Binmbel.docx

Dua lingkaran L1 dan L2 berpusat pada sumbu X dengan radius R1 = 2 dan R2 = 4. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung L1 di F dan menyinggung L2 di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat L1 . Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah ... Solusi #1

Karena luas AFQ = 5 maka

⇒AF×FQ2=5FQ=5 Sudut antara garis singgung dengan sumbu x positif adalah θ maka gradien garis tersebut adalah tan θ

m===tanθAFFQ25 Jadi besar gradiennya adalah 2/5 Soal #2 Segitiga ABD siku-siku di B. Jika CDBD=2–√ dan α = 45°, maka tan β = ...

Solusi #2 Misalkan BD = x karena α = 45° maka AB juga akan sama dengan x karena CDBD=2–√ maka CD = x√2

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒tan(α+β)=BCABtanα+tanβ1−tanαtanβ=x2–√+xx1+tanβ1−tanβ=2– √+11+tanβ=(2–√+1)(1−tanβ)1+tanβ=2–√+1−2–√tanβ−tanβ2tanβ+2–√tanβ=2– √(2+2–√)tanβ=2–√tanβ=2–√2+2–√ Jadi tanβ=2√2+2√ Soal #3 Himpunan semua x di selang [0,2π ] yang memenuhi pertaksamaan √3cos x ≤ sin x ≤ 0 dapat dituliskan sebagai [a,b] . Nilai a×b adalah ... Solusi #3 Jika √3cos x ≤ sin x ≤ 0 maka cos x dan sin x merupakan bilangan negatif atau 0. Pada interval [0,2π ], cosinus dan sinus akan bernilai negatif pada kuadran III yaitu π ≤ x ≤ 3π/2. Selanjutnya menentukan solusi √3cos x ≤ sin x. Bagi kedua ruas dengan cos x, tetapi karena cos x adalah bilangan negatif maka tanda pertidaksamaannya berubah

⇒⇒3–√cosx≤sinx3–√≥sinxcosxtanx≤3–√ Nilai x pada interval π ≤ x ≤ 3π/2 yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah π ≤ x ≤ 4π/3, akibatnya a = π dan b = 4π /3 Jadi a×b=4π23 Soal #4 Suatu transformasi T terdiri dari pencerminan terhadap garis y = x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X. Jika (2,3) dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah ... Solusi #4

Pada ilsutrasi di atas titik (2,3) dikenakan transformasi T sebanyak 4 kali, dan diperoleh T4(2,3) = (2,3) Jadi jika titik (2,3) dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali maka bayangannya juga (2,3) karena 24 adalah kelipatan 4. Soal #5 Suatu bangun ruang dengan alas berbentuk persegi panjang ABCD dengan AB = 2 cm dan BC =

3 cm. Sisi tegaknya AE = DH = 2 cm, BF = CG = 1,5 cm. Jika K titik tengah EH, L titik tengah FG, dan α adalah sudut antara HB dan KL, maka cos α adalah . . . Solusi #5

Karena KL sejajar dengan HG maka α juga akan sama dengan sudut antara HG dan HB. Oleh karena itu akan dicari panjang sisi-sisi segitiga HBG

HB=HD2+DA2+AB2−−−−−−−−−−−−−−−−√=22+32+22−−−−−−−−−−√=17−−√ HG=EF=EM2+MF2−−−−−−−−−−−√=(12)2+22−−−−−−−−√=174−−√ GB=GC2+CB2−−−−−−−−−−√=(32)2+32−−−−−−−−√=454−−√ Dengan menggunakan aturan cosinus

cosα=HB2+HG2−GB22⋅HB⋅HG=17+174−4542⋅17−−√⋅174−−√=1017 Soal #6 Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − 2g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x + 3, sisa pembagian 2f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah ... Solusi #6 sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah f(1)g(1), oleh karena itu terlebih dahulu akan dicari nilai f(1) dan g(1) Sisa pembagian f(x) − 2g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x + 3 berarti f(x) − 2g(x) = (x2 + x − 2)h(x) + x + 3 untuk suatu suku banyak h(x) Substitusikan x = 1 ke persamaan di atas diperoleh f(1) − 2g(1) = 4 sisa pembagian 2f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti 2f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)k(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak k(x) Substitusikan x = 1 ke persamaan di atas diperoleh 2f(1) + g(1) = 2 Dengan menyeleseaikan SPLDV f(1) − 2g(1) = 4 2f(1) + g(1) = 2 diperoleh nilai f(1) = 8/5 dan g(1) = −6/5 Jadi sisa pembagiannya adalah f(1)g(1) = −48/25 Soal #7 Grafik y=3x+1−(19)x

berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ... Solusi #7

3x+1−(3−2)x<3x+13(3x)−(3x)−2<(3x)+1

Misalkan 3x = y

3y−y−2
⇒⇒⇒⇒y−1<0y<13x<13x<30x<0 Jadi nilai x yang memenuhi adalah x < 0 Soal #8

limx→0x(1−x+1−−−−−√)csc2x=… Solusi #8

=======limx→0x(1−x+1−−−−−√)csc2xlimx→0x(1−x+1−−−−−√)sin2xlimx→0x(1−x+1 −−−−−√)sin2x×1+x+1−−−−−√1+x+1−−−−−√limx→0x(1−(x+1))sin2x(1+x+1−−−−−√ )limx→0x2sin2x(1+x+1−−−−−√)limx→0x2sin2x11+x+1−−−−−√1⋅11+0+1−−−−√12 Jadi limx→0x(1−x+1−−−−−√)csc2x=12 Soal #9 Jika a, b, c, d, dan e adalah bilangan real positif yang membentuk barisan aritmetika naik dan a, b, e membentuk barisan geometri, maka nilai e/b = ... Solusi #9 Misalkan barisan aritmatika di atas memiliki beda x dengan x < 0 maka U1 = a U2 = b = a + x U3 = c = a + 2x U4 = d = a + 3x U5 = e = a + 4x a, b, e membentuk barisan geometri maka

⇒⇒⇒⇒⇒ba=ebb2=ae(a+x)2=a(a+4x)a2+2ax+x2=a2+4axx2=2axx=2a Jadi

eb=a+4xa+x=a+8aa+2a=9a3a=3 Soal #10 Jika f(x) = ax3 + 3x2 − 12x + 5a memotong sumbu Y di titik (0,10) , maka nilai maksimum f(x) untuk x ∈ [−1,0] adalah ... Solusi #10 Karena f(x) = ax3 + 3x2 − 12x + 5a memotong sumbu Y di titik (0,10) maka

⇒⇒f(0)=105a=10a=2 Oleh karena itu f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 10 f(x) maksimum jika f'(x) = 0

⇒⇒⇒⇒f′(x)=06x2+6x−12=0x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x=−2ataux=1 Kedua nilai x di atas tidak dalam interval [−1,0] jadi nilai yang maksimum yang mungkin adalah f(−1) atau f(0)

f(−1) = 23 f(0) = 10 Jadi nilai maksimumnya adalah 23 Soal #11 Diketahui f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika ∫20f(x) dx=B , maka ∫73f(x+8) dx=… Solusi #11

∫20f(x) dx=B maka ∫10f(x) dx+∫21f(x) dx=B

Misalkan ∫10f(x) dx=A akibatnya ∫21f(x) dx=B−A

==∫73f(x+8) dx∫73f(x) dx∫43f(x) dx+∫64f(x) dx+∫76f(x) dx Misalkan I1=∫43f(x) dx; Substitusi x = u + 2 I1=∫21f(u+2) du=∫21f(u) du=B−A Misalkan I2=∫64f(x) dx; Substitusi x = u + 4 I2=∫20f(u+4) du=∫20f(u) du=B Misalkan I3=∫76f(x) dx; Substitusi x = u + 6 I3=∫10f(u+6) du=∫10f(u) du=A Jadi

===∫73f(x+8) dxI1+I2+I3B−A+B+A2B Soal #12 Diketahui fungsi f(x) = x2 dan g(x) = ax, a > 0. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan y = 4. Jika kurva g membagi daerah D dengan perbandingan luas 3 : 1, mak a3 = ... Solusi #12

A+B:A−B=3:1

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒A+BA−B=313A−3B=A+B2A=4BA=2B∫0−24−x2 dx=2∫4/a04−ax dx16 3=2[4x−ax22]4/a0163=2(16a−8a)163=16aa=3 Jadi a = 3 Soal #13 Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Solusi #13 Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6. Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54 Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan Soal #14 Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ... Solusi #14

Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = √3 Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y di titik (−a,b). Jadi nilai a=3√2

⇒⇒m=−2x3–√=−2(−a)a=3–√2

Soal #15 Misalkan g adalah garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi (35−454535) , maka absis antara titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ... Solusi #15 Persamaan garis g adalah 3x + 4y = 25. Kemudian garis g ini ditransformasikan, misalkan garis hasil transformasinya adalah ax' + by' = c. maka

⇒⇒(x′y′)=(35−454535)(xy)(xy)=(3545−4535)(x′y′)(xy)=(35x′−45y′45x′+35y′) substitusikan x=35x′−45y′ dan y=45x′+35y′ ke persamaan garis singgung diperoleh

⇒⇒⇒⇒3x+4y=253(35x′−45y′)+4(45x′+35y′)=2595x′−125y′+165x′+125y′=255x′= 25x′=5 Karena persamaan bayangannya adalah x = 5 maka absis titik potongnya pasti 5