Bouchareb-mohamed-nacer.pdf

‫وزارة التعليم العالي والبحث العلمي‬ ‫جامعة باجي مختار عنابة‬

BADJI MOKHTAR ANNABA-UNIVERSITY UNIVERSITE BADJI MOKHTAR ANNABA

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIORAT DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

MEMOIRE PRESENTE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MASTER

INTITULE Analyse modale d’une poutre encastré-libre DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE FILIERE : GENIE MECANIQUE SPECIALITE : MECATRONIQUE PRESENTE PAR

: BOUCHAREB MOHAMED NACER

DIRECTEUR DU MEMOIRE : DR. RAMDANE YOUNES DEVANT LE JURY

P R. Dr. Dr. Dr.

LAOUAR. L DIB. A BOUSAID.O YOUNES RAMDANE

(PRESEDENT) (membre) (membre) (encadreur)

U.Badji Mokhtar Annaba U.Badji Mokhtar Annaba U.Badji Mokhtar Annaba U.Badji Mokhtar Annaba

Année: 2016/2017

Remerciements

Nous tenons à remercier tous ceux qui nous ont aidés à réaliser ce mémoire : Je tiens à remercier en premier lieu mon encadreur Dr. RAMDANE YOUNES, pour le temps qu’ils m’ont consacré, pour leur soutien, pour leurs immenses connaissances et leur curiosité scientifique et surtout pour la confiance qu’ils m’ont accordé même face aux équations les plus coriaces. Je voudrais également remercier le laboratoire du Guelma qui travaille sur les vibrations avec qui j’ai eu l’honneur de pouvoir collaborer et qui permet moi aussi d’utiliser les matériels du laboratoire. Je remercie également tous les enseignants du département de Génie Mécanique et notre responsable du Master Mécatronique Mr.LAOUAR LAKHDER pour son soutien. En fin tous ceux qui nous ont aidé de près ou de loin à réaliser ce travail.

I

Dédicace Nous dédions ce modeste travail à : Mes très cher parents Monsieur et Madame BOUCHAREB qui ont aidés et soutenue beaucoup pendant toute mon vie. A mon très chers sœurs (FOUZIA, AICHA, KELTOUME, AMAL, FAHIMA, SOUMIA) et mes frères adorés (NADIR, ATTEF, BOUDJEMA, RIDA.) et les petits de la famille (SAIF EDINE, IYADE, CHIHAB, ANAS, NAJME EDINE et ISAHAK). Et toutes mon amies et camarades de la promotion 2017. Merci à tous mes amies et camarades de la promotion 2017. Pour l’ambiance pendant les 3 années de mes études dans le département de génie mécanique plus que des étudiants du Mécatroniques. Je remercie Abdelli Youcef et Boulehbell Issam de m’avoir accueilli dans l’unité de Ferroviaire. Et enfin à tous ceux que nous aimons et tous ceux qui nous aiment.

Merci à tous

II

Résumé

.

Résumé : L'étude des vibrations est un domaine qui se développe considérablement, mais reste très complexe. Ce document présente l'étude de la réponse vibratoire d’une poutre en acier encastrée à l’un de ses extrémités et libre à l’autre soumise à des excitations harmoniques. Un modèle analytique non-linéaire de la poutre prenant en compte des conditions d’encastrement. La détermination de la réponse dynamique est alors traitée par l’approche d'Euler Bernoulli. Des résultats expérimentaux sont réalisés pour déterminer les modes propres de notre poutre par trois méthodes d’excitations, des résultats expérimentaux sont comparés à les résultats théoriques et la plus proche aux ces derniers c’est la meilleure mode utilisée.

VI

‫ملخص‬

‫‪.‬‬

‫ملخص‬

‫دراسة االهتزاز هو مجال يتزايد بشكل كبير‪ ،‬ولكن ال يزال بالغ التعقيد‪ .‬تقدم هذه الوثيقة دراسة استجابة لذبذبات قضيب‬ ‫فوالذي مثبت من أحد طرفيه وحر في الطرف اآلخر عن طريق الهزات التوافقية‪ .‬ان النموذج التحليلي من القضيب مع‬ ‫األخذ بعين االعتبار ظروف التثبيت‪ .‬يتم تحديد االستجابة الديناميكية ثم تتم معالجتها بواسطة منهج اولر برنولي‪ .‬بعد ذلك‬ ‫يتم تنفيذ النتائج التجريبية لتحديد طرق خاصة للقضيب الفوالذي بواسطة ثالث وسائل‪ ،‬بعدها تتم مقارنة النتائج التجريبية‬ ‫مع النتائج النظرية واألقرب لألخيرة هو أفضل وسيلة‪.‬‬

‫‪VIII‬‬

Abstrac

.

Abstract : The study of vibrations is an domain which is developing considerably, but still very complex. This document presents the study of the vibrational response of a recessed steel beam at one of its ends and free at the other subject to harmonic excitations.An analytical model of the beam taking into account the embedding conditions.The determination of the dynamic response is then dealt with by Euler Bernoulli's approach. Experimental results are performed to determine the own modes of our beam by three ways, experimental results are compared with theoretical results and closest to the latté is the best way used.

VII

Table des matières

Table des matières : Remerciement ………………………………….……………………………………….….......I Dédicace……………………………………………………………………………..………...II liste des figures……..………………………….…………………………..…………….........III Liste des tableaux…………………………………………………………...…………....…....V Résumé………………..………………………..………………………………..……………VI Abstract……………………………………………………………………………………....VII ‫…………………………………………………………………………………ملخص‬.…..…VIII Notation………………………………………………………………………………...…… IX Introduction générale………………………………………………………………………….X

Chapitre I : Généralité et synthèse bibliographique I.1 Introduction........................................................................................................................... 1 I.1.1 Poutre ............................................................................................................................. 2 I.1.2 Principe fondamental de la dynamique .......................................................................... 3 I.2 Vibration des poutres ............................................................................................................ 8 I.2.1 Vibrations longitudinales ............................................................................................... 9 I.2.2 Vibrations de flexion .................................................................................................... 10 I.2.3 Vibrations de torsion…………………………………………………………………..14 I.3 Modes propres de vibration de flexion d’une poutre………………………………………15 I.3.1 Modes et fréquences propres de vibration, cas encastrée-libre…………….................20 I.4 Equation classique des vibrations de flexion des poutres, équation d’Euler………….......22 I.5 Synthèse bibliographique………………………………………………………………….23 I.6 Conclusion………………………………………………………………………………...26

Chapitre II : Résolution de l’équation homogène, schéma modal, cas de la . poutre encastrée- libre 7II.1 Introduction ..................................................................................................................... 27 II.2 Poutre d'Euler-Bernoulli………………………………………………………………….28 II.2.1 Méthode de Bernoulli-Euler…………………………………………………………32 II.2.2 Méthode de calcul……………………………………………………………………36 II.3 Application pour la poutre encastrée libre………………………………………………..37 II.3.1 Les vibrations des poutres encastrées libre en flexion………………………………39 II.3.2 Application pour notre étude poutre encastrée-libre………………………………...40 II.3 Conclusion………………………………………………………………………………..41

Table des matières

Chapitre III : Partie expérimentale III.1 Introduction ..................................................................................................................... 42 III.2 Plan expérimental et matériels utilisés…………………………………………………. 43 III.2.1 Montage expérimentale………………………………...……………….……….43 III.2.2 Matériels d’acquisition des mesures…………………………………………….45 III.3 Traitements des résultats et discussion………………………………………………….49 III.3.1 Résultats expérimentaux………………………………………………..………....49 1-Résultats expérimentaux de l’excitateur sans amortissement……………………49 2- Résultats expérimentaux de l’excitateur avec amortissement…………………..50 3- Résultats expérimentaux de marteau de choc avec amortissement ……………..51 4 - Résultats expérimentaux de marteau de choc sans amortissement (SA) ……….52 5- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance sans amortissement SA …….53 6- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance avec amortissement ………….54 III.3.2- Comparaison des résultats ……………………………………………………….55 III.3.3 - Résultats obtenu par simulation sur Solidworks ………………………………..56 III.4 Conclusion……………………………………………………………………………... 58 Conclusion générale……………………………………...…. ………………………...…... 59 IV. Bibliographique………………………………………………….…… .………….…....61

Introduction générale

.

Introduction générale

La mécatronique est la convergence de la mécanique et de l’électronique, elle associe à ces deux éléments les notions d’informatiques nécessaires au contrôle et au traitement des informations provenant des différents capteurs. Les trois principales composantes de la mécatroniques étant : -la partie opérative (l’ensemble cinématiqu²e avec ses actionneurs et ses capteurs- Mécanique et Électronique). -la partie commande (l’intelligence du système – Électronique et Informatique temps réel). - la partie IHM Interface Homme /Machine (le pilotage du système – Informatique et communication). La mécatronique est en plein expansion, aussi bien au niveau des équipements industriels, qui des composants et des processus de production. La plupart des usines se composent des systèmes mécatronique, la surveillance vibratoire est l’outil préventif primaire de maintenance. Pour répondre à des besoins de construction, de conception et de maintenance industrielle de ces usines, elle repose sur l’utilisation des méthodes de surveillance et de modèles simples afin de permettre l’analyse de façon rapide. Parmi les méthodes de surveillance, l’analyse vibratoire qui est la technique la plus utilisée pour réaliser une surveillance et un diagnostic fiable et pour détecter l’apparition et l’évolution de la plupart des défauts mécanique. Pour les modèles, ils sont classés en deux catégories principales qui sont des solides déformables tridimensionnelles, avec des dimensions qui n’ont pas le même ordre de grandeur : 

les structures minces dont une dimension l’épaisseur est très petite devant les deux autres, et qui sont appelées plaques ou coques selon que leur surface moyenne est plane ou non.



Les structures élancés dont une dimension la longueur est très grandes devant les deux autres, et qui sont appelées poutres ou arc selon que leur ligne moyenne est droite ou non.

L’étude des vibrations du 2ème type de ces structures qui sont les poutres, fait intervenir des équations de modèle de base qui sont généralement la plus représentative des vibrations des poutres lorsque toutes les hypothèses sont présentent. X

Introduction générale

.

Ce travail consacré à ce sujet est divisé en trois chapitres : Le premier chapitre consacré d’une part à des notions et définitions des hypothèses, et d’autre part à la formulation et d’équation de base de relatives à la description du mouvement des vibrations des poutres (longitudinale, flexion, torsion), et passe en revue les théories existantes par une étude bibliographique sur le sujet. le deuxième chapitre est consacré à l’étude de la résolution de l’équation homogène, schéma modal, et représente un bref théorique sur les vibrations de poutre d’Euler-Bernoulli (méthode, calcul, équations, condition limite) et la détermination des nombres d’onde et des fréquences et modes propre du cas de la poutre encastrée- libre. L’étude comporte dans le chapitre II l’application numérique pour poutre à étudier expérimentalement. En fin, dans la troisième chapitre nous avons étudié les vibrations des poutres encastrée libre, elle est encastrée à l’une de ses extrémités et libre sur l’autre. On a conduire l’analyse dynamique en projection sur une base modale réduite, nous commençons par construire la base modale de la structure pour trois type d’excitation : (marteau de choc, exciteur électromagnétique et exciteur électromagnétique tête d’impédance) sans et avec amortissement. Les fréquences propres qui sont déterminées pour but de faire la comparaison des valeurs numérique et expérimentales pour trouver le meilleur type d’excitation.

XI

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Chapitre I : Généralité et synthèse bibliographique I.1 Introduction : Les vibrations dans un système mécanique résultent d’un transfert alternatif entre énergies cinétique et potentielle qui, sans dissipation, perdure figure (I.1). En présence de dissipation, et c’est le cas de tout système réel, les amplitudes du mouvement convergent jusqu’à l’équilibre dynamique dans le cas d’un système forcé, jusqu’à l’équilibre statique dans le cas d’un système libre.

Fig I.1 : Poutre non amortie L’étude et l’analyse des vibrations (ou signaux) ont pris, au cours des dernières années, un essor considérable en raison du développement de techniques de plus en plus sophistiquées et de besoins les plus variés dans différents domaines : mécanique (transports, machines...), acoustique, optique, transmissions, etc. L’analyse vibratoire des poutres est d’une grande importance dans la conception de nombreux systèmes mécaniques [1] ainsi que pour l’évaluation de leur performance. On peut citer par exemple, les aubes de turbomachines, les pales des hélicoptères ou d’éoliennes mais également les panneaux flexibles des satellites …. Ce chapitre est dédié à une étude bibliographique sur les vibrations des poutres (encastrée-libre) et un partie consacré d’une part aux notions et définition des hypothèses, et d’autre part à la formulation mixte et en déplacement des équations d’Euler-Bernoulli relatives à la description des vibrations de flexion des poutres.

