformada de Fourier de la se˜ nal moduladora M (f ) tiene la forma de la figura 2.4, la transformada de Fourier de la se˜ nal modulada S(f ) dada por la ecuaci´on (2.4) se puede ver en la figura 2.5. De la figura 2.5 se puede destacar lo siguiente:

Para frecuencias positivas la parte del espectro por encima de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por debajo de −fc se denomina banda lateral superior (USB: Upper SideBand) y para frecuencias positivas la parte del espectro por debajo de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por encima de −fc se denomina banda lateral inferior (LSB: Lower SideBand). La condici´on fc > W asegura que las bandas laterales inferiores (la positiva y la negativa) no se solapen. Para frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + W y la inferior fc − W . La diferencia entre ambas define el ancho de banda de transmisi´ on de la se˜ nal AM que se representa mediante BT y viene dado por la ecuaci´on (2.5).

6

Cap´ıtulo 2 m(t) M(f) Am

t

Am 2

Am 2

−fm

fm

−Am

f 1/fm

Figura 2.6

Se˜ nal moduladora sinusoidal junto con su espectro.

c(t) C(f) Ac

t

Ac 2

Ac 2

−fc

fc

−Ac 1/fc

Figura 2.7

Se˜ nal portadora sinusoidal junto con su espectro.

BT = 2W

2.2

f

(2.5)

´ DE UN TONO SIMPLE. MODULACION

Consideremos una se˜ nal moduladora m(t) que sea un tono simple dada por la ecuaci´on (2.6), donde Am es la amplitud de la moduladora y fm la frecuencia. Esta se˜ nal junto con su espectro se puede ver en la figura 2.6. En la figura 2.7 vemos la se˜ nal portadora junto con su espectro.

m(t) = Am cos(2πfm t)

(2.6)

La se˜ nal AM en este caso viene dada por la ecuaci´on (2.7), donde µ = ka Am . La constante adimensional µ se denomina factor de modulaci´ on o porcentaje de modulaci´ on si se expresa en tanto por ciento. Para evitar distorsi´ on de envolvente debido a sobremodulaci´on, el factor de modulaci´on µ debe estar por debajo de la unidad. En la figura 2.8 vemos la se˜ nal modulada junto con su espectro en el caso de no tener sobremodulaci´ on.

s(t) = Ac [1 + µ cos(2πfm t)] cos(2πfc t)

(2.7)

Modulaci´ on en Amplitud (AM).

7

s(t) C(f)

A max

A min

Ac 2

t

Ac µ 4

Ac µ 4

1/fc

−fc−fm

Figura 2.8 sinusoidal.

Ac 2

−fc

−fc+fm

Ac µ 4

Ac µ 4

f c−fm

fc

f c+fm

f

Se˜ nal modulada junto con su espectro sin sobremodulaci´ on, para el caso de moduladora

Sean Amax y Amin el valor m´ aximo y m´ınimo de la envolvente de la se˜ nal modulada, como se ve en la figura 2.8. Entonces a partir de la ecuaci´on (2.7) se tiene la ecuaci´on (2.8). Simplificando esta ecuaci´on y despejando el factor de modulaci´ on se tiene la ecuaci´on (2.9). Amax Ac (1 + µ) = Amin Ac (1 − µ)

(2.8)

Amax − Amin Amax + Amin

(2.9)

µ=

Para determinar la transformada de Fourier de la se˜ nal modulada s(t) se puede usar la expresi´on trigonom´etrica dada por la ecuaci´ on (2.10) resultando entonces que la ecuaci´on (2.7) se puede desarrollar obteni´endose la ecuaci´ on (2.11).

cos A cos B =

1 1 cos(A + B) + cos(A − B) 2 2

1 1 s(t) = Ac cos(2πfc t) + µAc cos[2π(fc + fm )t] + µAc cos[2π(fc − fm )t] 2 2

(2.10)

(2.11)

Ahora la transformada de Fourier de la ecuaci´on (2.11) se puede calcular de forma sencilla utilizando transformadas inmediatas, resultando que la transformada de Fourier S(f ) de la se˜ nal modulada s(t) viene dada por la ecuaci´ on (2.12). Esta transformada corresponde a componentes frecuenciales en ±fc , fc ± fm y −fc ± fm , como se puede apreciar en la figura 2.8.

S(f ) =

Ac Ac Ac [δ(f −fc )+δ(f +fc )]+ [δ(f −fc −fm )+δ(f +fc +fm )]+ [δ(f −fc +fm )+δ(f +fc −fm )] (2.12) 2 4µ 4µ

Podemos distinguir claramente tres componentes:

Frecuencia portadora ±fc .

8

Cap´ıtulo 2 Frecuencia (banda) lateral superior fc + fm y −fc − fm . Frecuencia (banda) lateral inferior fc − fm y −fc + fm .

2.3

EFICIENCIA EN POTENCIA.

Si x(t) es una se˜ nal peri´ odica con periodo T0 y frecuencia fundamental f0 , su transformada de Fourier viene dada por la ecuaci´ on (2.13) y su densidad espectral de potencia por la ecuaci´on (2.14), donde cn son los coeficientes de la serie de Fourier. La potencia de la se˜ nal x(t) viene dada por la ecuaci´on (2.15). ∞ X

X(f ) =

cn δ(f − nf0 )

(2.13)

|cn |2 δ(f − nf0 )

(2.14)

n=−∞

Sx (f ) =

∞ X n=−∞

Z

∞

Px =

Sx (f )df

(2.15)

−∞

Vamos a determinar ahora la potencia de cada una de las tres componentes de la se˜ nal AM suponiendo que la moduladora sea sinusoidal a la frecuencia fm dada por la ecuaci´on (2.6):

Portadora. La transformada de Fourier de la se˜ nal portadora c(t) viene dada por la ecuaci´on (2.16), su densidad espectral de potencia por la ecuaci´on (2.17) y, finalmente, la potencia por la ecuaci´on (2.18). C(f ) =

1 1 Ac δ(f − fc ) + Ac δ(f + fc ) 2 2

(2.16)

Sc (f ) =

1 2 1 Ac δ(f − fc ) + A2c δ(f + fc ) 4 4

(2.17)

Z

∞

Pc =

Sc (f )df = −∞

1 2 1 2 A2 Ac + Ac = c 4 4 2

(2.18)

Banda lateral superior. La transformada de Fourier de la se˜ nal banda lateral superior usb(t) viene dada por la ecuaci´ on (2.19), su densidad espectral de potencia por la ecuaci´on (2.20) y, finalmente, la potencia por la ecuaci´ on (2.21). 1 1 µAc δ(f − fc − fm ) + µAc δ(f + fc + fm ) 4 4

(2.19)

1 2 2 1 µ Ac δ(f − fc − fm ) + µ2 A2c δ(f + fc + fm ) 16 16

(2.20)

U SB(f ) =

Susb (f ) =

Modulaci´ on en Amplitud (AM). Z

9 ∞

Pusb =

Susb (f )df = −∞

1 2 2 1 1 µ Ac + µ2 A2c = µ2 A2c 16 16 8

(2.21)

Banda lateral inferior. La transformada de Fourier de la se˜ nal banda lateral inferior lsb(t) viene dada por la ecuaci´ on (2.22), su densidad espectral de potencia por la ecuaci´on (2.23) y, finalmente, la potencia por la ecuaci´ on (2.24). 1 1 µAc δ(f − fc + fm ) + µAc δ(f + fc − fm ) 4 4

(2.22)

1 2 2 1 µ Ac δ(f − fc + fm ) + µ2 A2c δ(f + fc − fm ) 16 16

(2.23)

LSB(f ) =

Slsb (f ) =

Z

∞

Plsb =

Slsb (f )df = −∞

1 2 2 1 1 µ Ac + µ2 A2c = µ2 A2c 16 16 8

(2.24)

Se va a definir la eficiencia en potencia η como el cociente entre la potencia transmitida de informaci´on y la potencia total transmitida PT . La potencia transmitida de informaci´on es la potencia de las bandas laterales PSB . Se tiene entonces la ecuaci´ on (2.25).

η=

PSB PT

(2.25)

Teniendo en cuenta la potencia calculada para cada una de las tres componentes dada por las ecuaciones (2.18), (2.21) y (2.24), respectivamente, en el caso de moduladora sinusoidal la eficiencia en potencia viene dada en este caso por la ecuaci´ on (2.26).

η=

1 2 2 1 2 2 8 µ Ac + 8 µ Ac 1 2 1 2 2 1 2 2 2 Ac + 8 µ Ac + 8 µ Ac

=

1 2 4µ 1 1 2 2 + 4µ

=

µ2 2 + µ2

(2.26)

En el caso de que se utilice el 100 por ciento de modulaci´on, µ = 1, la eficiencia m´axima en potencia en esta caso es la dada por la ecuaci´ on (2.27). Es decir, la potencia total de informaci´on transmitida en las bandas laterales es s´ olo la tercera parte de la potencia total, en el caso mejor. Por ejemplo, para un 20 por ciento de modulaci´ on la potencia total de informaci´on transmitida en las bandas laterales es menor del 2 por ciento de la potencia total. En la figura 2.9 podemos ver el tanto por ciento de potencia de portadora transmitida y de potencia de informaci´ on transmitida en las bandas laterales como funci´on del ´ındice de modulaci´on µ.

ηmax =

1 3

(2.27)

Podemos concluir entonces que la eficiencia m´axima en potencia es un tercio de la transmitida y que el ancho de banda de la se˜ nal transmitida es el doble que el ancho de banda de la se˜ nal moduladora. Por lo tanto, la modulaci´ on AM no es eficiente ni en potencia ni en ancho de banda.

10

Cap´ıtulo 2 % Potencia Transmitida

100

90

80

Portadora

70

66,66% 60

50

40

33,33% 30

20

Bandas Laterales 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

µ (%)

Figura 2.9 Tanto por ciento de potencia transmitida para la portadora y las bandas laterales como funci´ on del ´ındice de modulaci´ on µ cuando la moduladora es sinusoidal.

2.4

ESQUEMAS MODULADORES DE AM.

Se van a describir dos dispositivos capaces de generar una se˜ nal AM: el modulador en cuadratura y el modulador por conmutaci´ on. Ambos requieren el empleo de un elemento no lineal para su implementaci´on. Estos dispositivos son adecuados para transmisi´on con baja potencia.

2.4.1

Modulador en Cuadratura.

Este tipo de modulador requiere tres cosas:

Una forma de sumar la portadora y la se˜ nal moduladora. Un elemento no lineal. Un filtro paso banda para extraer los productos de modulaci´on adecuados.

En la figura 2.10 podemos ver un esquema este tipo de modulador. Los diodos y transistores semiconductores son los elementos que se utilizan normalmente como dispositivos no lineales para implementar moduladores en cuadratura. El filtro paso banda que se utiliza suele ser un circuito simple o doblemente sintonizado. Cuando un elemento no lineal como un diodo est´a bien polarizado de forma que trabaje en una zona de su curva caracter´ıstica y la se˜ nal aplicada es relativamente d´ebil, su funci´on de transferencia puede ponerse seg´ un la ecuaci´ on (2.28), donde a1 y a2 son constantes que dependen del dispositivo, v1 (t) es la se˜ nal de entrada y v2 (t) la se˜ nal de salida. v2 (t) = a1 v1 (t) + a2 v12 (t)

(2.28)

Modulaci´ on en Amplitud (AM).

11

Elemento No Lineal

m(t) C c(t)

RL

v2(t)

v1(t)

Figura 2.10

Esquema de un modulador en cuadratura.

