Bieu Dien Tin Hieu O Bang Thong Va Bang Tan Co So

Biểu diễn tín hiệu ở băng thông và băng tần cơ sở (Nguyễn Văn Đức) 1 Phổ của một tín hiệu thực ở băng thông (band pass): f ( jω )

1

- ωc

ωc

ω

Hình 1: Phổ của một tín hiệu thực ở băng thông Phổ của tín hiệu thực x(t) có dạng đối xứng như ở hình 1. Do vậy, tín hiệu ở băng thông (tín hiệu đã phát ra ở anten) có dạng đối xứng và ở tần số cao. Để xử lý tín hiệu được thuận lợi, tránh được thành phần tần số cao, người ta chuyển tín hiệu xuống băng tần cơ sở. Bước trung gian để chuyển xuống băng tần cơ sở là sử dụng tín hiệu phân tích. 2 Tín hiệu phân tích: Tín hiệu phân tích được định nghĩa fxT

=

∧

f x (t ) + i f x (t )

⎧ 2 F (iω ) neu ω > 0 FT (iω ) = ⎨ ⎩ 0 neu ω < 0 3 Tín hiệu băng thấp: fT (t ) = fT (iω )e− iω0t FT (iω ) = FT (iω + iω0 ) 4 Tín hiệu băng thông: f (t ) = Re fT (t ) eiω0t

{

(Bộ điều chế I/Q)

}

Phép biến đổi Hilbert (Hilbert Transformation) 1 Định nghĩa phép biến đổi Hilbert:

Phép biến đổi Hilbert (Hilbert Transformation - HT) được định nghĩa như sau:

f (t )

→

(1)

^

f (t ) = H { f (t )} =

1

π

∞

∫

−∞

f (s) ds t−s

^

Ký hiệu f (t ) là biến đổi Hilbert của f(t) HT là phép biến đổi tuyến tính, không phụ thuộc vào thời gian. 2 Đáp ứng xung và hàm truyền đạt của phép biến đổi Hilbert:

f(t)

F(i ω )

^

g(t) = f (t )

h H(t) HH (i ω )

^

G(i ω ) = F (iω )

Hình 1: Biểu diễn phép biến đổi Hilbert thông qua hệ thống tuyến tính Phép biến đổi Hilbert được mô tả bởi đáp ứng xung h H(t) và hàm truyền đạt HH (i ω ). Kết quả sau khi biến đổi được biểu diễn như sau: Ở miền tần số

g(t) = f(t) * hH(t) G(i ω ) = F(i ω ) . HH(i ω )

Mục đích dẫn dắt ở dưới đây là tìm đáp ứng xung hH(t) sao cho định nghĩa biến đổi Hilbert ở PT (1) được thỏa mãn.

Đáp ứng xung của phép biến đổi Hilbert chính là tín hiệu đầu ra khi đầu vào hệ thống là xung Dirac. Với f (t ) = δ (t ) , ta có:

⇒ g (t ) = hH (t ) =

∞

1

π

S (s)

∫ t − s ds

−∞

Kết quả tích phân cho ta đáp ứng xung của phép biến đổi Hilbert

1 πt

hH (t) =

Hàm truyền đạt của phép biến đổi Hilbert HH (i ω ) là biến đổi Fourier của đáp ứng xung: H H (iω ) = F {hH (t )} =

∞

1

∫πte

− iωt

dt

−∞

=

1

π

∞

1

∫ t ( cos (ω t) - i sin(ω t) dt

−∞

Trong đó: 1/t là hàm lẻ cos ( ω t) là hàm chẵn sin( ω t) là hàm lẻ Do vậy ∞ i 2 sin (ωt ) HH (i ω ) = dt π ∫0 t Theo công thức của Broustein : ∞

∫ 0

⎧π ⎪⎪ sin ax dx = ⎨ 2 x ⎪ −π ⎪⎩ 2

neu a > 0 = neu a < 0

π 2

sgn a

Vận dụng công thức trên, kết quả cuối cùng của HH (i ω ) được viết như sau:

HHT (i ω ) = - J sgn( ω ) Hình thể hiện giá trị phần ảo của hàm truyền đạt HH (i ω )

Im (HHT (i ω )) 1

-1

Hình 2: Biểu diễn giá trị phần ảo của hàm truyền đạt HHT (i ω ) Tài liệu tham khảo: Bài giảng của GS Hans-Peter Kuchenbecker, ĐH Tổng Hợp Hannover, CHLB Đức