1

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I I.1.1-Poutre :

On appelle poutre un solide engendré par une surface plane (Σ) qui peut être variable et dont le centre de gravité G décrit un segment [AB], le plan de (Σ) restant perpendiculaire à cette courbe. Il faut également que la longueur AB soit grande devant les dimensions des sections transverses [2]. Une poutre est une membrure mince soumise à des charges transversales généralement normales à son axe. La poutre est l'élément structural le plus répandu, puisqu'elle fait partie intégrante de la plupart des ouvrages de construction ou des pièces machines. Une poutre est un solide engendré par une aire plane S qui est déplacée dans l’espace de manière que durant son mouvement, le centre de gravité G de la section S parcourt une ligne donnée L, et que l’aire se maintienne constamment normale à cette surface. La ligne L est appelée fibre moyenne de la poutre. Une poutre est caractérisée géométriquement par : – une section S suffisamment massive, – une longueur selon L grande devant les dimensions transversales, – un rayon de courbure de L grand devant les dimensions transversales, – un profil sans discontinuité. La théorie élastique des poutres est basée sur celle des milieux curvilignes. Une position sur la poutre sera caractérisée uniquement par l’abscisse curviligne l d’un point sur la fibre moyenne L

Fig I.2 : Plan Σ Une poutre est donc un milieu continu ayant une dimension très grande par rapport aux deux autres figures (I.2.1). Pour que la théorème du poutre soit applicable il faut que les sections droites soient lentement variables ou constantes en fonction de l'abscisse curviligne , et que la plus grande dimension de la section droite soit petite devant le rayon de courbure et la longueur de la poutre.

2

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Fig I.2.1 : Représentation d’une poutre droite dans le repère (0, 1, 2, 3) Ici, nous étudions la poutre encastrée libre ou poutre console figure (I.3) : C'est une poutre encastrée dans un mur à une l'extrémité. L'extrémité encastrée ne bouge pas pendant la flexion, tandis que l'autre extrémité est entièrement libre. On appelle aussi cette poutre, poutre en porte-àfaux ou poutre encastrée à une extrémité [3].

Fig I.3: Poutre consol

I.1.2-Principe fondamental de la dynamique : Voici une poutre encastrée libre [2]. Elle est de longueur L et chargée à une distance l de leur encastrement.

𝐑 𝐀𝐱 = 𝟎 { 𝐑 𝐀𝐲 − 𝐅 = 𝟎 𝐌𝐀𝐳 − 𝐅𝐥 = 𝟎 3 équations indépendantes linéaires, 3 inconnues : les réactions d’appui peuvent être calculés. Poutre en flexion dans le plan (0, X0, Y0) Équation locale : ∀x ∈ ]0, l[

Avec des C.L. homogènes : {

v(. , t) = 0 ou v,x (. , t) = 0

et

3

{

EIv,x2 (. , t) = 0 EIv,x3 (. , t) = 0

ρSv̈ + EIv,x4 = 0 ou

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I a. Équations d’équilibre :

Soit une poutre droite orientée selon x et soumise à une force répartie donnée figure (I.4). Soit une section droite d’abscisse x et une section infinitésimalement voisine d’abscisse x+dx. Considérons la portion de poutre délimitée par ces deux sections droites [2].

Fig. I.4 : Equilibre d'une tranche infinitésimale de poutre L’équation d’équilibre local d’une poutre droite est : dN = −n(x) dx

dV = −q(x) dx

d2 M = q(x) dx 2

b. Flexion simple d’une poutre encastrée et chargée en son extrémité [2] : Soit une poutre droite de longueur L encastrée à une extrémité (on parle de poutre encastrée libre) et chargée ponctuellement à l’autre extrémité d’une force F comme indiqué à la figure (I.5). L’étude se fait dans le cadre des hypothèses des différents cas de charge seront traités tableau (I).

Fig. I.5 : Cas d'étude d'une poutre droite simplement encastrée et chargée en son extrémité Écriture de l'équilibre global : On vérifie que la poutre est bien isostatique (l’ajout d’un degré de liberté la rend mobile). On est donc assuré que l’écriture du principe fondamental de la statique va permettre de déterminer les 3 réactions d’appuis ROx,ROy et MOz définies sur la figure (I.5.1).

Fig. I.5.1 : Définition des réactions d'appuis Fig. I.5.1 : Définition des réactions d'appuis Il vient en écrivant le principe fondamental de la statique en O (pour le moment MOz) : 4

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I R ox =0 { R oy − F = 0 Moz − FL = 0

Ou encore :

R ox = 0 { R oy = F Moz = FL

Écriture de l'équilibre local : On définit une abscisse curviligne s et l’on écrit l’équilibre d’un tronçon de poutre pour chaque partie (ici, il n’y a qu’une partie) en précisant la convention adoptée, voir figure (I.5.2).

Fig. I.5.2 : Définition des conventions pour l'écriture de l'équilibre local L’équilibre du tronçon écrit en O (par exemple) fournit alors pour s [0, L] : N =0 { F+V =0 FL + M + Vs = 0

Ou encore :

N(s) = 0 { V(s) = −F M(s) = −F(L − s)

On vérifie la pertinence de ces résultats : — l’effort tranchant V est constant sur le (seul) morceau qui n’est pas chargé ; — la dérivée du moment M est égale à l’opposé de l’effort tranchant V (pour notre convention) ; — le moment est linéaire (conséquence des deux points précédents) ; — le moment est négatif (fibre supérieure tendue si F > 0, dans notre convention) ; — le moment est nul à l’extrémité libre. On récapitule ces résultats dans le schéma, figure (I.5.3).

Fig. I.5.3 : Synthèse du calcul des efforts intérieurs

5

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I Calcul des contraintes Le calcul donne :

σ11 (s) =

N(s) M(s) F(L − s) − y= y S I I

Calcul de la flèche : M(s) = EI f 2(s) d’où par double intégration : f(s) =

1 1 3 1 ( Fs − FLs 2 + c1 s + c2 ) EI 6 2

On détermine les constantes d’intégrations c1 et c2 avec les conditions limites :

f(0) = 0

c1 = 0

,

f 0(0) = 0

Fig. I.6 : Allure de la déformée Soit finalement : f(s) =

F 1 3 1 2 ( s − Ls ) , EI 6 2

En particulier, la flèche au bout (déflection) vaut :

6

s ∈ [0, 𝐿]

F(L) = −

F𝐿3 3E I

c2 = 0

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Tab I : Equations de déformation des différents cas de sollicitation de la poutre encastrée-libre

7

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

L'équation de la dérivée seconde de la déformée s’écrit :

EI𝐺𝑍 . 𝑦 °° = Mf𝑍 (𝑥)

Il faut deux intégrations successives pour déterminer l'équation y(x) de la déformée. EIGZ . y °° = −F. x EIGZ ° x2 . y = − + K1 F 2 EIGZ x3 . y = − + K1 . x + K 2 F 6 avec

K1 =

L2 L3 et K 2 = 2 3

𝑦𝐴 = −

𝐹𝐿3 3𝐸𝐼𝐺𝑍

Le calcul des constantes K se fait en choisissant des conditions aux limites de zones : En B :

x = L et y°B = 0 x = L et yB = 0 (y° est l'équation de la tangente au point C)

I.2 Vibration des poutres : Les hypothèses de condensation [4] pour les poutres consistent à effectuer un développement en série de Taylor de

ui(x1, x2, x3, t) par rapport à x2 et x3 :

𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) = 𝑢𝑖 (𝑥1 , 0,0, 𝑡) + 𝑥2 +

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝑥22 𝜕 2 𝑢𝑖 (𝑥1 , 0,0, 𝑡) + 𝑥3 (𝑥1 , 0,0, 𝑡) + (𝑥 , 0,0, 𝑡) 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 2 𝜕𝑥22 1

𝑥32 𝜕 2 𝑢𝑖 𝜕 2 𝑢𝑖 (𝑥 , 0,0, 𝑡) + 𝑥 𝑥 +⋯ 1 2 3 2 𝜕𝑥32 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3

La théorie des poutres minces consiste à négliger les termes du 2eme ordre et d’ordres supérieurs dans ce développement : 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑢𝑖 (𝑥1 , 0,0, 𝑡) + 𝑥2

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 (𝑥1 , 0,0, 𝑡) + 𝑥3 (𝑥 , 0,0, 𝑡) 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 1

On notera par la suite : 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑢𝑖0 (𝑥1 , 𝑡) + 𝑥2 𝑢𝑖2 (𝑥1 , 𝑡) + 𝑥3 𝑢𝑖3 (𝑥1 , 𝑡)

8

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Le déplacement dans chaque direction 1, 2 ou 3 se compose d'un mouvement d'ensemble (𝑢𝑖0 ) et de deux rotations (x2u2i + x3u3i)

Fig. I.7 : Le déplacement dans les directions 1, 2, 3 La théorie des poutres minces suppose que les sections droites restent planes après la déformation : c'est l'hypothèse de Bernoulli. L'ensemble du champ de déplacement est connu si les déplacements et les rotations sont connus le long d'un axe moyen de la poutre : cet axe est appelé axe neutre, ou fibre neutre. L'hypothèse de condensation, pour une poutre mince consiste à réduire le milieu tridimensionnel en un milieu unidimensionnel équivalent. Les inconnues du problème après condensation sont les neuves fonctions 𝑢10 ,𝑢20 ,𝑢30 ,𝑢12 ,𝑢22 ,𝑢32 ,𝑢13 , 𝑢23 , 𝑢33 . Ces neuf fonctions ne dépendent que d'une seule variable d'espace x1 et du temps t [4]. I.2.1- Vibrations longitudinales : Pour les vibrations longitudinales, on suppose que les déplacements se font de façon privilégiée le long de l'axe neutre de la poutre [4], ce qui correspond à une excitation dans l'axe de la poutre. On peut alors simplifier le champ de déplacement général (éq1) en imposant : 𝑢1 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑢10 (𝑥1 , 𝑡) {𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 0 𝑢3 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 0 La seule fonction inconnue 𝑢10 (𝑥1 , t) correspond au déplacement d'ensemble dans la direction 1 de chaque section droite. Ici, négliger l'effet de Poisson (contraction de la section droite) consécutif à la déformation axiale. L'effet de Poisson correspond aux termes 𝑥2 𝑢22 (x1, t) et 𝑥3 𝑢33 (x1, t) de (éq1).

9

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I I.2.2 Vibrations de flexion : Champ de déplacement :

Pour l'étude du rayonnement acoustique de structures vibrantes, les vibrations de flexion sont généralement les plus importantes, ce sont elles qui, dans la plupart des cas, font du bruit (les vibrations longitudinales peuvent également produire un rayonnement acoustique par le biais de l'effet de Poisson il faut alors le prendre en compte dans la modélisation). En repartant de l'expression générale du champ de déplacement linéaire (sans les termes d'ordre strictement supérieurs à 1), (éq1), on émet de nouvelles hypothèses en considérant l'excitation. L'excitation est maintenant une force agissant dans le plan (1,2) qui va induire un déplacement privilégié suivant l'axe 2. Le champ de déplacement pour la flexion des poutres est [4] : 𝑢1 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑥2 𝑢12 (𝑥1 , 𝑡) {𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑢20 (𝑥1 , 𝑡) ≡ 𝑤(𝑥1 , 𝑡) 𝑢3 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 0

… . … éq2

Ce champ de déplacement (éq2) correspond aux hypothèses de Timoshenko. Deux fonctions cinématiques sont inconnues : la flèche w et les rotations des sections droites u21. Plus simplement, la description de Bernoulli fait l'hypothèse supplémentaire que les sections droites restent perpendiculaires à l'axe neutre après la déformation, ce qui impose : 𝜕𝑤 𝜕𝑢1 (𝑥1 , 𝑡) = − (𝑥 , 𝑡) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 1 Les hypothèses de Bernoulli conduisent au champ de déplacement : 𝜕𝑤 (𝑥 , 𝑡) 𝜕𝑥1 1 𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑤(𝑥1 , 𝑡) { 𝑢3 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 0 𝑢1 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ −𝑥2

… . … éq3

L'hypothèse de Bernoulli (dont le champ de déplacement ne possède plus qu'une fonction inconnue : w) revient à négliger le cisaillement transversal ε12 des sections droites. Cette hypothèse est légitime pour un matériau homogène et pour les premiers modes de vibration.

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Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

a. Fréquences et modes de vibration pour les CL homogènes simples :

Équation caractéristique : cos λl cosh λl +1 =0

λ1l =1,87510 ; λ2l = 4,69409 ; λ3l = 7,85473

Puis i >3

λil = (2i-1) π/2

Vi(x) =cos λix-ch λix - (cos λil+ch λil / sin λil + sh λil) (sin λix-sh λix)

b. Vibration de flexion- Cisaillement des poutres [5] : Ces vibrations correspondent à des mouvements de la fibre neutre contenus dans le plan de la section et à des rotations de la section autour d'axes situés dans le plan de la section. ∂T + f − ρSü = 0 ∂s

𝑇=−

∂T −m ∂s

Dans lesquelles l'effort tranchant T, la densité linéique d'efforts transverses extérieurs f et le déplacement transverse u correspondent aux composantes suivant la direction 1; le moment fléchissant M et la densité linéique de moments extérieurs m correspondent aux composantes autour de la direction 2.

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Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Aux équations d'équilibre, pour l'obtention de la solution du problème, d'adjoindre les lois de comportement de la poutre pour les sollicitations de flexion. - cisaillement. Ces lois de comportement relient l'effort tranchant au cisaillement de la section et le moment fléchissant à la rotation ω de celle-ci ; elles s'écrivent dans l'hypothèse de l'élasticité linéaire en petites déformations : ∂u 𝑇 = 𝐺𝑆 ′ ( − w) ∂s

M = EI

∂w ∂s

Dans lesquelles G désigne le module de cisaillement du matériau constitutif, S' et I la section de cisaillement et l'inertie en flexion de la poutre. Afin d'obtenir l'équation différentielle régissant le déplacement transverse de la fibre neutre, u, il convient d'éliminer les quantités T, M et ω L'élimination de M, T et ω entre ces relations donne l'équation différentielle : 𝐸𝐼

𝜕 4𝑢 𝜕𝑚 𝐸𝐼 𝜕 2 (𝑓 ) (𝑓 − 𝜌𝑆𝑢̈ ) = 0 − − 𝜌𝑆𝑢̈ + + 𝜕𝑠 4 𝜕𝑠 𝐺𝑆 ′ 𝜕𝑠 2

Les trois premiers termes de l'équation précédente correspondent à la flexion de la section et le dernier au cisaillement de celle-ci. L'équation précédente est difficile à obtenir par la méthode directe d'identification des efforts agissant sur la poutre et l'annulation de la résultante de ces efforts. Le principe des puissances virtuelles montre ici toute sa généralité et sa puissance. Dans le cas où les déformations de cisaillement sont négligées, la méthode directe reste applicable.

