Binder 1

KnøwHsIVúténcMnYnBit

bBa¢IGtSbT - sIVútnBVnþ nig sIVútFrNImaRt 1-sIVútcMnYnBit 2-sIVútnBVnþ 3-sIVútFrNImaRt 4-rUbmnþplbUksIVútnBVnþmanlMdab´x<s´ II - rebobrktYTUeTAénsIVútnBVnþ 1-krNIs:al´tYdMbUg u1 nigplsgrYm 2-krNIs:al´tYTI p nigtYTI q 3-krNIs:al´tYTI p nigplsgrYm d 4-krNIs:al´plbUk n tYdMbUg Sn I

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

d

TMB½r 1

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-rebobrktYTUeTAénsIVútFrNImaRt 1-krNIs:al´tYdMbUg u1 nig ersug q 2-krNIs:al´tYTI p nigtYTI r 3-krNIs:al´tYTI p nig ersug q 4-krNIs:al´plbUk n tYdMbUg Sn IV-rebobKNnaplbUktYénsIVútepßg@ 1-nimμitsBaØa  sRmab´plbUkénsIVút 2-lkçN£plbUktYénsIVút 3-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½

III

S n  1 p  2 p  3 p  .....  n p

Edl p  1 ; 2 ; 3 ; ... 4-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ Sn 

1 1 1 1    .....  a1a2 a2a3 a3a4 an an1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 2

KnøwHsIVúténcMnYnBit

5-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ Sn 

1 1 1   .....  a1a 2 a 3 a 2 a 3 a4 a n a n  1a n  2

6-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ S n  a1b1  a2b2  a3b3  ......  an bn

7-sMKal´ 8-TMnak´TMngrvag S nig un V-rebobkMnt´tYTI n tamplsgtYénsIVút 1-plsgtYlMdab´TImYy 2-plsgtYlMdab´TIBIr VI-vicarGnumanrYmKNitviTüa VII-rebobrktYTUeTAénsIVútedayeRbIsIVútCMnYy 1-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn n

un 1  a un  b

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 3

KnøwHsIVúténcMnYnBit

2-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un  1  bun

3-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

un  2  a un  1  bun  c

4-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

un 3  aun 2  bun1  cun

5-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 3  a un 2  bun1  cun  d

6-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1

aun  b  cun  d

7-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1  k . un

p

8-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  1  k . un  1 p un q eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 4

KnøwHsIVúténcMnYnBit

9-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1  a un  b un  c 2

10-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn aun  bun  c  a' un  b' 2

un1

11-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn aun  bun  c  2 a' un  b' un  c' 2

un1

12-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn au  bu  cun  d  n 2 n a' un  b' un  c' 3

un  1

2

13-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn aun  bun  cun  d un1  3 2 a' un  b' un  c' un  d' 3

2

14-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1  a un  f ( n)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 5

KnøwHsIVúténcMnYnBit

15-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 2  a un1  bun  f ( n)

16-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un3  aun2  bun1  cun  f (n)

17-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn  un1  aun  bv n  v n1  cun  dv n

18-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn  un1  aun  bv n  p  v n1  cun  dv n  q

19-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn  un1  aun 2  bun v n  cvn 2  v n1  a' un 2  b' un v n  c' v n 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 6

KnøwHsIVúténcMnYnBit

20-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn  un1  aun 3  bun 2 v n  cun v n 2  d v n 3  v n1  a' un 3  b' un 2 v n  c' un v n 2  d ' v n 3

21-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

 u0   ; v 0    2 2  un  1  un  d v n ( d  0 )  v  2u v n n  n1

22-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

 u0   ; v 0    2 2   u u d v ( d  0)  n1 n n  v  2u v n n  n1

23-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

xn  d  ( d  0) 2 xn 2

x0   ; xn1

24-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn x0   ; x n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

x d  n ( d  0) 2 xn 2

TMB½r 7

KnøwHsIVúténcMnYnBit

25-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn  u0    f ( n  1) k  u   n  1 [ f ( n )]k .un 

-Gnuvtþn_sIVútkñúgkarKNnaedrIevTI n 1-rebobrkedrIevTI n énGnuKmn_rag

VIII

y  ( ax  b ) ex

2-rebobrkedrIevTI

n

énGnuKmn_rag

y  ( a sin px  b cos px ) ex

-Gnuvtþn_sIVútkñúgkarKNnaGnuKmn_bNþak´lMdab´ n

IX

Fn ( x )  f n  f  f  .....  f  f ( x )

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 8

KnøwHsIVúténcMnYnBit

sIVúténcMnYnBit I-

sIVútnBVnþ nig sIVútFrNImaRt 1-sIVútcMnYnBit sIVúténcMnYnBit KWCaGnuKmn_elxEdlkMnt;BIsMNMu IN eTA IR . 2-sIVútnBVnþ -sIVútnBVnþ KWCasIVúténcMnYnBitEdlmantYnImYy² ¬ eRkABItYTImYy ¦ esμInwg tYmunbnÞab;bUkcMnYnefr d mYyehAfaplsgrYm b¤ ersugénsIVút . rUbmnþplsgrYm d  un1  un . -tYTI n énsIVútnBVnþ un  u1  (n  1)d -plbUk n tYdMbUgénsIVútnBVnþ Sn 

n

 uk   u1  u2  u3  ...  un 

k 1

n ( u1  u2 ) 2

3-sIVútFrNImaRt -sIVútFrNImaRt KWCasIVúténcMnYnBitEdlmantYnImYy² ¬ eRkABItYTImYy ¦ esμInwgtYmunbnÞab;KuNnwgcMnYnefr q mYyEdlxusBIsUnü . cMnYnefr q ehAfapleFobrYm b¤ ersugénsIVút . rUbmnþpleFobrYm q  uun1 . n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 9

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-tYTI n énsIVútFrNImaRt un  u1  q n1 -plbUk n tYdMbUgénsIVútFrNImaRt qn  1 S n   uk   u1  u2  u3  ...  un  u1 q1 k 1 n

4-rUbmnþplbUksIVútnBVnþmanlMdab´x<s´ n

1/

 k   1  2  3  ...  n 

k 1 n

2/



k 1 n

n( n  1) 2

k 2   12  22  32  ...  n2  n(n  1)(6 2n  1)

  k 1 II - rebobrktYTUeTAénsIVútnBVnþ 3/

k

3

n 2 ( n  1) 2  1  2  3  ...  n  4 3

3

3

1-krNIs:al´tYdMbUg u1 nigplsgrYm 2-krNIs:al´tYTI p nigtYTI q 3-krNIs:al´tYTI p nigplsgrYm d 4-krNIs:al´plbUk n tYdMbUg Sn

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

3

d

TMB½r 10

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 rebobeda¼Rsay 1-krNIs:al´tYdMbUg u1 nigplsgrYm d ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútnBVnþkMnt´elI IN * ehIys:al´tY u1 nigplsgrYm d ena¼eKGacrktY un tamrUbmnþ ½ un  u1  ( n  1).d . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItnBVnþ (un ) mYyedays:al´tY u1  2008 nigmanplsgrYm d  8 . dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ un  u1  (n  1)d eday u1  2008 nig d  8 eyIgán un  2008  (n  1) 8  8n  2000 dUcen¼ un  8n  2000 . 2-krNIs:al´tYTI p nigtYTI q ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútnBVnþkMnt´elI IN * ehIys:al´tY u p   nigtY uq   . kñúgkrNIen¼edIm,IGackMnt´rktYTI n eKRtUvrkCadMbUgnUvtY u1 nigplsgrYm d . edayeyagtamrUbmnþ un  u1  (n  1).d eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 11

KnøwHsIVúténcMnYnBit

ehIyedays:al´ u p   , uq   ena¼eKGacbeg;ItRbB&næ uu1  ((qp11))dd    1 dMeNa¼RsayRbB&næen¼eKGacrkeXIjtémøtY u1 nigplsgrYm d dUcen¼eKGacrktY un tamrUbmnþ un  u1  (n  1).d . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItnBVnþ (un ) mYyedays:al´tY u17  37 nigtY u58  119 . dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ un  u1  (n  1).d eyIgán u17  u1  16 d nig u58  u1  57 d edayeKman u17  37 nigtY u58  119 d  37 eyIgánRbB&næsmIkar uu1  16  1 57 d  119 eda¼RsayRbB&næen¼eKTTYláncemøIy u1  5 , d  2 . eyIgán un  5  (n  1) (2)  2n  3 dUcen¼ un  2n  3 .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 12

KnøwHsIVúténcMnYnBit

3-krNIs:al´tYTI p nigplsgrYm d ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútnBVnþkMnt´elI IN * ehIys:al´tY u p   nigmanplsgrYm d ena¼edIm,IKNna un eKRKan´Et rk[eXIjtY u1 . edayeRbIrUbmnþRKw¼ un  u1  (n  1)d eKTaján u p  u1  ( p  1) d  

smPaBen¼Gac[eKeda¼RsayrkeXIjtémø u1 . dUcen¼eKGacrktY un tamrUbmnþ un  u1  (n  1).d . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItnBVnþ (un ) mYyedays:al´tY u1979  2008 nigmanplsgrYm d  1 . dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ un  u1  (n  1).d eKán u1979  u1  1978 d naM[ u1  u1979  1978 d  2008  1978  30 ehtuen¼ un  30  (n  1) (1)  n  29 dUcen¼ un  n  29 . eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 13

KnøwHsIVúténcMnYnBit

4-krNIs:al´plbUk n tYdMbUg Sn ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútnBVnþkMnt´elI IN * ehIys:al´ plbUk n tYdMbUg Sn  f (n) ena¼edIm,IKNna un eKRtUvBicarNa dUcxageRkamen¼ ½ eyIgdwgfa Sn  u1  u2  u3  .........  un  n (u12 un ) ebI n  1 ena¼eKán S1  u1   . eKTajánsmIkar n( 2 un )  f (n) eKTaján un  2 fn(n)   . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItnBVnþ (un ) mYyedays:al´tYplbUk 3n 2  n n tYdMbUgénsIVúten¼KW S n  . 2 dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ Sn  u1  u2  u3  .........  un  n (u12 un ) ebI

n1

eKán

3(1) 2  1 S1  u1  1 2 n(1  un ) 3n 2  n  2 2

eyIgTajánsmIkar smmUl 1  un  3n  1 . dUcen¼ eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

un  3n  2

. TMB½r 14

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-rebobrktYTUeTAénsIVútFrNImaRt 1-krNIs:al´tYdMbUg u1 nig ersug q 2-krNIs:al´tYTI p nigtYTI r 3-krNIs:al´tYTI p nig ersug q 4-krNIs:al´plbUk n tYdMbUg Sn

III

 rebobeda¼Rsay 1-krNIs:al´tYdMbUg u1 nig ersug q ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútFrNImaRtkMnt´elI IN * ehIys:al´ tYdMbUg u1   nig manersug q ena¼eKGackMnt´rktYTI n énsVIúten¼tamrUbmnþRKw¼mYy EdlkMnt´eday un  u1  q n1 . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItFrNImaRt (un ) mYyedays:al´tYdMbUg u1  12 nig manersug q  3 . dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ un  u1  q n1 eday u1  12 nigersug q  3 . eKán un  12  3n1  4.3n . eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 15

KnøwHsIVúténcMnYnBit

2-krNIs:al´tYTI p nigtYTI r ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútFrNImaRtkMnt´elI u p   nig ur   . edayeyagtamrUbmnþRKw¼ un  u1  q n1 eKGacbeg;ItánRbB&næsmIkar

IN *

ehIys:al´

u  u  q p 1   1  p   ur  u1  q r  1  

eda¼RsayRbB&næsmIkaren¼eKGacrkeXIjtémø q nig u1 . dUcen¼tYTI n énsIVútkMnt´eday un  u1  q n1 . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItFrNImaRt (un ) mYyedays:al´tY u3  24 nigtY u8  768 . dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ un  u1  q n1 eyIgán u3  u1  q 2 nig u8  u1  q7 eyIgánRbB&næsmIkar

 u  q 2  24 1   u1  q 3  384

bnÞab´BIeda¼RsayRbB&næsmIkaren¼eKTTYláncemøIy q  2 ; u1  6 . eyIgán un  6  2 n  1  3.2 n eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 16

KnøwHsIVúténcMnYnBit

3-krNIs:al´tYTI p nig ersug q ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútFrNImaRtkMnt´elI IN * ehIys:al´ u p   nigmanersug q ena¼edIm,IKNna un eKRKan´EtkMnt´ rk[eXIjtY u1 BIsmIkar u p  u1  q p 1 up KW u1  p 1 . q

dUcen¼tYTI n énsIVútkMnt´eday un  u1  q n1 . «TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItFrNImaRt (un ) mYyedays:al´tY u4  162 nigmanersug q  3 . dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ un  u1  q n1 cMeBa¼ n  4 eKán u4  u1  q 3 eKTaj u1  u43  1623  6 q

( 3)

eyIgán un  6  3n1  2.3n dUcen¼ un  2 . 3n .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 17

KnøwHsIVúténcMnYnBit

4-krNIs:al´plbUk n tYdMbUg Sn ebIeKs:al´fa (un ) CasIVútFrNImaRtkMnt´elI IN * ehIyman plbUk n tYdMbUg Sn  f (n) . edIm,IKNna un eKRtUvBicarNadUcxageRkam ½ qn  1 tamrUbmnþ Sn  u1  u2  u3  ....  un  u1  q  1 ebI n  1 eKán S1  u1  f (1) q2  1 ebI n  2 eKán S2  u1  u2  u1  q  1  f (2) naM[ f (1)  ( q  1)  f (2) ¦ q  dUcen¼tYTI n énsIVútkMnt´eday un  u1  q

n 1

 f ( 2)   f (1)    1 ( 1 ) f  

«TahrN_ cUrkMnt´rktYTI n énsVúItFrNImaRt 3.5 n  1  15 n tYdMbUg S n  . 4 dMeNa¼Rsay tamrUbmnþ

f ( 2) 1 f (1) n

.

( un )

mYyedays:al´plbUk

qn  1 S n  u1  u2  u3  ....  un  u1  q 1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 18

KnøwHsIVúténcMnYnBit q n  1 3.5 n  1  15 u1   q1 4

eKTajánsmPaB cMeBa¼

eKán

n1

q  1 3.5 2  15 u1   q1 4

naM[

u1  15

q 2  1 3.5 3  15  u1  q1 4

cMeBa¼ n  2 eKán naM[ q  5 eyIgán un  u1  q n 1  15  5n 1  3.5n dUcen¼ u  3.5 . VI-rebobKNnaplbUktYénsIVútepßg@ 1-nimμitsBaØa  sRmab´plbUkénsIVút plbUk n tYdMbUgénsIVút u , u , u ,...., u kMnt;tageday ³ n

n

1

2

3

n

n

S n   uk   u1  u2  u3  .....  un k 1

2-lkçN£plbUktYénsIVút 1>           .....    n n

k 1 n

n

2>    u     u  ¬  CacMnYnefr ¦ k

k 1 n

k 1

k

n

n

n

k 1

k 1

n

k 1 n

k 1

k 1

3>  u

 v k  wk    uk    v k    w k 

4>  u

 v k    uk  2 uk v k    v k

k 1 n

k 1

k

k

2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

k 1

  2

  2

TMB½r 19

KnøwHsIVúténcMnYnBit

3-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ Edl p  1 ; 2 ; 3 ; ... S  1  2  3  .....  n edIm,IKNnaplbUkenHeKRtUvGnuvtþn_tamCMhanxageRkam ³ -KNna (n  1)  n -[témø n  1 ; 2 ; 3 ; ....; n -eFIVviFIbUk «TahrN_ KNnaplbUk S  1  2  3  ....  n eKman (n  1)  n  3n  3n  1 (i ) [témø n  1 ; 2 ; 3 ; ....; n kñúgsmPaB (i ) eK)an ³ p

p

p

p

n

p 1

p

2

2

2

2

n

3

3

2

 2 3  13  3.12  3.1  1  3 3 2  3  2  3.2  3.2  1  3 3 2  4  3  3 .3  3 .3  1                 ( n  1)3  n 3  3.n 2  3.n  1 

eFIVviFIbUksmPaBxagelIGgÁ nig GgÁeK)an ( n  1)3  1  3 (12  22  ....  n 2 )  3(1  2  ...  n)  n n( n  1) n 3  3n 2  3n  3 S n  3 n 2 2( n 3  3n 2  3n)  3n( n  1)  2n 3 Sn  2 n( n  1)( 2n  1) Sn  6

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 20

KnøwHsIVúténcMnYnBit

4-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ Sn 

1 1 1 1    .....  a1a2 a2a3 a3a4 a n a n 1

Edl a  a  d efr ehIy d  0 . edIm,IKNnaplbUkenHeKRtUv ³ -bEmøgtY a a1  d1 . aa a a  d1  a1  a1  -[témø n  1 ; 2 ; 3 ; ....; n -eFIVviFIbUk «TahrN_ KNnaplbUk n1

n

n1

n n1

Sn 

n

n n1

n

  n1 

1 1 1 1    ...  1.4 4.7 7.10 ( 3n  2)( 3n  1) 1 1 1 1      i  ( 3n  2)( 3n  1) 3  3n  2 3n  1 

eKman [témø n  1 ; 2 ; 3 ; ....; n kñúgsmPaB (i ) eK)an ³

1 1 1    ( 1 )  1.4 3 4  1 1 1 1   (  )  4.7 3 4 7                       1 1 1 1  )  (   ( 3n  2)( 3n  1) 3 3n  2 3n  1 n 1  1 Sn   1   3n  1  3n  1 3

eFIVviFIbUksmPaBxagelIGgÁ nig GgÁeK)an eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 21

KnøwHsIVúténcMnYnBit

5-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ Sn 

1 1 1 1    .....  a1a2a3 a2a3a4 a3a4a5 a n a n  1a n  2

Edl a  a  d efr ehIy d  0 . edIm,IKNnaplbUkenHeKRtUv ³ -bEmøgtY a a 1 a  d1 . aa a aa  d1  a a1  -[témø n  1 ; 2 ; 3 ; ....; n -eFIVviFIbUk «TahrN_ KNnaplbUk n 2

n

n 2

n n1 n 2

Sn 



n

n n1 n 2

n n1

1   a n  1a n  2 

1 1 1 1    ...  ( 2n  1)( 2n  1)( 2n  3) 1.3.5 3.5.7 5.7.9

eKman (2n  1)(2n1 1)(2n  3)  14  (2n  1)(1 2n  1)  (2n  1)(1 2n  3)  i    [témø n  1 ; 2 ; 3 ; ....; n kñúgsmPaB (i ) eK)an ³ 1 1 1 1  ( )    1.3.5 4 1.3 3.5  1 1 1 1   (  )  3 . 5 . 3 . 5 5 . 7 7 4                                     1 1 1 1   (  )  ( 2n  1)( 2n  1)( 2n  3) 4 ( 2n  1)( 2n  1) ( 2n  1)( 2n  3)

eFIVplbUksmPaBxagelIGgÁ nig GgÁeK)an ³

 n( n  2) 11 1 Sn     4  3 ( 2n  1)( 2n  3)  3( 2n  1)( 2n  3)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

. TMB½r 22

KnøwHsIVúténcMnYnBit

6-rebobKNnaplbUksIVútEdlmanTRmg´ ½ S n  a1b1  a2b2  a3b3  ......  an bn

Edl (a ) CasIVútnBVnþmanplsgrYm d nig (b ) CasIVútFrNImaRt manersug q . edIm,IKNnaplbUkenHeKRtUvKNna S  q S rYcTajrk S . «TahrN_ KNnaplbUk S  101  102  103  ......  10n eyIgeXIjfa 1 , 2 , 3 , ......, n CasIVútnBVnþmanplsgrYm d  1 ehIy 101 ; 101 ; 101 ; .....; 101 CasIVútFrNImaRtmanersug q  101 eKman S  101  102  103  ......  10n i  ehIy 101 S  101  102  103  ......  10n ii  eFIVplsg (i ) nig (ii ) eK)an ³ n

n

n

n

2

3

n

n

2

n

3

n

n

2

2

n

3

3

n

n 1

4

n 1 1 1 1   1 S n    2  3  .....  n   n1 10 10  10  10 10 10 1 1 n 9 1 10  n Sn  . 10 n1 10 10 1  1 10 n 1  9 1 S n   1  n   n 1 10 9  10  10 10  1  n Sn   1  n   81  10  9.10 n

Sn 

eKTaj

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

.

