Bila N Adalah Suatu Subgrup Normal Dari G.docx

Bila N adalah suatu subgrup normal dari G ,maka dapat dibentuk suatu grup faktor G/N. Pada suatu ring R, 〈𝑅, + 〉 adalah suatu grup komutatif. Jika N adalah suatu ideal dari R , maka N adalah sybgrup normal dari R. Akibatnya dapat dibentuk grup faktor R/N = {𝑟 + 𝑁 ∶ 𝑟 ∈ 𝑅}. Apabila ingin membuat R/N menjadi suatu Ring maka kita harus mendifinisikan operasi perkalian R/N dari ring R. Andaikan (𝑟1 + 𝑁 ), (𝑟2 + 𝑁 ) ∈ 𝑅/𝑁 menurut operasi perkalian di ring R maka : (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑁 + 𝑁𝑟2 + 𝑁𝑁 = 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑁 + 𝑁𝑟2 + 𝑁 Secara umum kita tidak mempunyai jaminan bahwa (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) ∈ 𝑅/𝑁.Tetapi bila N adalah suatu ideal dari R , maka 𝑟1 𝑁 ⊆ 𝑁 dan 𝑁𝑟2 ⊆ 𝑁 . Hal ini berakibat bahwa 𝑟1 𝑁 + 𝑁𝑟2 + 𝑁 = 𝑁. sehingga : (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 ∈ 𝑅/𝑁 Kita harus menjamin operasi : (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 Untuk semua (𝑟1 + 𝑁 ), (𝑟2 + 𝑁 ) ∈ 𝑅/𝑁 adalah terdefinisi dengan baik.Artinya bila 𝑠1 + 𝑁 = 𝑟1 + 𝑁

dan 𝑠2 + 𝑁 = 𝑟2 + 𝑁

maka kita harus menjamin bahwa (𝑠1 + 𝑁 )(𝑠2 +

𝑁 ) = (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) . Untuk itu, kita harus memperlihatkan bahwa 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 = 𝑠1 𝑠2 + 𝑁 . Karena N adalah subgrup normal, hal ini sama artinya dengan memperlihatkan 𝑟1 𝑟2 − 𝑠1 𝑠2 ∈ 𝑁 . Perhatikan bahwa : 𝑟1 𝑟2 − 𝑠1 𝑠2 = 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1 𝑠2 + 𝑟1 𝑠2 − 𝑠1 𝑠2 = 𝑟1 (𝑟2 − 𝑠2 ) + (𝑟1 − 𝑠1 ) 𝑠2 Karena 𝑟1 + 𝑁 = 𝑠1 + 𝑁 dan 𝑟2 + 𝑁 = 𝑠2 + 𝑁 , maka 𝑟1 − 𝑠1 , 𝑟2 − 𝑠2 ∈ 𝑁 . Sehingga 𝑟1 (𝑟2 − 𝑠2 ) ∈ 𝑁 dan (𝑟1 − 𝑠1 ) 𝑠2 ∈ 𝑁 akibatnya 𝑟1 𝑟2 − 𝑠1 𝑠2 = 𝑟1 (𝑟2 − 𝑠2 ) + (𝑟1 − 𝑠1 ) 𝑠2 ∈ 𝑁 . Jadi operasi (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 adalah terdefinisi dengan baik .

TEOREMA I-1 : 𝑅

Andaikan R adalah suatu ring dan misalkan N adalah ideal dari R . Jika himpunan 𝑁 = {𝑟 + 𝑁 |𝑟 ∈ 𝑅} didefinisikan operasi : (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = ( 𝑟1 + 𝑟2 ) + 𝑁 Dan (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 Untuk semua (𝑟1 + 𝑁 ), (𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 ∈ 𝑅/𝑁 𝑅

, maka 〈𝑁 , +, °〉 adalah suatu ring.