1- Solution exacte de la poutre console : Les conditions aux limites, au nombre de 4, sont données par la nullité du déplacement et de la rotation dans la section origine (s=0) et par la nullité des efforts, moment et effort tranchant, dans la section d'extrémité (s=L) qui est supposée libre. Ces conditions s'expriment à l'aide des relations suivantes [5] : {

∅(0) = 0 ∅′ (0) = 0

,

{

T(L) = EI∅′′′ (L) = 0 M(L) = EI∅′′′ (L) = 0

Les pulsations propres de vibration en flexion de la poutre sont alors données par :

1.875 2 𝐸𝐼 𝑤1 = ( ) √ 𝐿 𝜌𝑆

,

4.694 2 𝐸𝐼 𝑤2 = ( ) √ 𝐿 𝜌𝑆

12

7.855 2 𝐸𝐼 , 𝑤1 = ( ) √ 𝐿 𝜌𝑆

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Fig. I.8 : Racine de l'équation aux fréquences propres Les trois premiers modes propres de vibration sont représentés sur la figure suivant :

Fig. I.9 : Modes propres de vibration en flexion Le déplacement temporel en vibration libre est alors donné par 𝑢(𝑠, 𝑡) = ∅(𝑠)[𝐶 sin(𝑤𝑡) + 𝐷𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡)] Le déplacement initial est donné par 𝑢(𝑠, 0) = 𝐷∅(𝑠)et la vitesse initiale par u̇ (s, 0) = C∅(s) qui permettent la détermination des constantes d’intégration C et D. 2- Solution approchée [5] : Dans cet exemple on avait ramené par un choix, fait a priori, de la forme de la déformée en flexion de la poutre son étude à celle d'un oscillateur simple à un degré de liberté. On avait alors obtenu l'équation différentielle régissant le mouvement de cet oscillateur et calculé sa pulsation propre sous une forme analogue à celle de la relation. La valeur obtenue pour le produit aL était de 1.911. Cette valeur est à comparer à la valeur exacte obtenue ; l'écart est de moins de 2%. En considérant d'autres alternatives pour la déformée de l'oscillateur simple équivalent, ou par application de la méthode de Rayleigh, conduisaient à des valeurs de aL égales à 1.89, soit différant de la valeur exacte de moins de 1%. L'excellente approximation obtenue par application de la méthode de Rayleigh s'explique par la grande similitude entre le mode propre exact et la déformée calculée par la méthode approchée

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Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Fig. I.10 : Mode propre fondamental Exact (trait plein) – méthode de Rayleigh (trait pointillé) c. Equation générale des vibrations de flexion : L'équation générale de la poutre en flexion soumise à une sollicitation extérieure s'écrit [5]: 𝐸𝐼

𝜕 4𝑢 + 𝜌𝑆𝑢̈ = 𝑓(𝑠, 𝑡) 𝜕𝑠 4

Sa solution est obtenue par décomposition sur la base des modes propres : ∞

𝑢(𝑠, 𝑡) = ∑ ∅𝑛 (𝑠)𝑞𝑛 (𝑡) 𝑛=1 ∞

𝑓(𝑠, 𝑡) = ∑ ∅𝑛 (𝑠)𝑓𝑛 (𝑡) 𝑛=1

En reportant dans l'équation générale, on en déduit les équations différentielles que doivent satisfaire les qn(t) : 𝑞𝑛̈ (𝑡) + 𝑤𝑛2 𝑞𝑛 (𝑡) = 𝑓𝑛 (𝑡)

,

𝑛 = 1, ∞

I.2.3 Vibrations de torsion : Champ de déplacement : On suppose que l'excitation est un moment autour de l'axe 1 qui est aussi l'axe neutre de la poutre. Le déplacement dominant dans la torsion est la rotation des sections droites. Si α(x1, t) est le d’emplacement angulaire de la section droite d'abscisse x1, on utilise le champ de déplacement simplifié suivant [5]: 𝑢1 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 0 { 𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ −𝑥3 𝛼(𝑥1 , 𝑡) 𝑢3 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) ≃ 𝑥2 𝛼(𝑥1 , 𝑡)

… . … éq4

La seule fonction cinématique inconnue est l'angle α(x1, t).

14

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Fig. I.11 : poutre en torsion I.3 Modes propres de vibration de flexion d’une poutre : a. Équation différentielle des modes propres de vibration d’une poutre : Une poutre élancée rectiligne d’axe x, de longueur L et de section droite d’aire S (hauteur h et largeur b vérifiant h,b<
I= bh3/12 étant le moment quadratique (couramment appelé moment d’inertie de flexion) de la section droite par rapport à l’axe de flexion z. F=0 traduit l’absence de force appliquée et la seconde relation exprime la proportionnalité entre la courbure locale 1/R de la déformée et le moment de flexion appliqué M et constitue l’équation différentielle de la déformée. Dans l’hypothèse des petits déplacements envisagés ici, la courbure 1 = 𝑅

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

3/2

𝑑𝑦 2 (1 + ( ) ) 𝑑𝑥

L’équation différentielle de la déformée se réduit à : 15

≈

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑦

𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 = −𝑀(𝑥)

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Le signe - provient du fait que la déformée y(x) est repérée dans le référentiel x, y, z alors que le moment de flexion M(x) est défini dans le trièdre de Frenet : tangente t, normale n et binormale r avec t=x, r=-z et n=-y Dans une section d’abscisse x le moment fléchissant est : M(x)=F (L-x) 𝑑2 𝑦

L’intégration de l’équation différentielle 𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 = −𝐹 (𝐿 − 𝑥) Avec les conditions aux limites imposées par l’encastrement y(0)=0 (pas de déplacement possible au niveau de l’encastrement) et dx/dy (0)=0 (la poutre doit rester perpendiculaire à l’encastrement) 𝛿 𝑥 2

𝑥

conduit à la déformée : 𝑦(𝑥) = 2 (𝐿 ) (3 − 𝐿 ) avec  flèche d’extrémité donnée par 𝛿 =

𝐹𝐿3 3𝐸𝐼

Dans le trièdre de Frenet, écrivons l’équilibre mécanique du tronçon de longueur dx soumis au chargement linéique q(x). L’équilibre des forces (nullité de la résultante) s’écrit : 𝑑𝑉

−𝑉 + 𝑞𝑑𝑥 + 𝑉 + 𝑑𝑉 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑞(𝑥) = − 𝑑𝑥

L’équilibre des moments par rapport à l’origine du trièdre s’écrit : ⃗⃗ + (𝑉 ⃗ + 𝑑𝑉 ⃗ )𝑡 + 𝑀 ⃗⃗ + 𝑑𝑀 ⃗⃗ = 0 Soit en projection sur l’axe z : −𝑀 −M − (𝑉 + 𝑑𝑉)dx + 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0 Soit en négligeant le terme du second ordre dV/dx : 𝑉(𝑥) =

𝑑𝑀 𝑑𝑥

𝑑2 𝑦

En différentiant deux fois l’équation différentielle de la déformée 𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 = −𝑀(𝑥) écrite en terme de moment fléchissant et en tenant compte des deux relations précédentes, l’équation s’écrit 𝑑4 𝑦

finalement en terme de chargement linéique : 𝐸𝐼 𝑑𝑥 4 = 𝑞(𝑥) La masse linéique m(x) étant égale à ρS, la force d’inertie linéique q(x) induite par la vibration 𝑑2 𝑦

sera: 𝑞(𝑥) = −𝑚(𝑥)𝛾(𝑥) = −𝜌𝑆 𝑑𝑡 2 , 𝛾(𝑥) =

𝑑2 𝑦 𝑑𝑡 2

tant l’accélération induite par la vibration,

d’où l’équation différentielle des vibrations libres : 𝑑4𝑦 𝑑2𝑦 𝐸𝐼 4 = −𝜌𝑆 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑 4 𝑦 𝜌𝑆 𝑑 2 𝑦 + =0 𝑑𝑥 4 𝐸𝐼 𝑑𝑡 2

Compte tenu des hypothèses de flexion faible, la solution de cette équation ne sera acceptable que dans la mesure où l’amplitude de vibration a reste petite devant l’épaisseur h : a << h

16

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I En posant 𝑘 4 =

𝜌𝑆𝑤 2 𝐸𝐼

et en séparant les parties temporelles et spatiales y(x,t)=Y(x)exp(iwt) 𝑑4 𝑌

l’équation différentielle donnant l’amplitude Y(x) de la déformée à la pulsation ω s’écrit :

𝑑𝑥 4

+

𝑘 4 𝑌 = 0. La solution de cette équation s’écrit sous la forme générale : 𝑌(𝑥) = 𝐴1 exp(𝑘1 𝑥) + 𝐴2 exp(𝑘2 𝑥) + 𝐴3 exp(𝑘3 𝑥) + 𝐴4 exp(𝑘4 𝑥) k1=k, k2=-k,k3=ik et k4=-ik étant les racines de l’équation 𝑘 4 =

𝜌𝑆𝑤 2 𝐸𝐼

. 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑘 = (

𝜌𝑆𝑤 2 𝐸𝐼

1/4

)

Elle s’écrit donc également sous la forme plus commode : 𝑌 = asin(𝑘𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝑐𝑠ℎ(𝑘𝑥) + 𝑑𝑐ℎ(𝑘𝑥) Modes et fréquences propres : Les valeurs admissibles de la quantité k valeurs seront données par les racines kiL=αi d’une équation f(kL)=0, la fonction f étant elle-même définie par les 4 conditions aux limites nécessaires pour déterminer les relations entre les 4 constantes d’intégration a,b,c,d. Il en résulte que seule une série de pulsations discrètes ωi (fréquences propres de vibration) sera autorisée, ces pulsations étant obtenues sous la forme générale : 𝜔𝑖 = 𝛼𝑖2 √

𝐸1 𝐼 √ 𝜌 𝐿2 𝑆

𝑣𝑖 =

1 2 𝐸1 𝐼 √ 𝛼 √ 2𝜋 𝑖 𝜌 𝐿2 𝑆

𝑘𝑖 =

𝛼𝑖 𝐿

A chacune de ces fréquences sera associé un profil d’amplitude de déformée Y(ωi, x)=Yi(x) appelé mode propre de vibration. Les fréquences propres (fréquences de résonance) résultent dans ce modèle de la compétition entre les forces d’inertie et les forces de rappel élastique. L’équation aux vibrations ne contient aucun terme susceptible de limiter l’amplitude des oscillations de sorte que la solution en amplitude ne sera définie qu’à une constante multiplicative arbitraire près. 𝐸

Fréquences propres sont la combinaison d’un terme√𝜌 caractérisant les propriétés intrinsèque du matériau (élasticité E, inertie ρ) qui s’identifie à la vitesse de propagation du son dans la poutre et d’un terme géométrique

1 𝐿2

𝐼

√ qui caractérise la géométrie de la structure. 𝑆

17

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

b. Modes propres de vibration d’une poutre encastrée élancée de section rectangulaire Avec S=bh et I= bh3/12, les fréquences propres sont données par : 𝑣𝑖 =

1

𝐸ℎ 𝛼𝑖2 √ 2 𝜌𝐿 2𝜋√12

𝑘𝑖 =

12𝜌𝑤𝑖2 𝐸ℎ2

Et les modes propres par : 𝑌𝑖 (𝑥) = asin(𝑘𝑖 𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑖 𝑥) + 𝑐𝑠ℎ(𝑘𝑖 𝑥) + 𝑑𝑐ℎ(𝑘𝑖 𝑥) Dans le cas d’une poutre encastrée, les conditions aux limites sont :  Yi(0)=0=b+d  

𝑑𝑌𝑖 𝑑𝑥 𝑑𝑌𝑖2 𝑑𝑥 2

(0) = 0 = 𝑎 + 𝑐

Déplacement d’encastrement interdit Rotation interdite à l′ encastrement

(L) = 0 = 𝑘𝑖2 {− asin(𝑘𝑖 𝐿) − 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑖 𝐿) + 𝑐𝑠ℎ(𝑘𝑖 𝐿) 𝑑𝑐ℎ(𝑘𝑖 𝐿)}

𝐴𝑏𝑠𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 à 𝑙 ′ 𝑒𝑥𝑡𝑟é𝑚𝑖𝑡é − 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 

𝑑𝑌𝑖3 𝑑𝑥 3

(L) = 0 = 𝑘𝑖3 {− acos(𝑘𝑖 𝐿) + 𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑖 𝐿) + 𝑐𝑐ℎ(𝑘𝑖 𝐿) + 𝑑𝑠ℎ(𝑘𝑖 𝐿)}