TMB½r 23

KnøwHsIVúténcMnYnBit

7-sMKal´ eK[ S   u   u  u  u  ....  u edIm,IKNnaplbUkxagelIenHeKRtUv ³ -sresrtY u Carag u  t  t b¤ u  t  t ¬ ebIGac ¦ -krNIeKGacsresr u  t  t enaHeK)an ³ n

n

k 1

k

1

k

k 1

k 1

k

k 1

k

n

3

k 1

k

n

2

n

k

k

k 1

k

S n   uk    t k 1  t k   t n1  t1

-krNIeKGacsresr u

k

n

n

k 1

k 1

 t k  t k 1

enaHeK)an ³

S n   uk    t k  t k 1   t1  t n1 3 5 2n  1 ....    1 2 .2 2 2 2 .3 2 n 2 ( n  1)2 2k  1 ( k  1)2  k 2 1 1    k 2 ( k  1)2 k 2 ( k  1)2 k 2 ( k  1)2 n  2k  1  n  1 1  Sn    2    2  2 ( k  1)2  k 1  k ( k  1)  k 1  k 

«TahrN_1 KNnaplbUk S eKman eK)an dUcenH

n



1 ( n  1)2  1 n( n  2)  1   ( n  1)2 ( n  1)2 ( n  1)2 n( n  2) Sn  ( n  1)2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

.

TMB½r 24

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_2 eK[sIVúténcMnYnBit (u ) kMnt;eday n

2n un  n ( 2  1)( 2n  1  1)

Edl n  0 ; 1 ; 2 ; ....

KNnaplbUk S   u   u  u  u  ...  u CaGnuKmn_én n eKman u  (2  1)(22  1) n

n

n

k 0 n

n

k

0

1

2

n

n1

( 2  1)2n 2n  1  2n  n  ( 2  1)( 2n  1  1) ( 2n  1)( 2n  1  1) ( 2n  1  1)  ( 2n  1) 1 1    ( 2n  1)( 2n  1  1) 2n  1 2n  1  1

eK)an ³ 1   1  k 1 Sn    k  k 0  2  1 2  1 1   1  1 1  1 1  n1          ...   n  2 3 3 5 2 1 2 1         1 1   n1 2 2 1 1 1 Sn   n  1 2 2 1 n

dUcenH

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

.

TMB½r 25

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_3 eK[sIVúténcMnYnBit (u ) kMnt;eday ³ n

Edl n  0 ; 1 ; 2 ; .... 2 1 k> cUrsresr u Carag A  B Edl A nig B 2 1 2 1 CaBIrcMnYnBitRtUvkMnt; . x> KNnaplbUk ³ S   2 u   u  2u  4u  ...  2 u . dMeNa¼Rsay k>sresr u Carag A  B 2 1 2 1 eKman u  1 Edl n  0 ; 1 ; 2 ; .... 2 1 eK)an A  B  1 2 1 2 1 2 1 ebI n  0 enaH A  B3  13 (1) ebI n  1 enaH A3  15B  15 (2) tam (1) nig (2) eK)anRbBnæ½smIkar ³ 1

un 

2n

n

n

2n1

2n

n

n

k

k

k 0

2n

1

2n

n

n

0

2

n

2n1

2n

2n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2n

TMB½r 26

KnøwHsIVúténcMnYnBit B 1  A    3 3   A B  1  3 15 5

smmUl 53 AA  BB  13 

bnÞab;BIedaHRsayeK)an A  1 ; B  2 . dUcenH u  1  2 . 2 1 2 1 x> KNnaplbUk S   2 u   u  2u  4u  ...  2 u eKman u  1  2 2 1 2 1 eK)an S    2  2   1  2 2n1

2n

n

n

n

dUcenH S

n



k 1

k

k 1

k

 22  1 22 n1 22  2n  1  1

k 0

2

1

2

n

2n1

n

n

0

k

k 0

2n

n

n

k

2n1

n1

 1

22

n1

1

.

1

8-TMnak´TMngrvag S nig un eK[ (u ) CasIVútcMnYnBit ehIy S CaplbUk n tYdMbUgénsIVútenH . eK)an S  u n

n

1

n

1

S 2  u1  u2  S1  u2

S 3  u1  u2  u3  S 2  u3  S n  u1  u2  ....  un  S n1  un

dUcenH

un  S n  S n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

nig u

1

 S1

. TMB½r 27

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_1 eK[sIVúténcMnYnBit (u ) kMnt;RKb; n  1 ; 2 ; 3 ; ... n

ehIyplbUk n tYdMbUgénsIVútenHkMnt;eday S  n(n  1)(6 2n  1) . cUrKNnatY u CaGnuKmn_én n . tamrUbmnþeyIg)an u  S  S eday S  n(n  1)(6 2n  1) ehIy S  (n  1)n6(2n  1) eyIg)an u  n(n  1)(6 2n  1)  (n  1)n6(2n  1) n

n

n

n

n 1

n 1

n

n

n ( n  1)( 2n  1)  ( n  1)( 2n  1) 6 n 2n 2  3n  1  2n 2  3n  1   n2 6 

dUcenH u

. «TahrN_ eK[sIVúténcMnYnBit (u ) kMnt;RKb; n  1 ; 2 ; 3 ; ... ehIyplbUk n tYdMbUgénsIVútenHkMnt;eday S  4(nn(n1)(n3) 2) . cUrKNnatY u CaGnuKmn_én n . eyIg)an u  S  S n

 n2

n

n

n

n

n



n 1

n( n  3) ( n  1)( n  2)  4( n  1)( n  2) 4n( n  1)

n 2 ( n  3)  ( n  1)( n  2)2 1   n( n  1)( n  2) 4n( n  1)( n  2)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 28

KnøwHsIVúténcMnYnBit V

-rebobkMnt´tYTI n tamplsgtYénsIVút 1-plsgtYlMdab´TImYy ½ -eKmansIVút a : a ; a ; a ; ..... ; a ehIy b  a  a ; b  a  a ; b  a  a ; ..... ena¼eKfasIVút b  : b ; b ; b ; .... ; b CaplsgtYlMdab´TImYyénsIVút a . -rUbmnþKNnatY a eKman b  a  a eKán  b    (a  a ) 1

n

1

n

2

1

2

1

2

2

3

3

3

n

2

3

4

3

n

n

n

n 1

n

n 1

k 1 n 1

eday  (a k 1

n

n 1

k

k 1

k 1

k 1

k

 ak )  (a2  a1 )  (a3  a2 )  ...  (an  an1 )

 an  a1 n 1

eKán  b   a  a dUcen¼ a  a   (b ) . 2-plsgtYlMdab´TIBIr ½ -eKmansIVút a : a ; a ; a ; ..... ; a ehIy b  a  a ; b  a  a ; b  a  a ; .....; b  a b  : b ; b ; b ; .... ; b CaplsgtYlMdab´TImYyénsIVút k 1

k

1

n

n 1

1

n

1

n

1

n

1

2

2

k

k 1

1

3

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2

2

3

3

n

n

2

3

4

3

n

n 1

 an

an 

TMB½r 29

KnøwHsIVúténcMnYnBit n 1

-rUbmnþKNnatY a KW a  a   (b ) . -sIVút ( c ) CaplsglMdab´TIBIrénsIVút (a ) KWCaplsg lMdab´TImYyénsIVút (b ) Edl c  b  b ; n  1 , 2 , 3 , ... rUbmnþKNnatYTI n KW b  c   c  ; n  2 . «TahrN_1 eK[sIVút (a ) : 5 ; 11 ; 21 ; 35 ; 53 ; ..... cUrkMnt´tYTI n énsIVúten¼ . n

n

1

k

k 1

n

n

n

n 1

n

n

n 1

n

1

i

i 1

n

dMeNa¼Rsay eKman (a ) : 5 ; 11 ; 21 ; 35 ; 53 ; ..... tagsIVút (b ) CaplsglMdab´TImYyénsIVút (a ) EdlkMnt´eday ½ b  a  a RKb´ n  1 , 2 , 3 , .... eKán (b ) : 6 ; 10 ; 14 , 18 ; .... sVúIt (b ) CasIVútnBVnþmanplsgrYm d  4 tamrUbmnþ b  b  (n  1)d eday b  6 ; d  4 eKán b  6  4(n  1)  4n  2 tamrUbmnþ a  a   b   5   4k  2  5  (n  1)(62 4n  2) dUcen¼ a  2n  3 . n

n

n

n

n 1

n

n

n

1

n

1

n

n 1

n

1

k 1

n 1

k

k 1

2

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 30

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_2 eK[sIVút (a ) : 3 ; 5 ; 9 ; 17 ; 33 ; ..... cUrkMnt´tYTI n énsIVúten¼ . n

dMeNa¼Rsay tagsIVút

CaplsglMdab´TImYyénsIVút  a RKb´ n  1 , 2 , 3 , ....

(bn )

bn  an1

(an )

EdlkMnt´eday ½

n

eKán (b ) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; .... sVúIt (b ) CasIVútFrNImaRtmanpleFobrYm q  2 tamrUbmnþ b  b  q eday b  2 ; q  2 eKán b  2  2  2 tamrUbmnþ a  a   b   3   2   3  2 . 2 2 1 1 dUcen¼ a  2  1 . «TahrN_3 eK[sIVút (a ) : 3 ; 8 ; 17 ; 32 ; 57 ;100; ..... cUrkMnt´tYTI n énsIVúten¼ n

n

n 1

1

n

1

n 1

n

n

n 1

n 1

n 1

k

n

1

k 1

k

k 1

n

n

n

dMeNa¼Rsay tagsIVút

(bn )

CaplsglMdab´TImYyénsIVút

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

(an )

EdlkMnt´eday ½ TMB½r 31

KnøwHsIVúténcMnYnBit bn  an1  an

RKb´

n  1 , 2 , 3 , ....

eKán (b ) : 5 ; 9 ; 15 ; 25 ; 43 ; .... tagsIVút (c ) CaplsglMdab´TIBIrénsIVút (a ) EdlkMnt´eday ½ c  b  b RKb´ n  1 , 2 , 3 , .... eKán (c ) : 4 ; 6 ; 10 ;18 ; .... tagsIVút (d ) CaplsglMdab´TIbIénsIVút (a ) EdlkMnt´eday ½ d  c  c RKb´ n  1 , 2 , 3 , .... eKán (d ) : 2 ; 4 ; 8 ; .... sVúIt (d ) CasIVútFrNImaRtmanpleFobrYm q  2 tamrUbmnþ d  d  q eday d  2 ; q  2 eKán d  2  2  2 tamrUbmnþ c  c   d   4   2   4  2 . 2 2 1 1 dUcen¼ c  2  2 tamrUbmnþ b  b   (c )  5   2  2 n

n

n

n

n 1

n

n

n

n

n

n 1

n

n

n

n 1

1

n

1

n 1

n

n

n 1

n 1

n 1

k

n

1

k 1

k

k 1

n

n

n 1

n 1

k

n

1

bn  5  2.

tamrUbmnþ

k 1 n 1

2

k

k 1

1  2( n  1)  2 n  2n  1 21

n 1

n 1

k 1

k 1

an  a1   bk   3   2k  2k  1 an  3  ( 2n  2)  ( n 2  1)  2 n  n 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 32

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-vicarGnumanrYmKNitviTüa niymn&y ½

VI

CasMeNIEdlTak;TgnwgcMnYnKt; n edIm,IRsaybBa¢ak;fa P(n) BitcMeBaHRKb; n  IN * eKRtUv ³ !> epÞógpÞat;fa P(n) BitcMeBaH n  1 @> ]bmafa P(n) BitcMeBaHtémø n #> RsaybBa¢ak;fa P(n) BitnaM[)an P(n  1) Bit P (n)

«TahrN_1 edayeRbIGnumanrYmKNitviTüacUrKNnalImItxageRkam ½ Ln  lim x2

2  2  2  .....  2  2  x  2 x2

( man n ra¨DIkal´ ) dMeNa¼Rsay KNnalImItxageRkam ½ eyIgman L eyIgán ½

n

 lim x2

2  2  2  .....  2  2  x  2 x2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 33

KnøwHsIVúténcMnYnBit 2 x 2 x2 x2 (2  x )  4 1 1  lim  lim  x  2 ( x  2)( 2  x  2) x  2 2  x  2 4

L1  lim

2 2 x 2 2 x 2  lim x2 x2 x  2 ( x  2)( 2  2  x  2)

L2  lim

2 x 2 1 1  L1  x2 4 x2 2  2  x  2 x2 42 1 k Lk  4k 1

L2  lim

 lim

eyIgsnμtfavaBitdl´lMdab´TI

eyIgnwgRsayfavaBitdl´lMdab´TI

KW

( k  1)

KW

Lk  1 

eyIgman Lk 1  lim 2  2  2  x22.....  x2 KuNPaKyknigPaKEbgnwg M ( x ) Edl ½

1 4k 1

2 x 2

M ( x )  2  2  2  2  ...  2  x  2

eKán

2  2  2  2  ....  2  x  4 ( x  2). M ( x ) x2

Lk  1  lim

1 2  2  2  ....  2  x  2  lim x2 x2 M ( x) x2

Lk  1  lim Lk  1 

dUcen¼

1 1 1 1 1  Lk  Lk    M ( 2) 4 4 4k 4k 1

Bit

2  2  2  .....  2  2  x  2 1  x2 x2 4n

Ln  lim

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 34

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_2 eK[smPaB 2  2 cos



,

22

2  2  2 cos

 23

, 2  2  2  2 cos

 24

BI«TahrN_xagelIcUrrkrUbmnþTUeTA nig RsaybBaØak´rUbmnþena¼pg dMeNa¼Rsay rkrUbmnþTUeTA ½ eKman 2  2 cos



22

2  2  2 cos

,



23

, 2  2  2  2 cos



24

tamlMnaM«TahrN_eyIgGacTajrkrUbmnþTUeTAdUcxageRkam ½ 

2  2  2  .........  2  2 cos    2n 1

.

(n)

RsaybBaØak´rUbmnþen¼ ½  ......  2 cMeBa¼RKb´ eyIgtag An  2 22  

n  IN *

(n)

eyIgman A1  2  2 cos 2 Bit 2 eyIg«bmafavaBitdl´tYTI p KW



A p  2  2  2  ......  2  2 cos  2 p1

Bit

( p)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 35

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eyIgnwgRsayfavaBitdl´tYTI eyIgman eyIgán dUcen¼

 2

KW

A p  1  2 cos

edaytamkar«bma

A p 1  2  A p A p  1  2  2 cos

p1

p1



 4 cos 2 2

p 2

 2

Bit

p 2

A p  2 cos 

 2 cos 2



2  2  2  .........  2  2 cos    2n 1

p 2

 2 p1

Bit

.

(n)

«TahrN_3 eK[sIVúténcMnYnBit

(U n )

kMnt´elI

IN

eday ½

 U 0  2   U n  1  2  U n , n  IN

k¿cUrKNna U n CaGnuKmn_én n . x¿KNnaplKuN Pn  U 0  U1  U 2  ....  U n . dMeNa¼Rsay KNna U n CaGnuKmn_én n ½ eyIgman U 0  2  2 cos 4 ehIy U1  2  U 0  2  2 cos 4  2 cos 8 «bmafavaBitdl´tYTI p KW U p  2 cos p 2 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 36

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eyIgnwgRsayfavaBitdl´tYTI

( p  1)

KW

U p  1  2 cos

 2

Bit

p 3

eyIgman U p 1  2  U p Ettamkar«bma U p  2 cos p 2 2 eyIgán U p1  2  2 cos p 2  4 cos2 p 3  2 cos p 3 Bit 2

dUcen¼

U n  2 cos

2

 2

2

.

n 2

x¿ KNnaplKuN Pn  U 0  U1  U 2  ....  U n 2a tamrUbmnþ sin 2a  2 sin a cos a naM[ 2 cos a  sin sin a Pn 

n

n



k 0

k 0

2k 2

 (Uk )   (2cos

«TahrN_4 eK[sIVúténcMnYnBit

(U n )

n

)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

(

k 0 sin

kMnt´elI

IN





sin

2k 1 ) 



2k 2

sin

1

2 



2n2

sin

 2n2

eday ½

1  1  U n2 2

nig U n1  KNna U n CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna U n CaGnuKmn_én n ½ eyIgman U 0  22  sin 4 2 U0  2

sin

, n  IN

TMB½r 37

KnøwHsIVúténcMnYnBit

U1 

2

1  1  U0  2

«bmafavaBitdl´tYTI

p

KW

1  1  sin 2 2

U p  sin

eyIgnwgRsayfavaBitdl´tYTI





4  sin  8

2 p 2

KW

( p  1)

U p  1  sin

 2

p 3

Bit

1  1  U p2

eyIgman U p1  2 Ettamkar«bma U p  sin p 2 2

eyIgán

1  1  sin 2 U p 1 

dUcen¼

2 p 2

2

1  cos 



2

 2 p 2 

U n  sin

 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n 2

2 sin 2



2 p  3  sin  2 2 p 3

Bit

.