La se˜ nal de entrada al dispositivo no lineal v1 (t) es la suma de la se˜ nal portadora y moduladora seg´ un la ecuaci´on (2.29). Entonces se puede determinar la se˜ nal de salida v2 (t) usando la ecuaci´on (2.28), que simplificando se puede obtener finalmente la ecuaci´on (2.30).

v1 (t) = Ac cos(2πfc t) + m(t)

  2a2 1 1 v2 (t) = a1 Ac 1 + m(t) cos(2πfc t) + a1 m(t) + a2 m2 (t) + a2 A2c + a2 A2c cos(4πfc t) a1 2 2

(2.29)

(2.30)

En la ecuaci´ on (2.30) u ´nicamente el primer t´ermino es el deseado, es decir, la se˜ nal AM. Dicha se˜ nal AM tiene una sensibilidad en amplitud dada por la ecuaci´on (2.31). El resto de t´erminos son no deseados y se eliminan mediante filtrado.

ka =

2a2 a1

(2.31)

Vamos a suponer que la se˜ nal moduladora m(t) est´a limitada a la banda de frecuencias |f | ≤ W y cuya transformada de Fourier viene dada gr´aficamente por la figura 2.11. En la figura 2.12 podemos ver el espectro de la se˜ nal v2 (t) a la salida del dispositivo no lineal. En dicha figura se han etiquetado las diferentes componentes de v2 (t) correspondientes a los siguientes t´erminos temporales de la ecuaci´on (2.30):

1.

1 2 2 a2 Ac .

2. a1 Ac cos(2πfc t). 3.

2a2 Ac m(t) cos(2πfc t).

4. a1 m(t).

12

Cap´ıtulo 2 M(f)

M(0)

f −W

Figura 2.11

W

Espectro de la se˜ nal moduladora. V2(f)

2

6

3

1

2

4

3

6

5 −fc

−2fc

−2W −W

W

2W

2W

Figura 2.12

fc

2f c

f

2W

Espectro de la se˜ nal a la salida del dispositivo no lineal.

5. a2 m2 (t). 6.

1 2 2 a2 Ac

cos(4πfc t).

Como puede verse en la figura 2.12 se pueden eliminar f´acilmente los t´erminos no deseados (todos excepto el segundo y el tercero) mediante un filtro paso banda con frecuencia central la de la portadora fc y de ancho de banda 2W . Para que el quinto t´ermino no se solape con el tercero es necesario que se cumpla que fc > 3W .

2.4.2

Modulador por Conmutaci´ on.

En la figura 2.13 se puede ver el esquema de este tipo de modulador. Vamos a suponer que la amplitud de la se˜ nal portadora c(t) aplicada al diodo tiene una amplitud Ac grande, de modo que recorra una buena parte de la caracter´ıstica del diodo. Se va a suponer tambi´en que el diodo act´ ua como un conmutador ideal, es decir, que tiene impedancia cero cuando conduce en directa, para c(t) > 0, y que tiene impedancia infinita (no conduce) cuando est´ a en inversa, para c(t) < 0, como puede verse en la figura 2.14. La se˜ nal v1 (t) a la entrada del diodo viene dada por la suma de la se˜ nal moduladora y de la se˜ nal portadora seg´ un la ecuaci´ on (2.32), donde se supone que |m(t)|  Ac .

v1 (t) = Ac cos(2πfc t) + m(t)

(2.32)

Teniendo en cuenta la caracter´ıstica entrada salida del diodo, como se observa en la figura 2.14, la se˜ nal v2 (t) a la salida viene dada por la ecuaci´on (2.33), es decir, la tensi´on en la carga var´ıa peri´odicamente entre los valores v1 (t) y cero a una tasa igual a la frecuencia de la portadora fc .

Modulaci´ on en Amplitud (AM).

13 c(t)

m(t)

v1(t)

Figura 2.13

v2(t)

RL

Esquema de un modulador por conmutaci´ on.

v2

pendiente unidad

v1

Figura 2.14

Caracter´ıstica entrada/salida ideal de un diodo.

v2 (t) ≈

  v1 (t) c(t) > 0 

0

(2.33)

c(t) < 0

Si suponemos que la se˜ nal moduladora es d´ebil comparada con la se˜ nal portadora, |m(t)|  Ac , hemos reemplazado el comportamiento no lineal del diodo por un funcionamiento lineal variante con el tiempo. Esto se puede expresar matem´ aticamente mediante la ecuaci´on (2.34), donde gp (t) es un tren de pulsos peri´odico con medio periodo alto y medio bajo, con per´ıodo T0 = 1/fc , como puede verse en la figura 2.15. La se˜ nal gp (t) se puede representar en serie de Fourier seg´ un la ecuaci´on (2.35).

v2 (t) ≈ [Ac cos(2πfc t) + m(t)]gp (t)

gp (t) =

∞ 2 X (−1)n−1 1 + cos[2πfc t(2n − 1)] 2 π n=1 2n − 1

(2.34)

(2.35)

Sustituyendo la ecuaci´ on (2.35) en la ecuaci´on (2.34) y operando se obtienen los siguientes t´erminos:

Ac 2

h

1+

i

4 πAc m(t)

cos(2πfc t) que es la se˜ nal AM deseada con sensibilidad en amplitud ka =

Componentes frecuenciales (deltas) a las frecuencias 0, ±2fc , ±4fc , etc.

4 πAc .

14

Cap´ıtulo 2

gp(t)

1

−T0

T0 /4

−T0 /2 −T0 /4 Figura 2.15

T0 /2

t T0

Tren de pulsos peri´ odico gp (t).

Se˜ nal moduladora 12 m(t) con ancho de banda W . Componentes de se˜ nal (bandas laterales) a las frecuencias ±3fc , ±5fc , etc., de ancho de banda 2W .

Si ahora empleamos un filtro paso banda de frecuencia central fc y ancho de banda 2W , siempre que fc > 2W habremos eliminado los t´erminos no deseados, teniendo finalmente la se˜ nal AM deseada.

2.5

ESQUEMAS DEMODULADORES DE AM.

El proceso de demodulaci´ on es aquel que permite obtener una se˜ nal proporcional a la se˜ nal moduladora original m(t) a partir de la se˜ nal modulada s(t). De hecho, el proceso de demodulaci´on es el proceso inverso del de modulaci´ on. Se van a describir dos dispositivos para demodular AM: el detector en cuadratura y el detector de envolvente.

2.5.1

Detector en Cuadratura.

Se obtiene empleando la misma t´ecnica que para el modulador en cuadratura. Consideramos de nuevo la caracter´ıstica entrada salida de un dispositivo no lineal seg´ un la ecuaci´on (2.36). Cuando este dispositivo se emplea para demodular una se˜ nal AM tendremos que la se˜ nal de entrada v1 (t) viene dada por la ecuaci´on (2.37).

v2 (t) = a1 v1 (t) + a2 v12 (t)

(2.36)

v1 (t) = Ac [1 + ka m(t)] cos(2πfc t)

(2.37)

Sustituyendo la ecuaci´ on (2.37) en la ecuaci´on (2.36) obtenemos para la se˜ nal de salida v2 (t) la ecuaci´on (2.38). 1 v2 (t) = a1 Ac [1 + ka m(t)] cos(2πfc t) + a2 A2c [1 + ka2 m2 (t) + 2ka m(t)][1 + cos(4πfc t)] 2

(2.38)

Modulaci´ on en Amplitud (AM).

15

RS C

RL

s(t)

Figura 2.16

Esquema de un detector de envolvente.

En la ecuaci´ on (2.38) la se˜ nal deseada es a2 A2c ka m(t), que proviene del t´ermino a2 v12 (t), por eso el detector de denomina cuadr´ atico. Esta componente puede ser extra´ıda mediante filtrado, sin embargo hay otras dos componentes que se solapan en la baja frecuencia 12 a2 A2c y 12 a2 A2c m2 (t). La primera de estas componentes no es m´as que una componente continua que se puede eliminar f´acilmente con un condensador de desacople. La segunda componente no se puede eliminar completamente mediante filtrado y constituye un t´ermino 2 de distorsi´on. La relaci´ on entre la se˜ nal deseada y dicha distorsi´on es ka m(t) . Para lograr que ese cociente sea lo mayor posible debemos elegir |ka m(t)| lo menor posible en todo instante de tiempo. Se puede decir entonces que la distorsi´ on ser´ a peque˜ na siempre que el tanto por ciento de modulaci´on sea peque˜ no.

2.5.2

Detector de Envolvente.

Supongamos que la se˜ nal AM es de banda estrecha, es decir, que la frecuencia de la portadora fc es mucho mayor que el ancho de banda de la se˜ nal moduladora W y que no tenemos sobremodulaci´on. La demodulaci´on puede realizarse mediante un dispositivo muy sencillo pero efectivo denominado detector de envolvente. Idealmente un detector de envolvente produce una se˜ nal a la salida que sigue a la envolvente de la se˜ nal de entrada. Una versi´ on de este esquema es el que se utiliza normalmente en los receptores de AM comerciales. En la figura 2.16 puede verse dicho esquema de forma simplificada. En la figura 2.17 podemos ver una se˜ nal modulada en AM y en la figura 2.18 la envolvente ideal de dicha se˜ nal, que viene dada por la ecuaci´on (2.39)

r(t) = Ac [1 + ka m(t)]

(2.39)

En el ciclo positivo de la se˜ nal de entrada el diodo est´a polarizado en directa por lo que el condensador se carga r´apidamente hasta el valor de pico de la se˜ nal de entrada. Cuando la se˜ nal de entrada baja de su valor de pico, el diodo pasa a inversa y el condensador se descarga lentamente a trav´es de la carga. Este procedo de descarga contin´ ua hasta el siguiente per´ıodo positivo para el que la se˜ nal a la entrada del diodo es mayor que la se˜ nal a la salida, momento en el cual el diodo pasa a directa y el condensador se vuelve a cargar, y as´ı sucesivamente. Se est´ a suponiendo que el diodo es ideal de forma que la impedancia en directa sea cero e infinito en inversa. Si la impedancia de la fuente es RS se tiene que cumplir que el tiempo de carga del condensador sea peque˜ no con respecto al periodo de la portadora, es decir, se tiene que cumplir la ecuaci´on (2.40), de modo que el condensador se cargue r´ apidamente y siga a la se˜ nal de entrada hasta su valor de pico.

16

Cap´ıtulo 2 s(t)

t

Figura 2.17

Se˜ nal modulada AM.

Envolvente

t

Figura 2.18

Envolvente ideal de la se˜ nal modulada.

RS C 

1 fc

(2.40)

Adem´as el tiempo de descarga a trav´es de la carga RL debe ser suficientemente largo para asegurar que el condensador se descargue lentamente entre dos picos de la se˜ nal portadora, pero no demasiado lento para que se pueda descarga y seguir la envolvente de la se˜ nal AM, es decir, se tiene que cumplir la ecuaci´on (2.41). 1 1  RL C  fc W

(2.41)

El resultado es que la se˜ nal en la carga es muy similar a la envolvente de la se˜ nal AM. La salida del detector de envolvente suele tener un peque˜ no rizado (este rizado no se muestra en la figura 2.18) a la frecuencia de la portadora. Puesto que la se˜ nal modulada es de banda estrecha, fc  W , este rizado se puede eliminar f´ acilmente mediante un filtro paso bajo, resultando la envolvente ideal dada por la ecuaci´on (2.39). Esta envolvente tiene adem´ as una componente continua que se puede eliminar f´acilmente mediante un condensador de desacople. Se puede terminar diciendo que puesto que los receptores en AM son muy sencillos a la vez que la transmisi´on de la portadora har´ a que la potencia del transmisor sea mayor, se emplear´a este tipo de modulaci´on cuando tengamos un transmisor y muchos receptores como en el caso de radiodifusi´on.