Absence d′effort tranchant à l′ extrémité − libre Avec : a, b, c, d sont solution du système linéaire Ce système n’admet une solution a, b, c, d proportionnels à une constante arbitraire près que si son déterminant est nul, soit l’équation aux pulsations propres définies par les conditions aux limites :

ch (kiL) cos (kiL)=-1 𝜋

Les racines 𝛼𝑖 sont : 𝛼𝑖 = (2𝑖 + 1) 2 pour i>2 Au-delà du mode fondamental, les fréquences propres sont régulièrement espacées car ch(kiL)cos(kiL)=1 s’écrit cos(kiL)=1/ch(kiL) avec 1/ch(kiL) décroissant très rapidement vers zéro de sorte que l’équation aux fréquences propres se réduit à cos(kiL)=0. L’équation Yi(x)=asin(kix)+bcos(kix)+csh(kix)+dch(kix) du mode propre d’ordre i s’écrit :

18

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I sin((𝑘 𝐿)𝑠ℎ(𝑘 𝐿)

𝑖 𝑖 En notant 𝛿𝑖 = 𝑌𝑖 (𝐿) = −2a 𝑠𝑖𝑛(𝑘 𝐿)−𝑠ℎ(𝑘 l’amplitude de la flèche à l’extrémité libre : 𝐿) 𝑖

𝑖

Mode fondamental : 𝑣0 =

1 2𝜋√12

1/4

𝜌𝑆𝑤02 𝑘0 = ( ) 𝐸𝐼

𝐸ℎ 𝜌 𝐿2

𝛼02 √

=

𝛼0 𝐿

𝑦 𝑥

La figure suivante compare en coordonnées réduites (𝛿 , 𝐿 ) les déformées du mode statique sous charge ponctuelle à l’extrémité libre et du mode fondamental de vibration libre (d’ordre 0)

Fig. I.12 : déformées du mode statique à l’extrémité libre et du mode fondamental de vibration libre (d’ordre 0) Modes d’ordre supérieur : Le nombre de nœuds est égal à l’ordre du mode. La figure ci-dessous schématise l’allure des premiers modes. Le mode fondamental est le plus facile à exciter. La théorie des modes propres montre que la déformée statique peut être obtenue par la somme pondérée (les facteurs de pondération étant fonction du chargement statique imposé) des déformées des différents modes propres de vibration libre. Cependant, plus l’ordre du mode est élevé et plus faible est son coefficient pondérateur.

19

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Fig. I.13 : Les déformées des différents modes propres de vibration libre I.3.1 Modes et fréquences propres de vibration, cas encastrée-libre : Le calcul des modes et fréquences propres d’une poutre est très utilisés dans l’analyse vibratoire de ces éléments de structure. Il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure, c’est à dire qui ne dépend pas des sollicitations extérieures, et qui définit le spectre des fréquences et déformées (modes) qu’il faudra éviter de solliciter si l’on veut que la structure n’ait pas un comportement critique. De plus, la résolution dans la base modale réduit considérablement la taille du problème du fait des K et M-orthogonalités des modes propres. Le calcul de modes propres est notamment utilise dans le domaine de l’analyse modale qui consiste à exprimer le déplacement quelconque d’un structure dans la base, (infinie dans le cas des milieux continus) formée par ses vecteurs propres. C’est une technique couramment employée au niveau analytique aussi bien que dans les codes de calculs par éléments finis par exemple. La connaissance de cette base modale permet également d’étudier la stabilité d’une structure soumise à une excitation proportionnelle à un ou plusieurs modes propres. Pour simplifier la résolution analytique, considérons un poutre de section constante, de matériau constitutif possédant des propriétés également constantes, la solution du problème sous la forme d’une fonction de l’espace en produit avec une harmonique de pulsation ω à déterminer : u(x,t)= u(x)cos(ωt). L’équilibre de cette poutre s’écrit alors : 𝐸𝑆

𝑑2 𝑢(𝑥) + 𝑤 2 𝜌𝑆𝑢(𝑥) = 0 𝑑𝑥 2

Ce qui se résout sans difficulté en posant une solution générale du type : u(x) = eαx. On en déduit 𝜌

𝐸

alors que l’argument est imaginaire pure et vaut 𝛼 = ±𝑖𝑤√𝐸 .En posant 𝑐 = √𝜌 La célérité des ondes, le champ de déplacement est harmonique en espace et s’écrit : 𝑢(𝑥) = a sin(𝜆𝑥) + 𝑏 sin(𝜆𝑥)

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜆 =

20

𝑤 𝑐

la longueur d’onde

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Considérons le cas encastré en x = 0 et libre en x = l. Les conditions aux limites associées impliquent: {

𝑢(0) = 0

⇒ 𝑏=0

𝑁(𝑙) = 0

⇒

𝑐𝑜𝑠𝜆𝑙 = 0 ⇒ 𝜆𝑙 =

𝜋 𝜋 ± 𝑘𝜋 ⇔ 𝜆𝑘 = (2𝑘 − 1) , 𝑘 ∈ 𝑁 ∗+ 2 2𝑙

On en déduit immédiatement la pulsation propre de rang k et le vecteur propre associe. On remarque que la pulsation propre de rang k est liée à cette pulsation λk par la célérité c des ondes dans ce solide monodimensionnel : La solution s’exprime comme la somme de ces modes propres. 𝜋

𝑤𝑘 = (2𝑘 − 1) 2𝑙 𝑐

avec

𝐸

𝑐 = √𝜌

+∞

+∞

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑘 (𝑥) cos(𝑤𝑘 𝑡) = ∑ 𝑎𝑘 sin ((2𝑘 − 1) 𝑘=1

𝑘=1

𝜋 𝜋 𝑥) cos ((2𝑘 − 1) 𝑐 𝑡) 2𝑙 2𝑙

Ou en utilisant les fonctions de Ducan 𝑠2 (𝜆𝜉) = 𝑠𝑖𝑛(𝜆𝜉) + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜆𝜉) 𝑐2 (𝜆𝜉) = 𝑐𝑜𝑠(𝜆𝜉) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜆𝜉) 𝑠2 (𝜆𝜉) = −𝑠𝑖𝑛(𝜆𝜉) + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜆𝜉) {𝑐2 (𝜆𝜉) = −𝑐𝑜𝑠(𝜆𝜉) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜆𝜉) → 𝛹(𝑥) = 𝐵1 𝑠1 (𝜆𝜉) + 𝐵2 𝑐1 (𝜆𝜉) + 𝐵3 𝑠2 (𝜆𝜉) + 𝐵4 𝑐2 (𝜆𝜉)

Les solutions sont alors connues. Traitons par exemple le cas encastre-libre. Les conditions aux limites cinématiques permettent de résoudre : En x=0 encastrement : 𝛹(0) = 0 𝑒𝑡 𝛹 ′ (0) = 0

En x=1 bord libre :

→ 𝐵2 = 𝜆𝐵1 = 0

′′′

𝛹′′ (1) = 0 𝑒𝑡 𝛹′ (1) = 0

→

[

𝑠 1 ( 𝜆) 𝜆𝑐1 (𝜆)

𝑐1 (𝜆) 𝐵3 0 ]( ) = ( ) 0 𝜆𝑠2 (𝜆) 𝐵4

Pour cette dernière condition, la solution λ = 0 n’est pas acceptable, car le déplacement correspondrait à un mouvement de corps rigide. Il faut donc avoir un déterminant nul pour ce système, ce qui conduit à: 𝑆1 (𝜆)𝑆2 (𝜆) − 𝐶12 (𝜆) = 0

⇔ −𝑐𝑜𝑠 𝜆𝑙 =

1 cosh 𝜆𝑙

Que l’on résout numériquement. On trouve la première solution λ1 = 1,8751 et ω21 = 12,36 EI/ml3. Quelles que soient les conditions aux limites, on arrive à une équation de type semblable.

21

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Fig. I.14: Traces des fonctions utilisées pour résoudre l’équation I.4 Equation classique des vibrations de flexion des poutres, équation d’Euler : Pour obtenir l’équation classique des vibrations de flexion des poutres, on introduit une simplification supplémentaire en négligeant l’effet rotationnelle représenté par le deuxième terme de l’équation de mouvement suivant [6] :

−𝜌𝑆

𝜕 2 𝑊20 𝜕 𝜕 3 𝑊20 𝜕2 𝐼3 𝜕 2 𝑊20 + (𝜌𝐼 ) − ( )=0 3 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥12 𝑆1111 𝜕𝑥12

Ce qui donne en remplaçant (

) par E le module de Young du matériau dans la direction

longitudinale :

Condition aux limites : Soit :

Soit : Le mouvement vibratoire est alors décrit par des équations qui ne font plus apparaitre les contraintes, ces derniers peuvent se calculer avec l’expression dès que l’on connait W20. La quantité

𝜕 𝜕𝑥1

et la quantité

(𝐸3 𝐼3

𝜕2 𝑊20 𝜕𝑥12

) = 0 est homogène à une force on lui donne le nom d’effort tranchant est homogène à un moment on lui donne le nom de men moment

fléchissant.

22

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I I.5 Synthèse bibliographique :

Des nombreux travaux de recherche ont été réalisés dans le domaine de l’analyse modale. H. SHEN et al [07] développe une procédure d'identification pour déterminer les caractéristiques de fissure (emplacement et taille de la fissure) à partir de mesures dynamiques. Cette procédure est basée en minimisant le "moyen-carré" ou le "max" mesure de la différence entre les données de mesure (fréquences naturelles et formes de mode) et les données de prédictions obtenues à partir du modèle de calcul. Des conditions nécessaires sont obtenues pour Les deux formulations. La méthode est testée pour des dommages simulés sous la forme d'un côté ou des fissures symétriques dans une poutre Bernoulli-Euler simplement soutenu. La sensibilité de la solution l'identification des dommages aux valeurs des paramètres qui caractérisent le dommage est discutée. N. CHIEN et al [08] Le but de cet article est de construire des lois de conservation pour la statique et la dynamique des poutres non homogènes de Bernoulli-Euler. Pour dériver ces lois de conservation, ils utilisèrent les méthodes d'action neutre (NA) nouvellement proposée, Lois de conservation dans les systèmes mécaniques non homogènes et dissipatifs, Les lois de conservation dérivées devraient être utiles pour caractériser des défauts concentrés, tels que des fissures et des interfaces, de manière non homogène poutre. Une comparaison de ces deux méthodologies, avec un exemple illustrant l'efficacité relative de la méthode de NA sur l'approche de Noether, Également présenté. M. LEVINSON [09] est développé une nouvelle théorie pour les poutres de section transversale rectangulaire qui comprend la déformation des sections transversales. En satisfaisant les conditions de cisaillement sur les surfaces latérales de la poutre sont assimilées à une paire d'équations de mouvement couplées telles que aucun coefficient de cisaillement arbitraire n'est requis. Il est montré que l'équation désaccouplée pour une nouvelle théorie autonome pour la statique et la dynamique des poutres de rectangulaire. Dans le cas des vibrations libres, il a été démontré que la théorie de la poutre de Timoshenko est équivalente à la nouvelle théorie à condition que le Timochenko le coefficient de cisaillement ait une valeur de 5/6. C'est une valeur qui n'est pas significativement différente de celle de diverses valeurs données dans la littérature pour la poutre rectangulaire étroite. En outre, des exemples statiques typiques montrent que la nouvelle théorie fournit des résultats bons ou meilleurs que la théorie de la poutre de Timoshenko par rapport à ceux obtenus à partir de la théorie linéaire d’élasticité. P. F. Rizos et al [10] est étudié le mesure des vibrations de flexion d’une poutre en porte-àfaux avec une section transversale rectangulaire ayant une fissure de surface transversale s'étendant uniformément le long de la largeur de la poutre et des résultats analytiques sont utilisés pour relier les modes de vibration mesurés à l'emplacement de la fissure et la profondeur. A partir des

23

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

amplitudes mesurées à deux points de la structure qui vibrent à l'un de ses modes naturels, de la fréquence de vibration respective et d'une solution analytique de la réponse dynamique, l'emplacement de la fissure peut être trouvé et la profondeur peut être estimée avec la méthode d'identification était basée sur l'hypothèse d'une fissure de surface transversale, S'étendant uniformément sur la largeur de la structure. La fissure ouverte ne pose pas de limitation sévère parce que des fissures sont attendues aux emplacements de haute statique et dynamique charges, les charges statiques empêchant la fissure. La méthode s'applique aux systèmes structurels qui ont des descriptions analytiques ou peut être modélisé au moyen de la méthode des éléments finis ou d'une autre méthode pratique. L’équation du mouvement et les conditions aux limites associées sont dérivées pour les vibrations d’une poutre uniforme contenant une fissure de fatigue à un seul bord. La fissure de fatigue a été introduite sous la forme du modèle dite de «craquage respiratoire» qui s'ouvre lorsque la contrainte normale près de la pointe de fissure est positive. La réponse dynamique de l'équation bilinéaire sous un l'excitation forcée concentrée est calculée à partir d'une analyse numérique. Un comportement clairement non linéaire a été trouvé sur l'historique du temps et le spectre de fréquence pour chaque mode de vibration. Les changements dans la dynamique le comportement des structures craquées peut être utilisé pour déduire la taille et l'emplacement de la fissure. Analyse de vibration d’une poutre simplement pris en charge avec plusieurs. La conclusion la plus significative est que l'augmentation de la profondeur relative de fissure diminue les fréquences naturelles. Y. C. CHU et al. [11]. Ömer Civalek et al. [12] a présenté une nouvelle approche pour obtenir des moments précis de flexion et des déplacements. L’analyse de flexion des microtubules soumis à une uniformité des charges distribuées et concentrées sont données. Une simulation numérique est effectuée pour vérifier les prédictions analytiques et pour étudier la détérioration statique et le moment de flexion pour différentes conditions aux limites. Le problème est analysé pour l'étude de la flexion des microtubules. Les résultats numériques montrent que le paramètre non local a un effet important sur le comportement Également utile pour fournir des solutions de vibration et de flambage des microtubules en utilisant la théorie du poutre non local. Même si l'analyse présentée concerne uniquement le boîtier de déformation statique linéaire, la statique non linéaire et la vibration des microtubules basés sur la théorie de la poutre Timoshenko non local peut également être analysée en utilisant la méthode numérique présentée dans cette étude. La détection de la présence de fissures sur la surface du type de poutre l'élément structurel utilisant la fréquence naturelle est présenté

