Belajar Bangun-bangun Geometri 60 Unsur-unsur Pokok Geometri

Belajar geometri 60: unsur-unsur pokok geometri Om Tris Ada pembaca yang meminta agar disajikan sekali lagi unsur-unsur utama geometri yang akan diajarkan di sekolah. Tulisan ini merespon permintaan tersebut. Istilah geometri berasal dari kata Yunani geometria. Geometria berarti mengukur Bumi. Geometri merupakan cabang matematika yang secara khusus dikembangkan untuk mengukur bidang-bidang di permukaan Bumi, misalnya petak-petak sawah, ladang atau tanah pekarangan. Boleh jadi, konsep-konsep geometri telah ada setua keberadaan umat manusia,. Namun, baru sekitar enam abad sebelum Masehi konsep-konsep tersebut membentu menjadi suatu sistem ilmu pengetahuan. Salah seorang yang menjadi pendiri geometri adalah Euclides, seorang matematikawan Yunani yang hidup antara 325-270 sebelum Masehi. Bukunya yang berjudul ”Unsur-unsur” dipandang sebagai buku stabdar geometri yang mampu menembus jana selama lebih dari 20 abad. Secara sederhana unsur-unsur utama dari geometri tediri atas pernyataan (statement), pembuktian (froof), lukisan (construction), serta bidang datar (plane). Mari kita cermati satu persatu. Pernyataan. Dalam geometri, sebuah pernyataan dapat berbentuk aksioma atau berbentuk proposisi. Sebuah aksioma dalah sebuah pernyataan matematis yang diterima kebenarannya tanpa dituntut pembuktiannya. Sering juga aksioma disebut dengan istilah ‘postulat’. Sebenarnya, matematikawan lebih suka tidak menerima pernyataan apapun jikalau tanpa disertai pembuktian. Namun, harus dimulai dari mana? Euclides, dalam bukunya menuliskan sejumlah aksioma karena menurutnya pernyataan tersebut sudah sangat jelas dengan sendirinya sehingga tidak ada satu orang pun yang meragukannya. Misalnya, “satu dan hanya satu garis lurus yang dapat dibuat melalui dua buah titik”. Pernyataan seperti ini, bagi Euclides, dan tentunya juga bagi semua orang yang yang sudah sangat jelas dengan sendirinya tanpa harus dibuktikan secara matematis. Pada umumnya, pernyataan-pernyataan geometri tidak berbentuk aksioma tetapi berbentuk proposisi. Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan matematis yang mungkin dapat atau tidak dapat dibuktikan kebenarannya. Kita mengenal proposisi-proposisi dalam geometri yang disebut dengan istilah

dalil-dalil. Misalnya, melalui sebuah titik T yang berada di luar sebuah garis g hanya dapat dibuat satu dan hanya satu garis lurus h yang tegak lurus dengan garis g. Kebenaran pernyataan ini harus dapat dibuktikan secara matematis. Tidak hanya sekedar diterima begitu saja. Kita harus dapat menunjukkan bahwa garis h yang memenuhi syarat (melalui T dan tegak lurus g) hanya satu dan tidak lebih dari satu. Pembuktian. Suati pembuktian geometri terdiri atas serangkaian langkah. Mungkin cukup satu langkah tetapi juga mungkin terdiri atas ratusan langkah. Pada umumnya sebuah pembuktian bermula dari suatu aksioma atau sejumlah proposisi (dalil) yang telah dibuktikan. Selanjutnya, matematikawan, berangkat dari fakta yang telah diketahui, menurunkan sejumlah langkah logis yang dapat menunjukkan bahwa pernyataan tersebut betul. Pernyataan yang betul disebut proposisi atau dalil baru. Lukisan (construction). Salah satu bagian utama dari pembuktian adalah lukisan. Dalam geometri, lukisan adalah sebuah gambar yang dapat dibuat dengan alat yang paling sederhana. Menurut Euclides, alat gambar yang paling sederhana adalah mistar dan jangka (paser). Mistar untuk membuat garis lurus dan jangka untuk membuat sudut.

Bidang datar. Suatu bidang merupakan gambar geometri yang berdemensi dua, panjang dan lebar. Bidang tidak memiliki ketebalan. Untuk memahami bahwa tebal sebuah bidang itu tidak ada dapat dengan cara membayangkan sebuah garis lurus yang digambarkan pada suatu bidang datar. Semua titik pada garis itu terletak pada bidang. Tidak ada satu titik pun berada di luar bidang. Geometri Euclides-an mencakup dua jenis gambar, yaitu gambar berdimensi dua dan gambar berdimensi tiga. Gambar berdimensi dua hanya memiliki besaran pangang dan besaran lebar. Geometri ini kita sebut geometri bidang. Sedangkan gambar drdimensi tiga memiliki besaran panjang, lebar dan tinggi. Geometri yang membahas gambar-gambar berdimensi tiga kita sebut geometri ruang (kadang-kadang juga disebut ’solid geometry’). Titik merupakan gambar geometri yang paling sederhana. Titik dipandang tidak berdimensi. Namun, sebuah titik dilukiskan dengan ujung

pensil dalam bidang gambar. Gambar titik ini, tentu berdimensi. Titik sesungguhnya (tidak berdimensi) tidak dapat dilukiskan (digambarkan pada sebuah bidang gambar/kertas). Titik tidak memiliki ukuran. Titik tidak dapat diukur. Gambar geometri sedrhana yang kedua adalah garis (garis lurus). Garis berdimensi satu, yaitu: panjang. Garis mempunyai panjang yang tak berhingga. Yang kita pikirkan dalam geometri sesungguhnya hanya ‘penggal garis’ bukan garis yang sesungghnya (dengan panjang tak berhingga). Karena itu, sejumlah matematikawan berpendapat bahwa lukisan dalam geometri itu tidak perlu digambarkan, tetapi secara logis dapat dibayangkan (dikonstruksi). Sebagai catatan (Gambar 1), kita perlu mebedakan antara: garis, sinar garis, dan penggal garis. Sinar garis (sinar) sering kita gunakan dalam membahasa optika geometri (lensa, cermin dsb) untuk mewakili cahaya yang merambat dari benda kea rah alat optis (missal:lensa) berseta perilakunya. Inilah pembaca, terutama yang mengajukan permintaan, unsure-unsur utama geometri, yaitu: pernyataan, pembuktian, lukisan, dan bidang. Titik dan garis merupakan gambar yang paling sederhana dari bengun-bangun geometri. Semoga dapat memenuhi harapan penanya. Semoga!

garis sinar

Gambar 1

Penggal garis