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EJERCICIOS DE PROBABILIDAD ´ BINOMIAL DISTRIBUCION

1. Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es del 5%. Sea X = n´ umero de tarjetas defectuosas en una muestra seleccionada al azar de tama˜ no n = 25, entonces X se distribuye binomial con p = 0.05. (a) Determine P (X ≤ 2) (b) Determine P (X ≥ 5) (c) Determine P (1 ≤ X ≤ 4) (d) ¿Cu´ al es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas est´e defectuosa? (e) Calcule el valor esperado y desviaci´ on est´andar de X. 2. Una compa˜ n´ıa que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y debe clasificarse como de segunda. (a) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qu´e tan probable es que s´olo una sea de segunda? (b) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda? (c) Si las copas se examinan una por una, ¿cu´al es la probabilidad de que a lo m´as sean seleccionadas cinco para encontrar cuatro que no sean de segunda? RESPUESTA: a) 0.354 b) 0.115 c) 0.918 3. Suponga que solo el 20% de los automovilistas se detienen por completo en el crucero, donde hay un sem´ aforo con la luz roja intermitente, cuando no ven otros autom´oviles. ¿Cu´al es la probabilidad de que entre 20 automovilistas seleccionadas al azar: (a) A lo sumo 6 se detienen por completo? (b) Exactamente 6 se detienen por completo? (c) Al menos 6 se detengan por completo? (d) ¿Cu´ antos de los siguientes 20 automovilistas, se espera que se detengan por completo? 4. Un tipo particular de raqueta de tenis se fabrica en tama˜ nos mediano y extra grande. 60% de todos los clientes de cierta tienda buscan el tama˜ no extragrande. (a) Entre 10 clientes seleccionados al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que por lo menos 6 busquen el tama˜ no extragrande? (b) Entre 10 clientes seleccionados al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que el n´ umero que buscan el tama˜ no extragrande est´e dentro de una desviaci´on estandar del valor medio? (c) La tienda tiene actualmente 7 raquetas de cada modelo. ¿cu´al es la probabilidad de que los siguientes 10 clientes puedan comprar el modelo que buscan? 5. Veinte por ciento de todos los tel´efonos de cierto tipo se remiten para repararse cuando todav´ıa est´ a vigente su garant´ıa. De ´estos, 60% pueden ser reparados y el otro 40% debe sustituirse por aparatos nuevos. Si una compa˜ n´ıa compra 10 de estos tel´efonos, ¿cu´al es la probabilidad de que exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garant´ıa? RESPUESTA: 0.1478

6. La variable aleatoria X tiene una distribuci´on binomial con n = 10 y p = 0.5. Trace la f.m.p. de X. (a) ¿Cu´ al es el valor de X m´ as factible? (b) ¿Cu´ al(es) es(son) el(los) valor(es) menos factible(s) de X? 7. La variable aleatoria X tiene una distribuci´ on binomial con n = 10 y p = 0.5. Determine las siguientes probabilidades: (a) P (X = 5) (b) P (X ≤ 2) (c) P (X ≥ 9) (d) P (3 ≤ X < 5) RESPUESTAS: a) 0.246 b) 0.055 c) 0.011 d) 0.322 8. Determine la funci´ on de distribuci´ on acumulada de una variable aleatoria binomial con n = 3 y p = 12 . 9. Las l´ıneas telef´ onicas del sistema de reservaciones de una aerol´ınea est´an ocupadas 40% del tiempo. Suponga que los eventos de que las l´ıneas est´en ocupadas en llamadas sucesivas son independientes. Suponga que se hacen 10 llamadas a la aerol´ınea. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que las l´ıneas ocupadas sean exactamente tres llamadas? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que las l´ıneas ocupadas sean menos de dos llamada? (c) ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de llamadas ocupadas? 10. Se verifica si los lotes que constan de 50 resortes en espiral de un proceso de producci´on cumplen con los requerimientos del cliente. El n´ umero promedio de resortes en espiral de un lote que no cumplen con los requerimientos es 5. Suponga que el n´ umero de muelles que no cumplen en un lote, denotado como X, es una variable aleatoria binomial. (a) ¿Cu´ al es el valor de n y p ? (b) ¿Cu´ al es P (X ≤ 2) ? (c) ¿Cu´ al es P (X ≥ 49) ? RESPUESTA: a) n = 50, p = 0.1 b) 0.112 c) 4.51 × 10−48 11. Debido a que no todos los pasajeros que hacen una reservaci´on se presentan, una aerol´ınea vende 125 asientos para un vuelo con capacidad para s´ olo 120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no se presente es 0.1 y el comportamiento de los pasajeros es independiente. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presenten puedan tomar el vuelo? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el vuelo parta con asientos vac´ıos? RESPUESTA: a) 0.996 b) 0.989 12. Un examen de opci´ on m´ ultiple contiene 25 preguntas con cuatro respuestas cada una. Suponga que un estudiante contesta cada una de las preguntas adivinando. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente m´as de 20 preguntas? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente menos de 5 preguntas? RESPUESTA: a) 0 b) 0.2137 13. Si r bolas son sacadas aleatoriamente de n urnas (cada bola tiene como probabilidad de primera urna).¿Cu´ al es la probabilidad de que k bolas vienen de la primera urna?