Bukti : Karena 〈𝑅, +〉 adalah suatu grup komutatif , maka 〈𝑅/𝑁 , +〉 adalah suatu grup komutatif. Sekarang kita tinggal memperlihatkan bahwa operasi perkalian adalah asosiatif dan distributif terhadap operasi penjumlahannya. Ambil sebarang (𝑟1 + 𝑁 ), (𝑟2 + 𝑁 ), (𝑟3 + 𝑁 ) ∈ 𝑅/𝑁 diperoleh : (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 )(𝑟3 + 𝑁 ) = ( 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 )(𝑟3 + 𝑁 ) = ( 𝑟1 𝑟2 )𝑟3 + 𝑁 = 𝑟1 (𝑟2 𝑟3 ) + 𝑁 = (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 𝑟3 ) + 𝑁 = (𝑟1 + 𝑁 ), (𝑟2 + 𝑁 ), (𝑟3 + 𝑁 ) Sehingga operasi perkalian adalah asosiatif .Selanjutnya akan ditunjukkan berlaku distributif kiri. Perhatikan bahwa : (𝑟1 + 𝑁 ) + (𝑟2 + 𝑁 ) + (𝑟3 + 𝑁 ) = ( 𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑟3 ) + 𝑁 ) = ( 𝑟1 (𝑟2 + 𝑟3 ) + 𝑁) = (𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟3 ) + 𝑁

= (𝑟1 𝑟2 + 𝑁 )+ (𝑟1 𝑟3 + ) = (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) + (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟3 + 𝑁 ) Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa : ((𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 )(𝑟3 + 𝑁 ) = (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) + (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟3 + 𝑁) ) 𝑅

𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 〈𝑁 , +, °〉 adalah suatu ring. Ring R/N pada Teorema I-1 disebut sebagai ring faktor dari R modulo N. Berkut ini kita kita diskusikan sifat-sifat dari ring faktor. Berikut ini kita perlihatkan satu sifat dari ring R/N. Lemma I-2 : Andaikan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 . Bila N adalah suatu ideal dari R , maka R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan . Bukti : (→)Diketahui R/N adalah suatu lapangan , kita perlihatkan bahwa adalah N ideal maksimal. Untuk itu misalkan M adalah ideal dari R sehingga N ⊂ M . Akan ditunjukan M=R Menurut Teorema H-3 cukup diperlihatkan bahwa 1 ∈ M . Misalkan m ∈ M sehingga m ∉ N , karenanya m+N ∈ R/N . Karena R/N adalah suatu lapangan, maka terdapat k + N ∈ R/ N (m + N) ( k + N ) = 1+N. Perhatikan bahwa (m+N) (k+N)=mk+N=1+N . Akibatnya 1-mk ∈ N ⊂ M . Selanjutnya, karena M adalah suatu ideal, m∈ M dan k ∈R , maka mk ∈M . Hal ini berakibat 1 = (1-mk) + mk ∈ M . Jadi M=R. Terbukti N adalah ideal maksimal. (←)Diketahui N adalah ideal maksimal dari R/N . Kita perlihatkan R/N adalah suatu lapangan. Karena R komutatif dengan unsur kesatuan, kita cukup memperlihatkan bahwa setiap (r + N) ∈ R/N adalah unsur satuan. Perhatikan himpunan : S = {𝑠𝑟 + 𝑁 ∶ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑛 ∈ 𝑁} Jelaslah bahwa N ⊂ s . Kita perlihatkan bahwa S adalah suatu ideal dari R . Untuk sebarang 𝑠𝑟1 + 𝑛1 , 𝑠𝑟2 + 𝑛2 ∈ 𝑆, (𝑠𝑟1 + 𝑛1 ) − (𝑠𝑟2 + 𝑛2 ) = 𝑠𝑟1 − 𝑠𝑟2 + 𝑛1 − 𝑛2 = 𝑠(𝑟1 − 𝑟2 ) + (𝑛1 − 𝑛2 )