TMB½r 38

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_5 eK[sIVúténcMnYnBit  u0  a   un  1  un 2  2

cUrRsaybBa¢ak´fa dMeNa¼Rsay RsaybBa¢ak´fa ebI

n0

( un )

kMnt´eday ½

, n  IN , a  2  a  a2  4   un     2  

 a  a2  4   un     2  

eKán

«bmavaBitdl´tYTI

2n

 a  a2  4      2  

 a  a2  4      2  

a  a2  4 a  a2  4 u0   a 2 2

k

KW

 a  a2  4   uk     2  

eyIgnwgRsayfavaBitdl´tYTI  a  a2  4   uk  1     2  

eyIgman

2n

2 k 1

k 1

2k

KW½

 a  a2  4      2  

2n

2n

Bit

 a  a2  4      2  

2k

Bit

2 k 1

uk  1  uk 2  2

Ettamkar«bma

 a  a2  4   uk     2  

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2k

 a  a2  4      2  

2k

TMB½r 39

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eyIgán

2k 2k    a  a2  4    a  a 2  4    uk  1        2 2         a  a2  4   uk  1     2  

2 k 1

 a  a2  4   uk  1     2  

dUcen¼

 a  a2  4   un     2  

 a  a2  4      2  

2 k 1

2n

2 k 1

 2

 a  a2  4      2  

 a  a2  4      2  

2

2

a2  a2  4 2 4

2 k 1

Bit

2n

.

-rebobrktYTUeTAénsIVútedayeRbIsIVútCMnYy 1-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  a un  b 2-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  bun 3-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  bun  c 4-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  3  aun  2  bun 1  cun 5-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 3  a un 2  bun1  cun  d aun  b 6-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1  cu nd 7-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  k . un p

VII

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 40

KnøwHsIVúténcMnYnBit

8-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 9-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

un  1  k . un  1 p un q un  1  a un 2  b un  c

10-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 11-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 12-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 13-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 14-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 15-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 16-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 17-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 18-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 19-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

aun 2  bun  c un  1  a' un  b' un  1 

un  1 

un1 

aun 2  bun  c a' un 2  b' un  c'

aun 3  bun 2  cun  d a' un 2  b' un  c'

aun3  bun2  cun  d a' un3  b' un2  c' un  d'

un  1  a un  f ( n) un  2  a un  1  bun  f ( n) un3  aun2  bun1  cun  f (n)

 un  1  aun  bv n  v n  1  cun  dv n  un  1  aun  bv n  p  v n  1  cun  dv n  q 2 2  u n  1  aun  bun v n  cv n  v n  1  a' un 2  b' un v n  c' v n 2

20-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn 3 2 2 3  u n  1  aun  bun v n  cun v n  d v n  v n  1  a' un 3  b' un 2v n  c' un v n 2  d ' v n 3

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 41

KnøwHsIVúténcMnYnBit

21-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

 u0   ; v 0    2 2  un1  un  d v n (d  0)  v  2u v n n  n1

22-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

 u0   ; v 0    2 2  un 1  un  d v n (d  0)  v  2u v n n  n1

23-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn x0   ; x n  1

x d  n ( d  0) 2 xn 2

24-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn x0   ; x n1

x d  n ( d  0) 2 xn 2

25-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn  u0    f ( n  1) k  u .un  n  1 k  [ f ( n)] 

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 42

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 rebobeda¼Rsay 1-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  a un  b ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´ TMnak´TMngkMeNIn un 1  a un  b cMeBa¼RKb´ n  IN * nigmantY u1   ( | a |  1 , a  0 ) . edIm,IkMnt´rktY un eKRtUvBicarNadUcxageRkam ½  rk¦ssmIkar r  a r  b (ehAfasmIkarsMKal´énsVúIt)  tagsIVútCMnYy Vn  un  r rYcRtUvbgHajfa (Vn ) CasIVútFrNImaRt .  rk[eXIjnUvtY Vn bnÞab´mkeKTaj un  Vn  r . «TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) mYykMnt´elIsMNMu IN * ehIyepÞógpÞat´lk&çx&NÐ u1  163 nig un1  23 un  43 cMeBa¼RKb´ IN * . cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 43

KnøwHsIVúténcMnYnBit

sIVút un1  23 un  43 mansmIkarsMKal´ r  23 r  43 eKTaj¦s r  4 tag vn  un  4 cMeBa¼RKb´ IN * eKán vn 1  un 1  4 eday un1  23 un  43 2 4 un   4 3 3 2 8 v n  1  un  3 3 2 v n  1  ( un  4) 3 2 vn1  vn 3 vn1 

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa (vn ) CasIVútFrNImaRtmanersug nigtY v1  u1  4  163  4  43 tamrUbmnþ vn  v1  q eday vn  un  4 naM[

n 1

dUcen¼

 2 vn  2    3

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

4

4  2    3  3

n 1

 2 2   3

q

2 3

n

un  v n  4

.

TMB½r 44

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) mYykMnt´elIsMNMu IN * ehIyepÞógpÞat´lk&çx&NÐ u1  5 nig un 1  3un  2 cMeBa¼RKb´ n  IN * . cUrKNna un CaGnuKmn_én n . 2-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  bun ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´ TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  b un cMeBa¼RKb´ n  IN * nigmantY u1   , u2   edIm,IkMnt´rktY un eKRtUvBicarNasmIkar r 2  a r  b ¦ ( E ) : r 2  a .r  b  0 ( ehAfasmIkarsMKal´énsVúIten¼ ) eKRtUvsikßakrNIepßg@dUcxageRkam ½  ebI   a 2  4b  0 smIkarsMKal´ ( E ) man¦sBIrepßgKñaCacMnYnBit r1 nig r2 . kñúgkrNIen¼edIm,IKNna un eyIgRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ -tagsIVútCMnYyBIrKW x n  un  1  r1 un nig yn  un  1  r2 un -rkRbePTénsIVút ( xn ) nig ( yn ) eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 45

KnøwHsIVúténcMnYnBit

rYcKNna xn nig yn CaGnuKmn_én n . «bmafaeKán xn  f (n) nig yn  g(n)  un  1  r1un  f ( n) -eyIgánRbB&næsmIkar u  r u  g(n)  n1

-eda¼Rsayrk

un

eKTTYlán

2 n

un 

f ( n)  g ( n) r2  r1

.

 ebI   a 2  4b  0 smIkarsMKal´ ( E ) man¦sDub r1  r2  r0 kñúgkrNIen¼edIm,IKNna un eyIgRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ -tagsIVútCMnYy Vn  un1  r0 un rYcrkRbePTénsIVút (Vn ) nigKNna Vn CaGnuKmn_én n . «bmafa Vn  f (n) . -eKTajánsmIkar un 1  r0un  f (n) rYcRtUvbMElgCaTRmg´ ½ un  1 un f ( n)   ( EcksmI k arnw g r0 n  1 ) n1 n n1 r0

r0

-Taj[án

r0

n 1 f (k )  n u1 un  r0    [  r0 k  1 r0 k  1

 ] 

.

 ebI   a 2  4b  0 smIkarsMKal´ (E) man¦sBIrCacMnYnkMupøicqñas´Kña KW r1  p  i .q , r2  p  i .q , p , q  IR . eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 46

KnøwHsIVúténcMnYnBit

kñúgkrNIen¼edIm,IKNna un eyIgRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ -tagsIVútCMnYy Z n  un 1  ( p  i .q) un rYcRtUvRsayfa ( Z n ) CasIVútFrNImaRténcMnYnkMupøic . rUcKNna Z n CaGnuKmn_én n . -«bmafa Z n  An  i .Bn ; An , Bn  IR , n  IN * . -eKánsmIkar un 1  ( p  iq) un  An  i .Bn -Taj[ánfa un   Bqn . «TahrN_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday  u1  5 , u2  13   un  2  5un  1  6un , n  IN *

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n ½ smIkarsMKal´énsIVút un  2  5un 1  6un KW r 2  5r  6 ¦ r 2  5r  6  0 51 51   25  24  1 man¦s r1   2 , r2  3 2 2 tagsVIúCMnYyBIr  xyn  uun1  32uun  n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n1

n

TMB½r 47

KnøwHsIVúténcMnYnBit

naM[

 x n  1  un  2  2 un  1   y n  1  un  2  3 u n  1  x n  1  5un  1  6un  2un  1   y n  1  5un  1  6un  3un  1  xn  1   yn  1  xn  1   yn  1

 3( un  1  2un )  2( un  1  3un )  3 xn  2 yn

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa ( xn ) nig ( yn ) suTæEtCasIVútFrNImaRt EdlmanersugerogKña q1  3 nig q2  2 .  x  x  q n  1 1 1 n   yn  y1  q2 n  1  x1  u2  2u1  13  10  3   y1  u2  3u1  13  15  2  x  3.3 n  1  3 n n   yn  2.2 n 1  2 n n  u (1) n  1  2un  3   un  1  3un  2 n ( 2)

tamrUbmnþeKán eday eKán eKTaj

dksmIkar (1) nig (2) eKán dUcen¼ un  2n  3n .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

eday

 x n  un  1  2un   yn  un  1  3un

un  2 n  3 n

TMB½r 48

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

kMnt´eday

 u1  1 , u2  6   un  2  4un  1  4un , n  IN *

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n smIkarsMKal´énsIVút un  2  4un 1  4un KW r 2  4r  4 ¦ r 2  4r  4  0  '  4  4  0 smIkarman¦sDub r1  r2  2 tagsIVútCMnYy vn  un1  2un naM[ vn 1  un  2  2un 1 v n  1  4un  1  4un  2un  1 v n  1  2( un  1  2un ) vn1  2 vn

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa (vn ) CasIVúFrNImaRtmanersug nig tY v1  u2  2u1  6  2  4 . tamrUbmnþeKán vn  v1  q n 1  4  2n 1  2n 1 eday vn  un1  2un eKTaj un 1  2un  2n 1 ¦ unn11  unn  1 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

q2

2

TMB½r 49

KnøwHsIVúténcMnYnBit

yk

u wn  n 2n

eKán

wn 1  wn  1

CasIVútnBVnþmanplsgrYm d  1 nigtY w1  u21  12 . tamrUbmnþeKán wn  w1  (n  1)d  12  (n  1).(1)  n  12 eday wn  unn eKTaj un  (n  12 ) .2n . 2 «TahrN_3 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday  u1  0 , u2  1   un  2  2un  1  2un , n  IN *

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n smIkarsMKal´énsVIút un  2  2un 1  2un KW r 2  2r  2 ¦ r 2  2r  2  0  '  1  2  1  i 2 man¦s r1  1  i , r2  1  i tagsIVútCMnYy Z n  un 1  (1  i ) un eKán Z n 1  un  2  (1  i ) un 1 eday un  2  2un 1  2un

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 50

KnøwHsIVúténcMnYnBit Z n  1  2un  1  2un  (1  i ) un  1 Z n  1  (1  i ) un  1  2un 2 un ) 1 i Z n  1  (1  i ) un  1  (1  i ) un  Z n  1  (1  i ) Z n Z n  1  (1  i ) ( un  1 

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa ( Z n ) CasIVútFrNImaRténcMnYnkMupøic manersug q  1  i  2( 22  i 22 )  2 (cos 4  i . sin 4 ) nigtY Z1  u2  (1  i )u1  1    n 1 n 1  tamrUbmnþ Z n  Z1  q1   2(cos 4  i . sin 4 )

( n  1) ( n  1)   Z n  ( 2 ) n  1 cos (1)  i . sin  4 4  

eday Z n  un1  (1  i ) un  (un1  un )  i .un (2) edaypÞwm (1) nig (2) eKán un  ( 2 )n1 sin (n 41) dUcen¼ un  ( 2 )n1 sin (n 41) . 3-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  bun  c ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´ TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  b un cMeBa¼RKb´ n  IN * nigmantY u1   , u2   . edIm,IkMnt´rktY un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 51

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 tagsIVútCMnYy wn  un    eKán un  wn   , un1  wn1   , un 2  wn 2    yk un , un 1 , un  2 CMnYskñúg un  2  a un 1  bun  c eKánsmIkar ½ w n  2    a ( w n  1   )  b( w n   )  c

w n  2  a w n  1  b w n  (1  a  b )   c

 RtUv[ (1  a  b)   c  0 eKTaján ( Edl a  b  1 ) .  kñúgkrNIen¼eKánTMnak´TMngkMeNIn



c a  b1

wn  2  a wn  1  b wn

 eda¼RsayrktY wn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcehIy xagelI bnÞab´mkTajrktY un  wn    wn  a  cb  1 «TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½  u1  2 , u2  4   un  2  7 un  1  10un  12 , n  IN *

cUrKNna

un

CaGnuKmn_én

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

.

TMB½r 52

KnøwHsIVúténcMnYnBit

dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n eKman un  2  7un1  10un  12 (1) tagsIVútCMnYy vn  un  k ¦ un  vn  k TMnak´TMng (1) Gacsresr ½ v n  2  k  7(v n  1  k )  10(v n  k )  12

v n  2  7v n  1  10v n  (4k  12) ( 2)

ebI 4k  12  0 eKán k  3 TMnak´TMng (2) køayCa vn  2  7vn 1  12vn mansmIkarsMKal´ r 2  7r  12 ¦ r 2  7r  12  0 71 71   49  48  1 eKTaj¦s r1   3 , r2  4 2 2 tagsVIútCMnYyBIr  xyn  vvn1  43vvn naM[  xyn 1  vvn  2  43vvn 1  n n1  x n  1  7v n  1  12v n  3v n  1   yn  1  7v n  1  12v n  4v n  1  xn 1   yn  1  xn 1   yn  1

 n1

n

n 2

n1

 4(v n  1  3v n )  3(v n  1  4v n )  4 xn  3 yn

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa ( xn ) nig EdlmanersugerogKña q1  4 nig eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

suTæEtCasIVútFrNImaRt q2  3 . ( yn )

TMB½r 53

KnøwHsIVúténcMnYnBit  x  x  q n  1 n 1 1   yn  y1  q2 n  1  x1  v 2  3v1  (4  3)  3( 2  3)  4   y1  v 2  4v1  (4  3)  4( 2  3)  5  x  4.4 n  1  x n  v n  1  3v n n   n  1  y n  v n  1  4v n  yn  5.3 n v (1) n  1  3v n  4  v n  1  4v n  5.3 n 1 ( 2)

tamrUbmnþeKán eday eKán eKTaj

eday

dksmIkar (1) nig (2) eKán vn  4n  5.3n1 eday un  vn  k  vn  3 dUcen¼ un  4n  5.3n1  3 . 4-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  3  aun  2  bun 1  cun ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un  3  a un  2  b un 1  cun cMeBa¼RKb´ n  IN * nigmantY u1   , u2   nig u3   . edIm,IKNna un eKRtUvBicarNasmIkar ½ q 3  a q 2  b q  c ¦ q 3  aq 2  bq  c  0 (ehAfasmIkarsMKal´énsIVút) .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 54

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 ebIsmIkar un eKRtUv -tagsIVútCMnYybI

(E )

man¦sbIepßgKñaKW

q1 , q2 , q3

edIm,IKNna

 x n  un  2  1un  1  1un   yn  un  2   2 un  1   2 un z  u  n n  2   3 un  1   3 un

Edl i  qi  a nig i  i qi  b ( ¦ i  qc ) i ehIy i  1 , 2 , 3 . -RtUvrkRbePTénsIVút ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) rYcKNna xn , yn , zn CaGnuKmn_én n . «bmafa xn  f (n) , yn  g(n) , zn  h(n) -eKánRbB&næ

 un  2  1un  1  1un  f ( n)   un  2   2 un  1   2 un  g ( n) u  n  2   3 un  1   3 un  h( n)

eda¼RsayRbB&næen¼eKTTYláncemøIydUcxageRkam ½ 1  2   3 un  1 1  2 1  3

f ( n)  g ( n) f ( n)  h( n) 1   2

.