1 n

14. Si X se distribuye binomial con parametros n y p. ¿Cu´al es la distribuci´on de Y = n − X ?

de ser sacada de la

15. En cierto distrito de la ciudad se establece que la causa de 75% de los robos es la necesidad de dinero para comprar drogas. Calcule la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo que se reporten en este distrito (a) Exactamente 2 sean resultado de la necesidad de dinero para comprar drogas (b) A lo sumo 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas 16. Al probar cierta clase de neum´ atico para cami´on de un terreno accidentado, se encuentra que el 25% de los camiones no completan la prueba de recorrido sin pinchaduras. De los siguientes 15 camiones probados, calcule la probabilidad de que: (a) De 3 a 6 camiones tengan pinchaduras (b) menos de 4 camiones tengan pinchaduras (c) M´ as de 5 camiones tengan pinchaduras (d) En promedio ¿cuantos camiones tienen pinchaduras? 17. la probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operaci´on de coraz´on es de 0.9. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que extactamente 5 de los siguientes 7 pacientes intervenidos sobrevivan? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que m´ as de 7 paciente intervenidos sobrevivan de un total de 10 pacientes intervenidos? (c) ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de pacientes que sobreviven de una operaci´on? 18. Un ingeniero de control de tr´ afico reporta que el 75 de los veh´ıculos que pasan por un punto de verificaci´ on son de ese estado. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que menos de 4 de los siguientes 9 veh´ıculos sean de otro estado? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que m´ as de 4 pero menos de 12 de los siguientes 15 veh´ıculos sean de otro estado? 19. Se sabe que el 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, calcule la probabilidad de que: (a) Ninguno contraiga la enfermedad (b) menos de 2 contraigan la enfermedad (c) M´ as de 3 contrigan la enfermedad 20. Un destacado m´edico afirma que el 80% de las personas con c´ancer de pulm´on son fumadores empedernidos. Si su aseveraci´ on es correcta (a) Calcule la probabilidad de que 10 de estos pacientes que ingresaron al hospital menos de la mitad sean fumadores empedernidos. (b) Si ingresaron 20 pacientes .¿Cu´ al es la probabilidad de que por lo menos 10 de estos pacientes sean fumadores empedernidos? (c) Entre 15 pacientes que entraron al hospital, ¿cu´al es la probabilidad que entre 4 y 8 pacientes sean fumadores empedernidos? 21. Un ingeniero de control de tr´ afico reporta que el 70% de los veh´ıculos que pasan por un punto de control tienen placas de esa ciudad.Si se escoje al azar una determinada hora del d´ıa, entre 20 vehiculos que pasan: (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que 9 tengan placas de otra ciudad? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que menos de 14 veh´ıculos tengan placas de la misma ciudad? (c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que por lo menos 14 veh´ıculos tengan placas de la ciudad? 22. Es sabido que un jugador profesional de beisbol, de las veces que va al bate el 30% terminan en hit. Si ´el va al bate cinco veces en el juego, ¿Cu´ al es la probabilidad de que realice:

(a) Por lo menos un hit? (b) M´ as de tres hit? (c) Ning´ un hit? 23. Una variable aleatoria X se distribuye binomial con media µ y varianza σ 2 (a) Hallar la probabilidad p en funci´ on de µ y σ 2 (b) Si µ = 10 y σ 2 = 6 encontrar P (X ≥ 10). 24. Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomial con n=25 y (i) p=0.3 (ii) p=0.8. Encontrar para cada p: (a) P (X > 4) (b) P (5 < X < 9) (c) P (X ≤ 6) (d) P (4 < X ≤ 8) 25. Si X es una v. a. con distribuci´ on binomial, para p = 0.2 y n = 25, Usando las tablas encontrar: (a) El valor m´ as peque˜ no k tal que P (X ≥ k) ≤ 0.2 (b) El valor m´ as grande k tal que P (X ≤ k) ≤ 0.35 (c) El valor m´ as grande k tal que P (X ≥ k) ≥ 0.3. (d) El valor m´ as peque˜ no k tal que P (X ≤ k) ≥ 0.4 26. Un caballo determinado que participa en los grandes derbys es favorito de ganar en una de cada tres carreras. En las pr´ oximas nueve carreras una persona le apuesta a este caballo en todas las pruebas. Encontrar la probabilidad de que la persona gane: (a) Al menos en una carrera (b) Nunca gane (c) A lo m´ as en cinco carreras. (d) Al menos en ocho carreras. 27. Se lanza un dado 10 veces. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el n´ umero uno o el n´ umero dos salgan siete veces? (b) Si se repite el experimento cuatro veces en forma independiente, ¿cu´al es la probabilidad de que en dos de ellos el n´ umero 1 o el 2 aparezca dos veces y en el resto siete veces? 28. Un destacado m´edico afirma que el 80% de las personas con c´ancer de pulm´on son fumadores empedernidos. Si su aseveraci´ on es correcta (a) Calcule la probabilidad de que 10 de estos pacientes que ingresaron al hospital menos de la mitad sean fumadores empedernidos. (b) Si ingresaron 20 pacientes .¿Cu´ al es la probabilidad de que por lo menos 10 de estos pacientes sean fumadores empedernidos? (c) Entre 15 pacientes que entraron al hospital, ¿cu´al es la probabilidad que entre 4 y 8 pacientes sean fumadores empedernidos? 29. Un ingeniero de control de tr´ afico reporta que el 70% de los veh´ıculos que pasan por un punto de control tienen placas de esa ciudad.Si se escoje al azar una determinada hora del d´ıa, entre 20 vehiculos que pasan: (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que 9 tengan placas de otra ciudad? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que menos de 14 veh´ıculos tengan placas de la misma ciudad?

(c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que por lo menos 14 veh´ıculos tengan placas de la ciudad? 30. Es sabido que un jugador profesional de beisbol, de las veces que va al bate el 30% terminan en hit. Si ´el va al bate cinco veces en el juego, ¿Cu´ al es la probabilidad de que realice: (a) Por lo menos un hit? (b) M´ as de tres hit? (c) Ning´ un hit? 31. Una variable aleatoria X se distribuye binomial con media µ y varianza σ 2 (a) Hallar la probabilidad p en funci´ on de µ y σ 2 (b) Si µ = 10 y σ 2 = 6 encontrar P (X ≥ 10). 32. Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomial con n=25 y (i) p=0.3 (ii) p=0.8. Encontrar para cada p: (a) P (X > 4) (b) P (5 < X < 9) (c) P (X ≤ 6) (d) P (4 < X ≤ 8) 33. Si X es una v. a. con distribuci´ on binomial, para p = 0.2 y n = 25, Usando las tablas encontrar: (a) El valor m´ as peque˜ no k tal que P (X ≥ k) ≤ 0.2 (b) El valor m´ as grande k tal que P (X ≤ k) ≤ 0.35 (c) El valor m´ as grande k tal que P (X ≥ k) ≥ 0.3. (d) El valor m´ as peque˜ no k tal que P (X ≤ k) ≥ 0.4 34. Un caballo determinado que participa en los grandes derbys es favorito de ganar en una de cada tres carreras. En las pr´ oximas nueve carreras una persona le apuesta a este caballo en todas las pruebas. Encontrar la probabilidad de que la persona gane: (a) Al menos en una carrera (b) Nunca gane (c) A lo m´ as en cinco carreras. (d) Al menos en ocho carreras. 35. Se lanza un dado 10 veces. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el n´ umero uno o el n´ umero dos salgan siete veces? (b) Si se repite el experimento cuatro veces en forma independiente, ¿cu´al es la probabilidad de que en dos de ellos el n´ umero 1 o el 2 aparezca dos veces y en el resto siete veces?