Bt Ham Nhieu Bien

Chương 4

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN . 4.1. Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: x3 + y 3 ; x2 + y 2√ b) f (x, y) = ln(x + x2 + y 2 ); x c) f (x, y) = y 2 sin ; y a) f (x, y) =

d) f (x, y) = ln(x + ln y); e) f (x, y) = exy cos x sin y; 3 f)f (x, y) = xy (x > 0).

. 4.2. Tính đạo hàm của các hàm √ hợp sau: 2 2 a) z = eu −2v , u = cos x, v = x2 + y 2 ; x b) z = ln(x2 + v 2 ), u = xy, v = ; y u 2 c) z = x ln y, x = , v = 3u − 2v; v d) z = uev + ve−u , u = ex , v = yx2 ; x y e) z = xe cos t, y = e2t ; √ , x= 2 f) z = x 1 + y , x = te2t , y = e−t . . 4.3. Tính vi phân toàn phần của các hàm số: a) z = sin(x2 + y 2 ); b) z = ex (cos y + x sin y); y c) z = ln tg ; x x+y d) z = arctg ; x−y x y e) z = e y + e− x ;

Ry

2

f) z = et dt; x

g) z =

x

Ry 2 t cos 2tdt;

xy √ √ 3 h) u = y 2 x3 − 3y z 2 ; i) u = xey + yez + zex ; 2 j) u = xy z , (x > 0).

. 4.4. Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau: È

a) 3 (1, 02)2 + (0, 05)2 ; √ √ b) ln( 3 1, 03 + 4 0, 98 − 1);

c) d)

È

9.(1, 95)2 + (8, 1)2 ; sin2 1, 55 + 8.e0,015 .

È

. 4.5. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:

9

http://maths3.wordpress.com

a) x3 y − y 3 x = a4 , tính y 0 ; b) xey + yex − exy tính y 0 ; 2 2 c) y 5 + 3x y + 5x4√= 0 tính y 0 ; √ x d) 3 sin y − 2 cos yx + 1 = 0 tính y 0 ; e) x + y + z = ez , tính zx0 , zy0 ;

f) x3 + y 3 + z 3 = 3xyz, tính zx0 , zy0 ; g) xy 2 z 3 + x3 y 2 z = x + y + z, tính zx0 , zy0 ; h) xey + yz + zex = 0, tính zx0 , zy0 ; i)xyz = cos(x + y + z), tính zx0 , zy0 ; j) y 2 zex+y − sin(xyz) = 0 tính zx0 , zy0 .

. 4.6. Tìm cực trị của các hàm số a) z = 4(x − y) − x2 − y 2 ; b) z = x2 + xy + y 2 + x − y + 1; c) z = x + y − xry ; d) z = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 ;

e) z = xy ln(x2 + y 2 ); f) z = (x − y)2 + (x + y)3 ; g) z = x2 y 3 (3x + 2y + 1); h) z = x4 + y 4 − 2(x − y)2 .

. 4.7. Chứng minh rằng: 1 ∂ 2u ∂ 2u a) Hàm số u(x, y) = ln √ 2 thỏa mãn: ∆u = + =0 ∂x2 ∂y 2 x + y2 1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0. b) Hàm số u(x, y, z) = ln √ 2 thỏa mãn phương trình ∆u = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 x + y2 + z2