24

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

Kaushar H. Barad et al [13]. Les deux premières fréquences naturelles de la poutre fissurée ont été obtenues expérimentalement et utilisés pour la détection de l'emplacement et de la taille des fissures. Les endroits et la taille des fissures détectés sont comparés aux résultats réels et a été jugé en bon accord. En outre, l'effet de l'emplacement de la fissure et de la profondeur de fissure sur la fréquence naturelle est présenté. En utilisant cette approche, la détection des dommages peut être effectuée en utilisant la fréquence naturelle. La méthode actuelle pour détecter l'emplacement et la taille des fissures est rapide et efficace. La fissure avec un plus grand rapport de profondeur de fissure (a / h) donne des réductions plus importantes de la fréquence naturelle que celle du plus petit ratio de fissure. Par conséquent, la précision des résultats s'améliore à mesure que la profondeur de fissure augmente. A. Labuschagne et al [14] est considéré trois modèles pour une poutre en porte-à-faux basé sur trois lignes par différentes théories : Euler-Bernoulli, Timoshenko et élasticité bidimensionnelle. Ils utilisent les fréquences propres et les modes comme un critère, ils ont trouvé que la théorie de Timoshenko est proche de la théorie bidimensionnelle pour des modes d'importance pratique, mais que l'applicabilité de la théorie Euler-Bernoulli est limitée. Les résultats montrent que le modèle de Timoshenko est remarquablement précis par rapport au modèle bidimensionnel, à condition que la demande soit une pour laquelle la théorie de la poutre est destinée. Cependant, la comparaison à un modèle tridimensionnel mais comme mentionné précédemment, une comparaison d'un modèle bidimensionnel avec un modèle tridimensionnel est indiquée. Ils prévoient qu'une comparaison des valeurs propres et des fonctions propres sera réalisable. Luca Luschi et al [15] est étudié les propriétés de flexion des poutres avec perforations rectangulaires périodiques. À partir de l'équation standard de la poutre d'Euler-Bernoulli, des expressions analytiques compactes pour la rigidité de flexion équivalente dans des sections remplies et perforées sont développées et utilisées pour calculer les fréquences de résonance de la poutre perforée. Les résultats sont en accord avec les simulations FEM pour la plupart des conceptions pratiques, tant que les effets de contraintes de cisaillement peuvent être considéré comme négligeables. Tandis que les résultats présentés impliquent uniquement des fréquences de résonance, le modèle peut également être utilisé pour évaluer la statique La déviation et les constantes élastiques statiques des poutres perforées. Salvatore Caddemi et al. [16] a utilisé La rigidité supplémentaire de la matrice de rigidité élémentaires de poutre pour dériver un linéaire homogène élément fini à poutre élastique. L'assemblage de la matrice de rigidité totale obtenue permet d'analyser l'effet de la fissure caractéristique sur les premières fréquences de résonance de la poutre. La solution d'un problème inverse a été effectuée en utilisant cette information et a permis d'évaluer l'effet du bruit sur la profondeur de fissure prédite. Ils ont trouvé que la méthode proposée peut être utilisé pour 25

Généralité et synthèse bibliographique

Chapitre I

concevoir un système intelligent pour la détection des fissures dans les poutres. La performance de cette méthode est élevée pour de grandes valeurs de ratio de fissure et faible bruit. Mahdi Heydari et al [17] Dans cet article, la vibration flexible forcée d’une poutre fissurée est étudiée en utilisant un modèle bilinéaire continu pour le champ de déplacement. Les effets de la déformation du cisaillement et de l'inertie rotative sont pris en considération maquette de vibration fixable forcée d’une poutre de Timoshenko avec une ouverture le fissure de bord est étudié dans cette recherche en utilisant un bilinéaire continu modèle pour le champ de déplacement .La contrainte et les champs de stress sont calculés par dérivation directe du champ de déplacement et utilisant le modèle de matériau élastique linéaire. Ensuite, l'équation différentielle partielle du mouvement pour une distribution de force générale a été obtenue. Par utilisant le principe de Hamilton Les diagrammes de réponses ont été comparés aux résultats des éléments finis et un excellent accord a été observé. Ils ont également comparés les résultats à celles de la poutre Euler et Bernoulli pour montrer l'importance d'utiliser le modèle Timoshenko dans le cas de poutres courtes. Les résultats ont également été utilisés pour étudier l'effet des sur les diagrammes de réponse en fréquence. L'étude présentée peut être utilisée dans la détection des fissures des algorithmes afin d'identifier l'emplacement et la taille de la fissure.

I.6 Conclusion : Ce chapitre a introduit, pour des vibrations des poutres, l’approche mathématique se base sur une manipulation de l’équation de mouvement. Une fonction des conditions limites particulières permet d’isoler des quantités recherchées. Dans cette partie, nous avons fait une synthèse des travaux consacrés à la dynamique des systèmes et particulièrement l’identification des paramètres caractérisant le comportement dynamique des structures mécaniques d’une poutre encastrée-libre. Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés aux définitions et à la présentation de l’analyse dynamique d’une poutre (le principe fondamental de la dynamique) ainsi que l’équation d’équilibre, en mettant l’accent sur la poutre encastrée-libre. Ensuite, à partir de précédent nous avons étudié une vision générale sur les vibrations des poutres et il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure (mode et fréquence). Le travail présenté dans le chapitre suivant donnera plus de détail sur le sujet avec un exemple mathématique et apportera un complément à ces méthodes.

26

Chapitre II :

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II : Résolution de l’équation homogène, schéma modal, cas de la poutre encastréelibre

II.1 Introduction : La formulation du problèmes des vibration de flexion des poutres à montrer l’existence de deux modèles de base, le modèles de Timoshenko qui tient compte de l’inertie rotationnelle de l’effet de cisaillement transversal, et le modèle d’Euler-Bernoulli qui néglige l’effet de cisaillement et conduit après élimination de l’inertie rotationnelle à l’équation d’EulerBernoulli qui est l’équation la plus représentative des vibrations de flexion des poutres lorsque toutes les hypothèses simplificatrices sont présentent. Ce chapitre comporte une étude sur le modèle d’Euler-Bernoulli et ces équations et la résolution de l’équation homogène, cas de la poutre encastrée- libre.

27

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II : II.2 Poutre d'Euler-Bernoulli :

Le modèle d’Euler-Bernoulli voit le jour au 18e siècle avec Daniel Bernoulli (1700-1782) qui formula pour la première fois l’équation différentielle de mouvement d’une poutre [18]. Ce modèle inclut l’énergie de déformation par flexion et l’énergie cinétique due au déplacement latéral. Euler y apporta de nombreuses améliorations par ses travaux sur l’élasticité. Aussi appelée théorie classique des poutres, le modèle d’Euler- Bernoulli reste le plus commun de par sa simplicité et fournit des approximations acceptables à de nombreux problèmes d’ingénierie. Cependant, il tend à légèrement surestimer les fréquences naturelles et se limite, pour l’essentiel, au cas des poutres minces. Le modèle d'Euler-Bernoulli est l'équivalent du modèle de Love-Kirchoff. La théorie d’Euler-Bernoulli est utilisée quand le rapport longueur sur diamètre équivalent est supérieur à vingt. D’après les hypothèses d’Euler-Bernoulli [19], la déformation due cisaillement transversale n’est pas prise en compte, en plus toute section droite reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation. Dans notre cas la théorie d’Euler-Bernoulli est utilisée à la flexion sur une poutre encastrée libre. La théorie classique des poutres développée par Euler-Bernoulli est employée seulement pour les poutres minces car cette théorie néglige l’effet du cisaillement transversal et les contraintes naturelles. L’équation de Bernoulli-Euler ci-dessous représente une modèle de bas des vibrations de flexion des poutres toutes lorsque les hypothèses simplificatrices sont respectées [20], c’est celui que nous allons d’écrire en premier lieu avec a notation poutre homogène de section constante avec : W20 ≡W,

E1 ≡ E ,

I3≡I , x1 ≡x

El= constante

ρS=constante

Les conditions aux limites dans le cas de la poutre encastrée en x=0 et libre en x=l se traduisent par :

et

28

Chapitre II :

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

En séparant W(x,t) en deux fonction w(x,t)=T(t).A(x) et en remplaçant dans l’équation de mouvement il vient :

On peut donc écrire :

La première de ces deux équations est une équation différentielle ordinaire du 2ème ordre sa solution peut être écrite sous la forme : T(t)=d1sinwt+d2coswt Ou d1 et d2 sont déterminées par les conditions initiales.

Avec : a est appelée nombre d’onde et la relation (

) relation de dispersion.

L’introduction des conditions aux limites dans la solution spatiale va permettre déterminer a et par la suite les fréquences propres w. La forme spatiale présente une solution en deux termes l’un sinusoïdale et l’autre hyperbolique A(x) =C1 sin(x) + C2 cos (ax) +C3 sinh (ax) +C4 cosh (ax) En introduisant les conditions limites dans cette équation il vient:

29

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

En remplaçant C3 et C4 par leurs valeurs dans les deux dernières équations et en écrivant le système sous forme matricielle on obtient :

La solution non triviale qui annule le déterminant est : cos (al) cosh(al) + 1 =0 C'est l’équation aux fréquences, elle peut s'écrire sous la forme : .

cos (al) + (1/cosh(al))=0

Et peut-être approximée pour al >> 1 par cos (al) = 0 ie 𝒂𝒏 𝒍 = 𝝅 (

𝒏+𝟏 𝟐

),𝒏 > 𝟑

Notant ici qu'on peut obtenir les valeurs numériques des nombres d'onde sans dimension par la résolution directe de l’équation aux fréquences, ce qui n’est pas le cas pour les autres modèles. Les premières racines de cette équation sont : a31 = 7,85476

a l l = 1,87510

a 2 1 = 4,6 4

a 4 1 = 10.99554

Si on norme C 1 =1 on trouve A ( x ) = s i n ( a x ) s i n h ( a x ) 𝜑( a 1 ) ( c o s ( a x ) c o s h ( a x ) )

Avec : La solution générale de l’équation homogène représentative des vibrations de flexion selon le modèle d’Euler dans le cas d’une poutre encastrée libre est :

d1 et d2 sont déterminée par les conditions initiales

30

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

Les huit premières valeurs de nombres d’ondes de ce modèle et les fréquences propres du mode correspondant pour une outre encastrée libre présentant le caractéristiques suivant : E=200Gpa I=0.0001171m2 ρ=7830Kg/m3 ET S=0.0097389m2 Sont donnés dans le tableau 1 suivant : Mode

Nb d'onde

Fréquence Propre

n

(anl)

wn(rd/s)

wn/w1

1

1,875

1948,536

1

2

4,694

12211,265

6,267

3

7,855

34191,895

17,547

4

10,996

67002,467

34,386

5

14,137

110759,879

56,842

6

17,279

165456,081

84,913

7

20,42

231091,552 118,597

8

23,562

307666,268 157,896

Tab II.1 : nombres d’onde et fréquence propres de la poutre d’Euler Les fréquences naturelles peuvent être exprimées sous la forme :

Relation à partir de laquelle on peut écrire pouvant ainsi tracer

ou r est e rayon de giration donné par

en fonction de r ceci va nous être utile lorsque nous

allons n comparer les fréquences naturelle avec eux prédit ara les autres modèles. Les fonctions An(x) sont appelées fonction propres ou déformées propre et constituent un base sur laquelle peut être projeté la solution du problème.

31

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II : II.2.1 Méthode de Bernoulli-Euler :

En assumant le modèle de Bernoulli-Euler pour la pièce d'épaisseur uniforme;

où, (EI)A est la rigidité en flexion effective de la section A et (EI)B est la rigidité en flexion de la section B. Les variables 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 et AA et AB sont les densités de masse et les sections appropriées [26]. Celles-ci sont données par l'équation suivante :

Le comportement de la poutre d’Euler-Bernoulli, en régime harmonique [21], est décrit par les équations suivantes : a. Vibrations longitudinales : 𝑑𝑁

Équation d’équilibre :

𝑑𝑠

𝑑𝑣

𝑁(𝑠) = −𝐸𝐴 𝑑𝑠 (𝑠)

Loi de comportement : Équation d’onde ∶

(𝑠) = 𝜌𝐴𝑤 2 𝑣(𝑠)

𝑑2 𝑣 𝑑𝑠2

(𝑠) = −𝑥 2 𝑣(𝑠)

32

𝑜𝑢

𝜌𝑤 2

𝑥=√

𝐸

=

2𝜋 𝜆𝑐

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II : b. Vibrations transversales :

𝜆𝑐 désigne la longueur de l’onde de compression et 𝜆𝑓 la longueur de l’onde de flexion dans l’élément considéré pour la pulsation w. Les deux longueurs d’onde sont reliées par l’équation 𝐼

suivante : 𝜆𝑓2 = 𝜆𝑐 2𝜋√𝐴 = 𝜆𝑐 2𝜋

𝑎 √12

Or, la description des vibrations par un modèle de poutre d’Euler-Bernoulli n’est valable que si les longueurs d’onde sont significativement plus grandes que les épaisseurs donc

𝜆𝑓 >> a.