3 ´ DOBLE BANDA LATERAL MODULACION (DSB).

3.1

´ DE UNA SENAL ˜ GENERACION DSB.

La se˜ nal portadora c(t) es completamente independiente de la informaci´on de la se˜ nal m(t), por lo tanto transmitir la portadora significa un desperdicio de potencia. S´olo una parte de la potencia transmitida de una se˜ nal AM lleva informaci´ on. Para solucionar esto, se puede suprimir la componente portadora de la se˜ nal modulada, dando lugar a una modulaci´on doble banda lateral con portadora suprimida (DSB: Double SideBand). Entonces, suprimiendo la portadora se tiene una se˜ nal que ser´a proporcional al producto de la portadora por la se˜ nal banda base seg´ un la ecuaci´on (3.1).

s(t) = c(t)m(t) = Ac cos(2πfc t)m(t)

(3.1)

La se˜ nal as´ı modulada presenta un cambio de fase siempre que la se˜ nal m(t) cruce por cero. Ahora a diferencia del caso AM, para DSB la envolvente de la se˜ nal no sigue a la se˜ nal moduladora m(t) como se puede ver en la figura 3.1. La transformada de Fourier de la se˜ nal modulada viene dada por la ecuaci´on (3.2). Si el espectro de la se˜ nal moduladora es el que se observa en la figura 3.2, el espectro de la se˜ nal modulada ser´a el de la figura 3.3. En este caso el proceso de modulaci´ on simplemente traslada la se˜ nal moduladora a las frecuencias ±fc . Tendremos las dos bandas laterales sin portadora. En este caso el ancho de banda de la se˜ nal moduladora es BT = 2W y la eficiencia en potencia η = 1. s(t)

t

Figura 3.1

Se˜ nal modulada DSB para moduladora sinusoidal.

17

18

Cap´ıtulo 3 M(f)

M(0)

f −W

Figura 3.2

W

Espectro de la se˜ nal moduladora.

S(f)

Ac M(0) 2

2W

−fc

fc

Figura 3.3

S(f ) =

3.2

2W

f

Espectro de la se˜ nal modulada DSB.

1 Ac [M (f − fc ) + M (f + fc )] 2

(3.2)

MODULADORES DE DSB.

Un modulador de DSB consiste en un dispositivo que realice el producto entre la se˜ nal portadora y la se˜ nal banda base. Un dispositivo con estas caracter´ısticas se denomina modulador producto. Se van a describir dos tipos de modulador: modulador balanceado y modulador en estrella.

3.2.1

Modulador Balanceado.

Una posible forma de generar una se˜ nal DSB es utilizar dos moduladores de AM colocados en configuraci´on balanceada para eliminar la portadora seg´ un se puede ver en la figura 3.4. Vamos a suponer que los dos moduladores AM son id´enticos, excepto que la se˜ nal moduladora en uno de ellos tiene el signo cambiado. La salida de cada modulador AM viene dada por la ecuaci´on (3.3).

s1 (t)

= Ac [1 + ka m(t)] cos(2πfc t)

s2 (t)

= Ac [1 − ka m(t)] cos(2πfc t)

(3.3)

Modulaci´ on Doble Banda Lateral (DSB).

19 s1(t)

Modulador AM

m(t)

+ A ccos(2π f ct)

Figura 3.4

_

Oscilador

s2(t)

Modulador AM

− m(t)

s(t)

Esquema de un modulador balanceado.

a

b

Señal

Señal

Moduladora

Modulada

m(t)

s(t)

c

d

c(t) Señal Portadora Figura 3.5

Esquema de un modulador en estrella.

Restando las salidas de los moduladores AM se tiene finalmente la ecuaci´on (3.4), que si no tenemos en cuenta el factor 2ka , corresponde al producto de la se˜ nal moduladora con la portadora.

s(t) = s1 (t) − s2 (t) = 2ka Ac m(t) cos(2πfc t)

3.2.2

(3.4)

Modulador en Estrella o Doblemente Balanceado.

Uno de los moduladores m´ as adecuados para generar una se˜ nal DSB es el modulador en estrella como el que se muestra en la figura 3.5. En dicho esquema los cuatro diodos forman una estrella en la cual todos ellos apuntan en la misma direcci´ on. Los diodos est´an controlados por una se˜ nal cuadrada c(t) a la frecuencia de la portadora fc que se aplica a trav´es de dos transformadores. Vamos a suponer que los diodos son

20

Cap´ıtulo 3

Figura 3.6

Figura 3.7

a

b

c

d

Diagrama esquem´ atico cuando la se˜ nal c(t) es positiva.

a

b

c

d

Diagrama esquem´ atico cuando la se˜ nal c(t) es negativa.

s(t)

t

Figura 3.8

Se˜ nal salida del modulador en estrella para cuando la moduladora es sinusoidal.

ideales y que los transformadores est´ an totalmente balanceados. Cuando la se˜ nal c(t) es positiva, los diodos exteriores est´ an en directa y presentan impedancia cero, mientras que los diodos internos est´an en inversa y tienen impedancia infinito como se muestra esquem´aticamente en la figura 3.6. De este modo el modulador multiplica a la se˜ nal m(t) por la unidad. Cuando la se˜ nal c(t) es negativa, la situaci´on es justamente la inversa como se muestra en la figura 3.7. En este caso el modulador multiplica a la se˜ nal m(t) por −1. Por tanto, el modulador en estrella, de forma ideal, es un modulador producto que multiplica la se˜ nal c(t) por m(t). La se˜ nal c(t) se puede descomponer en serie de Fourier seg´ un la ecuaci´on (3.5), entonces la se˜ nal salida del modulador en estrella viene dada por la ecuaci´on (3.6). Esta se˜ nal se puede ver en el dominio del tiempo para cuando la moduladora es sinusoidal en la figura 3.8.

c(t) =

∞ 4 X (−1)n−1 cos[2πfc t(2n − 1)] π n=1 2n − 1

(3.5)

Modulaci´ on Doble Banda Lateral (DSB).

21 S(f) 2W

2W 2W

2W

f −3f c

−f c

Figura 3.9

fc

3f c

Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador en estrella.

∞ 4 X (−1)n−1 cos[2πfc t(2n − 1)]m(t) s(t) = c(t)m(t) = π n=1 2n − 1

(3.6)

Como puede deducirse de la ecuaci´ on (3.6) o de la figura 3.8 no tenemos componente portadora a la salida. Es decir, la salida del modulador en estrella consiste u ´nicamente en productos de intermodulaci´on. El modulador en estrella se suele llamar tambi´en doblemente balanceado debido a que est´a balanceado con respecto a la se˜ nal portadora as´ı como con respecto a la se˜ nal moduladora (en la salida se han eliminado tanto la se˜ nal moduladora como la se˜ nal portadora, ambas presentes a la entrada del modulador). Si la se˜ nal moduladora m(t) est´ a limitada a la banda de frecuencias |f | ≤ W en la figura 3.9 podemos ver el espectro de la se˜ nal a la salida del modulador en estrella. Este espectro consiste en bandas laterales en los arm´onicos impares de la frecuencia de la portadora fc . La se˜ nal deseada corresponde a primeras bandas laterales a las frecuencias ±fc que se puede extraer f´acilmente mediante un filtro paso banda con frecuencia central la de la portadora fc y de ancho de banda 2W , siempre que se cumpla que fc > W .

3.3 3.3.1

´ COHERENTE DE DSB. DETECCION Caracter´ısticas Generales.

La se˜ nal banda base m(t) se puede recuperar de forma u ´nica de una se˜ nal DSB s(t) multiplicando dicha se˜ nal por una se˜ nal sinusoidal generada de forma local y despu´es filtrando el resultado como puede verse en la figura 3.10, donde se supone que el oscilador local est´a completamente sincronizado o es coherente tanto en frecuencia como en fase con la se˜ nal portadora c(t). Este m´etodo de detecci´on se denomina coherente o s´ıncrono. Es u ´til derivar la detecci´ on coherente como un caso particular de un proceso de demodulaci´on m´as general que utiliza una se˜ nal de un oscilador de la misma frecuencia pero de una fase diferente arbitraria φ, medida con respecto a la portadora c(t). Por lo tanto, denotando la se˜ nal del oscilador local como A0c cos(2πfc t +φ), la salida del modulador producto de la figura 3.10 viene dada seg´ un el desarrollo de la ecuaci´on (3.7).

v(t)

= A0c cos(2πfc t + φ)s(t) = Ac A0c cos(2πfc t) cos(2πfc t + φ)m(t) =

1 1 Ac A0c cos(4πfc t + φ)m(t) + Ac A0c cos(φ)m(t) 2 2

(3.7)

22

Cap´ıtulo 3

Señal DSB

Modulador

s(t)

Producto

v(t)

Filtro

v0 (t)

Paso Bajo

A´c cos(2πfct+ φ) Figura 3.10

Esquema de un detector coherente.

V(f) A c A´c M(0)cos(φ) 2

2W

−2fc

Figura 3.11

A c A´c M(0) 4

−W

W

2W

2f c

f

Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto.

En la ecuaci´ on (3.7) el primer t´ermino representa una se˜ nal DSB con una frecuencia portadora 2fc , mientras que el segundo t´ermino es proporcional a m(t). En la figura 3.11 puede verse gr´aficamente el espectro de esta se˜ nal para el caso en el que la se˜ nal moduladora m(t) est´a limitada a la banda de frecuencias |f | < W . A partir del espectro de la figura 3.11 se deduce que se puede extraer una se˜ nal proporcional a la se˜ nal moduladora mediante un filtro paso bajo de ancho de banda W . La se˜ nal a la salida de dicho filtro viene dada por la ecuaci´ on (3.8).

v0 (t) =

1 Ac A0c cos(φ)m(t) 2

(3.8)

De esta forma la se˜ nal v0 (t) es proporcional a m(t) cuando el error de fase sea constante. La amplitud de la se˜ nal demodulada ser´ a m´ axima para φ = 0 y m´ınima para φ = ± π2 . Para φ = ± π2 la se˜ nal a la salida es nula. Esto se conoce como efecto nulo en cuadratura del detector coherente. La se˜ nal a la salida va a venir atenuada por un factor cos(φ). Mientras el error de fase sea constante, la salida del detector da lugar a una versi´on no distorsionada de la se˜ nal moduladora original. En la pr´actica, el error de fase var´ıa de forma aleatoria debido a variaciones aleatorias del canal de comunicaciones. El resultado es que a la salida del detector el factor cos(φ) var´ıa tambi´en de forma aleatoria con el tiempo. Por todo ello, el detector debe proveer un mecanismo para que el oscilador local est´e en perfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase con la se˜ nal portadora. Esta mayor complejidad del detector es el coste asociado por no transmitir la portadora para ahorrar potencia transmitida.

Modulaci´ on Doble Banda Lateral (DSB).

3.3.2

23

Caso de Moduladora Sinusoidal.

Vamos a suponer que la se˜ nal moduladora m(t) sinusoidal tiene una frecuencia fm y una amplitud Am seg´ un la ecuaci´ on (3.9). Entonces la se˜ nal modulada viene dada por el desarrollo de la ecuaci´on (3.10).

m(t) = Am cos(2πfm t)

s(t)

(3.9)

= Ac Am cos(2πfc t) cos(2πfm t) =

1 1 Ac Am cos[2π(fc + fm )t] + Ac Am cos[2π(fc − fm )t] 2 2

(3.10)

La transformada de Fourier de la se˜ nal modulada dada por la ecuaci´on (3.10) viene dada por la ecuaci´on (3.11) que corresponde a deltas a las frecuencias −f c ± fm y fc ± fm , es decir, las dos bandas laterales sin componente portadora.

