Bt Kgvt

Chương 2

KHÔNG GIAN VECTOR, ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . 2.1. Trong các tập dưới đây với phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với một số. Tập nào là không gian tuyến tính, tập nào không phải là không gian tuyến tính? Vì sao? 1. Tập R3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} với các phép tính sau: * (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ); * λ(x, y, z) = (λx, λy, z). 2. Tập R3 với các phép toán sau: * (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ); * λ(x, y, z) = (x, y, z). 3. Tập E = {(x, y) ∈ R2 |x > 0, y > 0} với hai phép toán sau: * (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (xx0 , yy 0 , zz 0 ); * λ(x, y, z) = (xλ , y λ , z λ ). . 2.2. Trong mỗi tập sau có là không gian con của không gian R3 hay không? a) E = {(x, 0, 0)|x ∈ R, 0 ∈ R}; b) F = {(x, 0, y)|x ∈ R3 };

c) G = {(x, 1, 2)|x ∈ R3 }; d) H = {(x, y, z)|x ∈ R3 |z = x + y}.

. 2.3. Chứng minh rằng trong R3 a) x = (6, 2, 7) là tổ hợp tuyến tính của a1 = (2, 1, −3); a2 = (3, 2, −5); a3 = (1, −1, 1); b) x = (7, −2, 15) là tổ hợp tuyến tính của a1 = (2, 3, 5); a2 = (3, 7, 8); a3 = (1, −6, 1). . 2.4. Xác định λ để sao cho x là tổ hợp tuyến tính của a1 , a2 , a3 a) x = (7, −2, λ), a1 = (2, 3, 5); a2 = (3, 7, 8); a3 = (1, −6, 1). a) x = (5, 9, λ), a1 = (4, 4, 3); a2 = (7, 2, 1); a3 = (4, 1, 6). . 2.5. Cho P1 = 1 + x + x2 , P2 = 1 − x + x2 , P3 = 3x2 . Hãy biểu diễn các đa thức sau thành tổ hợp tuyến tính của P1 , P2 , P3 . a) q = 2 + 8x2 b) h = 2 + 2x + 5x2 c) g = 0. . 2.6. Mỗi hệ sau có sinh ra R2 hay không? a) a1 = (1, 1, 1); a2 = (1, −1, 1); a3 = (1, 1, −1); b) a1 = (−2, 4, 6); a2 = (−3, −10, −7); a3 = (4, 8, 4); c) a1 = (1, 1, 1); a2 = (1, −1, 1); a3 = (1, 1, −1); a4 = (3, 2, 0); d) a1 = (0, 4, 6); a2 = (−3, −6, −7); a3 = (4, 8, 8); a4 = (−3, −2, −1). . 2.7. Các hệ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) a1 = (1, 1, 0); a2 = (1, 0, 1); a3 = (1, −2, 0); a1 = (1, −3, 0); a2 = (3, −3, 1); a3 = (2, 0, 1).

5

http://maths3.wordpress.com

. 2.8. Hệ vector nào dưới đây là cơ sở trong R3 ? a) (1, 0, 0); (3, 3, 0); (1, 3, 2); b) (2, 1, 3); (1, 2, 0); (0, 1, 3); c) (2, −3, 1); (4, 1, 1); (0, −7, 1); d) (1, −1, 1); (2, −1, −1); (3, −2, 0). . 2.9. Hệ nào sau đây là cơ sở trong P2 (x) a) P1 = 1 − 3x + 2x2 ; P2 = 1 + 2x + 3x2 ; P3 = 2 − x + 5x2 ; b) P1 = 1 + x + x2 ; P2 = x + x2 ; P3 = x2 ; c) P1 = 2 + x + 3x2 ; P2 = 1 + 2x; P3 = x + 3x2 . . 2.10. Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ sau:

8 8 <3x1 + x2 + 2x3 = 0 <3x1 + x2 + x3 + x4 > b) : c) 4x1 + 5x3 = 0 5x1 − x2 + x3 − x4 = 0> :

8 > <2x1 + x2 + 3x3 = 0 a) >x1 + 2x2 =0 : x2 + x3 = 0

x1 − 3x2 + 4x3 = 0

8 > <x1 − 3x2 + x3 = 0 d) >2x1 − 6x2 + 2x3 = 0 :3x1 − 9x2 + 3x3 = 0

. 2.11. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của R3 sinh bởi các vector sau. a) (1, −1, 2), (2, 1, 3), (−1, 5, 0) 1 b) (2, 4, 1), (3, 6, −2), (−1, 2, − ). 2 . 2.12. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của R4 sinh bởi các vector sau. a) (1, 1, −4, −3), (2, 0, 2, −2), (2, −1, 3, 2) b) (−1, 1, −2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3) . 2.13. Ánh xạ f : R2 → R2 dưới đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay không 1) 2) 3) 4)

f (x, y) = (2x, y) f (x, y) = (x2 , y) f (x, y) = (y, x) f (x, y) = (0y)

5) 6) 7) 8)

f (x, y) = (x, y + 1) f (x, y) = (2x + y, x − y) f (x, y) = (y, y) √ √ f (x, y) = ( 3 x, 3 y).

. 2.14. Ánh xạ f : R3 → R2 dưới đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay không 1) f (x, y, z) = (x, x + y + z) 2) f (x, y, z) = (1, 1)

3) f (x, y, z) = (0, 0) 4) f (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z).

–

™

2 −1 . 2.15. Cho T : R → R là ánh xạ nhân với ma trận −8 4 1) Hỏi vector nào dưới đây thuộc ImT a) (1, -4) b) (5, 0) c) (-3, 12). 2) Hỏi vector nào dưới đây thuộc KerT a) (5, 10) b) (3, 2) c) (1, 1). 2

2

. 2.16. V là không gian vector, cho T : V → V xác định bởi T (v) = 3v. a) Tìm Ker(T ) Im(T ).

b) Tìm

.