Ainsi, pour une fréquence donnée, la longueur de l’onde de flexion est beaucoup plus courte que celle de l’onde de compression

𝜆𝑓 𝜆𝑐

𝑎

= 0( ) ≪ 1 𝜆 𝑓

Les équations de la poutre d’Euler-Bernoulli sont intégrées sur la longueur de l’élément en prenant comme conditions aux limites les valeurs inconnues des déplacements et rotations aux nœuds : 𝑢𝐷 , 𝑢𝐹 , 𝑣 𝐷 , 𝑣 𝐹 , 𝜃 𝐷 , 𝜃 𝐹 . Cela permet d’écrire les expressions des efforts nodaux dans le repère local :

33

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

En considérant la théorie classique des poutres d’Euler-Bernoulli [22], le champ de déplacement peut être écrit sous la forme : 𝑢 (𝑥) + (𝑧 − 𝑧𝑖 )𝛽𝑖 (𝑥) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀(𝑥, 𝑧) = 𝑈𝑖 = ( 𝑖 ) 𝑊(𝑥)

𝛽𝑖 =

𝜕𝑤 , 𝛽2 = 𝛽(𝑥), 𝑖 = 1,3, 𝜕𝑥

Ou Ui est le vecteur déplacement de la couche i, Ui est le déplacement longitudinal da le plan moyen des faces, Zi est la cote du plan moyen de la couche i, β2 = β(x) est u rotations additionnelle dans la couche viscoélastique qui permet de prendre en com le cisaillement dans cette couche. Le déplacement transversal W(x) est commun à trois couches. Le repère considéré est tel que le plan (x, y) coïncide avec la plan méd de la couche viscoélastique. On a : 𝑧1 =

ℎ1 + ℎ2 , 2

𝑧2 = 0 ,

𝑒𝑡

𝑧3 =

ℎ3 + ℎ2 2

La convention ζ,x = ∂ζx et la condition de continuité du déplacement aux interfaces nous permettent d’écrire : 𝑢1 + 𝑢3 ℎ1 − ℎ3 + 𝑤,𝑥 2 4 𝑢1 − 𝑢3 ℎ1 + ℎ3 𝛽2 = + 𝑤,𝑥 ℎ2 2ℎ2 𝑢2 =

34

ou

𝑤,𝑥 =

𝜕𝑊 𝜕𝑥

Chapitre II :

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

L’équation résiduelle est formulée en utilisant le principe des travaux virtuels :

Ou δΓ représente la déformation virtuelle, Si est le tenseur des contraintes défini par la relation:

avec

D’un point de vue numérique, le problème est discrétisé en utilisant des éléments poutres. En remplaçant les variables u2 et β2 par leur expression en fonction de u1, u3, wx ; chaque nœud a quatre degrés de liberté. Le vecteur nodal est égal à 𝑢1 𝑢3 𝑣={ } L’équation résiduelle discrète est : 𝑤 𝑤, 𝑥

Une forme générale de l’équation caractéristique pour une poutre d’Euler-Bernoulli [23] représente par l’équation suivant. Une combinaison des Bi de valeur zéro ou infini correspond à des conditions limites classiques.

35

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

Ou 𝑎̃ … sont des fonctions trigonométriques de la fréquence adimensionnelle donnée cidessous :

II.2.2 Méthode de calcul : L'équation différentielle en flexion de la poutre considérée (une poutre encastrée libre à section variable rectangulaire), en théorie d'Euler-Bernoulli s'écrit (Théorie d'Euler-Bernoulli): 𝜕 2 (𝐸𝐼𝑧

𝜕 2𝑣 ) 𝜕𝑥 2

𝜕𝑥 2

= −𝜌𝐴

𝜕 2𝑣 𝜕𝑡 2

ou 𝐼𝑧 et 𝐴 variant avecl′abscisse

Les fréquences propres sont alors de la forme :

𝑓𝑖 =

1 2𝜋

𝜆𝑖 (𝛼, 𝛽)

ℎ1

𝐸

avec 𝛼 =

√ 𝐿2 12𝜌

ℎ0 ℎ1

𝛽=

𝑏0 𝑏1

Dans le cas d’une poutre vérifiant les conditions de Bernoulli-Euler [24] (absence de cisaillement transverse), l’équation de mouvement des vibrations libres en flexion s’écrit 𝜕4 𝑤

𝐸𝐼 𝜕𝑥 4 + 𝜌𝐴

𝜕2 𝑤 𝜕𝑡 2

= 0 , où w est le déplacement transverse, E est le module d’Young du

matériau, I est le moment quadratique de la section droite de la poutre, ρ est la masse volumique du matériau et A est l’aire de la section droite de la poutre. La solution est explicitée par Adams et Bacon sous la forme :

𝑤(𝑥, 𝑡) = ∑∞ 𝑛=1 𝑋𝑛 (𝑥) sin 𝑤𝑛 𝑡

Où ω n est la fréquence angulaire propre et Xn (x) est la déformée écrite suivant : 𝑋𝑛 (𝑥) = 𝐴𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑛

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 + 𝐵𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑛 + 𝐶𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑛 + 𝐷𝑛 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑘𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

Où An, Bn, Cn, Dn sont des constantes dépendant des conditions aux extrémités de la poutre et Kn est lié à la fréquence propre λn par la relation : 𝜆

𝑘𝑛4 = ( 𝑎𝑛)4 =

𝜌𝐴 𝐸𝐼

𝑚

𝑤𝑛2 = 𝐸𝐼𝑎 𝑤𝑛2

Où a est la longueur de la poutre et m sa masse. 36

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II : L’énergie dissipée par cycle est :

∆𝑈𝑛 = 𝜋𝐹𝑚 𝑤𝑐𝑚 Où et Fm Wcm sont les valeurs crêtes de

la force et de la flèche correspondantes. Ces valeurs sont données par : 𝐹𝑚 = Ӷ𝑑 𝐼𝑚𝑎𝑥

𝑤𝑐𝑚 =

𝑉𝑚𝑎𝑥 1 Ӷ𝑑

𝑤𝑛

Où Imax est l’intensité crête du courant induit dans l’excitation, Γd est le facteur de sensibilité de l’excitation et Vmax la tension crête mesurée aux bornes du capteur. Le coefficient d’amortissement spécifique a été ensuite déterminé à partir de la relation : 𝛹=

∆𝑈𝑛 𝑈𝑛

Où le coefficient d’amortissement ψ est lié au facteur de perte η par la relation : 𝛹=2 π η II.3 Application pour la poutre encastrée libre : Vibrations forcées d'une poutre en rotation : Selon la théorie d'Euler Bernoulli, l'équation différentielle d'une poutre en rotation

Fig II.1: Poutre uniforme en rotation La force de tension centrifuge T(z) à une distance z de l'origine s'écrit : 𝑙

𝑇(𝑧) = 𝛺 2 ∫ 𝑦𝜇(𝑦)𝑑𝑦 𝑧

Où, u est le déplacement relatif d'un point par rapport à sa position statique, p est la force appliquée par unité de longueur, _ est la masse par unité de longueur de la poutre, est la vitesse de rotation de la poutre, Eb est le module d'élasticité, Ib est le moment d'inertie de la section transversale de la poutre et l désigne la longueur de la poutre.

37

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

L'e_et de la gravité sur la rotation de la poutre est considéré négligeable par rapport à l'e_et centrifuge. Les conditions aux limites pour une poutre en rotation encastrée-libre sont données par:

L'expression de la flexion de la poutre peut s'écrire sous la forme : 𝑢(𝑧, 𝑡) = ∑𝑛𝑖=1 ∅𝑖 (𝑧)𝑞𝑖 (𝑡) Avec, i(z) sont les fonctions de formes ; qi(t) sont les coordonnées généralisées. Les fonctions de formes doivent être linéairement indépendantes et doivent satisfaire les conditions aux limites suivantes : ∅𝑖 (0) =

𝑑∅𝑖 (0) 𝑑𝑧

=0

L'énergie potentielle du système s'écrit :

Où, K est la matrice de raideur généralisée de la poutre, tel que : 𝑙

Avec, Ke est la matrice de rigidité élastique ; Ke = ∫0 𝐸𝑏 𝐼𝑏 (𝑧) Kg est la matrice de rigidité géométrique.

𝑙

K=Ke + Kg

𝑑2 ∅(𝑧) 𝑑2 ∅(𝑧)

Kg = ∫0 𝑇(𝑧)

𝑑𝑧 2

(

𝑑𝑧 2

𝑑∅(𝑧) 𝑑∅(𝑧) 𝑇 𝑑𝑧

(

𝑑𝑧

Ke et Kg ont les expressions suivantes : F(t) est le vecteur du chargement dynamique, qui est calculé comme suit 𝑙

𝐹(𝑡) = ∫0 ∅(𝑧)𝑝(𝑧, 𝑡)𝑑𝑧

38

𝑇

) 𝑑𝑧

) 𝑑𝑧

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

II.3.1 Les vibrations des poutres encastrées libre en flexion : Soit une poutre encastrée libre dont le module d’élasticité de la poutre est E et son inertie de surface par rapport à un axe Z est I(x) [25].

Le moment de flexion s’exprime comme suit : 𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐼(𝑥)

𝜕 2 𝑤(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 2

… … éq5

L’équation du mouvement conduit à l’expression suivante : 𝜕2 𝜕 2 𝑤(𝑥, 𝑡) [𝑀(𝑥, − 2 𝑡)]𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝜌𝐴𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡 2

… … éq6

L’équation 6 devient : 𝜕 2 𝑤(𝑥, 𝑡) 𝜕 2 𝜕 2 𝑤(𝑥, 𝑡) 𝜌𝐴 + 2 [𝐸𝐼 ] = 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

… … é𝑞7

En considérant f(x, t) =0, l’équation 7 devient : 𝜕 2 𝑤(𝑥, 𝑡) 𝜕 4 𝑤(𝑥, 𝑡) 2 +𝐶 =0 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2

… … éq8 𝐸𝐼

𝐶 = √𝜌𝐴

… … é𝑞9

Le degré de l’équation différentielle 7 demande quatre conditions aux frontières et deux conditions initiales. On pose : 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)

… … é𝑞10

1. Solution temporelle : L’équation temporelle s’exprime comme : T ''(t) +ω2T(t) = 0 La solution de l’équation différentielle est : T (t)= Asin ωt + B cosωt Où A et B sont des constantes à déterminer d’après les conditions initiales. 2. Solution spatiale : On suppose une solution de la forme : X (x) = Ae βx On trouve : X (x) = a1 sin βx + a2 cos βx + a3 sinh βx + a4 cosh βx 1 1 sinh(𝛽𝑥) = (𝑒 𝛽𝑥 − 𝑒 −𝛽𝑥 ) cosh(𝛽𝑥) = (𝑒 𝛽𝑥 − 𝑒 −𝛽𝑥 ) 2 2 Les constantes a1, a2, a3 et a4 devront être déterminées d’après les conditions aux frontières. 39

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II : 3. Raideur d’une poutre en console :

x = F.L3 /3.E.I or F = k. x

d’où

k = 3.E.I/L3

II.3.2 Application pour la poutre à étudier : Soit une poutre de longueur 0.5m, épaisseur 0.005m, masse volumique 7850Kg/m3 et module de Young 200*10+9 N/m2.

Fig II.2: Géométrie de la poutre étudier

E: module de young= 200*10+9 N/m2 I : moment d’inertie de flexion = bh3/12=0.3125*10-9 m4

avec :

b=0.03m

S : Section =0.00015 m2 L : Longueur de la poutre =0.5 m Calculer les fréquences par Euler : 𝐸𝐼

La fréquence d’Euler est 𝑊𝑛 = √𝜌𝑆𝐿4 (𝐾𝑛 𝐿)2 avec CL : 𝑊(0) = 0

𝜕2 𝑊 (𝐿, 𝑡) = 0 𝜕𝑥 2

𝜕 𝑊 (0, 𝑡) = 0 𝜕𝑥 2 40

𝜕3 𝑊 (𝐿, 𝑡) = 0 𝜕𝑥 3

Résolution de l’équation homogène, schéma modal

Chapitre II :

Les 10 premières valeurs des nombres d’onde et les fréquences propres des modes correspondants pour la poutre à étudier expérimentalement (chapitre 3) sont reportées sur le tableau 2 : Fréquence propre N°

KnL

Wn

1

3,52

16,32

2

22,4

103,89

3

61,7

286,17

4

121

561,20

5

298,55

1384,72

6

416,99

1934,04

7

555,16

2574,90

8

713,07

3307,32

9

890,73

4131,29

10

1088,12

5046,82

Tab II.2 : Nombres d’ondes et fréquences propres de la poutre.

II.4 Conclusion : Dans ce chapitre, nous avons analysé les vibrations libres des poutres en utilisant la théorie classique d'Euler-Bernoulli, l’objectif visé est de voir et de déterminer les différentes méthodes, équations et leurs solutions concernant cette théorie. Quelque méthode de calcul d'EulerBernoulli utilisée a été aussi présentée avec un exemple d’application pour la vibration de la poutre encastrée-libre en rotation et en flexion. Elles permettent d’obtenir une idée générale sur la formulation du problème des vibrations des poutres pour cette méthode de base.