S(f ) =

1 Ac Am [δ(f − fc − fm ) + δ(f + fc + fm ) + δ(f − fc + fm ) + δ(f + fc − fm )] 4

(3.11)

Si usamos un detector coherente con la portadora perfectamente sincronizada en frecuencia y fase se puede llegar al desarrollo de la ecuaci´ on (3.12) para la se˜ nal a la salida del modulador producto del detector coherente.

v(t)

A0c

 cos(2πfc t)

 1 1 Ac Am cos[2π(fc + fm )t] + Ac Am cos[2π(fc − fm )t] 2 2

=

=

=

1 0 A Ac Am {cos[2π(2fc − fm )t] + cos[2π(2fc + fm )t] + cos(2πfm t) + cos(2πfm t)} (3.12) 4 c

Los t´erminos a las frecuencias 2fc ± fm son eliminados mediante el filtro paso bajo. Como puede verse los otros dos t´erminos corresponden a la se˜ nal buscada. Uno procede de la banda lateral superior y el otro de la banda lateral inferior. Por lo tanto, se puede concluir que s´olo es necesaria una de las bandas laterales para recuperar la informaci´on transmitida, usando un detector coherente y siempre que la portadora est´e en perfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase.

3.3.3

Bucle de Costas.

Un m´etodo para obtener un sistema receptor s´ıncrono adecuado para demodular DSB se denomina bucle de costas. Un esquema de dicho receptor se puede ver en la figura 3.12. El sistema est´a formado por dos detectores coherentes que tienen como entrada la se˜ nal modulada s(t) = Ac cos(2πfc t)m(t), pero cuyas portadoras procedentes de un oscilador local est´an en cuadratura. La frecuencia de dicho oscilador est´a ajustada para que sea la misma que la de la frecuencia portadora fc . La fase en un principio no est´a sincronizada, presentando un desfase φ. El sistema superior se denomina detector coherente en fase o canal I y el sistema inferior detector coherente en cuadratura o canal Q. Estos dos detectores se han acoplado para mantener el sistema realimentado de forma que el oscilador local logre el sincronismo en fase con la se˜ nal portadora de la se˜ nal modulada. Vamos a suponer que el desfase del oscilador local sea φ = 0. En este caso, seg´ un las se˜ nales presentes en la figura 3.12 la salida del canal I es proporcional a la se˜ nal moduladora m(t), mientras que la salida

24

Cap´ıtulo 3 Modulador Producto

A ccos(2π f c t+φ)

Señal DSB s(t)

Ac cos(φ)m(t) 2

Filtro Paso Bajo

Discriminador de Fase

VCO

Desfasador 90 0

A c sin(2 π f c t+φ)

Ac sin(φ)m(t) 2

Modulador Producto

Filtro Paso Bajo

Figura 3.12

Esquema del bucle de costas. PLL

Señal DSB s(t)

Eleva al Cuadrado

y(t)

Filtro

Modulador

Filtro

H(f)

Producto

Paso Bajo

e(t)

VCO

Divisor Frecuencia por 2

Señal a f c

Figura 3.13

Esquema del bucle cuadr´ atico.

del canal Q es cero, debido al efecto nulo en cuadratura en este caso. Si ahora el oscilador cambia su fase φ radianes, siendo φ un valor peque˜ no, la salida del canal I se mantiene pr´acticamente constante puesto que cos(φ) ≈ 1, siempre que φ sea peque˜ no. Sin embargo, en el canal Q aparece una se˜ nal distinta de cero puesto que sin(φ) ≈ φ, siempre que φ sea peque˜ no. Adem´as el canal Q tiene igual polaridad que el I cuando φ > 0 y polaridad inversa cuando φ < 0. Combinando ambos canales mediante un discriminador de fase que es un multiplicador seguido de un filtro paso bajo, aparece a la salida una componente continua que permite corregir el error de fase del oscilador local. Si la se˜ nal moduladora fuese cero durante cierto periodo de tiempo el control de la fase se pierde temporalmente. En cuanto la se˜ nal moduladora comience a ser de nuevo distinta de cero el enganche de fase vuelve a establecerse. Este problema no es demasiado importante en el caso de se˜ nales de voz, puesto que el proceso de enganche de fase es suficientemente r´apido como para que no se aprecie distorsi´on en la se˜ nal del canal I.

Modulaci´ on Doble Banda Lateral (DSB).

25 |H(f)|

∆f

∆f

1

−2fc

Figura 3.14

3.3.4

2f c

f

Respuesta en frecuencia del filtro empleado en el bucle cuadr´ atico.

Bucle de Cuadr´ atico.

Otra forma de generar una se˜ nal portadora de referencia en el receptor a partir de una se˜ nal DSB es utilizar un bucle cuadr´ atico como el que se muestra esquem´aticamente en la figura 3.13. A la entrada existe un dispositivo con ley cuadr´ atica dada por y(t) = s2 (t) por lo que si a la entrada tenemos la se˜ nal modulada s(t) = Ac cos(2πfc t)m(t) a la salida de dicho dispositivo tendr´e para la se˜ nal y(t) la expresi´on de la ecuaci´on (3.13).

y(t) = A2c cos(2πfc t)m2 (t) =

A2c 2 m (t)[1 + cos(4πfc t)] 2

(3.13)

Ahora esta se˜ nal y(t) se aplica a la entrada de un filtro paso banda muy estrecho y de frecuencia central 2fc como el que se muestra en la figura 3.14. El ancho de banda de dicho filtro ∆f es muy peque˜ no. Entonces a se˜ nal a la salida de dicho filtro es aproximadamente sinusoidal seg´ un la ecuaci´on (3.14), donde E es la energ´ıa de la se˜ nal moduladora m(t).

v(t) ≈

A2c E∆f cos(4πfc t) 2

(3.14)

El resultado es una se˜ nal sinusoidal a dos veces la frecuencia de la portadora que sirve de entrada a un ´ bucle enganchado en fase (PLL: Phase Locked Loop). Este consiste en un multiplicador, un filtro paso bajo y un oscilador controlado por tensi´ on (VCO: Voltage Control Oscillator) conectado en configuraci´on realimentada. A la salida del multiplicador tendremos dos t´erminos uno que depende de la diferencia de frecuencias y fases de las se˜ nales de entrada al multiplicador y otro que depende de su suma. El t´ermino que depende de la suma de frecuencias y fases se elimina mediante el filtro paso bajo. La se˜ nal error e(t), que depende de la diferencia de frecuencias y fases de las se˜ nales a la entrada del multiplicador, se aplica a la entrada del VCO haciendo que la frecuencia del VCO a la salida coincida con la de la se˜ nal v(t) a la entrada del PLL y que la fase est´e en cuadratura con respecto a la de la se˜ nal v(t) a la entrada del PLL de forma que la se˜ nal error e(t) se anule. Adem´as el VCO puede seguir los posibles cambios en frecuencia y fase de la se˜ nal de entrada v(t) del PLL, debidos posiblemente a variaciones aleatorias del canal. Finalmente, la se˜ nal a la salida del PLL, que es tambi´en la se˜ nal a la salida del VCO, se divide su frecuencia por dos para dar lugar a la se˜ nal portadora deseada (estar´a en cuadratura, por lo que ser´a necesario desfasarla 900 ) adecuada para poderla utilizar en un detector coherente de DSB. Debido al divisor de frecuencia, tenemos una ambig¨ uedad de fase de π. Esto es debido a que un cambio de fase de 2π a la entrada del divisor de frecuencia produce un cambio de fase de π a la salida. La salida puede ser por tanto cos(2πfc t) o bien − cos(2πfc t). Si se utiliza la fase incorrecta se invierte la polaridad de la se˜ nal de salida, pero en el caso de se˜ nales de voz esto no da lugar a distorsi´on.

26

Cap´ıtulo 3

Ya que en la modulaci´ on DSB no se transmite la portadora, esto va a dar lugar a que el transmisor sea mucho m´as barato que el caso de AM. Sin embargo el precio que es necesario pagar el la mayor complejidad y por tanto coste el receptor. Se emplear´ a modulaci´on DSB cuando tengamos un transmisor y un receptor, por ejemplo, en enlaces punto a punto.

4 ´ DE AMPLITUD EN MODULACION CUADRATURA (QAM).

La modulaci´ on o multiplexaci´ on de amplitud en cuadratura permite que dos se˜ nales moduladas DSB de dos fuentes independientes, pero con caracter´ısticas de ancho de banda similares, ocupen el mismo ancho de banda de transmisi´ on y se puedan separar en el extremo receptor. Es, por tanto, un esquema que ahorra ancho de banda. En la figura 4.1 podemos ver un esquema del transmisor. Como se puede ver, se utilizan dos moduladores producto por separado, uno para cada se˜ nal, cuyas portadoras est´an desfasadas 900 . En este caso se dispone de dos se˜ nales moduladoras m1 (t) y m2 (t) independientes, pero con el mismo ancho de banda W . Estas se˜ nales son las que se van a transmitir de forma conjunta por un ancho de banda com´ un BT = 2W centrado en fc . La expresi´on de la se˜ nal transmitida o modulada viene dada por la ecuaci´on (4.1).

s(t) = Ac m1 (t) cos(2πfc t) + Ac m2 (t) sin(2πfc t)

(4.1)

Puesto que la se˜ nal modulada s(t) es una se˜ nal paso banda, comparando la ecuaci´on (4.1) con la forma can´onica de una se˜ nal paso banda se tiene que la componente en fase de la se˜ nal s(t) viene dada por la ecuaci´on (4.2) y la componente en cuadratura por la ecuaci´on (4.3).

m1(t)

Señal QAM

+

Modulador Producto

+

A ccos(2π f ct)

Oscilador

Desfasador 900

A c sin(2 π f ct)

m 2(t)

Modulador Producto

Figura 4.1

Esquema de un modulador QAM.

27

s(t)

28

Cap´ıtulo 4 Filtro Paso Bajo

Modulador Producto

A´ccos(2π f ct)

Señal QAM s(t)

A c A´c m1 (t) 2

Oscilador

Desfasador 900

A´c sin(2 π f ct)

Modulador Producto

Figura 4.2

Filtro Paso Bajo

A c A´c m2 (t) 2

Esquema de un demodulador QAM.

sc (t) = Ac m1 (t)

(4.2)

ss (t) = −Ac m2 (t)

(4.3)

En la figura 4.2 se puede ver el esquema del receptor de QAM. La se˜ nal modulada s(t) se aplica a dos moduladores producto cuyas portadoras est´an desfasadas 900 . A la salida de dichos moduladores producto hay componentes a 2fc que se pueden eliminar f´acilmente con un filtro paso bajo, obteni´endose finalmente a la salida la se˜ nal dada por la ecuaci´ on (4.4) para el canal en fase I y la dada por la ecuaci´on (4.5) para el canal en cuadratura Q.

vc (t)

=

vs (t)

=

1 Ac A0c m1 (t) 2 1 Ac A0c m2 (t) 2

(4.4) (4.5)

Para que el sistema funcione correctamente es importante mantener la frecuencia y fase de la portadora generada localmente en el receptor en perfecto sincronismo con la portadora de la se˜ nal modulada recibida. La t´ecnica QAM se utiliza para difusi´ on de TV en color. Las dos se˜ nales moduladoras corresponden a las se˜ nales de luminancia y crominancia, respectivamente. Adem´as se env´ıan ciertos pulsos de sincronismo junto con la se˜ nal QAM para mantener la portadora generada localmente en el receptor en perfecto sincronismo tanto en frecuencia como en fase.

