Blg Semana 25-1

OCM09 Blog Problemas Semana Abril 25 - Mayo 1 Pedro Luis Barrios 25 de abril de 2009

1.

Primer Nivel

1. Un cuadrado de 9 × 9 consta de 81 cuadrados unitarios. Se pintan algunos de estos cuadrados unitarios de color negro, y los restates son pintados de blanco, tal que cada rect´angulo de 2 × 3 y cada rect´angulo de 3 × 2 contiene exactamente 2 cuadrados unitaros negros y 4 cuatro cuadrados unitarios blancos. Encontrar la cantidad de cuadrados unitarios pintados de negro. 2. Sea P QRS un paralelogramo. Sobre los lados de P QRS se construyen externamente los tri´ angulos QP A y SP B, de tal forma que QP A y SP B son semejantes e is´ osceles (donde AQ = P Q y P S = BS). Demuestre que los tri´ angulos RAB, QP A and SP B son semejantes. 3. Tres cajas contienen 600 bolas cada una. La primera caja contiene 600 bolas rojas id´enticas, la seguda contiene 600 bolas blancas id´enticas y la tercera contiene 600 bolas azules id´enticas. Se escogen 900 bolas de estas tres cajas. ¿De cu´ antas formas se puede hacer esta elecci´on?. No se exige escoger al menos una bola de cada caja.

2.

Nivel Intermedio

1. Sea ABC un tri´ angulo equil´atero de altura 1. Un c´ırculo Γ de radio 1 y centro en el mismo lado de AB que C rueda a lo largo del segmento AB. Demostrar que la longitud del arco de Γ que se encuentra en el interior de ABC siempre tiene la misma longitud. 2. a, b, c son enteros no negativos menores que 10 tales que 49a+7b+c = 286. Encontrar el valor de 100a + 10b + c. 3. Encontrar todas las parejas de n´ umeros enteros (a, b) tales que (a3 + b)(a + b3 ) = (a + b)4 .

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3.

Nivel Superior

1. Sea S la uni´ on de una cantidad finita de subintervalos disyuntos de [0, 1] 1 tales que no hay dos puntos en S a distancia . Demuestre que la longitud 10 1 total de los intervalos en S no es mayor que . 2 2. Sea f (n) el n´ umero de permutaciones a1 , a2 , . . . , an de los enteros 1, 2, . . . , n tales que: (i) a1 = 1; (ii) | ai − ai+1 |≤ 2, i = 1, . . . , n − 1. Determinar si f (1996) es divisible por 3. 3. Sean M y N puntos arbitrarios sobre los lados AC y BC del tri´angulo ABC, respectivamente, y P un punto arbitrario sobre el segmento M N . Demostrar que al menos uno de los tri´angulos AM P y BN P tiene ´area 1 menor o igual que del ´area del tri´angulo ABC. 8

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