41

Partie expérimentale

Chapitre III

Chapitre III : Partie expérimentale III.1 Introduction : L’analyse vibratoire des poutres est d’une grande importance dans la conception de nombreux systèmes mécaniques ainsi que pour l’évaluation de leur performance. On peut citer par exemple, les aubes de turbomachines, les pales des hélicoptères ou d’éoliennes mais également les panneaux flexibles des satellites. Il existe de nombreuses méthodes éprouvées pour estimer les fréquences propres et modes propres : comme mes méthodes matricielles ou des éléments finis… Mais nous avons tenu à choisir des méthodes très simples et d’une utilisation immédiate qui n’en constituent pas mois de remarquables approximation comme nous le verrons plus loin. Le but est consisté de calculer à investir l’analyse des paramètres fréquentiels naturelles d’une poutre rectangulaire.

42

Partie expérimentale

Chapitre III III.2-Plan expérimental et matériels utilisés : III.2.1-Montage expérimentale :

Dans ce papier, nous avons étudié les vibrations d’une poutre encastrée libre, pour but de faire une comparaison des valeurs des modes propres calculés numériquement (chapitre 02) avec celles obtenu expérimentalement par trois méthodes d’excitations. Une excitation vibratoire trop importante peut être entraînée par une excitation des modes propres (fréquences de résonance) de la structure. Une ou plusieurs sources génèrent des vibrations sur un mode propre de vibration de la structure, l'amplitude de la vibration de la structure est alors très supérieure à l'amplitude de l'excitation et peut donc en provoquer la ruine par fatigue. L'expertise consiste ici à identifier les modes de vibrations de la structure. Il existe des méthodes pour déterminer les fréquences propres d'un système : 1-L’utilisation d'un pot vibrant pour une caractérisation vibratoire de la pièce (détermination des fréquences de résonance), des essais de fatigue vibratoire, … La caractérisation au pot vibrant étant surtout utilisée pour le dimensionnement ou la qualification du matériel en laboratoire avant utilisation ; 2-L’utilisation d'un marteau de choc pour une analyse modale de structure, la pièce étant excitée successivement en plusieurs points et la réaction vibratoire mesurée à l'aide d'un capteur d'accélération (accéléromètre, vibromètre laser). L'analyse au marteau de choc étant utilisée pour une caractérisation de la structure. 3-L’utilisation d’un capteur de forces et (têtes d'impédance) Une rondelle de matériau piézoélectrique peut facilement être insérée dans une interface entre deux structures (par exemple entre une machine et sa fondation) pour mesurer les efforts dynamiques transmis. Elle sera le plus souvent mise en précontrainte par un boulon central. Les efforts transmis se partageant entre la rondelle piézo-électrique et cette tige de précontrainte suivant l'exact prorata de leurs raideurs respectives, qui peuvent être étalonnées très précisément, permettent de déterminer l'effort total. On appelle ce dispositif de mesure des efforts vibratoires « capteur de forces » ou « rondelle de charges ». Réalisées en général en quartz piézo-électrique pour présenter une très grande raideur intrinsèque, elles ne mesurent que les efforts dynamiques. Nous considérons la poutre représentée sur la figure ci-dessus. Elle est encastrée à l’une de ses extrémités et libre sur l’autre. Afin de conduire l’analyse dynamique en projection sur une base modale réduite, nous commençons par construire la base modale de la structure pour trois type d’excitation :( marteau de choc, exciteur électromagnétique, la tête d’impédance) sans et avec

43

Partie expérimentale

Chapitre III

amortissement. Les valeurs des modes propres sont mesurées et enregistrées pour chaque mode d’excitation. Les figures III.1 présentent le montage expérimental pour la mesure de modes propres par les trois méthodes. Les caractéristiques de la poutre utilisée est : La poutre est en acier de longueur 0.5m, de largeur b=0.03m et d’épaisseur 0.005m, Masse volumique 7850 Kg/m3 et E: module de young= 200*109 N/m2 I : moment d’inertie de flexion = bh3/12=0.3125*10-9 m4 S : Section =0.00015 m2

44

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.1 : Montage experimentale. III.2.2-Matériels d’acquisition des mesures : La combinaison d'entrées et de sorties « générateurs » en fait une solution d'analyse complète et autonome. Ce module est idéal pour les applications requérant un signal d'excitation - essais électroacoustiques et audio, par exemple. Le Type 3160 est disponible en deux versions de base, 2 entrées/2 sorties et/ou 4 entrées/2 sorties. Toutes les voies, entrée et sortie, offrent une gamme de fréquences de CC à 51,2 kHz. Le Type 3160 peut être utilisé comme un appareil d'acquisition de données autonome ou intégré à un important système de mesure LAN-XI. La combinaison voies d’entrées et de sorties, les façades avant interchangeables - permettant l'utilisation d'une large gamme de capteurs, offrent au module d’acquisition de données Type 3160, une polyvalence quasiment unique sur le marché.

45

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.2 : Générateur type 3160. La large gamme de capteurs de vibrations de Brüel & Kjær inclut des accéléromètres, capteurs de force, têtes d'impédance, marteaux d’impact, sondes tachymétries, calibreurs, des câbles et accessoires. Nos instruments de mesure de vibrations sont utilisés dans un grand nombre d'industries et à des fins différentes, néanmoins ils présentent des caractéristiques communes : 

Stabilité - des mesures stables et précises pour des performances inégalées



Haute qualité et durabilité – nos tests rigoureux vous offrent tranquillité d'esprit et optimisation de votre investissement à long terme



Flexibilité - une gamme complète de produits et de services pour répondre à vos besoins spécifiques

Pour simplifier le processus de paramétrage des mesures, réduire au minimum les erreurs d'installation et faciliter l’accès aux informations relatives au capteur, des codes de matrice de données sont gravés sur certains. 1

Marteau de choc : Pour l’excitation de structures importantes. Gamme de mesures de 20 000 N. Sensibilité de

0,2 mV/N. Modèle à électronique intégrée. Possibilité d’utiliser de très grandes longueurs de câble (500 mètres) Poids : 500 g. Applications : Analyse de structures, caractérisation de résonances, observation de déformées opérationnelles, analyse modale. 46

Partie expérimentale

Chapitre III ,

Fig.III.3 Marteau de choc. Excitateur électromagnétique

2

Fig. III.4 Excitateur électromagnétique. L’excitateur cumule une double fonction haute et basse fréquence. Il est conçu pour exciter les structures pour la recherche de vibrations. En combinant un générateur de vibrations piézoélectrique haute fréquence et un générateur de vibrations électromagnétiques de basse fréquence, toute la gamme audio peut être excitée. Ce générateur de force est compact et léger, il peut facilement être lié à une structure de test dans n'importe quelle position avec aucun support externe. 

Fréquence : 10 à 7.5K Hz



Poids suspendu : 4.8 lbs



Poids total : 8.2 lbs

47

Partie expérimentale

Chapitre III 3

La tête d’impédance : Les têtes d’impédance intègrent un accéléromètre et un capteur de force piézoélectrique

IEPE pour faire simultanément des mesures dynamiques d’accélération et de force. Les sensibilités sont respectivement de 5 ou 10 mV/N pour le capteur de force et de 50 ou 100 mV/g pour l’accéléromètre, à choisir selon les gammes de mesure à effectuer.

Fig. III.5 : La tête d’impédance. L’utilisation de capteurs de type IEPE procurent des mesures précises des forces appliquées sur une large gamme de fréquences, offrant ainsi un panel étendu d’essais possibles dans le cadre d’analyse modale, à la différence des capteurs de type jauge de contrainte qui ne sont utilisés que pour des environnements statiques ou quasi statiques. Comme tous les capteurs IEPE le conditionnement des mesures est très facile et ces têtes peuvent être connectées directement sur de nombreux systèmes d’acquisition ou d’analyse équipés de la fonctionnalité alimentation IEPE sur les gammes de 2 à 10 mA et de 18 à 28 V. Des câbles de longueur à façon peuvent être fournis pour s’adapter à tous les bancs d’essais. Un certificat d’étalonnage accompagne chaque tête pour permettre une traçabilité aux systèmes nationaux d’étalonnage.

48

Partie expérimentale

Chapitre III III.3- Traitements des Résultats et discussion :

On présent dans ce qui suit les résultats des modes propres pour la même poutre excité par les trois méthodes avec et sans amortissement, les expériences avec amortissement sont réalisé on collant un matériau caoutchoutières le long de la poutre. III.3.1 Résultats expérimentaux : 1 -Résultats expérimentaux de l’excitateur sans amortissement Le tableau. III.1 montre les modes propres d’excitateur sans amortissement SA1 et SA2 obtenu de l’essai de vibration de l’excitateur électromagnétique (pot vibrant). Fréquence (Hz)

Fréquence (Hz)

mode

SA1

SA2

Moy

1

15

15,5

15,25

2

99,5

98,5

99

3

280

276

278

4

548

547

547.5

5

902

902

902

6

1352

1354

1353

7

1865

1869

1867

8

2450

2450

2450

9

3170

3170

3170

Tab III.1 : Les modes propres d’Excitateur SA. Les figures III.6 présente le spectre de fréquence obtenue de la mesure par le pot vibrant SA.

49

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig III.6 : Spectre fréquence- d’excitateur SA. 2- Résultats expérimentaux de l’excitateur avec amortissement Le tableau III.2 montre les modes propres issus de l’essai d’excitation avec pot vibrant et avec amortissement (fig.III.7). mode

Fréquence (Hz)

1

15

2

97.5

3

272

4

540

5

893

6

1335

7

1835

8

2448

9

3132

Tab III.2 : Les modes propres d’excitateur GM. La figure III.7 montre le spectre de fréquence obtenu de l’essai de vibration de l’excitateur avec amortissement.

50

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.7 : Spectre fréquence-amplitude d’excitateur GM. 3 - Résultats expérimentaux de marteau de choc avec amortissement : mode

Fréquence (Hz)

1

16

2

97

3

272

4

540

5

892

6

1330

7

1835

8

2440

9

3127

Tab III.3 : Les modes propres pour Le marteau de choc.

51

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.8 : Spectre de fréquence du marteau de choc Avec amortissement. Le figure III.8 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration du marteau de choc. Le tableau. III.3 montre les modes propres du marteau de choc, obtenu après l’essai de vibration de marteau de choc d’après son spectre fréquence-amplitude (fig.III.8). 4 - Résultats expérimentaux de marteau de choc sans amortissement (SA) : Fréquence mode

(Hz)

1

16

2

98

3

275

4

547

5

904

6

1349

7

1861

8

2450

9

3163

Tab III .4 : Les modes propres du marteau de choc SA.

52

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.9 : Spectre fréquence-amplitude du marteau de choc SA. Le figure III.9 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration du marteau de choc. Le tableau. III.4 montre les modes propres du marteau de choc SA, obtenu après l’essai de vibration de marteau de choc SA d’après son spectre fréquence-amplitude (fig.III.9). 5- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance sans amortissement SA : mode

Fréquence (Hz)

1

-

2

99

3

276

4

547

5

901

6

1356

7

1869

8

2481

9

3176

Tab III.5 : Les modes propres de la tête IMP SA.

53

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.10 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP SA. Le figure III.10 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration de la tête impédance SA. Le tableau III.5 montre les modes propres de la tête impédance SA, obtenu après l’essai de vibration de la tête impédance SA, d’après son spectre fréquence-amplitude (figs.III.10). 6- Résultats expérimentaux : pour la tête impédance avec amortissement : Fréquence mode

(Hz)

1

-

2

98

3

272

4

537

5

892

6

1341

7

1851

8

2438

9

3124

Tab III.6 : Les modes propres de la tête IMP.

54

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig.III.11 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP.

Le figure III.11 montre Spectre fréquence-amplitude obtenu après l’essai de vibration de la tête impédance. Le tableau. III.6 montre les modes propres de la tête impédance, obtenu après l’essai de vibration de la tête impédance, d’après son spectre fréquence-amplitude (figs.III.11). III.3.2- Comparaison des résultats : On présente sur le tableau III.7 les valeurs des modes propres pour les différentes modes d’excitations avec et sans amortissement, on remarque une diminution des valeurs des fréquences pour le cas amorti, l’amortissement a une influence sur les valeurs des fréquences propres.

55

Partie expérimentale

Chapitre III

mode

Calcul

Excitateur

numérique

électromagnétique

marteau de choc

Avec Amorti Sans Amorti

Tête d’impédance

Avec

Sans

Avec

Sans

Amorti

Amorti

Amorti

Amorti

1

16,32

15

15,25

16

16

-

-

2

103,89

97.5

99

97

98

98

99

3

286,17

272

278

272

275

272

276

4

561,20

540

547.5

540

547

537

547

5

926

893

902

892

904

892

901

6

1384,72

1335

1353

1330

1349

1341

1356

7

1934,04

1835

1867

1835

1861

1851

1869

8

2574,90

2448

2450

2440

2450

2438

2481

9

3307,32

3132

3170

3127

3163

3124

3176

Tab III.7 : Comparaison des résultats des modes propres.

III.3.3 - Résultats obtenu par simulation sur Solidworks : On a utilisé le logiciel de dessin et de conception Assisté par ordinateur Solidworks, pour la simulation d’une poutre dont les caractéristiques sont presque les mêmes que notre poutre. Les résultats des modes propres sont présenté dans le tableau III.8, on constate que les valeurs obtenus sont très proche aux celles calculées numériquement. mode

Fréquence (Hz)

1

16.35

2

97.59

3

286.71

4

561.53

5

927.67

6

1384.8

7

1932.4

8

2523.3

9

3296.7

TAB. III.8 : Les modes propres obtenus par SolidWorks. 56

Partie expérimentale

Chapitre III

Fig. III.12. Fenêtre du logiciel SolidWorks. La figure III.13 montre l’évolution des différents modes propres avec et sans amortissement pour les trois modes d’excitations, on remarque d’après la figures un décalage des valeurs des fréquences propres due à l’effet de l’amortissement.