5 ´ BANDA LATERAL UNICA ´ MODULACION (SSB).

5.1

´ DE UNA SENAL ˜ GENERACION SSB.

Las modulaciones AM y DSB desperdician ancho de banda debido a que requieren el doble ancho de banda que el ancho de banda de la se˜ nal moduladora paso bajo a transmitir. Adem´as la mitad del ancho de banda ocupado por la se˜ nal modulada se utiliza para transmitir la banda lateral inferior y la otra mitad para la banda lateral superior. Sin embargo estas bandas laterales est´an relacionadas de forma u ´nica debido a su simetr´ıa con respecto a la frecuencia de la portadora. Es decir, conocidos el m´odulo y fase de una de las bandas laterales se puede determinar la otra de forma u ´nica. En definitiva, cada banda lateral lleva la misma informaci´ on referente a la se˜ nal moduladora original, por lo que s´olo es necesario transmitir una de las dos bandas laterales. Si se transmite una u ´nica banda lateral sin portadora no se est´a perdiendo informaci´on referente a la se˜ nal moduladora. En este caso ser´ıa necesario el mismo ancho de banda de transmisi´on que el ocupado por la se˜ nal moduladora original, no el doble como en AM o DSB. Este tipo de modulaci´on se denomina banda lateral u ´nica (SSB: Single SideBand). La descripci´ on precisa en el dominio de la frecuencia depende de cu´al de las dos bandas laterales se elija para su transmisi´ on. Sea M (f ) la transformada de Fourier de la se˜ nal moduladora m(t), con un ancho de banda W como puede verse en la figura 5.1. Para llegar a la se˜ nal SSB se parte de una se˜ nal DSB s(t) obtenida multiplicando la se˜ nal moduladora m(t) por la portadora c(t) = Ac cos(2πfc t). El espectro S(f ) de esta se˜ nal DSB puede verse en la figura 5.2. En el caso de que la se˜ nal SSB emplee la banda lateral superior el espectro de la se˜ nal modulada SSB ser´a en este caso el que se puede ver gr´ aficamente en la figura 5.3. Si en lugar de la banda lateral superior se emplea la inferior resulta el espectro de la figura 5.4 para la se˜ nal modulada SSB. La funci´on esencial de un modulador SSB es trasladar el espectro de la se˜ nal moduladora, con o sin inversi´on, a una nueva posici´on en el dominio de la frecuencia. Ahora en ancho de banda de transmisi´on BT = W es la mitad que en caso AM o DSB. La eficiencia en potencia en este caso es igual que en DSB

M(f)

M(0)

f −W

Figura 5.1

W

Espectro de una se˜ nal moduladora limitada en banda.

29

30

Cap´ıtulo 5 S(f)

Ac M(0) 2

2W

2W

−fc

f

fc

Figura 5.2

Espectro de la se˜ nal DSB.

S(f)

Ac M(0) 2

−fc−W −fc

Figura 5.3

fc

f c+W

f

Espectro de la se˜ nal SSB empleando la banda lateral superior.

S(f)

Ac M(0) 2

−fc −fc+W

Figura 5.4

f c−W f c

f

Espectro de la se˜ nal SSB empleando la banda lateral inferior.

que era η = 1. La ventaja de la modulaci´on SSB es el ahorro de potencia transmitida y ancho de banda. El coste a pagar es la mayor complejidad del transmisor y del receptor. Para describir una se˜ nal SSB en el dominio del tiempo usaremos la representaci´on equivalente paso bajo para una se˜ nal paso banda. De acuerdo con esta representaci´on, podemos expresar la se˜ nal SSB s(t) en el dominio del tiempo empleando la forma can´onica seg´ un la ecuaci´on (5.1), donde sc (t) es la componente en fase de la se˜ nal SSB y ss (t) es la componente en cuadratura. La componente en fase sc (t), excepto por un factor de escala, puede deducirse directamente de s(t) multiplicando por cos(2πfc t) y filtrando paso bajo. De forma similar, la componente en cuadratura ss (t) se puede obtener multiplicando s(t) por sin(2πfc t) y filtrando paso bajo.

´ Modulaci´ on Banda Lateral Unica (SSB).

31

S(f−fc )

Ac M(0) 2

2f c 2f c+W

−W

Figura 5.5

f

Espectro de la se˜ nal modulada desplazado hacia la derecha.

S(f+fc )

Ac M(0) 2

−2fc −W −2f c

W

Figura 5.6

f

Espectro de la se˜ nal modulada desplazado hacia la izquierda.

s(t) = sc (t) cos(2πfc t) − ss (t) sin(2πfc t)

(5.1)

En el dominio de la frecuencia la relaci´on entre la transformada de Fourier de la componente en fase, Sc (f ) y la transformada de Fourier de la se˜ nal modulada, S(f ), viene dada por la ecuaci´on (5.2). En el caso de la transformada de Fourier de la componente en cuadratura, Ss (f ), se tiene la ecuaci´on (5.3). En ambos casos W es el ancho de banda de la se˜ nal moduladora m(t).

Sc (f ) =

  S(f − fc ) + S(f + fc ) |f | < W 

Ss (f ) =

0

  j[S(f − fc ) − S(f + fc )] |f | < W 

0

(5.2)

en otro caso

(5.3)

en otro caso

Si consideramos el caso en el que s´ olo se transmite la banda lateral superior el espectro S(f ) de la se˜ nal modulada se puede ver gr´ aficamente en la figura 5.3. Esta se˜ nal desplazada fc hacia la derecha, es decir, S(f − fc ), se puede ver en la figura 5.5 y hacia la izquierda, S(f + fc ), en la figura 5.6. Aplicando ahora las ecuaciones (5.2) y (5.3) se pueden obtener los f´acilmente los espectros de la componente en fase, Sc (f ) y de la componente en cuadratura, Ss (f ), dando como resultado el de la figura 5.7 y 5.8, respectivamente.

32

Cap´ıtulo 5 S c(f) Ac M(0) 2

f −W

Figura 5.7

W

Espectro de la componente en fase de la se˜ nal modulada.

S s (f) j Ac M(0) 2

W

−W

−

Figura 5.8

f

j Ac M(0) 2

Espectro de la componente en cuadratura de la se˜ nal modulada.

En el caso de la componente en fase y ayud´andonos de la figura 5.7 se puede ver que esta componente viene dada simplemente por la ecuaci´ on (5.4) o haciendo la transformada inversa por la ecuaci´on (5.5).

Sc (f ) =

1 Ac M (f ) 2

(5.4)

sc (t) =

1 Ac m(t) 2

(5.5)

En el caso de la componente en cuadratura y observando en este caso la figura 5.8 se puede poner para ella la ecuaci´ on (5.6), donde sgn(f ) vale 1 para frecuencias positivas, 0 en el origen y -1 para frecuencias negativas. Sin embargo, se sabe que la transformada de Fourier de la transformada de Hilbert de la se˜ nal ˆ (f ) se puede poner seg´ moduladora, M un la ecuaci´on (5.7). Finalmente, se tiene para la componente en cuadratura la ecuaci´ on (5.8) en el dominio de la frecuencia, o equivalentemente la ecuaci´on (5.9) en el dominio del tiempo, donde m(t) ˆ es la transformada de Hilbert de la se˜ nal moduladora m(t)

´ Modulaci´ on Banda Lateral Unica (SSB).

33

 j − 2 Ac M (f ) f > 0      0 f =0 Ss (f ) =      j f <0 2 Ac M (f ) j = − Ac sgn(f )M (f ) 2

(5.6)

ˆ (f ) = −jsgn(f )M (f ) M

(5.7)

Ss (f ) =

1 ˆ (f ) Ac M 2

(5.8)

ss (t) =

1 Ac m(t) ˆ 2

(5.9)

Juntando las ecuaciones (5.1), (5.5) y (5.9) se tiene finalmente la ecuaci´on (5.10) para la forma can´ onica de la se˜ nal SSB cuando se emplea la banda lateral superior.

s(t) =

1 1 Ac m(t) cos(2πfc t) − Ac m(t) ˆ sin(2πfc t) 2 2

(5.10)

Siguiendo un procedimiento similar al anterior partiendo en este caso de una se˜ nal SSB que emplee banda lateral inferior como la de la figura 5.4 y usando las ecuaciones (5.2) y (5.3), que por otro lado son completamente generales, se puede llegar f´acilmente a la forma can´onica dada por la ecuaci´on (5.11). Como puede apreciarse la componente en fase sc (t) es la misma que en el caso de banda lateral superior y la componente en cuadratura est´ a cambiada de signo.

s(t) =

5.2

1 1 Ac m(t) cos(2πfc t) + Ac m(t) ˆ sin(2πfc t) 2 2

(5.11)

´ DE UN TONO SIMPLE. MODULACION

Consideremos una se˜ nal moduladora m(t) sinusoidal de amplitud Am y frecuencia fm , es decir, vendr´ıa dada por la ecuaci´ on (5.12). La transformada de Hilbert de dicha se˜ nal, m(t) ˆ vendr´ıa dada por la ecuaci´on (5.13).

m(t) = Am cos(2πfm t)

(5.12)

m(t) ˆ = Am sin(2πfm t)

(5.13)

34

Cap´ıtulo 5

Si la modulaci´ on SSB utiliza la banda lateral superior, sustituyendo m(t) y m(t) ˆ en la ecuaci´on (5.10) se tiene el desarrollo de la ecuaci´ on (5.14), que corresponde a las componentes frecuenciales fc + fm y −fc − fm , es decir, la banda lateral superior.

s(t)

= =

1 Ac Am [cos(2πfc t) cos(2πfm t) − sin(2πfc t) sin(2πfm t) 2 1 Ac Am cos[2π(fc + fm )t] 2

(5.14)

Si ahora la modulaci´ on SSB utiliza la banda lateral inferior, sustituyendo m(t) y m(t) ˆ en la ecuaci´on (5.11) se tiene el desarrollo de la ecuaci´ on (5.15), que corresponde a las componentes frecuenciales fc − fm y −fc + fm , es decir, la banda lateral inferior.

s(t)

= =

5.3

1 Ac Am [cos(2πfc t) cos(2πfm t) + sin(2πfc t) sin(2πfm t) 2 1 Ac Am cos[2π(fc − fm )t] 2

(5.15)

ESQUEMAS MODULADORES DE SSB.

Vamos a describir dos m´etodos utilizados de forma general para generar se˜ nales SSB: discriminador en frecuencia y discriminador en fase. El primero de estos m´etodos se basa en el dominio de la frecuencia, mientras que el segundo de ellos en el dominio del tiempo, respectivamente.

5.3.1

M´ etodo Discriminador en Frecuencia.

Este m´etodo se puede utilizar para generar una se˜ nal SSB cuando la se˜ nal banda base est´a restringida en frecuencia a una banda W1 < |f | < W2 , o lo que es lo mismo, la se˜ nal banda base no tiene componentes por debajo de una cierta frecuencia W1 . Bajo estas condiciones la banda lateral deseada aparecer´a separada de la banda lateral no deseada y se podr´ a obtener la se˜ nal SSB mediante filtrado. Un modulador de SSB basado en el dominio de la frecuencia estar´ a formado por un modulador producto (por ejemplo un modulador en estrella) que genere una se˜ nal DSB, seguido de un filtro paso banda que deje pasar la banda deseada y elimine la otra. En la figura 5.9 se puede ver el esquema de este tipo de modulador. El requisito m´ as severo de este m´etodo proviene de la banda lateral no deseada: la componente en frecuencia m´as cercana de la banda no deseada a la deseada est´a separada dos veces la menor componente de la se˜ nal moduladora, es decir 2W1 . El filtro debe cumplir dos requisitos:

La banda de paso del filtro ocupa la misma banda de frecuencias que la banda lateral deseada. El ancho de la banda de transici´ on del filtro, que separa la banda de paso de la banda de corte del filtro, debe ser como mucho dos veces la menor componente frecuencial de la se˜ nal moduladora, 2W1 .