1   3

ebIsmIkar (E ) man¦sDub edIm,IKNna un eKRtUv ½ eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

q1  q2  q3  q0

TMB½r 55

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-tagsIVútCMnYy vn  un 2  0 un 1  0 un Edl 0  q0  a nig 0  0 q0  b . -RtUvrkRbePTénsIVút (vn ) rYcKNna vn  f (n) -eyIgánTMnak´TMngkMeNIn ½ un  2  0 un  1   0 un  f ( n)

-RtUvrkGnuKmn_

g (n)

(1)

mYyEdlepÞógpÞat´TMnak´TMng ½

g ( n  2)  0 g ( n  1)  0 g ( n)  f ( n)

-dksmIkar

(1)

nig

( 2)

( 2)

Gg:nwgGg:eKán ½

un  2  g( n  2)  0 un  1  g( n  1)   0 un  g( n)  0

( 3)

-tagsIVútCMnYyfμImYyeTot wn  un  g(n)  w n  1  un  1  g ( n  1) eKán  w  u  g(n  2)  n 2 n 2 -TMnak´TMng (3) Gacsresr wn 2  0 wn 1  0 wn  0 eKTaj wn 2  0 wn 1  0 wn . -eda¼Rsayrk wn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy bnÞab´mkTajrktY un  wn  g(n) . ebIsmIkar (E ) man¦s q1  q2  q0 , q3  r0 ( r0  q0 ) edIm,IKNna un eKRtUv ½ eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 56

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-tagsIVútCMnYyBIr vwn uun  2 0'unu1  0u'n u  n n 2 0 n1 0 n Edl 0  q0  a , 0  0q0  b nig  '0  r0  a , '0   '0 r0  b -rkRbePTénsIVút (vn ) , ( wn ) rYcKNnatY vn nig wn snμtfa vn  f (n) , wn  g(n) . -eKánRbB&næsmIkar uun 2  0' uun 1 0u' nu f (gn()n)  n 2 0 n1 0 n -dksmIkar (1) nig (2) eKán ½ (0   '0 ) un  1  (  0   '0 ) un  f ( n)  g ( n)

-RtUvrkGnuKmn_

h(n)

(1) ( 2)

( 3)

mYyEdlepÞógpÞat´smIkar ½

(0  0 ' ) h( n  1)  ( 0   '0 ) h( n)  f ( n)  g ( n) (4)

-dksmIkar

( 3)

nig

( 4)

eKán ½

(0   '0 ) un  1  h( n  1)  ( 0   '0 ) un  h( n)  0

( 5)

-tagsIVútCMnYy Gn  un  h(n) -tam (5) eKán (0   '0 ) Gn1  ( 0  '0 ) Gn  0 n 1 0  0 '     '  0 0 eKTaján Gn1      ' Gn naM[ Gn  G1       '  0

-dUcen¼eKán

un  Gn  h(n)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ



0

Edl

0

0

    '0   Gn  G1    0   '   0 0

n 1

TMB½r 57

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

(u n )

kMnt´eday ½

 u1  9 , u2  29 , u3  99   un  3  9un  2  26un  1  24un , n  IN *

cUrKNna u CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n smIkarsMKal´énsIVút un  3  9un  2  26un 1  24un KW q 3  9q 2  26q  24 ¦ q 3  9q 2  26q  24  0 ¦ (q  2)(q  3)(q  4)  0 man¦s q1  2 , q2  3 , q3  4 . tamrUbmnþ i  qi  a  qi  9 , i  qc  24 qi i cMeBa¼ q  { 2 , 3 , 4 } eKán   {7 ,  6 ,  5 } ;   { 12 , 8 , 6 } n

 x n  un  2  7 un  1  12un   yn  un  2  6un  1  8un z  u  n n  2  5un  1  6un  x n  1  un  3  7 un  2  12un  1   y n  1  un  3  6un  2  8un  1 z  n  1  un  3  5un  2  6un  1

tagsIVútCMnYy eKán eday

un  3  9un  2  26un  1  24un

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 58

KnøwHsIVúténcMnYnBit  x n  1  9un  2  26un  1  24un  7 un  2  12un  1   y n  1  9un  2  26un  1  24un  6un  2  8un  1 z  n  1  9un  2  26un  1  24un  5un  2  6un  1  x n  1  2un  2  14un  1  24un   y n  1  3un  2  18un  1  24un z  n  1  4un  2  20un  1  24un  xn  1  2 xn   yn  1  3 yn  z  n 1  4zn

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) suTæEtCasIVútFrNImaRt EdlmanersugerogKña q1  2 , q2  3 , q3  4 .  x  x  q n 1 1 1  n  n 1  yn  y1  q2  n 1  z n  z1  q3  x1  u3  7 u2  12u1  99  7( 29)  12(9)  4   y1  u3  6u2  8u1  99  6( 29)  8(9)  3  z  u  5u  6u  99  5( 29)  6(9)  8  1 3 2 1  x  4  2n 1  2n  1  n  n 1  3 n  y n  3  3  n 1  2.4 n  z n  8  4

tamrUbmnþ eday eKán

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 59

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eKTaján

n1 u (1) n  2  7 un  1  12un  2   n ( 2)  un  2  6un  1  8un  3  n ( 3)  un  2  5un  1  6un  2.4

dksmIkar (1) nig (2) eKán  un1  4un  2n1  3n (4) dksmIkar (2) nig (3) eKán  un1  2un  3n  2.4n (5) dksmIkar (4) nig (5) eKán 2un  2n1  2.3n  2.4n 2 n  1  2.3 n  2.4 n  2n  3n  4n eKTaj un  2 dUcen¼ un  2n  3n  4n . «TahrN_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½  u1  0 , u2  1 , u3  6   un  3  6un  2  12un  1  8un , n  IN *

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n smIkarsMKal´énsIVút un  3  6un  2  12un 1  8un KW q 3  6q 2  12q  8 ¦ q 3  6q 2  12q  8  0 ¦ (q  2)3  0 eKTaj¦sDub q1  q2  q3  q0  2 eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 60

KnøwHsIVúténcMnYnBit

KNna   q0  a  2  6  4 nig   qc  82  4 0 tagsIVútCMnYy vn  un 2  4un1  4un cMeBa¼RKb´ eKán vn 1  un  3  4un  2  4un 1 eday un  3  6un  2  12un 1  8un

n  IN *

v n  1  6un  2  12un  1  8un  4un  2  4un  1 v n  1  2un  2  8un  1  8un vn1  2 vn

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa (vn ) CasIVútFrNImaRtmanersug nigtY v1  u3  4u2  4u1  6  4  0  2 . eyIgán vn  v1  q n 1  2  2n 1  2n eday vn  un 2  4un1  4un eKTaj un  2  4un1  4un  2n

q2

( un  2  2un  1 )  2( un  1  2un )  2 n un  2  2un  1

tag

wn 

2n 1 un  1  2un 2

n

u  2un 1  n1  (1) n 2 2

cMeBa¼RKb´

n  IN *

tam (1) eKán wn1  wn  12 naM[ ( wn ) CasIVútnBVnþmanplsgrYm nig w1  u2 22u1  12 eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

d

1 2

TMB½r 61

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eKán wn  w1  (n  1) d  12  (n  1) 12  n2 eKTaj un1 n 2un  n2 ¦ unn11  unn  n4 2

eyIgán

n 1 



 k 1  un 2

n

2 2 uk  1 uk  n  1  k       k 1 k  2 2 k 1  4  ( n  1)n u u1  0  1 2 8

eday .

dUcen¼ un  (n  1) n .2n 3 5-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  3  a un  2  bun 1  cun  d ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBiteepÞógpÞat´TMnak´TMngkMeNIn un  3  a un  2  b un  1  cun cMeBa¼RKb´ n  IN * nigmantY u1   , u2   nig u3   . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  tagsIVútCMnYy wn  un    eKán un  w n   , un1  w n1   , un 2  w n 2   , un 3  w n 3  

 yk un , un 1 , un  2 , un  3 CMnYskñúg un  3  a un  2  bun 1  cun  d eKánsmIkar ½ eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 62

KnøwHsIVúténcMnYnBit w n  3    a ( w n  2   )  b ( w n 1   )  c ( w n   )  d w n 3  a w n 2  b w n1  c w n  (1  a  b  c )   d d (1  a  b  c )   d  0  a  b c 1

 RtUv[ ¦ ehIy a  b  c  1 .  kñúgkrNIen¼eKánTMnak´TMngkMeNIn wn  3  a wn  2  b wn 1  c wn

 eda¼RsayrktY wn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcehIy xagelIbnÞab´mkTajrktY un  wn    wn  a  b d c  1 . «TahrN_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (u ) kMnt´eday ½ n

 u1  13 , u2  33 , u3  103   un 3  9un 2  26un1  24un  28 , n  IN *

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay eyIgtag u  w   eday u  9u  26u  24u eKán w  9( w   )  26( w n

n 3

n

n 2

n 3

n 1

n 2

n

 28

n1

  )  24( wn   )  28

w n 3  9 wn 2  26w n1  24 w n  7  28

ebI

 7  28  0

ena¼

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

  4

TMB½r 63

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eKán w  9w  26w  24w (*) smIkarsMKal´énsIVút (*) KW q 3  9q 2  26q  24 ¦ q 3  9q 2  26q  24  0 ¦ (q  2)(q  3)(q  4)  0 man¦s q1  2 , q2  3 , q3  4 . tamrUbmnþ i  qi  a  qi  9 , i  qc  24 qi i cMeBa¼ q  { 2 , 3 , 4 } eKán   {7 ,  6 ,  5 } ;   { 12 , 8 , 6 } n 3

tagsIVútCMnYy

n 2

n1

n

 xn  wn 2  7 wn1  12 wn   yn  w n  2  6 w n 1  8 w n  z  w  5w  6w  n n 2 n1 n  wn 3  7 wn 2  12 wn1

eKán

 xn1   yn 1  w n  3  6 w n  2  8 w n 1  z  w  5w  6w  n 1 n 3 n 2 n 1

eday

wn 3  9un 2  26wn1  24wn  xn1  9 wn 2  26 wn1  24 wn  7 wn 2  12 wn1   yn1  9 wn 2  26 wn1  24 wn  6 wn 2  8 wn1  z  9 w  26 w  2 w  5 w  6 w  n 1 n 2 n1 n n 2 n 1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 64

KnøwHsIVúténcMnYnBit  xn1  2 wn 2  14 wn1  24 w n   yn1  3 w n 2  18 wn1  24 wn  z  4 w  20 w  24 w  n 1 n 2 n1 n  xn1  2 xn   yn 1  3 yn  z  4z  n1 n

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) suTæEtCasIVútFrNImaRt EdlmanersugerogKña q1  2 , q2  3 , q3  4 .  x  x  q n 1 1 1  n  n 1  yn  y1  q2  n 1  z n  z1  q3  x1  w3  7 w2  12w1   y1  w3  6 w2  8 w1  z  w  5w  6w  1 3 2 1

tamrUbmnþ eday

ehIy

ena¼

 x1  99  7( 29)  12(9)  4   y1  99  6( 29)  8(9)  3  z  99  5( 29)  6(9)  8  1

eKán

 x  4  2n 1  2n  1  n  n 1  3 n  y n  3  3  n 1  2.4 n  z n  8  4

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

 w1  u1  4  13  4  9   w2  u2  4  33  4  29  w  u  4  103  4  99  3 3

TMB½r 65

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eKTaján

 w n 2  7 w n1  12 w n  2 n 1 (1)  n ( 2)  w n  2  6 w n  1  8 w n  3  n ( 3)  w n 2  5 w n1  6 w n  2.4

dksmIkar (1) nig (2) eKán  w  4w  2  3 (4) dksmIkar (2) nig (3) eKán  w  2w  3  2.4 (5) dksmIkar (4) nig (5) eKán 2w  2  2.3  2.4 eKTaj w  2  2.23  2.4  2  3  4 eday u  w    w  4 dUcen¼ u  2  3  4  4 . aun  b 6-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1  cu nd ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng aun  b kMeNIn un1  cu nigtY u1   . edIm,IKNnatY un  d n eKRtUvBicarNasmIkar ar b ¦ c r 2  (d  a ) r  b  0 ( E ) r  cr d n 1

n1

n

n

n

n1

n

n

n1

n

n

n

n1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 ebIsmIkar (E ) man¦sBIrepßgKña r1 nig r2 edIm,IKNna un eKRtUv ½ -tagsIVútCMnYy vn  uun  rr1 rYcRsayfa (vn ) CasIVútFrNImaRt n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2

TMB½r 66

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-KNna vn rYcTajrk un .  ebIsmIkar (E ) man¦sDúb r1  r2  r0 edIm,IKNna un eKRtUv -tagsIVútCMnYy vn  u 1 r rYcRtUvRsayfa n 0 -KNna vn rYcTajrk un . «TahrN_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

kMnt´eday

CasIVútnBVnþ

 u1  4  5un  4   u  n  1 2u  1  n

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n ½ smIkarsMKal´énsIVút un 1  52uun  41 KW n

¦ 2r 2  6r  4  0 man¦s tagsIVút vn  uun  12

(vn )

r1  1 ; r2 

r 

5r  4 2r  1

c 2 a

n

eKán

5un  4 1 u 1 un  1  1 2un  1  3( n vn1  )  3 vn un  2 un  1  2 5un  4 2 2un  1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 67

KnøwHsIVúténcMnYnBit

TMnak´TMngen¼bBa¢ak´fa (vn ) CasIVútFrNImaRtmanersug nigtY v1  uu1  12  32 . tamrUbmnþ v  v  q  32 n 1

n

q3

n

1

1

eday

u 1 vn  n un  2

eKTaj

2v  1 un  n  vn  1

3n  1 3n 1 2

n

dUcen¼ vn  2 ( n3  1) . 3 2 «TahrN_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

kMnt´eday

 u1  3  3un  4   u  n1 u  1  n

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n ½ smIkarsMKal´énsIVút un1  3uun 14 KW r  3rr14 n ¦ r 2  4r  4  (r  2)2  0 eKTaj¦s r1  r2  2 . tagsIVút vn  u 1 2 n

eKán eKán

3un  4 un  1  2 un  1 un  1 u 1  n vn1  3un  4  2un  2 un  2

vn1 

1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

eday

un  1 

TMB½r 68

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eKman vn1  vn  uun  12  u 1 2  1 efr n n naM[ (vn ) CasIVútnBVnþmanplsgrYm d  1 nigtY v1  1 tamrUbmnþ vn  v1  (n  1)d  1  n  1  n eday vn  u 1 2 eKTaj un  2  v1  2  n1  2nn 1 n

n

dUcen¼ un  2nn 1 . 7-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  k . un p ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un 1  k . un p nigtY u1   Edl k  0 ,   0 . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  bMBak´elakarItenEBelIGg:TaMgBIrén un 1  k . un p eKán ln un1  p ln un  ln k  tagsIVútCMnYy vn  ln un eKán vn1  p vn  ln k  eda¼RsayrktY vn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcehIy xagelIbnÞab´mkTajrktY un  e v Edl e  2 , 71828... . n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 69

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit  u1  4   un  1  un

( un )

kMnt´eday ½

, n  IN *

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n eKman un1  un eKán ln un1  12 ln un TMnak´TMngen¼bB¢ak´fa (ln un ) CasIVútFrNImaRtmanersug tamrUbmnþ

ln un  ln u1  q

n 1

1

 2

n 1

q

1 2

1

ln 4  ln4 2 n1

1

dUcen¼ un  4 2 . 8-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  1  k . un  1 p unq ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un  1  k . un  1 p unq nigtY u1   , u2   Edl k  0 ,   0 ,   0 . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ n 1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 70

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 bMBak´elakarItenEBelIGg:TaMgBIrén un  1  k . un  1 p unq eKán ln un 1  p ln un 1  q ln un  ln k  tagsIVútCMnYy vn  ln un eKán vn1  p vn1  q ln vn  ln k  eda¼RsayrktY vn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcehIy xagelIbnÞab´mkTajrktY un  e v Edl e  2 , 71828... . «TahrN_  u1  1 , u2  4 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday u  u u n

 n 2

cUrKNna un CaGnuKmn_én eyIg)an ln( u )  ln( u u n 2

n

n

n1

n n1

.

)

1 1 ln un 2  ln un1  ln un 2 2 vn  ln un 1 1 v n  2  v n 1  v n 2 2 1 1 r2  r  2r 2  r  1  0 2 2 1 r1  1 ; r2   2

tagsIVútCMnYy eK)an mansmIkarsmÁal; manb¤s

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

b¤

TMB½r 71

KnøwHsIVúténcMnYnBit  xn  v n1  v n   1 y v vn   n 1  n 2 1 1  x v v v vn  vn1     n 2 n1 n1  n1 2 2  y  v  1v  1v  1v  1v n 2  n1 2 n1 2 n1 2 n 2 n 1 1  1   x (v  v )   n1  xn1   xn 2 n 1 n 2   1  yn1  yn y  v  v n1 n  n1 2 1 n   x n  x0  (  ) 2   yn  y0 u x0  v1  v0  ln( 1 )  ln 4 u0 1 1 y0  v1  v0  ln u1  ln u0  ln 4 2 2 1 n  1 n v v ( ) ln 4      xn  (  ) ln 4  n1 n 2 2    yn  ln 4 v  1 v  ln 4  n1 2 n 2 1  vn  1  (  )n  ln 4 vn  ln un 3 2 

tagsIVútCMnYy eK)an b¤

b¤

eK)an eday nig

b¤

eKTaj

bnÞab;BIedaHRsayeK)an dUcenH

un  4 

2  1  n  1    3  2  

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

eday

  

. TMB½r 72

KnøwHsIVúténcMnYnBit

9-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  a un 2  b un  c ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un 1  a un2  b un  c nigtY u1   . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  bMElgTMnak´TMngkMeNInCaTRmg´ ½  b 2 b 2  4ac  un  1  a ( un  )   2 2 a 4a   b 2 b 2  4ac un  1  a ( un  )  2a 4a b 2  4ac b  4a 2a

 ebItémø

ena¼eKán ½

2

b  b  un  1  a  un    2a  2a  b ( un  1  )  a 2a

b    un   2a  

2

 tagsIVútCMnYy vn  un  2ba eKánTMnak´TMng vn1  a vn2  eda¼RsayrktY vn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcehIy xagelIbnÞab´mkTajrktY un  vn  2ba . eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 73

KnøwHsIVúténcMnYnBit b 2  4ac b  4a 2a

 ebItémø tamreboben¼áneT . «TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit

ena¼eKminGacKNna

un

kMnt´eday

( un )

 u0  4  2 u u   n 1 n  4un  6 , n  IN

cUrKNna eKman u

un

n 1

CaGnuKmn_én

n

.