Karena (𝑟1 − 𝑟2 ) ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 (𝑛1 − 𝑛2 ) ∈ 𝑁, maka (𝑠𝑟1 + 𝑛1 ) − (𝑠𝑟2 + 𝑛2 ) ∈ 𝑆 Selanjutnya, perhatikan sebarang unsur r ∈R dan sr + n ∈ S . Jelaslah bahwa , r r ∈ 𝑅. kemudian karena r r ∈ N adalah suatu ideal maka . Jadi r (s r + n) ∈ S . Dengan cara yang sama, kita dapat memperlihatkan bahwa ( sr +n) r ∈ S. Jadi S adalah ideal dari R . Karena N adalah ideal maksimal dari R dan N ⊂ S , maka S = R . Sehingga unsur kesatuan 1∈ S . Misalkan 1=s r + n dengan n ∈ N , maka : (1+N) = sr + n + N = sr + N = ( s + N) (r + N) Hal ini berakibat bahwa setiap unsur tak nol dari R/N adalah unsur satuan. Sehingga R/N adalah suatu lapangan . Teorema i-4 Andaikan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan misalkan N adalah ideal dari R. R/N adalah suatu daerah intgral jika ddan hanya jika N adalah ideal prima.

Bukti : Karena R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1, Lemma I-2 menjamin R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan (1 + N) . Andaikan N adalah suatu ideal prima. Untuk memperlihatkan R/N adalah suatu daerah integral, kita tinngal memperlihatkan bahwaR/N tidak mempunyai unsur pembagi nol. Yakni, bila (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑁 , maka harus diperlihatkan(𝑟1 + 𝑁 ) = 𝑁 atau (𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑁. Misalkan (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑁, maka 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 = 𝑁 . Hal ini berarti 𝑟1 𝑟2 ∈ 𝑁 . Karena N adalah suatu ideal prima, maka

𝑟1 ∈ 𝑁 atau 𝑟2 ∈ 𝑁 . Sehingga (𝑟1 + 𝑁 ) = 𝑁 atau

(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑁. Jadi R/N adalah suatu daerah integral . Sebaliknya, misalkan R/N adalah suatu daerah integral, kita perlihatkan bahwa N adalah ideal prima. Yakni, bila 𝑟1 𝑟2 ∈ 𝑁 , maka 𝑟1 ∈ 𝑁 atau 𝑟2 ∈ 𝑁 untuk semua Perhatikan sebarang dua unsur 𝑟1 + 𝑁 dan 𝑟2 + 𝑁

𝑟1 , 𝑟2 ∈ 𝑅 .

di R/N . Bila 𝑟1 𝑟2 ∈ 𝑁 , maka (𝑟1 +

𝑁 )(𝑟2 + 𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 = 𝑁

. Karena R/N adalah suatu daerah integral, (𝑟1 + 𝑁 )(𝑟2 +

𝑁 ) = 𝑟1 𝑟2 + 𝑁 akan selalu berakibat (𝑟1 + 𝑁) = 𝑁 atau 𝑟2 + 𝑁

. Hal ini berarti 𝑟1 ∈

𝑁 atau 𝑟2 ∈ 𝑁. Sehingga N adalah suatu ideal prima . Contoh 31 Perhatikan ring ℤ12 dengan ideal maksimal N = {0,3,6,9}. Maka R/N = {𝑁 ,1 + 𝑁 , 2 + 𝑁} adalah suatu ring dengan tabel Cayley dari operasi penjumlahan dan perkaliannya adalah sebagai berikut : +

N

1+N

2+N

N

N

1+ N

2+N

1+N

1+N

2+N

N

2+N

2+N

N

1+N

.

N

1+N

2+N

N

N

N

N

1+N

N

1+N

2+N

2+N

N

2 +N

1+N

Dari tabel di atas R/N adalah suatu lapangan dan juga R/N adalah suatu daerah integral.

Akibat 1-5 : Setiap ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah ideal prima

Bukti : Jika N adalah ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan,maka Teorema I-3 mengakibatkan R/N adalah suatu lapangan. Sehingga R/N adalah juga suatu daerah integral . Selanjutnya , Teorema I-4 menjamin N adalah suatu ideal prima.