En general, ya que la frecuencia portadora fc es muy grande comparada con 2W1 , es muy dif´ıcil dise˜ nar un filtro que deje pasar la banda deseada y rechace la no deseada. En este caso es necesario utilizar el esquema mostrado en la figura 5.10. Como se puede ver, se requieren dos etapas de modulaci´on. La salida

´ Modulaci´ on Banda Lateral Unica (SSB).

m(t)

35

Señal SSB

Modulador

Filtro

Producto

Paso Banda

s(t)

Ac cos(2πfc t) Figura 5.9

m(t)

Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´ on en frecuencia.

v1(t)

Modulador

Filtro Paso Banda

Producto

s1(t)

Modulador

v2(t)

Producto

Filtro

s2(t)

Paso Banda

Ac cos(2πfc t)

Ac cos(2πfc t)

2

1

Figura 5.10 Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´ on en frecuencia con dos etapas de modulaci´ on y filtrado.

del primer filtro se utiliza como se˜ nal moduladora del segundo modulador, dando lugar a otra se˜ nal DSB cuyo espectro ser´a sim´etrico con respecto a fc2 . Ahora la separaci´on entre la banda lateral superior y la inferior es 2fc1 , permitiendo que la banda no deseada se pueda eliminar de forma sencilla mediante filtrado.

5.3.2

M´ etodo Discriminador en Fase.

En la figura 5.11 se puede ver esquem´ aticamente el modulador SSB usando discriminaci´on en fase. Se requieren dos procesos de modulaci´ on simult´aneos separados y despu´es combinar adecuadamente sus salidas. El esquema de la figura 5.11 sigue directamente la ecuaci´on (5.16), que es la forma can´onica de la se˜ nal SSB en el dominio del tiempo.

s(t) =

1 1 Ac m(t) cos(2πfc t) ± Ac m(t) ˆ sin(2πfc t) 2 2

(5.16)

Los moduladores producto A y B utilizan se˜ nales portadoras en cuadratura. La se˜ nal moduladora m(t) se aplica al modulador producto A, dando lugar a una se˜ nal DSB que contiene las dos bandas laterales colocadas de forma sim´etrica con respecto a fc con referencia de fase. La transformada de Hilbert de la se˜ nal moduladora, m(t), ˆ se aplica al modulador producto B, dando lugar a una segunda se˜ nal DSB que contiene las mismas bandas laterales con la misma amplitud que en el canal en fase, pero con una fase tal que si se suman las dos se˜ nales DSB se cancela una de las bandas laterales y se refuerza la otra. En el caso de que se sumen, tendr´ıamos una se˜ nal SSB con banda lateral inferior. Si se restan, la se˜ nal SSB ser´ıa con banda lateral superior. Este tipo de modulador se denomina modulador Hartley. Para generar la se˜ nal m(t) ˆ en cuadratura con respecto a la se˜ nal moduladora original m(t) se necesita una red que desfase 900 cada componente frecuencial de m(t), pero que deje su amplitud sin modificar. En la pr´actica, es dif´ıcil dise˜ nar una red de este tipo para un margen de frecuencias de m(t) suficientemente

36

Cap´ıtulo 5 m(t)

Señal SSB

+

Modulador Producto A

+ _

A ccos(2π f ct)

s(t)

Oscilador

Desfasador Desfasador 900

900 Banda Ancha

A c sin(2 π f ct)

m(t)

Figura 5.11

Red α

Modulador Producto B

Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´ on en fase.

Señal SSB

+

Modulador Producto A

+ _

A ccos(2π f c t)

s(t)

Oscilador

m(t) Desfasador 900

A c sin(2 π f c t)

Red β

Modulador Producto B

Figura 5.12 Esquema de un modulador de SSB usando discriminaci´ on en fase empleando dos redes desfasadoras de banda ancha.

amplio como para que sea u ´til en aplicaciones reales. Sin embargo, si se incluye una red desfasadora en ambos canales, se puede mantener un desfase constante de 900 entre ambos canales para cualquier rango de frecuencias con una cierta tolerancia. En este caso el dise˜ no de la figura 5.11 pasar´ıa a ser el de la figura 5.12. Las redes desfasadoras desfasan α y β, respectivamente. Los desfases α y β est´an relacionados mediante la ecuaci´ on (5.17).

β−α=

π 2

(5.17)

Debido a que este tipo de dise˜ no no requiere ninguna etapa de filtrado que requiera una zona de transici´on muy estrecha, como en el caso del m´etodo discriminador en frecuencia, es posible general la se˜ nal SSB con

´ Modulaci´ on Banda Lateral Unica (SSB).

Señal SSB

Modulador

s(t)

Producto

37

v(t)

Filtro

v0 (t)

Paso Bajo

A´c cos(2πfc t) Figura 5.13

Esquema de un detector coherente para demodular SSB.

un u ´nico cambio de frecuencia, independientemente de lo grande que sea la frecuencia fc final. Sin embargo, el grado en el que se suprime la banda lateral no deseada va a depender de varios factores:

La precisi´ on de los moduladores balanceados. La precisi´ on en la cuadratura de las se˜ nales portadoras. La precisi´ on de las redes desfasadoras α y β.

Es f´acil conseguir una supresi´ on de 20 dB, razonable conseguir una de 30 dB y bastante dif´ıcil lograr m´as all´a de 40 dB utilizando este m´etodo.

5.4

´ DE SSB. DEMODULACION

Para recuperar la se˜ nal banda base m(t) a partir de la se˜ nal modulada SSB s(t) se necesita desplazar el espectro ±fc para llevar la banda lateral transmitida de nuevo al dominio banda base. Esto se puede lograr utilizando un detector coherente como el de la figura 5.13 que consiste en un modulador producto alimentado por se˜ nal sinusoidal generada de forma local sincronizada en frecuencia y fase con la portadora seguido de un filtro paso bajo. Si se transmiti´ o una se˜ nal SSB que empleando la banda lateral superior seg´ un la ecuaci´on (5.18), la salida del modulador producto vendr´ a dada por la ecuaci´on (5.19).

s(t) =

v(t)

= =

1 1 Ac m(t) cos(2πfc t) − Ac m(t) ˆ sin(2πfc t) 2 2

1 Ac A0c cos(2πfc t)[m(t) cos(2πfc t) − m(t) ˆ sin(2πfc t)] 2 1 1 Ac A0c m(t) + Ac A0c [m(t) cos(4πfc t) − m(t) ˆ sin(4πfc t)] 4 4

(5.18)

(5.19)

En la figura 5.14 se puede ver el espectro de la se˜ nal dada por la ecuaci´on (5.19). Los t´erminos no deseados, a frecuencia 2fc , se pueden eliminar f´acilmente mediante un filtro paso bajo, dando lugar a la se˜ nal banda base deseada.

38

Cap´ıtulo 5

V(f) A c A´c M(0) 4

−2fc−W −2fc

Figura 5.14

−W

W

2f c

2f c+W

f

Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto del detector coherente.

M(f)

M(f a)

−fb Figura 5.15

−fa

fa

fb

f

Espectro de la se˜ nal moduladora original.

Para que este m´etodo sea realizable, debe haber en el receptor una se˜ nal sinusoidal a la frecuencia adecuada fc y con la fase correcta, para poder demodular correctamente la se˜ nal SSB. Esto se puede lograr transmitiendo una se˜ nal piloto a la frecuencia de la portadora junto con la se˜ nal SSB o utilizando un oscilador local muy estable. Cualquier error en la frecuencia o fase del oscilador local del receptor con respecto a la se˜ nal portadora original, dar´a lugar a una distorsi´on en la se˜ nal demodulada. Para evaluar esta distorsi´ on vamos a suponer que la se˜ nal generada localmente en el receptor viene dada por la ecuaci´on (5.20). En este caso se puede comprobar f´acilmente que la salida del detector coherente viene dada por la ecuaci´on (5.21), que corresponde a una se˜ nal SSB con frecuencia portadora ∆f . A0c cos[2π(fc + ∆f )t]

v0 (t) =

1 Ac A0c [m(t) cos(2π∆f t) + m(t) ˆ sin(2π∆f t)] 4

(5.20)

(5.21)

Supongamos que el espectro de la se˜ nal moduladora original m(t) es el que puede verse gr´aficamente en le figura 5.15. La se˜ nal demodulada dada por la ecuaci´on (5.21) se puede interpretar de la siguiente forma:

Si la se˜ nal SSB s(t) es banda lateral superior y ∆f es negativo o si la se˜ nal SSB tiene banda lateral inferior y ∆f es positivo, las componentes de la se˜ nal a la salida del demodulador est´an separadas |∆f | hacia las altas frecuencias con respecto a la se˜ nal moduladora original, seg´ un se puede ver en la figura 5.16.

´ Modulaci´ on Banda Lateral Unica (SSB).

39

M(f) A cA´c M(f a) 4

−f b−|∆ f| −fa −|∆f| Figura 5.16

fa+|∆f|

f b+|∆f|

f

Espectro de la se˜ nal demodulada en el primer caso.

M(f) A cA´c M(f a) 4

−f b+|∆ f| −fa +|∆f| Figura 5.17

fa−|∆f|

f b−|∆f|

f

Espectro de la se˜ nal demodulada en el segundo caso.

Si la se˜ nal SSB s(t) es banda lateral superior y ∆f es positivo o si la se˜ nal SSB tiene banda lateral inferior y ∆f es negativo, las componentes de la se˜ nal a la salida del demodulador est´an separadas |∆f | hacia las bajas frecuencias con respecto a la se˜ nal moduladora original, seg´ un se puede ver en la figura 5.17.

Este tipo de error s´ olo se da en el caso de modulaci´on SSB. Para reducir el efecto de distorsi´on debido a un error en la frecuencia del oscilador local del receptor es necesario restringir ∆f al rango ±2 a ±5 Hz. Esto requiere osciladores muy estables y precisos en ambos extremos si la frecuencia fc es elevada. Vamos a considerar ahora el efecto de un error en la fase φ en el oscilador local con respecto a la portadora. En este caso la se˜ nal sinusoidal generada localmente en el receptor viene dada por la ecuaci´on (5.22). Se puede comprobar f´ acilmente que la salida del detector coherente viene dada por la ecuaci´on (5.23). A0c cos(2πfc t + φ)

v0 (t) =

1 Ac A0c [m(t) cos(φ) + m(t) ˆ sin(φ)] 4

(5.22)

(5.23)

Como se puede ver en la ecuaci´ on (5.23) aparece una componente no deseada m(t) ˆ sin(φ) que no se puede eliminar mediante filtrado. Vamos a ver que esta distorsi´on corresponde a una distorsi´on de fase. La transformada de Fourier de la ecuaci´ on (5.23) viene dada por la ecuaci´on (5.24). Teniendo en cuenta que se cumple la ecuaci´ on (5.25) se tiene finalmente la ecuaci´on (5.26).