 ( un  2)2  2

tag V  u  2 eKán V  V naM[ ln(V )  2 ln(V ) TMnak´TMngenHbBa¢ak;fa { lnV } CasIVútFrNImaRtmanersug q  2 . eK)an ln(V )  2 ln(V ) naM[ V  V eday V  u  2  4  2  2 enaH V  2 tam V  u  2 eKTaj u  V  2 dUcenH u  2  2 . aun 2  bun  c 10-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  a' u  b' n ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng un1  2  ( un  2)2

n

n

2

n 1

n 1

n

n

n

2n

n

n

n

0

0

2n

0

n

0

n

n

n

n

2n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 74

KnøwHsIVúténcMnYnBit aun 2  bun  c un  1  a' un  b'

kMeNIn nigtY u1   . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ a r2  b r  c  BicarNasmIkar r  a' r  b ' ¦ (a  a' )r 2  (b  b' )r  c  0 ( E )  ebIsmIkar E  man¦sBIr r1 nig r2 edIm,IKNna un eKRtUv ½ -tagsIVútCMnYy vn  uun  rr1 n 2 -rkTMnak´TMngrvag vn  1 nig vn eKnwgán vn 1  k .vn 2 (ebIman ) -KNna vn rYcTajrk un .  sMKal´ viFIsaRsþeda¼Rsayen¼minmanlkçN¼CaTUeTAcMeBa¼RKb´sIVút aun 2  bun  c ( un ) EdlkMnt´edayTMnak´TMngkMeNIn un  1  a' un  b' TaMgGs´eT KWGacGnuvtþn_ánEtkñúgkrNIBiessEdlán sikßaxagelIen¼Etb¨ueNÑa¼ .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 75

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

 u1  4  2  un  6  un1  2u  5 , n  IN *  n

kMnt´eday

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n eKBicarNasmIkar r  2r r  65 b¤ r  5r  6  0 51 51   25  24  1 eKTajb¤s r  2;r  3 2 2 tagsIVútCMnYy V  uu  23 2

2

1

2

n

n

n

un  6 2 2 un1  2 2un  5 un  4un  4   2  2 un1  3 un  6 un  6un  9 3 2un  5 2

eK)an V

n 1

2

Vn1

 u  2 2   Vn   n  un  3 

eKTaj lnV  2 lnV naM[ { lnV } CasIVútFrNImaRtmanersug q  2 . eK)an lnV  2 lnV enaH V  V eday V  uu  23  2 n 1

n

n

2n

n

n

0

n

0

0

0

0

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 76

KnøwHsIVúténcMnYnBit

ehtuenH V  2 . eKman V  uu  23 naM[ 2n

n

n

n

un 

n

dUcenH u Gnuvtþn_1

n

n



3 . 22  2 2n

2 1

eKBinitüsIVúténcMnYnBit cUrKNna Gnuvtþn_2

un

cUrKNna Gnuvtþn_3

un

un

( un )

( un )

CaGnuKmn_én

eKBinitüsIVúténcMnYnBit cUrKNna

.

CaGnuKmn_én

eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

CaGnuKmn_én

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

3Vn  2 Vn  1

kMnt´eday n

.

kMnt´eday n

 u1  1   un 2  un  1  2un  1 

.

kMnt´eday n

 u1  6   un 2  4  un  1  2un  3 

.

 u1  7  2  un  5  un1  2( u  3)  n

TMB½r 77

KnøwHsIVúténcMnYnBit

11-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

un  1 

aun 2  bun  c a' un 2  b' un  c'

ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng aun 2  bun  c kMeNIn un1  2 nigtY u1   . a' un  b' un  c'

edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ a r2  b r  c  BicarNasmIkar r  2 a ' r  b ' r  c'

¦ a' r 3  (b'a )r 2  (c'b) r  c  0 ( E )  ebIsmIkar E  man¦s r1 , r2 , r3 edIm,IKNna un eKRtUv ½ -tagsIVútCMnYy vn  uun  rri n

j

Edl i  1 , 2 , 3 nig j  1 , 2 , 3 ( -rkTMnak´TMngrvag vn  1 nig vn (ebIman ) eKnwgán vn 1  k .vn 3 -KNna vn rYcTajrk un .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

i j

)

TMB½r 78

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 sMKal´ viFIsaRsþeda¼Rsayen¼minmanlkçN¼CaTUeTAcMeBa¼RKb´sIVút aun 2  bun  c ( un ) EdlkMnt´edayTMnak´TMngkMeNIn un  1  2

a' un  b' un  c'

TaMgGs´eT KWGacGnuvtþn_ánEtkñúgkrNIBiessEdlánsikßa xagelIen¼Etb¨ueNÑa¼ . «TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit

kMnt´eday

( un )

 u1  3  2 9un  14un  9   un1   7 u 2  18u  7  n n

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un CaGnuKmn_én n eKBicarNasmIkar r  97rr 1418rr97 b¤ 7r  9r  7r  9  0 b¤ r (7r  9)  (7r  9)  (7r  9)(r  1)  0 eKTajb¤s r  1 ; r  1 ; r  79 tagsIVútCMnYy V  uu  11 2

2

3

2

2

2

1

2

3

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 79

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eK)an V

n 1



un1  1 un1  1

Vn1

9un  14un  9 1 2 2 16un  32un  16  7 un  18un  7   2 2 2un  4un  2 9un  14un  9 1 2  7 un  18un  7

Vn1

8( un  1)2  ( un  1)2

2

Vn1  8Vn

2

8Vn1  8Vn 

2

ln8Vn1   2 ln8Vn 

naM[ { ln(8V ) } CasIVútFrNImaRtmanersug q  2 . eK)an ln(8V )  2 ln(8V ) naM[ V  (8V8 ) eday V  uu  11  33  11  12 n

2n

n

n

0

n

0

0

0

0

eK)an V eday

2n

.

4 2n 1  3  2 n 8 n 1 un  1 1  Vn 1  22  3 Vn  un   un  1 1  Vn 1  22n1  3 n 1 1  22  3 un  n 1 1  22  3 

enaH

dUcenH

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

.

TMB½r 80

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

 u1  4  5un 2  6un  3   un  1  un 2  2un  7 

cUrKNna Gnuvtþn_2

un

CaGnuKmn_én

eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

cUrKNna un CaGnuKmn_én 12-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

kMnt´eday

n

.

kMnt´eday

 u1  1  un 2   un  1  2 un  2un  2 

n un  1 

aun 3  bun 2  cun  d a' un 2  b' un  c'

ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng aun 3  bun 2  cun  d nigtY u1   . kMeNIn un1  2 a' un  b' un  c'

edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ a r 3  b r 2  cr  d  BicarNasmIkar r  2 a ' r  b ' r  c'

¦

(a  a' ) r 3  (b  b' )r 2  (c  c' ) r  d  0 ( E )

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 81

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 ebIsmIkar E  man¦s edIm,IKNna un eKRtUv ½ -tagsIVútCMnYy vn  uun  rri n

r1 , r2 , r3

j

Edl i  1 , 2 , 3 nig j  1 , 2 , 3 ( i  j ) -rkTMnak´TMngrvag vn  1 nig vn eKnwgán vn 1  k .vn 3 (ebIman ) -KNna vn rYcTajrk un .  sMKal´ viFIsaRsþeda¼Rsayen¼minmanlkçN¼CaTUeTAcMeBa¼RKb´sIVút aun 3  bun 2  cun  d ( un ) kMnt´edayTMnak´TMngkMeNIn un  1  2 a' un  b' un  c'

TaMgGs´eTKWGacGnuvtþn_ánEtkñúgkrNIBiessEdlánsikßa xagelIen¼Etb¨ueNÑa¼ . Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½  u1  3  un 3  6un  2   un  1  3 ( un 2  un  1) 

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

cUrKNna

un

CaGnuKmn_én

n

.

TMB½r 82

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

 u1  4  un 3   un  1  3un 2  6un  4 

Gnuvtþn_3 eKBinitüsIVúténcMnYnBit  u1  4  un 3  12un   un  1  3un 2  4 

kMnt´eday ½

cUrKNna

( un )

un

CaGnuKmn_én

n

.

kMnt´eday ½

cUrKNna un CaGnuKmn_én n . 13-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un1 

aun 3  bun 2  cun  d a' un 3  b' un 2  c' un  d '

ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng aun 3  bun 2  cun  d nigtY u1   . kMeNIn un1  3 2 a' un  b' un  c' un  d '

edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ a r 3  b r 2  cr  d  BicarNasmIkar r  3 2

a ' r  b ' r  c' r  d '

¦

a' r 4  (b' a )r 3  (c' b ) r 2  (d ' c ) r  d  0 ( E )

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 83

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 ebIsmIkar E  man¦s edIm,IKNna un eKRtUv ½ -tagsIVútCMnYy vn  uun  rri n

r1 , r2 , r3 , r4

j

Edl i  1 , 2 , 3 ,4 nig j  1 , 2 , 3 , 4 ( i  j ) . -rkTMnak´TMngrvag vn  1 nig vn eKnwgán vn 1  k .vn 3 (ebIman ) -KNna vn rYcTajrk un .  sMKal´ viFIsaRsþeda¼Rsayen¼minmanlkçN¼CaTUeTAcMeBa¼RKb´sIVút aun 3  bun 2  cun  d ( un ) kMnt´edayTMnak´TMng un  1  3 2

a' un  b' un  c' un  d '

TaMgGs´eTKWGacGnuvtþn_ánEtkñúgkrNIBiessEdlánsikßa xagelIen¼Etb¨ueNÑa¼ . Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´edayTMnak´TMng ½  u1  3  5un 3  9un 2  15un  3   un  1  3un 3  15un 2  9un  5 

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

KNna

un

CaGnuKmn_én

n

.

TMB½r 84

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

kMnt´edayTMnak´TMng ½

 u1  4  9un 3   un  1  8un 3  3un 2  3un  1 

KNna un CaGnuKmn_én n . 14-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un 1  a un  f (n) ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un 1  a un  f (n) nigtY u1   . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  rkGnuKmn_ g(n) EdlepÞógpÞat´smIkar ½ g ( n  1)  a g ( n)  f ( n)

(*)

 edayeKmanTMnak´TMng ½ un  1  a un  f ( n)

 eFIVplsgrvag

(*)

(**)

nig

(**)

eKánsmIkar ½

un  1  g ( n  1)  a [ un  g ( n) ] (* * *)

 tagsIVútCMnYy vn  un  g(n) ena¼tam (* * *) eKGacbeg;ItTMnak´TMng vn 1  a vn rYcTajrk vn  v1  a n1 eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 85

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 TIbBa©b´eKán un  vn  g(n) . «TahrN_1 eK[sIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½ nig un1  12 un  n  5 ( n  IN ) u0  5 cUrKNna un énsIVút (un ) CaGnuKmn_én n . dMeNa¼Rsay KNna un énsIVút (un ) CaGnuKmn_én n eyIgtag un  vn  an  b Edl a , b  IR eyIgán un 1  vn1  an  a  b eday un1  12 un  n  5 eKán vn1  an  a  b  12 (vn  an  b)  n  5 ebI

1  1  1 v n  1  v n  (  a  1)n  (5  a  b ) (*) 2  2  2  1   2 a  1  0 a2 ;b3  1 5  a  b  0  2 1 * vn1  vn 2 1 (vn ) q 2

naM[

TMnak´TMng eTACa naM[ CasIVútFrNImaRtmanersug tamrUbmnþ vn  v0  q n eday un  vn  an  b  vn  2n  6 eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 86

KnøwHsIVúténcMnYnBit

cMeBa¼ n  0 eKán u0  v0  6 naM[ eKán vn  1  1n   1n . dUcen¼

un  

2 1

2

n

v0  u0  6  5  6  1

2

 2n  6

Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

 u1  2   1 2  u  n  1 3 un  n  2n  4

Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

. kMnt´edayTMnak´TMng ½ KNna

un

CaGnuKmn_én

n

.

kMnt´eday ½

 u0  1   n n u u 2 4 sin 6 cos    n  n  1 2 2

KNna un CaGnuKmn_én n . Gnuvtþn_3 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday½  u1  2   1 2 n  u  n  1 2 un  ( n  2n  4) . 2

KNna

un

CaGnuKmn_én

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

. TMB½r 87

KnøwHsIVúténcMnYnBit

15-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  2  a un 1  bun  f (n) ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un  2  a un 1  bun  f (n) nigtY u1   , u2   . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  rkGnuKmn_ g(n) EdlepÞógpÞat´smIkar ½ g ( n  2)  a g ( n  1)  b g ( n)  f ( n)

(*)

 edayeKmanTMnak´TMng ½ un  2  a un  1  b un  f ( n)

 eFIVplsgrvag

(*)

nig

(**)

(**)

eKánsmIkar ½

un  2  g ( n  2)  a un  1  g ( n  1)  b [ un  g ( n) ] (* * *)

 tagsIVútCMnYy vn  un  g(n) ena¼tam (* * *) eKGacbeg;ItTMnak´TMng vn  2  a vn 1  bvn  rk vn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy .  TIbBa©b´eKán un  vn  g(n) .

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 88

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_ eK[sIVút

( un )

kMnt´eday

 u0  1 , u1  4   un 2  2un1  4un  6n  3

Edl n  0 , 1 , 2 , 3 , ... . cUrKNna u CaGnuKmn_én n . tag g(n)  an  b CaGnuKmn_EdlepÞógpÞat; u  2u  4u  6n  3 eK)an g(n  2)  2 g(n  1)  4 g(n)  6n  3 eday g(n  1)  a(n  1)  b  an  a  b nig g(n  2)  a(n  2)  b  an  2a  b eK)an an  2a  b  2(an  a  b)  4(an  b)  6n  3 n

n 2

n1

n

an  2a  b  2an  2a  2b  4an  4b  6n  3 3an  3b  6n  3

eKTaj)an a  2 ; b  1 ehIy g(n)  2n  1 . eKman u  2u  4u  6n  3 (i ) nig g(n  2)  2 g(n  1)  4 g(n)  6n  3 (ii ) eFIVplsgrvag (i ) nig (ii ) eK)an ³ n 2

n1

n

un 2  g ( n  2)  2 un1  g ( n  1)  4un  g ( n) ( iii )

tag V

enaHTMnak;TMng (iii ) GacsresrCa ³ V  2V  4V mansmIkarsmÁal; r  2r  4 b¤ r '  1  4  3  3i manb¤s r  1  i 3 . tagsIVútCMnYy z  V  (1  i 3 )V eK)an z  V  (1  i 3 )V n

 un  g (n)

2

n 2

n 1

n

2

 2r  4  0

2

1, 2

n

n 1

n1

n 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

n1

TMB½r 89

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eday V eK)an z

n 2

n 1

 2Vn1  4Vn  2Vn1  4Vn  (1  i 3 )Vn1

zn1  (1  i 3 )Vn1  4Vn 4 V ) 1 i 3 n  (1  i 3 ) Vn1  (1  i 3 )Vn

zn1  (1  i 3 ) (Vn1  z n 1





zn1  (1  i 3 ) zn

eKTaj)an ( z ) CasIVútFrNImaRténcMnYnkMupøicmanpleFobrYm q  1  i 3 nigtY z  V  (1  i 3 )V eday V  u  g(n)  u  (2n  1) eK)an V  u  1  1  1  0 ehIy V  u  3  4  3  1 eKTaj)an z  1 . tamrUbmnþ z  z .q  (1  i 3 )  2 (cos n3  i . sin n3 ) eday z  V  (1  i 3 )V  (V  V )  i 3V eKTaj 3 V  2 sin n3 b¤ V  23 sin n3 eday V  u  g(n) enaH u  g(n)  V dUcenH u  6n  3  23 sin n3 . n

0

1

0

0

n

0

n

1

n

1

0

n

n

n

0

n1

n

n

n 1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 90

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

kMnt´eday ½

 u1  1 , u2  2   un  2  2un  1  un  2n  1

KNna un CaGnuKmn_én n . Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½  u1  u2  4   n    u u u 3 2 4 sin n1 n  n  2 2

KNna un CaGnuKmn_én n . Gnuvtþn_3 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½  uo  0 , u1  1   un  1  2un  1  4un  ( 3n  1) 2 n

KNna un CaGnuKmn_én n . Gnuvtþn_4 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½ u  0 , u  1 KNna un CaGnuKmn_én  u u u n o



1

2

n 1

n 1

n

.

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 91

KnøwHsIVúténcMnYnBit

16-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn un  3  aun  2  bun  1  cun  f ( n)

ebIeKs:al´fa (un ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´TMng kMeNIn un  3  aun  2  bun 1  cun  f (n) nigtY u1   , u2   , u3   . edIm,IKNna un eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  rkGnuKmn_ g(n) EdlepÞógpÞat´smIkar ½ g ( n  3)  a g ( n  2)  b g ( n  1)  c g ( n)  f ( n)

(*)

 edayeKmanTMnak´TMng ½ un  3  a un  2  b un  1  cun  f ( n)

 eFIVplsgrvag

(*)

nig

(**)

(**)

eKánsmIkar ½

un 3  g(n  3)  a un 2  g(n  2)  b [ un1  g(n  1) ]  cun  g(n) (* * *)

 tagsIVútCMnYy vn  un  g(n) ena¼tam (* * *) eKGacbeg;ItTMnak´TMng ½ v n  3  a v n  2  bv n  1  cv n

 rk vn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy .  TIbBa©b´eKán un  vn  g(n) . eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 92

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

kMnt´eday ½

 u0  1 , u1  0 , u2  1   un  3  3un  2  3un  1  un  2n  1

KNna un CaGnuKmn_én n . Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½  u0  1 , u1  0 , u2  1  2  un 3  2un 2  9un1  18un  n  2n  4

KNna un CaGnuKmn_én n . aun  bv n 17-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn vun1  cu  n1 n  dv n ebIeKs:al´fa (un ) nig (vn ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´TMnak´  un  1  aun  bv n TMngkMeNIn v  cu  dv nig vu1    1  n1 n n edIm,IKNna un nig vn eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  tagsVúItCMnYy wn  un  r vn Edl r CacMnYnefr RtUvkMnt´rkedIm,I[sVIút ( wn ) CasIVútFrNImaRt ¦ sIVútefr .  edIm,IEsVgrkcMnYn r eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ -beg;InkMeNIn wn 1  un 1  r vn 1 (1) eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 93

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-CMnYs un1  aun  bvn nig kñúg (1) eKán ½

v n 1  cun  dv n

w n  1  (aun  bv n )  r (cun  dv n ) w n  1  (a  cr )un  (b  dr )v n b  dr   w n  1  (a  cr )  un  v n  ( 2) a  cr  

-tam

edIm,I[ ( wn ) køayCasIVútFrNImaRtlu¼RtaEt ½ b  dr ¦ c r 2  (a  d ) r  b  0 ( E ) r a  cr *ebIsmIkar (E ) man¦sBIrepßgKña r1 , r2 ena¼eKGacbeg;ItánsIVútBIr w'n  un  r1v n nig w' 'n  un  r2v n CasIVútFrNImaRt ¦CasIVútefr . -KNna w'n  f (n) nig w' 'n  g(n) -eKánRbB&næsmIkar uun  rr1vvn  gf ((nn))  n 2 n -eda¼RsayRbB&næen¼eKTTYáncemøIy un nig vn . *ebIsmIkar (E ) man¦sDub r1  r2  r0 ena¼eKGacbeg;ItsIVút ( wn ) ánEtmYyKt´KW wn  un  r0vn CasIVútFrNImaRt ¦ CasIVútefr . -snμfaeKGacKNnarkeXIj wn  f (n) ( 2)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 94

KnøwHsIVúténcMnYnBit

-eyIgpßMánRbB&næ

 un  r0v n  f ( n)   un  1  aun  bv n v  n  1  cun  dv n

-eyIgRtUvbeg;ItTMnak´TMng

1 f ( n)  ( )    u a u  n1 n r0 r0  v  n  1  (d  cr0 ) v n  c f ( n)

-KNna un nig vn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy. Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) nig (v ) kMnt´eday ½ n

 u0  5 ; v0  1   un1  2un  9vn  v  u  8v  n1 n n

KNna

Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit  u0  1 ; v0  1   un1  3un  12v n  v  2u  7v  n 1 n n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

nig

KNna

Gnuvtþn_3 eKBinitüsIVúténcMnYnBit  u0  4 ; v0  1   un1  4un  9v n  v  u  2v  n1 n n

( un )

un

un

( un )

nig

KNna

un

nig

vn

(vn )

kMnt´eday ½

nig

vn

(vn )

nig

CaGnuKmn_én

CaGnuKmn_én

n

.

n

.

kMnt´eday ½

vn

CaGnuKmn_én

n

. TMB½r 95

KnøwHsIVúténcMnYnBit aun  bv n  p 18-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn vun1  cu  n1 n  dv n  q ebIeKs:al´fa (un ) nig (vn ) CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´  un  1  aun  bv n  p  u1   TMnak´TMngkMeNIn v  cu  dv  q nig v    1  n1 n n edIm,IKNna un nig vn eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  tagsVúItCMnYyBIr  xyn  vun  

 eKán  eday

 n n  un  xn    un  1  x n  1     v n  yn   v n  1  yn  1    un  1  aun  bv n  p  v n  1  cun  dv n  q  x n  1    a ( x n   )  b( y n   )  p   yn  1    c( xn   )  d ( yn   )  q  x n  1  ax n  byn  p  (1  a )  b   yn  1  cxn  dyn  q  c  (1  d )  p  (1  a )  b  0  q  c  (1  d )  0

nig

eKGacsresr ½

 RtUv[ rYceda¼RsayrkcMnYn  nig  .  eKTajánTMnak´TMng  xyn1  ca xxn  db yyn  n1

 KNna

xn

nig

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

yn

n

n

tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcehIy .

TMB½r 96

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

 u0  6 ; v0  1   un1  3un  6vn  3 v  u  8v  11  n 1 n n

KNna

un

nig

nig

CaGnuKmn_én

vn

19-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn ebIeKs:al´fa

( un )

TMnak´TMngkMeNIn

nig

(vn )

kMnt´eday ½

(vn )

.

n

2 2  u n  1  aun  bun v n  cv n  v n  1  a' un 2  b' un v n  c' v n 2

CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´

2 2  u n  1  aun  bun v n  cv n  v n  1  a' un 2  b' un v n  c' v n 2

nig vu1    1 edIm,IKNna un nig vn eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½  RtUvrkcMnYnefr r nig k EdlbMeBjlk&çx&NÐsmIkar ½ un  1  r v n  1  k ( un  r v n ) 2

 snμtfaeKGacrkeXIjtémø r nig k BIrKW nig k1 , k2 .  RtUvtagsIVútCMnYyBIr  xyn  uun  rr1vvn  n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

r1 , r2

2 n

TMB½r 97

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 taml&kçx&NÐxagelIeKTaj

2  x n  1  k1 x n   y n  1  k 2 y n 2

 KNna xn nig yn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy  Tajrk un nig vn .  sMKal´ viFIsaRsþeda¼Rsayen¼minmanlkçN¼CaTUeTAcMeBa¼RKb´sIVút ( un ) nig (vn ) EdlkMnt´edayTMnak´TMngkMeNIn 2 2  u n  1  aun  bun v n  cv n  v n  1  a' un 2  b' un v n  c' v n 2

TaMgGs´eTKWGacGnuvtþn_ánEtkñúgkrNIBiessEdlánsikßaxag elIen¼Etb¨ueNÑa¼ . «TahrN_

eK[sIVúténcMnYnBit (u ) nig v  kMnt;eday ³ n n 0

n n 0

 u0  4 ; v0  2  2 2  un  1  un  2vn  2 v 2 u v v    n1 n n n

Edl n  0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... . k> cUrRsayfa u  v Canic©cMeBaHRKb; n  0 . n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 98

KnøwHsIVúténcMnYnBit

x> bgðajfaeKGackMnt;cMnYnBit r edIm,I[)an ³ un  1  r vn  1  un  r vn 

2

K> cUrKNna u nig v CaGuKmn_én n . dMeNa¼Rsay k> Rsayfa u  v Canic©cMeBaHRKb; n  0 eyIgman u  4  v  2 Bit ]bmafavaBitcMeBaH n  k KW u  v Bit eyIgnwgRsayfavaBitcMeBaH n  k  1 KW u  v Bit eKman u  v  u  2v   2u v  v  u  v  u  v   0 eRBaH u  v eKTaj u  v Bit dUcenH u  v Canic©cMeBaHRKb; n  0 . x> kMnt;cMnYnBit r ³ eKman u  r v  u  r v  * eday u  u  2v nig v  2u v  v eK)an u  2v   r 2u v  v   u  r v  n

n

n

n

0

0

k

k 1

k

k 1

2

k 1

k 1

2

k

2

k

k

k

k

2

k 1

k 1

k 1

n

k

k

k

k

k 1

n

2

n1

n1

n

2

n1

n

2

n

2

n1

n

2

n

n n

2

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

2

n n

n

2

n

n

TMB½r 99

KnøwHsIVúténcMnYnBit un  2r unvn  ( 2  r )vn  un  2runvn  r 2vn 2

2

2

2

eKTaj 2  r  r b¤ r  r  2  0 dUcenH r  1 b¤ r  2 . K> KNna u nig v CaGuKmn_én n ³ yktémø r  1 ; r  2 CMnYskñúg * eK)an ³ 2

2

1

2

n

     

n

un  1  vn  1  un  vn 

2

un  1  2vn  1  un  2vn  ln( un  1  vn  1 )  2 ln un  vn  2

i  ln( un  1  2vn  1 )  2 ln un  2vn  ii  tag xn  ln( un  vn ) nig vn  lnun  2vn 

tam (i ) & ii  eK)an x  2 x nig y  2 y naM[  x  nig  y  CasIVútFrNImaRtmanersugerogKña q nig q  2 nigtY x  ln 2 nig y  ln 8 eK)an x  2 ln 2 nig y  2 ln 8 eday x  ln( u  v ) nig v  lnu  2v  n1

n

1

0

n

n

n

n

n

n

n

n

 lnun  vn   2n ln 2  n   ln  2  2 ln 8 u v  n n

un 

2

0

n

dUcenH

n

n

2

eKTaj

n1

n

2

2n 1

8 3

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2n

nig

naM[ 2n

vn

8 2 3

n

 un  vn  22 n  n  un  2vn  82 2n

. TMB½r 100

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

nig

  u0  6 ; v0  1  2  2 2  u ( 4un  6un vn  21vn )  n 1 5  1 2  2    v ( u 14 u v v ) n 1 n n n n   5

KNna un nig v CaGnuKmn_én 20-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn n

kMnt´eday ½

(vn )

Edl n

n  0 , 1 , 2 , 3 , ....

.

3 2 2 3  u n  1  aun  bun v n  cun v n  d v n  v n  1  a' un 3  b' un 2v n  c' un v n 2  d ' v n 3

ebIeKs:al´fa (un ) nig TMnak´TMngkMeNIn ½

(vn )

CasIVúténcMnYnBitehIyepÞógpÞat´

3 2 2 3  u n  1  aun  bun v n  cun v n  d v n  v n  1  a' un 3  b' un 2v n  c' un v n 2  d ' v n 3

nig

 u1    v1  

edIm,IKNna un nig vn eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ½ RtUvrkcMnYnefr r nig k EdlbMeBjlk&çx&NÐsmIkar ½ un  1  r v n  1  k ( un  r v n ) 3

snμtfaeKGacrkeXIjtémø r nig k BIrKW eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

r1 , r2

nig

k1 , k2

.

TMB½r 101

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 RtUvtagsIVútCMnYyBIr

 x n  un  r1v n   yn  un  r2v n 3  x n  1  k1 x n   y n  1  k 2 y n 3

 taml&kçx&NÐxagelIeKTaj

 KNna xn nig yn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy  Tajrk un nig vn .  sMKal´ viFIsaRsþeda¼Rsayen¼minmanlkçN¼CaTUeTAcMeBa¼RKb´sIVút ( un ) nig (vn ) EdlkMnt´edayTMnak´TMngkMeNIn ½ 3 2 2 3  u n  1  aun  bun v n  cun v n  d v n  v n  1  a' un 3  b' un 2v n  c' un v n 2  d ' v n 3

TaMgGs´eTKWGacGnuvtþn_ánEtkñúgkrNIBiessEdlánsikßaxag elIen¼Etb¨ueNÑa¼ . «TahrN_

eK[sIVúténcMnYnBit (u ) nig v  kMnt;eday ³  u  u  6u v  6v  u 4 ni g   v 2 n n 0

n n 0

3

n1

0



0

2

n

n n

3

n

 vn  1  3un 2vn  9unvn 2  7vn 3

Edl n  0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... . k> cMeBaHRKb; n  0 cUrRsayfa u

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

 vn  0

nig u

n

 2vn  0

TMB½r 102

KnøwHsIVúténcMnYnBit

x> bgðajfaeKGackMnt;cMnYnBit r edIm,I[)an ³ un  1  r vn  1  un  r vn 

3

K> cUrKNna u nig v CaGuKmn_én n . dMeNa¼Rsay k> cMeBaHRKb; n  0 Rsayfa u  v  0 eKman u  v  4  2  6  0 Bit ]bmafavaBitdl; n  k KW u  v  0 Bit eyIgnwgRsayfavaBitdl; n  k  1 KW u  v  0 Bit eKman u  v  u  3u v  3u v  v u  v  u  v   0 Bit dUcenH u  v  0 cMeBaHRKb; n  0 . cMeBaHRKb; n  0 Rsayfa u  2v  0 ³ eKman u  2v  4  4  8  0 Bit ]bmafavaBitdl; n  k KW u  2v  0 Bit eyIgnwgRsayfavaBitdl; n  k  1 KW u  2v  0 Bit eKman u  2v  u  6u v  12u v  8v u  2v  u  2v   0 Bit n

n

n

0

n

0

k

k

k 1

3

k 1

k 1

2

n

n

k 1

2

n

3

n n

n

3

k 1

n

k 1

k

k

n

n

0

n

0

k

k

k 1

3

k 1

k 1

n

2

k 1

2

n

n

n n

3

n

3

k 1

k 1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

k

k

TMB½r 103

KnøwHsIVúténcMnYnBit

dUcenH u  2v  0 cMeBaHRKb; n  0 . x> kMnt;cMnYnBit r edIm,I[)an ³ n

n

un  1  r vn  1  un  r vn  *  un  1  un 3  6unvn 2  6vn 3   vn  1  3un 2vn  9unvn 2  7vn 3 3

eday

eK)an ³

un  1  r vn  1  un  3run vn  ( 9r  6)un vn  ( 7 r  6)vn i  3

2

2

3

ehIy u  r v   u  3ru v  3r u v  r v edayeRbobeFobTMnak;TMng i  nig ii  eKTaj)an ³ 3

n

3

n

2

n

n

2

2

n

3

3

n n

n

ii 

 3r 2  9r  6  r 2  3r  2  0  3  3  r  7r  6 r  7r  6  0

dUcenH r  1 ; r  2 . K> KNna u nig v CaGuKmn_én n ³ yktémø r  1 ; r  2 CYskñúg * eK)an ³ 1

2

n

1

     

un  1  vn  1

n

2

 ( un  vn )3

un  1  2vn  1  un  2vn 

3

lnun  1  vn  1   3 lnun  vn 

lnun  1  2vn  1   3 lnun  2vn 

tamTMnak;TMngenHbBa¢ak;fa { ln( u  v )} nig {ln(u  2v )} suTæEtCasIVútFrNImaRtEdlmanpleFobrYm q  3 dUcKña . n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

n

n

TMB½r 104

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eK)an eKTaj

 lnun  vn   3n lnu0  v0   3n ln 6  n n  lnun  2vn   3 lnu0  2v0 )  3 ln 8   un  vn  63 n  n  un  2vn  83

bnÞab;BIedaHRsayRbBn½æenHeKTTYl)an ³ u  2  6  8 nig v  8  6 3n

3n

n

3n

3n

n

Gnuvtþn_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

nig

.

kMnt´eday ½

(vn )

 u0  4 , v0  1  3 2 2 3  un1  5un  24un vn  6unv n  14vn  3 2 2 3  vn1  2un  15un v n  3un vn  11vn

Edl n  0 , 1 , 2 , 3 , .... .KNna un nig v CaGnuKmn_én eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) nig (v ) kMnt´eday ½ n

n

.

n

 u0  4 , v0  1  3 2 u u 3 u v    n1 n n n  2 3 v 3 u v v    n 1 n n n

Edl n  0 , 1 , 2 , 3 , .... . KNna un nig v CaGnuKmn_én n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

.

TMB½r 105

KnøwHsIVúténcMnYnBit

21-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

 u0   ; v 0    2 2  un1  un  d v n (d  0)  v  2u v n n  n1

edIm,IKNna u nig v eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ³  RtUvKNna u  d v nig u  d v  RtUvtagsIVútCMnYyBIr x  u  d v nig y  u  d v rYcRtUvbgðajfa x  x nig y  y  KNna xn nig yn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy  Tajrk un nig vn . «TahrN_ n

n

n 1

n1

n

n 1

n

n 1

n

n

2

n1

n

n

n

2

n 1

n

eK[sIVúténcMnYnBit (u ) nig v  kMnt;eday ³ n n 0

n n 0

 u0  4 ; v0  2  2 2  un1  un  8vn  v  2u v n n  n 1

KNna u nig v CaGnuKmn_én n . n

n

dMeNa¼Rsay

KNna u nig v CaGnuKmn_én n n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 106

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eyIgman u

 2 2v n1  un  8vn  4 2unv n 2

n 1

2

un1  2 2vn1  ( un  2 2vn )2 (1)

ehIy

un1  2 2vn1  un  8vn  4 2un vn 2

2

un1  2 2v n1  ( un  2 2vn )2 ( 2)

tagsIVútCMnYy x  u  2 2v nig y  u  2 tam (1) nig (2) eK)an x  x nig y  y cMeBaH x  x ebI n  0 enaH x  x ebI n  1 enaH x  x  x ebI n  2 enaH x  x  x snμtfavaBitcMeBaHtY x  x eyIg)an x  x   x   x Bit dUcenH x  x . dUcKñaEdrcMeBaH y  y eK)an y  y eday x  u  2 2v  6  4  10 nig y  u  2 2v  6  4  2 eK)an x  10 nig y  2 n

n

n

n

2vn

n

2

n1

n 1

n

2 n

2

n1

n

2

1

0

22

2

2

1

0

23

2

3

0

0

2n

n

0

2n

2

n1

2

0

n

2n 1

0

2n

0

n

2n

2

n 1

0

0

n

0

n

0

0

0

0

2n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2n

n

TMB½r 107

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eday x  u  2 2v nig y  u  u  2 2v  10 eKTaj)an  n

n

n

n

n

 2 2vn

2n

n

n

 un  2 2vn  22

n

bnÞab;BIedaHRsayeKTTYl)an ³ 10  2 10  2 u  ni g v  . 2 4 2 2n

2n

2n

n

2n

n

Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

( un )

nig

(vn )

kMnt´eday ½

 u0  3 2 , v0  1  2 2  un1  un  2vn  v  2u v ; n  0 , 1 , 2 , 3 , .... n n  n 1

KNna un nig v CaGnuKmn_én n . Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) nig (v ) kMnt´eday ½ n

n

 u0  4 , v0  1  2 2  un1  un  4vn  v  2u v ; n  0 , 1 , 2 , 3 , .... n n  n 1

KNna

un

nig

vn

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

CaGnuKmn_én

n

. TMB½r 108

KnøwHsIVúténcMnYnBit

22-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn

 u0   ; v 0    2 2  un 1  un  d v n (d  0)  v  2u v n n  n1

edIm,IKNna u nig v eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ³  RtUvKNna u  i d v nig u  i d v  RtUvtagsIVútCMnYyBIr x  u  i d v nig y  u  i d v rYcRtUvbgðajfa x  x nig y  y  KNna xn nig yn tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy  Tajrk un nig vn . «TahrN_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) nig (v ) kMnt´eday ½ n

n

n1

n1

n

n1

n

n1

n

n

2

n1

n

n

n

2

n 1

n

n

 u0  3 , v0  1  2 2  un1  un  3vn  v  2u v ; n  0 , 1 , 2 , 3 , .... n n  n 1

KNna un nig dMeNa¼Rsay

vn

CaGnuKmn_én

n

.