3500 3000

Amplitude

2500

Excitateur Exciteur SA

2000

Hammer Hammer SA

1500

Tete IMP SA 1000

Tete IMP

500 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

Fréquence

Fig.III.13 : Différente évolution des modes propres. 57

8,5

9

Partie expérimentale

Chapitre III III.4 Conclusion :

Cette étude illustre une démarche allant de la modélisation du système (la mesure directe pour les fréquences par Euler), la réalisation d'essais expérimentaux (les vibrations d’une poutre en acier encastrée –libre en trouvons les modes propres pour les essais de marteau de choc, exciteur électromagnétique et la tête d’impédance sans et avec amortissement), jusqu'à la mise en place de techniques numériques et la comparaison essais-calculs. La comparaison de trois principaux modes propres disponibles a montré que les valeurs de fréquences obtenues par les trois méthodes sont plus au moins proche l’une de l’autre, et les valeurs du calcul direct sont proches de celles de simulation par solidworks. L’amortissement influe sur les valeurs des modes propres où on constate une diminution des valeurs de ce dernier, donc on peut changer les valeurs des modes propres d’une structures en ajoutons une masse ou un objet qui va jouer le rôle d’un amortisseur, l’intérêt de ce changement peut-être par exemple l’éloignement d’une fréquence de résonance.

58

Conclusion générale

.

Conclusion générale L’état de l’art sur a montré que les travaux expérimentaux et de modélisations étaient nombreux et souvent issus de la poutre. Ces travaux ont fortement orientés ce travail, ces importantes approximation nous permettra de traiter le cas plus complexe d’une poutre vibrante en présence d’amortissement et sans amortissement, tout simplement en traitant chaque mode propre individuellement comme on oscillateur harmonique indépendant. L’identification appliquée aux structures est un problème clé de la maîtrise de la vibration .La mesure directe numérique et les essais expérimental sont souvent impossible et seuls les calculs vibratoires sont accessibles. Dans ce contexte la méthode a été proposée visant à caractériser les essais pour les vibrations qu’ils induisent. Le travail présenté ici se compose de trois partie, la première partie est consacrée à la formulation du problème des vibrations des poutres ou une étude détaillée du cas de la poutre encastrée-libre est présentée. Dans cette partie, nous avons fait des études bibliographique consacrés l’identification des paramètres caractérisant le comportement dynamique des structures mécaniques d’une poutre encastrée-libre. Nous sommes intéressés aux définitions et à la présentation de principe fondamental de la dynamique d’une poutre ainsi que l’équation d’équilibre, équations de déformation…. Après une classification de diverses formes des vibrations qu’il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure à partir de le calcul des modes et des fréquences propre, on introduit une simplification supplémentaire à l’équation classique des vibrations des poutres, équation d’Euler. A travers cette étude, nous avons orienté notre travail vers la deuxième partie, pour voir les différentes méthodes, les équations et leurs solutions concernant la théorie d’Euler-Bernoulli. Le problème formulé en termes d’équations de mouvements, des conditions limites est résolus pour le modèle décrit par les théories d’Euler. La solution est donnée dans le cas du sous forme de nombres d’ondes, fréquences et modes propre, cette résolution (fréquences et modes) dans la base modale réduit considérablement la taille du problème. La connaissance de cette base modale permet également d’étudier la stabilité d’une structure soumise à une excitation proportionnelle à un ou plusieurs modes propres.

59

Conclusion générale

.

Pour finir, les résultats ont montré les trois modes d’excitations qui sont présents dans l’expérience mais le mode plus fiable est de marteau de choc. Ce résultat est particulièrement intéressant puisqu’il est légitime le calcul direct comme outil de prédiction des fréquences théorique même si le calcul transitoire est nécessaire pour connaitre le mode qui apparaisse parmi ces modes instables, ce travail met l’accent sur l’importance de la modélisation théorique et la comparaison expérimentale des différents essais vibratoires avec une corrélation essais-calcul approche et ainsi aboutir à tout à fait satisfaisante.

60

Références bibliographiques

.

Références bibliographiques

[1] Ferhat Bekhoucha, Said Rechak, Jean-Marc Cadou: Sensibilité des caractéristiques dynamiques d’une poutre rotative encastrée uniforme avec une méthode de perturbation, CSMA 2017 13ème Colloque National en Calcul des Structures 15-19 Mai 2017.

[2] Anders Thorin, Gilles Foret: Calcul des structures : Introduction au calcul de structures élastiques linéaires. Ecole d'ingénieur. (MEC441) MODAL - Génie Civil, Palaiseau, France.

[3] Cours de la poutre: effort en flexion.

[4] Luc Jaouen : Vibrations des milieux discrets et continus, avril 2005.

[5] Alain Pecker : dynamique des structures et des ouvrages, 2006. [6] Braghta Salah : Reconstruction des charges dynamiques réparties sur la poutre de Bernoulli par la méthode de sélection des modes. Mémoire pour l’obtention du magister, Université 08 Mai 1945 de Guelma, 2011.

[07] H. Shen et al free: Vibrations of beams with a single-edge crack, journal of sound and vibration (1994) 170 (2), 237-259.

[08] N. Chien et al: Conservation laws for nonhomogeneous Bernoulli-Euler beams, int. J. Solids structures vol. 30, no. 23, pp. 3321-3335, 1993 printed in Great Britain

[09] M. Levinson: New rectangular beam theory, journal of sound and vibration (1981) 74(l), 81-87.

[10] P. F. Rizos et al: Dentification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes, journal of sound and vibration (1990) 138(3), 381-388.

[11] Y. C. Chu et al: Vibrations of beams with a fatigue crack, computers & structures vol. 4.5, no. 1, pp. 79-93, 1992. 59

Références bibliographiques

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[12] ömer civalek et al: Bending analysis of microtubules using nonlocal Euler–Bernoulli beam theory, applied mathematical modelling 35 (2011) 2053–2067.

[13] kaushar H. Barad et al: Crack detection in cantilever beam by frequency based method, procedia engineering 51 (2013) 770 – 775.

[14] A. Labuschagne: Comparison of linear beam theories, mathematical and computer modelling 49 (2009) 20–30.

[15] Luca Luschi et al: A simple analytical model for the resonance frequency of perforated beams. Procedia engineering 47 (2012) 1093 – 1096.

[16] Salvatore Caddemi et al: Multi-cracked Euler–Bernoulli beams: mathematical modeling and exact solutions, international journal of solids and structures 50 (2013) 944–956.

[17] Mahdi Heydari et al: Forced vibration analysis of a Timoshenko cracked beam using a continuous model for the crack, engineering science and technology, an international journal 17 (2014) 194 -204. [18] François Horel : modélisation analytique de l’amortissement des poutres composites sandwich contenant des couches viscoélastiques, mémoire présenté en vue de l’obtention du diplôme de maîtrise ès sciences appliquées, ÉCOLE polytechnique DE Montréal, décembre 2013. [19] Mr. Kheladi Zakarya : Étude du comportement vibratoire d’un arbre tournant sous l’effet d’un gradient thermique. Mémoire de fin d’études pour l’obtention du diplôme de master en Génie-Mécanique, Université Aboubekr Belkaid -Tlemcen. Juin 2013. [20] Lahouari Khadir : Étude du phénomène de résonance des pièces complexes en Aluminium, mémoire présente à l’université du QUÉBEC à CHICOUTIMICOMME exigence partielle de la maitrise en ingénierie.

60

Références bibliographiques

.

[21] Céline Chesnais : Dynamique de milieux réticulés non contreventés application aux bâtiments, Thèse pour l’obtention du titre de docteur de l’école centrale de Lyon, école doctorale : MEGA. Année 2010. [22] LAMPOH Komlanvi : Différentiation Automatique (DA) de codes mécaniques : application à l’analyse de sensibilité des tôles sandwich aux paramètres de modélisation, Thèse pour l’obtention du grade de Docteur de l’Université de Lorraine, Septembre 2012. [29] Joseph Morlier : note de cours de prof d’ISAE/SUPAERO. [30] Moustapha Idriss : analyse expérimentale et par éléments finis du comportement statique et vibratoire des matériaux composites sandwichs sains et endommagés, présentée pour obtenir le grade de docteur de l'université du MAINE, mars 2013. [31] Marc Thomas : Professeur département de génie mécanique ETS, Chapitre 3 Les vibrations des systèmes continus, Montréal, février 2003.

61

Notation

.

Notation G

Centre de gravité

S

Aires de la section droite, m2

L

Longueur de poutre, m

E

module de Young, N/m2

I

moment quadratique

T

effort tranchant, N

M

moment fléchissant, Nm

t

temps s

λ

pulsation propre

x

coordonnées axiales de la poutre, m

K

constantes

a

nombre d’onde

wn

fréquences propres, rad/s

r

rayon de giration de la section I/A, m

(EI)A

la rigidité en flexion de la section A

f

flèche

λf

longueur de l’onde de flexion

δΓ

déformation virtuelle

v

vecteur nodal

ã

fonctions trigonométriques de la fréquence adimensionnelle

ρ

masse volumique, kg/m3

Imax

l’intensité crête

Γd

facteur de sensibilité de l’excitation

Vmax

tension crête

Fm , Wcm valeurs crêtes ψ

coefficient d’amortissement

η

facteur de perte

Ke

la matrice de rigidité élastique

kg

la matrice de rigidité géométrique IX

Liste des tableau

.

Liste des tableaux : Chapitre I Tableau I : Equations de déformation des différents cas de sollicitation de la poutre encastrée-libre………………………………………………………………………………...07

Chapitre II Tableau II.1 : nombres d’onde et fréquence propres de la poutre d’Euler…………………..31 Tableau II.2 : nombre d’onde et fréquence propres de notre poutre………………………...41

Chapitre III Tableau III.1 : Les modes propres d’Excitateur SA.………………………………….……..49 Tableau III.2 : Les modes propres d’excitateur GM.………………………………………....50 Tableau III.3 : Les modes propres pour Le marteau de choc.…………………………..…...51 Tableau III.4 : Les modes propres du marteau de choc SA.……………………………...…52 Tableau III.5 : Les modes propres de la tête IMP SA.………………………….…….……..53 Tableau III .6 : Les modes propres de la tête IMP.……………………………..………..…..54 Tableau III.7 : Comparaison des résultats des modes propres.…………………..……....….56 Tableau III.8 : Les modes propres obtenus par SolidWorks.……………………….........…...56

V

Liste des Figures

.

Liste des Figures : Chapitre I Figure I.1 : Poutre non amortie………………………………………………………………01 Figure I.2 : Plan Σ……………………………………………………………………………02 Figure I.2.1 : Représentation d’une poutre droite dans le repère (0, 1, 2, 3)………………...03 Figure I.3 : Poutre consol………………………………………………………………….....03 Figure I.4 : Equilibre d'une tranche infinitésimale de poutre………………………………...04 Figure I.5 : Cas d'étude d'une poutre droite simplement encastrée et chargée en-son Extrémité……………………………………………………..............................04 Figure I.5.1 : Définition des réactions d'appuis ……………………………………………...04 Figure I.5.2 : Définition des conventions pour l'écriture de l'équilibre local…………….…..05 Figure I.5.3 : Synthèse du calcul des efforts intérieurs ……………………………………...05 Figure I.6 : Allure de la déformée ……………………………………………………………06 Figure I.7 : Le déplacement dans les directions 1, 2, 3………………………………….…...09 Figure I.8 : Racine de l'équation aux fréquences propres…………………………………….13 Figure I.9 : Modes propres de vibration en flexion………………………………..................13 Figure I.10 : Mode propre fondamental……………………………………………………....14 Figure I.11 : poutre en torsion ……………………………………………………………..…15 Figure I.12 : déformées du mode statique à l’extrémité libre et du mode fondamental de vibration libre (d’ordre 0)………………………………………………………………….….19 Figure I.13 : Les déformées des différents modes propres de vibration libre ………………...20 Figure I.14 : Traces des fonctions utilisées pour résoudre l’équation…………………………22

Chapitre II Figure II.1 : Poutre uniforme en rotation ………………………………………………….…37 Figure II.2: Géométrie de la poutre étudier……………………………………………….…..40

Chapitre III Figure.III.1 :Montage experimentale………………………………………………...………45 Figure.III.2 : Générateur type 3160…………………………………………………………..46 Figure.III.3 : Marteau de choc………………………………………………………………..47 Figure. III.4 : Excitateur électromagnétique……………………………………………........47 Figure. III.5 : La tête d’impédance :………………………………………………………….48 III

Liste des Figures

.

Figure III.6 :Spectre fréquence-amplitude d’excitateur SA…………………….………..….50 Figure.III.7 :Spectre fréquence-amplitude d’excitateur GM………………….…….…….…51 Figure.III.8 : Spectrede fréquence du marteau de choc Avec amortissement.……...…….....52 Figure.III.9 : Spectre fréquence-amplitude du marteau de choc SA…………………………53 Figure.III.10 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP SA……………………………..54 Figure.III.11 : Spectre fréquence-amplitude de la tête IMP……………………...……...…..55 Figure. III.12 : Fenêtre du logiciel SolidWorks……………………………………………...57 Figure.III.13 : Différente évolution des modes propres……………………………………....57

IV