40

Cap´ıtulo 5

V0 (f ) =

1 ˆ (f ) sin(φ)] Ac A0c [M (f ) cos(φ) + M 4

ˆ (f ) = −jsgn(f )M (f ) M

V0 (f ) =

(5.25)

  exp(−jφ) f > 0

1 Ac A0c M (f ) ·  4

exp(jφ)

(5.24)

(5.26)

f <0

Un error de fase φ en el oscilador local da lugar a una distorsi´on de fase donde cada componente frecuencial de la se˜ nal m(t) sufre un desfase constante a la salida del demodulador. Este desfase no suele ser un problema en el caso de se˜ nales de voz debido a que el o´ıdo suele ser relativamente insensible a la distorsi´on de fase. En el caso de se˜ nales musicales o se˜ nales de v´ıdeo, la distorsi´on de fase es un error no tolerable. La modulaci´ on SSB es la de menor potencia y ancho de banda. Se emplear´a para la transmisi´on de forma conjunta de m´ ultiples se˜ nales de voz por cable a larga distancia. En este caso se puede separar mucho el receptor del transmisor de forma que quede compensado el mayor coste tanto del transmisor como del receptor. Para evitar la atenuaci´ on de la se˜ nal debido a la gran separaci´on entre el receptor y el transmisor se emplean repetidores que consisten b´ asicamente en un amplificador de banda ancha que da ganancia de forma conjunta a todas las se˜ nales de voz transmitidas por el cable.

6 ´ BANDA LATERAL RESIDUAL MODULACION (VSB).

La modulaci´ on SSB es buena para el caso de voz en donde no tenemos componentes a baja frecuencia de forma que se puede demodular la se˜ nal de forma sencilla. Cuando la se˜ nal moduladora m(t) tiene componentes a frecuencias extremadamente bajas (como en el caso de se˜ nales de TV), la banda lateral superior e inferior se juntan a la frecuencia de la portadora. Por ello, la modulaci´on SSB no es apropiada debido a la dificultad de aislar una de las bandas laterales. Esto sugiere otro tipo de modulaci´on: la banda lateral residual (VSB: Vestige SideBand), que establece un compromiso entre SSB y DSB. En este tipo de modulaci´ on se transmite casi completamente una de las bandas laterales, mientras que la otra s´olo se transmite una parte muy peque˜ na (la banda residual). Para el caso de una se˜ nal moduladora con ancho de banda W como la de la figura 6.1, el espectro de la se˜ nal VSB usando banda residual superior se muestra en la figura 6.2. La cantidad de banda lateral no deseada transmitida (superior) compensa a la cantidad de banda lateral deseada eliminada (inferior).

M(f)

M(0)

f −W

Figura 6.1

W

Espectro de una se˜ nal moduladora limitada en banda.

S(f) fν

W

W

fν

fc

−f c

Figura 6.2

Espectro de la se˜ nal VSB con banda residual superior.

41

f

42

Cap´ıtulo 6

m(t)

Modulador

Filtro

Producto

H(f)

Señal VSB

s(t)

Ac cos(2πfc t) Figura 6.3

Esquema de un modulador VSB usando discriminaci´ on en frecuencia.

Señal VSB

Modulador

s(t)

Producto

Filtro

v(t)

v0 (t)

Paso Bajo

A´c cos(2πfc t) Figura 6.4

Esquema de un detector coherente empleado como demodulador de VSB.

El ancho de banda requerido para la transmisi´on de la se˜ nal VSB viene dado por la ecuaci´on (6.1), donde W es el ancho de banda de la se˜ nal moduladora m(t) y fν es el ancho de la banda residual.

BT = W + fν

(6.1)

La modulaci´ on VSB se puede generar usando el m´etodo de discriminaci´on en frecuencia pasando una se˜ nal con modulaci´ on DSB a trav´es de un filtro H(f ) como se muestra en la figura 6.3. El espectro de la se˜ nal VSB modulada s(t) viene dado entonces por la ecuaci´on (6.2).

S(f ) =

Ac [M (f − fc ) + M (f + fc )]H(f ) 2

(6.2)

Es necesario especificar la funci´ on de transferencia del filtro H(f ) de modo que S(f ) sea la se˜ nal VSB deseada. Para hacer esto, la se˜ nal modulada se debe poder demodular empleando un detector coherente como el de la figura 6.4. Es necesario, por tanto, determinar que condici´on tiene que cumplir H(f ) de forma que la se˜ nal de salida v0 (t) sea proporcional a la se˜ nal moduladora original m(t). La se˜ nal a la salida del modulador producto del detector de la figura 6.4 viene dada por la ecuaci´on (6.3) en el dominio del tiempo y por la ecuaci´ on (6.4) en el de la frecuencia. v(t) = A0c cos(2πfc t)s(t)

(6.3)

Modulaci´ on Banda Lateral Residual (VSB).

43

V(f) fν

W

W

−f c

W

−W

Figura 6.5

fν

fc

f

Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto.

V0(f) A c A´c M(0)[H(−f c)+H(f c)] 4

f −W

Figura 6.6

Espectro de la se˜ nal a la salida del filtro paso bajo.

V (f ) = =

W

A0c [S(f − fc ) + S(f + fc )] 2

Ac A0c Ac A0c M (f )[H(f − fc ) + H(f + fc )] + [M (f − 2fc )H(f − fc ) + M (f + 2fc )H(f + fc )] 4 4

(6.4)

En la figura 6.5 se puede ver el espectro deseado de la se˜ nal a la salida del modulador producto seg´ un la ecuaci´on (6.4). El segundo t´ermino de la ecuaci´on (6.4) representa una se˜ nal VSB a la frecuencia 2fc y se puede eliminar f´ acilmente mediante el filtro paso bajo presente en el detector coherente tras el modulador producto seg´ un la figura 6.4. Por tanto el espectro de la se˜ nal a la salida de dicho filtro paso bajo vendr´a dado por la ecuaci´ on (6.5) y por la figura 6.6.

V (f ) =

Ac A0c M (f )[H(f − fc ) + H(f + fc )] 4

(6.5)

Como la se˜ nal a la salida del detector coherente debe ser proporcional a la se˜ nal moduladora m(t), para que no haya distorsi´ on el filtro H(f ) debe satisfacer la ecuaci´on (6.6), siendo k una constante arbitraria. Como el espectro M (f ) de la se˜ nal moduladora es cero fuera del intervalo |f | < W s´olo es necesario que la restricci´on dada por la ecuaci´ on (6.6) se cumpla en el intervalo frecuencial |f | < W .

H(f − fc ) + H(f + fc ) = 2H(fc ) = k

(6.6)

44

Cap´ıtulo 6

|H(f)| 1

0.5

fc−fν fc Figura 6.7

fc+fν

f fc+W

Un caso particular del m´ odulo del espectro del filtro H(f ) para banda residual inferior.

En la figura 6.7 podemos ver un caso particular del m´odulo del espectro de dicho filtro en el caso de banda residual inferior para frecuencias positivas. La magnitud de este filtro est´a normalizada de modo que para ±fc valga 0,5. El filtro debe tener simetr´ıa impar en el intervalo |f − fc | < fν en torno al valor 0,5 de modo que cualquier par de frecuencias en torno a fc la suma de amplitudes de H(f ) sea unidad. En el intervalo fν < f − fc < W la amplitud del filtro debe ser unidad y para frecuencias mayores que W da igual, puesto que la se˜ nal DSB a filtrar es cero. La fase de H(f ) debe tener igualmente simetr´ıa impar con respecto a ±fc . Para no tener distorsi´ on la fase debe ser lineal en el intervalo |f − fc | < W y valer cero o un m´ ultiplo entero de 2π en ±fc . As´ı no tendremos distorsi´on de fase, sino u ´nicamente un retardo. Vamos a analizar ahora la se˜ nal VSB en el dominio del tiempo, calculando las componentes en fase, sc (t), y cuadratura, ss (t), de la se˜ nal modulada s(t). Usando la ecuaci´on (6.7) se tiene la ecuaci´on (6.8) para el espectro de la componente en fase.

Sc (f ) =

  S(f − fc ) + S(f + fc ) |f | < W 

0

Sc (f ) =

(6.7)

en otro caso

Ac M (f )[H(f − fc ) + H(f + fc )] 2

(6.8)

Teniendo ahora en cuenta la restricci´ on para H(f ) dada por la ecuaci´on (6.6) y si fijamos H(±fc ) = 0,5 se tiene finalmente la ecuaci´ on (6.9) en el dominio de la frecuencia y la ecuaci´on (6.10) en el dominio del tiempo, respectivamente, para la componente en fase sc (t) de la se˜ nal modulada.

Sc (f ) =

Ac M (f ) 2

(6.9)

sc (t) =

Ac m(t) 2

(6.10)

Para determinar ahora la componente en cuadratura ss (t) de la se˜ nal modulada usando la ecuaci´on (6.11) se tiene la ecuaci´ on (6.12) para su espectro.

Modulaci´ on Banda Lateral Residual (VSB).

45

1H (f) j s

1 fν

f

−fν −1

Figura 6.8 Un caso particular del filtro Hs (f ) empleado para determinar la componente en cuadratura de la se˜ nal modulada.

Ss (f ) =

  j[S(f − fc ) − S(f + fc )] |f | < W 

0

Ss (f ) =

(6.11)

en otro caso

j Ac M (f )[H(f − fc ) − H(f + fc )] 2

(6.12)

La ecuaci´ on (6.12) nos sugiere que se puede generar la componente en cuadratura ss (t) de la se˜ nal modulada, salvo por un factor de escala, pasando la se˜ nal moduladora m(t) por el filtro Hs (f ) dado por la ecuaci´on (6.13). Para el caso del filtro H(f ) de la figura 6.7, este filtro Hs (f ) puede verse en la figura 6.8. Como puede verse es impar en el intervalo |f | < fν . Fuera del intervalo |f | < W puede valer cualquier cosa puesto que M (f ) es cero.

Hs (f ) = j[H(f − fc ) − H(f + fc )]

(6.13)

Ahora empleando este filtro Hs (f ) definido seg´ un la ecuaci´on (6.13) se tiene finalmente la ecuaci´on (6.14) en el dominio de la frecuencia y la ecuaci´on (6.15) en el dominio del tiempo, respectivamente, para la componente en fase sc (t) de la se˜ nal modulada, siendo ms (t) y Ms (f ) la se˜ nal moduladora a la salida del filtro Hs (f ) en el dominio del tiempo y de la frecuencia, respectivamente.

Ss (f ) =

Ac Ac M (f )Hs (f ) = Ms (f ) 2 2

(6.14)

Ac ms (t) 2

(6.15)

ss (t) =

Usando las ecuaciones (6.10) y (6.15) se puede poner la expresi´on de la se˜ nal modulada s(t) en forma can´onica seg´ un la ecuaci´ on (6.16), para el caso de banda residual inferior.