KNna u nig v CaGnuKmn_én n n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 109

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eyIgman u

 i 3vn1  un  3vn  2i 3un vn 2

n 1

2

un1  i 3vn1  ( un  i 3vn )2 (1)

ehIy

un1  i 3vn1  un  vn  2i 3un vn 2

2

un1  i 3vn1  ( un  i 3vn )2 ( 2)

tagsIVútCMnYy x  u  i 3v nig y  u  i 3v tam (1) nig (2) eK)an x  x nig y  y cMeBaH x  x ebI n  0 enaH x  x ebI n  1 enaH x  x  x ebI n  2 enaH x  x  x snμtfavaBitcMeBaHtY x  x eyIg)an x  x   x   x Bit dUcenH x  x . dUcKñaEdrcMeBaH y  y eK)an y  y eday x  u  i 3v  3  i 3  2 3(cos 6  i sin 6 ) nig y  u  i 3v  3  i 3  2 3(cos( 6 )  i sin(  6 )) n

n

n

n

n

n

2

n1

2

n 1

n

n

2

n1

n

2

1

0

22

2

2

1

0

23

2

3

0

0

2n

n

0

2n

2

n1

0

n

2

2n 1

0

2n

0

n

2n

2

n 1

0

0

0

0

n

n

0

0

0

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 110

KnøwHsIVúténcMnYnBit  2n   2n    i sin xn  ( 2 3 )  cos 6  6  2n  2n   2n  )  i sin(  yn  ( 2 3 )  cos(  ) 6 6  

eK)an

2n

nig eday x  u  i 3v nig y  u  i 3v eKTaj)an u  x 2 y nig v  x2i 3y dUcenH u  2 3  cos 26 nig v  2 3  n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2n

n

2n

n

23-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn x0   ; x n  1

2n  sin 6

.

x d  n ( d  0) 2 xn 2

edIm,IKNna x eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ³  RtUvtagsIVútCMnYy x  uv n

n

n

 tamTMnak;TMng x

n1



n 2 n

x d 2 xn

2

eK)an

un1 v n 1

 un     d v  n u  2 n   vn 

un1 un  dv n  v n 1 2un vn 2

b¤

ebI u  u  d v enaH v  u  u dv eK)ansIVút  2

n 1

n

2

n

2

n 1

n

n1

2

 2unvn

2

n

 vn1  2un vn

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 111

KnøwHsIVúténcMnYnBit

 KNna u nig v tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy . Gnuvtþn_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit ( x ) kMnt´eday ½ x 5 x  3 5 nig x  Edl n  0 ; 1 ; 2 ; .... 2x KNna x CaGnuKmn_én n . 24-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn n

n

n

2

n

n1

0

n

n

x0   ; x n1

x d  n ( d  0) 2 xn 2

edIm,IKNna x eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ³  RtUvtagsIVútCMnYy x  uv n

n

n

 tamTMnak;TMng x



n 1

n 2 n

x d 2 xn

2

eK)an

un1 vn1

 un     d v  n u  2 n   vn 

un1 un  dvn  v n 1 2unv n 2

b¤

ebI u  u  d v enaH v eK)ansIVút  u  u  d v 2

n 1

n

2

n

n1

2

n1

n

2

 2unvn

2

n

 v n1  2un v n

 KNna u nig n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

vn

tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy . TMB½r 112

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_ eKBinitüsIVúténcMnYnBit ( x ) kMnt´eday ½ x 4 x  2 3 nig x  Edl n  0 ; 1 ; 2 ; .... 2x KNna x CaGnuKmn_én n . 25-krNIs:al´TMnak´TMngkMeNIn n

2

n

n1

0

n

n

 u0    f ( n  1) k  u   n1 [ f ( n)]k .un 

edIm,IKNna u eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ³  RtUvbEmøg u  f f(n(n)1) .u Carag f (un  1)   n

k

n 1



n

un f (n)

n1

n

k

 RtUvtagsIVútCMnYy v

un    f ( n) 

eK)an

vn1  vn

k

k

 KNna v tamviFIsaRsþEdlánsikßarYcmkehIy . Gnuvtþn_1 eKBinitüsIVúténcMnYnBit (un ) kMnt´eday ½ 2 1 u 1 ; u  u Edl n  0 ; 1 ; 2 ; .... 4  2 1 KNna un CaGnuKmn_én n . n

n1

2

0

n 1

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n1

n

TMB½r 113

KnøwHsIVúténcMnYnBit

Gnuvtþn_2 eKBinitüsIVúténcMnYnBit

kMnt´eday ½ n  n1 u 1 ; u  u Edl n  0 ; 1 ; 2 ; .... ( n  n  1) KNna un CaGnuKmn_én n . VIII-Gnuvtþn_sIVútkñúgkarKNnaedrIevTI n 1-rebobrkedrIevTI n énGnuKmn_rag ( un )

2

3

0

n 1

2

3

n

y  (ax  b ) ex

edIm,IKNnaedrIevTI n énGnuKmn_ y  (ax  b) e eKRtUv ³ -KNnaedrIev y' , y'' , y , y , ... -eyIgsegáteXIjfa y'  (a x  b )e x

( 3)

(4)

x

1

1

y''  (a2 x  b2 )ex

y ( 3 )  (a3 x  b3 )ex

-------------------------------------------snμtfaedrIevTI n manrag y  (a x  b ) e -eRbIlkçN³ y   y  edIm,IbegáItTMnak;TMngrvag a nig CamYynwg a nig b . -RtUvKNna a nig b CaGnuKmn_én n . x

(n)

n

n

(n) /

( n 1 )

n 1

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

bn1

TMB½r 114

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_ KNnaedrIevTI n énGnuKmn_ y  (2 x  1) e eyIg)an y'  2e  3(2 x  1)e  (6 x  5)e  (a x  b )e 3x

3x

3x

3x

1

3x

1

y''  6e 3 x  3(6 x  5)e 3 x  (18 x  21)e 3 x  ( a2 x  b2 )e 3 x y ( 3 )  18e 3 x  3(18 x  21)e 3 x  (54 x  81)e 3 x  (a3 x  b3 )e 3 x

------------------------------------------snμtfaedrIevTI n manrag y  (a x  b ) e eK)an y  a e  3(a x  b )e  (3a x  a  3b )e eday y  (a x  b )e  a  3a eKTaj)an  b  a  3b (n)

3x

n

( n1)

3x

n

3x

n

n

n

( n1)

n

n

3x

n

3x

n1

n1

n 1



n

n 1

n

n

tam a  3a bBa¢ak;fa (a ) CasIVútFrNImaRtmanpleFobrYm q  3 eK)an a  a  q eday a  6 enaH a  2 3 ehIy b  a  3b  2.3 naM[ 3b  3b  23 tamTMnak;TMngenHbBa¢ak;fa { 3b } CasIVútnBVnþmanplsgrYm d  23 eK)an 3b  b3  (n  1)d eday b  5 n1

n

n

n 1

n

n

1

n

1

n1 n1

n

n 1

n

n

n n

n n

n n

eKTaj b dUcenH y

n

1

1

5   2  3 n   ( n  1)   ( 2n  3) 3n1   3 3 

(n)



 2 . 3 n x  ( 2 n  3 ) 3 n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

e

3x

TMB½r 115

KnøwHsIVúténcMnYnBit

2-rebobrkedrIevTI

n

énGnuKmn_rag

y  (a sin px  b cos px ) e x

edIm,IKNnaedrIevTI n énGnuKmn_ y  (a sin px  b cos px ) e eKRtUv ³ -KNnaedrIev y' , y'' , y , y , ... -eyIgsegáteXIjfa y'  (a sin px  b cos px )e x

( 3)

(4)

x

1

1

y''  (a2 sin px  b2 cos px )ex

y ( 3 )  (a3 sin px  b3 cos px )ex

-------------------------------------------snμtfaedrIevTI n manrag y  (a sin px  b cos px ) e -eRbIlkçN³ y   y  edIm,IbegáItTMnak;TMngrvag a nig CamYynwg a nig b . -RtUvKNna a nig b CaGnuKmn_én n . «TahrN_ KNnaedrIevTI n énGnuKmn_ y  (sin x  cos x ) e eyIg)an ³ x

(n)

n

n

(n) /

( n 1 )

n 1

n

n

n

n

bn1

x

y'  (cos x  sin x )e x  (sin x  cos x )e x  2 cos x e x  (a1 sin x  b1 cos x )e x y''  2 sin xe x  2 cos xe x  ( 2 sin x  2 cos x )e x  (a2 sin x  b2 cos x )e x

------------------------------------------snμtfaedrIevTI n manrag y  (a sin x  b cos x ) e (n)

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

x

n

TMB½r 116

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eK)an

y ( n1)  (an cos x  bn sin x )e x  (an sin x  bn cos x )e x  (an  bn ) sin x  (an  bn ) cos x  e x

eday y  (a eKTaj)ansIVút ab ( n 1 )

n 1



tagsIVútCMnYy z eK)an z  a

n

n 1

z n 1

sin x  bn1 cos x )e x

n 1

 an  bn

n 1

 an  bn

 an  ibn

 ibn1  ( an  bn )  i (an  bn ) n 1

zn1  (1  i )an  (1  i )bn 1 i b) 1 i n  (1  i ) ( an  ibn )

zn1  (1  i ) ( an  z n 1

zn1  (1  i ) zn

naM[ ( z ) CasIVútFrNImaRténcMnYnkMupøicEdlmanpleFobrYm q  1  i . tamrUbmnþ z  z  q eday z  a  ib  0  2i  2i eK)an z  2i(1  i ) n

n 1

n

1

1

1

1

n

n

 2(cos

eday z



 



 

n

 i sin ) 2 (cos  i . sin ) 2 2  4 4  ( n  2)   ( n  2)  2 ( 2 )n cos  i . sin  4 4 

enaHeKTaj)an ³ nig b  2(

 an  i .bn ( n  2) an  2( 2 )n cos 4 n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

2 )n sin

( n  2) 4

TMB½r 117

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eday y dUcenH y

(n)

 (an sin x  bn cos x ) e x

(n)

( n  2)  x   2( 2 )n sin  x  e  4  

.

-Gnuvtþn_sIVútkñúgkarKNnaGnuKmn_bNþak´lMdab´ n

IX

Fn ( x )  f n  f  f  .....  f  f ( x )

edIm,IKNna F ( x ) eKRtUvGnuvtþn_dUcxageRkam ³ -tagsIVútCMnYy u  f ( x ) n

1

u2  f  f ( x )  f ( u1 )

u3  f  f  f ( x )  f ( u2 ) u4  f  f  f  f ( x )  f ( u3 )   un  f n  f  .....  f  f ( x )  f ( un1 )

-eK)ansIVút

un1  f ( un )  u1  f ( x )   un1  f ( un )

-RtUvKNna u CaGnuKmn_én n nig x -dUcenH F ( x )  f  f  f  .....  f  f ( x )  u n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

.

TMB½r 118

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_1 31 x  12 x  2 eK[GnuKmn_ f ( x )  12 x  8 x  15 k-cUrrkEdnkMnt´énGnuKmn_ f (x) . x-eKBinitüsIVút (U ) nig (V ) kMnt´cMeBa¼RKb´ n  IN * eday ½ U 2 U  f ( x ) , U  f (U ) nig V  . 4U  1 cUrbgHajfa V  V rYcTaj[ánfa V  V . K-cUrKNna F ( x )  f  f  f  .....  f  f ( x ) . dMeNa¼Rsay k-rkEdnkMnt´énGnuKmn_ f ( x ) ½ 31 x  12 x  2 eKman f ( x )  12 x  8 x  15 GnuKmn_en¼mann&ykalNa 12 x  8 x  15  0 ebI 12 x  8 x  15  0 '  16  180  196 eKTaj¦s x   412 14   32 , x   412 14  56 dUcen¼ D  IR  {  32 , 56 } . x-bgHajfa V  V eyIgman V  4UU 21 naM[ V  4UU 21 2

2

n

n

n

n1

1

n

n

n

2 n 1

2

n1

n

n

n

1

n

2

2

2

2

1

2

2

n1

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n1

n1

n1

TMB½r 119

KnøwHsIVúténcMnYnBit 31U n  12U n  2 U n  1  f (U n )  2 12U n  8U n  15 2

eday

31U n  12U n  2 2 2 12U n  8U n  15  2 31U n  12U n  2 4( )1 2 12U n  8U n  15 2

eKán

Vn  1

31U n  12U n  2  24U n  16U n  30  2 2 124U n  48U n  8  12U n  8U n  15 2

Vn  1

2

 Un  2  7U n  28U n  28 7(U n  4U n  4)      2 2  4 U 1 112U n  56U n  7 7(16U n  8U n  1)  n  2

Vn  1

2

dUcen¼ V  V . -Taj[ánfa ½ V  V eKman V  V ebI n  1 eKán V  V Bit ebI n  2 eKán V  V  V Bit ebI n  3 eKán V  V  V Bit snμtfavaBitdl´tYTI k KW V  V eyIgnwgRsaybBa¢ak´favaBitdl´tYTI k  1 KW V eyIgman V  V  V   V Bit . dUcen¼ V  V .

2

2

n1

n

2 n 1

n

1

2

n1

n

2

2

1

22

2

3

2

1

23

2

4

3

1

2 k 1

k

2 k 1

2

k 1

k

1

1

2

k 1

 V1

2k

2k

1

2 n 1

n

1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 120

KnøwHsIVúténcMnYnBit

K-KNna F ( x )  f  f ........ f  f ( x ) .........  ½ tagsIVútCMnYy u  f ( x ) n

n

1

U 2  f  f ( x )  f (U 1 )

U 3  f  f  f ( x )  f (U 2 ) U 4  f  f  f  f ( x )  f (U 3 )   U n  f n  f  .....  f  f ( x )  f (U n1 ) U n1  f (U n )

tamsRmayxagelIeKman V  4UU 21 naM[ V (4U  1)  U  2 ¦ U  4VV 21 eday V  V n

n

n

n

n

n

n

n

n

2 n 1

1

n

nig

31 x 2  12 x  2 2 2 2 U1  2 x 2     12 x 2 8 x  15 V1    31x  12 x  2 4U 1  2  4x  1 4( )1 12 x 2  8 x  15

eKán

 x  2 2 Vn  ( )  4 x  1 

ehtuen¼ dUcen¼

2 n 1

 x2     4x  1

2n

x  2 2n n n ) 2 Vn  2 ( x  2)2  2(4 x  1)2 x  4 1 Un    4Vn  1 4( x  2 )2 n  1 4( x  2)2 n  ( 4 x  1)2 n 4x  1 (

n

Fn ( x ) 

( x  2)2  2( 4 x  1)2 4( x  2)

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2n

 (4 x  1)

n

2n

. TMB½r 121

KnøwHsIVúténcMnYnBit

«TahrN_2 eK[GnuKmn_ f ( x )  x  2 Edl x  IR k-eKyk U  f ( x ) nig U  f (U ) cMeBa¼RKb´ n  IN * cUrbgHajfa U  f  f ....... f  f ( x ).......  . x-RsayfaebI x  2 eKán U  2 RKb´ n  IN * . K-eKtag V  U  U  4 RKb´ n  IN * nig x  2 . cMeBa¼RKb´ n  IN * cUrbgHajfa 2V  V . X-snμtfa W  lnV  ln 2 cMeBa¼RKb´ n  IN * . cUrrkRbePTénsIVút W . g-eRbIlTæplxagelIcUrTajrkGnuKmn_ 2

n1

1

n

n

n

n

2

n

n

n

2

n1

n

n

n

n

Fn ( x )  f n  f ........ f  f ( x ) ......... 

dMeNa¼Rsay k-bgHajfa U  f  f ....... f  f ( x ).......  eyIgman U  f ( x ) Bit ( tamsmμtikmμ ) U  f (U )  f  f ( x ) Bit (eRBa¼ U U  f (U )  f  f  f ( x ) Bit eyIgsnμtfavaBitdl´tYTI k KW ½ U  f  f ....... f  f ( x ).......  Bit n

n

1

2

1

3

k

n1

 f (U n )

)

2

k

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 122

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eyIgnwgRsayfavaBitdl´tYTI

k 1

KW ½

U k 1  f k 1  f ....... f  f ( x ).......  U k 1  f U k   f  f k  f ........ f  f ( x )...... 

eyIgman

Bit

 f k 1  f ....... f  f  x ....... 

dUcen¼ U  f  f ....... f  f ( x ).......  . x-RsayfaebI x  2 eKán U  2 RKb´ n  IN * eyIgman U  f (U )  U  2 ebI x  2 ena¼ U  f ( x )  x  2  2 ¦ U  2 Bit eyIgsnμtfavaBitdl´tYTI k KW U  2 Bit eyIgnwgRsayfavaBitdl´tYTI k  1 KW U  2 Bit eyIgman U  U  2 eday U  2 naM[ U  4 ¦ U  2  4  2  2 eKTaj U  U  2  2 Bit . dUcen¼ ebI x  2 eKán U  2 RKb´ n  IN * . K-bgHajfa 2V  V eyIgman V  U  U  4 eyIgán V  U  U  4 Et U  U  2 n

n

n

2

n1

n

n

2

1

1

k

k 1

2

k 1

k

2

k

2

k

k

2

k 1

k

n

2

n1

n

2

n

n

n

2

n1

n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n1

2

n1

n

TMB½r 123

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eKán ½ Vn  1  U n  (U n  2) 2  4 2

2

Vn  1  U n  U n  4U n 2

4

2

Vn  1  U n  U n U n  4 2

2

2Vn  1  2U n  2U n U n  4 2

2

2Vn  1  U n  2U n U n  4  ( U n  4 ) 2 2

2



2Vn  1  U n  U n  4 2

2

 V 2

2 n

dUcen¼ 2V  V . X-rkRbePTénsIVút W . eKman W  lnV  ln 2 cMeBa¼RKb´ n  IN * eKán W  lnV  ln 2 eday 2V  V ¦ V  V2 2

n1

n

n

n

n

n1

n1

n1

2

n

2

n

n1

2

V W n  1  ln n  ln 2  2 ln Vn  2 ln 2  2W n 2 (W n ) q2

ena¼ dUcen¼ CasIVútFrNImaRtmanersug . g-rkGnuKmn_ F ( x )  f  f ........ f  f ( x ) .........  eday U  f  f ....... f  f ( x ).......  eKTaján F ( x )  U . tamsRmayxagelI (W ) CasIVútFrNImaRtmanersug q  2 n

n

n

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 124

KnøwHsIVúténcMnYnBit

tamrUbmnþ W  W  q  2 .W eday W  lnV  ln 2  ln V2    Et V  U  U  4  f ( x )  f n1

n 1

1

n

1

1

1

1

2

1

1

1

2

( x)  4

V1  x 2  2  ( x 2  2)2  4 1 V1  x 2  2  x 4  4 x 2  x 2  2  x x 2  4  ( x  x 2  4 )2 2

eKán

 ( x  x 2  4 )2   x  x2  4 W1  ln    ln 4 2   

ehtuen¼ eday eKTaj

   

2

2

 x x 4     ln x  x  4  Wn  2n  1. ln    2 2     2

2

2n

V  W n  ln Vn  ln 2  ln n   2  x  x2  4   Vn   ln   ln  2  2  

müa¨geToteKman

2n

¦

 x x 4  Vn  2   2   2

2n

Vn  U n  U n  4 2

U n  Vn  U n  4 2

U n  2U nVn  Vn  U n  4 2

2

2

2U nVn  Vn  4 2

V 4 1 2 Un  n  Vn  2Vn 2 Vn 2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 125

KnøwHsIVúténcMnYnBit

eday

 x x 4  Vn  2   2  

eKán

 x x 4  U n    2  

2

2

 x  x2  4   U n    2  

2n

2n

1



 x x 4     2   2

 x  x2  4      2  

2n



 x  x2  4   U n    2    x x 4  U n    2   2

 x x 4     2   

dUcen¼

 x  x  4   4   2

2n

2n

 x  x2  4      2   2

2n

2

 x x 4  Fn ( x )    2  

2n

2n

 x  x2  4      2  

2n

2n

2n

 x x 4     2   2

2

2n

2n

 x x 4     2   2

2n

.



eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 126

KnøwHsIVúténcMnYnBit

lMhat´Rti¼ri¼

!> kMNt;sVIt (a ) kMnt;edayTMnak;TMngkMeNIn dUcxageRkam³ k> a  1 , 3a  2a  3 n  1, 2,... x> a  1 , 3a  3a  4 n  1, 2,... K> a  1 , a  a  3 n  1, 2,... X> a  2 ; a  12 a  4 ( n  1 , 2 , ...) g> a  0 ; a  ( 3  2 )a  1  3  2 ( n  1 , 2 , ...) @> eKmansVIt (a ) kMnt;eday n

1

n 1

n

1

n 1

n

n1

1

n

n 1

1

n

n1

1

n

n

(a1 )  4 , 3an  1 

4an  9 an  2

n  1, 2, 3,...

k> RsaybBa¢ak;fa a  3 RKb;cMnuc n . x> yk b  a 1 3 nig kMnt;tYTUeTAénsVIt b  . kMnt;tYTUeTAénsVIt a  . #> eKman S CaplbUk n tYdMbUgénsVIt a  . ebI S bMeBjlkçxNн S  4  a  21 n  1, 2, 3,... k> kMnt;TMnak;TMngkMeNInrvag a nig a . n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n2

n

TMB½r 127

KnøwHsIVúténcMnYnBit

x> kMnt;tYTI n énsVIt a . $> eKman S CaplbUk n tYdMbUgénsVIt a  ehIybMeBj lkçxNн a  : a  1, S  a  n n  1 . kMNt;tYTI n énsVIt a . %> eKman S CaplbUk n tYdMbUgénsVIt a  ehIy S bMeBj lkçxNн S  n n 1  a ( n  2) . k> bBa¢ak;rk a n  3 GnuKmn¾ n nig a . x> bBa¢ak;rk S n  2 GnuKmn¾ n nig S . K> ]bmafa a  1 rktYTI n énsVIt S Edl n  1. ^> eKmansVIt a  kMNt;edayTMnak;TMngkMeNIn a  : a  2, a  a n  1, 2, 3,... . a k> tag b  a1 . kMNt;TMnak;TMngrvag b nig b . x> kMNt;tYTI n énsVIt a  . &> RsaybBa¢ak;fa n

n

n

2

n

1

n

n1

n

n

n

n

n

n

n

n 1

n

n 1

1

n

n

n

n

n 1

1

n 3

n

n

n 1

n

n

n  1 ; 12  2 2  32  ...  n 2 

nn  12n  1 6

edayeRbIvacarGnumanrYmKNitviTüa. eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 128

KnøwHsIVúténcMnYnBit

*>bgðajfacMeBaHRKb;cMnYnKt;FmμCati n k> cMnYn 4  2 Eckdac;nwg 3 . x> cMnYn 3  4 Eckdac;nwg 11 . (> eKmansVIt U  kMNt;eday U  U  2 nig U  0 . bgðajtamvacarGnumanrYmKNitviTüafa k> cMeBaHRKb;cMnYnKt;FmμCati n, U  2 . x> cMeBaHRKb;cMnYnKt;FmμCati n, U  U . !0> bgðajtamvacarGnumanrYmKNitviTüafa cMeBaHRKb; cMnYnKt;FmμCati n 1  x  1  nx  nn2 1 x cMeBaHRKb; cMnYn x  0 . !!> sresrbItYdMbUgénsVItnBVnþedaydwgfa S  210 nig S  820 . !@> eKdwgfaplbUktYTI 1 nig tYTI 4 énsVItnBVnþesμInwg 2 nig plbUkkaerrbs;vaesμInwg 20 . KNnaplbUkR)aMtYdMbUgénsVIt. n

n 3

4n  2

n 1

n nIN

n

o

n

n

n1

n

2

10

20

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 129

KnøwHsIVúténcMnYnBit

!#> eKman S nig S CaplbUk m tYdMbUg nig n tYdMbUgerogKña énsVItnBVnþmYyEdl SS  mn n  m . tagtYTI m nigtYTI n KW u . bgðajfa uu  22mn 11 . !$> eKmansVItFrNImaRt 12, 4, 43 ,... . k> KNnatYTI 10 . 4 x> etIcMnYn 729 CatYTIb:unμanénsVIút? K> KNnaplbUk 20 tYdMbUgénsVItFrNImaRt. !%> eK[ U CasVItFrNImaRt ebIeKdwgfa U  23 . KNna S . !^> KNnatYTI 1 énsVItFrNImaRtGnnþtYEdlman q  53 nig S  40 . !&> eK[bIcMnYnCasVItFrNImaRt. KNnacMnYnTaMgbI ebIeKdwgfa plKuNéncMnYnTaMgenaHesμInwg 3375 niigplbUkvaesμInwg 93 . m

n

2

m

2

n

m

n

n

n 1

n

n

n



eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 130

KnøwHsIVúténcMnYnBit

!*> KNnaplbUk n tYdMbUgénsVItnImYy²xageRkam³ k> sVIt a  : 1 , 1 1 2 , 1  21  3 , ....., 1  2  3 1 4  ...  n x> sVIt b  : 1 13 , 3 25 , 5 37 ,...,  2n  1n2n  1  !(> k> kMNt;tYTI n énsVIt 1, 2, 6, 15, 31, 56,... . x> KNnaplbUk n tYdMbUgénsVItenH. @0> edayeRbIvacarGnuKmn¾manrYmKNitviTüaRsaybBa¢ak;fa  2  2  1. @!> eKmansVIt U kMNt;eday U  2U  1 nig U  1 ehIy (V ) kMNt;eday V  U  1. k> bgðajfasVIt V  CasVItFrNImaRt. x> Tajrk U CaGnuKmn¾én n . K> sikSaPaBm:UnUtUnénsVIt U . X> cMeBaHRKb; n  IN KNnaplbUk S  U  U  U  ...  U . n

n

n

2

k 1

2

2

2

n

k 1

n 1

n

n

n

n

0

n

n

n

n

n

0

1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

2

n

TMB½r 131

KnøwHsIVúténcMnYnBit

@@> eKmansVIt U kMNt;eday U k> KNna U , U , U . x> bgðajfacMeBaHRKb; n  IN n

1

2

U n 1  2 





n1

Un  2 Un  1

nig U

0

2

3

2  1 2  U n  Un  1

K> bgðajfacMeBaHRKb; n  IN ; U X> TajBIsMnYr x> nig K> fa

. n

1

.

2 1  Un  2 2

Un 1  2 

g> bgðajtamvacarGnuKmn¾manrYmKNitviTüafa  2  1   2  U . U  2   2   @#> eKman (a ) kMNt;edayTMnak;TMngkMeNIn 1 a  1 , a  a  n. 2 k> tag b  2 a . kMNt;tYTI n énsVIt b  . x> kMNt;tYTI n énsVIt a  . n

n

0

n

n 1

1

n

n

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 132

KnøwHsIVúténcMnYnBit

@$> kMnt;tYTI n énsIVút (a ) EdlmanplbUk n tYdMbUg S kMnt;dUcxageRkam ³ k> S  n n 1 cMeBaHRKb; n  1 , 2 , 3 , ... x> S  n (n4 1) cMeBaHRKb; n  1 , 2 , 3 , ... K> S  2  2 cMeBaHRKb; n  1 , 2 , 3 , ... X> S  4n  9n cMeBaHRKb; n  1 , 2 , 3 , ... g> S  2n  3n  n cMeBaHRKb; n  1 , 2 , 3 , ... @%>eK[sIVúténcMnYnBit (a ) nig (b ) kMnt;eday a  2 ; b  1 nig TMnak;TMngkMeNIn 2(a  4b ) 7a  b a  ni g RKb; n  0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ..... . b  3 3 k> eKtag x  ab nig y  112xx . rkRbePTénsIVút ( y ) x> KNna y ; x ; a nig b CaGnuKmn_én n . @^>kMNt;súVIt (a ) kMnt;edayTMnak;TMngkMeNIn dUcxageRkam³ k> a  2 ; a  2a  3n  4 ( n  1 ; 2 ; 3 ;...) x> a  1 ; a   12 a  n ( n  1 ; 2 ; 3 ;...) K> a  0 ; a  3a  4n  n  3 ( n  1 ; 2 ; 3 ;...) n

n

n

2

2

n

n 1

n

2

n

3

2

n

n

n1

n

n

n

0

n

n1

n

n

n

n

n

n

n

n

0

n

n

n

n

n

1

n 1

1

n 1

1

n1

n

2

n

2

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

TMB½r 133

KnøwHsIVúténcMnYnBit

@&>kMNt;sVIút (a ) kMnt;edayTMnak;TMngkMeNIn dUcxageRkam³ k> a  3 ; a  23aa  43 ( n  1 ; 2 ; 3 ;...) x> a  3 ; a  6aa 24 ( n  1 ; 2 ; 3 ;...) K> a  0 ; a  3aa 31 ( n  1 ; 2 ; 3 ;...) @*> kMnt;tYTI n énsIVút (u ) edaysÁal;TMnak;TMngkMenInxageRkam ³ k>  uu  6 5;uu 184u , n  1 n

n

n 1

1

n

n1

1

n

n

n1

1

n

n

n

1

x> K> X> g> c> q>

2

 n 2 n 1 n  u1  2 ; u2  12   un 2  6un1  8un ; n  1  u1  1 ; u2  3   un 2  4un1  4un ; n  1  u1  u2  1   9 u 3 u un , n  1   n1  n 2 4  u1  0 ; u2  1   4un1  un u ; n1   n 2 4  u1  0 ; u2  1   un 2  2un1  2un ; n  1  u1  u2  1   un 2  3un1  4un , n  1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 134

KnøwHsIVúténcMnYnBit

@(> kMnt;tYTI n énsIVút (u ) edaysÁal;TMnak;TMngkMenInxageRkam ³ n

k> x> K> X> g> c> q> C> j>

 u1  1  un u  ; n  1 , 2 , 3 , ... 2  n 1 1  4un   u1  3  2 u u   n 1 n  2un  2 ; n  1 , 2 , 3 , ...  u1  4  2  un1  ( un  2 un ) ; n  1 , 2 , 3 , ...  u1  5  2  un  9  un1  2u ; n  1 , 2 , 3 , ...  n  u1  1  2  un1  3 ( un  2)( un  2un  4) ; n  1 , 2 , 3 , ...  u1  1   n 2 2  u u  n1 n 2  2n  1 n ; n  1 , 2 , 3 , ...  u1  2  3 2  un1  un  6un  12un  6 ; n  1 , 2 , 3 , ...  u1  1  2  un  3  un1  2u ; n  1 , 2 , 3 , ...  n  u1  2  5 u u   n 1 n ; n  1 , 2 , 3 , ...

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 135

KnøwHsIVúténcMnYnBit

#0> eK[sIVútcMnYnBit un  kMnt;cMeBaHRKb; n  IN eday ³ u0  1 nigTMnak;TMngkMeNIn un  1  log 2  21 u  1  cUrKNna u CaGnuKmn_én n . n

n

#!> eK[sIVút (a ) nig (b ) kMnt;eday n

n

  a0  7 ; b0  1  7an  3bn   a  n 1 3  an  8bn   b  n1 3

Edl n  0 , 1 , 2 , 3 , .... . k-RsayfasIVút ( x ) nig ( y ) EdlkMnt;eday x nig y  a  2b suTæEtCasIVútFrNImaRt . x-KNna x nig y CaGnuKmn_én n . K-TajrktYTUeTAénsIVút (a ) nig (b ) . n

n

n

n

 an  bn

n

n

n

n

#@> eK[sIVút

n

n

 u0  1  2un u  , n  IN  n 1 3 1  8u 3 n  1 vn  3 un

CasIVútnBVnþmYy . k> cUrRsayfa x> KNna v nig S  v  v  ...  v CaGnuKmn_én n . K> TajrktY u CaGnuKmn_én n . n

n

0

1

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 136

KnøwHsIVúténcMnYnBit

##> eK[sIVút (a ) kMnt;eday n

 a0  2 3  2  an  4  a n  1  2a  n

Edl n  0 , 1 , 2 , 3 , .... . k> eKBinitüsIVút ( ) EdlkMnt;eday a  2 cot RKb; n  0 . rkTMnak;TMngrvag  nig  . x> KNna  nig a CaGnuKmn_én n . #$> eK[sIVút (a ) nig (b ) kMnt;eday ³ a  b  1 nig a  a  3b ; b  2a b k> eKtag z  a  i 3b . cUrRsayfa z  z . x> cUrsresr z CaTRmg; z  r (cos  i sin ) . K> TajrktY a nig b CaGnuKmn_én n . #%> eK[sIVútcMnYnBit (u ) kMnt;cMeBaHRKb; n  IN eday n  n  4  ( n  4) u u  4 nigTMnak;TMngkMenIn u  3nu k> eKtag V  uu  nn  11 . cUrRsayfa (V ) CasIVútFrNImaRt. x> KNna V CaGnuKmn_én n . K> TajrkkenSam u CaGnuKmn_én n . n

n

n 1

n

n

n

n

n

2

0

n

n1

0

2

n

n 1

n

n n

2

n

n

n 1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2

n

n 1

0

n

n

n

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 137

KnøwHsIVúténcMnYnBit

#^> eK[sIVútcMnYnBit (u ) kMnt;cMeBaHRKb; n  IN eday 1 n  2n  2 u  1 nigTMnak;TMngkMenIn u  u  2 2n  6n  4 k> eKtag V  u  n n 1 . cUrRsayfa (V ) CasIVútFrNImaRt. x> KNna V CaGnuKmn_én n . K> TajrkkenSam u CaGnuKmn_én n . #&> eK[sIVút ( x ) nig ( y ) kMnt;eday ³ n

2

n 1

0

n

n

n

2

n

n

n

n

 x1  1   y1  2

n

nig

2 1      x ( 1 ) x ( 2 )y  n1 n n n n   y  2 x  (3  1 ) y  n1 n n n n

Edl n  1 , 2 , 3 , ... . k>cUrRsayfa z  x  n y CasIVútFrNImaRtrYcKNna z . x>bgðajfa C  x  y CasIVútefr rYckMnt; C . K>Tajrk x nig y CaGnuKmn_én n . #*> eK[sIVút ( x ) kMnt;eday x  ( x  4 x  2) nig x  4 cMeBaHRKb; n  0 ; 1 ; 2 ; .... . k> eKtag y  ln(2  x ) . Rsayfa ( y ) CasIVútFrNImaRt. x> KNna y nig x CaGnuKmn_én n . n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2

n1

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

n

n

0

n

n

TMB½r 138

KnøwHsIVúténcMnYnBit  u0  1  6  2  un  3  un1  2( u  1) ( n  IN )  n 2n  un  1  2 cot 6

#(> eK[sIVút (u ) kMnt;eday n

cUrRsaytamkMeNInfa . $0> eK[sIVút ( y ) kMnt;eday ³ 3y  2y  3 y  3 nig y   Edl n  IN y  6y 1 n

2 n 2 n

n 1

0

n

n

k> eKtag z  2 yy  11 . cUrRsayfa z  z x> edayeFIVvacartamkMeNIncUrbgðajfa z  z . K> Tajrk y CaGnuKmn_én n .  x 4 $!> eK[sIVút ( x ) kMnt;eday  x  x  2 x  2 ; ( n  IN ) 2

n

n 1

n

n

n

2n

0

n

n

0

n



2

n1

n

n

k> edayeFIVvacartamkMeNIncUrRsayfa x  3  1 . x> KNna P  x  x  x  ....  x CaGnuKmn_én n . 2n

n

n

0

1

$@> eK[sIVút (a ) kMnt;eday n

2

 a0  2   n 2  2n  2 2  an1  an  n an  4

Edl n  IN . cUrbgðajfa a  n 2 1  (a n1

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

n

n 2  ) n 2

rYcKNna a CaGnuKmn_én n . n

TMB½r 139

KnøwHsIVúténcMnYnBit

$#> eK[sIVúténcMnYnkMupøic ( z ) kMnt;eday z n

n

 an  i bn

Edl (a ) nig (b ) CasIVúténcMnYnBitepÞógpÞat; n

n

 a0  b0  2  2 2  an1  an  bn  b  2a b n n  n 1

¬ n  0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .... ) . k> cUrRsayfa z  z rYcTajfa z  z . x> sresr z CaTRmg;RtIekaNmaRt . K> TajrkTRmg;RtIekaNmaRtén z . $$> eK[sIVúténcMnYnkMupøic ( z ) kMnt;eday ³ 3i 2 3 i z  z  2 nig z  cM e BaHRKb; n  IN . 2 2 k> eKtag w  z  1 . cUrbgðajfa w  32 i w . cUrkMnt; w kñúgTRmg;RtIekaNmaRt . x> Tajbgðajfa z  2 cos n12 (cos n12  i sin n12 ) . K> eK[sMNMu ₵  { z / 7  n  777 } . etIsMNMu ₵ manFatuCacMnYnBitb:unμan ? FatuCacMnYnnimμitb:unμan ? X> cUrkMnt;TRmg;RtIekaNmaRtén z eTAtamtémøepSg²én n . 2n

2

n 1

n

n

0

0

n

n

0

n 1

n

n

n1

n

n

n

n

n

n

eday lwm pl:ún nig Esn Bisidæ

TMB½r 140