46

Cap´ıtulo 6 m(t)

A ccos(2π f c t)

s(t)

+

Modulador Producto

+ _

Oscilador

Desfasador 90 0

A c sin(2 π f c t)

H s (f)

m s(t)

Figura 6.9

Modulador Producto

Esquema de un modulador VSB usando discriminaci´ on en fase.

s(t) =

1 1 Ac m(t) cos(2πfc t) − Ac ms (t) sin(2πfc t) 2 2

(6.16)

La ecuaci´on (6.16) nos da lugar a proponer otro esquema de generaci´on de una se˜ nal VSB empleando en este caso discriminaci´ on en fase, seg´ un la figura 6.9. Al igual que ocurr´ıa con SSB el canal el cuadratura y el canal en fase no son independientes. Ambos generan a su salida dos se˜ nales DSB, pero que sumadas o restadas permiten eliminar parte de la banda lateral deseada y en su mayor parte la banda residual dando lugar a la se˜ nal VSB. En cualquier caso tanto VSB como SSB se pueden demodular empleando detecci´on coherente. Si empleamos la banda residual superior en lugar de la inferior para general la se˜ nal VSB es necesario cambiar el signo menos por m´ as en la ecuaci´on (6.16) dando lugar a la ecuaci´on (6.17) en este caso.

s(t) =

1 1 Ac m(t) cos(2πfc t) + Ac ms (t) sin(2πfc t) 2 2

(6.17)

Si la banda residual se aumenta podemos llegar a que ms (t) ≈ 0 por lo que la se˜ nal a la salida del esquema de la figura 6.9 es una se˜ nal DSB. Por otro lado, si se reduce la banda residual hasta cero, se tiene que ms (t) ≈ m(t) ˆ y la se˜ nal a la salida es una se˜ nal SSB. La modulaci´ on VSB casi mantiene el ancho de banda de SSB mientras que simult´aneamente permite transmitir se˜ nales con informaci´ on hasta frecuencia cero como tambi´en permite DSB, pero no SSB. Es un est´andar para la transmisi´ on de TV y para se˜ nales donde haya componentes a muy baja frecuencia importantes y donde el uso de DSB no sea rentable debido tener un ancho de banda elevado. En la transmisi´ on de TV no se transmite una se˜ nal VSB directamente debido a que la regi´on de transici´on del filtro H(f ) no se controla de forma r´ıgida. En su lugar se inserta el filtro H(f ) a la entrada del receptor. El comportamiento global es similar, salvo que se desperdicia algo de ancho de banda y potencia transmitida. En la figura 6.10 se puede ver el filtro H(f ) empleado para TV en el receptor. En el caso de se˜ nales de TV para evitar el uso de un detector coherente, que siempre es costoso debido a la necesidad de sincronismo en frecuencia y fase de la portadora generada localmente en el receptor,

Modulaci´ on Banda Lateral Residual (VSB). portadora imagen

47 portadora audio

1

0.5

4 MHz 0,75 MHz

Figura 6.10

f(MHz)

4,5 MHz

Filtro H(f ) empleado para recepci´ on VSB de TV.

junto con la se˜ nal VSB se transmite la portadora para poder demodular la se˜ nal empleando un detector de envolvente sencillo. En concreto, la expresi´on de la se˜ nal modulada s(t) puesta en forma can´onica viene dada en este caso por la ecuaci´ on (6.18).   1 1 s(t) = Ac 1 + ka m(t) cos(2πfc t) − Ac ka ms (t) sin(2πfc t) 2 2

(6.18)

La envolvente natural de la se˜ nal modulada dada por la ecuaci´on (6.18) viene dada por la ecuaci´on (6.19).

s 2  2 1 1 a(t) = Ac 1 + ka m(t) + ka ms (t) 2 2 v  1 2  u u 1 t 2 ka ms (t) 1+ = Ac 1 + ka m(t) 2 1 + 12 ka m(t)

(6.19)

Como se puede ver el t´ermino encerrado bajo la ra´ız en la u ´ltima l´ınea de la ecuaci´on (6.19) es un t´ermino de distorsi´on debido a la presencia de la se˜ nal ms (t). Esta distorsi´on se puede reducir:

Reduciendo ka y por tanto el factor de modulaci´on. Incrementando el ancho de banda residual, y por tanto reduciendo ms (t).

En el caso de TV se fija el ancho de la banda residual en fν = 0,75 MHz, como puede verse en la figura 6.10, para que la distorsi´ on sea aceptable aunque el tanto por ciento de modulaci´on sea pr´oximo a 100.

7 ´ EN FRECUENCIA. TRANSLACION

En algunos casos va a ser necesario trasladar una se˜ nal ya modulada de una banda frecuencial a otra. Esto se puede lograr usando un multiplicador o modulador producto seguido de un filtro paso banda. Vamos a considerar la se˜ nal DSB dada por la ecuaci´on (7.1), donde m(t) est´a limitada en banda en el intervalo |f | < W . En la figura 7.1 podemos ver esquem´aticamente el espectro de la se˜ nal DSB.

s(t) = Ac m(t) cos(2πfc t)

(7.1)

Vamos a suponer que deseamos modificar la frecuencia fc a otra nueva f0 de forma que f0 < fc . Para lograr esto multiplicamos la se˜ nal modulada s(t) por una se˜ nal sinusoidal a la frecuencia fl usando un modulador producto obteni´endose el desarrollo de la ecuaci´on (7.2). El espectro de esta se˜ nal a la salida del modulador producto se puede ver esquem´aticamente en la figura 7.2.

v1 (t)

= A0c cos(2πfl t)s(t) = Ac A0c cos(2πfl t) cos(2πfc t)m(t) =

Ac A0c Ac A0c cos[2π(fc − fl )t] + cos[2π(fc + fl )t] 2 2

(7.2)

Si ahora hacemos que f0 = fc − fl , ya tenemos la se˜ nal deseada a la salida de un filtro paso banda de frecuencia central f0 y ancho de banda 2W seg´ un la ecuaci´on (7.3) en el dominio del tiempo y la figura 7.3 en el dominio de la frecuencia.

S(f)

2W

2W

−fc

fc

Figura 7.1

Espectro de una se˜ nal DSB.

49

f

50

Cap´ıtulo 7 V1(f)

2W

2W

2W

2W

−fc−f l

−fc+f l

f c −f l

f c +f l

Figura 7.2

f

Espectro de la se˜ nal a la salida del modulador producto.

V2(f)

2W

2W

−f0

f0

Figura 7.3

s(t)

f

Espectro de la se˜ nal tras el filtro paso banda.

Modulador

v1(t)

Producto

Filtro

v2(t)

Paso Banda

A´c cos(2πf l t) Figura 7.4

v0 (t) =

Esquema de un mezclador.

Ac A0c Ac A0c m(t) cos[2π(fc − fl )t] = m(t) cos(2πf0 t) 2 2

(7.3)

La u ´nica condici´ on necesaria para que este proceso funcione es que fl > W para que las componentes de la ecuaci´on (7.2) o equivalentemente de la figura 7.2 no se solapen en frecuencia. El dispositivo que lleva a cabo este proceso de translaci´on en frecuencia se denomina mezclador (multiplicaci´on y filtrado paso banda). En la figura 7.4 podemos ver un esquema de este dispositivo. El proceso de mezclado es una operaci´ on lineal, pues conserva la relaci´on entre frecuencias en las bandas laterales con relaci´on a la portadora.

8 ´ EN FRECUENCIA (FDM). MULTIPLEXACION

La multiplexaci´ on es el proceso por el cual varias se˜ nales independientes de caracter´ısticas similares se pueden combinar de alg´ un modo para transmitirlas de forma conjunta por el mismo canal de comunicaciones. Existen varios tipos de multiplexaci´on. Los m´as empleados son multiplexaci´on en tiempo (TDM: Time Division Multiplexion) y multiplexaci´on en frecuencia (FDM: Frequency Division Multiplexion). En el caso de modulaciones anal´ ogicas el u ´nico que se puede emplear el FDM. Se supone que queremos transmitir N se˜ nales moduladoras con caracter´ısticas similares por el mismo canal de comunicaciones. En la figura 8.1 podemos ver un esquema de FDM. Cada una de las se˜ nales moduladoras se pasa por un filtro paso bajo para asegurar que est´an limitadas en banda en el intervalo |f | < W . En el caso de que las se˜ nales moduladoras originales ya est´en limitadas en banda se podr´ıan suprimir estos filtros paso bajo. Una vez que tenemos las se˜ nales moduladoras limitadas en banda se modulan cada una de dichas se˜ nales moduladoras por separado usando el mismo esquema de modulaci´on pero de forma que las se˜ nales moduladas resultantes no se solapen en frecuencia. Para conseguir esto es necesario tener una portadora diferente para cada se˜ nal moduladora. Estas portadoras se obtienen en un m´odulo generador de portadoras. Las frecuencias de estas portadoras se deben elegir para que las se˜ nales moduladas resultantes no se solapen en frecuencia como ya se ha dicho. Si el tipo de modulaci´on empleado es DSB, la separaci´ on m´ınima entra las portadoras ser´a de 2W . Si se emplea SSB, dicha separaci´on ser´a de W . Tras cada etapa de modulaci´ on se emplea un filtro paso banda para limitar la banda de las se˜ nales moduladas a su rango espec´ıfico (para tener mayor seguridad de que no se solapan en frecuencia). En caso de que dichas se˜ nales moduladas ya est´en limitadas en banda, estos filtros paso banda se podr´ıan eliminar. Las se˜ nales as´ı moduladas y filtradas se suman para transmitirlas de forma conjunta por el canal de comunicaciones. En recepci´ on se utilizan los mismos filtros paso banda que en transmisi´on para separar cada una de las N se˜ nales moduladas a partir de la se˜ nal suma proveniente del canal de comunicaciones. Una vez que se han separado las se˜ nales moduladas se demodulan empleando detecci´on coherente usando las mismas portadoras y en el mismo orden que las empleadas en el transmisor obtenidas localmente en un generador de portadoras (salvo que se emplee modulaci´on AM y detector de envolvente). Dichas portadoras deber´an estar sincronizadas en frecuencia y fase con las del transmisor. Este tipo de esquema se emplea en radiodifusi´on de AM. En este caso las frecuencias portadoras pueden estar en el rango de 535 KHz a 1605 KHz. El canal de transmisi´on ser´ıa a´ereo. En enlaces punto a punto se tiene FDM para varias se˜ nales procedentes de distintas comunicaciones empleando modulaci´on DSB. En el caso varias conversaciones telef´ onicas se emplean canales FDM empleando modulaci´on SSB para su transmisi´on tanto radioel´ectrica como por cable. Para radiodifusi´on de TV se emplea la t´ecnica FDM para transmitir varios canales de TV tanto en VHF como en UHF empleando modulaci´on VSB para cada uno de ellos. Finalmente, en radiodifusi´ on de FM, se emplea FDM en el rango de frecuencias de 88 a 108 MHz. Si se emplea modulaci´ on SSB se puede ahorrar mucha potencia y ancho de banda para la se˜ nal FDM, sin embargo, el sistema extremo a extremo se complica debido a la necesidad de sincronismo de portadora (para cada una de las N portadoras) para los detectores coherentes del receptor. Un m´etodo utilizado habitualmente para conseguir este sincronismo consiste en transmitir una frecuencia piloto. La frecuencia piloto sufrir´a los mismos desfases y cambios de frecuencia a lo largo del canal que la se˜ nal FDM. Esta

51

52

Cap´ıtulo 8 TRANSMISOR

SEÑAL 1

SEÑAL 2

RECEPTOR

Filtro Paso Bajo

Modulador

Filtro Paso Banda

Filtro Paso Banda

Demodulador

Filtro Paso Bajo

Filtro Paso Bajo

Modulador

Filtro Paso Banda

Filtro Paso Banda

Demodulador

Filtro Paso Bajo

Filtro Paso Banda

Demodulador

Filtro Paso Bajo

SEÑAL 1

SEÑAL 2

Canal

· · · SEÑAL N

Filtro Paso Bajo

Modulador

Filtro Paso Banda

Generador Portadoras

SEÑAL N

Generador Portadoras

Figura 8.1

Esquema de un sistema FDM.

frecuencia piloto sincronizada con la se˜ nal FDM se utiliza para modular a un conjunto de N osciladores locales en el receptor y as´ı obtener las N portadoras necesarias. Este m´etodo cancela todos los desfases y cambios frecuenciales introducidos a lo largo del canal de comunicaciones, pero sigue dependiendo de los errores debidos a los N osciladores locales del receptor, que modulan la frecuencia piloto. Este error se suele mantener dentro de unos l´ımites aceptables para se˜ nales de voz (conversaciones telef´onicas) empleando osciladores de cristal suficientemente exactos.